AULA 6 - ESA 037 –Tópicos Especiais: Tratamento de dados ambientais

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26/09/2017
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Faculdade de Engenharia
Departamento de Engenharia Sanitária e 
Ambiental
Prof. Samuel Rodrigues Castro
ESA 037 – Tópicos Especiais: Tratamento de dados ambientais
Dimensionamento 
de amostras
Na aula de hoje...
Aula anterior
Testes de hipóteses...
Comparação entre médias de duas amostras independentes;
Comparação entre médias de duas amostras pareadas.
Amostragem
Principais procedimentos de amostragem
1. Aleatória simples
 todos os indivíduos têm igual probabilidade de serem selecionados seleciona-se ao acaso
a quantidade desejada de indivíduos, escolha que independe a vontade do selecionador da
amostra.
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Amostragem
Principais procedimentos de amostragem
2. Aleatória estratificada: composta por subpopulações ou estratos onde 
variáveis de interesse podem possuir comportamentos diferentes.
 Verificar quais estratos presentes na população;
 Calcular seus tamanhos relativos;
Determinar o tamanho dos estratos na amostra, observando as proporções;
Obter aleatoriamente os elementos para cada extrato
Amostragem
Principais procedimentos de amostragem
2. Aleatória estratificada: composta por subpopulações ou estratos onde 
variáveis de interesse podem possuir comportamentos diferentes.
Ex.: Número médio de cáries em escolares de 8 anos em certa escola. Parece razoável supor 
que esta variável depende do nível socioeconômico da criança.
a) verifica-se os níveis socioeconômicos existentes (A, B, C);
b) Avalia-se a participação relativa de cada um (A: 3%/; B:22% e C: 75%)
c) Para uma amostra de 120 crianças  A: 4 alunos; B: 26; e C: 90.
d) Sorteio dentro do estrato ou diretamente do total de alunos
Amostragem
Principais procedimentos de amostragem
3. Aleatória sistemática: caso haja alguma ordenação dos elementos da 
população (filas, listas, linhas de produção, etc).
 Escolhe-se uma constante conveniente;
 Sorteia-se o primeiro indivíduo;
 Evitam-se tantos indivíduos quantos forem indicados pela constante e toma-se o indivíduo 
seguinte;
 Repete-se o processo a partir do segundo passo até obter o tamanho da amostra desejado.
Amostragem
Principais procedimentos de amostragem
3. Aleatória sistemática: caso haja alguma ordenação dos elementos da 
população (filas, listas, linhas de produção, etc).
Ex.: Em um hospital há 10 mil fichas de pacientes. Deseja-se uma
amostra de 500 pacientes, isto é, 5% ou 1 a cada 20 indivíduos da
população. O ponto de partida será uma ficha selecionada
aleatoriamente dentre as primeiras 20, por exemplo a de número 9. a
próxima a ser retirada será a de número 29, a seguinte 49, etc.
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Amostragem
Principais procedimentos de amostragem
3. Aleatória por conglomerados: caso a população esteja subdividida em 
pequenos grupos:
 Identificam-se os conglomerados por meio de números de ordem;
 Sorteiam-se os conglomerados;
 Analisam-se todos os indivíduos pertencentes aos conglomerados sorteados.
Ex.: Deseja-se fazer uma pesquisa de opinião em uma vila. Numeram-se os
quarteirões, que são os conglomerados, em um mapa. Sorteia-se uma
determinada quantidade de quarteirões. Todas as residências do
quarteirão escolhidos deverão ser visitadas para obtenção dos dados.
Amostragem
Ex.: Procura-se fazer amostragem de macrófitas em uma lagoa
eutrofizada. Considerando a amostragem de 240 indivíduos, apresente a
melhor amostragem e o planejamento da mesma.
Considere:
Em área:
1 – 8,7%
2 – 3,8%
3 – 3,2%
4 – 11,2%
5 – 73,1%
1 2
3
4
5
Amostragem
Tamanho da amostra depende de vários fatores:
1. Tipo de problema a resolver
 Caracterização de variável ainda não investigada;
 Comparação de duas populações;
 Verificação de associações entre duas variáveis.
2. Tipo de variável
 Variáveis com grande variabilidade
Amostragem
Tamanho da amostra depende de vários fatores:
3. Magnitude do erro aceito pelo pesquisador
Quanto menor, maior o tamanho da amostra.
