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Um convite à matemática Daniel C Filho.pdf

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conjunto como sendo o dos
nu´meros reais.
2. Em geral, a varia´vel a` qual a sentenc¸a esta´ subordinada e´ representada por uma letra. O signifi-
cado da sentenc¸a permanece o mesmo, independente da letra que se possa escolher e utilizar para
representar a varia´vel. Por exemplo, tanto faz escrever
“Existe x ∈ R, tal que 2x+ 6 = 3”,
como escrever
“Existe y ∈ R, tal que 2y + 6 = 3”,
ou
“Existe ξ ∈ R, tal que 2ξ + 6 = 3”.
3. Ao utilizar um sı´mbolo para representar uma varia´vel, tome cuidado para na˜o reutiliza´-lo no
mesmo contexto para uma outra varia´vel, o que poderia causar grande confusa˜o;
4. A ordem na qual os quantificadores de naturezas distintas (existencial e universal ou universal e
existencial) aparecem numa sentenc¸a pode modificar inteiramente o sentido dessa sentenc¸a. Por
exemplo, os significados das sentenc¸as abaixo sa˜o totalmente distintos, ja´ que trocamos a ordem
na qual aparecem os quantificadores de naturezas distintas:
∀y ∈ Z,∃x ∈ N tal que y2 = x
e
∃x ∈ N tal que ∀y ∈ Z temos y2 = x.
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2.1. Como formular um resultado matema´tico? Sentenc¸as, sentenc¸as abertas e quantificadores
5. Ja´ quantificadores de mesma natureza podem ser comutados.
Tanto faz escrever
∀y ∈ Z, ∀n ∈ N tem-se |y|+ |n| ≥ 0,
como
∀n ∈ N,∀y ∈ Z tem-se |y|+ |n| ≥ 0.
Ou ainda, tanto faz escrever
∃w ∈ N, w 6= 0,∃z ∈ Z, z 6= 0; z2 + w2 = 20,
como
∃z ∈ Z, z 6= 0,∃w ∈ N, w 6= 0; z2 + w2 = 20.
6. Outras expresso˜es que podem substituir ‘para todo’ sa˜o, por exemplo: ‘dado’, ‘para qualquer’,
‘(para) qualquer que seja’, ‘para cada’.
7. Outras expresso˜es que podem substituir ‘existe’ sa˜o, por exemplo: ‘existe algum’, ‘existe pelo
menos um’.
Ha´ tambe´m outras maneiras de transformar uma sentenc¸a aberta numa sentenc¸a, sem necessaria-
mente ter de utilizar os quantificadores universal ou existencial (Exercı´cio 7).
2.1.2 A linguagem de conjuntos e a Lo´gica
A utilizac¸a˜o da linguagem de conjuntos ja´ esta´ consolidada e tem seu papel de destaque na Matema´tica
atual. Os conjuntos substituem com concisa˜o e precisa˜o as ide´ias de condic¸o˜es e propriedades que
definem os elementos de uma classe e que poderiam ser formuladas por longas frases. Na Lo´gica, os
conjuntos teˆm grande aplicabilidade ao se prestarem com efica´cia para sintetizar e organizar o raciocı´nio
lo´gico, ale´m da vantagem de ser possı´vel efetuar operac¸o˜es com eles (unia˜o, intersec¸a˜o, etc.).
Vamos agora, e no decorrer do texto, tirar proveito das relac¸o˜es existentes entre a Linguagem de
Conjuntos e a Lo´gica. Veremos como certos conceitos lo´gicos podem ser expressos com a linguagem de
conjuntos, tornando-os mais simples de serem manipulados.
Por exemplo, no caso dos quantificadores, se P (x) e´ uma sentenc¸a aberta que depende de uma
varia´vel x pertencente a um conjunto universo U e, se denotamos
P={x ∈ U; P (x) e´ va´lida },
enta˜o
1) A sentenc¸a ‘∃x ∈ U; P (x) vale’ acarreta ‘P 6= ∅’ e, reciprocamente, caso ‘P 6= ∅’ seja verdade,
resulta que a sentenc¸a “∃ x ∈ U;P (x) vale” e´ verdadeira;
2) Ja´ a sentenc¸a ‘∀x ∈ U, P (x) vale’ acarreta ‘P = U’ e, reciprocamente, caso ‘P = U’ seja verdade,
resulta que a sentenc¸a ‘∀x ∈ U, P (x) vale’ e´ verdadeira.
Um exemplo explı´cito, referente ao primeiro exemplo de sentenc¸a aberta que demos nesta sec¸a˜o:
se
P (x) : 2x+ 3 = 6 e P={x ∈ R; P (x) e´ va´lida },
enta˜o
1) A sentenc¸a “Existe x ∈ R, tal que 2x+ 6 = 3” significa que P 6= ∅, e reciprocamente;
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Capı´tulo 2. A lo´gica-matema´tica
2) Ja´ a sentenc¸a “Para todo x ∈ R temos 2x+ 6 = 3”, significa que P = R, e reciprocamente.
Finalizamos, ressaltando que no decorrer do texto, usaremos as palavras “sentenc¸a” e “proposic¸a˜o”
indistintamente, ja´ que significam a mesma coisa.
Agora que voceˆ ja´ sabe o que e´ uma proposic¸a˜o matema´tica, treine um pouco com os exercı´cios a
seguir.
EXERCI´CIOS:
1. Determine dentre as frases abaixo, quais sa˜o proposic¸o˜es e quais na˜o sa˜o, e explique o porqueˆ:
(a) 3− 1 > 1.
