A05 - Caracteristicas geometricas da secao transversal

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ESTÁTICA – DEC 3674 42
5 Características geométricas da seção transversal1 
5.1 Centro de Gravidade de um Corpo Bidimensional. 
Consideremos uma placa horizontal. Podemos dividir essa placa em n elementos pequenos. 
As coordenadas do primeiro elemento são denominadas x1 e y1, as do segundo elemento x2 e 
y2 etc. As forças exercidas sobre os elementos da placa serão denominadas P1, P2, Pn, 
respectivamente. Essas forças ou pesos podem ser consideradas paralelas. Sua resultante é, 
por conseguinte, uma única força na mesma direção. A intensidade P desta força é obtida pela 
adição das intensidades dos pesos elementares. 
1 2 ... z nF P P P PΣ = = + + + 
 
Para obtermos as coordenadas X e Y do ponto G onde a resultante P deve ser aplicada 
devemos satisfazer a condição de que os momentos das parcelas Pi em relação aos eixos x e y 
sejam iguais ao momento da resultante P em relação aos mesmos eixos. 
ΣMx = PX = P1 x1 + P2 x2 + ... + Pn xn 
ΣMy = PY = P1 y1 + P2 y2 + ... + Pn yn (5.2) 
 
Se aumentarmos o número de elementos em que a placa é dividida e diminuirmos 
simultaneamente o tamanho de cada elemento, teremos as seguintes expressões 
P = ∫dP PX = ∫x dP PY = ∫y dP (5.3) 
 
Essas expressões definem o peso P e as coordenadas x e y do centro de gravidade G da placa. 
5.2 Centróides de Áreas. 
No caso de uma placa homogênea de espessura uniforme, a intensidade P do peso de um 
elemento da placa pode ser expressa como: 
 
1 Mecânica vetorial para engenheiros - Ferdinand P. Beer e E. Russell Johnston, Jr.; McGraw-Hill, 1976 
ESTÁTICA – DEC 3674 43
P = γ.t.A 
Sendo: γ = peso específico .(peso por unidade de volume) do material 
 t = espessura da placa, e A = área do elemento 
 
Substituindo P e Pi na equação de momentos (5.2) e dividindo por γt, escrevemos 
ΣMx = AX = A1 x1 + A2 x2 + ... + An xn 
ΣMy = AY = A1 y1 + A2 y2 + ... + An yn (5.4) 
 
Aumentando o número de elementos em que a área A é dividida, obtemos 
XA = ∫ x.dA AY = ∫ y.dA (5.5) 
 
Essas equações definem as coordenadas x e y do centro de gravidade de uma placa uniforme. 
O ponto de coordenadas X e Y é também conhecido como o centróide C da área A da placa 
 
A integral ∫x.dA é conhecida como o momento estático da área A em relação ao eixo y. 
Analogamente, a integral ∫y.dA define o momento estático de A em relação ao eixo x. 
 
Vê-se das Eqs. (5.5) que, se o centróide de uma área está situado sobre um eixo coordenado, o 
momento estático da área em relação a este eixo é nulo. 
 
Áreas simétricas em relação aos eixos 
Quando uma área A possui um eixo de simetria BB', o centróide da área deve estar situado 
neste eixo. Se possuir dois eixos de simetria, o centróide da área está situado na intersecção 
dos dois eixos de simetria. Esta propriedade nos possibilita determinar imediatamente o 
centróide de áreas tais como círculos, elipses, quadrados, retângulos, triângulos eqüiláteros ou 
quaisquer outras figuras simétricas. 
A seguir são fornecidos alguns centróides de formas usuais de áreas: 
ESTÁTICA – DEC 3674 44
 
Triângulo xCG = yCG = h/3 Área = ½ . b.h 
 
Quarto de círculo 
xCG = 4.r/3.π yCG = 4.r/3.π Área = π.r2/4 
Semi círculo xCG =0 yCG = 4.r/3.π Área = ½.π.r2. 
 
Quarto de elipse 
xCG = 4.a/3.π yCG = 4.b/3.π Área = π.a.b/4 
Semi elipse xCG =0 yCG = 4.b/3.π Área = ½.π.a.b 
 
Semi parábola 
xCG = 3.a/8 yCG = 4.h/5 Área = 2.a.b/3 
Parabólica xCG =0 yCG = 3.h/5 Área = 4/3.a.h 
 
Superfície arqueada de uma abóbada – forma geral 
1 .
2cg
nx a
n
+= + 
1 .
4. 2cg
ny h
n
+= + 
.
1
a hÁrea
n
= + 
 
 
5.3 Placas Compostas. 
Uma placa pode ser dividida em retângulos, triângulos ou outras das formas usuais. A 
abscissa X de seu centro de gravidade G pode ser determinada das abscissas dos centros de 
gravidade das várias partes, expressando que o momento do peso de toda a placa em relação 
ao eixo y é igual à soma dos momentos dos pesos das várias partes em relação ao mesmo eixo 
(Fig. 5.9). A coordenada Y do centro de gravidade da placa é encontrada de maneira análoga, 
equacionando os momentos em relação ao eixo x. 
 y 
 y 
 C 
 b/2 b/2 
 O x 
 y 
 O 
 C 
 r 
 C 
 y 
 x O 
 C 
 O 
 r 
 C 
 a 
 b 
 y 
 x O 
 C 
 O 
 C 
 a 
 h 
 a 
 ycg 
 xcg 
 O 
 y = k.xn h 
ESTÁTICA – DEC 3674 45
 
FIGURA 5.9. Centro de gravidade de uma placa composta 
 
Se a placa é homogênea e de espessura uniforme, o centro de gravidade coincide com o 
centróide G de sua área. A abscissa X do centróide da área pode ser então determinada, 
considerando que o momento estático da área composta com respeito ao eixo y é igual à soma 
dos momentos estáticos das diversas áreas em relação ao mesmo eixo (Fig. 5.10). A ordenada 
Y do centróide é encontrada de maneira análoga, isto é, equacionando momentos estáticos das 
áreas em relação ao eixo x. 
 
