QUEDA DOS CORPOS

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Sistema de Ensino Presencial Conectado
ENGENHARIA CIVIL
renato tonon da costa
VINICIUS FERNANDES DE SOUZA
trabalho experimental
Estudo da queda de corpos
Macaé
2018
renato tonon da costa
VINICIUS FERNANDES DE SOUA
trabalho experimental
Estudo da queda de corpos
Trabalho de produção textual interdisciplinar em grupo apresentado à Universidade Pitágoras Unopar, como requisito parcial para a obtenção de média semestral nas disciplinas de Geometria Analítica e Álgebra Vetorial; Cálculo Diferencial Integral II; Física Geral e Experimental: Mecânica; Algoritmos e Lógica de Programação; Ciências dos Materiais; Seminário Interdisciplinar III
Orientador: Prof. Otavio 
Macaé
2018
SUMÁRIO 1 OBJETIVO GERAL………………………………………………………………………3
1.1 OBJETIVO ESPECIFICO DE UM PROJETO……………….……………………………..…3
2 INTRODUÇÃO..........................................................................................................4
3 FÍSICA GERAL e EXPERIMENTAL :MECANICA…………………………………….5
3.1 MODELAGEM MATAMÁTICA DO MOVIMENTO DE UM CORPO EM QUEDA LIVRE…….…...5
3.2 Modelagem matemática do movimento de um corpo em queda sob ação da resistência do ar…………………………………………………………………………………………..7
3.3 CÁLCULO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE……………………………………………………...10
4 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA VETORIAL……..................................................11
5 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II………...........................................................13
6 CIÊNCIA DOS MATERIAS……………………………………………………………………..16
7 ALGORITIMO......................................................................................................................19
8 CONCLUSÃO......................................................................................................................20
9 REFERENCIA......................................................................................................................21
objetivo geral:
Construir um estudo sobre o tema “Queda de Corpo” para trabalhar com o estudo de movimento retilíneo uniformemente variado ( MRUV).
Objetivos específico de um projeto:
Compreender o movimento de queda de corpos, entender como diferentes materiais influenciam na queda de corpos e desenvolver os conhecimentos sobre Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV).
iNTRODUÇÃO
2.1. Descrição do MRUV
O MRUV – movimento retilíneo uniformemente variado - demonstra que a velocidade varia uniformemente em razão ao tempo.  Este movimento pode ser definido como um movimento de um móvel em relação a uma referência ao longo de uma reta, na qual sua aceleração é sempre constante. Diz-se que a velocidade do móvel sofre variações iguais em intervalos de tempo iguais. No MRUV a aceleração média assim como sua aceleração instantânea são iguais. 
A matéria está em constante movimento, assim como o sistema solar, os planetas, o ar, a água, os animais, os seres humanos, etc. A maior parte dos movimentos que observamos não é uniforme. Uma folha que cai de uma árvore e é levada pelo vento, um gato pulando do chão para o muro e do muro para o telhado; ou a água de um rio despencando por uma cachoeira.
Todos esses são movimentos não uniformes	. Neles a velocidade dos corpos muda constantemente. Podemos dizer então que esses movimentos apresentam “velocidade variável”.
A “velocidade” é a grandeza que mostra a rapidez com que um corpo se desloca. Existe também uma grandeza que mostra a rapidez com que a velocidade varia. Essa grandeza é a “aceleração”.
Para estudo do MRUV temos várias funções horárias:
- Velocidade em função do tempo: 	V = V0 + a.t
- Posição em função do tempo:		S = S0 + V0t + 1/2.a.t2
- Equação de Torriceli:			V2 = V02 + 2.a.Δs
		Onde,
- S = posição em um instante qualquer (m, Km,..)
- S0 = posição no instante inicial (m, Km,..)
- V0 = velocidade no instante inicial (m/s, Km/h,..)
- V = velocidade final (m/s, Km/h,..)
- a = aceleração (m/s2, Km/h2,..)
- t = tempo (s, h,..)
2.2 Queda dos corpos
Quando um corpo se movimenta em queda ele sofre a ação de forças dissipativas que se opõe a esse movimento. Em se tratando do ar, essa força é chamada de força de resistência do ar. Graças a essa resistência é que o paraquedas existe.
Para o movimento de queda livre de um corpo em contato com o ar com uma velocidade qualquer, a força da resistência do ar é dada por:
Fr = K . v2
Onde k é uma constante que depende da forma do corpo e da área da secção transversal do corpo, perpendicular à direção do movimento.
Nos paraquedas, por exemplo, sua aerodinâmica aumenta o valor de K, consequentemente a resistência do ar aumenta. Podemos dizer que o ar no paraquedas funciona como um vento forte, empurrando-o para cima, aliviando a queda.
Dentre outros fatores, a força de resistência do ar depende da velocidade do corpo em relação ao meio em que ele está inserido. Dessa forma, para um corpo abandonado em queda livre no ar, observamos que:
- no início do movimento, a resistência do ar é nula pelo fato de a velocidade inicial ser zero.
- a velocidade do corpo aumenta e a força de resistência do ar também aumenta, porém a intensidade da força peso permanece a mesma, ou seja, permanece constante.
- dependendo da altura de queda, a intensidade da resistência do ar pode igualar-se à intensidade da força peso. Quando isso acontece, a força resultante é nula e o corpo passa a se movimentar com uma velocidade constante, chamada de velocidade terminal.
Tratando-se de corpos ou objetos em altas velocidades, como, por exemplo, paraquedistas em queda livre com seus paraquedas fechados, a intensidade da força de resistência pode ser determinada através da seguinte relação:
Nessa expressão, observamos que a intensidade da resistência do ar:
- é diretamente proporcional à densidade (d) do ar
- é diretamente proporcional à área frontal (A) do corpo
- é diretamente proporcional ao coeficiente de arrasto aerodinâmico do corpo (C)
- é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade
Segundo Galileu Galilei (1564-1642) se deixarmos cair objetos de pesos diferentes do alto de uma torre, eles irão cair com a mesma velocidade. Isto é, cairão com a mesma aceleração, que é uma medida da variação da velocidade em relação ao tempo que passa.
Existe ao redor da terra uma região conhecida como campo gravitacional, que atrai os corpos para o centro da Terra, essa atração ocorre por influência de uma força conhecida como, força gravitacional. Todos os corpos sofrem influência desta força, segundo Newton o peso dos corpos estão sempre no sentido do centro da Terra. Quando o campo gravitacional age sobre os corpos faz com que eles sofram variação em sua velocidade, adquirindo aceleração da gravidade.
g ~ 9,81 m/s2
 
