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1/ 40 Física 1 Mecânica Sandra Amato Instituto de Física - UFRJ Rolamento 31/10/2014 (Rolamento) Física 1 31/10/2014 1 / 40 2/ 40 Outline 1 Rolamento (Rolamento) Física 1 31/10/2014 2 / 40 3/ 40 Rolamento Vamos estudar agora um movimento chamado de Rolamento sem deslizamento, ou Rolamento Puro: Um corpo rígido realiza uma rotação em torno de um eixo, e esse eixo translada, mantendo fixa sua direção. Fres MACM res ICM (Rolamento) Física 1 31/10/2014 3 / 40 4/ 40 Rolamento Rolamento sem deslizamento: O ponto da borda não desliza ao entrar em contato com a superfície. Condição de Rolamento sem deslizamento Xcm s R VCM R (Rolamento) Física 1 31/10/2014 4 / 40 5/ 40 Rolamento Podemos tratar o movimento como a composição translação do CM Rotação em torno do CM a velocidade de um ponto qualquer do objeto será v VCM r (Rolamento) Física 1 31/10/2014 5 / 40 6/ 40 Rolamento Esse movimento também pode ser visto como uma rotação em torno de um eixo Instantâneo (Rolamento) Física 1 31/10/2014 6 / 40 7/ 40 Energia Cinética no Rolamento Se interpretarmos o movimento como translação do CM Rotação em torno do CM: K 1 2 ICM 2 1 2 MV 2CM Se interpretarmos como rotação em torno do eixo instantâneo K 1 2 IP 2 Vemos que elas são equivalentes, usando o teorema dos eixos paralelos: K 1 2 Icm MR2 2 1 2 Icm 2 1 2 MR2 V 2CM R2 (Rolamento) Física 1 31/10/2014 7 / 40 8/ 40 Esfera Rolando em Plano Inclinado Uma esfera de raio R e massa M é solta do repouso sobre um plano inclinado, e ela rola sem deslizar. Determine a aceleração do seu centro de massa. (Rolamento) Física 1 31/10/2014 8 / 40 9/ 40 Esfera Rolando em Plano Inclinado Neste exemplo precisamos ter atrito, pois é a única força que causa Torque. Como o ponto de contato não desliza, sua velociade instantânea é zero, o atrito é estático N M g cos 0 Fres MACM M g sen Fa M ACM res ICM FaR ICM da condição de rolamento sem deslizamento: VCM R ACM R usando Iesfera 25MR 2 FaR 25MR 2ACM R Fa 2 5MACM M g sen 25MACM M ACM ACM 5 7g sen Fa 27M g sen (Rolamento) Física 1 31/10/2014 9 / 40 10/ 40 Esfera Rolando em Plano Inclinado Se ela desce de uma altura h, qual a velocidade do CM ao chegar na base do plano? V 2 V 20 2Ax x h sen V 2 2 5 7 g h A energia mecânica se conserva? No alto: M g h Embaixo: K 12ICM 2 1 2MV 2 CM K 1 2 2 5 MR2 V 2CM R2 1 2 MV 2CM K 1 2 MV 2CM 2 5 1 1 2 7 5 M 10 7 g h M g h A energia mecânica se conserva no rolamento sem deslizamento!! Como o atrito é estático, a Fat não realiza trabalho. (Rolamento) Física 1 31/10/2014 10 / 40 11/ 40 Rolamento de Diferentes Objetos Soltamos os seguintes objetos em um plano inclinado e eles rolam sem deslizar. Todos tem a mesma massa e o mesmo raio. Qual a ordem de chegada? (Rolamento) Física 1 31/10/2014 11 / 40 12/ 40 Rolamento de Diferentes Objetos Iesfera 25MR 2 Ianel MR2 Iesferaoca 23MR 2 Icilindro 12MR 2 Icilindrooco MR2 I cMR2 Mgh 1 2 ICM 2 1 2 MV 2 Mgh 1 2 cMR2 V 2 R2 1 2 MV 2 Mgh 1 2 MV 2 1 c V 2 2gh 1 c V 2esfera 5 7 2gh V 2cilindro 2 3 2gh V 2anel 1 2 2gh (Rolamento) Física 1 31/10/2014 12 / 40 13/ 40 Exercício Um cilindro de raio R e massa M é puxado pelo centro por uma força F e rola sem deslizar. Determine a aceleração do CM e a força de atrito. Repita para o caso em que a força seja aplicada na extremidade. Repita os dois para um tambor (casca cilídrica). (Rolamento) Física 1 31/10/2014 13 / 40 14/ 40 (Rolamento) Física 1 31/10/2014 14 / 40 Casca cilíndrica I = MR2 F 15/ 40 (Rolamento) Física 1 31/10/2014 15 / 40 Cilindro sólido I = MR/22 F 16/ 40 Carretel Ao carretel (I MR2 2) é aplicada a força F . Discutir os possíveis valores da força de atrito em função de r . (Rolamento) Física 1 31/10/2014 16 / 40 17/ 40 (Rolamento) Física 1 31/10/2014 17 / 40 18/ 40 Ao carretel (I MR2 2) é aplicada a força F2. Para que