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Um convite à matemática Daniel C Filho.pdf

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e´ infalı´vel, como comprovam os exemplos
que demos na Sec¸a˜o 7.1
177
Capı´tulo 15. O me´todo indutivo
(b)
(
1 +
1
1
)1
=
22−1
(2− 1)! ,
(
1 +
1
1
)1(
1 +
1
2
)2
=
33−1
(3− 1)! ,(
1 +
1
1
)1(
1 +
1
2
)2(
1 +
1
3
)3
=
44−1
(4− 1)! , . . . .
3. Em cada exercı´cio abaixo, adote o fato que as expresso˜es foram provadas para n = 2 e as reescreva
sem os sı´mbolos de produto´rio ou somato´rio. Escreva como as expresso˜es ficam para n = 3 e deˆ
uma demonstrac¸a˜o para esse caso particular. Generalize e demonstre as expresso˜es para um inteiro
positivo n qualquer. Considere que xi sa˜o nu´meros reais.
(a) log
(
2∏
i=1
xi
)
=
2∑
i=1
log xi, xi > 0;
(b)
∣∣∣∣∣
2∑
j=1
xj
∣∣∣∣∣ ≤
2∑
j=1
|xj|;
(c)
2∏
i=1
xi = 0⇒ x1 = 0 ou x2 = 0
178
CAPI´TULO 16
Um roteiro para provar um teorema
“Na˜o e´ que eles na˜o possam ver a soluc¸a˜o. E´ que eles na˜o podem ver o problema”.
The Point of a Pin in The Scandal of Father Brown
G. K. Chesterton (1874 - 1936)
“A imaginac¸a˜o e´ mais importante do que o conhecimento”.
Sobre a Cieˆncia
Albert Einstein (1879-1955).
Inspirados em [Polya, 1994], vamos apresentar nossa tentativa de formular um roteiro de algu-
mas atitudes que podem ser tomadas quando se esta´ diante de um teorema que se pretende demonstrar.
Deixamos claro que nosso objetivo na˜o e´ que o leitor as leia sempre, antes de resolver algum problema,
ou que as considere como um roteiro infalı´vel para solucionar suas dificuldades. Longe disso!!!
Destacamos que essas dicas sa˜o de cara´ter geral, na˜o sa˜o normas fixas ou rı´gidas, e podem funcionar
com mais efica´cia para aqueles que aprenderam as te´cnicas de demonstrac¸a˜o mais usuais que apresenta-
mos a partir do Capı´tulo 8, e que conhecem a teoria matema´tica satisfato´ria envolvida no teorema a ser
demonstrado.
Conve´m ressaltar, que o tipo de atitude e de procedimento a serem tomados, dependem de cada caso,
da complexidade do tema, da pessoa que ha´ de utiliza´-los, de seu conhecimento adquirido ao longo
dos anos, de sua experieˆncia e inclinac¸o˜es pessoais. Talvez resolver problemas matema´ticos possa se
transformar numa arte, para a qual seja possı´vel ensinar algumas te´cnicas especı´ficas; mas o sucesso
depende principalmente de muita inspirac¸a˜o e de bastante transpirac¸a˜o.
16.1 O que fazer para demonstrar um teorema?
1. O que quero provar?
Diante do teorema a ser demonstrado, muitas vezes vemos algumas pessoas perdidas, sem ao
menos saberem dar o primeiro passo. Primeiramente, e´ necessa´rio saber o que se quer demonstrar.
Na˜o importa quantas vezes seja necessa´rio repetir a pergunta anterior, so´ pare quando tiver plena
conscieˆncia que pode respondeˆ-la sem titubear. E´ necessa´rio compreender um teorema antes de
ensaiar qualquer tentativa de prova´-lo.
179
Capı´tulo 16. Um roteiro para provar um teorema
2. Conhec¸o todos os elementos que compo˜em o teorema? Estou empregando uma notac¸a˜o adequada
para entender o teorema e para usa´-la na demonstrac¸a˜o?
3. Identifique precisamente e entenda a hipo´tese e a tese daquilo que deseja demonstrar.
4. E´ possı´vel checar o teorema com alguns exemplos? Posso detectar nesses exemplos alguma pro-
priedade ou caracterı´stica que eles possuam em comum e que seja fundamental para que o resul-
tado funcione? Essa propriedade ou caracterı´stica pode ser usada na minha demonstrac¸a˜o?
5. Antes de comec¸ar a desenvolver a demonstrac¸a˜o: Conhec¸o a demonstrac¸a˜o de algum teorema
semelhante?
6. Caso conhec¸a algum teorema parecido: Posso utilizar a te´cnica de demonstrac¸a˜o que conhec¸o
para esse teorema? E´ preciso introduzir algum elemento auxiliar extra que me ajude neste sen-
tido?
7. E´ necessa´rio reenunciar o teorema de modo que fique mais simples de ser manipulado? Sera´ que
preciso resolver um problema mais simples, com algum caso particular do original, de forma que
me deˆem argumentos a mais para fazer a demonstrac¸a˜o?
8. Esboce um esquema de demonstrac¸a˜o levando em conta todas as respostas a`s perguntas anteriores.
O teorema depende de casos particulares, e que seja preciso dividir a demonstrac¸a˜o em alguns
casos distintos? Preciso usar demonstrac¸o˜es diferentes em cada caso?
