Um convite à matemática Daniel C Filho.pdf

que ja´ apareceram no texto. Voceˆ deve escre-
ver a recı´proca, a negac¸a˜o, a contrapositiva e a negac¸a˜o da contrapositiva de cada sentenc¸a, bem
como reescreveˆ-la de uma outra maneira.
(a) “Todo nu´mero par e´ a soma de dois nu´meros primos”
(b) “Se n ≥ 3, enta˜o a equac¸a˜o xn + yn = zn na˜o tem soluc¸o˜es inteiras x, y e z na˜o-nulas”
6. Como ja´ dissemos, o me´todo de demonstrac¸a˜o que algue´m pode escolher para provar algum re-
sultado, depende de uma possı´vel e permissı´vel escolha. Apo´s ter falado sobre os me´todos de
demonstrac¸a˜o direta e indireta, quais seriam as maneiras possı´veis que pode-se empregar para
demonstrar uma proposic¸a˜o da forma “P ⇔ Q”?
7. Usando o Me´todo de Reduc¸a˜o a um absurdo, justifique o Princı´pio da Contrapositividade.
12.2 Curiosidade: Algumas coˆmicas “demonstrac¸o˜es”
Como uma rec¸a˜o coˆmica a` falta de demonstrac¸o˜es em alguns livros, ha´ uma lista de certas “te´cnicas de
demonstrac¸a˜o” engrac¸as que exibiremos a seguir.
Uma pausa para relaxar que tem seu lado dida´tico, mas na˜o permita que ningue´m as utilize!!
1)Demonstrac¸a˜o por definic¸a˜o:
“Definimos que existe uma demonstrac¸a˜o para o resultado !”
2)Demonstrac¸a˜o do indeciso:
“Portanto, chegamos, assim, ao final da demonstrac¸a˜o. Sera´? Ou na˜o? E agora? O que fac¸o?”
3)Demonstac¸a˜o do briga˜o intimidador mal-educado:
159
Capı´tulo 12. Mais te´cnicas de demonstrac¸a˜o
“Qualquer idiota pode ver que isso e´ verdadeiro! Como e´ que voceˆ na˜o esta´ vendo?!”
4)Demonstac¸a˜o do briga˜o intimidador mal-educado e, ainda por cima, arrogante:
“O resultado vale pois assim o desejo! E pronto!!”
5)Demonstrac¸a˜o do democrata:
“Quem acha que encerramos a demonstrac¸a˜o, por favor, levante a ma˜o para votar!”
6)Demonstrac¸a˜o por falta de tempo:
“Ja´ que na˜o temos mais tempo, segue que a demonstrac¸a˜o e´ va´lida, e cabe a voceˆs fazeˆ-la!”
7)Demonstrac¸a˜o por obviedade:
“Como e´ o´bvio que o resultado e´ verdadeiro, ele esta´ demonstrado!”
8)Demonstrac¸a˜o por convenieˆncia:
“Como seria muito bom e conveninente que isso fosse verdade, enta˜o e´ verdade!”
9)Demonstrac¸a˜o por escolha do exemplo:
“Consideremos o nu´mero x = 4 para o qual a demonstrac¸a˜o a seguir vale ...”
10)Demonstrac¸a˜o do suplicante:
“Por favor, pec¸o-lhes, acreditem que o teorema vale!!! Por favor! Por favor! Por favor!”
(Nos inspiramos no sı´tio eletroˆnico http://www.themathlab.com/geometry/funnyproofs.htm, acessado
em Marc¸o de 2006)
160
CAPI´TULO 13
Sofismas, o cuidado com os auto-enganos e com
os enganadores!
13.1 Sofismas
Se voceˆ usar argumentos na˜o va´lidos em uma demonstrac¸a˜o, tais como aqueles que ferem axiomas,
argumentac¸o˜es lo´gicas ou definic¸o˜es, e´ possı´vel deduzir contradic¸o˜es ou resultados “assustadores”, que
podem trazer inesperadas surpresas.
Va´rias vezes, esses argumentos sa˜o propositadamente elaborados de modo que a partir de premissas
verdadeiras, algue´m seja levado a deduzir concluso˜es falsas. Quando isso ocorre, esse tipo de raciocı´nio
e´ chamado sofisma ou fala´cia. O sofisma1 ou fala´cia e´ uma sequ¨eˆncia de argumentos, aparentemente
va´lidos, que podem ser usados para deduzir resultados falsos. O termo sofisma decorre do nome de um
grupo de filo´sofos da Antiga Gre´cia chamados Sofistas (± Se´culo IV a.C.) e contra os quais se opunha
o famoso filo´sofo So´crates (470-399 a.C.). Como no caso dos silogismos, ha´ tambe´m uma classificac¸a˜o
de tipos diferentes de sofismas.
Diferentemente do que alguns apontam, um sofisma na˜o e´ um paradoxo! Um paradoxo e´ uma
sentenc¸a autocontradito´ria que se chega por argumentac¸o˜es va´lidas.
Nos exercı´cios a seguir, apresentaremos alguns sofismas matema´ticos. Exercitando seu espı´rito
crı´tico, encontre os erros nas “demonstrac¸o˜es” apresentadas a partir do Exercı´cio 2. Voceˆ vai perce-
ber o quanto se deve ser cuidadoso com argumentos que, quando mal usados, propositadamente ou
na˜o, podem resultar em contradic¸o˜es e trazer muitas surpresas, mesmo quando se parte de premissas
verdadeiras.
