2a Lista de Cálculo I

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01. Explique com suas palavras o significado da equação 
2
lim ( ) 5
x
f x


. É possível, diante da equação anterior, 
que
(2) 3f 
? Explique. 
 
02. Explique o significado para você dizer que 
1
lim ( ) 3
x
f x


 e 
1
lim ( ) 7
x
f x


 
Nessa situação é possível que 
1
lim ( )
x
f x

 exista? 
Explique. 
 
03. Explique o significado de cada uma das notações a 
seguir, 
(a) 
3
lim ( )
x
f x

 
 (b) 
4
lim ( )
x
f x

 
 
04. Para a função 
h
 cujo gráfico é dado, determine o 
valor de cada quantidade, se ela existir. Se não existir, 
explique por quê. 
(a) 
3
lim ( )
x
h x

 (b) 
3
lim ( )
x
h x
 
 (c) 
3
lim ( )
x
h x

 (d) 
( 3)h 
 
(e) 
0
lim ( )
x
h x

 (f) 
3
lim ( )
x
h x

 (g) 
0
lim ( )
x
h x

 (h) 
(0)h
 
(i) 
2
lim ( )
x
h x

 (j) 
(2)h
 (k)
5
lim ( )
x
h x

 (l) 
5
lim ( )
x
h x

 
 
05. Para a função 
g
cujo gráfico é dado, determine o 
valor de cada quantidade, se ela existir. Se não existir, 
explique por quê. 
(a) 
0
lim ( )
x
g t

 (b) 
0
lim ( )
x
g t

 (c) 
0
lim ( )
x
g t

 (d) 
2
lim ( )
x
g t

 
(e) 
2
lim ( )
x
g t
 
 (f) 
2
lim ( )
x
g t

 (g) 
(2)g
 (h) 
4
lim ( )
x
g t

 
 
06. Para a função 
f
 Cujo gráfico é mostrado a seguir, 
determine. 
(a) 
7
lim ( )
x
f x

 (b) 
3
lim ( )
x
f x

 (c) 
0
lim ( )
x
f x

 
(d) 
6
lim ( )
x
f x

 (e) 
6
lim ( )
x
f x

 
(f) As equações das assíntotas verticais. 
 
07 
5
6
lim
5x x 
 25 
 
21
2
lim
1x
x
x


 27. 
 
222
1
lim
2x
x
x x



 
08. (a) Encontre as assíntotas verticais da função 
2 2
x
y
x x

 
 
(b) Confirme sua resposta na parte (a) fazendo o 
gráfico da função. 
09. Dado que 
0
lim ( ) 3
x
f x

 
,
0
lim ( ) 0
x
g x


 e 
0
lim ( ) 8
x
h x


, encontre, se existir, o limite. Caso não 
exista, explique por quê. 
(a) 
 
0
lim ( ) ( )
x
f x h x


 (b) 
2
0
lim[ ( )]
x
f x

 
(c) 1
3
0
lim[ ( )]
x
h x

 (d) 
0
1
lim
( )x f x
 
 
 
(e) 
0
( )
lim
( )x
f x
h x
 (f) 
0
( )
lim
( )x
g x
f x
 
(g) 
0
( )
lim
( )x
g x
f x
 (h) 
0
2 ( )
lim
( ) ( )x
f x
h x f x 
 
10. Os gráficos de 
f
 e 
g
 são dados. Use-se para 
calcular cada limite. Caso não exista o limite, explique 
por quê. 
 
(a) 
 
2
lim ( ) ( )
x
f x g x


 (b)
 
1
lim ( ) ( )
x
f x g x


 
 (c) 
 
0
lim ( ) ( )
x
f x g x

 (d)
1
( )
lim
( )x
f x
g x
 
(e) 
3
2
lim ( )
x
x f x

  
 (f) 
1
lim 3 ( )
x
f x


 
11. Calcule 
2 3
3
lim( 4)( 5 2)
x
x x x

  
 
12. Calcule 3
2 41
1 3
lim
1 4 3x
x
x x
 
 
  
 
13. (a) O que há de errado com a equação a seguir? 
2 6
3
2
x x
x
x
 
 

 
(b) Em vista de (a), explique por que a equação 
 
2
2 2
6
lim lim 3
2x x
x x
x
x 
 
 

 está correta. 
 
