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Um convite à matemática Daniel C Filho.pdf

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da equivaleˆncia
Essas propriedades podem ser checadas, sem dificuldades, usando-se tabelas-verdade.
EXERCI´CIOS:
1. Usando tabelas-verdade, verifique treˆs das propriedades listadas na u´ltima tabela.
2. Verifique que sa˜o verdadeiras as chamadas “propriedades de absorc¸a˜o”:
P ∧ (P ∨R) ≡ P e P ∨ (P ∧R) ≡ P
3. Responda a seguinte pergunta justificando sua resposta:
“Qual a relac¸a˜o dos valores lo´gicos de duas sentenc¸as equivalentes?”
2.3.1 Sentenc¸as condicionais e implicativas na Lo´gica Formal
Na Lo´gica Formal, a duas proposic¸o˜es dadas P e Q, associa-se uma outra proposic¸a˜o denotada por
P → Q, chamada sentenc¸a condicional, que e´ lida como “Se P , enta˜oQ”. Neste contexto, a proposic¸a˜o
P chama-se antecedente e a proposic¸a˜o Q consequ¨ente.
Define-se a tabela-verdade da sentenc¸a condicional P → Q como:
P Q P → Q
V V V
V F F
F V V
F F V
Tabela 2.3: Tabela-verdade da condicional
A princı´pio, visto desta forma, o sı´mbolo “→” nada tem a ver com a ide´ia de deduc¸a˜o matema´-
tica. Isso resulta, por exemplo, que uma sentenc¸a da forma “ Se a lua e´ feita de queijo, enta˜o pi e´
irracional” seja uma sentenc¸a verdadeira. Sentenc¸as dessa natureza, envonvendo coisas ta˜o distintas,
na˜o nos interessam.
Na Lo´gica Formal, o sı´mbolo → e´ encarado como uma operac¸a˜o lo´gica de sentenc¸as, que a cada par
de sentenc¸as (P,Q) associa uma outra sentenc¸a P → Q.
Ainda na Lo´gica Simbo´lica Formal, diz-se que a sentenc¸a composta P (R1, R2, . . . , Rk) implica logi-
camente (ou implica materialmente) uma sentenc¸a composta Q(R1, R2, . . . , Rk), nos casos em que a
u´ltima coluna da tabela-verdade de P (R1, R2, . . . , Rk) → Q(R1, R2, . . . , Rk) contiver apenas V, inde-
pendentemente dos valores lo´gicos das sentenc¸as R1, R2, . . . , Rk. Denota-se este fato por
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Capı´tulo 2. A lo´gica-matema´tica
P (R1, R2, . . . , Rk) ⇒ Q(R1, R2, . . . , Rk), que e´ lido como “(A sentenc¸a) P (R1, R2, . . . , Rk) implica
logicamente (a sentenc¸a) Q(R1, R2, . . . , Rk)”. Isto e´, na Lo´gica Formal, a implicac¸a˜o lo´gica (ou
implicac¸a˜o material) P (R1, R2, . . . , Rk) ⇒ Q(R1, R2, . . . , Rk) ocorre, quando o valor lo´gico da sen-
tenc¸a P (R1, R2, . . . , Rk) → Q(R1, R2, . . . , Rk) for sempre verdade, independente dos valores lo´gicos
das sentenc¸as R1, R2, . . . , Rk.
Observe a seguinte tabela-verdade:
P Q P ∧Q P ∨Q P ∧Q→ P ∨Q
V V V V V
V F F V V
F V F V V
F F F F V
Conforme definimos anteriormente, como a u´ltima coluna desta tabela conte´m apenas V , temos
P ∧Q =⇒ P ∨Q
OBSERVAC¸O˜ES:
1. O sı´mbolo “→” ficara´ reservado para sentenc¸as condicionais da Lo´gica Formal, representando
uma operac¸a˜o de sentenc¸as.
2. Ja´ o sı´mbolo “⇒” sera´ usado na implicac¸a˜o lo´gica de proposic¸o˜es matema´ticas.
3. Muitas vezes tambe´m, veˆ-se os sı´mbolos “⇒” e “→” sendo usados em comec¸o de frases, como
ornamentac¸a˜o. Aconselhamos evitar esses usos. Como acabamos de ver, esses sı´mbolos teˆm
significados pro´prios na Matema´tica e conve´m respeita´-los.
4. Cuidado, o sı´mbolo “⇒” na˜o representa a palavra “portanto”, mas como ja´ dissemos, representa
a palavra “implica”, quando usada para ligar duas sentenc¸as. A notac¸a˜o propı´cia para “portanto”
ou “enta˜o” e´ treˆs pontinhos formando um triaˆngulo: ∴
5. NA˜O USE: Se x ∈ {1, 2} ⇒ x2 − 3x+ 2 = 0.
EXERCI´CIOS:
1. Compare a afirmac¸a˜o “ Uma sentenc¸a condicional P → Q e´ verdadeira se Q for verdadeira todas
as vezes em que P for verdadeira” com a definic¸a˜o da tabela-verdade de P → Q.
2. Construa as tabelas-verdade das sentenc¸as (P ∨Q)→ R e P ∨ (Q→ R). Discuta a importaˆncia
da posic¸a˜o dos pareˆnteses numa sentenc¸a.
