calculo numerico avaliando o aprendizado aulas 6-10
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calculo numerico avaliando o aprendizado aulas 6-10


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A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio que melhor se ajuste aos pontos dados. Suponha que você tenha que determinar por interpolação o polinômio P(x) que se ajuste aos pontos pontos A (1,2), B(-1,-1), C(3, 5).e D(-2,8). Qual dos polinômios abaixo pode ser P(x)
	
	
	
	
	 
	Um polinômio do terceiro grau
	
	
	Um polinômio do quarto grau
	
	 
	Um polinômio do quinto grau
	
	
	Um polinômio do sexto grau
	
	
	Um polinômio do décimo grau
	
	
	
		2.
		A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio de grau igual ou menor que n que melhor se ajuste aos n +1 pontos dados. Existem várias maneiras de encontrá-lo, dentre as quais podemos citar:
	
	
	
	
	 
	o método de Lagrange
	
	
	o método de RungeKutta
	
	
	o método de Euller
	
	
	o método de Raphson
	
	
	o método de Pégasus
	
	
	
		3.
		Em Cálculo Numérico possuímos o Método de Lagrange para a interpolação polinomial de funções quando conhecemos alguns pontos das mesmas. Considerando este método como referência, determine o "polinômio" que melhor representa os pontos (1,3), (4,9), (3,7) e (2,5).
	
	
	
	
	 
	y=2x+1
	
	
	y=2x
	
	
	y=x3+1
	
	
	y=x2+x+1
	
	
	y=2x-1
	
	
	
		4.
		Dados os 13 pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x12,f(x12)) ) extraídos de uma situação real de engenharia. Suponha que se você tenha encontrado o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio são feitas as seguintes afirmativas: I ¿ seu grau máximo é 13 II - Existe apenas um polinômio P(x) III - A técnica de Lagrange não é adequada para determinar P(x). Desta forma, é verdade que:
	
	
	
	
	
	Apenas II e III são verdadeiras
	
	 
	Todas as afirmativas estão corretas
	
	
	Todas as afirmativas estão erradas
	
	
	Apenas I é verdadeira
	
	 
	Apenas II é verdadeira
	 Gabarito Comentado
	
	
		5.
		Em um método numérico iterativo determinado cálculo é realizado até que o critério de  convergência seja satisfeito. Que desigualdade abaixo pode ser considerada um critério de convergência, em que k é a precisão desejada:
 
DADO: considere Mod como sendo o módulo de um número real.
	
	
	
	
	
	Mod(xi+1 - xi) > k
	
	
	Mod(xi+1 + xi) > k
	
	 
	todos acima podem ser utilizados como critério de convergência
	
	 
	Mod(xi+1 - xi) < k
	
	
	Mod(xi+1 + xi) < k
	
	
	
		6.
		Considere que são conhecidos dois pares ordenados, (2,5) e (1,2). Utilizando o método de Lagrange de interpolação polinomial, obtém-se a função:
	
	
	
	
	 
	3x - 1
	
	
	2x + 5
	
	
	x + 2
	
	
	3x + 7
	
	
	x - 3
		Seja o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver a integral definida I = Integral de 0 a 5 de f(x), com n = 200, cada base h terá que valor?
	
	
	
	
	 
	0,500
	
	
	0,250
	
	
	0,050
	
	
	0,100
	
	 
	0,025
	
	
	
		2.
		Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos trapézios. A aplicação deste método consiste em dividir o intervalo de integração (de a a b) em trapézios com mesma altura h = (b ¿ a)/n. Quando se aumenta n, ou seja, o número de trapézios, o valor da integral definida:
	
	
	
	
	 
	Varia, aumentando a precisão
	
	
	Varia, diminuindo a precisão
	
	
	Nunca se altera
	
	
	Varia, podendo aumentar ou diminuir a precisão
	
	
	Nada pode ser afirmado.
	
