ETAPA 4 - PASSO 1 ATPS MATEMÁTICA APLICADA

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INTEGRAIS E SUAS APLICAÇÕES
Na matemática, tudo tem seu inverso. Para a derivada sua inversa,  é chamada de antiderivada ou integral.
 A integral é o estudo das definições, propriedades e aplicações de dois operadores lineares relacionados, integrais definida ou indefinida, e dentro disto temos inúmeros tópicos, todos eles visando responder alguns problemas relacionados á continuidade e limites. .  A integral é representada por  ∫.
O processo de busca para um valor de uma integral é chamado de integração.
A integral de uma determinada função é adquirida para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano
Exemplo :
	
F é uma integral indefinida de f quando f é uma derivada de F. (O uso de letras maiúsculas e minúsculas para uma função e sua integral indefinida é comum em cálculo).
A integral definida insere uma função e extrai um número, o qual fornece a área entre o gráfico da função e o eixo do x. A definição técnica da integral definida é o limite da soma das áreas dos retângulos, chamada Soma de Riemann.
Integrais indefinidas
Dada uma função g(x), qualquer função f'(x) tal que f'(x) = g(x) é chamada integral indefinida ou antiderivada de f(x).
Exemplos:
Se  f(x) = , então  é a derivada de f(x). Uma das antiderivadas de f'(x) = g(x) = x4 é .
   
Se f(x) = x3, então f'(x) = 3x2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x2 é f(x) = x3.
   
Se f(x) = x3 + 4, então f'(x) = 3x2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x2 é f(x) = x3 + 4.
   
   Nos exemplos 2 e 3 podemos observar que tanto x3 quando x3+4 são integrais indefinidas para 3x2. A diferença entre quaisquer destas funções (chamadas funções primitivas) é sempre uma constante, ou seja, a integral indefinida de 3x2 é  x3+C, onde C é uma constante real.
 
 
 Integração por substituição
Seja expressão . 
Através da substituição u=f(x) por u' = f'(x) ou , ou ainda, du = f'(x) dx, vem:
,
admitindo que se conhece .
O método da substituição de variável exige a identificação de u e u' ou u e du na integral dada.
   
 Integrais Definidas
Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f(x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo:
	
onde:
a é o limite inferior de integração;
b é o limite superior de integração;
f(x) é o integrando.
 
                Se   representa a área entre o eixo x e a curva f(x), para 
	  
 
               Se  representa a área entre as curvas, para 
	
   
  Integração por partes
Se f e g são funções diferenciáveis, então, pela regra de diferenciação do produto, 
Integrando ambos os lados, obtemos
ou
ou
Uma vez que a integral à direita irá produzir uma outra constante de integração, não há necessidade de manter o C nesta última equação; assim sendo, obtemos
	(1)    
a qual é chamada de fórmula de integração por partes. Usando esta fórmula, às vezes podemos tornar um problema de integração mais simples.
Na prática, é usual reescrever (1) fazendo
u=f(x),          du=f '(x)dx  
,      
Isso dá lugar à seguinte forma alternativa para (1):
	(2)   
   
Exemplo
 Calcule 
Solução. Para aplicar (2), precisamos escrever a integral na forma
Uma maneira de fazer isso é colocar
para que,
Deste modo,a partir de(2)
Integrais Trigonométricas
Integração de Potências de Seno e Co-Seno
Na seção fórmulas de redução,obtivemos as fórmulas
 
No caso onde n=2,estas fórmulas ficam
   
Podem-se obter formas alternativas para estas fórmulas de integração usando as identidades trigonométricas.   
  
que provêm das fórmulas para o ângulo duplo
Essas identidades dão lugar a
 
Integração de produtos de senos e co-senos
Se m e n são inteiros positivos,então a integral
pode ser calculada de diversas maneiras,dependendo de m e n serem pares ou ímpares
Exemplo
Calcule
Solução.
 
Integração de Potências de Tangente e de Secante
O procedimento para integração de potências de tangente e de secante segue paralelamente os do seno e co-seno.A idéia é usar as seguintes fórmulas de redução para reduzir o expoente do integrando até que a integral resultante possa ser calculada:
                                              (1)                                                                                      (2)
No caso onde n for ímpar,o expoente pode ser reduzido a um,nos deixando com o problema de integrar tgx ou sec x.Estas integrais são dadas por
A fórmula pode ser obtida escrevendo-se
A fórmula  requer um truque.Escrevemos
As seguintes integrais ocorrem freqüentemente,e vale a pena destacar:
A fórmula(2)já foi vista,uma vez que a derivada de tgx é  .A fórmula(1) pode ser obtida aplicando-sea fórmula de redução,com n=2,ou alternativamente,usando-se a identidade
 
para escrever
Fonte: http://www.colegioweb.com.br/matematica/derivada-integral-calculos-fundamentais-matematica.html#ixzz3cUBsu4ti
http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2011/11/integral-definida-conceitos-e.html
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/integral/integral.htm