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2 - Exercícios de união por interferência - Jan 2015

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NM7510 – Elementos de Máquinas I 
Departamento de Engenharia Mecânica do Centro Universitário da FEI 
 
Alberto Vieira Jr., Djalma de Souza, Renato Marques e William Maluf 
Exercícios de união por interferência Jan/2015 
 
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NM7510 – Elementos de Máquinas I 
Departamento de Engenharia Mecânica do Centro Universitário da FEI 
 
Alberto Vieira Jr., Djalma de Souza, Renato Marques e William Maluf 
Exercícios de união por interferência Jan/2015 
 
1 
 
 
Sumário 
1 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ................................................................................... 2 
1.1 União por interferência e adaptação de forma – engrenagem/eixo .................... 2 
1.2 União por interferência – engrenagem/eixo ....................................................... 3 
1.3 União por interferência – junta universal (“cruzeta”) ........................................ 4 
1.4 União por interferência e adaptação de forma – flange ..................................... 5 
1.5 União por interferência e adaptação de forma – polia/engrenagem .................. 6 
2 RESPOSTAS PARCIAIS PELO MÉTODO ANALÍTICO ..................................... 7 
3 TABELAS COM AS RESPOSTAS PELO MÉTODO ANALÍTICO ..................... 8 
4 RESPOSTAS PELO MÉTODO NUMÉRICO ...................................................... 14 
5 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA .................................................................... 24 
 
 Essa lista de exercícios foi atualizada utilizando os resultados da iniciação didática (ID) 
realizada pelo aluno Bruno Pauletti Roquette (engenheiro mecânico formado pela Fei em 
Jul/2014) e orientada pelo prof. Dr. William Manjud Maluf Filho. 
 
 Referência para consulta: PRO-BID003/13; finalizada em Ago/2014 sob o título 
“Simulações numéricas aplicadas em elementos de máquinas”. 
 
 Em todos exercícios as dimensões estão fornecidas em mm e as figuras estão fora de 
escala. O critério de adoção nas tabelas de união por interferência deve ser utilizar 
valores intermediários quando existirem intervalos. Utilize a hipótese de “furo base” na 
solução dos exercícios. 
 
 Além das respostas analíticas parciais dos exercícios propostos, essa lista contém os 5 
exercícios resolvidos por simulação numérica baseada no método dos elementos finitos 
(MEF). 
 
NM7510 – Elementos de Máquinas I 
Departamento de Engenharia Mecânica do Centro Universitário da FEI 
 
Alberto Vieira Jr., Djalma de Souza, Renato Marques e William Maluf 
Exercícios de união por interferência Jan/2015 
 
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1 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1.1 União por interferência e adaptação de forma – engrenagem/eixo 
Determinar o máximo torque transmitido quando a engrenagem é montada no eixo. 
Adotar para engrenagem e eixo E=210GPa; σe=400MPa e υ=0,3. 
 
Considere que não existe transmissão de força axial nas duas situações descritas abaixo: 
a) União DIN 5463, choques fortes e carga II. 
b) Ajuste H8u7, montagem axial, Reixo=3μm; Rfuro=6μm; μ=0,1. 
 
NM7510 – Elementos de Máquinas I 
Departamento de Engenharia Mecânica do Centro Universitário da FEI 
 
Alberto Vieira Jr., Djalma de Souza, Renato Marques e William Maluf 
Exercícios de união por interferência Jan/2015 
 
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1.2 União por interferência – engrenagem/eixo 
A engrenagem de alumínio de qualidade IT=7; υ=0,39; σe=200MPa foi fixada à um eixo 
de aço classe de resistência 4.8, qualidade it=6; E=210GPa; υ= 0,32). A união é capaz de 
transmitir 26cv @ 600rpm em regime de carga II. 
 
Considere montagem radial e eixo maciço. Determine o ajuste necessário. 
 