EXERCI´CIOS:
1. Qual a diferenc¸a entre sofisma e paradoxo? Comente sua resposta.
SOFISMAS NUME´RICOS
2. “Seja i a unidade imagina´ria, isto e´, i2 = −1. Enta˜o
1Apesar da palavra terminar em ‘a’, ela e´ masculina: o sofisma.
161
Capı´tulo 13. Sofismas, o cuidado com os auto-enganos e com os enganadores!
1 =
√
1 =
√−1.− 1 = √−1.√−1 = i.i = i2 = −1
e portanto, 1 = −1”.
3. Usando a propriedade do logaritmo de uma poteˆncia:
log(ab) = b log(a),
temos
1
4
>
1
8
⇒
(
1
2
)2
>
(
1
2
)3
⇒ log
(
1
2
)2
> log
(
1
2
)3
⇒⇒ 2 log
(
1
2
)
> 3 log
(
1
2
)
⇒ 2 > 3.
4. −6 = −6⇒ 4− 10 = 9− 15⇒ 4− 10 + 25
4
= 9− 15 + 25
4
⇒
⇒ 22 − 2.2.
(
5
2
)
+
(
5
2
)2
= 32 − 2.3.
(
5
2
)
+
(
5
2
)2
⇒
⇒
(
2− 5
2
)2
=
(
3− 5
2
)2
⇒
⇒ 2− 5
2
= 3− 5
2
⇒ 2 = 3.
Conclusa˜o: −6 = −6⇒ 2 = 3.
5. x = y ⇒ x2 = xy ⇒ x2 − xy = 0⇒ x(x− y) = 0⇒ x = 0.
COROLA´RIO: 13 = 0.
SOFISMAS NA GEOMETRIA:
6. Encontre o erro na “demonstrac¸a˜o” do seguinte “teorema”:
“Teorema”: “Todos os triaˆngulos semelhantes sa˜o congruentes”
“Demonstrac¸a˜o”: Considere os triaˆngulos semelhantes 4ABC e 4A′B′C ′ na figura 13.1.
A
B
C
C'
A'
B'
Figura 13.1: Dois triaˆngulos semelhantes
Pelas relac¸o˜es de semelhanc¸a de triaˆngulos da Geometria ([Barbosa, 2004]), temos
162
13.1. Sofismas
B′C ′
BC
=
A′B′
AB
,
onde estamos representando por AB o comprimento do lado do triaˆngulo de aresta A e B, e da
mesma maneira o comprimento dos outros lados.
Da igualdade anterior decorre que
B′C ′.AB = BC.A′B′ ⇒
(B′C ′ −BC)(B′C ′.AB) = (B′C ′ −BC)(BC.A′B′)⇒
(B′C ′)2.AB −B′C ′.AB.BC = B′C ′.BC.A′B′ − (BC)2A′B′ ⇒
(B′C ′)2.AB −B′C ′.BC.A′B′ = B′C ′.AB.BC − (BC)2A′B′ ⇒
B′C ′.(B′C ′.AB −BC.A′B′) = BC.(B′C ′.AB −BC.A′B′)⇒
B′C ′ = BC.
De maneira ana´logo, tambe´m prova-se que A′B′ = AB e C ′A′ = CA. Portanto, concluı´mos
destas igualdades, que quaisquer dois triaˆngulos semelhantes sa˜o congruentes. C.Q.D.
7. Complementando os exercı´cios desta sec¸a˜o, vamos agora apresentar algumas “demonstrac¸o˜es”
usando figuras propositadamente desenhadas de maneira errada para induzir concluso˜es falsas.
Nosso objetivo e´ alertar para o cuidado com o uso de figuras numa demonstrac¸a˜o, e com a mı´nima
qualidade que os desenhos devem ter. Na sec¸a˜o a seguir usaremos figuras para auxiliar a fazermos
demonstrac¸o˜es, so´ que naquele caso, sera˜o demonstrac¸o˜es verdadeiras!
O “Teorema” e a “demonstrac¸a˜o” a seguir sa˜o muito interessantes:
“TEOREMA”: “Qualquer triaˆngulo e´ iso´sceles”.
“Demonstrac¸a˜o”: Considere um triaˆngulo qualquer 4ABC como esta´ no desenho (Fig. 13.2)
b
B
D
A
P E
C
m
Figura 13.2: Triaˆngulo mal desenhado para induzir um sofisma
(Nesta demonstrac¸a˜o, vamos representar respectivos segmentos congruentes e triaˆngulos congru-
entes pelo sı´mbolo ≡)
No desenho acima (Fig. 13.2):
i) Trace a mediatriz m em relac¸a˜o ao lado BC;
ii) Trace a bissetriz b do aˆngulo Aˆ;
iii) Seja P o ponto de intersecc¸a˜o das retas m e b;
163
Capı´tulo 13. Sofismas, o cuidado com os auto-enganos e com os enganadores!
iv) Pelo ponto P trace os segmentos PD e PE perpendiculares aos lados AB e AC, respectiva-
mente.
Desses elementos do triaˆngulo, resulta que:
i) PD = PE, pois a distaˆncia de qualquer ponto da bissetriz equ¨idista dos lados do aˆngulo;
ii) 4APD ≡ 4APE, ja´ que possuem um aˆngulo medindo Aˆ/2, o lado AP em comum e
PD ≡ PE. Logo, AD ≡ AE.
iii) PB ≡ PC, pois P ∈ m, e todo ponto da mediatriz equ¨idista dos extremos. Daı´, temos
4PDB ≡ 4PEC, donde DB ≡ EC.
Ora, como AD ≡ AE e DB ≡ EC, segue que AB ≡ AC, ou seja, o triaˆngulo e´ iso´sceles. C.Q.D.
SOFISMAS GEOME´TRICOS