 
3. física geral e experimental - mecânica. 
A constatação da importância da matemática em diversos setores da sociedade está fortemente relacionada à intensa conexão que ela tem com o cotidiano das pessoas, configurando-se como uma ferramenta capaz de auxiliar na resolução de situações-problema, caracterizando-se como essencial para a edificação dos aprendizados de outras áreas do conhecimento. 
“O objetivo fundamental do “uso” de matemática é de fato extrair a parte essencial da situação-problema e formalizá-la em um contexto abstrato onde o pensamento possa ser absorvido com uma extraordinária economia de linguagem. Desta forma a matemática pode ser vista como um instrumento intelectual capaz de sintetizar idéias concebidas em situações empíricas que estão quase sempre camufladas num emaranha de variáveis de menor importância” (Modelagem Matemática – UbiratanD´ambrosio)
De acordo com Bassanezi, “Modelagem Matemática consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real” (2002, p.16)..
Figura 1 – Esquema simplificado de modelagem matemática
Em 1798, o economista inglês Thomas Malthus, no trabalho “An Essay on the Principle of Population” formulou um modelo para descrever a população presente em um ambiente ˜ em função do tempo.
Considerou N = N(t), o numero de indivíduos de uma população, sendo N0 esta população no instante t = 0. Considerou a hipótese que os nascimentos e mortes naquele ambiente eram proporcionais a população presente e que a variação da população era conhecida entre dois períodos, num lapso de tempo ∆t.
Se ∆N ´e a variação da população, temos
∆N = a.N(t).∆t – b.N(t).∆t
onde a.N(t).∆t é o numero de nascimentos e b.N(t).∆t é o numero de mortes no período. 
Dessa forma ∆N/∆t = r.N(t), onde r = a − b. 
Tomando o limite quando ∆t → 0, obtemos
dN/dt = r N
que é a EDO (Equação diferencial ordinária) que rege o fenômeno populacional, segundo o ponto de vista de Malthus.
.3.1 Modelagem matemática do movimento de um corpo em queda livre
Para o estudo da queda de corpos, no tema “Movimento retilíneo uniformemente variado ( MRUV)”, realizamos testes com três objetos de massa , composições e formatos diferentes. Eles foram elevados a uma altura de 4 metros e deixados cair com velocidade inicial zero, em queda livre. O experimento foi filmado e fotogrado para melhor captação dos dados requeridos.
3.1.1 MATERIAIS, FERRAMENTAS E EQUIPAMENTOS
Para realização do experimento foram utilizados, régua escala metálica de 500 mm, computador, impressora A3, máquina fotográfica / filmadora.
Foram utilizados papeis A4 para impressão de uma escala com variação de 100 mm e uma escala principal a cada 500 mm para facilitar a leitura durante a filmagem / fotos.
Utilizamos uma caixa de papelão (vazia), uma pilha e um bloco ( livro) com as descrições abaixo:
	
