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Física 1
Mecânica
Sandra Amato
Instituto de Física - UFRJ
Momento Angular
24/10/2014
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 1 / 65
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Outline
1 Momento Angular de uma partícula
2 Momento Angular de um Sistema de Partículas
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 2 / 65
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Momento Angular de uma partícula
Conceitos Fundamentais na dinâmica de translação: F e p
(importante Lei de Conservação).
Já falamos do análogo da Força na rotação ‹ Torque causa
aceleração angular.
Queremos o análogo do p na rotação.
Para uma partícula: p m v
Para um sistema de partículas: P MVCM
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 3 / 65
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Relação entre cinemática angular e linear
s r v r aT r
Linear
a constante:
v v0 a t
x x0 v0 t 1 2 a t2
v 2 v 20 2a x
m
K i 12miv
2
i
F
Fres ma
p mv
Fext dP dt
Angular
constante:
0 t
0 0 t 1 2 t2
2 2
0 2
I i mir 2i
K 12I
2
r F
res I
l
ext
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 4 / 65
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Momento Angular de uma partícula
Partindo da Segunda Lei de Newton:
F
dp
dt
r F r
dp
dt
notando que:
d r p
dt
r
dp
dt
dr
dt
v mv 0
p
r F
d r p
dt
o
dlo
dt
onde lo r p é o momento angular de uma partícula em
relação a o ‹ depende do ponto o
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 5 / 65
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Momento Angular de uma partícula
lo r p
lo é um vetor de
módulo: r p sen
que pode ser visto como:
r p ou r p
direção: a r e v
sentido: regra da mão direita
Note que não é necessário que
haja rotação para definirmos lo
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 6 / 65
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Conservação do Momento Angular
o
dlo
dt
O torque resultante que age sobre uma partícula é a taxa de
variação com o tempo do momento angular
Atenção: Os dois devem ser definidos em relação à mesma
origem.
Consequência: Se o 0 ‹ lo se conserva !!!!
Como é vetor, significa que se conserva em módulo, direção e
sentido.
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 7 / 65
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Exemplo: Forças Centrais
Vimos que se a resultante das Forças que atuam sobre um objeto
é central, o Torque em relação ao centro é nulo, pois r F e
r F :
Consequência: O momento Angular em relação ao centro
se conserva ‹ O movimento é plano.
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Exemplos
Qual o momento angular desses dois objetos em relação ao ponto
O?
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10/ 66
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 10 / 65
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Exemplos
Uma partícula me massa m 2 kg, tem vetor posição de módulo
3m e velocidade de módulo v 4 m/s. Sobre ele atua uma força
F de módulo 2N. Quais são, em relação ao ponto O :
a) o momento angular da partícula
b) o torque exercido sobre ela
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d
12/ 66
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 12 / 65
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Exercícios
Duas partículas, cada uma com massa m e velocidade v ,
movem-se em sentidos opostos ao longo de linhas paralelas,
separadas por uma distância d . Encontre uma expressão, em
termos de m , v e d para o momento angular total do sistema em
torno de uma origem qualquer.
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14/ 66
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 14 / 65
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Exercícios
O vetor posição de uma partícula de massa 2 kg em relação a um
observador inercial fixo num ponto O é dado por
r 2 t2 t t4 k , onde todas as unidades empregadas estão
no S.I. (a) Qual é a força resultante que age sobre esta partícula?
(b) Qual é o torque desta força em relação a O? (c) Qual é o
momento angular desta partícula em relação a O? (d) Verifique
se a segunda lei de Newton para as rotações é válida neste caso.
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(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 16 / 65
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Exercícios
Um projétil de massa m é lançado com uma velocidade vi que
faz um ângulo com a direção horizontal. Tomando como origem
do sistema de coordenadas o ponto de lançamento O , calcule o
momento angular do projétil em relação a O como função do
tempo. Calcule o torque da força resultante sobre este corpo em
relação ao mesmo ponto, e verifique se
dL0
dt 0
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(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 18 / 65
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Desafio
Um pêndulo cônico é constituído por uma bola de massa m presa
à extremidade de um fio de comprimento d , amarrado a um
suporte fixo no laboratório. O pêndulo gira com velocidade
constante, com o fio fazendo um ângulo constante com a
vertical. Qual é o momento angular L0 da bola em relação ao
ponto de sustentação O? Mostre diretamente que a taxa de
variação de L0 em relação ao tempo é medida pelo torque em
relação a O das forças que agem sobre a bola.
