UFCG_Geometria Descritiva Passo-a-Passo_Prof. Windsor Ramos da Silva

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
ÁREA DE EXPRESSÃO GRÁFICA
Autor: Windsor Ramos da Silva
Geometria Descritiva 
Passo-a-Passo
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Procedimentos para Navegação
Índice 
Os Slides possuem links entre si: o primeiro
refere-se a apresentação do trabalho (Slide 1) o
segundo refere-se ao modo de navegar pelo
trabalho (Slide 2), a partir deste slide o usuário
pode voltar ao slide anterior, ou seja, o slide inicial
(Slide 1) ou ir para os slides seguintes, como
índice com os tópicos referentes a cada assunto
(Slide 3 e 4). A partir daí, clicando no campo
específico, o usuário poderá escolher o tópico o
qual vai estudar, por exemplo, clicando no tópico
Sistemas de Projeções vai para o slide referente a
este assunto, daí, pode voltar para o índice geral
ou ir para slide com outro assunto, por exemplo
Distância Perpendicular entre duas Retas
Reversas, dessa forma o usuário pode navegar sem
problemas verificando todo assunto referente a
Geometria Descritiva .
Índice Geral
Volta ao Índice Geral
Volta ao Slide Anterior
Volta ao Slide Inicial
Vai ao Slide seguinte
Volta ao Índice do TópicoÍndice
Volta ao Índice GeralÍndice Geral
Índice Geral
Tópico 02
Tópico 06
Tópico 05
Tópico 04
Tópico 03
Tópico 07
Tópico 08
Tópico 09
Tópico 10
Tópico 11
Tópico 01 Sistemas de Projeções
Estudo do Ponto
Estudo da Reta
Métodos Descritivos
Plano Auxiliar Primário e Projeção Pontual da Reta 
Direção de uma Reta
Inclinação de uma Reta
Pontos Colineares
Pontos Coplanares
Posição Relativa das Retas
ÍNDICE
Verdadeira Grandeza da Reta 
Índice Geral
ÍNDICE
Ângulo entre Planos (Ângulo Diedro)
Interseção entre Planos
Estudo do Plano
Verdadeira Grandeza de um Plano
Inclinação de um Plano
Distância Perpendicular entre Ponto e Plano
Interseção entre Reta e Plano
Ângulo entre Reta e Plano
Tópico 13
Tópico 15
Tópico 16
Tópico 17
Tópico 19
Tópico 20
Tópico 21
Tópico 14
Interseção entre Reta e Plano (Visibilidade)Tópico 18
Posições Relativas das Retas no Espaço Tópico 12
Índice Geral
SISTEMAS DE PROJEÇÕES

/OBLÍQUA 


SISTEMAS DE PROJEÇÕES
a1
a2
a3
a4 a7
a8
A B
C
B1
A1
C1
A B
C
B1
A1
C1
A B
C
A1 B1
C1
CENTRAL OU CÔNICA CILÍNDRICA: ORTOGONAL 
O
a6
a5
A
Índice Geral
A projeção de um ponto sobre um plano
é a interseção de uma reta que passa
por um ponto (Reta Projetante) de 
um plano de projeção.
 Estudo do Ponto
ESTUDO DO PONTO
 Estudo da Representação do Ponto
 Desenvolvimento dos Diedros
 Projeções Ortográficas nos Diedros
 Representação do Ponto
 Posicionamento de Elementos num Espaço
 Posições do Ponto em Relação aos Planos de Projeção
 Posições do Ponto
Índice Geral
ESTUDO DO PONTO
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PONTO
O ponto é o menor elemento da Geometria e dar
origem aos demais elementos Geométricos.
Apesar da sua importância não existe problemas
geométricos apenas com o ponto e sim quando
este estiver em conjunto com outros elementos.
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PONTO
O ponto em relação aos planos de projeções, pode
está situado no 1o, 2o, 3o e 4o diedros, mas não é
interessante a representação no 2o e 4o diedros
tendo em vista a superposição de imagens após o
rebatimento dos planos de projeções sobre o plano
vertical.
O sistema de representação no 1o diedro é utilizado
nas normas DIN (DASS. INT. NORM) e o no 3o diedro
pelas normas ASA (American Standard Association).
Índice Índice Geral
No Brasil as representações podem ser feitas pelos
dois sistemas, com preferência para a projeção
ortogonal no 1o diedro.
Os diedros estão formados pela interseção de dois
planos, um vertical e outro horizontal, a reta
interseção entre os dois planos é chamada de Linha
de Terra e é comum aos quatro semi-planos:
 PVS - Plano Vertical Superior
 PVI - Plano Vertical Inferior
 PHA Plano Horizontal Anterior 
 PHP - Plano Horizontal Posterior
Índice Índice Geral


ESTUDO DA REPRESENTAÇÃO DO PONTO
a'
b'
c'
ac b
a'
b'
c'
Índice Índice Geral
DESENVOLVIMENTO DOS DIEDROS
(Gaspard Monge)
1o Diedro2o Diedro
3o Diedro 4o Diedro
T
L
Índice Índice Geral
a'
a
Plano Vertical 
Superior
Plano Horizontal 
Anterior
Plano Horizontal Posterior
P
la
n
o
 V
e
rt
ic
a
l 
In
fe
ri
o
r
A
Projeções nos Diedros
Índice Índice Geral
Z
Y
X
PH
PV
O
PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS NO 1o DIEDRO
Índice Índice Geral
PH
PV
Z
Y
X
PH
PV
O
No 2o Diedro acontece 
superposição de imagem.
PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS NO 2o DIEDRO
PV
PH
Índice Índice Geral
Z
Y
X
PH
PV
O
PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS NO 3o DIEDRO
PH
PV
Índice Índice Geral
PH
PV
Z
Y
X
PH
PV
O
No 4o Diedro acontece 
superposição de imagem.
PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS NO 4o DIEDRO
Índice Índice Geral
PH
PV
REPRESENTAÇÃO DO PONTO
PH
PV
L T
L
T
PH
a
a'
a
A
a'
a
Índice Índice Geral
Para posicionar os elementos num espaço
tridimensional determina-se um ponto “O” chamado
ponto de referência que é o ponto comum aos três
planos principais de projeção.
A partir do ponto “O” de origem para localizar os
elementos usa-se o sistema de coordenadas
cartesianas: Abscissa (X), Afastamento (Y) e Cota (Z).
Sobre o eixo X marca-se a abscissa,
Sobre o eixo Y marca-se o afastamento,
Sobre o eixo Z marca-se a cota.
Todos os valores deverão ser sempre positivos e
escritos em milímetro.
