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Estática I Resultante de um sistema de forças Profª MSc Liliane do Rocio Marconcin 1 Departamento de Engenharia Mecânica Curso de Engenharia Mecânica Resultantes de um sistema de forças 2 • Forças externas e internas: • Para entender melhor os efeitos da ação de uma força sobre um corpo rígido dois novos conceitos devem ser introduzidos: –Momento de uma força em relação a um ponto; –Momento de uma força em relação a um eixo. Fext Fint Partícula Corpo rígido Fext Produto vetorial 3 � � � � � – A linha de ação do vetor � é perpendicular ao plano que contém P e Q; – A magnitude de � é dada por: V = P Q sen(θ) – O sentido de � é definido pela observação a partir da ponta de � da rotação anti-horária de � ao longo de θ em direção à � (regra da mão direita). Produto vetorial 4 – Interpretação geométrica: V é a área do paralelogramo formado por � � �; – O produto vetorial não é comutativo: � � � � � � � – A propriedade distributiva é válida: � � � �� � � � � � � �� – A propriedade associativa não é válida: � � � � � � �� � �� � � Q θ Q sen(θ) P Formulação cartesiana 5 • Produto vetorial entre vetores unitários: �̂ � �̂ � 0 �̂ � �̂ � �� �̂ � �� � ��̂ �̂ � �̂ � ��� �̂ � �̂ � 0 �̂ � �� � � ̂ �� � �̂ � �̂ �� � �̂ � ��̂ �� � �� � 0 � � � � � � ����̂ ���̂ ����� � ����̂ ���̂ ����� �= �PyQz - PzQy� � ̂� �PzQx - PxQz� �̂ � �PxQy - PyQx� �� Momento em relação a um ponto 6 • Formulação vetorial: �� � � � � – �� é perpendicular ao plano formado por � � � ; – A linha de ação de �� representa o eixo sobre o qual o corpo tende a rotacionar, se fixo em O e sujeito à � ; – O sentido de �� caracteriza o sentido de rotação que � impõe ao corpo. Momento em relação a um ponto 7 • Formulação escalar: �� � ����� ��� � ! " # � ���� �� � �# – d é a distância perpendicular do eixo à linha de ação de � ; – d é chamado de braço de alavanca; – notar que MO não depende do ponto de aplicação de � ao longo de sua linha de ação. Momento em relação a um ponto 8 • Em problemas definidos no plano (bidimensionais): MA = +F d MA = -F d (anti-horário) (horário) Convenção: + anti-horário (regra da mão direita) Teorema de Varignon 9 “O momento em relação ao ponto O da resultante de diversas forças concorrentes é igual à soma dos momentos das diversas forças em relação ao mesmo ponto O.” � � � � � � $ ⋯ � � � � � � � � � � � $ ⋯ (distributiva) O r x y z F1 F2 F3 F4 Princípio da transmissibilidade 10 “Ao deslocar uma força ao longo de sua linha de ação, os efeitos que a mesma produz no corpo se mantêm.” �� � � & � � � � ' � � � � ( � � – O vetor � é um vetor deslizante, que não altera o momento criado em relação ao ponto O. Componentes retangulares do momento de uma força 11 • Considere o momento �� de uma força � com componentes Fx, Fy e Fz aplicadas em um ponto A de coordenadas x, y e z. � � ���̂ ���̂ ���� � � ���̂ ���̂ ���� e �� � � � � � ���̂ ���̂ ���� onde Mx = y Fz - z Fy My = z Fx - x Fz Mz = x Fy - y Fx • Os componentes escalares Mx, My, e Mz medem a tendência de rotação que a força � impõe sobre os eixos x, y e z, respectivamente. Momento resultante de um sistema de forças 12 �)* � ∑ � � � Exemplo 4.23 (Adaptado) Determine o momento produzido pela força � em relação ao ponto A. Faça � 60°. �& � 1.439,23 5.6 13 Exemplo 4.4 Duas forças agem sobre a barra mostrada. Determine o momento resultante que elas criam em relação ao flange em O. Expresse o resultado como um vetor cartesiano 14 Exemplo 4.4 �� � 730�̂ � 40�̂ � 1860��9�5.6 15 Exemplo 4.11 Determine o momento da força � em relação ao ponto O. Expresse o resultado como um vetor cartesiano �� � 300�̂ � 600�� 5.6 16 Exemplo 4.12 Se � � 7100�̂ � 120�̂ 75��95 e � � � �200�̂ 250�̂ 100�� , determine o momento resultante produzido por essas forças em relação ao ponto O. Expresse o resultado como um vetor