aula_rolamento

Prévia do material em texto

1/ 40
Física 1
Mecânica
Sandra Amato
Instituto de Física - UFRJ
Rolamento
31/10/2014
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 1 / 40
2/ 40
Outline
1 Rolamento
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 2 / 40
3/ 40
Rolamento
Vamos estudar agora um movimento chamado de Rolamento
sem deslizamento, ou Rolamento Puro:
Um corpo rígido realiza uma rotação em torno de um eixo, e esse
eixo translada, mantendo fixa sua direção.
Fres MACM res ICM
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 3 / 40
4/ 40
Rolamento
Rolamento sem deslizamento: O ponto da borda não desliza ao
entrar em contato com a superfície.
Condição de Rolamento sem deslizamento
Xcm s R VCM R
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 4 / 40
5/ 40
Rolamento
Podemos tratar o movimento como a composição
translação do CM Rotação em torno do CM
a velocidade de um ponto qualquer do objeto será
v VCM r
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 5 / 40
6/ 40
Rolamento
Esse movimento também pode ser visto como uma
rotação em torno de um eixo Instantâneo
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 6 / 40
7/ 40
Energia Cinética no Rolamento
Se interpretarmos o movimento como translação do CM
Rotação em torno do CM:
K
1
2
ICM 2
1
2
MV 2CM
Se interpretarmos como rotação em torno do eixo instantâneo
K
1
2
IP 2
Vemos que elas são equivalentes, usando o teorema dos eixos
paralelos:
K
1
2
Icm MR2 2
1
2
Icm 2
1
2
MR2
V 2CM
R2
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 7 / 40
8/ 40
Esfera Rolando em Plano Inclinado
Uma esfera de raio R e massa M é solta do repouso sobre um
plano inclinado, e ela rola sem deslizar. Determine a aceleração
do seu centro de massa.
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 8 / 40
9/ 40
Esfera Rolando em Plano Inclinado
Neste exemplo precisamos ter atrito, pois é a única força que
causa Torque.
Como o ponto de contato não desliza, sua velociade instantânea é
zero, o atrito é estático
N M g cos 0
Fres MACM M g sen Fa M ACM
res ICM FaR ICM
da condição de rolamento sem deslizamento:
VCM R ACM R
usando Iesfera 25MR
2
FaR 25MR
2ACM
R Fa
2
5MACM
M g sen 25MACM M ACM ACM
5
7g sen
Fa 27M g sen
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 9 / 40
10/ 40
Esfera Rolando em Plano Inclinado
Se ela desce de uma altura h, qual a velocidade do CM ao chegar
na base do plano?
V 2 V 20 2Ax x h sen V
2 2
5
7
g h
A energia mecânica se conserva?
No alto: M g h
Embaixo: K 12ICM
2 1
2MV
2
CM
K
1
2
2
5
MR2
V 2CM
R2
1
2
MV 2CM
K
1
2
MV 2CM
2
5
1
1
2
7
5
M
10
7
g h M g h
A energia mecânica se conserva no rolamento sem
deslizamento!!
Como o atrito é estático, a Fat não realiza trabalho.
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 10 / 40
11/ 40
Rolamento de Diferentes Objetos
Soltamos os seguintes objetos em um plano inclinado e eles rolam
sem deslizar. Todos tem a mesma massa e o mesmo raio. Qual a
ordem de chegada?
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 11 / 40
12/ 40
Rolamento de Diferentes Objetos
Iesfera 25MR
2 Ianel MR2 Iesferaoca 23MR
2
Icilindro 12MR
2 Icilindrooco MR2 I cMR2
Mgh
1
2
ICM 2
1
2
MV 2
Mgh
1
2
cMR2
V 2
R2
1
2
MV 2
Mgh
1
2
MV 2 1 c
V 2
2gh
1 c
V 2esfera
5
7
2gh
V 2cilindro
2
3
2gh
V 2anel
1
2
2gh
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 12 / 40
13/ 40
Exercício
Um cilindro de raio R e massa M é puxado pelo centro por uma
força F e rola sem deslizar. Determine a aceleração do CM e a
força de atrito.
Repita para o caso em que a força seja aplicada na extremidade.
Repita os dois para um tambor (casca cilídrica).