POSICIONAMENTO DE ELEMENTOS NUM ESPAÇO:
Índice Índice Geral
PH
PH
PV
PV
Z
PP
Y
PH
X
Y
O
POSIÇÃO DO PONTO EM RELAÇÃO AOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO
Abscissa
a
a''
A
fa
s
ta
m
e
n
to
C
o
ta
s
a
a''
Abscissa
Cota
ÉPURA
A(30, 15, 20)
Abscissa
Afastamento
Cota
a'
a
PP
PP
a''
a
a'
a''
A
a'
PH
PV PP
X
Z
Y
Y
O
Índice Índice Geral
Afastamento
1. Plano Vertical (A) (X e Z)
2. Plano Horizontal (B) (X e Y)
3. Plano de Perfil (C) (Y e Z)
4. Eixo X (D) (PH e PV)
5. Eixo Y (E) (PH e PP)
6. Eixo Z (F) (PV e PP)
7. Origem (G) (PV, PH e PP)
8. No espaço (H) (X, Y, Z - diferentes de zero)
Índice Índice Geral
O ponto em relação aos planos de projeções, pode 
ocupar 8 (oito) posições distintas:
Índice Índice Geral
z
x
PV
y
PP
PH
POSIÇÕES DO PONTO EM RELAÇÃO
AOS PLANOS DE PROJEÇÃO
d''
H,h,h',h'' 
b'
b
b''
f f''F
g'g''G
B
ee'E
2. Plano Vertical (B) (X e Z)
4. Plano de Perfil (D) (Z e Y)
5. Eixo X (E) (Interseção PV e PH)
6. Eixo Y (F) (Interseção PH e PP)
3. Plano Horizontal (C) (X e Y) 7. Eixo Z (G) (Interseção PV e PP)
8. Origem (H) (PH, PV, PP)
1. No Espaço (A) (X, Y, Z - diferente de zero)
d
d'
A
a"a'
a
c''
C
D
PH
PV PH
X
Z
Y
Y
h h''h'H
ÉPURA
b''
b
b'B
c''ee'Ec'
cC
d''D
a''
a'
a
g'g''G
Ff
F f''
d
d'
c
c'
Quando um ponto pertence a um dos planos de
projeção, é representado em Épura através de suas
duas projeções e do próprio ponto.
O ponto pertencente a um dos eixos é representado
por este e por mais duas projeções, se coincidir com
o ponto “O” de origem a representação em Épura é
o próprio ponto e suas projeções.
A representação de um ponto no espaço é feita
através das três projeções,nos planos: vertical,
horizontal e de perfil.
POSIÇÕES DO PONTO
Índice Índice Geral
Pontos Colineares
a'
b'
O
PPPV
PH
Z
X
Y
Y
c'
a
b
c
a''
b''
c''
Três ou mais pontos
são Colineares se e se
somente se, por estes
pontos passar uma reta
imaginária.
Na representação em 
épura dos pontos em 
cada plano de projeção, 
também ficam numa 
mesma linha reta.
Índice Geral
Pontos Coplanares
a'
b'
c'
a
b
c
a''
b''
c''
O
PPPV
PH
Z
X
Y
Y
Pontos Coplanares são 
três ou mais pontos por 
onde se pode passar 
um plano imaginário. Se 
por dois pontos se pode 
passar infinitos planos, 
por um conjunto de 
pontos Coplanares 
composto de pelo 
menos três pontos 
pode-se passar apenas 
um e um único plano.
Índice Geral
 Estudo da Reta
ESTUDO DA RETA
 Posições Relativas das Retas
 Identificação das Retas
 Propriedades: Retas do Primeiro Grupo
 Propriedades: Retas do Segundo Grupo
 Propriedades: Retas do Terceiro Grupo
Índice Geral
ESTUDO DA RETA
Índice Índice Geral
ESTUDO DA RETA
A projeção de uma reta sobre um plano de projeção,
é o lugar geométrico das projeções de todos os seus
pontos sobre este plano. De um modo geral a
posição de uma reta no espaço fica bem determinada
quando são conhecidas as posições dessa reta,
sobre dois ou mais planos ortogonais. (Planos de
Projeção).
Índice Índice Geral
ESTUDO DA RETA
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS
Em relação aos planos de projeção as retas
podem ocupar várias posições em relação aos
planos de projeção, posições estas que
determinam propriedades e identidades. As retas
estão divididas em três grupos distintos, devido
o posicionamento destas com os planos de
projeção.
Índice Índice Geral
ESTUDO DA RETA
IDENTIFICAÇÃO DAS RETAS
Retas do 1o GRUPO
1. Ao PH - Reta Vertical
2. Ao PV - Reta de Topo
3. Ao PP - Reta Fronto-Horizontal
Retas do 2o GRUPO
1. Ao PH - Reta Horizontal
2. Ao PV - Reta Frontal
3. Ao PP - Reta Perfil
1. Ao PV, PH e PP - Reta QualquerRetas do 3o GRUPO
Índice Índice Geral
ESTUDO DA RETA
PROPRIEDADES:
Retas do 1o Grupo: São retas perpendiculares a um
dos planos principais de projeção. Neste plano
principal a projeção da reta se reduz a um PONTO, o
qual chamamos de projeção pontual da reta.
Sendo a reta perpendicular a um plano é paralela aos
outros dois planos adjacentes, nestes planos as retas
se apresentam em suas dimensões reais, que
chamamos de VG, ou seja, Verdadeira Grandeza da
reta.
Índice Índice Geral
RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
PV
Y
PH
X
Z
PP
PV
RETA VERTICAL
Z
Y
X
Y
PV
PH
PP
o
b''
a''a'
b'
ba
Índice Índice Geral
VGVG
a''
b''
A
a
B
b'
a'
b
VG
VG
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'' d''d'
c
d
RETA DE TOPO
Z
Y
Y
X
PV
PH
PP
o
RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
c'
Índice Índice Geral
VG
VG
d''
c'd'
c''
C
d
D
c
VG
VG
Y
PH
PP
X
Z
PV
e' f'
e f
RETA FRONTO-HORIZONTAL
Z
Y
X
Y
PV
PH
PP
o
RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
f''e''
Índice Índice Geral
E
F
e'
f
f'
e
e'' f''
VG
VG
VG
VG
Y
PH
PP
X
Z
PV
Y
PH
PP
X
Z
PV
Y
PH
PP
X
Z
PV
RETAS PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
RETA VERTICAL RETA DE TOPO
RETA FRONTO-
HORIZONTAL
Índice Índice Geral
A
a’’
a
Bb'
a'
b
b''
VG
VG
c'd'
c'' d''
C
d
D
c
VG
VG
E
F
e'
f
f'
e
e'' f''
VG
VG
Z
Y
X
Y
PV
PH
PP
o
b''
a''
ba
a'
b'
VG VG
Z
Y
X
Y
PV
PH
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c'' d''c'd'
o
c
d
VG
VG
e' f'
e f
e''f''
o
Z
Y
X
Y
PV
PH
PP
VG
VG
ESTUDO DA RETA
PROPRIEDADES:
Retas do 2o Grupo: São retas paralelas a um dos
planos principais de projeção, neste plano principal
de projeção a reta se apresenta em V.G. (Verdadeira
Grandeza) e nos outros dois planos se apresentam
oblíquas, portanto, em projeção reduzidas.