NM7510 – Elementos de Máquinas I 
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Exercícios de união por interferência Jan/2015 
 
4 
 
 
1.3 União por interferência – junta universal (“cruzeta”) 
O conjunto do desenho abaixo corresponde a uma união tipo junta universal (cruzeta) 
para o acoplamento de dois eixos. O flange é composto de uma peça externa (item 1) de 
ferro fundido cinzento e de uma peça interna (item 2) de bronze. A montagem do flange 
no eixo de aço (item 3) é feita sob interferência com montagem axial. 
 
a) Pede-se para especificar o ajuste por interferência de forma que a união transmita 80hp 
@ 560rpm e uma força axial proveniente da cruzeta de 3,8kN. Determine também o fator 
de segurança quanto ao escoamento devido ao ajuste entre o item 1 da cruzeta e o eixo. 
 
b) Especifique também o ajuste e os fatores de segurança se houvesse uma força axial de 
12,8 kN (ao invés de 3,8 kN) e a união transmitisse 30hp @ 700rpm. 
 
Cruzeta - Item 1 – retificada com esmeril fino, IT7, σe=200MPa; υ = 0,25. 
 
Eixo – torneado com R=5μm, it6, σe= 200MPa; υ = 0,32. As dimensões estão fornecidas 
no desenho disposto na página seguinte. 
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Exercícios de união por interferência Jan/2015 
 
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1.4 União por interferência e adaptação de forma – flange 
O conjunto do desenho apresentado à seguir corresponde a uma união flangeada para o acoplamento de 
dois eixos. O flange é composto por dois itens sendo o item 2 de FºFº e o item 1 de aço ABNT 1020. A 
montagem do flange é feita sob interferência com montagem radial utilizando o ajuste H7t6. Na parte 
interna do item 1 foram usinados entalhes de acordo com a DIN 5462. Determinar a máxima potência 
transmissível pela junta admitindo n=760rpm. Calcule também o fator de segurança quanto ao escoamento 
dos itens 1 e 2. Adote choques fortes, carga tipo III e montagem sem lubrificação (seco). Item 1 – torneado 
com R = 5μm, it6, σe=200MPa; υ=0,3. Item 2 – retificado com esmeril fino, IT7, σe=200MPa; υ =0,2. 
 
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Exercícios de união por interferência Jan/2015 
 
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1.5 União por interferência e adaptação de forma – polia/engrenagem 
O conjunto da figura abaixo corresponde a um eixo de transmissão de aço onde devem ser fixados 
uma polia de aço e um pinhão de ferro fundido UNS F36200. O pinhão é fixado ao eixo por um 
ajuste H7t6 radial enquanto que a polia é fixada mediante entalhes DIN 5481. Determine os 
comprimentos L1 e L2 normalizados (segundo a DIN3) para a transmissão de uma potência 
máxima de 40 cv @ 240 rpm. 
 
 
Interferência: 
- Ajuste H7t6 radial; 
- Reixo=20m; Rfuro=15m. 
- Pinhão: FOFO maleável FoFo=0,25 
- Considere cubo “maciço”, aço=0,3 
 
Ranhuras: 
- Usinadas DIN 5481 
 - Choques fortes 
- Carga III 
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Exercícios de união por interferência Jan/2015 
 
