Um convite à matemática Daniel C Filho.pdf

para provar o que
querı´amos: “Se n2 e´ par, enta˜o n e´ par”.
Portanto, na verdade, inserido naquela demonstrac¸a˜o, o que fizemos foi provar a seguinte implicac¸a˜o
entre duas sentenc¸as implicativas:
(*) (n e´ ı´mpar ⇒ n2 e´ ı´mpar) ⇒ (n2 e´ par ⇒ n e´ par).
Se chamarmos as proposic¸o˜es
P : n2 e´ par e Q: n e´ par,
as negac¸o˜es dessas sentenc¸as sa˜o, respectivamente,
˜P : n2 e´ ı´mpar e ˜Q: n e´ ı´mpar.
Dessa forma, a implicac¸a˜o (*) torna-se
(∗∗)(˜Q⇒ ˜P )⇒ (P ⇒ Q).
E´ simples provar que, tanto a implicac¸a˜o (**), como sua recı´proca, tambe´m sa˜o va´lidas, e que esse
fato e´ verdadeiro em geral, para quaisquer sentenc¸as P e Q (Exercı´cio 7). Ou seja, vale o
PRINCI´PIO DA CONTRAPOSITIVIDADE:
(P ⇒ Q)⇔ (˜Q⇒ ˜P ).
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Capı´tulo 12. Mais te´cnicas de demonstrac¸a˜o
A sentenc¸a ˜Q ⇒ ˜P e´ chamada contrapositiva1da sentenc¸a P ⇒ Q. Pelo Princı´pio da Contrapo-
sitividade, como uma sentenc¸a implicativa e´ equivalente a` sua contrapositiva, a implicac¸a˜o P ⇒ Q sera´
verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ˜Q⇒ ˜P for verdadeira .
Semelhantemente, definimos “Se ˜T , enta˜o ˜H” como a contrapositiva da sentenc¸a condicional “Se
H , enta˜o T”, e seque-se a equivaleˆncia
(Se H enta˜o T )⇔( Se ˜T , enta˜o ˜H).
Conve´m observar que, a`s vezes, e´ mais fa´cil provar que a contrapositiva de uma sentenc¸a e´ ver-
dadeira, do que provar que a pro´pria sentenc¸a e´ verdadeira (vamos dar um exemplo desses a seguir). Ao
demonstrar uma sentenc¸a provando sua contrapositiva, estamos utilizando o que chamaremos me´todo
de demonstrac¸a˜o usando a contrapositiva. Este e´ um outro me´todo de demonstrac¸a˜o indireta, ja´ que
provar P ⇒ Q, reduz-se a provar a implicac¸a˜o ˜Q⇒ ˜P .
EXEMPLO 1: Um caso no qual provar a contrapositiva e´ mais conveniente do que provar a
pro´pria sentenc¸a
Provemos o seguinte resultado sobre nu´meros reais, bastante usado na Ana´lise Real:
“Se a ≥ 0 e a < ε, ∀ε > 0, enta˜o a = 0.”
Ora, a contrapositiva dessa proposic¸a˜o e´
“Se a 6= 0, enta˜o a < 0 ou existe um nu´mero ε0 tal que a ≥ ε0”
e prova´-la e´ muito simples:
De fato, como a 6= 0, temos a < 0 ou a > 0. Caso a < 0, chegamos a` tese, e portanto, a
demonstrac¸a˜o esta´ encerrada. Caso a > 0, basta considerar ε0 =
a
2
, que temos a ≥ ε0, como querı´amos
demonstrar.
Pertinentemente, algue´m poderia perguntar: “Por que em vez de apresentar a sentenc¸a, na˜o se apre-
senta sua contrapositiva, ja´ que e´ ela que vai ser demonstrada?” Nesse caso, a apresentac¸a˜o da sentenc¸a
da maneira em que esta´ formulada e´ mais u´til e, muitas vezes, tem uma forma mais “agrada´vel” de ser
apresentada do que a da sua contrapositiva.
OBSERVAC¸A˜O: Note que o me´todo de demonstrac¸a˜o de uma sentenc¸a implicativa H ⇒ T , usando a
contrapositiva, e´ um me´todo de reduc¸a˜o a um absurdo, onde o absurdo que se chega e´ H ∧ ˜H .
Com o me´todo de demonstrac¸a˜o utilizando a contrapositiva, encerra-se o estudo das te´cnicas de
demonstrac¸a˜o.
A seguir apresentaremos um quadro resumo muito importante.
1A palavra contrapositiva e suas variantes na˜o se escrevem usando hı´fen.
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12.1. A contrapositiva de uma sentenc¸a
RESUMO DOS ME´TODOS DE DEMONSTRAC¸A˜O
Pelo que vimos nos capı´tulos anteriores, ha´ treˆs maneiras de provar uma sentenc¸a condicional da
forma
“Se H , enta˜o T ,
onde H representa a hipo´tese e T a tese:
1. Demonstrac¸a˜o direta:
Considera-se H verdadeira e, por meio de um processo lo´gico-dedutivo, se deduz que T vale;
2. Demonstrac¸a˜o indireta por contradic¸a˜o ou por (reduc¸a˜o a um) absurdo:
Considera-se H verdadeira e, por meio de um processo lo´gico-dedutivo, supondo-se T falsa, se
deduz alguma contradic¸a˜o;
3. Demonstrac¸a˜o da Contrapositiva de H ⇒ T (uma maneira indireta, tambe´m por reduc¸a˜o a
um absurdo, de se provar uma implicac¸a˜o):
Considera-se T falsa e, por meio de um processo lo´gico-dedutivo, se deduz que H e´ falsa .