	Caixa de papelão (vazia)
	Pilha (AA)
	Bloco (livro)
	
	
	
	
	Comprimento
	17cm
	50,5 mm
	27,5 cm
	Altura / Diametro
	15cm
	8,5 mm
	19,5 cm
	Espessura
	6cm
	--
	8 cm
	Massa
	158g
	10 g
	2,720g
Fonte: Próprio Autor
3.1.2 COLETA DE DADOS
Realização da experiencia:
- colocamos os itens em posições zero em uma altura de 4m
- realizamos a queda livre de cada um e registramos os tempos e alturas conforme indicado na tabela abaixo, com as informações obtidas.
Tabela 01: Experimentação
	Posição s (m) 
	CAIXA VAZIA
	PILHA AA
	BLOCO (livro)
	
	Tempo t (s)
	Tempo t (s)
	Tempo t (s)
	0
	0
	0
	0
	0,5
	0,285
	0,273
	0,288
	1
	0,453
	0,400
	0,408
	1,5
	0,590
	0,515
	0,515
	2
	0,705
	0,590
	0,605
	2,5
	0,810
	0,668
	0,680
	3
	0,900
	0,740
	0,760
	3,5
	1,000
	0,793
	0,825
	4
	1,158
	0,898
	0,895
	
	
	