FIG. 5.10. Centróide de uma área composta 
( )1 2 1 1 2 2... . . ... .x n n nM Y A A A y A y A y A= + + + = + + +∑ 
( )1 2 1 1 2 2... . . ... .y n n nM X A A A x A x A x A= + + + = + + +∑ (5.8) 
Cuidado: Momentos estáticos de áreas podem ser positivos ou negativos. Uma área 
com centróide à esquerda do eixo y terá momento estático negativo em relação ao eixo y. 
 
Exemplo 1 
Determinar o centro de gravidade da placa 
homogênea ao lado. 
y 
O x 
A1
C1
A2 
A3
C2 
C3 
y 
O x 
Σ Ai 
X 
Y 
C 
z 
O
y 
x 
G2 
P1 
G1
P2 G3 
P3 
X 
Y 
P = ΣPi 
z 
O 
x 
10 cm
 5 cm
15 cm
 r = 10 cm
22,5 cm 17,5 cm 
ESTÁTICA – DEC 3674 46
 
Da equação 5.8: ( )1 2 1 1 2 2... . . ... .n n nX A A A x A x A x A+ + + = + + + 
 ( )1 2 1 1 2 2... . . ... .n n nY A A A y A y A y A+ + + = + + + 
Componente A x y x.A y.A 
675 11,25 15 7593,75 10125 
78,54 26,74 24,24 2100,16 1903,81 
131,25 28,33 5 3718,71 656,25 
Retângulo 
Quarto de círculo 
triângulo 
884,79 13412,62 12685,06 
→ X.(884,79) = 13412,62 → X = 15,16 cm 
→ Y.(884,79) = 12685,06 → Y = 14,34 cm 
 
Exemplo 2 
Determinar o centróide da área mostrada ao lado. 
Observe que a área é desconhecida, mas, ela é o complemento da 
área do quarto de circulo, que tem seu centróide e área 
conhecidos. Observe também que pela simetria X =Y, assim: 
 7,5 cm 
x 
y 
15
 c
m
 
4
3
r
π = 6,365 cm
8,635 cm 
x 
y 
X 
 C 
x 
y 
Y
 
y 
 x 
26,74 cm 
11,25 cm 
28,33 cm 
15
 c
m
 
24
,2
4 
cm
 
5 
cm
 
4
3
r
π = 4,24 cm 
y 
 x 
X = 15,16 cm 
Y
 =
 1
4,
34
 c
m
 C 
15 cm 
 r = 15 cm
x 
y 
15
 c
m
 
ESTÁTICA – DEC 3674 47
Componente A x x.A 
Quadrado 225,0 7,5 1687 
Quarto de Círculo - 176,6 8,64 - 1525 
 Σ A = 48,4 Σ x.A = 162 
 
Da equação 5.8: 
( )1 2 1 1 2 2... . . ... .n n nX A A A x A x A x A+ + + = + + + 
( ) .i i iX A x A=∑ ∑ → X.(48,4) = 162 → X = 3,35 cm 
 
Na Tabela anterior que fornece os centróides das figuras planas não consta o trapézio. 
Determine o centróide do trapézio abaixo 
 
 
5.4 Determinação do Centróide por Integração. 
X.A = ∫x dA -Y.A = ∫y dA (5.5) 
 
Exemplo 1 
Para a área ao lado determinar o momento estático e as coordenadas 
do centro de gravidade. 
Momento estático: 
 .
A
Mx y dA dA b dy= ∴ =∫ 
( ) 2 2
0 0
0
. .
2 2
h
h h b y b hMx y bdy b ydy= = = =∫ ∫ 
a b 
 ℓ 
 a 
ℓ
 b-a 
 ℓ 
b
aℓ 
b 
x 
y 
h 
x 
y 
dx 
dy 
ESTÁTICA – DEC 3674 48
 .
A
My x dA dA h dx= ∴ =∫ 
( ) 2 2
0 0
0
. .
2 2
b
b h h x h bMy x hdx h xdx= = = =∫ ∫ 
Centro de gravidade 
2
2
. 2
hbMy bX
A b h
= = = e 
2
2
. 2
bhMx hY
A b h
= = = 
 
Exemplo 2 
Para a área ao lado determinar a coordenada Y do CG. 
 
Y = Mx / A 
0
( ) ( ) .
h u h yu b h y b h yMx y dA dA u dy e u dA dy
b h h h
− − −= = = → = ∴ =∫ 
( )2 2
0 0 0
( ).
h h hb h y ybh by bMx y dy dy yh y dy
h h h
− −= = = −∫ ∫ ∫ 
2 3 3 3 2
2
0
.. . .
2 3 2 3 6 6
h
b hy y b h h b b hMx h
h h
⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − = − = =⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠
 
2. 6
. 2 3
Mx b h hY
A b h
= = = 
 
Exemplo 3 
Determinar por integração direta o centróide da figura ao lado 
Condições de contorno: x = a → y = h ∴ h = k.a2 
→ 22 .hy xa= e 
1/ 2
1/ 2 .
ax y
h
= 
Mx e My com o elemento vertical 
Área: 22. . . .
hdA y dx A dA y dx x dx
a
= ∴ = = =∫ ∫ ∫ 
( )3 332 2 2
0
. 1. . 0 .
3 3. 3. 3
a
h x h h aA a A a h
a a a
= = − = ∴ = 
b 
u y 
h 
x 
y 
dy 
a 
y 
h
y = k.x2 
x
a 
y 
y 
dA = y dx
xx 
y/2 
ESTÁTICA – DEC 3674 49
2
2
, 2
0 0 0
1. . . . . .
2 2
a a a
cg vert
y hMx y dA dA y dx Mx y dx Mx x dx
a
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ 
2 2 2 2
4 5 5
4 4 4
0 0
1 1 1 .. . . . .
2 2 5. 10 10
aa h h h a hMx x dx Mx x Mx a
a a a
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ 
2
, 2
0 0 0
. . . . . . .
h h a
cg vert
hMy x dA dA y dx My x y dx My x x dx
a
⎛ ⎞= = = = ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ 
2
3 4 4
2 2 2
00
1 .. . .
4. 4 4
aa h h h h aMy x dx My x My a
a a a
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ 
 
Mx e My com o elemento horizontal 
( ) ( ) ( ),
0 0
. . . .
h h
cg vertMx y dA dA a x dy Mx y a x dy= = − = −∫ ∫ 
1/ 2 3/ 2
1/ 2 1/ 2
0 0
. .
h ha aMx y a y dy Mx ya y dy
h h
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ 
2 5/ 2 2 5/ 2 2 2 2
1/ 2
1/ 2
0
2. 2.. .52 2 5. 2 5 10.
2
h
y y h h h h ahMx a Mx a Mx a
hh
⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
 