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 13 / 40
14/ 40
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 14 / 40
Casca cilíndrica I = MR2
F
15/ 40
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 15 / 40
Cilindro sólido I = MR/22
F
16/ 40
Carretel
Ao carretel (I MR2 2) é aplicada a força F . Discutir os
possíveis valores da força de atrito em função de r .
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 16 / 40
17/ 40
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 17 / 40
18/ 40
Ao carretel (I MR2 2) é aplicada a força F2. Para que valores
de c o carretel rola para a direita ou para a esquerda?
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 18 / 40
19/ 40
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 19 / 40
20/ 40
Exercício
O disco (I MR2 2) é solto do repouso. Mostre que a tensão na
corda é Mg 3, que a aceleração do CM é 2g 3 e que a velocidade
do CM é 4gh 3
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 20 / 40
21/ 40
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 21 / 40
22/ 40
IoIô
Um ioiô de momento de inércia I , raio interno r , raio externo R
e massa M , desce sobre o fio, rolando sem deslizar. Determine a
tensão no fio, a aceleração do seu CM, e sua velocidade após
descer uma distância X partindo do repouso.
R
r
X
Mg
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 22 / 40
23/ 40
R
r
X
Mg
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 23 / 40
24/ 40
Exercício
Um objeto de raio R e massa M rola horizontalmente sem
deslizar com velocidade v . Ao encontrar uma elevação, ele sobre
rolando até uma alturma máxima h . Se h 3v 2 4g qual deve
ser a forma desse objeto?
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 24 / 40
25/ 40
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 25 / 40
26/ 40
Exercício
Uma pequena esfera de raio r e massa m , rola sem deslizar no
interior de um hemisfério de raio R. A esfera inicia seu
movimento do alto do hemisfério partindo do repouso.
a) Qual é a sua energia cinética no fundo do hemisfério?
b) Qual é a força normal exercida pela esfera pequena sobre o
hemisfério nessa posição? (Considere r R)
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 26 / 40
27/ 40
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 27 / 40
28/ 40
Exercício
Uma bolinha de gude sólida de massa m e raio r sobre o trilho
da figura, tendo partido do repouso.
a) Qual a altura mínima h , para que ela não perca contato com o
trilho na parte mais alta da curva?(Considere r R)
b) Se a bolinha for solta de uma altura 6R, qual será a
componente da força horizontal que atua sobre ela no ponto P ?
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 28 / 40
29/ 40
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 29 / 40
30/ 40
Exercício
Um carretel de massa M e raio R desce um plano inclinado. Uma
corda ideal está enrolada a uma distância r R 3 do se u eixo
(ver figura) e produz uma força F paralela ao plano inclinado. O
ângulo entre o plano inclinado e a horizontal é 30 . O momento
de inércia do carretel em relação ao eixo perpendicular ao seu
plano e que passa pelo seu centro de massa é MR2 2. Sabendo-se
que o carretel rola sem deslizar e que F 3Mg 8, calcule:
(a) A aceleração do centro de massa do carretel.
(b) A força de atrito (módulo, direção e sentido).
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 30 / 40
31/ 40
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 31 / 40
32/ 40
Exercício
O sistema da figura abaixo representa dois cilindros que se
movem mediante a ação de uma força F . Cada cilindro possui
massa M e raio R (ICM MR2 2). A força F está aplicada a
uma distância r R 2 do centro. Entre o chão e os cilindros
existe atrito, de maneira que os cilindros rolam sem deslizar. Em
termos dos dados do problema, calcule:
(a) a aceleração do sistema;
(b) a força de atrito em cada roda (explicitando o sentido).
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 32 / 40
33/ 40
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 33 / 40
34/ 40
Exercício
Um caminhão, cuja carroceria tem massa M , possui tração nas
rodas traseiras. Ele possui aceleração de módulo a para a frente,
em uma rodovia retilínea. Cada uma de suas quatro rodas possui
massa m , raio R e momento de inércia I mR2 2.(a) qual a
força de atrito nas rodas dianteiras? (b) qual a força de atrito
nas rodas traseiras?
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 34 / 40
35/ 40
(Rolamento)Física 1 31/10/2014 35 / 40
36/ 40
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 36 / 40
37/ 40
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 37 / 40
38/ 40
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 38 / 40
39/ 40
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 39 / 40
40/ 40
(Rolamento) Física 1 31/10/2014 40 / 40