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2 RESPOSTAS PARCIAIS PELO MÉTODO ANALÍTICO 
 
Exercício 1: a) TDIN5463=1620 Nm e b) TH8u7=467 Nm 
Respostas parciais: a) eixo com d=42mm (página 8-2) d1=42 mm d2=48 mm z=8 entalhes b=8 
mm. r=22,5mm h=3 mm. Padm=80MPa. b) amax=95x10-6m, amin=70x10-6m, Amax=39x10-6m, Amin=0, 
Imax=9,5x10-5m, Imin=3,1x10-5m, 
I
10,8x10-6m, Zmax=84,2x10-6m, Zmin=20,2x10-6m, Qi=0,357; 
Qe=0,512; Ki=4,72x10-12m2/N; Ke=9,57x10-12m2/N;=0,1; Pmin=33,7MPa. 
--------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 2: Ajuste H7t6 
Respostas parciais: amax=amin+16x10-6m, amin=?, Amax=25x10-6m, Amin=0, Imax= Zmax= amin+0,016; 
Imin= Zmin= amin-0,025; 
I
0; =0,055; T=304,145Nm; Pmin=23,5MPa então o ajuste proposto 
transmite os esforços sem escorregamento. Qi= Qe=0; Ki=3,238x10-6mm2/N; EAl=70GPa; 
Ke=1,986x10-5mm2/N; amin deve ser superior a 52x10-6m. Então adota-se eixo t6 (amax= 70x10-6m 
e amin= 54x10-6m) Pmax=60,6MPa, Cseixo=5,3; CsFURO=3,3 então o ajuste proposto transmite os 
esforços sem danificar o eixo ou o cubo (coeficiente de segurança maiores que 1). 
--------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 3: 
Faxial=3,8 kN, P: 80 hp @ 560 rpm: Ajuste H7v6, ncubo=1,8 e neixo=2,2. 
Faxial=12,8 kN, P: 30 hp @ 700 rpm: Ajuste H7u6, ncubo=2,1 e neixo=2,6. 
 
 
Respostas parciais para Faxial=3,8 kN, P: 80 hp @ 560 rpm: T=1016,3Nm, Qi= 0,556; Qe=0,634; 
Eaço=205GPa; EFoFo=90GPa; =0,095, Pmin=28,5MPa; Pmax=48,5MPa, Cseixo=2,2; CsFURO=1,8 
 
Respostas parciais para Faxial=12,8 kN, P: 30 hp @ 700 rpm: T=305Nm, Qi= 0,556; Qe=0,634; 
Eaço=205GPa; EFoFo=90GPa; =0,095, Pmin=18MPa; Pmax=41MPa, Cseixo=2,6; CsFURO=2,1 
--------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 4: P=102 cv (transmitida por interferência), ncubo=2,5 e neixo=4,7 
 
Respostas parciais para DIN5462: d1=72mm; L=38mm; r=37,5mm; h=3mm; padm=35N/mm2; 
Fesm=3990N; T=1122Nm; P=121,5cv. Interferência, Qi= 0,65 (78/120); Qe=0,8 (120/150); 
Eaço=205GPa; EFoFo=95GPa;=0,115, Pmin=9,5MPa; Pmax=17,4MPa, Cseixo=4,7; CsFURO=2,5 
T=940Nm; P=102cv. 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 5: L1 = 16 mm ; L2 = 78 mm 
 
Respostas parciais para DIN5481: Para d=56mm d1=55mm , d3=60mm, d5 = 57,4mm e z= 41 
entalhes; Padm= 35 MPa;T=1169,8 Nm; Fesm=1325,5N; L1=15,14mm. Normalizando pela Din3: 
16mm. 
Interferência, Qi= 0; Qe=0; Eaço=205GPa; EFoFo=95GPa;=0,115, Pmin=36,46MPa; L1=77,09mm. 
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Exercícios de união por interferência Jan/2015 
 
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3 TABELAS COM AS RESPOSTAS PELO MÉTODO ANALÍTICO 
1a) Cálculo da união por adaptação de forma 
T 1.620.000 N.mm
Z 8 - r 22,5 mm
Ø1 42 mm h 3 mm
Ø2 48 mm p 80 MPa
Ø3 mm Fc 12.000 N
Ø5 mm
b 8 mm
L 50 mm
padm 80 MPa
Tipo de entalhe
Valores de entrada Valores "calculados"
DIN 5462/63/71/72
 