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R
20/ 66
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Momento Angular de um Sistema de Partículas
Queremos obter o momento angular L de um sistema de N
partículas
L li ri pi
L miri vi
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Momento Linear de um Sistema de Partículas
No movimento de translação obtivemos uma simplificação
quando consideramos o momento Linear em relação ao CM:
ri ri Rcm Rcm
miri
M
miri 0
Fazendo o mesmo para a velocidade:
mivi pi 0
P MVCM
O Momento Linear do sistema em relação ao CM se anula e o
sistema se move como se toda a massa estivesse concentrada nele.
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 24 / 65
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Momento Angular de um Sistema de Partículas
L mi ri vi
Substituindo ri ri Rcm e vi vi Vcm
L mi ri Rcm vi Vcm
miri vi miri Vcm miRcm vi miRcm Vcm
miri vi miri
0
Vcm Rcm mivi
0
mi
M
Rcm Vcm
L L LCM
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Momento Angular de um Sistema de Partículas
L mi ri vi
Substituindo ri ri Rcm e vi vi Vcm
L mi ri Rcm vi Vcm
miri vi miri Vcm miRcm vi miRcm Vcm
miri vi miri
0
Vcm Rcm mivi
0
mi
M
Rcm Vcm
L L LCM
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 25 / 65
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Momento Angular de um Sistema de Partículas
L miri vi MRcm Vcm
L L LCM
Ao contrário do que acontece como o momento linear, o momento
angular em relação ao CM (L ) não se anula.
Um caso particular que pode acontecer é o CM estar parado –
Vcm 0 ‹ L L
Neste caso o momento angular não depende do ponto em relação
ao qual está sendo calculado.
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 26 / 65
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Momento Angular da Terra
A Terra gira em torno do sol, seu momento angular em relação
ao sol é
Lorbit MRCM VCM
que é perpendicular ao plano da órbita.
Ela também gira em torno do seu eixo (que faz um ângulo de
23,5 com o Lorbit), produzindo um L comumente chamado de
Lspin.
LTOT Lorbit Lspin
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Relação entre cinemática angular e linear
s r v r aT r
Linear
a constante:
v v0 a t
x x0 v0 t 1 2 a t2
v 2 v 20 2a x
m
K i 12miv
2
i
F
Fres ma
p mv
Fres dp dt
P MVCM
Fext dP dt
Angular
constante:
0 t
0 0 t 1 2 t2
2 2
0 2
I i mir 2i
K 12I
2
r F
res I
l r p
res dl dt
L L LCM
ext
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 28 / 65
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Relação entre L e ext
L miri vi
dL
dt
mi
dri
dt
vi
0
miri
dvi
dt
aidL
dt
miri ai i
miai F exti F
int
i
Para 2 partículas:
dL
dt
r1 Fext1 r2 F
ext
2 r1 F12 r2 F21
dL
dt
ext r1 r2 F12
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Relação entre L e ext
dL
dt
ext r1 r2 F12
r1 r2 F12
A resultante dos torques internos do sistema é nula
dL
dt
ext
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 30 / 65
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Exemplo
Vimos que omovimento mais geral pode ser decomposto em
Translação Rotação
Considere um halteres, formado por dois corpos de massa m ,
ligados por uma barra rígida de comprimento l , apoiado sobre
uma superfície sem atrito. Sobre as massas atuam as forças
externas Fext1 e Fext2
Fext
dP
dt
ext dL
dt
Se as Forças são constantes, o CM se move com Movimento
Retilínei uniformemente acelerado e as duas massas executam um
MCUA em torno do CM
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 31 / 65
o 
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Relação entre L e
Temos p mv . Será que L I ? Às vezes...
Considere o caso em que o ponto O em relação ao qual o L é
calculado seja o centro do círculo
L r p r m v r m v sen90 k mr 2 k
L I nesse caso sim
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Relação entre L e
Agora considere o caso em que a trajetória ainda é circular, mas
o ponto O não é o centro do círculo.