( ),
0
. .
h
cg horizMy x dA dA a x dy= = −∫ 
( ) ( )2 2
0 0
1. . .
2 2
h ha xMy a x dy My a x dy+⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ 
2 2 2 2 2 2
0 0
.1 . .
2 2 2 2 2. 4
hha y a y a h a hMy dy My y My h
h h h
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − = − = − =⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ 
Posição dos centróides 
22.
3 3104
. .4 10
3 3
aha h
My MxX X a Y Y ha h a hA A
= = = = = = 
a 
y 
y 
dA = (a-x) dy
x
(a + x)/2 
x 
ESTÁTICA – DEC 3674 50
Exemplo 3 
Para a figura ao lado, calcular a área, os momentos estáticos Mx 
e My e a posição do centro de gravidade C. 
Considerar uma curva parabólica y = h[1- (x2/b2)]. 
 
( )2 2. . 1 .xdA y dx A dA y dx h dxb= ∴ = = = −∫ ∫ ∫ 
( )2 2 22 2
0 0
. 1 . . .
h hx hA h dx b x dx
b b
⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ 
( )3 3 3 32 22 2 2
0
3. 2. .. . 0 0
3 3 3 3
b
h x h b h b b b hA b x b b A
b b b
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞−= − = − − − = ∴ =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
 
 
0 0
. . .
2 2
b by yMx dA dA y dx Mx y dx= = =∫ ∫ 
( )22 2 4 2 2 42 4
0 0
1 11 . 2 .
2 2
b bx hMx h dx Mx b b x x dx
b b
⎡ ⎤⎛ ⎞= − = − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫ 
( )2 5 2 5 24 2 3 4 2 3 5 5 54 4 4
0
2 2 15. 10. 3.
2. 3 5 2. 3 5 30.
b
h x h b hMx b x b x b b b b b b b
b b b
⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − + = − + = − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠
 
( )2 254 4. .8.30. 15h b hMx b Mxb= → = 
24. .
215
2. . 5
3
b h
MxY Y hb hA
= = = 
 
2 3 2 4
2 2 2
0 0 0 0
. . 1 .
2 4.
bb b bx x x xMy x dA x h dx h x dx My h
b b b
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= = − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ 
2 4 2 2
2
.. .
2 4. 4 4
b b b h bMy h h My
b
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
2. .
34
2. . 8
3
h b
MyX X bb hA
= = = 
 
 C X 
y/2 Y 
b 
dx
y 
h 
x x
y 
ESTÁTICA – DEC 3674 51
Exemplos 2 
01 - Determinar o ycg do triângulo com os eixos passando pelo vértice. 
.
.cg
y dA
y e dA x dy
dA
= =∫∫ 
.a b a ax y dA y dy
x y b b
= ∴ = ∴ = 
2 2
0 0 0
.. . .
2 2 2
bb ba a y a b a bA dA y dy
b b b
= = = = =∫ ∫ 
2
3
0 0 0
2
0
. . . .
2 .. 3
2
b b b
b
cg
a ay dA y y dy y dy
b b yy a bA A b
= = = =
∫ ∫ ∫
 2 .
3cg
y b= 
 
Determinar o ycg do trapézio abaixo. 
 
 
 
 
 
A1 = b . x1 xcg,1 = 0,5 x1 ycg,1 = 0,5 b 
A2 = 1/2 b . x2 xcg,2 = 1/3 x2 ycg,1 = 1/3 b 
( ) ( )
( )
2 2
1 1 2 2 1 1 1 2 2
1 2 1 2
. . 0,5. 0,5. . . 1 3. 1 2. 1 2. . 1 6. .
 . 0,5. 1 2.cg
b x x b x x x x x x xAi xix
Ai b x x x x
+ + + +Σ= = =Σ + + 
( ) ( )
( ) ( )
( )2 21 2 1 21 2
1 2 1 2 1 2
. . 0,5. 0,5. . . 1 3. 1 6. . 3.1 2. . 1 6. . .
 . 0,5. . 0,5. 1 2.cg
b x b b x b b x xb x b xAi yiy
Ai b x x b x x x x
+ ++Σ= = = =Σ + + + 
Por exemplo: b = 4,0 m, x1 = 7,0 m e x2 = 3,0 m 
xcg = 4,294 m ycg = 1,882 m 
 
a 
y 
x 
 b 
 dy 
 y 
 dA 
x 
 dA = x.dy 
a 
y 
x 
 b 
 1 2 
x1
y 
x 
 b
x2 
ESTÁTICA – DEC 3674 52
02 - Determinar o ycg da seção T abaixo. 
 
 
 
 
 
 
A seção é simétrica em relação ao eixo vertical. xcg = 0,5 b. 
 
( ) ( )1. .A b h h h b a= − − − 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
22
11 1
1 1
0,5. . 0,5. .. . 0,5. . .0,5.
. . . .cg
b h b a h hb h h b a h h h h
y
b h h h b a b h h h b a
− − −− − − −= =− − − − − − 
 
Por exemplo: para b = 150, a = 30, h = 75 e h1 = 15 cm. ycg = 50,83 cm 
 
03 - Determinar o c.g. da seção T abaixo. 
 
 
 
 
 
 
a b c h1 h2 h3 
60 30 60 15 75 45 
 
a 
y 
x 
b 
h1
h 
ou 
1 2 
3 2 
1 
2 
a 
y 
x 
d 
h1 
h2
b c 
h3 
1 
2 
3 
y2 
x1
y3 
x3 
y1
x2
y 
x 
ESTÁTICA – DEC 3674 53
 Área xcg ycg A.xcg A.ycg 
1 900 30 67,5 27000 60750 
2 2250 75 37,5 168750 84375 
3 2700 120 52,5 324000 141750 xcg = 88,846 cm 
Total 5850 519750 286875 ycg = 49,038 cm 
 
04 - Determinar o c.g. da seção abaixo. 
 
