Apostila de mecânica dos sólidos
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Apostila de mecânica dos sólidos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
CENTRO DE CIÊNCIAS AGRARIAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA FLORESTAL
ELEMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
E DE ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS
NORMAN BARROS LOGSDON
CUIABÁ, MT. - 1989
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SUMÁRIO
CONTEÚDO PÁGINA
1. RESUMO DE ALGUNS PRINCÍPIOS DA ESTÁTICA 1
1.1. SISTEMA DE UNIDADES 1
1.2. NOÇÕES SOBRE FORÇAS 2
1.3. DECOMPOSIÇÃO DE UMA FORÇA 3
1.4. EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO 5
1.5. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 7
2. APOIOS 9
2.1. APOIO MÓVEL 9
2.2. APOIO FIXO 10
2.3. ENGASTAMENTO MÓVEL 12
2.4. ENGASTAMENTO FIXO 12
2.5. ESTABILIDADE DAS ESTRUTURAS 13
2.6. CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO (ESTRUTURAS
ISOSTÁTICAS) 15
2.7. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 21
3. ESFORÇOS SOLICITANTES 23
3.1.CONCEITUAÇÃO 23
3.2. BARRAS, VIGAS E PILARES 25
3.3. CÁLCULO DE ESFORÇOS SOLICITANTES 26
3.4. DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES 31
3.5. PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS 40
3.6. RELAÇÕES DIFERENCIAIS ENTRE ESFORÇOS SOLICITANTES 46
3.7. TEOREMAS AUXILIARES PARA O TRAÇADO DE DIAGRAMAS
DE ESFORÇOS SOLICITANTES 48
3.8. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 64
4. ESTUDO ELEMENTAR DA RESISTÊNCIA 68
4.1. TRAÇÃO E COMPRESSÃO 68
4.2. CISALHAMENTO SIMPLES 72
4.3. FLEXÃO DE BARRAS COM SEÇÃO SIMÉTRICA 73
4.4. DEFORMAÇÃO POR FLEXÃO 79
4.5. FLAMBAGEM 88
4.6. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 95
5. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE SEÇÕES PLANAS 98
5.1. GENERALIDADES 98
5.2. DEFINIÇÕES 100
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CONTEÚDO PÁGINA
5.3. TABELAS DE CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE SEÇÕES
PLANAS 101
5.4. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 104
5.5. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 115
6. TEORIA DAS TRELIÇAS 117
6.1. GENERALIDADES 117
6.2. TIPOS DE TRELIÇAS 117
6.3. NOMENCLATURA UTILIZADA 121
6.4. CÁLCULO DE ESFORÇOS NAS BARRAS DE TRELIÇAS
ISOSTÁTICAS 122
6.5. DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS LINEARES 140
6.6. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 153
7. BIBLIOGRAFIA 165
iv
PREFÁCIO
O objetivo deste trabalho é condensar, em um texto único, os conceitos básicos,
sobre Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas, necessários ao curso de
Engenharia Florestal.
A necessidade, sobre o assunto, para o Engenheiro Florestal, é relativamente
pequena, limitando-se as estruturas isostáticas simples, como vigas, pilares e treliças
planas.
Desta forma, este trabalho não pretende esgotar o assunto, restringindo-se a estas
estruturas. Para melhor assimilação do assunto algumas demonstrações são simplificadas
pela omissão de alguns fenômenos, integrantes do problema em questão, sem, entretanto,
invalidar a teoria para o caso geral , outras não passam de mera mostra de cálculo.
1
l. RESUMO DE ALGUNS PRINCÍPIOS DA ESTÁTICA
Uma estrutura é uma obra estática, isto é, não deve sofrer deslocamentos, por este motivo,
introduzir-se-á neste capitulo alguns dos princípios da estática, tais como: sistema de
unidades, noções sobre forças e equilíbrio de um corpo rígido.
1.1. SISTEMA DE UNIDADES
Neste curso adotar-se-á o SISTEMA INTERNACIONAL (MKS), por ser o sistema de
unidades oficial, vigente no pais, as unidades básicas deste sistema são:
Para as UNIDADES DE COMPRIMENTO o sistema utiliza o METRO (m) seus múltiplos
e submúltiplos:
Metro (m)
Centímetro (cm)
Milímetro (mm)
Quilômetro (km)
Æ 1 cm = 10-2 m
Æ 1 mm = 10-3 m = 10-1 cm
Æ 1 km = 103 m = 105 cm = 106 mm
Para as UNIDADES DE MASSA o sistema utiliza o QUILOGRAMA (kg) seus múltiplos
e submúltiplos:
Quilograma (kg)
Grama (g)
Tonelada (ton.)