Vemos que nesse caso, L não é paralelo a
Mas veremos que a componente z de L, Lz I
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 33 / 65
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Lo m r v
v r r Z r
Lo m Z v
z
m r v
z
Lz mr v m r vz m r 2 z
Lz I nesse caso so Lz
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 34 / 65
r'
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Relação entre L e
Agora considere um objeto simétrico em relação ao eixo de
rotação
As componentes a z se cancelam e as se somam:
Lo Lz1 Lz2 mr 2 mr 2 I
Para corpos simétricos em relação ao eixo de rotação
L I
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Resumo
A componente Lz é sempre I
O momento angular total Lo só é I se o objeto for simétrico em
relação ao eixo de rotação, ou se o ponto o for o centro do círculo.
Se aplicarmos a lei da dinâmica das rotações para o eixo z :
dLz
dt
ext
z
d I
dt
ext
z
ext
z I
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Relação entre cinemática angular e linear
s r v r aT r
Linear
a constante:
v v0 a t
x x0 v0 t 1 2 a t2
v 2 v 20 2a x
m
K i 12miv
2
i
F
Fres ma
p mv
Fres dp dt
P MVCM
Fext dP dt
Angular
constante:
0 t
0 0 t 1 2 t2
2 2
0 2
I i mir 2i
K 12I
2
r F
res I
l r p lz I
res dl dt
L L LCM
ext dL dt
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 37 / 65
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Exercício
Um objeto é formado por uma barra rígida de massa M e
comprimento l com duas partículas de massas m1 e m2 ligadas às
suas extremidades. A barra é presa pelo seu centro podendo girar
no plano vertical sem atrito com velocidade angular .
a) Ache a expressão para o momento angular do sistema em
relação ao ponto O .
b) Ache a expressão para a aceleração angular do sistema quando
a barra faz um ângulo com a horizontal.
c) Para que ângulo temos o valor máximo de ?
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40/ 66
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 39 / 65
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Conservação de momento angular
Vimos que para o caso de um sistema em rotação em torno de
um eixo fixo:
ext
z dLz dt
se extz 0 Lz I se conserva.
Ii i If f
Se o momento de inércia diminui, a velocidade angular aumenta
e vice-versa
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 40 / 65
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Exemplo
Uma plataforma em forma de disco gira no plano horizontal em
torno de seu centro. A plataforma tem massa M 100 kg e raio
R 2 m. Um estudante de massa m 60 kg caminha
lentamente da extremidade para o centro. Se a velocidade
angular do sistema é 2 rad/s quando o estudante está na beira do
disco, qual será a velocidade angular quando ele estiver a uma
distância r = 0,5 m?
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 41 / 65
43/ 66
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 42 / 65
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Exemplo
Uma criança de 25kg corre com velocidade de 2,5 m/s em uma
direção tangente à borda de um carrossel de raio 2m. O carrossel
está inicialmente em repouso e tem momento de inércia de
500 kg.m2. A criança pula na borda do carrossel. Encontre a
velocidade angular do sistema criança + carrossel.
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 43 / 65
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Exemplo
Neste exemplo, o disco 1, de momento de Inércia I1, gira
livremente com velocidade angular 1 em torno do seu centro.
Ele é deixado cair sobre o disco 2, de momento de Inércia I2, que
está em repouso. O disco 2 está centrado no mesmo eixo do disco
1 e está livre para girar. Os dois passam a girar juntos.
Determine a velocidade angular do sistema.
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46/ 66
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 45 / 65
47/ 66
Exemplo
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48/ 66
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 47 / 65
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Exemplo
Um disco de 2 kg com velocidade inicial de 3 m/s colide com
uma barra de 1kg e momento de inércia 1,33kg.m, que está
parada sobre uma superfície sem atrito. Suponha que a colisão
seja elástica. Determine as velocidades de translação do disco e
da barra e a velocidade de rotação da barra.
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2
50/ 66
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 49 / 65
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Exemplo
Uma haltere de comprimento 2a , tendo uma massa 2m em sua
extremidade B e uma massa m em sua extremidade A, repousa
sobre uma mesa horizontal lisa. A barra rígida que une A a B
tem uma massa desprezível. Um objeto de massa m aproxima-se
de A com velocidade vo perpendicular à barra, grudando-se à
massa m após o choque.
a) Verifique se há conservação do momento angular do sistema.