valores de c o carretel rola para a direita ou para a esquerda? (Rolamento) Física 1 31/10/2014 18 / 40 19/ 40 (Rolamento) Física 1 31/10/2014 19 / 40 20/ 40 Exercício O disco (I MR2 2) é solto do repouso. Mostre que a tensão na corda é Mg 3, que a aceleração do CM é 2g 3 e que a velocidade do CM é 4gh 3 (Rolamento) Física 1 31/10/2014 20 / 40 21/ 40 (Rolamento) Física 1 31/10/2014 21 / 40 22/ 40 IoIô Um ioiô de momento de inércia I , raio interno r , raio externo R e massa M , desce sobre o fio, rolando sem deslizar. Determine a tensão no fio, a aceleração do seu CM, e sua velocidade após descer uma distância X partindo do repouso. R r X Mg (Rolamento) Física 1 31/10/2014 22 / 40 23/ 40 R r X Mg (Rolamento) Física 1 31/10/2014 23 / 40 24/ 40 Exercício Um objeto de raio R e massa M rola horizontalmente sem deslizar com velocidade v . Ao encontrar uma elevação, ele sobre rolando até uma alturma máxima h . Se h 3v 2 4g qual deve ser a forma desse objeto? (Rolamento) Física 1 31/10/2014 24 / 40 25/ 40 (Rolamento) Física 1 31/10/2014 25 / 40 26/ 40 Exercício Uma pequena esfera de raio r e massa m , rola sem deslizar no interior de um hemisfério de raio R. A esfera inicia seu movimento do alto do hemisfério partindo do repouso. a) Qual é a sua energia cinética no fundo do hemisfério? b) Qual é a força normal exercida pela esfera pequena sobre o hemisfério nessa posição? (Considere r R) (Rolamento) Física 1 31/10/2014 26 / 40 27/ 40 (Rolamento) Física 1 31/10/2014 27 / 40 28/ 40 Exercício Uma bolinha de gude sólida de massa m e raio r sobre o trilho da figura, tendo partido do repouso. a) Qual a altura mínima h , para que ela não perca contato com o trilho na parte mais alta da curva?(Considere r R) b) Se a bolinha for solta de uma altura 6R, qual será a componente da força horizontal que atua sobre ela no ponto P ? (Rolamento) Física 1 31/10/2014 28 / 40 29/ 40 (Rolamento) Física 1 31/10/2014 29 / 40 30/ 40 Exercício Um carretel de massa M e raio R desce um plano inclinado. Uma corda ideal está enrolada a uma distância r R 3 do se u eixo (ver figura) e produz uma força F paralela ao plano inclinado. O ângulo entre o plano inclinado e a horizontal é 30 . O momento de inércia do carretel em relação ao eixo perpendicular ao seu plano e que passa pelo seu centro de massa é MR2 2. Sabendo-se que o carretel rola sem deslizar e que F 3Mg 8, calcule: (a) A aceleração do centro de massa do carretel. (b) A força de atrito (módulo, direção e sentido). (Rolamento) Física 1 31/10/2014 30 / 40 31/ 40 (Rolamento) Física 1 31/10/2014 31 / 40 32/ 40 Exercício O sistema da figura abaixo representa dois cilindros que se movem mediante a ação de uma força F . Cada cilindro possui massa M e raio R (ICM MR2 2). A força F está aplicada a uma distância r R 2 do centro. Entre o chão e os cilindros existe atrito, de maneira que os cilindros rolam sem deslizar. Em termos dos dados do problema, calcule: (a) a aceleração do sistema; (b) a força de atrito em cada roda (explicitando o sentido). (Rolamento) Física 1 31/10/2014 32 / 40 33/ 40 (Rolamento) Física 1 31/10/2014 33 / 40 34/ 40 Exercício Um caminhão, cuja carroceria tem massa M , possui tração nas rodas traseiras. Ele possui aceleração de módulo a para a frente, em uma rodovia retilínea. Cada uma de suas quatro rodas possui massa m , raio R e momento de inércia I mR2 2.(a) qual a força de atrito nas rodas dianteiras? (b) qual a força de atrito nas rodas traseiras? (Rolamento) Física 1 31/10/2014 34 / 40 35/ 40 (Rolamento)Física 1 31/10/2014 35 / 40 36/ 40 (Rolamento) Física 1 31/10/2014 36 / 40 37/ 40 (Rolamento) Física 1 31/10/2014 37 / 40 38/ 40 (Rolamento) Física 1 31/10/2014 38 / 40 39/ 40 (Rolamento) Física 1 31/10/2014 39 / 40 40/ 40 (Rolamento) Física 1 31/10/2014 40 / 40
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