14. Calcule o limite, se existir: 
(a) 2
24
5 4
lim
3 4x
x x
x x
 
 
 (b) 2
2
6
lim
2x
x x
x
 

 
 
(c) 2
21
4
lim
3 4x
x x
x x

 
 (d) 
9
9
lim
3t
t
t


 
 
(e) 
0
1 1
lim
h
h
h
  (f) 
2
2 3
lim
7x
x
x
 

 
 
(g) 
4
1 1
4lim
4x
x
x


 (h) 2
9
81
lim
3x
x
x


 
 
(i) 2
1
lim
1x
x x
x


 (j) 
2
2
lim
2x
x
x


 
 
15. Se 
21 ( ) 2 2f x x x   
 para todo 
x
, encontre 
1
lim ( ).
x
f x

 
 
16. Prove que 
4
0
2
lim cos 0
x
x
x

 
 
17. A função sinal, denotada por sgn, está definida por 
 
1 se 0
sgn( ) 0 se 0
1 se 0
x
x x
x
 

 
 
 
 
(a) Esboce o gráfico dessa função. 
(b) Encontre ou explique por que não existe cada um dos 
limites que se seguem. 
(i) 
0
lim sgn
x
x

 (ii) 
0
lim sgn
x
x

 
(iii) 
0
lim sgn
x
x

 (iv) 
0
lim sgn
x
x

 
 
18. Seja 24 se 2
( )
1 se 2
x x
f x
x x
  
 
 
 . 
(a) Encontre 
2
lim ( )
x
f x

e 
2
lim ( )
x
f x

 
(b) Existe 
2
lim ( )
x
f x

? 
(c) Esboce o gráfico de 
f
. 
 
19. Mostre por meio de um exemplo que 
0
lim[ ( ) ( )]
x
f x g x


 pode existir mesmo que nem 
0
lim ( )
x
f x

 
nem 
0
lim ( )
x
g x

 existam. 
 
 
20. Mostre por meio de um exemplo que 
0
lim[ ( ) ( )]
x
f x g x


 
pode existir mesmo que nem 
0
lim ( )
x
f x

 nem 
0
lim ( )
x
g x

 
existam. 
21. Calcule 
2
6 2
lim
3 1x
x
x
 
 
 
22. (a) Do gráfico de 
f
, estabeleça os números nos quais 
f
 é descontínua e explique por quê. 
(b) Para cada um dos números estabelecidos na parte (a) 
determine se 
f
 é continua à direita ou à esquerda, ou 
nenhuma delas. 
 
 
23. Do gráfico de 
g
, estabeleça os intervalos nos quais 
g
 
é contínua 
 
24. Esboce o gráfico de uma função que seja contínua em 
toda a parte, exceto em
3x 
e continua à esquerda em 3. 
25. Esboce o gráfico de uma função que tenha um salto 
de descontinuidade em 
2x 
e uma descontinuidade 
removível em 
4x 
, mas é contínua no restante de seu 
domínio. 
26. Use a definição de continuidade e propriedades de 
limitespara mostrar que a função é contínua no ponto ou 
intervalo dado: 
(a) 
2( ) 7f x x x  
, 
4a 
 
(b) 
2 3
( )
2
x
f x
x



, 
(2, )
 
(c) 
( ) 2 3g x x 
, 
( ,3]
 
27. Explique por que a função é descontínua no ponto 
dado e em seguida esboce seu gráfico. 
(a) 
1
, se 1
( ) em 11
2 , se 1
x
f x px
x


 
 
. 
(b) 
2
e , se 0
( ) em 0
 , se 0
x x
f x p
x x
 
 