4. Tamanho da diferença aceita na comparação entre grupos
 diferenças menores exigem amostras maiores.
5. Poder desejado do teste
 probabilidade de que a amostra identifique uma diferença ou efeito real.
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Amostragem
Cálculo de n para estimar parâmetros:
1. média da população (μ):
Onde:
 𝒙 − 𝝁 = erro admissível de estimação
gl = n – 1
Obs.: necessária uma estimativa provisória de S (de amostras – piloto ou literatura) e realizar iterações.
Amostragem
Cálculo de n para estimar parâmetros:
1. média da população (μ):
Partindo da distribuição normal padronizada – maneira mais expedita!
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𝑧
σ
√𝑛
= 𝑥 − μ erro de amostragem (e)
𝒏 =
𝒛𝟐𝝈𝟐
𝒆𝟐
Amostragem
Cálculo de n para estimar parâmetros:
2. uma proporção (P) na população:
Obs.:
Necessária uma suposição provisória sobre valor da proporção populacional (P);
Não são necessárias iterações.
Amostragem
Cálculo de n para estimar parâmetros:
3. Estimar coeficiente de correlação:
Onde gl = n – 2
Obs.:
Necessária uma suposição provisória sobre valor de correlação a ser detectado pela 
amostra (r);
São necessárias iterações.
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Amostragem
Cálculo de n para comparar dois grupos: exigem uma estimativa provisória
sobre a variância ou proporção, além de decisão prévia sobre o tamanho da
diferença, entre parâmetros, que se deseja detectar.
4. Comparar média amostral ( 𝑥) com média populacional (μ), ou seja, H0 : μA = μ0
Onde: gl = (n – 1); tα e uβ são valores tabelados t-Student
Amostragem
Cálculo de n para comparar dois grupos: exigem uma estimativa provisória
sobre a variância ou proporção, além de decisão prévia sobre o tamanho da
diferença, entre parâmetros, que se deseja detectar.
5. Comparar médias de dois grupos independentes, ou seja, H0 : μA = μB
Onde: gl = (nA + nB – 2); s
2 são estimativas provisórias das populações A e B; tα e uβ são 
valores tabelados t-Student
Amostragem
Cálculo de n para comparar dois grupos: exigem uma estimativa provisória
sobre a variância ou proporção, além de decisão prévia sobre o tamanho da
diferença, entre parâmetros, que se deseja detectar.
6. Comparar uma proporção amostral (PA) com uma proporção populacional 
(P0), ou seja, (P0) H0 : PA = P0
Onde: Q = (1 – P); zα e wβ são valores tabelados da curva normal
Amostragem
Cálculo de n para comparar dois grupos: exigem uma estimativa provisória
sobre a variância ou proporção, além de decisão prévia sobre o tamanho da
diferença, entre parâmetros, que se deseja detectar.
7. Comparar duas proporções amostrais, ou seja, H0 : PA = PB
Onde: P0 = (PA + PB)/2; zα e wβ são valores tabelados da curva normal
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Amostragem
Considerações:
Todo teste de hipóteses tem sua conclusão sujeita a erro.
Erro tipo I: rejeitar H0 quando H0 é verdadeira
Probabilidade de ocorrer = α
Erro tipo II: não rejeitar H0 quando H0 é falsa.
Probabilidade de ocorrência (β) difícil de ser calculada pois é necessário conhecer o
valor da média da população amostrada (μ), lembrando que os experimentos são
realizados exatamente por não se conhecer tal parâmetro.
Afirmar que existe diferença quando efetivamente não existe
Afirmar uma igualdade quando existe uma diferença
H0 é 
verdadeira
H0 é falsa
Rejeição de H0 Erro tipo I
Não-rejeição de H0 Erro tipo II
Amostragem
Exercícios
1. Um pesquisador deseja conhecer a média aritmética da concentração de
monóxido de carbono (CO) medida em determinada cidade, com um nível
de confiança de 95% de estar calculando corretamente a média
populacional. Estudos efetuados no ano anterior determinaram uma
média amostral de CO = 3,537 ppm e um desvio padrão de 2,271 ppm. Se o
pesquisador admite um erro dentro de um intervalo de ± 0,5 ppm, calcular
o tamanhoda amostra necessária.
Resolução mais expedita:
e = 0,5 ppm; σ = 2,271 ppm; α = 0,05 (z = 1,96)
Resp.: Cerca de 80 amostras seriam necessárias para a determinação da média populacional!