E´ possı´vel demonstrar um mesmo resultado utilizando-se cada uma dessas te´cnicas de demonstrac¸a˜o.
Recomenda-se que as demonstrac¸o˜es indiretas so´ sejam usadas como u´ltimo recurso.
Como ilustrac¸a˜o, vamos provar o seguinte resultado, bastante simples, usando cada um desses treˆs
me´todos:
Se 2x2 + x− 1 = 0, enta˜o x < 1.
Demonstrac¸a˜o 1 (Demonstrac¸a˜o direta):
Usando a fo´rmula de resoluc¸a˜o de uma equac¸a˜o do segundo grau, encontra-se diretamente que
x1 = −1 e x2 = 1
2
sa˜o as duas raı´zes dessa equac¸a˜o. Portanto, ambas sa˜o menores do que 1. C.Q.D.
Demonstrac¸a˜o 2 (Demonstrac¸a˜o indireta usando contradic¸a˜o, onde a contradic¸a˜o na˜o e´ a ne-
gac¸a˜o da hipo´tese):
Suponha que 2x2 + x− 1 = 0 e que x ≥ 1. Logo, se x ≥ 1, enta˜o 1− x ≤ 0 e 2x2 > 0. Mas dessa
forma, usando novamente a hipo´tese, terı´amos 0 < 2x2 = 1−x ≤ 0, o que e´ uma contradic¸a˜o. Portanto,
x < 1. C.Q.D.
Demonstrac¸a˜o 3 (Demonstrac¸a˜o da contrapositiva):
Demonstraremos que se x ≥ 1, enta˜o 2x2+x−1 6= 0. De fato, se x ≥ 1, temos x−1 ≥ 0 e 2x2 > 0.
Somando essas duas desigualdades, encontramos 2x2 + x − 1 > 0, o que significa 2x2 + x − 1 6= 0.
C.Q.D.
Os exercı´cios a seguir garantem material para voceˆ treinar com demonstrac¸o˜es utilizando a contra-
positiva.
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Capı´tulo 12. Mais te´cnicas de demonstrac¸a˜o
EXERCI´CIOS:
1. Escreva a contrapositiva das seguintes sentenc¸as:
(a) H1 ∧ . . . ∧Hk → T .
(b) H → T1 ∨ T2 ∨ . . . ∨ Tr.
2. Determine as contrapositivas das seguintes sentenc¸as abaixo. Empregue os mesmos modelos de
apresentac¸a˜o para escrever cada contrapositiva.
(a) Se xy = 0, enta˜o x = 0 ou y = 0.
(b) n ∈ N; −2 > n > −4⇒ n = −3.
(c) A condic¸a˜o xy > 0 e´ suficiente para que x > 0 e y > 0 ou x < 0 e y < 0.
(d) Se x < y e z < 0, enta˜o xz > yz.
(e) Uma condic¸a˜o necessa´ria para que a− ε < b, ∀ε > 0, e´ que a ≤ b.
(f) Se cos θ e´ racional enta˜o cos 3θ e´ racional.
(g) Se n ∈ N e −3 ≤ n ≤ −5, temos {−3,−4,−5}.
3. Provando a contrapositiva, demonstre cada sentenc¸a a seguir:
(a) Se a e b sa˜o nu´meros reais tais que a4 + b6 = 0, enta˜o a = b = 0.
(b) Uma condic¸a˜o suficiente para que nk seja par (n ∈ N) e´ que n seja par.
(c) Sejam a, b e ε nu´meros reais. Tem-se: a < b+ ε, ∀ε > 0⇒ a ≤ b.
(d) Se o nu´mero de Mersenne Mn = 2n − 1 e´ primo, enta˜o necessariamente n deve ser primo.
Dica: Nos argumentos voceˆ deve usar a decomposic¸a˜o
Ar − 1 = (A− 1)(Ar−1 + Ar−2 + . . .+ A+ 1)
4. No exercı´cio a seguir, apresentaremos um teorema e seis sentenc¸as. Voceˆ deve detectar entre as
sentenc¸as apresentadas, aquela que e´ a recı´proca, outra que e´ a negac¸a˜o, outra que e´ a contrapos-
itiva do teorema, outra que e´ a negac¸a˜o da contrapositiva, como tambe´m aquela que e´ o teorema
apresentado de uma forma diferente e, finalmente, aquela que nada tem a ver com o teorema.
“Todo nu´mero inteiro positivo pode ser escrito como uma soma de quatro quadrados perfeitos”
(O resultado anterior e´ chamado Teorema de Lagrange, cuja demonstrac¸a˜o requer noc¸o˜es da Teo-
ria dos Nu´meros e pode ser vista em [de Oliveira Santos, 2000] p.131.)
(a) Existe um nu´mero inteiro positivo que na˜o e´ a soma de quatro quadrados perfeitos.
(b) Um nu´mero formado pela soma de quatro quadrados perfeitos e´ um nu´mero inteiro positivo.
(c) Um nu´mero que na˜o e´ um inteiro positivo na˜o pode ser escrito como a soma de quatro quadra-
dos perfeitos.
(d) Seja r ∈ Z. Enta˜o r = r12 + r22 + r32 + r42 para certos
r1, r2, r3, r4 ∈ Z.
(e) Se um nu´mero na˜o pode ser escrito como a soma de quatro quadrados perfeitos enta˜o esse
nu´mero na˜o e´ um nu´mero inteiro positivo.
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12.2. Curiosidade: Algumas coˆmicas “demonstrac¸o˜es”
Figura 12.1: Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)
(f) Uma condic¸a˜o necessa´ria para que um nu´mero de quatro quadrados seja uma soma de inteiros
e´ que ele seja um nu´mero inteiro.
5. No exercı´cio abaixo apresentaremos duas sentenc¸as