aula_momentoInercia

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Física 1
Mecânica
Sandra Amato
Instituto de Física - UFRJ
Energia Cinética de Rotação
Momento de Inércia
17/10/2014
(Momento de Inercia) Física 1 17/10/2014 1 / 35
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Outline
1 Energia Cinética de Rotação
2 Momento de Inércia
3 Momento de inércia de corpos extensos
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Energia Cinética de Rotação
Queremos escrever a energia cinética de um objeto rígido em
rotação em torno de um eixo fixo (z ).
Ele pode ser considerado como um conjunto de partículas, cada
uma com massa mi e velocidade vi .
Cada partícula terá uma energia
cinética Ki 12miv
2
i
A energia total será a soma
K
i
1
2
miv 2i
Cada vi depende da distância ri ao
eixo, mas a velocidade angular é a
mesma para todos os pontos:
K
i
1
2
mi 2r 2i
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Momento de Inércia
K
i
1
2
mi 2r 2i
Como é o mesmo para todos os pontos, ele pode sair do
somatório
K
1
2 i
mir 2i
2
Definimos o momento de inércia
I
i
mir 2i
e escrevemos a Energia cinética de rotação
K 12I
2
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Relação entre cinemática angular e linear
s r v r aT r
Linear
a constante:
v v0 a t
x x0 v0 t 1 2 a t2
v 2 v 20 2a x
m
K i 12miv
2
i
Angular
constante:
0 t
0 0 t 1 2 t2
2 2
0 2a
I i mir 2i
K 12I
2
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Relação entre cinemática angular e linear
s r v r aT r
Linear
a constante:
v v0 a t
x x0 v0 t 1 2 a t2
v 2 v 20 2a x
m
K i 12miv
2
i
p mv
Fres ma
Fext dP dt
Angular
constante:
0 t
0 0 t 1 2 t2
2 2
0 2
I i mir 2i
K 12I
2
l
res
ext
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Momento de Inércia
Repare que o momento de inércia depende das massas e das
distâncias ao eixo de rotação
A unidade de I é de massa comprimento2, kg.m2 no SI
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M
M
M
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Um objeto consiste de quatro partículas pontuais de massa m
ligadas por barras de massa despezível, formando um retângulo
de lados 2a e 2b. O sistema gira com velocidade angular
constante em torno do eixo mostrado na figura (a). Calcule a
energia cinética de rotação do sistema. Ache o momento de
inércia em relação ao eixo que passa por duas massas como na
figura (b)
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Exercício
(Hal 11.49) As massas e as coordenadas de quatro partículas são
as seguintes: 50 g, x = 2cm, y = 2cm, 25g, x = 0cm, y = 4cm, 25
g, x = -3cm, y = -3cm, 30 g, x = -2cm, y = 4cm. Calcule o
momento de inércia do conjunto em relação
a) ao eixo x
b)ao eixo y
c) ao eixo z
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Momento de inércia de corpos extensos
O momento de inércia I de corpos extensos pode ser calculado
supondo que ele seja formado por um contínuo de massas
infinitesimais
A expressão para partículas pontuais
I
i
mir 2i se tranforma em
I r 2 dm
Para corpos de forma irregular o cálculo é quase impossível, mas
para objetos geométricos as integrais são relativamente fáceis se
tomarmos um eixo de simetria como um eixo de rotação.
O que fazemos é transformar o elemento de massa dm em
elemento de volume (ou área ou linha) através da densidade:
dm dV M V se constante
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r
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Momento de Inércia de uma anel
Cálculo do Momento de inércia de um
anel de massa M e raio R em torno de
um eixo perpendicular ao plano que
passa pelo seu centro
I r 2 dm
Como todos os elementos de massa dm
estão à mesma distância R:
Ianel R2 dm MR2
Repare que esse Ianel é o mesmo de uma partícula pontual
localizada a uma distância R do eixo de rotação
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Momento de Inércia de uma barra
Barra homogênea de massa M e comprimento L em torno de um
eixo perpendicular a ela que passa pelo seu centro
Como é homogênea, a densidade linear
de massa é constante
dm dr M L
Ibarra r 2 dm
L 2
L 2
r 2 dr
Ibarra
M
L
L 2
L 2
r 2 dr
Ibarra
M
L
r 3
3
L 2
L 2
1
12
ML2
em relação a y será
maior, menor ou igual?
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r
r
r
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Momento de Inércia de um Cilindro
Cilindro homogêneo sólido de massa M , raio R e comprimento L
em torno de seu eixo central. Dividimos em cascas cilíndricas
dm dV M V
dV 2 r dr L
Icilindro r 2 dm
R
0
r 2 dV
Icilindro 2 L
R
0
r 3dr
Icilindro 2 L
M
R2L
R4
4
1
2
MR2
Note que é independente
de L
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Teorema dos eixos paralelos
Normalmente o que está tabelado é o I em relação a um eixo que
passa pelo CM .
Frequentemente precisamos saber em relação a um outro eixo.
Existe uma relação entre o ICM e o I em relação a um eixo
paralelo que esteja a uma distância h (ver demo Livro):
IO ICM Mh2
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Aplicação do Teorema dos eixos paralelos
IO ICM Mh2
IO
2
5
MR2 MR2
7
5
MR2
IO
1
12
ML2 M
L
2
2 1
3
ML2
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Exercício
Duas partículas, de massa m cada uma, estão ligadas entre si e a
um eixo de rotação em O por dois bastões finos de comprimento
l e massa M cada um. O conjunto gira em torno do eixo de
rotação com velocidade angular . Determine o momento de
inércia e a energia cinética de rotação, ambos em relação a O
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Exercício
Calcule o momento de inércia de um bloco sólido, uniforme, de
massa M e dimensões a , b e c, em relação a um eixo que passa
por uma das arestas e é ortogonal ao plano da face maior
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