Amostragem
Exercícios
Resolução:
e = 0,5 ppm; σ = 2,271 ppm; α = 0,05 (tα; gl)
Escolher valor de n0 para início dos testes e realizar iterações até o valor de n se
estabilizar.
n0 = 60 t0,05; 59 = 2,000
Resp.: Cerca de 83 amostras seriam necessárias para a determinação da média populacional!
n1 = 
Amostragem
Exercícios
2. Um biólogo quer comparar dois genótipos observados em borboletas de
determinada espécie, quanto ao comprimento das asas. Quantas
borboletas devem ser estudadas para que o pesquisador possa identificar
uma diferença, se houver, entre genótipos de pelo menos 2 mm no
comprimento das asas, com poder de 80%? No final do trabalho, o
pesquisador realizará uma análise estatística ao nível de significância de
0,05.
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Amostragem
Exercícios
Estudos prévios consultados pelo pesquisador mostram que em uma
amostra dessa espécie de borboletas estudada anteriormente, o desvio
padrão para o comprimento da asa foi 1,7 mm. Ele considera esta que a
variabilidade é a mesma nos dois genótipos e utiliza para cálculo do tamanho
amostral.
Resolução:
s2A = s
2
B = (1,7)
2 = 2,9
(μA – μB) = 2mm
α = 0,05; 1 – β = 0,80  β = 0,20
Amostragem
Exercícios
Resolução:
Como calcular gl para obter o valor crítico de t?
Escolher um valor de n0 para início dos testes e realizar iterações até o valor de n se
estabilizar.
Adotando n0 = 30.
Para comparar as médias de dois grupo independentes gl = (nA – nB -2)
t 0,05; bilateral; 58 ≈ 2,000
uβ = t 0,20 unilateral; 58 ≈ 0,848
= 30 + 30 – 2 = 58
Amostragem
Exercícios
Resolução:
n1 =
𝟐,𝟗+𝟐,𝟗
𝟐 𝟐
𝟐, 𝟎𝟎𝟎 + 𝟎, 𝟖𝟒𝟖 𝟐 = 𝟏𝟏, 𝟖 ≅ 𝟏𝟐
n2 =
𝟐,𝟗+𝟐,𝟗
𝟐 𝟐
𝟐, 𝟎𝟕𝟒 + 𝟎, 𝟖𝟓𝟖 𝟐 ≅ 𝟏3
Repetindo-se os cálculos, observa-se que n se
estabiliza em 13 para cada amostra. Assim, o
número de indivíduos necessários para
identificar uma diferença de, pelo menos, 2 mm
no comprimento das asas, com 0,05 de
significância e pode de 80% é de, no mínimo, 13
borboletas)
gl = 22
t 0,05; bilateral; 22 ≈ 2,074
uβ = t 0,20 unilateral; 22 ≈ 0,858
Amostragem
Exercícios
3. Um operador deseja comparar dois processos diferentes de tratamento de
esgotos - fossa-séptica (A) e lodos ativados (B) - que apresentaram em anos
anteriores, eficiência de 60% e 80%, respectivamente, na remoção de DBO.
Determinar o número mínimo de amostras de concentração de DBO
necessárias para comprovar que esta diferença é estatisticamente
significativa, para α = 0,05, com um poder igual a 0,90.
Resolução:
PA = 0,6 (proporção considerada verdadeira de eficiência de A)
PB = 0,8 (proporção considerada verdadeira de eficiência de B)
P0 = (PA + PB)/2 = (0,6 + 0,8)/2 = 0,7
Q0 = 1 – P0 = 1 – 0,7 = 0,3 z0,05 = 1,96 β = 0,10 wβ ≈ 1,28
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Amostragem
Exercícios
Resolução:
Com poder estatístico do teste de 0,90:
β = 0,10 wβ = valor de z que limita uma área de 10% em uma das caudas ≈ 1,28
Amostragem
Exercícios
Resolução:
𝑛 =
1,96 2𝑥0,7𝑥0,3 + 1,28 0,6𝑥0,4 + 0,8𝑥0,2
2
(0,6 − 0,8)2
≈ 𝟏𝟎𝟖
Resp.: Cerca de 108 amostras de DBO para cada processo de tratamento
Amostragem
Exercícios!!!
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Ambiental
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ESA 037 – Tópicos Especiais: Tratamento de dados ambientais