9. Ao longo da demonstrac¸a˜o tome toda cautela para na˜o usar raciocı´nios errados ou deduc¸o˜es fal-
sas. Analise cada passo. Siga uma cadeia de raciocı´nio lo´gico. Deixe claro onde esta´ usando
cada hipo´tese. Conclua a demonstrac¸a˜o ressaltando a conclusa˜o que acabou de chegar. Caso a
demonstrac¸a˜o seja longa demais, e´ bom dividi-la em passos, e siga todas dicas anteriores para
cada um desses passos.
10. Escreva a demonstrac¸a˜o. Esse passo e´ ta˜o importante como fazer a demonstrac¸a˜o.
11. Terminada a demonstrac¸a˜o, e´ necessa´rio fazer uma ana´lise crı´tica da mesma, o que pode ser muito
enriquecedor para o aprendizado: Todos os dados do teorema foram usados? Ha´ algum que seja
supe´rfluo? O teorema admite alguma generalizac¸a˜o? O me´todo pode ser aplicado para outros
resultados? Quais?
180
1
RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS
ALGUMAS PALAVRAS PRE´VIAS: Em todo o processo de elaborac¸a˜o dessas
respostas, a nossa ide´ia foi ensinar. Por razo˜es dida´ticas, redigimos as respostas mudando
de estilo, a fim de que os leitores pudessem ter acessos a`s diferentes formas de redac¸a˜o
matema´tica.
Com certeza, ha´ va´rias maneiras de resolver os exerc´ıcios, diferentes das que
apresentamos. Na maioria dos casos, cabe ao leitor fazer sua pro´pria redac¸a˜o com todos
os detalhes, desenvolvendo seu estilo pessoal de redigir.
O treino e a perserveranc¸a sa˜o indispensa´veis no aprendizado. Portanto, apelamos
que, antes de verificar essas respostas, os leitores tenham se dedicado e gasto tempo
tentando resolver os problemas propostos em cada cap´ıtulo.
Agradec¸o a meu aluno de Iniciac¸a˜o Cient´ıfica Leomaques Francisco Silva Bernardo
pela ajuda na elaborac¸a˜o das respostas dos exerc´ıcios.
CAPI´TULO 1
SUBSEC¸A˜O 1.2.4
Exerc´ıcio 1:
R : Conjunto dos nu´meros reais;
N : Conjunto dos nu´meros naturais;
C : Conjunto dos nu´meros complexos;
∪ : S´ımbolo de unia˜o;∏
: S´ımbolo do produto´rio. No alfabeto grego, a letra correspondente do nosso p e´ pi;
Σ : S´ımbolo do somato´rio. No alfabeto grego, a letra correspondente do nosso s e´ sigma.
Exerc´ıcio 2:
Por exemplo, a divisa˜o de dois nu´meros reais a e b, com b 6= 0, pode ser representada
por
a
b
ou a÷ b.
Exerc´ıcio 4:
i) na˜o pertence iv) na˜o e´ maior do que vii) na˜o conte´m
ii) na˜o esta´ contido v) na˜o e´ menor do que ou igual viii) diferente de
iii) na˜o existe vi) na˜o e´ maior do que ou igual ix) na˜o e´ equivalente a ou na˜o e´ congruente a
Exerc´ıcio 5:
i)
∞∑
n=0
1
n!
.
2
ii)
∞∑
n=1
1
n2
.
iii) 2
√
3×
( ∞∑
n=0
(−1)n
3n(2n+ 1)
)
.
iv)
∞∏
n=0
(
2n+ 2
2n+ 1
)(
2n+ 2
2n+ 3
)
.
v)
∞∏
n=1
an
2
, onde a1 =
√
2 e an =
√
2 + an−1, n ≥ 2.
Exerc´ıcio 6:
a) Esse conjunto e´ simplesmente R.
b) O conjunto esta´ escrito de forma errada.
SEC¸A˜O 1.4
Exerc´ıcio 1: (i)-b, (ii)-d, (iii)-e, (iv)-a (v)-c.
CAPI´TULO 2
SUBSEC¸A˜O 2.1.2
Exerc´ıcio 1:
Sa˜o proposic¸o˜es: (a), (b), (c), (d), (e), (h), (j), (k), (l), (o), (p) e (r).
Na˜o sa˜o proposic¸o˜es: (f), (g), (i), (m), (n), (q) e (s).
Exerc´ıcio 2:
a) Sa˜o verdadeiras as proposic¸o˜es:(a), (b), (c), (e), (o) e (p).
b) Sa˜o sentenc¸as abertas:(m), (q) e (s). Observe que (q) e´ verdadeira, se x e y forem
nu´meros reais, e e´ falsa, caso x e y forem matrizes.
Exerc´ıcio 4:
As sentenc¸as sa˜o distintas pois ha´ uma mudanc¸a na ordem em que aparecem os
quantificadores. Temos: (a) verdadeira, (b) falsa, (c) verdadeira e (d) falsa.
Exerc´ıcio 5: Para toda circunfereˆncia, todos os diaˆmetros
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