	
	Total (4 m)
	5,901
	4,877
	4,976
Fonte: Próprio Autor
Gráfico 01: Comparação dos resultados com o modelo de queda livre e valores reais do experimento. 
Altura (m)
Tempo (s)
Segue o link da realização do experimento com os três objetos, caixa vazia , pilha AA e bloco ( livro) colocar o link do video.
3.2 Modelagem matemática do movimento de um corpo em queda sob ação da resistência do ar
Calculo com a resistência do ar.
Segundo a segunda lei de newton: a força resultante que atua sobre um corpo é igual à taxa de variação da quantidade de movimento do corpo, ou ,para massa constante.
Onde F éa força resultante que atua sobre o corpo e V é a velocidade do corpo, considerando no instante T.
Num corpo em queda livre, há duas forças atuando sobre ele: a primeira é a força da gravidade g, dada pelo peso p do corpo, que é igual a mg:
Já a segunda força é devida a resistencia do ar,que e dada por :
é uma constante de proporcionalidade. O sinal negativo se dá pelo fato desta força estar atuando no sentido contrário à queda do corpo, se opondo à velocidade, atuando no sentido para cima.
Então a força resultante será:
Se substituimos a equação teremos:
Agora, é a equação de movimento do corpo. Para resolver esta equação, usamos a técnica de fato integrante dado por:
Multiplicando as equações acima obtemos:
Se derivarmos a equação a cima teremos:
Ou seja:
Usando o fato que V(0)=V0, é que a velocidade em cada instante.
Vejam que , se K=0,temos que a resistência do ar é desprezível e a equação se reduz a : 
Se k > 0, a velocidade limite v1 é obtida fazendo dv / dt = 0, pois na há um equilíbrio da força da gravidade com a força devida ao atrito do ar. Assim:
Caixa vazia
V caixa vazia(t) = 1,158 (1-2/1+e2.353t )
Velocidade máxima da queda 5,709m/s ou aproximadamente 20km/h
Pilha AA
VpilhaAA (t) = 0,898 ( 1-2/ 1+e 2.353t )
Velocidade maxima da queda e 5,935 m/s ou aproximadamente de 21km/h
Bloco ( livro)
Vbloco(livo) (t) = 0,895 ( 1-2/ 1+e 2.353t )
Velocidade maxima da queda e 4,829m/s ou aproximadamente de 17km/h
Incluindo a discussão sobre o movimento de queda de corpos, podemos falar da queda do paraquedista com seu para-queda fechado e aberto, podemos ver nos gráficos de velocidade dos experimentos que tem um valor de limites para todos os objetos sujeitos a força do arrasto. Então o objeto com maior massa e tamanho tem sua velocidade reduzida ,já em contra partida o objeto com menor massa e tamanho ganha maior velocidade na hora da queda a velocidade máxima da pilha AA por exemplo foi de 21km/h já o da caixa de papelão foi de 20km/h e o bloco ( livro) com maior massa e tamanho foi de 17km/h.
Para um paraquedista em queda livre, sua velocidade final antes da abertura do paraquedas chega a variar aproximadamente entre 200 e 240Km/h.
Essa aceleração em queda livre, mesmo com braços e pernas estendidos, acontece até o momento em que o paraquedas se abre, com a abertura do paraquedas, há uma bruptar elevação do força, fazendo então com que a resistência do ar aumente ainda mais, diminuindo assim a velocidade do paraquedista, nesse momento o paraquedista pode chegar a velocidade maxima de 20km/h,assim chega um momento em que a resistência do ar e o peso do paraquedista se tornam iguais.
CÁLCULO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE
Com base nos seus dados experimentais, vocês deverão desenvolver um método para calcular a aceleração da gravidade. Esse valor deverá ser comparado com o valor que geralmente é utilizado: 9,8 m/s2. 
Vamos utilizar o tempo de que livre da pilha AA , vamos determinar a ação da gravidade.
Ttotal=0,91s
Comparando o valor com 9,8m/s², tem-se:
Geometria Analitíca e álgebra Vetorial
A partir da figura, responda:
(a) Quais as forças que estão envolvidas no movimento de queda livre?
Resposta: Somente a força peso.
(b) Faça o diagrama das forças. O diagrama de forças mostra quais as forçasvetoriais (vetores) que estão agindo no movimento. Ele deve ser feito na figura
e depois, num eixo xy.
Resposta:
(c) Escreva os vetores nas bases canônicas (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).
Resposta: P=(0,-mg,0)=mgĵ
(d) Calcule resultante vetorial das forças.
Respostas: Fr=P=(0,-mg,0)=
A partir da figura 3, responda:
(a) Quais as forças que estão envolvidas no movimento real de queda decorpos?
Resposta: A força peso e a força de arrasto do ar ou resistência do ar.
(b) Faça o diagrama das forças.
Respostas:
(c) Escreva os vetores nas bases canônicas (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).
Resposta: P=-mgĵ e a Far=|Far|ĵ, onde P é a força peso e Far é a força de arrasto.
(d) Calcule a resultante vetorial das forças.
Resposta: Fr=-mgĵ+|Far|ĵ=(-mgĵ+|Far|) ĵ, onde Fré o vetor força resultante.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Com base na figura 04: queda livre, da orientação segue abaixo as equações do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (que descrevem o movimento de queda livre), v(t) e y(t), considerando os seguintescritérios: 
Figura 04: Queda livre
 
Responda as seguintes perguntas;
(a) a aceleração é a taxa de variação instantânea da velocidade em relação ao tempo;
(b) a velocidade é a taxa de variação instantânea da posição (no caso, a altura) em relação ao tempo;
(c) no início do movimento (t = 0), a velocidade é zero (a pedra deve ser largada, não jogada) e a altura é zero. 
Assim, tem-se
O movimento uniformemente Retilíneo variado é caracterizado pela presença de aceleração, o que determina a variação da velocidade. As equações ligadas a esse movimento são as seguintes: 
V: velocidade
t: tempo de queda
g: aceleração da gravidade
d: distância percorrida pelo corpo em queda
Aceleração média
a = aceleração 
∆V = variação de velocidade 
∆t = variação de tempo
Velocidade em função do tempo 
V = velocidade final 
V0  = velocidade inicial 
a = aceleração 
t = tempo 
Espaço em função do tempo
S = espaço final 
S0 = espaço inicial 
V0 = velocidade inicial 
a = aceleração 
t = tempo 
Equação de Torricelli
V = velocidade final 
V0 = velocidade inicial 
a = aceleração 
∆S = variação de espaço
Equação horária do espaço na queda livre:
 