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
RETA HORIZONTAL
b''
a
b
a''b'a'
RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
o
Índice Índice Geral
a
a'
a''
Bb'
b''
b
A
VG
VG
Y
PH
PP
X
Z
PV
c
c''
d
d''
d'
c'
RETA FRONTAL
RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
o
Índice Índice Geral
d'
c''
d''
C d
D
c
c'
VG
VG
Y
PH
PP
X
Z
PV
e''
f''
e'
f'
e
f
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
o
RETA DE PERFIL
RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Índice Índice Geral
PV
e''
F
fe
f''
e'
f'
E VG VG
Y
PH
PP
X
Z
PV
Y
PH
PP
X
Z
PV
Y
PH
PP
X
Z
PV
RETAS PARALELAS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
RETA HORIZONTAL RETA FRONTAL RETA DE PERFIL
Índice Índice Geral
a' A
a’’
a
Bb'
b''
b
VG
d'
c''
d''
C d
D
c
c'
VG
f''
f
E
F
e'
f'
e''
e
VG
e''
f''
e'
f'
e
f
X
PP
Y
Y
Z
o
PV
PH
VG
X
PP
Y
Y
Z
o
PV
PH
c
c''
d
d''d'
c'
VGb''
PV
PH
X
PP
Y
Y
Z
o
a
b
a''b'a'
VG
ESTUDO DA RETA
PROPRIEDADES:
Retas do 3o Grupo: São retas oblíquas aos três
planos principais de projeção.
Não apresentam projeção em V. G. (Verdadeira
Grandeza).
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
b'
a' a''
b''
a
b
RETAS OBLÍQUAS AOS TRÊS PLANOS DE PROJEÇÃO
RETA QUALQUER
b'
A
a''
a
B
a'
b''
b
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
o
Índice Índice Geral
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
o
Y
Z
PV
PH
X
RETAS PARALELAS RETAS COINCIDENTES
d
d'
b
b'
a
a'
c
c'
o
Y
Z
PV
PH
X
b
a
b'
a'
d
c
d'
c'
Índice Índice Geral
RETAS CONCORRENTES E REVERSAS
Duas retas são concorrentes quando em Épura as
projeções do ponto de concorrência estiverem sobre
uma mesma perpendicular
c
c'
a
a' d'
d
b'
b
p
p'
o
Y
Z
PV
PH
X
RETAS CONCORRENTES
RETAS REVERSAS
o
Y
Z
PV
PH
X
c
d'
c'
da
a'
b'
b
Índice Índice Geral
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
 Métodos Descritivos
MÉTODOS DESCRITIVOS
 Mudança de Plano de Projeção
 Método de Rotação
 Método de Rebatimento
Índice Geral
ESTUDO DA RETA
MÉTODOS DESCRITIVOS:
Para resolvermos problemas espaciais, 
recorremos aos métodos descritivos, que são:
1. Mudanças de Planos de Projeção
2. Rotação
3. Rebatimento
Índice Índice Geral
MÉTODOS DESCRITIVOS:
Mudanças de Planos de Projeção: Consiste em
considerar a figura fixa e determinar uma nova
projeção sobre um plano auxiliar perpendicular a
um plano de projeção. Este deve ser paralelo à
figura no espaço.
Índice Índice Geral
MÉTODOS DESCRITIVOS:
Método de Rotação: Consiste em fazer girar a
figura em torno de um eixo de rotação conveniente,
até que ela venha ocupar uma posição desejada.
Índice Índice Geral
MÉTODOS DESCRITIVOS:
Método de Rebatimento: Este método conduz a
traçados simples, é utilizado em muitosproblemas,
cujo tratamento descritivo exigirá a rigor, apenas uma
mudança de plano e uma única rotação.
Índice Índice Geral
 Verdadeira Grandeza da Reta
VERDADEIRA GRANDEZA DA RETA
 V. G. por Mudança de Plano de Projeção
 V. G. por Rotação
Índice Geral
VERDADEIRA GRANDEZA DA RETA
Determinar a V.G. de uma reta qualquer consiste
em colocar um plano auxiliar de projeção,
perpendicular a um dos planos principais de
projeção e paralelo a reta.
Índice Índice Geral
VERDADEIRA GRANDEZA DA RETA
PP
PA1
PA1
PH
PV
PA1
a'
b'
a1
b''
b
a
a1
b1
b1
b1
a1
a''
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
o
V.G.
V.G.
V.G.
Mudança de Planos de Projeção
Índice Índice Geral
VERDADEIRA GRANDEZA DA RETA
POR ROTAÇÃO
Índice Índice Geral
Consiste em fazer girar a reta em torno de um
eixo de rotação conveniente, até que ela venha
ocupar uma posição desejada.
Quando se tratar da V.G. de uma reta qualquer
sobre o PH deve-se transformar esta em uma
reta Horizontal, sobre o PV em uma reta Frontal e
sobre o PP em uma reta de Perfil.
VERDADEIRA GRANDEZA DA RETA
POR ROTAÇÃO
o
Y
Z
PV
PH
X
a'
b'
b
a
o
Y
Z
PV
PH
X
a'
b'
b
a
a'
a
VG
a
VG
a'
Método de Rotação
Índice Índice Geral
Reta Frontal
Reta Horizontal
 Projeção Pontual da Reta nos Planos Principais
PLANO AUXILIAR PRIMÁRIO 
E PROJEÇÃO PONTUAL DE RETA
 Projeção Pontual das Retas: Vertical e Horizontal – no PA1
 Projeção Pontual da Reta Qualquer – no PA2
Índice Geral
PLANO AUXILIAR PRIMÁRIO 
E PROJEÇÃO PONTUAL DE RETA
A projeção pontual de uma reta é determinada num
plano de projeção perpendicular à reta no espaço. Por
Exemplo: A reta de Topo tem projeção pontual no PV,
a reta Vertical tem esta projeção no PH e a reta Fronto-
Horizontal tem projeção pontual no PP. Para as retas
Frontal, Horizontal e de Perfil fazemos uso de um
Plano Auxiliar Primário (PA1) e que deve ser colocado
perpendicularmente atrás ou à frente dessas retas.
Em Épura isto significa colocar o eixo do plano
auxiliar primário, perpendicular à projeção da reta em
VG, e fazer a projeção neste plano auxiliar (PA1).
Índice Índice Geral
PLANO AUXILIAR PRIMÁRIO 
E PROJEÇÃO PONTUAL DE RETA
o
Y
Z
PV
PH
X
a
b
b'a'
PH
PA1
a1b1
b’
PROJEÇÃO PONTUAL
DA RETA VERTICAL - PH
o
Y
Z
PV
PH
X
PROJEÇÃO PONTUAL
DA RETA HORIZONTAL - PA1
a,
Índice Índice Geral
VG
VG
a’
b
o
Y
Z
PV
PH
X
a
b
a'
b'
PH
PA1
PLANO AUXILIAR SEGUNDÁRIO 
E PROJEÇÃO PONTUAL DE RETA
PROJEÇÃO PONTUAL DA RETA QUALQUER – PA2
Índice Índice Geral
VG
a1 b1a2b2,
 Direção de Reta
DIREÇÃO DE RETA
 Direção da Reta Horizontal 
Índice Geral
 Direção das Retas do Primeiro Grupo
 Direção das Retas do Segundo Grupo
 Direção das Retas do Terceiro Grupo
A direção de uma reta é o ângulo formado entre o
NORTE (de frente para o P.V.) e a projeção Horizontal
da reta, sua determinação é feita a partir do ponto
que inicia a reta (Origem da Reta). A direção é
calculada através do AZIMUTE, e se faz no sentido
dos ponteiros do relógio, a partir do Norte e expresso
em graus. Esta conceituação é aplicável para os três
Grupos de Retas. A Reta Vertical é a única que não
possui direção, por se apresentar sobre o Plano
Horizontal em projeção pontual.
