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Física 1
Mecânica
Sandra Amato
Instituto de Física - UFRJ
Rotação de uma partícula
15/10/2014
(Rotação de uma partícula) Física 1 15/10/2014 1 / 28
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Outline
1 Produto Vetorial
2 Rotação em Torno de um Eixo Fixo
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Produto Vetorial
Dados dois vetores A e B , o produto vetorial entre eles é
definido como o vetor
C A B
seu módulo é C A B sen
sua direção é perpendicular ao plano formado por A e B
seu sentido é dado pela regra da mão direita.
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Propriedades do Produto Vetorial
seu módulo A B sen representa a área do paralelogramo
definido por A e B
A B B A ‹ não é comutativo.
Se A e B são paralelos ( 0 ou 180 ) ‹ A B 0
consequentemente A A 0
Obedece a propriedade distributiva:
A B C A B A C
tomando o cuidado de preservar a ordem entre A e B :
d
dt
A B A
dB
dt
dA
dt
B
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Propriedades do Produto Vetorial
k k 0
k
k k
k k
Se temos as componentes dos vetores
A Ax Ay Azk e B Bx By Bzk
A B AyBz AzBy AxBz AzBx AxBy AyBx k
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Exercícios
Calcule o produto vetorial a b entre os vetores a e b onde
1 a 3 k e b 6 2 2 k ;
2 a é o vetor que liga os pontos O e B, e b é o vetor que liga
os pontos A e B do cubo de aresta 1 m da figura.
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A B
C
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Exercícios
1 Mostre que o módulo do produto triplo
a b c
é o volume do paralelepípedo cujos lados são definidos pelos
vetores a , b e c .
2 Calcule a área da superfície deste paralelepípedo.
3 Considere a , b e c 2 k . Calcule a área
da superfície e o volume do paralelepípedo definido por estes
vetores. Considere as unidades dadas no S.I.
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Cinemática de Corpo Rígido
Vamos começar o estudo do movimento mais geral (translação e
rotação) de objetos extensos, nos restringindo a corpos rígidos:
objeto cujas distâncias entre dois pontos quaisquer não mudam
(boa aproximação).
Translação Pura
Rotação Pura
Translação Rotação
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Translação Pura
A direção de qualquer segmento que une dois de seus pontos não
se altera. ‹ todos os pontos descrevem curvas paralelas.
Todos os pontos sofrem o mesmo deslocamento no mesmo t ‹
todos tem, em qquer instante, a mesma velocidade e
aceleração de translação.
Podemos escolher um ponto, p.ex., o CM, para descrever o
movimento de translação de um corpo rígido.
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Rotação Pura em torno de Eixo Fixo
Vamos fixar dois pontos A e B , equivale a fixar todos os pontos
da reta AB , pois todos os pontos devem manter a mesma
distância.
Qualquer partícula situada fora dessa reta mantém a mesma
distância à reta ‹ Todos os pontos descrevem um círculo em
torno do eixo AB e giram de um mesmo ângulo no mesmo t .
O estudo do movimento se reduz ao estudo do movimento
circular de um ponto ‹ Rotação em torno de um eixo fixo, que
pode ser descrita em termos de uma única coordenada: O ângulo
de rotação.
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Rotação Pura em torno de Ponto Fixo
Se fixarmos um ponto O do corpo, qualquer outro ponto
descreverá uma esfera centrada em O ‹ Rotação em torno de
um Ponto Fixo.
O deslocamento do ponto P é descrito por duas coordenadas, p.
ex., os ângulos de latitude e longitude
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Movimento Geral
Chasles 1930: “O movimento mais geral de um corpo rígido se
compõe de uma translação e uma rotação”
O é o ponto para onde se desloca O .
Primeiro realizamos uma translação pura de O para O ,
registrando dois pontos quaisquer A e B .
Os pontos AB correspondentes na posição final são tais que os
dois triângulos são iguais pois o corpo é rígido.
‹ Os dois triângulos podem ser superpostos por uma rotação em
torno de O .
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Cinemática de Rotação em Torno de um Eixo Fixo
Sendo a rotação em torno de um eixo
fixo (z ), basta descrevermos o
movimento circular de um ponto
qualquer através das coordenadas
polares r (constante) e .
Definimos o sentido anti-horário como
sendo o positivo de e temos
s r
onde tem que ser dado em radianos
para que essa definição seja válida.