(b) 102002 − 1 e´ divisı´vel por 3.
(c) ∀x ∈ R e ∀ε > 0, ε ∈ R,∃r ∈ Q tal que |x− r| < ε.
(d)
1
3
− 1
7
=
3− 7
10
=
−4
21
.
(e) ∃a ∈ R; a2 > 36 e 0 < a < 7.
(f) 6∈ Q.
(g) Este e´ um nu´mero primo.
(h) ∃a ∈ R; a2 > 36 e a2 < 36.
(i)
(
1
3
)−3
>
(
1
2
)−2
?
(j) 3 < 1 ou 3 = 1.
(k) O nu´mero x ∈ R e´ tal que lnx = 63.
(l) Se duas retas sa˜o paralelas a um plano, enta˜o elas sa˜o paralelas de si.
(m) −x e´ um nu´mero negativo.
(n) Os aˆngulos internos de um triaˆngulo escaleno.
(o)
√
2 < 1, 4143 e 1, 4142 <
√
2
(p) A func¸a˜o seno (real) assume valores no intervalo [−1, 1].
(q) Se x.y = 0, enta˜o x = 0 ou y = 0.
(r) n = 40022004 − 20033002 ⇒ n e´ um nu´mero inteiro par ou ı´mpar ou positivo.
(s) y na˜o e´ um divisor de 2004.
2. (a) Escolha cinco dentre as proposic¸o˜es do exercı´cio anterior, e determine quais delas sa˜o sen-
tenc¸as verdadeiras e quais sa˜o falsas.
(b) Identifique no Exercı´cio 1 as sentenc¸as abertas. Utilize os quantificadores universal ou exis-
tencial para, a seu crite´rio, transformar essas sentenc¸as abertas em sentenc¸as.
3. Transforme as seguintes sentenc¸as abertas em sentenc¸as. Fac¸a isso de modo que a primeira e a
quarta sentenc¸as sejam verdadeiras, e a segunda e a terceira sejam falsas.
(a) |x− 3| ≥ 10.
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2.1. Como formular um resultado matema´tico? Sentenc¸as, sentenc¸as abertas e quantificadores
(b) z2 − 10 > ε para algum nu´mero real ε ≥ 0.
(c) sen(w + l) = 0, 12.
(d) O determinante da matriz
(
r2 27
1 r
)
e´ nulo.
4. Explique, usando exemplos, por que os significados das sentenc¸as a seguir sa˜o distintos. Determine
quais dessas sentenc¸as sa˜o verdadeiras e quais sa˜o falsas:
(a) ∀y ∈ Z, ∃x ∈ N tal que y2 = x.
(b) ∃x ∈ N, tal que ∀y ∈ Z temos y2 = x.
(c) ∃x ∈ N e ∃y ∈ Z tais que y2 = x.
(d) ∀x ∈ N e ∀y ∈ Z temos y2 = x.
5. A`s vezes, os quantificadores na˜o aparecem explicitamente nas sentenc¸as. Reescreva a frase abaixo
explicitando os quantificadores:
“Os diaˆmetros de uma circunfereˆncia se intersectam num ponto.”
6. Use o ma´ximo de sı´mbolos matema´ticos para reescrever as sentenc¸as abaixo. Na˜o se preocupe
(muito) neste momento com o que elas significam.
(a) Sejam x e y nu´meros reais. Uma func¸a˜o f : R → R e´ contı´nua em x quando, para todo
e´psilon positivo, existir um delta positivo, tal que o mo´dulo da diferenc¸a de f(x) e f(y) e´
menor do que e´psilon, sempre que o mo´dulo da diferenc¸a de x e y for menor do que delta.
(b) Sejam an e l nu´meros reais. Dado e´psilon positivo, existe um nu´mero natural n0 tal que, se n
for maior do que ou igual a n0, enta˜o o mo´dulo da diferenc¸a de an e l e´ menor do que e´psilon.
7. Usando o mı´nimo possı´vel de sı´mbolos, reescreva as seguintes sentenc¸as:
(a) ∀x ∈ R, ∀ε > 0, ε ∈ R, ∃r 6∈ Q; |x− r| < ε.
(b) ∀p(x) = x2n+1 + a2nx2n + . . .+ a1x+ a0, ai ∈ R, ∃y0 ∈ R; p(y0) = 0.
8. Transforme, de maneiras distintas, as seguintes sentenc¸as abertas em sentenc¸as, sem usar o quan-
tificador universal ou o existencial
(a) 2z + 5 ≥ 43.
(b) |6u− u4|+ u = senu
98
u3.
9. Encontrando um conjunto apropriado para a(s) varia´vel(ı´es) livre(s), fac¸a um estudo do valor
lo´gico das sentenc¸as abertas a seguir.
(a) 2x2 + 5x− 1 = 0.
(b) x+ y = 10, x e´ divisı´vel por 3 (Trabalhe no conjunto Z).
(c) O polı´gono tem exatamente quatro lados, todos paralelos.
10. Assinale, dentre as frases que seguem, aquelas que tem o mesmo significado da frase
“Todo nu´mero primo, diferente de dois, e´ um nu´mero ı´mpar”.
(a) “Se algum nu´mero primo e´ diferente de dois, ele e´ ı´mpar.”
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Capı´tulo 2. A lo´gica-matema´tica
(b) “Existe pelo menos um nu´mero primo diferente de dois que e´ ı´mpar.”
(c) “Um nu´mero sera´ ı´mpar se for primo e diferente de dois.”
(d) “Qualquer nu´mero primo diferente de dois e´ ı´mpar.”
(e) “Os nu´meros

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