Justifique
b) Qual a velocidade do CM do sistema após a colisão?
c) Qual a velocidade angular de rotação do sistema em torno do
CM após a colisão? d) Qual a variação da energia cinética
dirante o processo de colisão?
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u
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(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 51 / 65
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Exemplo
Um projétil de massa m se move para a direita com velocidade
vi . Ele colide com a extremidade de uma barra e fica grudado
nela. A barra tem massa M , comprimento d e está pivotda em
torno de um eixo que passa pelo seu centro. Determine
a) a velocidade angular logo após a colisão
b) a fração de energia perdida devido à colisão.
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 52 / 65
ada em
54/ 66
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 53 / 65
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Exemplo
Uma barra fina de massa M e comprimento d está pendurada
verticalmente. Um pedaço de massa m se movendo na direção
horizontal com velocidade v bate na barra a uma distância x do
pivot e gruda nele. Encontre a razão entre as energias cinéticas
final (imediatamente após a colisão) e inicial.
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56/ 66
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 55 / 65
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Exemplo
Duas patinadoras, cada uma com massa de 50kg, aproximam-se uma da outra
em trajetórias paralelas separadas por uma distância de 3m. Elas possuem
velocidades de sentidos opostos e módulos igual a 1,4 m/s. A primeira
patinadora segura a extremidade de uma longa baliza de massa desprezível, e
a segunda agarra o outro extremo da baliza ao passar. Suponha que não haja
atrito com o gelo.
a) Descreva de forma quantitativa o movimento das patinadoras depois que
estão conectadas pela baliza.
b) Puxando esta as patinadoras reduzem a sua distância para 1m. Qual é
agora a sua velocidade angular?
c) Calcule a energia cinética do sistema nos itens (a) e (b).
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(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 57 / 65
59/ 66
Exemplo
Duas crianças, cada uma com massa M , sentam-se nos extremos
opostos de uma prancha estreita de comprimento L e massa M .
A prancha é pivotada no centro e pode girar livremente, sem
atrito, num círculo horizontal. Considere-a como se fosse uma
haste fina.
a) Qual o momento de inércia do sistema formado pela prancha e
as crianças, em torno de um eixo vertical que passa pelo centroda prancha?
b) Qual o momento angular (módulo, direção e sentido) do
sistema se ele gira com velocidade angular o em sentido horário,
visto de cima?
c) Enquanto o sistema está rodando, as crianças puxam uma à
outra em direção ao centro, até ficarem sentadas na metade da
distância ao centro que tinham inicialmente. Qual a nova
velocidade angular em termos de o?
d) Qual a mudança sofrida pela energia cinética do sistema?
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(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 59 / 65
61/ 66
Exemplo
Um trilho de trem de brinquedo é montado sobre uma roda
grande que pode girar livremente, com atrito desprezível,em
torno de um eixo vertical. Um trem de brinquedo de massa m é
colocado sobre o trilho e, estando o sistema inicialmente me
repouso, a eletricidade é ligada. O trem atinge uma velocidade
constante v relativamente ao trilho. Qual a velocidade angular
da roda, sendo sua massa igual a M e seu raio igual a R.
Considere a roda como um anel e despreze a massa dos raios e da
engrenagem.
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 60 / 65
em
62/ 66
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 61 / 65
63/ 66
Exemplo
Uma menina de massa M está de pé sobre o aro externo de um
carrossel sem atrito, de raio R e momento de inércia I , que não
está em movimento. Ela atira uma pedra de massa m ,
horizontalmente, numa direção que é tangente à borda do
carrossel. A velocidade da pedra, em relação ao chão, é v . Depois
disso, quais são
a) a velocidade angular do carrossel
b) a velocidade linear da menina?
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 62 / 65
64/ 66
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 63 / 65
65/ 66
Exemplo
A partícula de massa m desliza sobre uma superfície sem atrito e
colide com uma barra vertical uniforme, ficando pressa a ela. A
barra oscila em torno de O , fazendo um ângulo antes de
alcançar o repouso temporariamente. Encontre o valor de em
termos dos outros parâmetros dados na figura.
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 64 / 65
Desafio
66/ 66
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 65 / 65