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
DIREÇÃO DA RETA HORIZONTAL
b' a''
a
a' b''
b
o
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
o
Índice Índice Geral
A
B
a'
b'
b
a'' b''
a
VG
VG
DIREÇÃO DAS RETAS 
DO PRIMEIRO GRUPO
Índice Índice Geral
RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
PV
Y
PH
X
Z
PP
PV
RETA VERTICAL
Z
Y
X
Y
PV
PH
PP
o
b''
a''a'
b'
ba
VGVG
a''
b''
A
a
B
b'
a'
b
VG
VG
0o
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'' d''d'
c
d
RETA DE TOPO
Z
Y
Y
X
PV
PH
PP
o
RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
c'
VG
VG
cd 180
o
dc 0
o ou 360o
dc 0
o ou 
360o
cd 180
o
d''
c'd'
c''
C
d
D
c
VG
VG
dc 0
o ou 
360o
cd 180
o
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
e' f'
e f
RETA FRONTO-HORIZONTAL
Z
Y
X
Y
PV
PH
PP
o
RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
f''e''
E
F
e'
f
f'
e
e'' f''
VG
VG
VG
VG
ef 90
o
fe 270
o
fe 270
o
ef 90
o
Índice Índice Geral
DIREÇÃO DAS RETAS 
DO SEGUNDO GRUPO
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
RETA HORIZONTAL
b''
a
b
a''b'a'
RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
o
a
a'
a''
Bb'
b''
b
A
VG
VG
ab 125
o
ba 305
o
ba 305
o
ab 125
o
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c
c''
d
d''
d'
c'
RETA FRONTAL
RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
o
d'
c''
d''
C d
D
c
c'
VG
VG
cd 90
o
dc 270
o
dc 270
o
cd 90
o
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
e''
f''
e'
f'
e
f
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
o
RETA DE PERFIL
RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
PV
e''
F
fe
f''
e'
f'
E VG VG
ef 180
o
fe 0
o ou 360o
ef 180
o
fe 0
o ou 
360o
Índice Índice Geral
DIREÇÃO DAS RETAS 
DO TERCEIRO GRUPO
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
b'
a' a''
b''
a
b
RETAS OBLÍQUAS AOS TRÊS PLANOS DE PROJEÇÃO
RETA QUALQUER
b'
A
a''
a
B
a'
b''
b
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
o
ba 45
o
ab 225
o
Índice Índice Geral
ab 225
o
ba 45
o
 Inclinação de Reta
INCLINAÇÃO DE RETA
 Inclinação de uma Reta Frontal
 Inclinação das Retas do Primeiro Grupo
 Inclinação das Retas do Segundo Grupo
 Inclinação das Retas do Terceiro Grupo
Índice Geral
INCLINAÇÃO DAS RETAS 
DO PRIMEIRO GRUPO
Índice Índice Geral
RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
PV
Y
PH
X
Z
PP
PV
RETA VERTICAL
Z
Y
X
Y
PV
PH
PP
o
b''
a''a'
b'
ba
VGVG
a''
b''
A
a
B
b'
a'
b
VG
VG
ab 90
o
ab 90
o
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'' d''d'
c
d
RETA DE TOPO
Z
Y
Y
X
PV
PH
PP
o
RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
c'
VG
VG
d''
c'd'
c''
C
d
D
c
VG
VG
cd 0
o
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
e' f'
e f
RETA FRONTO-HORIZONTAL
Z
Y
X
Y
PV
PH
PP
o
RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
f''e''
E
F
e'
f
f'
e
e'' f''
VG
VG
VG
VG
ef 0
o
Índice Índice Geral
INCLINAÇÃO DAS RETAS 
DO SEGUNDO GRUPO
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
RETA HORIZONTAL
b''
a
b
a''b'a'
RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
o
a
a'
a''
Bb'
b''
b
A
VG
VG ab = 0
o
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c
c''
d
d''
d'
c'
RETA FRONTAL
RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Y
Y
X
PV
PH
PPZ
o
d'
c''
d''
C d
D
c
c'
VG
VG
cd 45
o
ab 45
o
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
e''
f''
e'
f'
e
f
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
o
RETA DE PERFIL
RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
PV
e''
F
fe
f''
e'
f'
E VG VG
ef 35
o
ab 35
o
Índice Índice Geral
INCLINAÇÃO DAS RETAS 
DO TERCEIRO GRUPO
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
b'
a' a''
b''
a
b
RETAS OBLÍQUAS AOS TRÊS DE PLANOS PROJEÇÃO
RETA QUALQUER
b'
A
a''
a
B
a'
b''
b
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
o
PH
PA1 b1
a1
ab 28
o
Índice Índice Geral
A inclinação de uma reta é o ângulo formado entre a
reta e o Plano Horizontal de Projeção.
A inclinação que a reta tem em relação ao Plano
Horizontal de Projeção é determinada no plano de
projeção onde a reta mostra a sua V.G. e este plano
deve ser perpendicular ao plano horizontal. As retas
do 1o Grupo tem inclinação máxima ou mínima. Já as
retas do 2o Grupo têm a inclinação mostrada em um
dos dois planos, P.V. ou P.P., por serem
perpendiculares ao P.H.. Para as retas do 3o Grupo é
necessário colocar um plano auxiliar de projeção
perpendicular ao P.H. e paralelo a reta no espaço.
Portanto a inclinação será expressa em graus e
medida com o transferidor.
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV a''
a
b'
a'
b''
b
o
INCLINAÇÃO DE RETA
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
o o
Índice Índice Geral
A b
a
a'
B
b'
a''
b''
VG
VG
 Retas Paralelas
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
 Distâncias entre Retas Paralelas
 Plano Auxiliar Secundário
 Retas Concorrentes e Reversas
 Retas Perpendiculares
 Pertinência Ponto-Reta
 Distância Perpendicular entre Ponto e Reta
 Distância Perpendicular entre Retas Reversas
Índice Geral
 Retas Paralelas e Coincidentes
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
o
Y
Z
PV
PH
X
RETAS PARALELAS RETAS COINCIDENTES
d
d'
b
b'
a
a'
c
c'
o
Y
Z
PV
PH
X
b
a
b'
a'
d
c
d'
c'
Índice Índice Geral
RETAS CONCORRENTES E REVERSAS
Duas retas são concorrentes quando em Épura as
projeções do ponto de concorrência estiverem sobre
uma mesma perpendicular
c
c'
a
a' d'
d
b'
b
p
p'
o
Y
Z
PV
PH
X
RETAS CONCORRENTES
RETAS REVERSAS
o
Y
Z
PV
PH
X
c
d'
c'
da
a'
b'
b
Índice Índice Geral
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
RETAS PERPENDICULARES
Duas retas concorrentes são perpendiculares
quando num plano de projeção as duas retas
aparecem perpendiculares entre si e pelo menos
uma delas aparece em V.G., neste plano.