	
	
		3.
		Em diversas situações associadas a manipulação de funções matemáticas, não conseguimos ou não é prática a obtenção de soluções analíticas de integrais definidas, o que nos conduz a métodos numéricos. Com base na Regra do Retângulo e considerando a função f(x)=x2, obtenha a sua integração no intervalo [0, 1], considerando-o dividido em 2 partes. Expresse o resultado com uma casa decimal e escolha opção CORRETA.
	
	
	
	
	
	Integral = 0,63
	
	 
	Integral = 0,31
	
	 
	Integral = 1,50
	
	
	Integral = 1,00
	
	
	Integral = 0,15
	
	
	
		4.
		Em Cinemática Física, temos funções matemáticas que nos fornecem informações da posição, velocidade e aceleração em função do tempo e que se relacionam entre si através de operações matemáticas denominas de derivação e integração. Entre os diversos métodos numéricos para se obter a integral definida de uma função, podemos citar, com EXCEÇÃO de:
	
	
	
	
	 
	Método do Trapézio.
	
	
	Método de Romberg.
	
	
	Extrapolação de Richardson.
	
	
	Regra de Simpson.
	
	 
	Método da Bisseção.
	
	
	
		5.
		Integrais definidas de uma função podem ser interpretadas como a área sob a curva limitada a um determinado intervalo, porém a execução do cálculo desta área nem sempre é simples através de métodos analíticos, necessitando-se de método numéricos, como a Regra do Retângulo. Considerando o exposto, determine a área sob a função f(x)=x2+1 no intervalo [0; 1,2], considerando este intervalo dividido em três partes e o resultado com três casas decimais.
	
	
	
	
	
	Integral = 3,400
	
	
	Integral = 1,700
	
	
	Integral = 2,000
	
	 
	Integral = 1,760
	
	
	Integral = 1,000
	
	
	
		6.
		A regra de integração numérica dos trapézios para n = 2 é exata para a integração de polinômios de que grau?
	
	
	
	
	 
	primeiro
	
	
	quarto
	
	
	terceiro
	
	
	segundo
	
	
	nunca é exata
		Existem diversos métodos para a obtenção de uma integral definida, porém um deles aplica a regra do trapézio de forma repetida e &quot;refina&quot; a expressão obtida através da extrapolação de Richardson. Identifique nas opções a seguir o método que MAIS SE ADÉQUA ao descrito.
	
	
	
	
	 
	Método de Romberg.
	
	
	Método do Trapézio.
	
	
	Extrapolação de Richardson.
	
	
	Método da Bisseção.
	
	
	Regra de Simpson.
	
	
	
		2.
		No método de Romberg para a determinação de uma integral definida de limites inferior e superior iguais a a e b, respectivamente, o intervalo da divisão é dado por hk = (a-b)/2 ^(k-1). . Se a = 1, b = 0 e k =2, determine o valor de h.
	
	
	
	
	
	1/3
	
	
	0
	
	
	1/5
	
	 
	1/2
	
	
	1/4
	
	
	
		3.
		Integrais definidas representam em diversas situações a solução de um problema da Física e podem ser obtidas através da Regra do Retângulo, da Regra do Trapézio, da Regra de Simpson e do Método de Romberg. Este último utiliza as expressões R1,1=(a-b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)] para as primeiras aproximações, considerando a função f(x) sobre o intervalo [a,b]. Considerando o exposto, obtenha R2,1 para a função f(x)=x3, no intervalo [0,1]. Assinale a opção CORRETA com três casas decimais.
	
	
	
	
	
	0,939
	
	
	0,625
	
	 
	0,313
	
	
	1,230
	
	
	1,313
	
	
	
		4.
		Uma técnica importante de integração numérica é a de Romberg. Sobre este método é correto afirmar que:
	
	
	
	
	
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método dos retângulos
	
	
	É um método de pouca precisão
	
	
	É um método cuja precisão é dada pelos limites de integração
	
	 
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método do trapézio