1b) Cálculo da união por interferência 
Grandeza Valor Unid. Grandeza Valor Unid. Grandeza Valor Unid.
σe 400,0 MPa σe 400,0 MPa Imáx 95 μm
C.S. 2,21 - C.S. 1,67 - Imín 31 μm
E 210.000 MPa E 210.000 MPa ΔI 10,8 μm
Poisson 0,3 - Poisson 0,3 - Zmáx 84,2 μm
Ri 3 μm Re 6 μm Zmín 20,2 μm
Ømáx 42,095 mm Ømáx 42,039 mm Pmín 33,6 MPa
Ømín 42,07 mm Ømín 42 mm Pmáx 140,2 MPa
Tol. 25 μm Tol 39 μm μ (atrito) 0,1 -
Øi 15 mm Øi 42 mm l 50 mm
Øe 42 mm Øe 82 mm Faxial 0 N
Qi 3,571E-01 - Qe 5,122E-01 - Torque 465.843 N.mm
Ki 4,726E-06 Ke 9,578E-06
σt f(pmáx) -181,1 MPa σt f(pmáx) 239,9 MPa
σr f(pmáx) -140,2 MPa σr f(pmáx) -140,2 MPa
181,1 181,2 239,9 OK
22.183,1 22.183,0
Para não haver escorregamento
OK
Eixo Furo Montagem
Peça interna
Para não haver 
escorregamento
Peça externa
OK 239,9
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2) Cálculo da união por interferência 
Grandeza Valor Unid. Grandeza Valor Unid. Grandeza Valor Unid.
σe 320,0 MPa σe 200,0 MPa Imáx 70 μm
C.S. 5,28 - C.S. 3,30 - Imín 29 μm
E 210.000 MPa E 70.000 MPa ΔI 0 μm
Poisson 0,32 - Poisson 0,39 - Zmáx 70 μm
Ri 0 μm Re 0 μm Zmín 29 μm
Ømáx 50,07 mm Ømáx 50,025 mm Pmín 25,1 MPa
Ømín 50,054 mm Ømín 50 mm Pmáx 60,6 MPa
Tol. 16 μm Tol 25 μm μ (atrito) 0,055 -
Øi 0 mm Øi 50 mm l 60 mm
Øe 50 mm Øe 9999 mm Faxial 0 N
Qi 0,000E+00 - Qe 5,001E-03 - Torque 304.145 N.mm
Ki 3,238E-06 Ke 1,986E-05
σt f(pmáx) -60,6 MPa σt f(pmáx) 60,6 MPa
σr f(pmáx) -60,6 MPa σr f(pmáx) -60,6 MPa
60,6 60,6 OK 13.017,1 12.165,8
60,6 60,6 OK
Peça externa
OK
Eixo Furo Montagem
Para não haver escoamento Para não haver escorregamento
Peça interna
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Aqui é importante observar o valor do diâmetro utilizado em nossos cálculos. 
Colocamos um valor muito alto para que o valor de Qe tendesse a 0 (zero) como se é 
calculado manualmente. Como nós estamos utilizando uma planilha eletrônica para 
cálculo direto dos valores, o software não aceitaria divisão por 0 (zero) e então utilizamos 
dessa estratégia. Note que a diferença entre utilizar Qe = 0 e Qe = 0,005 é desprezível. 
Os afastamentos calculados correspondem a união: H7t6 
 
 
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3a) Cálculo da união por interferência 
Grandeza Valor Unid. Grandeza Valor Unid. Grandeza Valor Unid.
σe 200,0 MPa σe 200,0 MPa Imáx 168 μm
C.S. 2,22 - C.S. 1,79 - Imín 111 μm
E 205.000 MPa E 90.000 MPa ΔI 11,4 μm
Poisson 0,32 - Poisson 0,25 - Zmáx 156,6 μm
Ri 5 μm Re 4,5 μm Zmín 99,6 μm
Ømáx 90,168 mm Ømáx 90,035 mm Pmín 30,3 MPa
Ømín 90,146 mm Ømín 90 mm Pmáx 47,7 MPa
Tol. 22 μm Tol 35 μm μ (atrito) 0,095 -
Øi 50 mm Øi 90 mm l 30 mm
Øe 90 mm Øe 142 mm Faxial 3.800 N
Qi 5,556E-01 - Qe 6,338E-01 - Torque 1.016.300 N.mm
Ki 7,672E-06 Ke 2,881E-05
σt f(pmáx) -90,3 MPa σt f(pmáx) 111,7 MPa
σr f(pmáx) -47,7 MPa σr f(pmáx) -47,7 MPa
90,3 90,3 OK 24.443,6 22.901,9
111,7 111,7 OK
Eixo Furo Montagem
Para não haver escoamento Para não haver escorregamento
Peça externa
OK
Peça interna
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os afastamentos calculados correspondem a união: H7v6 
 