Para as retas do 1o e 2o Grupos esta
perpendicularidade é vista em um dos planos
principais. No caso de duas retas quaisquer, a
perpendicularidade deverá ser determinada onde
encontrarmos a V.G. de pelo menos uma das retas,
isto poderá ser determinado no P.A.1.
Índice Índice Geral
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
o
Y
Z
PV
PH
X
RETAS PERPENDICULARES
o
Y
Z
PV
PH
X
d
b'
b
d'
c
c'
a
a'
e'
e
Índice Índice Geral
a
b'
b
c'
c d
a'
d'
e'
e
e1
VG
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
Duas retas são paralelas quando suas projeções
de mesmo nome sobre pelo menos dois planos
são paralelas. Com exceção as retas de perfil, que
necessita da projeção no plano de perfil.
RETAS PARALELAS
Índice Índice Geral
A distância entre duas retas paralelas é determinada em um
plano de projeção em que se encontram as projeções
pontuais das retas. Para as retas do 1o Grupo, as projeções
são encontradas em um dos Planos Principais, podemos
dizer que a solução é imediata. Já para as retas do 2o Grupo
as projeções pontuais são encontradas num Plano Auxiliar
Primário colocado perpendicularmente as retas no espaço.
Em Épura, isto significa colocar o eixo perpendicular à
projeção que está em V.G. encontrando, portanto as
projeções pontuais das retas. Para as retas quaisquer se
faz necessário o uso de um Plano Auxiliar Secundário,
colocado também, perpendicular à projeção que esteja em
V.G. e encontrando as projeções pontuais,
consequentemente a distância entre as retas.
DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS PARALELAS
Índice Índice Geral
D
D
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE 
RETAS DO 1O GRUPO
RETAS VERTICAIS RETAS DE TOPO
o
Y
Z
PV
PH
X
o
Y
Z
PV
PH
X
Índice Índice Geral
a,b
a’
b’
VG
c’
c,d
d’
VG
b’a’
a
b
VG
d’c’
c
d
VG
a”b”
d’
d
a’
a
c’
c
b’
b
c”d’’
Distância
Perpendicular
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE
RETAS DO 1O GRUPO 
RETAS FRONTO-HORIZONTAIS
Índice Índice Geral
VG
VG
VG
VG
o
Y
Z
PV
PH
X
Y
PP
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE
RETAS DO 2O GRUPO 
d
d'
c
c'
a
a'
b
b'
o
Y
Z
PV
PH
X
Distância
Perpendicular
o
Y
Z
PV
PH
X
d'
d
c'
c
b'
b
a'
a
Distância
Perpendicular
PH
PA1
PV
PA1
RETAS HORIZONTAIS RETAS FRONTAIS
Índice Índice Geral
VG VG
VG
VG
b1a1 d1c1
a1b1c1d1
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE
RETAS DO 2O GRUPO 
RETAS DE PERFIL
PP
Y
Y
X
PV
PH
Z
Distância
Perpendicular
c''
a''
c'
d'
c
d
a'
b'
a
b
b''
d''
c1d1
a1b1
Índice Índice Geral
PP
PA1
VG
VG
PLANO AUXILIAR SECUNDÁRIO
É qualquer plano de projeção perpendicular a um
plano auxiliar primário.
Para determinar a distância perpendicular entre as
retas paralelas do 3o Grupo, se faz necessário
determinar as V.Gs., destas num PA1. Para isto
coloca-se o eixo do PA2 perpendicular as V.Gs.
como se faz para as retas do 2o Grupo.
Índice Índice Geral
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE
RETAS DO 3O GRUPO 
RETAS QUAISQUER
o
Y
Z
PV
PH
X
c
c'
d
d'
a
a'
b
b'
Distância
Perpendicular
PH
PA1
PA1PA2
Índice Índice Geral
a1
c1
d1
b1
b1a1
d1c1
VG
VG
Um ponto pertence a uma reta, quando as
projeções desse ponto estão sobre as projeções de
mesmo nome da reta, isto é, a projeção horizontal
do ponto sobre a projeção horizontal da reta, a
projeção vertical do ponto sobre a projeção vertical
da reta e a projeção de perfil do ponto sobre a
projeção de perfil da reta.
PERTINÊNCIA PONTO E RETA
Índice Índice Geral
PERTINÊNCIA DE PONTO E RETA
Y
o
Z
Y
X
PV
PH
PP
b''
a''a'
b'
c' c''
ba c
Índice Índice Geral
o
Z
Y
X
PV
PH
PP
b'
a' a''
b''
a
b
c
c''c'
Y
b''
o
Z
Y
X
PV
PH
PP
a
b
a''b'a'
c
c''c'
Y
DISTÂNCIA PERPENDICULAR PONTO E RETA
A distância perpendicular entre um ponto e uma reta do 1o
Grupo, é vista em um dos planos principais de projeção. No
caso da Reta de Topo a distância é vista no PV, da Reta
Vertical no PH e da Reta Fronto-horizontal no PP. Daí conclui-
se que a distância é medida no plano de projeção onde se
encontra a projeção pontual da reta e projeção do ponto.
Para medir a distância entre um ponto e uma reta do 2o Grupo
sua projeção pontual está no PA1, assim como a projeção do
ponto, feita a partir de mudança de planos. É neste plano que
se faz a medição.
Já as retas do 3o Grupo, encontra-se a VG da reta no PA1 bem
como a projeção do ponto, em seguida coloca-se um plano de
projeção PA2 de frente para a VG da reta, ou seja
perpendicular,projetando assim a projeção pontual da reta e a
projeção do ponto, portanto, a medição é feita como nos
demais casos.
Índice Índice Geral
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE PONTO E RETA
RETA VERTICAL
b''
a''a'
b'
ab
Y
PH
X
Z
PV
PP
Índice Índice Geral
p´ p´´
p
A
a''
a
B
a'
b
b''
b'
p
P
p''
p'
o
Z
Y
X
PV
PH
PP
Y
Y
PH
PP
X
Z
PV
RETA HORIZONTAL
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE PONTO E RETA
b''
a
b
a''b'a'
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
PA1
PH
a1b1
p
p' p''
p1
Índice Índice Geral
a
a'
a''
Bb'
b''
b
A
p
Pp'
p''
VG
VG
Y
PH
PP
X
Z
PV
b'
a' a''
b''
a
b
RETAS OBLÍQUAS AOS TRÊS PLANOS DE PROJEÇÃO
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
RETA QUALQUER
Distância
Perpendicular
PA1
PH
PA1PH2
p
p' p''
p1
a1
b1
a1b1
p2 Índice Índice Geral
b'
A
a''
a
B
a'
b''
b
p'
p''
p
P
VGq1
q
q' q''
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE 
RETAS REVERSAS
A distância perpendicular entre retas reversas é
determinada em um plano de projeção que mostra
uma das retas em projeção pontual, daí traça-se
uma perpendicular, da projeção pontual à projeção
da outra reta, lugar onde pode ser medida a
distância entre as retas
Uma vez determinado o ponto, perpendicular a
projeção, faz o alçamento deste ponto até a outra
projeção da reta, daí traça-se uma perpendicular até
a projeção de mesmo nome da outra reta que se
encontra em V.G. e continua determinando sobre as
retas, as novas projeções.
