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Física 1
Mecânica
Sandra Amato
Instituto de Física - UFRJ
Momento Linear
01/10/2014
(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 1 / 33
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Outline
1 Momento Linear
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Momento Linear
No estudo de sistemas de partículas, uma grandeza que será
bastante útil para descrever o movimento é o Momento Linear.
Essa é uma grandeza extremamente importante pois em algumas
circunstâncias ela é conservada. Junto com a Lei de Conservação
de Energia, a Lei de Conservação do Momento Linear ajuda a
descrever uma quantidade enorme de processos físicos, já tendo
levado a grandes descobertas e invenções.
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Momento Linear
O Momento Linear (p) de uma partícula é definido por:
p m v
Podemos expressar a Segunda Lei de Newton para uma
partícula em termos de p:
F m a m
dv
dt
d mv
dt
dp
dt
Segunda Lei de Newton
F
dp
dt
A Resultante das Forças que atuam sobre uma partícula é igual à
taxa de variação do momento linear
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Momento Linear
p m v
Vemos que p é um vetor que tem a mesma direção e sentido de v
‹ tangente à trajetória.
Esta equação pode ser escrita em 3 componentes:
px mvx py mvy pz mvz
Sua unidade no SI é kg.m/s
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Momento Linear de um sistema de partículas
O momento linear total de um sistema de partículas é definido
como:
P p1 p2 pn
P m1v1 m2v2 mnvn
P M VCM
Derivando esta equação:
dP
dt
M ACM
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Momento Linear de um sistema de partículas
O momento linear total de um sistema de partículas é definido
como:
P p1 p2 pn
P m1v1 m2v2 mnvn
P M VCM
Derivando esta equação:
dP
dt
M ACM
(Momento Linear) Física 1 01/10/2014 6 / 33
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Momento Linear de um sistema de partículas
O momento linear total de um sistema de partículas é definido
como:
P p1 p2 pn
P m1v1 m2v2 mnvn
P M VCM
Derivando esta equação:
dP
dt
M ACM
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Conservação do Momento Linear
dP
dt
Fext
O momento linear de um sistema se conserva quando
a soma das forças externas que atuam sobre ele for
nula
Note que não é necessário que não haja forças externas, a
condição é que a soma se anule.
Assim como a Lei de Conservação da Energia, a Lei de
Conservação do Momento Linear é mais geral que a Mecânica
Newtoniana, ela continua válida na física de partículas
subatômicas (Mecânica Quântica) e a altas velocidades (Teoria
da Relatividade).
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Conservação do Momento Linear
dP
dt
Fext
O momento linear de um sistema se conserva quando
a soma das forças externas que atuam sobre ele for
nula
Note que não é necessário que não haja forças externas, a
condição é que a soma se anule.
Assim como a Lei de Conservação da Energia, a Lei de
Conservação do Momento Linear é mais geral que a Mecânica
Newtoniana, ela continua válida na física de partículas
subatômicas (Mecânica Quântica) e a altas velocidades (Teoria
da Relatividade).
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Conservação do Momento Linear
dP
dt
Fext P M VCM
Vemos que se Fext 0 ‹ P é constante ‹ VCM constante:
Se Fext 0 o CM permanece em repouso ou MRU.
Essa é uma equação vetorial, portanto pode ser decomposta em 3
componentes:
dPx
dt
Fextx
dPy
dt
Fexty
dPz
dt
Fextz
Vemos que se apenas uma das componentes da resultante das
forças se anular, teremos a conservação do momento linear nessa
direção correspondente e não nas outras.
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Aplicação
Um par de partículas de massas m1 e m2 ligadas por uma mola é
colocado sobre uma superfície horizontal. Inicialmente o sistema
é mantido em repouso com a mola comprimida. O que acontece
quando soltamos as partículas?
a) na ausência de atrito. Qual se moverá com maior velocidade?
A energia mecânica se conserva?
b) com coeficiente de atrito igual para os dois. Considere
massas iguais e massas diferentes.
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a) Na ausência de atrito, as forças externas são o peso e a
normal, que se anulam: P se conserva.
Pantes Pdepois 0 m1v1 m2v2
v1
m2
m1
v2
se m1 m2 v1 v2 ‹ a partícula de maior massa se move
com menor velocidade.
Como não há atrito (força dissipativa) a energia mecânica se
conserva e o sistema permanecerá nesse movimento oscilatório
indefinidamente, com o CM sempre em repouso.
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b) As forças de atrito valem m1g e m2g e tem sentidos
opostos.
