Exercicios Resolvidos-flambagem

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CE2 - Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo 
Setembro/2014 Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Junior 
 
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CE2 – ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II 
LISTA DE EXERCÍCIOS - FLAMBAGEM 
 
 
 
FONTE: HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2010. 
 
SOLUÇÃO 13.3 
 
ÁREA 
 
𝐴 = 4 ∗ (10 ∗ 25) + 10 ∗ 10 = 1100 𝑚𝑚² 
 
 
MOMENTOS DE INÉRCIA 
 
𝐼 = ∫ 𝑟2𝑑𝐴
𝐴
 
 
𝑟 distância entre cento de gravidade do diferencial da área e eixo de referência 
 
𝐼𝑥 = ∫ 𝑦
2𝑑𝐴
𝐴
 
 
𝐼𝑦 = ∫ 𝑥
2𝑑𝐴
𝐴
 
 
 
 
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Os momentos de inércia em x e em y são iguais já que seção x-x é igual seção y-y 
 
𝐼𝑥 = 𝐼𝑦 
 
𝑑𝐴 = 10 ∗ 𝑑𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 + 5,0 𝑚𝑚 𝑒 + 30,0 𝑚𝑚 𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 − 30,0 𝑚𝑚 𝑒 − 5,0 𝑚𝑚 
 
𝑑𝐴 = 60 ∗ 𝑑𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 − 5,0 𝑚𝑚 𝑒 + 5,0 𝑚𝑚 
 
 
𝐼𝑥 = ∫ 𝑦
2𝑑𝐴
𝐴
= 2 ∗ ∫ 𝑦2(10 ∗ 𝑑𝑦)
+30
+5
+ ∫ 𝑦2(60 ∗ 𝑑𝑦)
+5
−5
 
 
𝐼𝑥 = 2 ∗ 10 ∗
𝑦3
3
|
+5
+30
+ 60 ∗
𝑦3
3
|
−5
+5
= 20 ∗ (
303
3
−
53
3
) + 60 ∗ (
53
3
−
(−5)3
3
) = 184167 𝑚𝑚4 
 
 
RAIO DE GIRAÇÃO 
 
𝑟𝑥 = √
𝐼𝑥
𝐴
= √
184167
1100
= 12,94 𝑚𝑚 
 
 
COMPRIMENTO EFETIVO 
 
𝐾𝑥 = 1,0 (𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜: "𝑝𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑚 𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠") 
 
𝐿𝑒,𝑥 = 𝐾𝑥 ∗ 𝐿𝑥 = 1,0 ∗ 4,0 = 4,0 𝑚 
 
ÍNDICE DE ESBELTEZ 
 
𝜆𝑥 =
𝐿𝑒,𝑥
𝑟𝑥
=
4000
12,94
= 309,12 
 
RIGIDEZ FLEXIONAL EM x 
 
𝐸𝐼𝑥 = (200000 ∗ 10
3 𝑘𝑁/𝑚²) ∗ (184167 ∗ 10−12 𝑚4) = 36,83 𝑘𝑁𝑚² 
 
 
CARGA CRÍTICA 
 
𝑃𝑐𝑟,𝑥 =
𝜋2 ∗ 𝐸𝐼𝑥
𝐿𝑒,𝑥²
=
𝜋2 ∗ 36,83
4,0²
= 22,72 𝑘𝑁 
 
CARGA LIMITE DE ESCOAMENTO 
 
Aço A-36: 𝜎𝑒 = 250 𝑀𝑃𝑎 
 
𝑃𝑒 = 𝜎𝑒 ∗ 𝐴 = (250000 𝑘𝑁/𝑚²) ∗ (1100 ∗ 10
−6 𝑚2) = 275 𝑘𝑁 
 
𝑃𝑐𝑟,𝑥 = 22,72 𝑘𝑁 < 𝑃𝑒 = 275 𝑘𝑁 
 
Portanto a coluna sofrerá flambagem antes do escoamento (validando a fórmula de Euler para regime 
elástico), assim sua carga de trabalho máxima é 22,75 kN. Com cargas de trabalho superiores a 22,75 
kN, a coluna se torna instável devido à flambagem. 
 