g é a aceleração da gravidade;
t  é o tempo de queda;
S  é a altura
CIÊNCIAS DOS MATERIAIS
A Ciência dos Materiais consiste em estudar, classificar e utilizar a melhor forma os materiais. O desempenho/custo, síntese/processamento, o estudo das propriedades, estrutura e composição são utilizados para conhecer o material, função esta, que pode ser desempenhada por um engenheiro a partir de experimentações, quais formulam novas situações.
A atividade proposta por esta tarefa vai ser muito legal e bem fácil! Você deve escolher três tipos de materiais distintos para realizar o experimento sobre a "queda de corpos". Também deve realizar uma pesquisa sobre os três materiais que serão utilizados, apresentar as principais características, classificação destes e fazer uma boa apresentação sobre cada um deles.
Caixa de papelão (vazia) 
A caixa de papelão que usamos e uma embalagem para sabão em pó , e feita de papelão e entra em duas categorias de embalagem:
Embalagem Primária: que está em contato direto com o produto.
Embalagem reutilizável:
Embalagem reutilizada em sua forma original para o mesmo fim para a qual foi concebida e projetada. Ela deve desempenhar um número mínimo de viagens ou rotações dentro de seu ciclo de vida.
Caracteristicas: Altura 17cm, Diametro 15cm, e massa ( peso) aproximadamente 158g.
Pilha (AA) 
Usamos a pillha (AA) que composição e uma mistura eletrolítica com pasta básica de NaOH ( Hidróxido de sódio-bom condutor eletrolítico). 
A outros composição que pode ser feita uma pilha AA, segue a baixo uma lista.
• Ferro-níquel;
• Prata-zinco;
• Mercúrio-zinco;
• Zinco-manganês, 
• Níquel-cádmio.
Caracteristicas: Altura 50,5mm, diamentro 14,5mm e massa (peso) 10g.
Bloco (livro)
O livro é composto por varios elementos para construção do livro o principal e o papel, só que não e só de papel que e feito um livro, segue a baixo alguns elementos que compoe um livro:
Tipos de capa:
Hardcover: Um livro de capa dura que geralmente conta com uma cor única em sua capa e sem muitos detalhes. Eles vêm acompanhados de jackets.
Jacket: É uma sobrecapa que acompanha o hardcover, possuindo todas as 4 capas citadas mais acima, só que pode ser “retirada” e “encaixada” de volta no livro
Interior do livro:
Miolo: É simplesmente toda a parte de dentro do livro!
Corpo: Tamanho da letra utilizada em um livro.
Tipos de papel
Offset: O papel branco, simples. Dependendo da gramatura ele pode ser mais espesso ou mais fino, isso serve para todos os tipos de papel.
Pólen: O famoso papel amarelo que todo mundo gosta! Com uma cor amarelada, ele é mais confortável para o leitor.
Caracteristicas: Altura 27,5 diamentro 19,5cm e massa (peso) 2,720g.*
*Obs: essa informações varia de livro para livro e seu formado.
ALGORÍTIMO
Algoritmo : “Calculo da aceleração da gravidade g = 2.s/t²”
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
main()
{ int, s, t;
 float s, t, g;
 printf(“s = “); scanf (%d”, &s);
 printf(“t = “); scanf (%d”, &t);
 g = (2 x s)/t^2
 printf(“\n g = %7,2f“, g);
 getch();
}
– CONCLUSÃO
Considerando as forças que atuam sobre um corpo em queda, o que distingue o movimento em queda livre do movimento real são as forças dissipativas como o vento, o peso combinado com a forma do objeto que pode acarretar em uma força de resistência do ar reduzindo assim a velocidade de queda.
As equações em MRUV não modelam a queda real dos corpos, visto que temos a influencia de forças e informações adicionais que devem ser levadas em consideração para cálculo do movimento de queda real. Desta forma caso um engenheiro queira determinar a altura de um edifício e que para isso disponha apenas de uma bolinha de metal, um cronômetro e um pouco de conhecimento de Física, ele deverá levar em consideração não somente o MRUV teórico mas também as influencias externas nesse cálculo.
A massa de um corpo influenciará em seu tempo de queda em função do seu formato que poderá facilitar a interferência do vento em força contrária ao movimento de queda livre.
Com base nos experimentos realizados podemos verificar que a força da gravidade em nossa região equivale a aproximadamente 10 m/s² (levando em consideração que não utilizamos equipamentos de precisão para coleta dos dados). Excepcionalmente no caso da caixa de papelão cujo formato e peso permitem a forte influencia do vento tivemos uma gravidade calculada de 6 m/s².
	REFERÊNCIAS	
Mundo Educação:
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica
ABRE (Associação Brasileira de Embalagem)
http://www.abre.org.br/setor/apresentacao-do-setor/a-embalagem/tipos-de-embalagens/
Blog do Sistema de bibliotecas da UCS
https://bibliotecaucs.wordpress.com/2013/01/03/anatomia-do-livro/