Um convite à matemática Daniel C Filho.pdf

8. “O triaˆngulo abaixo foi decomposto em quatro outras figuras que, quando rearrumadas formam
um outro triaˆngulo congruente ao primeiro, mas cuja a´rea e´ a do primeiro menos a a´rea de um
dos quadrados que aparece na figura”. O que houve?
9. Consideremos um retaˆngulo de lados 5 e 8. Decomponha esse retaˆngulo em dois triaˆngulos e
dois trape´zios, como feito na primeira figura abaixo. Corte essas figuras e depois as cole como
na segunda figura, formando um outro retaˆngulo. Ora, observe agora que a a´rea do primeiro
retaˆngulo e´ 64 enquanto a do segundo retaˆngulo e´ 65. Ganhou-se, portanto, uma unidade de a´rea
ao rearrumar as figuras!!! Que incrı´vel! O que houve???
Veja que coisa interessante: Do mesmo modo que fizemos para um retaˆngulo de lados (5, 8), a
mesma ide´ia segue com um retaˆngulo de lados (8, 13 = 5 + 8), (13, 21 = 8 + 13),
(21, 24 = 13 + 21), e assim por diante.
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CAPI´TULO 14
Demonstrac¸o˜es com o auxı´lio de figuras
“Ambas as palavras ‘figura’ e ‘ficc¸a˜o’ derivam da mesma raiz latina, fingire. (Portanto,)
cuidado!”
M.J. Moroney, Facts from Figures.
Raramente vemos algue´m resolvendo algum problema matema´tico que na˜o seja tentado a rabiscar
alguma equac¸a˜o ou fazer algum desenho.
Os desenhos ajudam a sintetizar o raciocı´nio e, decisivamente, contribuem com ide´ias e argumentos
usados para entender, enunciar, demonstrar ou descobrir algum fato.
Reconhecemos que em diversas circunstaˆncias, as figuras dizem mais que palavras. Entretanto, e´
bom atentar que os desenhos sa˜o apenas dispositivos que servem para auxiliar, eles sozinhos na˜o podem
demonstrar coisa alguma. E´ necessa´rio extrair deles as informac¸o˜es que precisamos.
Nesse ponto, vale ressaltar o cuidado com a qualidade dos desenhos que algue´m deseja fazer. As
figuras, principalmente as mal desenhadas, intencionalmente ou na˜o, podem enganar e induzir falsas
concluso˜es. Lembre-se das figuras da sec¸a˜o anterior.
Ningue´m e´ obrigado a ser um artista para fazer um desenho que possa auxiliar em alguma demons-
trac¸a˜o, mas na˜o se deve descuidar: por exemplo, as retas na˜o podem ser sinuosas, os aˆngulos retos na˜o
podem ser trac¸ados como obtusos, tampouco os cı´rculos serem ovais como batatas, e assim por diante.
Esse e´ um detalhe que deve merecer atenc¸a˜o.
Deixamos claro que, com certeza, usando-se desenhos e´ possı´vel auxiliar, e muito, a demonstrac¸a˜o
de va´rios resultados, e essa pra´tica tem sido assim por mileˆnios entre as mais diversas civilizac¸o˜es que
usaram ou desenvolveram a Matema´tica.
A seguir daremos duas demonstrac¸o˜es que usam fortemente o uso de figuras geome´tricos.
TEOREMA DE PITA´GORAS: Num triaˆngulo retaˆngulo, o quadrado da medida da hipotenusa e´
igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos.
Demonstrac¸a˜o: A demonstrac¸a˜o que segue e´ aquela sobre a qual falamos no final da Sec¸a˜o 4.1.1 ,
que e´ creditada ao presidente americano James Garfield. Entre as diversas opc¸o˜es de demonstrac¸o˜es do
Teorema de Pita´goras, decidimos apresenta´-la; na˜o pela importaˆncia histo´rica de seu autor, mas porque
julgamos ser uma das mais simples e que envolve um argumento que chega a ser pueril: usa apenas as
fo´rmulas das a´reas do trape´zio e do triaˆngulo.
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CAPI´TULO 14
Demonstrac¸o˜es com o auxı´lio de figuras
“Ambas as palavras ‘figura’ e ‘ficc¸a˜o’ derivam da mesma raiz latina, fingire. (Portanto,)
cuidado!”
M.J. Moroney, Facts from Figures.
Raramente vemos algue´m resolvendo algum problema matema´tico que na˜o seja tentado a rabiscar
alguma equac¸a˜o ou fazer algum desenho.
Os desenhos ajudam a sintetizar o raciocı´nio e, decisivamente, contribuem com ide´ias e argumentos
usados para entender, enunciar, demonstrar ou descobrir algum fato.
Reconhecemos que em diversas circunstaˆncias, as figuras dizem mais que palavras. Entretanto, e´
bom atentar que os desenhos sa˜o apenas dispositivos que servem para auxiliar, eles sozinhos na˜o podem
demonstrar coisa alguma. E´ necessa´rio extrair deles as informac¸o˜es que precisamos.