 
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SOLUÇÃO 13.4 
 
Dados do exercício 13.3: 
 
𝐴 = 1100 𝑚𝑚² 
 
𝐼𝑥 = 184167 𝑚𝑚
4 
 
𝑟𝑥 = 12,94 𝑚𝑚 
 
𝐸𝐼𝑥 = 36,83 𝑘𝑁𝑚² 
 
 
COMPRIMENTO EFETIVO 
 
𝐾𝑥 = 0,7 (𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜: "𝑒𝑛𝑔𝑎𝑠𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎 𝑛𝑜 𝑡𝑜𝑝𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑖𝑛𝑜𝑠") 
 
𝐿𝑒,𝑥 = 𝐾𝑥 ∗ 𝐿𝑥 = 0,7 ∗ 4,0 = 2,80 𝑚 
 
 
ÍNDICE DE ESBELTEZ 
 
𝜆𝑥 =
𝐿𝑒,𝑥
𝑟𝑥
=
2800
12,94
= 216,38 
 
 
CARGA CRÍTICA 
 
𝑃𝑐𝑟 =
𝜋2 ∗ 𝐸𝐼𝑥
𝐿𝑒,𝑥²
=
𝜋2 ∗ 36,83
2,8²
= 46,37 𝑘𝑁 
 
 
O engastamento da base aumentou em 104,09% o valor da carga crítica (
46,37
22,72
− 1 = 1,0409), ou seja, 
praticamente dobrou a capacidade da coluna. 
 
O aumento pode ser calculado diretamente com o resultado obtido no Exercício 13.3, já que a única 
alteração na Fórmula da Carga Crítica ocorreu em 𝐾𝑥, que alterou de 1,0 para 0,7. 
 
𝑃𝑐𝑟,𝑥 =
22,72
0,7²
= 46,37 𝑘𝑁 
 
1
𝐾𝑥
2 − 1 =
1
0,72
− 1 = 104,09 % 
 
 
CARGA LIMITE DE ESCOAMENTO 
 
Aço A-36: 𝜎𝑒 = 250 𝑀𝑃𝑎 
 
𝑃𝑒 = 𝜎𝑒 ∗ 𝐴 = (250000 𝑘𝑁/𝑚²) ∗ (1100 ∗ 10
−6 𝑚2) = 275 𝑘𝑁 
 
𝑃𝑐𝑟,𝑥 = 46,37 𝑘𝑁 < 𝑃𝑒 = 275 𝑘𝑁 
 
Portanto a coluna sofrerá flambagem antes do escoamento (validando a fórmula de Euler para regime 
elástico), assim sua carga de trabalho máxima é 46,37 kN. Com cargas de trabalho superiores a 46,37 
kN, a coluna se torna instável devido à flambagem. 
 
 
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FONTE: HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2010. 
 
SOLUÇÃO 13.5 
 
ÁREA 
 
𝐴 = 𝑎² 
 
MOMENTO DE INÉRCIA 
 
𝐼 =
𝑎4
12
 
 
RAIO DE GIRAÇÃO 
 
𝑟 = √
𝐼
𝐴
=
√
𝑎4
12
𝑎²
=
𝑎
√12
 
 
 
TENSÃO DE ESCOAMENTO 
 
𝜎𝑒 = 𝜖𝑒 ∗ 𝐸 = 0,001 ∗ 9000 𝑀𝑃𝑎 = 9 𝑀𝑃𝑎 
 
 
Para determinar o menor valor de 𝑎 de modo que a barra não falhe por flambagem, a tensão crítica de 
flambagem deve ser igualada à tensão de escoamento, pois desta forma a estrutura irá falhar por 
resistência. 
 
TENSÃO CRÍTICA DE FLAMBAGEM 
 
𝜎𝑐𝑟 =
𝜋2 ∗ 𝐸
(
𝐾𝐿
𝑟 ) ²
 
 
MENOR DIMENSÃO DE 𝑎 
 
9000 =
𝜋2 ∗ 9000000
(
1,0 ∗ 1,25
𝑎
√12
) ²
 
 
𝑎 = ± 4,359 ∗ 10−2𝑚 
 
A solução negativa da equação de segundo grau não tem significado físico. Portanto a menor seção 
da barra para que a estrutura não falhe por flambagem, e sim, por resistência é 43,59 x 43,59 mm². 
 
