ATIVIDADE EXTRA

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ 
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO 
CURSO: LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
DISCIPLINA: ÁLGEBRA II 
PROFESSOR: AUGUSTO LACERDA LOPES DE CARVALHO JÚNIOR 
 
ATIVIDADE DE PARCIAL DE AVALIAÇÃO 
 
01. Mostre que o conjunto dos números reais ℝ 
munidos da operação ∆ definida por 𝑥∆𝑦 =
√𝑥3 + 𝑦3
3
 é um grupo abeliano. 
 
 
02. Seja o grupo 𝐺 = ℝ − {3}, cuja operação ∗ é 
definida por: 
𝑥 ∗ 𝑦 =
(𝑥 − 3)(𝑦 − 3)
3
+ 3 
a) Determine o elemento neutro de 𝐺; 
b) Determine o inverso de 4 ∈ 𝐺. 
 
 
03. Determine se o conjunto 𝔼 = ℝ− {1,−1} com 
a operação ∗ definida por 
𝑥 ∗ 𝑦 =
𝑥 + 𝑦
1 + 𝑥𝑦
 
é um grupo. 
 
04. Sejam os grupos (ℝ∗,∙) e (ℝ∗, +). Mostre que 
𝑓:ℝ+
∗ → ℝ dada por 𝑓(𝑥) = log2 𝑥 é um 
isomorfismo de (ℝ∗,∙) em (ℝ∗, +). 
 
 
05. Seja o grupo (ℝ∗,∙). Verifique se 𝑓:ℝ+
∗ → ℝ+
∗ 
dada por 𝑓(𝑥) = √𝑥 é um homomorfismo de (ℝ∗,∙) 
em (ℝ∗,∙). 
 
 
06. Seja 𝐸 = {1,2,3}. Determine se as relações 𝑅𝑖 
abaixo são relações de equivalência, justificando: 
a) 𝑅1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3)}; 
b) 𝑅2 = {(1,1), (2,1), (1,2), (2,2), (3,3)}; 
c) 𝑅3 = {(1,1), (2,2), (3,3), (3,2), (3,3)}; 
d) 𝑅1 = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2)}. 
 
 
07. Seja 𝐸 = {1,3,5}. Determine se as relações 𝑅𝑖 
abaixo são relações de ordem, justificando: 
a) 𝑅1 = {(1,1), (1,3), (3,3), (5,5)}; 
b) 𝑅2 = {(1,1), (3,1), (3,3), (5,5)}; 
c) 𝑅3 = {(1,1), (3,3), (5,5), (1,5)}; 
d) 𝑅1 = {(1,1), (3,5), (3,3), (5,5), (5,3)}. 
 
 
08. Sejam 𝐸 = {1,2,4} e 𝑅 a relação tal que 
𝑥𝑅𝑦 ⇔ 𝑥 é divisor de 𝑦, ou seja, 
𝑅 = {(1,1), (2,2), (4,4), (1,2), (1,4), (2,4)}, 
determine se 𝑅 assim definida é uma relação de 
equivalência ou uma relação de ordem. 
 
09. Seja 𝐸 = {1,2,3,4} e 
𝑅{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,3), (1,4), (3,1), (3,4), (4,1), (4,3)}. 
Determine as classes definidas por 1̅, 2̅, 3̅ e 4̅. 
Em seguida mostre uma maneira de particionar 
𝐸. 
 
10. Determinar os elementos da relação 𝑅 em 
𝐸 = {1,2,3,4}. E quais as propriedades 𝑅 possui.