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3b) Cálculo da união por interferência 
Grandeza Valor Unid. Grandeza Valor Unid. Grandeza Valor Unid.
σe 200,0 MPa σe 200,0 MPa Imáx 146 μm
C.S. 2,58 - C.S. 2,08 - Imín 89 μm
E 205.000 MPa E 90.000 MPa ΔI 11,4 μm
Poisson 0,32 - Poisson 0,25 - Zmáx 134,6 μm
Ri 5 μm Re 4,5 μm Zmín 77,6 μm
Ømáx 90,146 mm Ømáx 90,035 mm Pmín 23,6 MPa
Ømín 90,124 mm Ømín 90 mm Pmáx 41,0 MPa
Tol. 22 μm Tol 35 μm μ (atrito) 0,095 -
Øi 50 mm Øi 90 mm l 30 mm
Øe 90 mm Øe 142 mm Faxial 12.800 N
Qi 5,556E-01 - Qe 6,338E-01 - Torque 305.000 N.mm
Ki 7,672E-06 Ke 2,881E-05
σt f(pmáx) -77,6 MPa σt f(pmáx) 96,0 MPa
σr f(pmáx) -41,0 MPa σr f(pmáx) -41,0 MPa
77,6 77,6 OK 19.044,4 14.483,7
96,0 96,0 OK
Eixo Furo Montagem
Para não haver escoamento Para não haver escorregamento
Peça externa
OK
Peça interna
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os afastamentos calculados correspondem a união: H7u6 
 
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4) Cálculo da união por interferência 
Grandeza Valor Unid. Grandeza Valor Unid. Grandeza Valor Unid.
σe 200,0 MPa σe 200,0 MPa Imáx 126 μm
C.S. 4,69 - C.S. 2,53 - Imín 69 μm
E 205.000 MPa E 95.000 MPa ΔI 0 μm
Poisson 0,3 - Poisson 0,2 - Zmáx 126 μm
Ri 0 μm Re 0 μm Zmín 69 μm
Ømáx 120,126 mm Ømáx 120,035 mm Pmín 9,5 MPa
Ømín 120,104 mm Ømín 120 mm Pmáx 17,3 MPa
Tol. 22 μm Tol 35 μm μ (atrito) 0,115 -
Øi 78 mm Øi 120 mm l 38 mm
Øe 120 mm Øe 150 mm Faxial 0 N
Qi 6,500E-01 - Qe 8,000E-01 - Torque 937.739 N.mm
Ki 1,055E-05 Ke 5,006E-05
σt f(pmáx) -42,7 MPa σt f(pmáx) 78,9 MPa n 760,0 rpm
σr f(pmáx) -17,3 MPa σr f(pmáx) -17,3 MPa P 101,5 cv
42,7 42,7 OK 15.629,0 15.629,0
78,9 78,9 OK
Peça externa
OK
Peça interna
Eixo Furo Montagem
Para não haver escoamento Para não haver escorregamento
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo da união por adaptação de forma 
T 1.122.188 N.mm
Z 10 - r 37,5 mm
Ø1 72 mm h 3 mm
Ø2 78 mm p 35 MPa
Ø3 mm Fc 3990 N
Ø5 mm P 121,4 cv
b 12 mm
L 38 mm
padm 35 MPa
n 760 rpm
Tipo de entalhe
Valores de entrada Valores "calculados"
DIN 5462/63/71/72
 