 
 
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FONTE: HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2010. 
 
SOLUÇÃO 13.6 
 
 
MOMENTO DE INÉRCIA 
 
𝐼 =
𝜋 ∗ 𝑑4
64
 
 
 
CARGA CRÍTICA 
 
𝑃𝑐𝑟 =
𝜋2 ∗ 𝐸𝐼
𝐿𝑒²
 
 
 
DIÂMETRO NECESSÁRIO 
 
25 =
𝜋2 ∗ 200 ∗ (
𝜋 ∗ 𝑑4
64 )
(1,0 ∗ 500)2
 
 
𝑑 = √64503
4
= 15,937 𝑚𝑚 = 16 𝑚𝑚 (𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 1 𝑚𝑚) 
 
TENSÃO DE TRABALHO MÁXIMA 
 
𝜎 =
𝑃
𝐴
=
25
𝜋 ∗ (16 ∗ 10−3)²
4
= 124340 𝑘𝑁/𝑚² 
 
 
𝜎𝑐𝑟 = 124,34 𝑀𝑃𝑎 < 𝜎𝑒 = 250 𝑀𝑃𝑎 
 
 
A tensão a qual a haste irá flambar é inferior a tensão de escoamento do aço A-36 (𝜎𝑒 = 250 𝑀𝑃𝑎), 
portanto a flambagem ocorre no regime elástico e a fórmula de Euler é válida. 
 
 
 
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SOLUÇÃO 13.7 
 
ÁREA 
 
𝐴 =
𝜋 ∗ 𝑑2
4
=
𝜋 ∗ 252
4
= 490,87 𝑚𝑚² 
 
 
MOMENTO DE INÉRCIA 
 
𝐼 =
𝜋 ∗ 𝑑4
64
=
𝜋 ∗ 254
64
= 19175 𝑚𝑚4 
 
 
RAIO DE GIRAÇÃO 
 
𝑟 = √
𝐼
𝐴
= √
19175
490,87
= 6,25 𝑚𝑚 
 
 
O raio de giração de seções circulares pode ser calculado de forma mais direta, dividindo o diâmetro 
por 4. 
 
𝑟 = √
𝐼
𝐴
= √
𝜋 ∗ 𝑑4
64
𝜋 ∗ 𝑑2
4
=
𝑑
4
 
 
𝑟 =
𝑑
4
=
25
4
= 6,25 𝑚𝑚 
 
 
COMPRIMENTO EFETIVO 
 
𝐾 = 1,0 (𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜: "𝑎𝑝𝑜𝑖𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑚 𝑟𝑜𝑙𝑒𝑡𝑒𝑠") 
 
𝐿𝑒 = 𝐾 ∗ 𝐿 = 1,0 ∗ 500 = 500 𝑚𝑚 
 
 
ÍNDICE DE ESBELTEZ 
 
𝜆 =
𝐿𝑒
𝑟
=
500 
6,25
= 80 
 
 
RIGIDEZ FLEXIONAL 
 
𝐸𝐼𝑥 = (200000 ∗ 10
3 𝑘𝑁/𝑚²) ∗ (19175 ∗ 10−12 𝑚4) = 3,835 𝑘𝑁𝑚² 
 
 
CARGA CRÍTICA 
 
𝑃𝑐𝑟 =
𝜋2 ∗ 𝐸𝐼
𝐿𝑒²
=
𝜋2 ∗ 3,835
0,5²
= 151,40 𝑘𝑁 
 
 
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TENSÃO CRÍTICA DE FLAMBAGEM 
 
𝜎𝑐𝑟 =
𝜋2 ∗ 𝐸
𝜆²
=
𝜋2 ∗ 200000
80²
= 308,43 𝑀𝑃𝑎 
 
A tensão crítica de flambagem é inferior a tensão de escoamento (350 MPa), assim a flambagem ocorre 
no regime elástico, portanto a carga máxima que a haste suporta sem sofrer flambagem é 151,40 kN. 
 
 
 
 
 
FONTE: HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2010. 
 
