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Física 1
Mecânica
Sandra Amato
Instituto de Física - UFRJ
Torque
22/10/2014
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Outline
1 Torque
2 Segunda lei de Newton para a Rotação
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Cinemática de Rotação
No estudo da rotação em torno de um eixo fixo, já vimos a
cinemática: ‹
a direção do movimento se reduz à de um movimento circular de
um ponto P numa seção transversal ao eixo de rotação, bastando
descrever um ângulo .
Translação Rotação em torno
Unidimensional de eixo fixo
x
v
dx
dt
d
dt
aT
dv
dt
d
dt
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Dinâmica de Rotação
Dinâmica: o que causa uma aceleração angular, o que faz com
que um objeto parado passe a girar ‹ buscar o análogo da Força.
Podemos definir Força através do
Trabalho que ela realiza para deslocar o
ponto de aplicação
W F x
por analogia teríamos
W
o Trabalho da Força para deslocar o ponto
P para P é
W F sen
comp F desl
r
deslocamento
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Torque
W W F sen r
Torque ou Momento da Força
O F sen r
Unidade no S.I. é N.m (é a mesma unidade de trabalho, mas
NÃO é Joule)
O é o torque da força em
relação ao ponto O . Ele muda
se o ponto O mudar.
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Torque
O Torque pode ser visto de duas formas:
F sen r
F r : Somente a componente de F perpendicular à r causa
rotação. A componente só causará uma tensão ou compressão
F r : r é chamado de braço de alavanca da força. Quanto
maior o braço, mais eficaz é a força para produzir rotação
(maçaneta da porta).
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Vetor Torque
O torque foi apresentado como sendo o análogo da força.
Sabemos que Força é um vetor. F sen r
r F
O torque é um vetor com direção perpendicular ao plano de
rotação (ou paralela ao eixo de rotação) e sentido dado pela regra
da mão direita.
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Torque Resultante
Se mais de uma força produzir torque sobre um objeto, o torque
resultante será a soma vetorial de cada um deles:
O F1 d1 F2 d2
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Exemplo
Calcule o Torque resultante sobre o cilindro, supondo
F1 5 N ,R1 1 m , F2 15 N , R2 0 5 m . Em que sentido o
cilindro gira?
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Forças Centrais
Um caso particular importante é o de forças centrais.
Se considerarmos o Torque das forças em relação ao ponto O ,
teremos sempre F r ‹
O torque de forças centrais em relação ao centro é nulo
Mas relação a O não será.
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Torque da Força Gravitacional
No caso da força Peso próximo à superfície da Terra, a aceleração
da gravidade g é constante:
miri g
lembrando que
RCM
m1r1 m2r2
M
MR g R Mg
O torque da força Peso em relação a um ponto O
qualquer é o mesmo que se toda a massa do sistema
estivesse concentrada no CM.
Em particular, o Torque do Peso em relação ao CM é nulo!
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Segunda lei de Newton para a Rotação
Se aplicarmos uma Força F a um objeto de massa m , gerando
uma rotação em torno de um eixo fixo, podemos considerar a sua
componente tangencial ao círculo e escrever a relação linear:
FT m aT
o FT r m aT r
o m r r m r 2
o Io
Note que o torque (capacidade da força produzir rotação)
depende o momento de inércia do objeto, o que depende não só
da massa, mas de como ela está distribuída em relação ao eixo.
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Segunda lei de Newton para a Rotação
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Ex: Barra Girante
Uma barra uniforme de comprimento L e massa M está presa
por um dos lados a um pivot sem atrito, e livre pra girar no
plano vertical. A barra é liberada do repouso na posição
horizontal. Qual a aceleração angular e linear de um ponto da
sua extremidade livre?
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Ex: Barra Girante
Mg
L
2
I
I
MgL 2
ML2 3
3g
2L
aT L
3g
2
Repare que a aceleração da ponta da barra é maior que g !
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Ex: Pêndulo
Uma bola de massa m 0 75 kg está presa a uma das
extremidades de um fio leve de comprimento L 1 25 m. A
outra extremidade do fio está presa a um eixo formando um
pêndulo. Determine o módulo do torque sobre o eixo quando o
fio faz um ângulo de 30 com a vertical.