Índice Índice Geral
c'
d'
c
Distância
Perpendicular
b'
a
a'
b
PA1
PH
PA2PA1
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE RETAS REVERSAS
Índice Índice Geral
c1
d1
b1
a1
•
c2d2
b2
a2
q2
q1
r1
r
q
r'
q'
d
X
PV
PH
Z
Y
o
 Estudo do Plano
ESTUDO DO PLANO
 Elementos que definem um Plano
 Identificação dos Planos
 Propriedades: Planos do Primeiro Grupo
 Propriedades: Planos do Segundo Grupo
 Propriedades: Planos do Terceiro Grupo
Índice Geral
Índice Índice Geral
Estudo do Plano
Plano, também chamado de superfície, é uma extensão
expressa em duas dimensões: Comprimento e Largura.
A superfície plana (Plano) é uma superfície tal que toda
reta que une dois quaisquer de seus pontos, está
inteiramente compreendida nesta superfície.
Sabemos que: um plano pode ser definido por três ou
mais pontos não alinhados (Coplanares), por duas
retas paralelas, por duas retas concorrentes ou ainda,
por uma reta e um ponto não pertencente a esta.
 O plano pode ser: Ilimitado e Limitado
 O plano Ilimitado é imensurável
 O limite do plano é a linha, assim podemos
distinguir linhas retas e curvas.
Os planos limitados por linhas retas (lados), são
chamados de polígonos. Já os planos limitados por
linhas curvas, tem denominação própria, como sejam,
círculo, circunferência, elipse, etc...
ESTUDO DO PLANO
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PLANO
Elementos que definem um plano:
o
Y
Z
PV
PH
X
o
Y
Z
PV
PH
X
o
Y
Z
PV
PH
X
o
Y
Z
PV
PH
X
c
c'
a
a'
b
b'
d
d'
c
c'
b
b'
a
a'
c
c'
a
a' d'
d
b'
b
a'
a
b'
b
c
c'
Três Pontos 
não Alinhados
Duas Retas
Paralelas
Duas Retas
Concorrentes
Uma Reta e
Um Ponto
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PLANO
IDENTIFICAÇÃO DOS PLANOS
1. Ao PH - Plano Vertical
Planos do 2o GRUPO 2. Ao PV - Plano de Topo
3. Ao PP - Plano de Rampa
Planos do 1o GRUPO
1. Ao PH - Plano Horizontal
2. Ao PV - Plano Frontal
3. Ao PP - Plano de Perfil
1. Ao PV, PH e PP - Plano QualquerPlanos do 3o GRUPO 
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PLANO
Os planos do 1o Grupo estão paralelos a um dos planos
principais de projeção e perpendiculares aos planos
adjacentes. No plano em que estiver paralelo encontra-
se a V.G. do plano no espaço e nos outros encontram-se
as projeções lineares deste plano.
Já, a V.G. dos planos do 2o Grupo como estão
perpendiculares a um dos planos, neste, se mostra em
projeção lineares e nos outros em projeção reduzidas,
levando portanto a determinar sua VG no PA1, quando
este é colocado paralelo a projeção linear.
O plano do 3o Grupo, se caracteriza por ser obliquo a
todos os planos de projeção. Sendo assim, para
determinar a sua VG, se faz necessário duas mudanças
de plano, ou seja, a VG é determinada no PA2. Sendo
assim, para determinar a VG, deve-se seguir os
seguintes passos: Índice Índice Geral
ESTUDO DO PLANO
Escolhe-se uma das projeções em que uma das
arestas esteja em V.G., determina-se a projeção
pontual desta aresta e projetando também os
outros pontos, determinado assim, a projeção linear
do plano no espaço, agora a resolução da V .G. se
processará igual aos planos do 2o Grupo. Se não
tivermos nenhuma das arestas do plano no espaço
em V.G. teremos que criar uma reta que pertença ao
plano e que mostra a sua V.G. em um dos planos
principais.
Escolhe-se uma projeção do plano no espaço desde
que a projeção da aresta esteja paralela ao plano,
daí encontra-se no plano adjacente a V.G., com este
elemento procederá segundo a descrição anterior.
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PLANO
PROPRIEDADES:
Planos do 1o Grupo: São Planos paralelos a um dos
planos principais de projeção, neste plano é
mostrada a sua V.G., as projeções nos outros
planos são perpendiculares e são chamadas de
projeções lineares.
• Plano Horizontal paralelo ao Plano Horizontal
• Plano Frontal paralelo ao Plano Vertical
• Plano de Perfil paralelo ao Plano de Perfil
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
PLANOS DO 1O GRUPO: PARALELO A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO – PARALELO AO PLANO HORIZONTAL
b''a'
a
b'
b
c'
c
c''a''
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
PLANO HORIZONTAL
Índice Índice Geral
b''
c
Aa'
b'
c'
a''c''
b
B
C
a
VG
VG
Y
PH
PP
X
Z
PV f'
f
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
PLANO FRONTAL
e''
d''f''d'
d
e'
e
PLANOS DO 1O GRUPO: PARALELO A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO – PARALELO AO PLANO VERTICAL
Índice Índice Geral
d''f''
e'
f'
d'
d
e
E
f
F
D
e'
VG
VG
Y
PH
PP
X
Z
PV
g''
h'' i''h'
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
PLANO DE PERFIL
h
g
i
g'
i'
PLANOS DO 1O GRUPO: PARALELO A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO – PARALELO AO PLANO DE PERFIL
Índice Índice Geral
g''
h'' i''g'
h'i'
h g i
G
IH
VG VG
Y
PH
PP
X
Z
PV
Aa'
b'
c'
a''c'' b''
b
c
B
C
a
VG
PLANOS PARALELOS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
PLANO HORIZONTAL PLANO FRONTAL PLANO DE PERFIL
Y
PH
PP
X
Z
PV
d''
e'
f'
d'
e
E
f
F
D
VG
f''
d
Índice Índice Geral
X
PV PP
Y
Y
Z
PH o
a'b'c' c'' b''
a
b
c
a''
VG
Y
Y
X
Z
PV
PH
PP
o
g''
h'' i''
g'
h'i'
i
g
h
VG
Y
PH
PP
X
Z
PV
g''
h'' i''g'
h'i'
h g i
G
IH
VG
f
Y
Y
X
Z
PV
PH
PP
o
e''
d''f''
e'
f'd'
d e
VG
ESTUDO DO PLANO
PROPRIEDADES:
Planos do 2o Grupo: São Planos perpendiculares a
um dos planos principais de projeção, neste plano é
mostrada a sua projeção linear, as projeções nos
outros planos são oblíquas e são chamadas de
projeções reduzidas.