 
 
 
 
 
05- Determine para a superfície plana da figura: os momentos estáticos em relação aos eixos x 
e y e a posição do centróide. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xcg = 55 mm ycg = 37 mm 
20 40 30 
20 
 
 
 
40 
60
 
 
 
60
120 mm 
O 
 8
0 
m
m
 
60
 m
m
 
40 mm 
60 mm 
 x
 y 
60 mmO 
80
 m
m
 
40 mm 
 x
 y 
120 mm
O
 8
0 
m
m
 
60 mm
 x
y
120 mm
O
 8
0 
m
m
 
x
 y
120 mm
O
 6
0 
m
m
 
x
 y 
O 
ESTÁTICA – DEC 3674 54
5.5 Momentos de Inércia 
5.5.1 Momentos de 2º ordem ou Momentos de inércia de Áreas 
Uma viga bi-apoiada solicitada por dois momentos iguais e opostos aplicados em suas 
extremidades, está em um estado de solicitação chamado flexão pura. O efeito dessa ação 
pode ser facilmente visualizado flexionado as duas extremidades de uma régua, ou seja, a 
régua será flexionada e, sua face inferior será tracionada e a superior comprimida. Na figura 
abaixo, a região superior (hachurada) é comprimida, a inferior é tracionada e, a linha que 
separa as duas regiões é chamada de Linha Neutra ou eixo neutro da seção. 
 
 
Em função da ação externa aplicada têm-se solicitações internas nas seções da viga e, 
consequentemente, os esforços internos resistentes. Assim, as forças em um lado do eixo 
neutro são forças de compressão e do outro lado, forças de tração, enquanto que no eixo as 
forças são nulas. Esses esforços internos resistentes são distribuídos e seus módulos variamlinearmente com a distância y a partir da linha neutra. A Figura abaixo mostra o trecho AC da 
viga AB, e a seção da viga na posição C. 
 
 
Uma força elementar atuando em uma área elementar é dada por: . .F k y A∆ = ∆ 
E o módulo da resultante R das forças elementares ∆F sobre a seção inteira é dada por: 
. . .R k y dA k y dA= =∫ ∫ 
A última integral na expressão da resultante é conhecida como momento de primeira ordem 
da seção, em relação ao eixo x; e é nula, pois o baricentro da seção está localizado sobre o 
eixo x, e, portanto Y.A = 0, pois Y= 0. 
Compressão
 
Tração A C B
Compressão
Tração
 yMS,ext MS,int 
A C 
 y 
 ∆F = k.y.∆A 
 L.N.
 y 
ESTÁTICA – DEC 3674 55
O sistema de forças ∆F reduz-se, portanto, a um conjugado e, o módulo M deste conjugado 
(momento fletor) deve ser igual à soma dos momentos ∆Mx = y.∆F = k.y2.∆A das forças 
elementares. Integrando sobre a secção inteira, obtemos: 
2 2. . .M k y dA k y dA= =∫ ∫ 
 
A última integral na equação acima é conhecida como o momento de segunda ordem ou 
momento de inércia da seção da viga em relação ao eixo x e é designada por Ix. 
O momento de segunda ordem é obtido pela multiplicação de cada elemento de área dA pelo 
quadrado de sua distância ao eixo x, e integrando sobre a secção da viga. Observe que y 
poderá ser positivo ou negativo, mas essa integral será sempre positiva e diferente de zero. 
No exemplo da figura acima, para a seção retangular de largura b e altura h, teríamos: 
 
2 2. . .Ix y dA y b dy= =∫ ∫ 
3 3
2
0 0
. .. .
3 3
hh b y b hIx y b dy= = =∫ e, analogamente: 
3 3
2
0 0
. .. .
3 3
bb h x h bIy x h dx= = =∫ 
 
Mudando-se os eixo de forma que passem pelo centróide 
2 2. . .Ix y dA y b dy= =∫ ∫ 
3
/ 2/ 2 3 3 3
2
/ 2 / 2
.
. . .2. . 2. 2.
3 3 3 8 12
hh
h h
hb
b y b h b hIx y b dy
x
+
− −
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = = = =∫ 
3
/ 2/ 2 3 3 3
2
/ 2 / 2
.
. . .2. . 2. 2.
3 3 3 8 12
bb
b b
bh
h x h b h bIy x h dx
x
+
− −
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = = = =∫ 
 
 dA = b.dy 
 b 
 h 
 y 
 x 
dy 
 dA = b.dy 
 b 
 h/2 
 y 
 x 
dy 
 h/2 
 y 
ESTÁTICA – DEC 3674 56
Determine o Momento de inércia da seção triangular. 
( )b h yb h u
u h y h
−= =− 
( ). .b h ydA u dy dA dy
h
−= = 
( ) ( )2 2 2 3. . . . .b h y bIx y dA y dy y h y dyh h−= = = −∫ ∫ ∫ 
 
3 4 4 4 3
0
. 4 3 .
3 4 12 12
h
b h y y b h h b hIx
h h
⎡ ⎤−= − = =⎢ ⎥⎣ ⎦
 
5.5.2 Momento Polar de inércia da área 
2.OJ r dA= ∫ r = distancia do elemento de área até o pólo O. 
Observe que r2 = x2 + y2, portanto também pode ser calculada 
através dos momentos retangulares de inércia Ix e Iy. 
( )2 2 2 2 2. . . .OJ r dA x y dA x dA y dA= = + = +∫ ∫ ∫ ∫ 
2.O x yJ r dA I I= = +∫ 
Determine o Momento de inércia da seção circular. 
 
( )22 0. . . . .
0 2
r
Ix y dA sen d d
ρρ α ρ α ρ α π
≤ ≤⎧= = ⎨ ≤ ≤⎩∫ ∫ 
22 2 4 4 4
3 2 2
00 0 0 0
2 2 4. . . . . .
4 4 2 4 4 2 4
rr r sen r senIx sen d d sen d
ππ π ρ α α π πρ α α ρ α α= = = − = −∫ ∫ ∫ 
4.
4
rIx Iy π= = 
 r 
 y 
 x
 r 
 y dA = ρ.dα.dρ 
 α
dρ
 ρ dα 
 y
 x 
 y = ρ.sen α 
 y 
 x b 
 y 
 h 
 u 
 dy h-y 
 y 
 x
 O 
 y r 
 x 
 dA
 A 
ESTÁTICA – DEC 3674 57
5.5.3 Raio de Giração de uma área 
Uma determinada área tem um Momento de Inércia Ix em relação ao eixo x. Se 
concentrarmos esta área em uma faixa estreita, paralela ao eixo x, e com o mesmo momento 
de inércia Ix, a distancia dessa faixa ao eixo x, é denominada Raio de Giração. 
 