Se as massas são iguais Fext 0 e ‹ P se conserva, o CM
continua parado, e v1 v2
Se m1 m2 ‹ Fext 0 ‹ P não se conserva.
Fext MACM o centro de massa passa a se mover.
Como há atrito (força dissipativa) a energia mecânica não se
conserva e a amplitude do movimento oscilatório irá diminuir até
o sistema parar.
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Exemplo
(Ex. Halliday) Um astronauta de massa ma está flutuando
dentro de uma nave espacial. Ele quer se mover, e pra isso lança
seu casaco, de massa mc com velocidade vc em uma certa
direção. Qual será a sua velocidade? Suponha
ma 70kg mc 1kg vc 20m s . Como varia sua energia
cinética?
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Recuo de Arma de fogo
Um canhão de massa M dispara uma bala de massa m na
direção horizontal com velocidade v em relação ao canhão. O
canhão está montado de forma a que possa recuar livremente.
Qual a velocidade V de recuo do canhão em relação à Terra?
Suponha m 72kg M 1300kg v 55m s
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mMV
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Barco Pessoa
Um remador de massa m , sentado na popa de uma canoa de
massa M e comprimento L conseguiu trazê-la para uma posição
que está parada perpendicularmente à margem de um lago, que
nesse ponto forma um barranco, com a proa encostada numa
estaca, onde o remador quer amarrar a canoa. Ele se levanta e
caminha até a proa, o que leva a canoa a afastar-se da margem.
Chegando à proa, ele consegue, esticando o braço, alcançar até
uma distância de 80cm. Ele consegue amarrar o barco? Se não,
quanto falta?
Suponha m 75kg M 150kg L 3m
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Barco Pessoa(s)
Duas pessoas, de massas m1 e m2 estão em um barco de massa
M , que flutua em um lago de águas tranquilas. A primeira está
remando no centro e a outra na proa, a uma distância d do
centro. Depois de um tempo elas trocam de lugar. De quanto o
barco se deslocará? Suponha
m1 80kg m2 120kg M 60kg d 2m
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Um canhão montado sobre uma carreta apontado em uma
direção que faz um ângulo de 30 com a horizontal, atira uma
bala de 50kg, cuja velocidade na boca do canhão é de 300m/s. A
massa total do canhão e da carreta é de 5 toneladas.
a) Calcule a velocidade de recuo inicial da carreta
b) Se o coeficiente de atrito cinético é 0,7, de que distância a
carreta recua?
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(Hal 9.39) Uma caldeira explode, partindo-se em três pedaços.
Dois pedacos, de massas iguais, são arremessados em trajetórias
perpendiculares entre si, com a mesma velocidade de 30m/s. O
terceiro pedaço tem uma massa de três vezes a de um dos outros
pedaços. Qual a sua velocidadelogo após a explosão?
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(Hal 9. 43) Uma bala de 3,5g é disparada horizontalmente contra
dois blocos que se encontram em repouso em uma superfície
plana sem atrito. A bala atravessa o primeiro bloco, de massa
1,2kg e fica encravada no segundo bloco de massa 1,8kg. Com
isso, os blocos adquirem velocidade de 0,63m/s e 1,4m/s
respectivamente. Desprezando a massa removida do primeiro
bloco pela bala, determine:
a) a velocidade da bala após sair do primeiro bloco
b) a velocidade inicial da bala.
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(Hal 9.20) Um projétil é disparado por um canhão com uma
velocidade inicial de 20m/s. O ângulo de disparo é 60 com
relação à horizontal. Quando chega ao ponto mais alto da
trajetória, o projétil explode em dois fragmentos de massas
iguais. Um dos fragmentos, cuja velocidade imediatamente após
a explosão é zero, cai verticalmente. A que distância do canhão o
outro fragmento atinge o solo, supondo que o terreno seja plano e
a resistência do ar possa ser desprezada.
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(Hal 9.18) Deixa-se cair uma pedra em t 0. Uma segunda
pedra, com uma massa duas vezes maior que a da primeira, é
largada do mesmo ponto em t 100ms.
(a) Qual a posição do CM das duas pedras em t 300ms?
Suponha que nenhuma das duas pedras chegou ao chão.
b) Qual a velocidade do CM do sistema nesse momento?
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Escreva a equação de movimento do CM e da velocidade do CM em 
função do tempo
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(Hal 9.15) Um homem de massa m está pendurado em uma
escada de corda presa a um balão de massa M . O balão está
parado em relação ao solo.
a) Se o homem começa a subir a escada com velocidade v em
relação ao à escada, em que direção e com que velocidade (em
relação à Terra) o balão vai se mover?
b) Qual será o movimento depois que o balão parar de subir?
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