• Plano Vertical perpendicular ao Plano Horizontal
• Plano de Topo perpendicular ao Plano Vertical
• Planode Rampa perpendicular ao Plano de Perfil
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'
a'
a
c''
a''
b''
b
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
PLANO VERTICAL
c'
a'
b'
c
A
b
b
c''
B
a''
b''
C
b'
PLANOS DO 2O GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO – PERPENDICULAR AO PLANO HORIZONTAL
Índice Índice Geral
c
Y
PH
PP
X
Z
PV
a'
c'b'
a
c''
a''
b''
b
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
PLANO DE TOPO
c'
a'
b'
c''
A
bc
B
a''
b''
C a
c
PLANOS DO 2O GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO – PERPENDICULAR AO PLANO VERTICAL
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV c'
a'
b'
c
a
b''c''
a''
b
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
PLANO DE RAMPA
c'
a'
b'
c
A
a
c''
B
a''
b''
C b
PLANOS DO 2O GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO – PERPENDICULAR AO PLANO DE PERFIL
Índice Índice Geral
PLANOS PARALELOS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
PLANO VERTICAL PLANO DE TOPO PLANO DE RAMPA
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'
a'
b'
c
A
b
b
c''
B
a''
b''
C
Y
Y
X
Z
PV
PH
PP
o
c'
a'
b'
c
a
c''
a''
b''
b
Y
Y
X
Z
PV
PH
PP
o
c'
a'
b'
c
a
c''
a''
b''
b
X
PV PP
Y
Y
Z
PH o
c'
a'
b'
c
a
c''
a''
b''
b
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'
a'
b'
c
A
bc
B
a''
b''
C a
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'
a'
b'
c
A
a
c''
B
a''
b''
C b
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PLANO
PROPRIEDADES:
Planos do 3o Grupo: São Planos oblíquos aos três
planos principais de projeção, nestes planos não
apresentam projeção em V.G. nem projeção linear e
sim projeções reduzidas sobre os três planos.
• Plano Qualquer, oblíquo aos três Planos Principais
de projeção
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
a'
c'
b'
a
c''
a''
b''
b
PLANO QUALQUER
c
PLANOS DO 3O GRUPO: OBLÍQUOS AOS TRÊS 
PLANOS DE PROJEÇÃO – PH, PV e PP
Índice Índice Geral
a''
c'
a'
b
c
b''
a
b'
A
c''
B
C
c
Índice Geral
Verdadeira Grandeza
ESTUDO DO PLANO
VERDADEIRA GRANDEZA
Os planos do 1o Grupo estão paralelos a um dos
planos principais de projeção e perpendiculares
aos planos adjacentes. No plano em que estiver
paralelo encontra-se a V.G. do plano no espaço e
nos outros encontram-se as projeções lineares
deste plano.
Já a V.G. dos planos do 2o Grupo determina-se
quando se coloca um plano auxiliar paralelo a
projeção linear do plano no espaço. E é notável as
características do 1o Grupo com este.
Índice Geral
VERDADEIRA GRANDEZA DO PLANO
o
Y
Z
PV
PH
X
b'
b
a'
a
VG
c'
c
PH
PA1
c1
a2
b2
Índice Geral
PLANO VERTICAL
VERDADEIRA GRANDEZA DO PLANO
o
Y
Z
PV
PH
X
a'
c'
b'
b
a
c
a1b1
c1
c2
a2
b2
PH
PA1
PA1
PA2
VG
A V.G. do plano do 3o
Grupo é determinada 
como se segue: 
Escolhemos em um dos 
planos principais uma 
das projeções de uma 
aresta que esteja em V.G. 
determina-se a projeção 
pontual desta aresta (reta) 
projetando os outros 
pontos determinando 
assim a projeção linear do 
plano no espaço, agora a 
resolução da V .G. se 
processará igual aos 
planos do 2o Grupo.
Índice Geral
VERDADEIRA GRANDEZA DO PLANO
o
Y
Z
PV
PH
X
a'
b'
c'
b
a
c
c2
b2
a2
PH
PA1
PA1
PA2
c1a1
e'
e
VG
b1e1
Índice Geral
Se não tivermos nenhuma
das arestas do plano no
espaço em V.G. teremos
que criar uma reta que
pertença ao plano e que
mostra a sua V.G. em um
dos planos principais. Em
seguida determina-se a
projeção pontual desta
reta e a projeção dos
outros pontos, obtendo
assim a sua projeção
linear, daí determina-se a
sua V.G. segundo a
descrição anterior.
Índice Geral
INCLINAÇÃO DO PLANO
 Inclinação de um Plano
 Inclinação dos Planos do Primeiro Grupo
 Inclinação dos Planos do Segundo Grupo
 Inclinação dos Planos do Terceiro Grupo
INCLINAÇÃO DE UM PLANO
A inclinação de um plano é o ângulo formado entre
um plano no espaço e o Plano Horizontal de Projeção
e é determinada em um plano de projeção
perpendicular ao P.H. e que o plano em questão esteja
em projeção linear.
O plano, não tem direção, por não ser um elemento
retilíneo que possa ser direcionado.
Índice Geral
INCLINAÇÃO DE UM PLANO
o
Y
Z
PV
PH
X
a'
b'
c'
b
a
c
PH
PA1
c1a1
e'
e
o
Y
Z
PV
PH
X
a'
b'
c'
c
b
a
b1 e1
Índice Geral
PLANO DE TOPO PLANO QUALQUER
INCLINAÇÃO DOS PLANOS
DO PRIMEIRO GRUPO
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
PLANOS DO 1O GRUPO: PARALELO A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO
b''a'
a
b'
b
c'
c
c''a''
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
PLANO HORIZONTAL
b''
c
Aa'
b'
c'
a''c''
b
B
C
a
VG
VG
Índice Índice Geral
abc 0
o
Y
PH
PP
X
Z
PV f'
f
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
PLANO FRONTAL
e''
d''f''
d'
d
e'
e
PLANOS DO 1O GRUPO: PARALELO A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO
d''f''
e'
f'
d'
d
e
E
f
F
D
e'
VG
VG
Índice Índice Geral
abc 90
o
abc 90
o
Y
PH
PP
X
Z
PV
g''
h'' i''h'
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
PLANO DE PERFIL
h
g
i
g'
i'
PLANOS DO 1O GRUPO: PARALELO A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO
g''
h'' i''g'
h'i'
h g i
G
IH
VG VG
Índice Índice Geral
ab 90
o
ab 90
o
INCLINAÇÃO DOS PLANOS 
DO SEGUNDO GRUPO
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'
a'
a
c''
a''
b''
b
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
PLANO VERTICAL
b'
PLANOS DO 2O GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO
c
Índice Índice Geral
abc 90
o
c'
a'
b'
c
A
b
b
c''
B
a''
b''
C
Y
PH
PP
X
Z
PV
a'
c'b'
a
c''
a''
b''
b
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
PLANO DE TOPO
c'
a'
b'
c''
A
bc
B
a''
b''
C a
c
PLANOS DO 2O GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO
Índice Índice Geral
abc 48
o
abc 48
o
Y
PH
PP
X
Z
PV c'
a'
b'
c
a
b''c''
a''
b
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
PLANO DE RAMPA
c'
a'
b'
c
A
a
c''
B
a''
b''
C b
PLANOS DO 2O GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO
Índice Índice Geral
abc 48
o
abc 48
o
INCLINAÇÃO DOS PLANOS
DO TERCEIRO GRUPO
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
a'
c'
b'
a
c''
a''
b''
b
PLANO QUALQUER
c
PLANOS DO 3O GRUPO: OBLÍQUOS AOS TRÊS 
PLANOS DE PROJEÇÃO
a''
c'
a'
b
c
b''
a
b'
A
c''
B
C
c
Índice Índice Geral
abc 60
o
abc 60
o
b1c1
a1
PA1
PH
Índice Geral
Distância Perpendicular 
entre Ponto e Plano
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE 
PONTO E PLANO
A distância entre um ponto e um plano é obtida da
seguinte maneira:
1o Coloca-se o plano em projeção linear.
