4_Estática_Vetor_posição

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Estática I 
Vetor posição 
 
Profª MSc Liliane do Rocio Marconcin 
1 
Departamento de Engenharia Mecânica 
Curso de Engenharia Mecânica 
Vetor posição 
 
 
 
 
 
 
2 
• ��: localiza um ponto do espaço em relação a 
outro. 
�� � ���̂ 	 �
�̂ 	 ��
� 
 
 
Vetor posição 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
��� 	 �� � ��� 
�� � ��� � ��� 
�� � ��� � ����̂ 	 ��� � ����̂ 	 ��� � ���
� 
 
Vetor força orientado ao longo de 
uma reta 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 �� � ��� � �
��
�
 
 
 
�� � �
��� � ����̂ 	 ��� � ����̂ 	 ��� � ���
�
��� � ���
�	��� � ���
�	��� � ���
�
 
 
 
Exemplo 
2.13 O homem mostrado na figura puxa a corda com uma força 
de 350 N. Represente essa força, que atua sobre o suporte A, 
como um vetor cartesiano e determine sua direção. 
 
 
 
 
5 
Exemplo 
 
 
 
 
 
 
 
 �� � 150�̂ � 100�̂ � 300
� 
! � 64,6° & � 107° ( � 149° 
 
 
6 
Exemplo 
2.7 (B) Um cabo de sustentação de uma torre está ancorado por 
meio de um parafuso em A. A tração no cabo é de 2500 N. 
Determine: a) as componentes Fx, Fy e Fz da força que atua 
sobre o parafuso; b) os ângulos *�, *
 e *� que definem a 
direção da força. 
 
 
 
 
 
 
 
7 
Exemplo 
 
 
 
 
 
 
 
 �� � �1060�̂ 	 2120�̂ 	 795
� 
 �� � �1060	 �
 � 2120	 �� � 795	 
*� � 115,1° *
 � 32° *� � 71,5° 
 
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Produto Escalar 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
• Projeção de , sobre - multiplicado por -: 
 
 
 
 
 
 
 
, ∙ - � ,-/01! 
 
então: �� � �/01*� � �� ∙ � ̂
e em termos gerais: �2 � �� ∙ 3� 
 ��2 � �23� � �� ∙ 3�3� 
 
unitário 
Produto Escalar 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
• Ângulo entre vetores: 
 
�� ∙ 3� � � 3 /01* � �/01* 
 
* � /0145
�� ∙ 3�
�
 
 
 
 Em geral: α � /0145
7∙8
78
 
 
 
 
 
 
Produto Escalar 
 
 
 
 
 
 
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• Propriedades: 
 
– O produto escalar é comutativo: 
 , ∙ - � - ∙ , 
 
– A propriedade distributiva é válida: 
 , ∙ -5 	 -� � , ∙ -5 	 , ∙ -� 
 
– A propriedade associativa não é válida: 
 , ∙ - ∙ 9� : , ∙ - ∙ 9� 
Produto Escalar 
 
 
 
 
 
 
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• Produtos escalar entre vetores unitários: 
�̂ ∙ �̂ � 1 �̂ ∙ �̂ � 0 �̂ ∙ 
� � 0 
�̂ ∙ �̂ � 0 �̂ ∙ �̂ � 1 �̂ ∙ 
� � 0 
� ∙ �̂ � 0 
� ∙ �̂ � 0 
� ∙ 
� � 1 
 
, ∙ - � (Px�̂ + Py� ̂+ Pz 
�)∙(Qx�̂ + Qy� ̂+ Qz 
�) 
 
a propriedade distributiva permite expandir o produto: 
, ∙ - � PxQx + PyQy + PzQz 
 
Em particular, 
, ∙ , � PxPx + PyPy + PzPz = P
2 
 
Exemplo 
2.117 Determine as componentes de �� que atuam ao longo da 
haste AC e perpendicular a ela. O ponto B está localizado sobre 
a haste, no ponto médio. 
 
 
 
 
 
 
��; � 99,5 
�<=�<��;� � 592 
 
 
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Exemplo 
2.110 Determine o ângulo * entre os dois vetores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
* � 121° 
 
 
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Exemplo 
2.25 Determine o ângulo * entre a força e a linha AO. 
 
 
 
 
 
 
 
 
* � 58° 
 
 
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