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13 
 
 
Como a potência transmitida por interferência é menor, ela é quem limita a transmissão 
de potência e os valores finais são os da sua planilha (interferência). 
5) Cálculo da união por interferência 
Grandeza Valor Unid. Grandeza Valor Unid. Grandeza Valor Unid.
σe 200,0 MPa σe 200,0 MPa Imáx 70 μm
C.S. 1,00 - C.S. 1,00 - Imín 29 μm
E 205.000 MPa E 95.000 MPa ΔI 0 μm
Poisson 0,3 - Poisson 0,25 - Zmáx 70 μm
Ri 0 μm Re 0 μm Zmín 29 μm
Ømáx 48,07 mm Ømáx 48,025 mm Pmín 36,5 MPa
Ømín 48,054 mm Ømín 48 mm Pmáx 88,0 MPa
Tol. 16 μm Tol 25 μm μ (atrito) 0,115 -
Øi 0 mm Øi 48 mm l calculado 77,15 mm
Øe 48 mm Øe 9999 mm l normal. 78 mm
Qi 0,000E+00 - Qe 4,800E-03 - Faxial 0 N
Ki 3,415E-06 Ke 1,316E-05 Torque 1.170.569 N.mm
σt f(pmáx) -88,0 MPa σt f(pmáx) 88,0 MPa n 4 rps
σr f(pmáx) -88,0 MPa σr f(pmáx) -88,0 MPa P 40 cv
88,0 200,0 OK 48.773,7 48.773,7
88,0 200,0 OK
Eixo Furo Montagem
Para não haver escoamento Para não haver escorregamento
Peça externa
OK
Peça interna
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo da união por adaptação de forma 
T 1.170.586 N.mm
Z 41 - r 28,7 mm
Ø1 55 mm h 2,5 mm
Ø2 mm p 35 MPa
Ø3 60 mm Fc 1326,4 N
Ø5 57,4 mm P 40,0 cv
b 12 mm Lnorm. 16 mm
L 15,2 mm
padm 35 MPa
n 240 rpm
Tipo de entalhe
Valores de entrada Valores "calculados"
DIN 5481
 
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4 RESPOSTAS PELO MÉTODO NUMÉRICO 
Antes de se iniciar a demonstração das tensões obtidas por simulação numérica, mais 
precisamente pelo Método dos Elementos Finitos, é importante observar que em muitos 
casos, realizou-se uma simplificação da geometria das peças envolvidas nas análises a 
fim de facilitar seu estudo. Nesses casos, o estudante não encontrará uma geometria 
idêntica à apresentada nos desenhos dos modelos. 
Mostraremos aqui somente os valores das tensões tangenciais máximas, as mesmas 
que foram calculadas nos problemas de forma analítica. É importante observar que a 
convergência dos resultados nem sempre será alcançada por questões conhecidas, as quais 
serão tratadas com maiores detalhes em cada caso. Um dos motivos pelas quais isso 
ocorre é porque todos os ajustes foram simulados de maneira que a rugosidade das peças 
fosse igual à zero, o que para efeito de cálculo de tensões, é a mesma coisa que considerar 
que o ajuste realizado foi radial. Para os problemas que solicitam montagem axial, isto 
será um dos fatores que fará não haver convergência entre valores calculados 
analiticamente e numericamente. 
 
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1a) Não abordado por simulação numérica 
 
1b) Tensões no eixo 
As tensões tangenciais calculadas para o eixo abaixo foram realizadas sem que houvesse 
consideração da rugosidade das peças como já descrito anteriormente, veja a figura 1 
abaixo com os valores encontrados em cada um dos nós selecionados. 
 