2o Baixa-se uma perpendicular do ponto até a
projeção linear do plano.
3o Neste plano de projeção pode ser medida a
distância, visto que esta projeção está em V.G.
Índice Geral
PHY
PH
PP
X
Z
PV
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTREUM 
PONTO E UM PLANO HORIZONTAL
b''a'
a
b'
b
c'
c
c''a''
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
PLANO HORIZONTAL
Índice Geral
p''p'
p
b''
c
Aa'
b'
c'
a''c''
b
B
C
a
p''
p'
p
P
PH
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'
a'
a
c''
a''
b''
cb
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
PLANO VERTICAL
b'
p
p' p''
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE UM 
PONTO E UM PLANO VERTICAL
Índice Geral
c'
a'
b'
c
A
b
b
c''
B
a''
b''
C
P
p'
p''
p
Y
PH
PP
X
Z
PV
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
a'
c'
b'
a
c''
a''
b''
b
PLANO QUALQUER
c
p''p'
p1
p
PH
PA1
a1
b1c1
x'
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE UM 
PONTO E UM PLANO QUALQUER
Índice Geral
c'
a'
b
c
a''
b''
a
b'
A
c''
B
C
c
P
p'
p''
p
q1
q
q' q''
x
Índice Geral
Interseção entre Reta e Plano
INTERSEÇÃO ENTRE RETA E PLANO
A interseção de uma reta com um plano é determinada
em um plano de projeção que mostra a projeção linear
do plano e a projeção da reta. O ponto comum entre a
projeção linear do plano e a projeção da reta, é o
ponto de interseção. Para determinar esse ponto de
interseção, nos outros planos de projeção faz-se o
alçamento, sabendo-se que o ponto de interseção é
um ponto comum da reta e do plano.
Determinada a interseção, faz-se a visibilidade entre a
reta e o plano, observando o que é visível antes e
após o plano.
Índice Geral
INTERSEÇÃO ENTRE RETA E PLANO
Índice Geral
a'
c'
b'
a1
c
a
b
b1
c1
d'
e'
d
e
d1
e1
PA1
PH
p'
p
p1
o
Y
Z
PV
PH
X
f'
f
Índice Geral
Interseção entre Reta e Plano
(Visibilidade)
INTERSEÇÃO ENTRE RETA E PLANO (VISIBILIDADE)
Índice Geral
a'
c'
b'
a1
c
a
b
b1
c1
d'
e'
d
e
d1
e1
PA1
PH
p
p1
o
Y
Z
PV
PH
X
f'
f
p'
Índice Geral
Ângulo entre Reta e Plano
ÂNGULO ENTRE RETA E PLANO
O ângulo entre uma reta e um plano é determinado
num plano de projeção que mostra o plano em
projeção linear e a reta em V.G. Para medir o ângulo
formado entre uma reta e um plano é necessário
determinar a projeção linear do plano. Não estando
em V.G. esta reta, coloca-se um plano de projeção
auxiliar paralelo a projeção da reta, obviamente
obtém-se a reta em V.G. e o plano em projeção linear.
Índice Geral
o
Y
Z
PV
PH
X
ÂNGULO ENTRE RETA E PLANO
PA1
PH
PA2
PA1
PA2
PA3
a1
e1
a'
a
b'
b
b1
d1
e'
e
d'
d
a2
b2
c2
a3
b3
c3
e2
d2
e3
d3
Índice Geral
p'
p
p2
p3
VG
VG
c'
c
f'
f
c1
p1
Índice Geral
Interseção entre Planos
INTERSEÇÃO ENTRE PLANOS
A interseção entre dois planos é determinada em um
plano de projeção onde um dos planos é mostrado em
projeção linear. Para determinar a interseção entre os
planos é necessário que se verifique as aresta do
plano, que fazem interseção com a reta interseção do
plano, ou seja, o plano que se encontra em projeção
linear, intercepta o outro plano, definido por dois
pontos, que identificamos como reta interseção entre
os planos.
Índice Geral
Índice Índice Geral
INTERSEÇÃO ENTRE PLANOS
f1
o
Y
Z
PV
PH
X
f'
f
e'
e
d'
d
c'
c
b'
b
a'
a
d1
b1
e1
a1
c1
z
x
z'
x'
PHPA1
g'
g
x1
z2
Índice Geral
Interseção entre Planos 
(Visibilidade)
INTERSEÇÃO ENTRE PLANOS
VISIBILIDADE
Índice Geral
A interseção entre dois planos é determinada em
um plano de projeção onde um dos planos é
mostrado em projeção linear. Para determinar a
interseção entre os planos é necessário que se
verifique as aresta do plano, que fazem interseção
com a reta interseção do plano, ou seja, o plano
que se encontra em projeção linear, intercepta o
outro plano, definido por dois pontos, que
identificamos como reta interseção entre os planos.
Determinada a interseção, faz-se a visibilidade
entre os planos, observando o que é visível antes e
após o plano que está em projeção linear.
f'
f
g'
g
Índice Geral
f1
o
Y
Z
PV
PH
X
d'
d
c'
c
a'
a
d1
b1
e1
a1
c1
z
x
PHPA1
x1
z2
INTERSEÇÃO ENTRE PLANOS (VISIBILIDADE)
x'
e'
e
b'
b
z'
Índice Geral
Ângulo entre Planos 
(Ângulo Diedro)
ÂNGULO ENTRE PLANOS (ÂNGULO DIEDRO)
O ângulo entre dois planos (Ângulo Diedro) é
determinado em um plano de projeção que mostra a
projeção pontual da reta interseção entre estes
planos, com isso, é determinado as duas projeções
lineares dos planos, onde poderá ser medido o
ângulo.
Índice Geral
a2
Índice Índice Geral
d2
e2
f2
b2
c2
a2
d2c2
b2
f2
x2
z2
z3x3
PA1
PA2
PA2
PA3
f1
o
Y
Z
PV
PH
X
f'
f
e'
e
d'
d
c'
c
b'
b
a'
a
d1
b1
e1
a1
c1
z
x
z'
x'
PHPA1
g'
g
x1
z2e2
ÂNGULO ENTRE PLANOS 
(ÂNGULO DIEDRO)