 
(c) 
2
2( ) em 11
1
x x
f x px
 

 


 
 
28. Explique utilizando os Teoremas estudados em sala 
de aula, por que a função é contínua em todo número de 
seu domínio. Estabeleça seu domínio 
(a) 
2( ) 2 1R x x x  
 (b) 
( )
1
senx
h x
x


 
(c) 
1 2( ) ( 1)F x sen x 
 (d) 
4( ) ln( 1)G t t 
 
29. Use continuidade para calcular o limite 
(a) 
4
5
lim
1 xx
x
e


 (b) 
lim ( )
x
sen x senx


 
 29. Mostre que 2 , se 1
( )
 se 2
x x
f x
x x
 
 

é contínua em . 
 
30. Encontre os pontos nos quais f é descontínua. Em 
quais pontos f é contínua à direita, à esquerda ou nenhum 
deles? Esboce o gráfico de f. 
2, se 0
( ) , se 0 1 
2 - , se 1
 
x
x x
f x e x
x x
 

  
 
 
 
 
 
31. Quais as seguintes funções 
f
 têm uma 
descontinuidade removível em a? Se a descontinuidade 
for removível,encontre uma função 
g
 que é igual a 
f
 
para 
x a
 e é continua em . 
(a) 2 2 8
( )
2
x x
f x
x
 


, 
2a  
 
(b) 
7
( )
7
x
f x
x



, 
7a 
 
(c) 3 64
( )
4
x
f x
x



, 
4a  
 
(d) 3
( )
9
x
f x
x



, 
9a 
 
32.Suponha que uma função 
f
seja contínua em 
[0,1]
, 
exceto em 0,25, e que 
(0) 1f 
 e 
(1) 3f 
 . Seja
2N 
. 
Esboce dois gráfico possíveis de 
f
, um indicandor que 
f
pode não satisfazer a conclusão do Teorema do Valor 
Intermediário e outro mostrando que 
f
 pode satisfazer a 
mesma conclusão. (Mesmo que não satisfaça as 
hipóteses.) 
33. Se 
3 2( )f x x x x  
, mostre que existe um numero c 
tal que 
( ) 10f c 
. 
34. Use o teorema do valor intermediário para provar que 
existe um numero c positivo tal que seu quadrado é igual 
a 
2 2c 
. (Isso prova a existência do número 
2
) 
35. Use o teorema do valor intermediário para provar que 
existe uma raiz da equação
cos x x
no intervalo 
(1,2)
. 
36. (a) Mostre que a função valor absoluto 
( )F x x
 é 
continua em toda a parte. 
 (b) Prove que se 
f
for uma função continua em um 
intervalo, então 
f
 também é. 
 (c) A recíproca da afirmativa da parte (b) também é 
verdadeiro? Em outras palavras, se 
f
 for continua, 
segue que 
f
também é? Se for assim, prove isso. Caso 
contrário, encontre um contraexemplo. 
37. Um monge tibetano deixa o monastério às 7 horas da 
manhã e segue sua caminhada usual para o topo da 
montanha. Chegando lá às 7 horas d noite. Na manhã 
seguinte, ele parte do topo às 7 horas da manhã, pega o 
mesmo caminho de volta e chega ao monastério ás 7 
horas da noite. Use o teorema do valor intermediário para 
mostrar que existe um ponto no caminho que o monge vai 
cruzar exatamente na mesma hora do dia em ambas as 
caminhadas. 
38. Explique com suas palavras o significado de cada um 
dos itens que se seguem. 
5)(lim 

xf
x
 (b) 
3)(lim 

xf
x
 
39. (a) O gráfico de 
( )y f x
 pode interceptar uma 
assíntota vertical? E uma assíntota horizontal? Ilustre 
com gráficos. 
 (b) Quantas assíntotas horizontais pode ter o gráfico 
de 
( )y f x
? Ilustre com um gráfico as possibilidades. 
40. Para a função g, cujos gráficos é dado, determine o 
que se pede. 
(a) 
)(lim xg
x 
 (b) 
)(lim xg
x 
 
(c) 
)(lim
3
xg
x
 (d) 
)(lim
0
xg
x
 
(e) 
)(lim
2
xg
x 
 
(f) As equações das assíntotas. 
 