3. Construa a tabela-verdade de cada uma das sentenc¸as
(a) (P → Q)→ R
(b) ((P → Q)→ (P ∨ (Q ∧R)))→ (P ∧ (P ∨R))
(c) (P ∧Q)→ P
4. Em quais dos ı´tens do exercı´cio anterior e´ possı´vel trocar o sı´mbolo “→” pelo sı´mbolo “⇒”?
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2.4. Argumentos, sentenc¸as condicionais e sentenc¸as implicativas
5. Determine os valores lo´gicos das sentenc¸as P e Q sabendo que os valores lo´gicos das sentenc¸as
P → Q e P ∧Q sa˜o verdadeiro e falso, respectivamente.
6. Na Lo´gica Simbo´lica Formal, verifique que
(a) ((P ∧Q)→ R)⇒ ((P → (Q→ R))
(b) P ⇒ ((Q→ (Q ∧ P )
7. Por que a frase abaixo esta´ impropriamente formulada?
“Se x ∈ {1, 2} ⇒ x2 − 3x+ 2 = 0.”
2.4 Argumentos, sentenc¸as condicionais e sentenc¸as implicativas
2.4.1 Argumentos
Considere as sentenc¸as
P : “Pedro e´ brasileiro”
Q: “Pedro e´ terra´queo”.
Assumindo a sentenc¸a P , de que forma podemos deduzir a sentenc¸a Q? Pense um pouco e elabore
uma justificativa para responder esta pergunta. Feito isso, sugerimos que continue a leitura.
Qualquer que tenha sido a maneira que voceˆ tenha concluı´do a sentenc¸a Q partindo da sentenc¸a P ,
voceˆ usou afirmac¸o˜es advindas do raciocı´nio lo´gico. Essas afirmac¸o˜es sa˜o chamadas argumentos. Os
argumentos sa˜o elaborados com a finalidade de convencer de que certos fatos sa˜o va´lidos.
Sendo menos informais, dado um nu´mero finito de proposic¸o˜es P1, P2, ..., Pk, Q que se relacionam,
chamamos argumento a qualquer afirmac¸a˜o de que as sentenc¸as P1, P2, ..., Pk acarretam, ou teˆm como
consequ¨eˆncia a sentenc¸a Q. Quando isso ocorre, tambe´m diz-se que “a sentenc¸a Q se deduz (ou se
infere) das sentenc¸as P1, P2, ..., Pk”. As sentenc¸as P1, P2, ..., Pk sa˜o chamadas premissas, e a sentenc¸a
Q chama-se conclusa˜o. As premissas devem estar adequadamente relacionadas com a conclusa˜o.
No caso das sentenc¸as anteriores, “Pedro e´ brasileiro” foi a premissa inicial usada para deduzir a
conclusa˜o “Pedro e´ terra´queo”.
As palavras ‘deduzir’ e ‘inferir’ sa˜o sinoˆnimos bastante conhecidos, e usaremos a ide´ia intuitiva do
que significam. Sabemos que deduc¸o˜es sa˜o consequ¨eˆncias de argumentac¸o˜es produzidas pelo raciocı´nio
e sa˜o pra´ticas habituais do dia-a-dia.
Vamos exemplificar as definic¸o˜es anteriores:
Considerando a seguinte sequ¨eˆncia de sentenc¸as que se relacionam
P1: “Pedro e´ brasileiro” ,
P2: “O Brasil e´ na Terra”
Q: “Pedro e´ terra´queo”,
podemos usar as sentenc¸as P1 e P2 para montar nosso argumento a fim de deduzir Q: “Como Pedro e´
brasileiro e o Brasil e´ na Terra, concluı´mos que Pedro mora na Terra e, portanto, e´ um terra´queo”.
Na conclusa˜o dos argumentos geralmente usamos expresso˜es como: “portanto”, “logo”, “con-
cluı´mos que”, “assim”, “consequ¨entemente”, entre outras.
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Capı´tulo 2. A lo´gica-matema´tica
2.4.2 Silogismos
Um silogismo e´ um tipo de argumento lo´gico-dedutivo da forma
H e´ M
S e´ H
Logo S e´ M.
Por exemplo:
Todos os homens sa˜o mortais.
Ora, So´crates e´ um homem.
Logo So´crates e´ mortal.
Um silogismo e´ formado por treˆs elementos ba´sicos:
Premissa maior (que conte´m uma afirmac¸a˜o geral).
Exemplo: “Todos os homens sa˜o mortais”.
Premissa menor ou termo me´dio (que conte´m uma afirmac¸a˜o particular derivada).
Exemplo: “Ora, So´crates e´ um homem”.
Conclusa˜o (que deve ser coerente com as premissas anteriores).
Exemplo: “Logo, So´crates e´ mortal”.
Cada premissa tem um elemento comum com a conclusa˜o, e ambas, um termo em comum. Qual
seria esse elemento em comum e esse termo em comum no exemplo acima?
O filo´sofo grego Aristo´teles1, pioneiro no estudo da Lo´gica, descreveu e classificou alguns tipos
de silogismo. Nos contentaremos com o tipo de silogismo apresentado, que em sua homenagem ficou
conhecido como silogismo aristote´lico.
O silogismo e´ uma argumentac¸a˜o tı´pica do raciocı´nio lo´gico-dedutivo.
EXERCI´CIOS:
1. Refac¸a a argumentac¸a˜o que aparece na frase
“Como Pedro e´ brasileiro, e o Brasil e´ na Terra, concluı´mos que Pedro mora na Terra e, portanto,
e´ um terra´queo”.
usando a ide´ia de silogismo.
2. Deˆ exemplos de silogismos dentro da Matema´tica.
3. Complete a conclusa˜o do seguinte silogismo, que parte de