2. analogamente yx Ox x x y O
II JI k A k k e k
A A A
= ∴ = = = (polar) 
Como O x yJ I I= + temos 2 2 2O x yk k k= + 
 
5.5.4 Teorema dos Eixos Paralelos. 
Na figura ao lado, consideremos conhecido o Momento de 
Inércia da seção em relação ao eixo x1, Ix1, e queremos 
determinar o Momento de Inércia Ix, em relação ao eixo x, 
paralelo a x1. 
( )22 1. .cIx y dA y d dA= = +∫ ∫ 
( )2 2 2 21 1 1 12. . . . 2. .c c c cIx y y d d dA Ix y dA d y dA d dA= + + = + +∫ ∫ ∫ ∫ 
Nesta expressão temos: 
2.cy dA∫ = Ix1 = Momento de Inércia em relação ao CG 
12. .cd y dA∫ = .cy dA∫ = 0 Momento estático em relação ao CG 
2
1d dA∫ = dA A=∫ Área x deslocamento dos eixos ao quadrado 
 y
 x O 
 A 
 ky 
 A 
 y
 x O 
 dA 
 A 
 yc
d 
x1CG 
x 
y 
ESTÁTICA – DEC 3674 58
Teorema dos eixos paralelos: 21 .x x xI I d A= + 
 21 .y y yI I d A= + 
Sendo: Ix1 e Iy1 Momentos de inércia em relação ao CG. 
 dx e dy deslocamentos dos eixos x e y, respectivamente 
 A Área da seção 
 Ix e Iy Momentos de inércia em relação aos eixos transladados. 
 
5.5.5 Teorema dos Eixos Paralelos para Momentos de Inércia Polares. 
Na figura ao lado, consideremos conhecido o Momento de 
Inércia da seção em relação aos eixos x1 e y1 passando pelo CG 
da seção, Ix1 e Iy1 e queremos determinar os Momento de Inércia 
em relação ao eixo x e y, paralelos a x1 e x1. 
 
x yJ I I= + 
2
1 1 .x xI I d A= + e 21 2 .y yI I d A= + 
2 2 2
1 2d dρ = + 
1 1 1x yJ I I= + 
( ) ( ) ( )2 2 2 2 21 1 1 2 1 1 1 2 1. . . .x y x y x yJ I I I d A I d A I I d d A J Aρ= + = + + + = + + + = + 
 
Teorema dos eixos paralelos para Momentos de Inércia Polar. 
2
1 .J J Aρ= + 
J Momento de Inércia Polar em relação à origem dos eixos que passam pelo CG. 
J1 Momento de Inércia Polar em relação aos eixos transladados. 
ρ distância entre as origens dos sistemas de eixos considerados. 
 dA 
 d1 
 yc
ρ 
x1
CG 
x 
y1 
 xc 
y
 d2 
ESTÁTICA – DEC 3674 59
5.5.6 Módulo de Resistência. 
Veja a seção abaixo. Já vimos que acima da Linha Neutra temos compressão e abaixo, tração. 
Estas tensões de tração e compressão não são constantes, como já foi visto, elas são nulas na 
Linha Neutra e aumentam à medida que se afastam em direção às bordas, onde atingem seus 
valores máximos. 
 
Admitindo-se uma distribuição linear das tensões, a tensão devida à flexão é dada por: 
Mf y
I
σ = 
Esta equação nos da a tensão ao longo da altura da seção, com y variando entre –h/2 e +h/2, 
mas, normalmente o que nos interessa é o valor máximo dessa tensão, que ocorrerá nas 
bordas. Assim obtemos σmax em função de ymax. Como a distância do centróide de uma seção 
às suas bordas é uma característica da seção, definimos Módulo de Resistência (W) de uma 
seção como: 
3
max max max
: ( )yxx y
IIIW W e W unidades L
y y x
= = = 
max max max
Mf Mf Mfy y
I I W
σ σ σ= = = 
 
5.5.7 Módulo de Resistência Polar. 
De forma análoga, no dimensionamento de peças submetidas à esforços de torção, tem-se o 
Módulo de Resistência Polar (Wp). Quanto maior o Módulo de Resistência Polar de uma 
seção, maior a sua resistência à torção. 
30
max
( : )p
JW unidades L
r
= 
MS,ext MS,int 
A C 
 σmax. Compr. 
Compressão
Tração
 y
 σmax. Tração 
 L.N. 
ESTÁTICA – DEC 3674 60
Exemplo: 
Determinar o raio de giração, o módulo de resistência e o módulo de resistência polar, 
relativos aos eixos baricêntricos x e y, para as seções retangular e circular: 
 
3
2. . 312
. 12 62. 3
x
x x
b hI h h hi i
A b h
= = = = = 
3
2. . 312
. 12 62. 3
y
y y
h bI b b bi i
A b h
= = = = = 
 
3
2
max
. .12
62
x
x x
b hI b hW Why
= = = 
3
2
max
. .12
62
y
y y
h bI h bW Wbx
= = = 
 
( )3 3 2 20 . . .12 12 12x y b h h b b hJ I I h b= + = + = + 
2 2
2 2 2 2
max max max
1
2 2 2
b hr x y b h⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
( )2 22 20
2 2max
.
.12
1 6
2
p
b h h bJ b hW b h
r b h
+
= = = +
+
 
 
4
2
. 4.
64 . 4
x
x y
I D di i
A D
π
π= = = = 
4 3
max
. 2 ..
64 32
x
x y
I D DW W
y D
π π= = = = 
4 4
0
. .2
64 32x y
D DJ I I π π= + = = 
4 3
0
max
. 2 ..
32 16p
J D DW
r D
π π= = = 
b 
x 
C 
h 
x 
y 
D 
ESTÁTICA – DEC 3674 61
5.5.8 Produto de Inércia. 
A integral do produto de cada elemento dA de uma área A por suas coordenadas x e y é 
conhecida como o produto de inércia da área A em relação aos eixos x e y (Pxy). 
.xyP xy dA= ∫ 
 
O Produto de Inércia Pxy pode ser positivo ou negativo e, quando um ou ambos os eixos x e y 
são eixos de simetria da área A, o produto de inércia Pxy é zero. 
 