 
 
41-42. Esboce os gráficos de um exemplo de uma função 
f
que satisfaça a todas as condições dadas. 
41. 
,)(lim
2


xf
x
 
,)(lim 

xf
x
 
,0)(lim 

xf
x
 
 
,)(lim
0


xf
x
 
0
e lim ( ) .
x
f x

 
 
 42. 
(0) 3,f 
0
lim ( ) 4,
x
f x


0
lim ( ) 2,
x
f x


 
lim ( ) ,
x
f x

 
4
lim ( ) ,
x
f x

 
4
lim ( ) ,
x
f x

 
 
e lim ( ) 3.
x
f x


 
 
 
 
 43-44. Calcule o limite e justifique cada passagem 
indicando a propriedade apropriada dos limites. 
 
43. 
852
43
lim
2
2


 xx
xx
x
 44. 
32
3
341
2512
lim
xx
xx
x 


 
 
45-52. Encontre o limite. 
45. 
32
1
lim
 xx 
46. 
72
1
lim
2
2


 x
xx
x
 
47. 
19
2
lim
2
2


 x
x
x 
48. 
1
9
lim
3
6


 x
xx
x
 
49. 
1
9
lim
3
6


 x
xx
x 
50. 
 xxx
x
39lim 2 

 
51. 
 xxx
x
2lim 2 
 
52. 
tan
π
2
lim x
x
e

 
 
 
 
 
 53-42. Encontre as assíntotas horizontais e verticais de 
cada curva. Confira seu trabalho por meio de um gráfico 
da curva e das estimativas das assíntotas. 
53. 
4
x
y
x


 54. 3
2 3 10
x
y
x x

 
 
55. 
4 4 1
)(


x
x
xh
 
56. 
234
9
)(
2 


xx
x
xF
 
 
 57. Encontre uma fórmula para a função 
f
que satisfaça 
as seguintes condições: 
,)(lim,)(lim
,0)2(,)(lim,0)(lim
33
0


 

xfxf
fxfxf
xx
xx
 
 
 58. Encontre uma fórmula para uma função que tenha 
por assíntotas verticais 
1x 
e 
3x 
, e por assíntota 
horizontal 
1.y 
 
 59. Encontre os limites quando 
x 
 e quando 
x 
 
de 
2( 2)(1 )y x x x  
. Use essa informação , bem 
como os interceptos, para fazer um esboço do gráfico. 
 
 
60. Calcule 
(a) 
0
tg
lim
x
x
x
 (b) 
sen
lim
x
x
x  
 (c) 
0
tg3
lim
sen 5x
x
x
 
(d) 2
0
3
lim
tg senx
x
x x
 (e) 
0
1 cos
lim
x
x
x

 
(f) 
2
1 sen
lim
2x
x
x 


 (g) 
0
1
lim sen
x
x
x
 
(h) 2 2sen( )
lim
x p
x p
x p


 
(i) 
2
0
1 1
sen( ) sen
lim
x
x
x x
x
  
(j) 2
lim 1
x
x x
 
 
 
 (k) 21
lim 1
x
x x


 
 
 
 
(l) 12
lim 1
x
x x


 
 
 
 (m) 2
lim
1
x
x
x
x
 
 
 
 
(n) 
 
0
lim 1 2
x
x
x


 (o) 
 
1
0
lim 1 2 x
x
x


 
(p) 
0
1
lim , 1
x
x
a
a
x


 (q) 2
0
1
lim
x
x
e
x

 
(r) 2
0
1
lim
x
x
e
x
 (s) 
2
0
3 1
lim
x
x x