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Uma polia uniforme de raio R e massa M é montade sobre um
eixo horizontal sem atrito. Uma corda leve é enrolada em torno
da polia e sustenta um bloco de massa m . Suponha M 2,5kg,
mg = 5N e R = 0,2 m
a) Obtenha a tensão na corda, a
aceleração angular da polia e a aceleração
linear do bloco
b) Supondo que o disco partiu do repouso,
calcule o trabalho do torque aplicado a ele
em 2s
c) Qual a energia cinética de rotação em
t=2s?
d) Mostre literalmente que a conservação
de energia mecânica é válida para o
sistema.
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21/ 46
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Máquina de Atwood - Polia com massa
Dois blocos de massa m1 e m2 são ligadas por uma corda leve que
passa por duas polias idênticas de momento de inércia I e raio R.
Determine a aceleração dos blocos e a tensão em cada corda.
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Barra girante
Uma barra uniforme de comprimento L e massa M está presa por
um dos lados a um pivot sem atrito, e livre pra girar no plano
vertical. A barra é liberada do repouso na posição horizontal.
a) Determine sua velocidade angular quando sua posição estiver
vertical.
b) Determine a velocidade do CM e da extremidade da barra
nesta posição
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Dois cilindros de massas m1 e m2 (diferentes) ligadas por uma
corda leve que passa por uma polia de raio R e massa M é solto
do repouso. Determine a velocidade de m2 após ele ter descido
de uma altura h
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Determine o torque resultante sobre a roda, em relação ao seu
eixo, supondo a = 10cm e b = 25cm
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(Hal 75) Dois blocos de massa M cada estão ligados por uma
corda leve que passa por uma polia de raio R e momento de
inércia I . Não se sabe se tem atrito ou não entre o bloco e a
mesa. Quando o sistema é liberado a polia gira de um ângulo ,
num tempo t com aceleração angular constante.
a) Qual a aceleração angular da polia?
b) Qual a aceleração dos dois blocos?
c) Quais as tensões na parte superior e inferior da corda?
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M
M
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Uma régua de comprimento L, apoiada no chão verticalmente
por uma das extremidades, cai. Determine a velocidade da outra
extremidade quando bate no chão. R:v 3Lg
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(Hal 83) Um corpo rígido é composto por três hastes finas,
idênticas de igual comprimento l , soldadas em forma de H . O
corpo gira livremente em volta de um eixo horizontal que passa
ao longo de uma das pernas do H . Quando o plano de H é
horizontal, o corpo cai, a partir do repouso. Qual a velocidade
angular do corpo quando o plano de H passa pela posição
vertical?R: 3 2 g l
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(Hal 86) Uma casca esférica uniforme de massa M e raio R, gira
sobre um eixo vertical, sem atrito. Uma corda leve passa em
volta do equador da esfera e prende um pequeno corpo de massa
m , que pode cair livremente sob a ação da gravidade. A corda
prende o corpo através de uma polia de momento de inércia I e
raio r . Qual a velocidade do corpo depois de cair de uma altura
h partindo do repouso.
R: v 2
mgh
M 3 I 2R2 m 2
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r
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(Hal 95) Um bastão uniforme tem 1,5 kg de massa e 2,0m de
comprimento, e Ipino 2kg m2. O bastão pode girar, sem atrito,
em torno de um pino horizontal preso em uma de suas
extremidades. Ele está em repouso fazendo um ângulo de 40
com a horizontal, quando inicia o movimento.
a) Qual a aceleração angular do bastão nesse instante? R: 5 7
rad/s2
b) Determine sua velocidade angular quando ele passa pela
posição horizontal. R: 3 1 rad/s
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(Hal 11-91)Uma polia de raio R 0 2 m está montada sobre um
eixo horizontal sem atrito. Uma corda leve está enrolada em
volta da polia e presa a um corpo de massa m2 2 kg, que
desliza sem atrito sobre uma superfície inclinada de um ângulo
20 . O corpo desce com aceleração a 2 m/s2. Determine o
momento de inércia da polia em torno do eixo de rotação.
R: I 0 052kg m2
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Considere dois discos que giram juntos e possuem momento de
inércia total I . Dados m1 e m2, determine a aceleração angular
do disco composto, supondo-se que ele partiu do repouso.
(Torque) Física 1 22/10/2014 43 / 46
44/ 46
(Torque) Física 1 22/10/2014 44 / 46