 
Teorema dos eixos paralelos para os Produtos de Inércia. 
 
C Baricentro 
 
x’ e y’ eixos baricêntricos 
x’ e y’ coordenadas de dA em relação aos eixos 
 baricêntricos 
 
x = x’ + X e 
y = y’ + Y 
( ) ( ) ( ). ' . ' . '. ' '. . ' . .xyP xy dA x X y Y dA x y x Y X y X Y dA= = + + = + + +∫ ∫ ∫ 
( )'. ' .x y dA∫ Px’y’ 
( )'. .x Y dA∫ e ( ). ' .X y dA∫ Momentos estáticos nulos (eixos baricentricos) 
( ). . .X Y dA X Y dA=∫ ∫ Área 
' ' ' '. . . .xy x y x y x yP P X Y A P d d A= + = + sendo dx e dy os deslocamentos dos eixos. 
Pxy > 0 
x 
y 
A
Pxy < 0 
x 
y 
A
dA dA 
A 
Pxy = 0 
x 
y 
x 
y 
dA 
x’ 
y’ 
A 
x 
C 
x'
y’ 
X 
y 
Y 
ESTÁTICA – DEC 3674 62
5.5.9 Rotação de Eixos. 
Considere um eixo de coordenadas x, y e uma 
superfície A. Os Momentos e Produtos de Inércia são: 
2 2. . . .x y xyI y dA I x dA I x y dA= = =∫ ∫ ∫ 
Determinar os Momentos e Produtos de Inércia (Ix1, Iy1 
e Ix1y1) através da rotação de um ângulo α, dos eixos 
originais, em torno da origem. 
 
Após a rotação: 
 
 
1 1.cos α .sen α .cos α .sen αx x y y y x= + = − 
( ) ( )22 2 2 2 21 1 . .cos α .sen α . .cos α 2. . .cos α.sen α .sen α .xI y dA y x dA y x y x dA= = − = − +∫ ∫ ∫ 
2 2
1 .cos α .sen α 2. .cos α.sen αx x y xyI I I I= + − e, analogamente, obtém-se: 
2 2
1 .sen α .cos α 2. .cos α.sen αy x y xyI I I I= + + 
( )2 21 1 .cos α.sen α .cos α.sen α . cos α sen αx y x y xyI I I I= − + − 
 
Considerando as identidades trigonométricas: 
2 2sen 2α 2 . sen α . cos α cos 2α cos α sen α . = = − 
2 21 cos 2α 1 cos 2αcos α sen α
2 2
+ −= = 
dA 
O 
 a = x.cos α 
y 
x 
α 
α 
x
y1 
y 
x1 
α 
α 
 b = y.sen α 
 a 
 a 
 b 
 b 
 x1 = a + b 
 x1 = x.cos α + y.sen α
 a = y.cos α 
 b = x.sen α 
dA 
O
y 
x 
α
x
y1
y 
x1
α 
 b 
 a 
 b 
 a 
 y1 = a - b 
 y1 = y.cos α - x.sen α 
dA 
x 
O 
y1 
α y 
x1 
α 
x
y1 
y 
x1 
ESTÁTICA – DEC 3674 63
Pode-se escrever as equações da seguinte forma: 
1 .cos 2α .sen 2α2 2
x y x y
x xy
I I I I
I I
+ −= + − e, analogamente, obtém-se: 
1 .cos 2α .sen 2α2 2
x y x y
y xy
I I I I
I I
+ −= − + 
1 1 .sen 2α .cos 2α2
x y
x y xy
I I
I I
−= + 
 
Se somarmos ( )1 1x yI I+ obteremos 1 1x y x yI I I I+ = + 
 
Ou seja, quando o giro é sobre a origem, a soma dos Momentos de Inércia em relação a estes 
eixos é constante e igual ao Momento de Inércia Polar. 
 
5.5.10 Eixos Principais e Momentos Principais de Inércia 
Eixos Principais de uma área em relação a um ponto O, são aqueles para os quais se tem um 
Momento de Inércia máximo em relação a um dos eixos e mínimo em relação ao outro. Logo: 
1 0xdI
dα = 
Obs. 2 cos cos tan sec d du d du d dusen u u u sen u u u
dx dx dx dx dx dx
= = − = 
 
1
.cos 2α .sen 2α
2 2
.2.sen 2α .2.cos 2α=0
2
x y x y
xy
x yx
xy
I I I I
d I
I IdI I
d dα α
+ −⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ −⎝ ⎠= = − − 
( ) p2. 2.sen 2α.sen 2α= .2.cos 2α = tan 2α =cos 2α xy xyx y xy x y x y
I I
I I I
I I I I
− − − −− − 
αp é o valor de α que define os eixos principais. 
 
ESTÁTICA – DEC 3674 64
Se fizermos: Ix1y1 = 0 
1 1
2.sen 2α.sen 2α .cos 2α 0 tan 2
2 cos 2α
x y xy
x y xy
x y
I I I
I I
I I
α−= + = = = − − 
Logo o Produto de Inércia é nulo em relação aos eixos principais. 
 
Em resumo a) os eixos principais são ortogonais 
 b) Ix1y1 = 0 (um eixo de simetria é sempre um dos eixos principais) 
 c) Ix1 e Iy1 é um máximo e um mínimo. 
 
Momentos Principais de Inércia 
Determinado o valor de αp basta substituir em Ix1 e Iy1 para se obter Imax e Imin.: 
1 p p.cos 2α .sen 2α2 2
x y x y
x xy
I I I I
I I
+ −= + − 
1 p p.cos 2α .sen 2α2 2
x y x y
y xy
I I I I
I I
+ −= − + 
Ou através da equação: 
2
2
1,2 2 2
x y x y
xy
I I I I
I I
+ −⎛ ⎞= ± +⎜ ⎟⎝ ⎠
 onde I1 é o máximo e I2 o mínimo 
 
Exemplo 01: Determinar os eixos e momentos principais de inércia da seção abaixo. 
 