 
Figura 1 - Exercício 1b – eixo 
Nó Valor (MPa) Considerações referentes ao calculo da σ tangencial 
611835 -197,7 Analítico considerando rugosidade das peças -181,1 MPa 
542849 -200,2 Analítico não considerando rugosidade das peças -204,4 MPa 
543818 -201,0 Simulação numérica não considerando rugosidade das 
peças 
-203,7 MPa 
541452 -203,0 
539421 -203,1 Considerações 
543132 -203,7 Diferença encontrada entre método numérico e analítico: 
∆𝑛|𝑎= (
| 03,7 04,4|
 04,4
) 00 = 0,3% 
Diferença entre considerar ou não a rugosidade (analítico): 
 
∆𝑟𝑢𝑔 | 𝑠 𝑟𝑢𝑔= | 04,4 8 , | = 3,3 𝑀 
475870 -204,1 
540758 -205,6 
546017 -206,9 
541422 -211,2 
Média -203,7 
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1b) Tensões no cubo 
As tensões aqui também seguem o mesmo esquema já descrito para o eixo. Veja figura 
2 abaixo para verificar os valores das tensões. 
 
Figura 2 - Exercício 1b – cubo 
 
Nó Valor (MPa) Considerações referentes ao calculo da σ tangencial 
68843 267,4 Analítico considerando rugosidade das peças 239,9 MPa 
242514 267,6 Analítico não considerando rugosidade das peças 270,6 MPa 
67175 269,0 Simulação numérica não considerando rugosidade das 
peças 
272,4 MPa 
3304 272,1 
3359 272,8 Considerações 
68107 273,1 Diferença encontrada entre método numérico e analítico: 
∆𝑛|𝑎= (
| 7 ,4 70,6|
 70,6
) 00 = 0,7% 
Diferença entre considerar ou não a rugosidade (analítico): 
 
∆𝑟𝑢𝑔 | 𝑠 𝑟𝑢𝑔= | 70,6 39,9| = 3,3 𝑀 
64334 273,8 
68951 274,1 
71357 276,0 
71097 277,8 
Média 272,4 
 
Considerações gerais: Poder-se-ia coletar todos os valores de todos os elementos da 
malha criada e calcular sua média, porém nós só realizamos a análise de 10 nós onde os 
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mesmos foram escolhidos de forma organizada, longe das extremidades das peças. 
Realizamos tal método devido às variações encontradas nas regiões próximas as 
extremidades onde ocorrem concentrações de tensões1 e seus valores seriam muito 
divergentes do valor médio calculado. Adotaremos esta mesma estratégia para todos os 
demais exercícios que seguem.2b) Tensões no eixo 
 
 
Figura 3 - Exercício 2 – eixo 
 
Nó Valor (MPa) Considerações referentes ao calculo da σ tangencial 
2167 -58,2 Analítico -60,6 MPa 
2609 -55,1 Simulação numérica -56,7 MPa 
Média -56,7 Considerações 
 
Diferença encontrada entre método numérico e analítico: 
∆𝑛|𝑎= (
|60,6 56,7|
60,6
) 00 = 6,4% 
 
 
1 Ver W. D. Pilkey. Peterson’s Stress Concentration Factors; 2ª ed. Nova York: John Wiley & Sons, 1997 
pág. 385 - 387 
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2b) Tensões no cubo 
 
 
Figura 4 - Exercício 2 – cubo 
 
Nó Valor (MPa) Considerações referentes ao calculo da σ tangencial 
157314 65,8 Analítico -60,6 MPa 
 
Simulação numérica -65,8 MPa 
Considerações 
Diferença encontrada entre método numérico e analítico: 
∆𝑛|𝑎= (
|65,8 60,6|
60,6
) 00 = 8,6 % 
 
 
Considerações gerais: Neste exercício não se realizou a coleta do valor da tensão em 
vários pontos como no exercício anterior nem argumentaremos tanto nas considerações, 
pois o objetivo aqui não é detalharmos metodologias de análise pelo método dos 
elementos finitos, muito menos, validarmos a solução analítica. Sendo assim, o primeiro 
exercício foi elaborado com maior refinamento para mostrar somente o potencial que é a 
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utilização da técnica ao aluno. Neste e nos exercícios posteriores, seguiremos com esta 
mesma abordagem. 
 