SOLUÇÃO 13.8 
 
ÁREA 
 
𝐴 = 100 ∗ 50 − 80 ∗ 30 = 2600 𝑚𝑚² 
 
 
MOMENTOS DE INÉRCIA (referência emrelação à figura: horizontal eixo x; vertical eixo y) 
 
𝐼 = ∫ 𝑟2𝑑𝐴
𝐴
 
 
𝑟 distância entre cento de gravidade do diferencial da área e eixo de referência 
 
𝐼𝑥 = ∫ 𝑦
2𝑑𝐴
𝐴
=
100 ∗ 50³
12
−
80 ∗ 303
12
= 861667 𝑚𝑚4 
 
𝐼𝑦 = ∫ 𝑥
2𝑑𝐴 =
50 ∗ 100³
12
−
30 ∗ 803
12
= 2886667 𝑚𝑚4
𝐴
 
 
A coluna possui menor momento de inércia em torno do eixo x (𝐼𝑥), portanto irá sofrer flambagem 
em torno do eixo x, desta forma, todas as demais propriedades mecânicas e geométricas da coluna 
devem ser calculadas em torno do eixo x, já que a coluna apresenta o mesmo comprimento efetivo 
em x e em y. 
 
O raio de giração em x (𝑟𝑥), o índice de esbeltez em x (𝜆𝑥), a flambagem em x, a carga crítica de 
flambagem em x (𝑃𝑐𝑟,𝑥), a tensão crítica de flambagem em x (𝜎𝑐𝑟,𝑥), devem ser calculados sempre a 
partir das propriedades em x (𝐼𝑥 , 𝑟𝑥 , 𝜆𝑥 , 𝐿𝑥, 𝐾𝑥 , 𝐿𝑒,𝑥 , 𝑃𝑐𝑟,𝑥, 𝜎𝑐𝑟,𝑥). 
 
 
 
 
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Portanto, se o comprimento efetivo em y (𝐿𝑒,𝑦) fosse menor por apresentar algum travamento na coluna 
paralelo ao plano x-z, a flambagem em y (𝐼𝑦 , 𝑟𝑦 , 𝜆𝑦 , 𝐿𝑦 , 𝐾𝑦 , 𝐿𝑒,𝑦 , 𝑃𝑐𝑟,𝑦, 𝜎𝑐𝑟,𝑦) também deveria ser verificada. 
 
 
RAIO DE GIRAÇÃO EM x 
 
𝑟𝑥 = √
𝐼𝑥
𝐴
= √
861667
2600
= 18,20 𝑚𝑚 
 
 
COMPRIMENTO EFETIVO EM x 
 
𝐾𝑥 = 0,5 (𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜: "𝑒𝑛𝑔𝑎𝑠𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑚 𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠") 
 
𝐿𝑒,𝑥 = 𝐾𝑥 ∗ 𝐿𝑥 = 0,5 ∗ 5,0 = 2,5 𝑚 
 
ÍNDICE DE ESBELTEZ 
 
𝜆𝑥 =
𝐿𝑒,𝑥
𝑟𝑥
=
2500
18,20
= 137,36 
 
RIGIDEZ FLEXIONAL EM x 
 
𝐸𝐼𝑥 = (200000 ∗ 10
3 𝑘𝑁/𝑚²) ∗ (861667 ∗ 10−12 𝑚4) = 172,33 𝑘𝑁𝑚² 
 
 
CARGA CRÍTICA 
 
𝑃𝑐𝑟,𝑥 =
𝜋2 ∗ 𝐸𝐼𝑥
𝐿𝑒,𝑥²
=
𝜋2 ∗ 172,33
2,5²
= 272,13 𝑘𝑁 
 
CARGA LIMITE DE ESCOAMENTO 
 
Aço A-36: 𝜎𝑒 = 250 𝑀𝑃𝑎 
 
𝑃𝑒 = 𝜎𝑒 ∗ 𝐴 = (250000 𝑘𝑁/𝑚²) ∗ (2600 ∗ 10
−6 𝑚2) = 650 𝑘𝑁 
 
𝑃𝑐𝑟,𝑥 = 272,13 𝑘𝑁 < 𝑃𝑒 = 650 𝑘𝑁 
 
Portanto a coluna sofrerá flambagem em regime elástico, assim sua carga de trabalho máxima é 272,13 
kN.