Baricentro: ou 
xcg = 1/ST ΣMy e ycg = 1/ST ΣMx 
1= (150.7,5 93,75.8,75) 5,417
56,25cg
x − = 
 1= (150.5,0 93,75.6,25) 2,917
56,25cg
y − = 
10 
2,5 
15 2,5 
O x 
y 1
21
2
ESTÁTICA – DEC 3674 65
Momentos de Inercia passando pelo CG, 
paralelos aos eixos x e y 
ST = 56,25 cm2 
 
 
 b h A x y x.A y.A 
Ret 01 2,50 10,00 25,00 1,25 5,00 31,25 125,00 
Ret 02 12,50 2,50 31,25 8,75 1,25 273,44 39,06 
 
Soma 56,25 304,69 164,06 
304,688= 5, 417
56, 25
y
cg
M
x
A
Σ = =Σ 
164,0625= 2,917
56,25
x
cg
My
A
Σ = =Σ 
 
 Ix y A A.(y)2 Ix+A.(y)2 
1 208,3333 2,08 25,00 108,5069 316,84028 
2 16,27604 -1,67 31,25 86,80556 103,0816 
 Soma (Ix) 419,92188 
 
 Iy x A A.(x)2 Iy+A.(x)2 
1 13,02083 -4,17 25,00 434,0278 447,04861 
2 406,901 3,33 31,25 347,2222 754,12326 
 Soma (Iy) 1201,1719 
 
Produto de Inércia Ixy 
 A x y A.x. y 
1 25,00 -4,17 2,08 -217,014 
2 31,25 3,33 -1,67 -173,611 
 
 Soma -390,625 
Ixy = -390,625 
1 
2 
10 
2,5 
15 2,5 
O x 
y 
xcg 
ycg 
2,917 
5,417 
ESTÁTICA – DEC 3674 66
2. 781,25tan 2 1
781,25
xy
x y
I
I I
α −= − = − = −− − 2 α = -45 α1 = -22,5º α2 = 67,5º 
 
( ) ( )
2
2 22
1,2 810,547 390,625 390,6252 2
x y x y
xy
I I I I
I I
+ −⎛ ⎞= ± + = ± − + −⎜ ⎟⎝ ⎠
 
Imax = 1362,974 e Imin = 258,1197 
 
 
Exemplo 02: Determinar os eixos e momentos de inércia da área abaixo: em relação ao eixo 
YY e em relação ao eixo a-a. Obs. medidas em mm 
1 . 175 125A b h x= = = 21875 
2 2
2
. .100
16 16
dA π π= − = − = - 1963,495 
2 2
3
. .75
4 4
dA π π= − = − = - 4417,865 
Área Total = 15493,64 
 
Tabelado: 
 
 A x A.x y A.y 
1 21875 87,50 1914062,50 62,50 1367187,50 
2 -1963,5 153,78 -301946,32 103,78 -203771,55 
3 -4417,86 50,00 -220893,23 75,00 -331339,85 
Soma 15493,64 1391222,9 832076,1 
X = 89,79 e Y = 53,7 
 
 
 
a a 
1
50 
175 
125 
2
3 
50 
50 
50 
x 
y Y 
X 
75 
y 
 x
 
__ __ 4.
3.
rx y π= = 
r 
 4 2
1 .
16x y
I I r A dπ= = − y 
 x
r 
x 
y 
 4
1
4x y
I I rπ= = 
r 
x 
y 
ESTÁTICA – DEC 3674 67
Solução A - Em relação ao eixo vertical 
I1 = 55826822,92 I2 = -342990,502 I3 = -1553155,548 
 
 I A d A.d2 I+A.d2 
1 55826822,92 21875 2,29 114714,6875 55941537,6 
2 -342990,502 -1963,5 -63,99 -8039964,115 -8382954,617 
3 -1553155,548 -4417,86 39,79 -6994558,172 -8547713,72 
 Soma IY (mm4) 39010869,27 
 IY (cm4) 3901,086927 
 
Solução B - Em relação ao eixo horizontal a-a 
I1 = 28483072,92 I2 = -342990,502 I3 = -1553155,548 
 
 I A d A.d2 I+A.d2 
1 28483072,9221875 112,50 276855468,8 305338541,7 
2 -342990,502 -1963,5 153,78 -46433305,69 -46776296,19 
3 -1553155,548 -4417,86 125,00 -69029135,45 -70582291 
 Soma Ia-a (mm4) 187979954,5 
 Ia-a (cm4) 18797,99545 
 
Exemplo 03: Determinar o produto de inércia da seção abaixo em relação ao centróide. 
 
4.
3.
aX Y π= = 
' ' . .xy x yI I A X Y= + onde 
2 4.
4 8xy
a aA e Iπ= = 
 
24 2 4 4
4 4
' ' ' '
. 4. 4. 9. 32. . 0,016471.
8 4 3. 8 9. 72.x y x y
a a a a aI I a aπ ππ π π
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ∴ = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ � 
 
Observe que as coordenadas do centróide tem sinal, veja: 
x 
y 
x' 
y' 
a 
C 
ESTÁTICA – DEC 3674 68
Segundo quadrante: Ixy = – a4/8, Área > 0, Y > 0 e X < 0 ∴ A X.Y < 0 
4
' ' 0,016471.x yI a+� 
 
 
Terceiro quadrante: Ixy = a4/8, Área > 0, Y < 0 e X < 0 ∴ A X.Y > 0 
4
' ' 0,016471.x yI a−� 
 
 
Quarto quadrante: Ixy = – a4/8, Área > 0, Y < 0 e X > 0 ∴ A.X.Y < 0 
4
' ' 0,016471.x yI a+� 
 
 
Resumindo: 
 
 
x 
x'
y
y'
x'
y'
x' x'
y'
4
4
' '
8
0,016471.
xy
x y
aI
I a
=
= −
 
4
4
' '
8
0,016471.
xy
x y
aI
I a
=
= −
 
4
4
' '
8
0,016471.
xy
x y
aI
I a
= −
= +
 
4
4
' '
8
0,016471.
xy
x y
aI
I a
= −
= +
 
a
x 
y 
x' 
y' 
a 
C 
x 
y 
x' 
y' 
a 
C 
x 
y 
x' 
y' 
a 
C 
ESTÁTICA – DEC 3674 69
5.5.11 Núcleo Central de Inércia 
Núcleo Central de Inércia, ou Núcleo Central da Seção, é uma região ao redor do centróide 
onde aplicando-se uma carga obtém-se, em toda a seção, tensões de mesma natureza da carga 
aplicada (tração ou compressão). 
 