3a) Tensões no eixo e no cubo 
 
Figura 5 - Exercício 3a - eixo e cubo 
 
Eixo 
Nó Valor (MPa) 
 
Considerações referentes ao calculo da σ tangencial 
272 -90,8 Analítico 90,3 MPa 
263 -90,1 Numérico 90,5 MPa 
Média 90,5 
 
 
Cubo 
Nó Valor (MPa) 
 
Considerações referentes ao calculo da σ tangencial 
20096 114,6 Analítico 111,7 MPa 
19746 113,0 Numérico 113,8 MPa 
Média 113,8 
 
 
 
3b) Não abordado – similar ao 3a 
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4) Tensões no eixo e no cubo 
 
Figura 6 - Exercício 4 - eixo e cubo 
 
Eixo 
Nó Valor (MPa) 
 
Considerações referentes ao calculo da σ tangencial 
5231 -38,8 Analítico -37,8 MPa 
5177 -40,6 Numérico -39,7 MPa 
Média -39,7 
 
 
Cubo 
Nó Valor (MPa) 
 
Considerações referentes ao calculo da σ tangencial 
7383 78,8 Analítico 81,1 MPa 
7331 78,9 Numérico 78,8 MPa 
Média 78,8 
 
 
 
Considerações gerais: Para facilitar o entendimento das tensões presentes nas peças, 
elaboramos um desenho auxiliar (figura 7) que mostra a montagem em corte com a 
mesma distribuição de tensões mostrada acima, porém aqui sendo possível analisar o 
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comportamento em conjunto e evidenciando também concentração de tensão existente 
nas extremidades das peças a título de curiosidade. 
 
Figura 7 - Exercício 4 - Comportamento das tensões no conjunto 
 
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5) Tensões no eixo e no cubo 
 
Figura 8 - Exercício 5 - eixo e cubo 
Eixo 
Nó Valor (MPa) 
 
Considerações referentes ao calculo da σ tangencial 
207 -88,4 Analítico -88,0 MPa 
1643 -92,1 Numérico -90,3 MPa 
Média -90,3 
Cubo 
Nó Valor (MPa) 
 
Considerações referentes ao calculo da σ tangencial 
15528 91 Analítico 88,0 MPa 
15350 88,7 Numérico 90,3 MPa 
15493 90,6 
 15516 90,7 
Média 90,3 
 
Considerações gerais: Para facilitar o entendimento das tensões presentes nas peças, 
elaboramos um desenho auxiliar (figura 9) que mostra a montagem em corte com a 
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mesma distribuição de tensões mostrada acima, porém aqui sendo possível analisar o 
comportamento em conjunto e evidenciando também concentração de tensão existente 
nas extremidades das peças a título de curiosidade. 
 
 
Figura 9 – Exercício 5 – comportamento das tensões no conjunto 
 
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5 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA 
BUDINAS, R. G.; NISBETT, J. K. Elementos de máquinas de Shigley. 8ª. ed. Porto 
Alegre: Mc Graw Hill, 2011. 
NORTON, R. L. Projeto de máquinas: Uma abordagem integrada. 2ª. ed. São Paulo: 
Artmed, 2000. 
PILKEY, W. D. Peterson’s Stress Concentration Factors; 2ª ed. Nova York: John 
Wiley & Sons, 1997. 
CHAPRA, Steve C.; CANALE Raymond P. Métodos numéricos para Engenharia. 5. 
ed. São Paulo: Mc Graw Hill, 2008. 
 
AGOSTINHO, O. L.; RODRIGUES, A. S.; LIRANI, J. Tolerâncias, ajustes, desvios e 
análise de dimensões. São Paulo: Edgard Blucher, 1977. 
 
DEUTSCHES INSTITUT FÜR NORMUNG. DIN7190 - Pressverbände - 
Berechnungsgrundlagen und Gestaltungsregeln2. 2001 
 
 
2 (Uniões por interferência – Princípios de cálculo e regras de projeto – tradução do autor)

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