360 corresponde a 2 rad:
rad
180
graus
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Cinemática de Rotação em Torno de um Eixo Fixo
i e f são as posições angulares nos instantes ti e tf
Chamamos de deslocamento angular
f i
e definimos velocidade angular média
t
e velocidade angular instantânea
lim
t 0 t
d
dt
Como todas as linhas radiais giram do mesmo ângulo durante o
mesmo t , todos os pontos têm a mesma velocidade
angular
unidade no SI: rad/s, rotações/s ou simplesmente s 1
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Cinemática de Rotação em Torno de um Eixo Fixo
Se varia de i para f no intervalo t , teremos a aceleração
angular média
t
e a aceleração angular instantânea
lim
t 0 t
d
dt
Como é o mesmo para todos os pontos do corpo, também
será a mesma.
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Relação entre cinemática angular e linear
O movimento de uma partícula em movimento circular pode ser
descrito tanto pelas grandezas angulares, , e , quanto pelas
lineares s v at . (Vantagem??)
se é dado em rad, s r . Derivando:
ds
dt
d
dt
r ‹ v r . Derivando:
dv
dt
d
dt
r ‹ aT r
Atenção: estas relações são entre os módulos
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Relação entre cinemática angular e linear
s r v r aT r
Linear
a constante:
v v0 a t
x x0 v0 t 1 2 a t2
v 2 v 20 2a x
Angular
constante:
0 t
0 0 t 1 2 t2
2 2
0 2a
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Grandezas vetoriais na rotação
Na descrição do movimento de translação, ao passarmos de uma
para 3 dimensões, temos que trabalhar com as grandezas
vetoriais r v a .
Para passar a rotação em torno de um ponto fixo, podemos
definir vetores ?
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Grandezas vetoriais na rotação
Na descrição do movimento de translação, ao passarmos de uma
para 3 dimensões, temos que trabalhar com as grandezas
vetoriais r v a .
Para passar a rotação em torno de um ponto fixo, podemos
definir vetores ?
(Rotação de uma partícula) Física 1 15/10/2014 21 / 28
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Para que uma grandeza seja um vetor ela deve obedecer a
algumas propriedades, p. ex., comutatividade da adição:
1 2 2 1
O deslocamento angular não é um vetor
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Porém as rotações infinitesimais d são comutativas:
ds r d
Como o deslocamento é infinitesimal
dS pode ser considerado como sendo
tangente ao arco e podemos escrever
ds d r
Considerando dois deslocamentos
infinitesimais, o vetor r é o mesmo
para os dois:
ds1 d 1 r ds2 d 2 r
ds ds1 ds2 d 1 r d 2 r d 1 d 2 r
A rotação infinitesimal resultante é a soma d 1 d 2 d 2 d 1
‹ d é vetor!!
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Relação entre cinemática angular e linear - Vetorial
Relação entre cinemática angular e linear - Forma VetorialPodemos escrever: s r v r ? NÃO!! ERRADO!!
ds d r
ds
dt
d
dt
r
v r
Note que não há movimento na direção do vetor , o movimento
é na direção perpendicular a ele.
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Exercícios
Um motor que move um moinho é desligado quando este último
gira a 240 rpm. Após 10 s, a velocidade angular é 180 rpm. Se a
desaceleração angular permanecer constante, quantas rotações
adicionais ele faz até parar? R: 45 voltas
O volante de uma máquina a vapor desenvolve uma velocidade
angular constante de 150 rpm. Quando o motor é desligado, o
atrito dos mancais e do ar fazem com que a roda pare em 2,2
horas. (a) Qual é a aceleração angular média da roda? (b)
Quantas rotações fará a roda antes de parar? (c) Qual é a
aceleração tangencial de uma partícula distante 50 cm do eixo de
rotação, quando o volante estiver girando a 75 rpm? (d) Qual é o
módulo da aceleração total da partícula no instante do item (c)?
R: a) 2 10 3rad/s b) 104 voltas c) at 1 10 3m/s2 d)
a 30 8m/s2
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Exercícios
As duas polias de uma máquina estão ligadas por uma correia
que não desliza, conforme mostra a figura. Se os raios das duas
polias são R1 e R2, determine a razão entre as velocidades
angulares das duas polias. Qual das duas gira mais rapidamente?
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(Rotação de uma partícula) Física 1 15/10/2014 28 / 28
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