Nesse ponto, vale ressaltar o cuidado com a qualidade dos desenhos que algue´m deseja fazer. As
figuras, principalmente as mal desenhadas, intencionalmente ou na˜o, podem enganar e induzir falsas
concluso˜es. Lembre-se das figuras da sec¸a˜o anterior.
Ningue´m e´ obrigado a ser um artista para fazer um desenho que possa auxiliar em alguma demons-
trac¸a˜o, mas na˜o se deve descuidar: por exemplo, as retas na˜o podem ser sinuosas, os aˆngulos retos na˜o
podem ser trac¸ados como obtusos, tampouco os cı´rculos serem ovais como batatas, e assim por diante.
Esse e´ um detalhe que deve merecer atenc¸a˜o.
Deixamos claro que, com certeza, usando-se desenhos e´ possı´vel auxiliar, e muito, a demonstrac¸a˜o
de va´rios resultados, e essa pra´tica tem sido assim por mileˆnios entre as mais diversas civilizac¸o˜es que
usaram ou desenvolveram a Matema´tica.
A seguir daremos duas demonstrac¸o˜es que usam fortemente o uso de figuras geome´tricos.
TEOREMA DE PITA´GORAS: Num triaˆngulo retaˆngulo, o quadrado da medida da hipotenusa e´
igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos.
Demonstrac¸a˜o: A demonstrac¸a˜o que segue e´ aquela sobre a qual falamos no final da Sec¸a˜o 4.1.1 ,
que e´ creditada ao presidente americano James Garfield. Entre as diversas opc¸o˜es de demonstrac¸o˜es do
Teorema de Pita´goras, decidimos apresenta´-la; na˜o pela importaˆncia histo´rica de seu autor, mas porque
julgamos ser uma das mais simples e que envolve um argumento que chega a ser pueril: usa apenas as
fo´rmulas das a´reas do trape´zio e do triaˆngulo.
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Capı´tulo 14. Demonstrac¸o˜es com o auxı´lio de figuras
Considere um triaˆngulo retaˆngulo com hipotenusa medindo c e catetos medindo a e b. Usando esse
triaˆngulo, construa o trape´zio abaixo (Figura 14.1). Igualando a a´rea do trape´zio, de bases a, b e altura
a+ b, com a soma das a´reas dos treˆs triaˆngulos, temos
Figura 14.1: Trape´zio
(
a+ b
2
)
× (a+ b) = ab
2
+
ab
2
+
c2
2
,
e fazendo as devidas simplificac¸o˜es, obtemos
a2 + b2 = c2,
C.Q.D.1
A segunda demonstrac¸a˜o, usando figuras, e´ uma belı´ssima demonstrac¸a˜o da irracionalidade de
√
2,
que emprega argumentos geome´tricos simples e inteligentes. Essa demonstrac¸a˜o esta´ bem no modelo da
demonstrac¸a˜o da incomensurabilidade entre a diagonal e o lado de um quadrado (ou seja, que
√
2 6∈ Q)
dada pelos antigos gregos (Vide [de Souza A´vila, 1998]).
DEMONSTRAC¸A˜O DA IRRACIONALIDADE DE
√
2 :
(A demonstrac¸a˜o e´ devida a Apostol. Vide [Apostol, ])
Suponha, por absurdo, que
√
2 seja racional e que possa ser escrito como
√
2 =
p
q
, com p e q inteiros
positivos. Logo,
p
q
e´ a hipotenusa de um triaˆngulo retaˆngulo de catetos iguais a 1. Multiplicando os
comprimentos dos lados desse triaˆngulo por q, encontramos um novo triaˆngulo retaˆngulo 4ABC de
hipotenusa de comprimento p e catetos de comprimentos q (Figura 14.2 na pro´xima pa´gina). Nosso
trabalho, a partir desse ponto, e´ provar que na˜o pode existir um triaˆngulo desse tipo: iso´sceles com lados
de comprimentos inteiros.
Trac¸ando uma circunfereˆncia de centro no ponto B e raio BC, ela corta o lado AB no ponto D.
Observe que AD e´ um segmento de comprimento inteiro valendo p− q. Baixe por D uma perpendicular
ao lado AB, que toca o lado AC no ponto E. Verifica-se que DE e´ coˆngruo a EC, e que os segmentos
AD e DE tambe´m sa˜o coˆngruos. Dessa forma, o triaˆngulo 4ADE e´ um triaˆngulo retaˆngulo iso´sceles
cujas medidas dos lados ainda sa˜o nu´meros inteiros.
1Note que nesta demonstrac¸a˜o usamos o fato de que o triaˆngulo cujos comprimentos dos lados valem c e´ retaˆngulo, e
portanto, tem altura c.
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Figura 14.2: Uma bela demonstrac¸a˜o da irracionalidade de
√
2. Dessa vez, usando argumentos
geome´tricos
Podemos repetir os mesmos argumentos