Apenas como exemplo, considere um pilar retangular submetido a uma carga de compressão 
P, aplicada sobre o eixo horizontal, a uma distância “e” do centróide. Uma outra forma de 
representar este carregamento excêntrico é através de uma carga centrada P e um momento 
(P.e), conforme mostrado na figura abaixo. 
 
 
 
A seção é solicitada por dois esforços combinados, uma compressão axial e uma flexão pura, 
conforme mostrado na figura abaixo, e as tensões atuantes na seção serão iguais à soma destas 
tensões. 
 
 
 
Em função da excentricidade “e” as tensões resultantes na seção: 
• Excentricidade pequena Seção inteiramente comprimida (não uniforme) 
• Excentricidade grande Seção comprimida e tracionada 
 
b 
P 
a 
e 
A’ 
 
 
 
A 
B’ 
 
 
 
B 
P
e 
AA’ BB’ 
P 
M = P.e 
AA’ BB’ 
AA’ BB’ 
AA’ BB’
AA’ BB’
ESTÁTICA – DEC 3674 70
O que se busca é o limite entre os dois casos, ou seja, a excentricidade que provoca tensões 
nulas em uma borda (AA’) e compressão na outra borda (BB’) 
Compressão axial 1 .
P P
S a b
σ = − = − 
Flexão pura 2 2
.
.
6
M P e
b aW
σ = = 
'
1 2 2
'
6.Borda AA' 1
.6. . 6.1
. . . 6.Borda BB' 1
.
AA
BB
P e
b a aP P e P e
b a b a b a a P e
b a a
σ
σ σ σ
σ
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + = − ± = − ±⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠
 
A questão se resume em determinar a excentricidade que anula as tensões na borda AA’. 
6.' 0 1 0AA
e
a
σ = ⇒ − + = ou seja, 6. 1
6
e ae
a
= ⇒ = 
Analogamente, para a carga aplicada no outro eixo 
6
be = 
 
Núcleo Central de Inércia, ou Núcleo Central da Seção, de 
um retângulo é um paralelogramo de diagonais a/3 e b/3. 
 
 
Aplicada uma carga P de compressão: 
• dentro desta região, toda a seção é comprimida. 
• fora desta região, parte da seção comprimida e parte tracionada. 
• Nas bordas (nos cantos) compressão numa lateral e tensão nula na outra. 
 
O núcleo central de inércia de uma seção qualquer pode ser obtido pelo cociente entre o 
quadrado do raio de giração e a distância entre o c.g. e a borda. 
b/3 
b/3 
b/3 
a/3 a/3 a/3 
ESTÁTICA – DEC 3674 71
 
2
xie
c
= 
 Para a seção retangular acima . 3
6
x
x
I bi
A
= = e, c = b / 2 
 
2 2.3 1.
36 0,5. 6
xi b be
c b
= = = 
 
Núcleo Central de Inércia de uma seção circular é um círculo de raio r/4. 
 
( )4 2
2
1 4. .
. 4 2
x
x
rI r ri
A r
π
π= = = = e, c = r. 
 
2 2 4
4
xi r re
c r
= = = 
Normalmente encontram-se tabelados, em livros de Resistência dos Materiais, os valores do 
Núcleo Central de Inércia para as seções mais comuns. 
r/4 
 r 
 e 
 c
y 
x
ESTÁTICA – DEC 3674 72
Propriedades das Áreas Planas Elementares 
A = área X, Y = centróide 
Ix, Iy = Momentos de Inércia Ixy = Produto de Inércia 
Ip = Ix + Iy = Momento de InérciaPolar IBB = Momento de Inércia em relação ao eixo BB 
 
3 3. ..
2 2 12 12x y
b h b h h bA b h X Y I I= = = = = 
( )2 2.0 12xy P b hI I h b= = + 
 
 
 
( )3 2 2. . . 2 3 3 36 36x yb h b c h b h b hA X Y I I b bc c+= = = = = − + 
( ) ( )2 2 2 2. .272 36xy Pb h b hI b c I h b bc c= − = + − + 
 
 
( )3 2 2. . 3 312 12x yb h b hI I b bc c= = − + 
( )2 3. .3 2
24 4xy BB
b h b hI b c I= − = 
 
 
3 3. . .
2 3 3 36 36x y
b h b h b h h bA X Y I I= = = = = 
( ) 32 2 2 2. . . 72 36 12xy P BBb h b h b hI I h b I= − = + = 
 
 
3 3. . .
2 2 3 36 48x y
b h b h b h h bA X Y I I= = = = = 
( ) 32 2. .0 4 3144 12xy P BBb h b hI I h b I= = + = 
 
 
 
( )
( )
2.
. .
2 3.
a ba bA h Y h
a b
++= = + 
( )
( )
( )3 2 2 3. 4. . . 3
36. 12x BB
h a a b b h a b
I I
a b
+ + += =+ 
b 
C x 
 y 
h 
Y 
X 
b 
C x 
 y 
h 
Y 
X 
c 
b 
 x 
 y 
h 
B B 
c 
b 
C x 
 y 
h 
Y 
X 
BB 
b 
 x
 y 
h 
Y 
X 
BB 
C 
a 
b 
h 
x 
 y 
B B 
C Y 
ESTÁTICA – DEC 3674 73
 
2 4 4
2 . . ..
4 4 64x y
D r DA r I Iπ π ππ= = = = = 
4 4 4 4. . 5. . 5. .0
2 32 4 64xy P BB
r D r DI I Iπ π π π= = = = = 
 
 
2. 4.
2 3.
r rA Yπ π= = ( )2 4 4 449. 64 . . .0,1098. 0 
72. 8 8x y xy BB
r r rI r I I I
π π π
π
−= ≅ = = = 
 
 
2 4. 4. .
4 3. 16x y
r r rA X Y I Iπ ππ= = = = = ( )2 44 4 49. 64 . 0,05488. 0,0165.
8 144.xy BB BC
rrI I r I r
π
π
−= = ≅ = − 
 
 
 
 
C x 
 y 
B B 
 r 
Y 
 r C 
x 
 y 
B B 
O 
X 
 r 
Y C 
 x 
 y 
B B