Æ 1 g = 10-3 kg
Æ 1 ton. = 103 kg = 106 g
Para as UNIDADES DE TEMPO o sistema utiliza o SEGUNDO (s) e seus múltiplos:
Segundo (s)
Minuto (min)
Hora (h)
Æ l min = 60 s
Æ 1 h = 60 min = 3600 s
A unidade de força, neste sistema, é obtida das anteriores. Sabendo-se que FORÇA É A
CAUSA DE UMA ACELERAÇÃO SOBRE UMA DETERMINADA MASSA (F = m.a),
a unidade de força é composta, produto de uma unidade de massa por uma unidade de
aceleração, resultando kg.m/s2 ao qual denomina-se NEWTON (N). Assim para
UNIDADES DE FORÇA o sistema utiliza o NEWTON (N) e seus múltiplos:
Newton (N)
Quilonewton (kN)
Meganewton (MN)
Æ 1 N = 1 kg.m/s2
Æ 1 kN = 103 N
Æ 1 MN = 103 kN = 106 N
2
1.2. NOÇÕES SOBRE FORÇAS
A força mais conhecida é o PESO (P), definido como sendo A CAUSA DA
ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE (g = 9,81 m/s2) SOBRE UMA DETERMINADA
MASSA (P = m . g), TEM SEMPRE A DIREÇÃO VERTICAL E O SENTIDO PARA
BAIXO.
Em estruturas, em geral, as forças atuantes são originárias de pesos, entretanto sua direção
pode ser diferente da vertical, conforme exemplo representado na figura 01.
FIG. 01 - Força atuante, em direção diferente da vertical , originária de um peso
O peso de um corpo é na realidade a soma dos pesos de todas as suas moléculas, na prática,
entretanto, não existe interesse em se conhecer o peso de uma molécula, pois é quase
impossível se determinar quantas moléculas existem no corpo. Um valor mais acessível é o
PESO ESPECÍFICO (\u3b3), definido como o PESO POR UNIDADE DE VOLUME (\u3b3 = P/V).
As unidades usuais do peso especifico são: N/m3 , N/cm3 , N/mm3 e etc..
Quando se estuda uma estrutura, as forças atuam distribuídas em uma certa área, assim
criou-se o conceito de PRESSÃO que é A FORÇA POR UNIDADE DE ÁREA (p = F/A),
ver figura 02. Um conceito semelhante é o de TENSÃO, que é a FORÇA (como reação
interna do material) POR UNIDADE DE ÁREA DA SEÇÃO TRANSVERSAL (\u3c3 = F/A),
ver figura 03. A unidade usual de pressão ou de tensão é o PASCAL (Pa) ou seu múltiplo o
MEGAPASCAL (MPa), definidos como:
Pascal (Pa)
Megapascal (MPa)
Æ 1 Pa = 1 N/m2
Æ 1 MPa = 106 Pa \u21d2 1 MPa = 106N/m2 = 1 N/mm2
FIG. 02 - Força por unidade de área (pressão)
3
FIG. 03 - Força por unidade de área da seção transversal (tensão)
Muitas vezes defronta-se com problemas onde uma das dimensões da área, onde se
distribui a força, é muito pequena em relação a outra. Nestes casos em vez de se usar o
conceito de pressão, é melhor, na prática, a utilização do conceito de CARGA
UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA que é a FORÇA POR UNIDADE DE
COMPRIMENTO (p = F/L), a figura 04 é um exemplo de carga uniformemente
distribuída. As unidades usuais para carga uniformemente distribuída são: N/m, N/cm,
N/mm e etc..
FIG. 04 - Força distribuída por unidade de comprimento (carga uniformemente distribuída)
Outra ocorrência comum, na prática, aparece quando a área, onde se distribui a força, tem
as duas dimensões muito pequenas, em relação as demais dimensões do problema, neste
caso costuma-se utilizar a força como CARGA CONCENTRADA em apenas um ponto, a
figura 05 é um exemplo deste tipo de carregamento. As unidades usuais para carga
concentrada são as mesmas utilizadas para forças, isto é: N, kN e etc..
FIG. 05 - Força aplicada em um ponto (carga concentrada)
1.3. DECOMPOSIÇÃO DE UMA FORÇA
Um sólido submetido a um sistema de forças, não em equilíbrio, sofre uma aceleração em
uma determinada direção e sentido. Uma força que cause uma aceleração de mesma
4
magnitude direção e sentido que este sistema de forças é conhecida como RESULTANTE
DAS FORÇAS deste sistema, e, é a soma vetorial das forças deste sistema.
Algumas vezes, em estruturas, é conhecida a resultante das forças, porém o problema é
mais facilmente resolvido ao se conhecer um sistema de forças de direções ortogonais
conhecidas e de mesma resultante. Neste caso pode-se decompor a força nas direções
ortogonais desejadas, bastando para isto multiplicar esta força pelo coseno do ângulo que
ela forma com cada uma destas direções, obtendo as COMPONENTES desta força nas
direções consideradas.
\u3b1cos.FFx =
( ) \u3b1\u3b1\u3b2 sen.90cos.cos. FFFFFF yoyy =\u21d2\u2212=\u21d2=
FIG. 06 - Decomposição da força F em Fx e Fy
Note na figura 06, que:
\u3b1\u3b1 cos.cos FF
F
F
x
x =\u21d2=
\u3b2\u3b2 cos.cos FF
F
F
y
y =\u21d2=
Note ainda, que a força F é a soma vetorial de Fx e Fy.
FIG. 07 - Soma vetorial de Fx e Fy resultando F
A titulo de exemplo, pode-se decompor o carregamento da estrutura representada