cartesiano. �)� � 97�̂ � 200�̂ 204�� 5.6 17 Momento em relação a um eixo 18 • Momento de uma força � em relação a um eixo arbitrário “a” que passa por O. – Análise escalar: �< � �#< – Análise vetorial: �� � � � � �< � =>< ∙ �� �< � =>< ∙ �� � � � Produto escalar triplo Produto triplo escalar 19 • Interpretação geométrica: volume do paralelogramo Exemplo 4.16 Determine o momento da força � em relação ao eixo y. �� � 210 5.6 20 Exemplo 4.18 Determine o momento da força � em relação aos eixos x, y e z. Use análise escalar. �� � �360 5.6 �� � �120 5.6 �� � �160 5.6 21 Momento de binário 22 • Binário: duas forças não colineares, iguais e opostas, que produz uma tendência à rotação. • Formulação escalar: M=Fd • O momento do binário age perpendicularmente ao plano que contém as forças. Seu sentido e direção são dados pela regra da mão direita. Momento de binário 23 • Formulação Vetorial: �� � � & � � � ' � ��� � �� � � & � � ' � � � � � � � ' � � � & � � � & � � ' �� � � � � • O momento do binário pode agir em qualquer ponto, dependendo apenas do vetor posição � direcionado entre as forças. Momento de binário 24 • Binários equivalentes: produzem o mesmo momento com a mesma intensidade e direção. • Momento de binário resultante: �) � ∑ � � � Exemplo 4.12 Determine o momento de binário agindo sobre o tubo mostrado. O segmento AB está direcionado 30° abaixo do plano x-y. �� � �130�̂ 5.6 25 Exemplo 4.12 �� � �130�̂ 5.6 26 Exemplo 4.19 Determine o momento de binário resultante que age sobre a viga. �) � �7405.627 Simplificações de um sistema de forças e binários 28 • Substituição de uma força por um binário: Simplificações de um sistema de forças e binários 29 • Força resultante: � ) � ∑� • Momento resultante: �)* � ∑�� ∑� Simplificações de um sistema de forças e binários 30 • Forças coplanares: � ) � ∑� Método Algébrico: 1 – Escolha um ponto O de referência, mova todas as forças atuantes e calcule os momentos correspondentes; 2 – Calcule a força @ e o momento MO resultante; 3 – Ache a linha de ação de @ que resulta em MO. Simplificações de um sistema de forças e binários 31 • Forças paralelas: � ) � ∑� • Momento resultante: �)* � ∑�� ∑� # � ABC DB Simplificações de um sistema de forças e binários 32 • Quando o vetor resultante dos momentos � é paralelo à força resultante @, o mesmo é chamada de torçor. • Torçor: tende a transladar e girar o corpo em relação ao seu eixo. Simplificações de um sistema de forças e binários 33 Qualquer sistema geral de forças pode ser representado por um torçor aplicado ao longo de uma linha de ação única. Exemplo 4.27 Substitua o carregamento do sistema por uma força e momento de binário resultante equivalente agindo no ponto A. FR= 1169 N (MR)A = -959,57 N.m 34 Exemplo 4.29 Substitua o carregamento do sistema por uma força e momento de binário resultante equivalente agindo no ponto O. � R� �300�̂ 150�̂ � 250�� 5.6 (�))O � �650�̂ 375�� 5.6 35 Exemplo 4.35 Substitua o carregamento mostrado por uma única força resultante equivalente e especifique as coordenados x e y de sua linha de ação. FR= 800 N x = 2,125 m y = 4,5 m 36 Redução de um carregamento distribuído simples 37 • A força resultante é equivalente a área sob a curva do carregamento. • A linha de ação da resultante passa pelo centro geométrico ou centroide da área ou volume sob o diagrama do carregamento. Redução de um carregamento distribuído simples 38 Exemplo 4.42 Determine a força resultante e especifique onde ela atua na viga, medindo a partir do ponto A. FR= 160 N E̅ � 3,2 6 39 Exemplo 4.40 Determine a força resultante e especifique onde ela atua na viga, medindo a partir do ponto A. FR= 9,5 kN E̅ � 1,56 6 40 Exemplo 4.154 Determine a força resultante e especifique onde ela atua na viga, medindo a partir do ponto A. FR= 10,67 kN E̅ � 1 6 41
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