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1/ 57 Física 1 Mecânica Sandra Amato Instituto de Física - UFRJ Trabalho e Energia Potenciais 10/09/2014 (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 1 / 57 2/ 57 Outline 1 Trabalho de uma Força Constante 2 Trabalho de uma Força Variável 3 Teorema do Trabalho-Energia 4 Energia Potencial 5 Conservação da Energia Mecânica 6 Forças Conservativas e Não Conservativas (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 2 / 57 3/ 57 Introdução Estudamos a Mecânica Newtoniana utilizando o conceito de Força ➜ aceleração ➜ velocidade ➜ posição , resolvendo um grande número de situações. Porém em situações que temos forças que variam com a posição (molas, superfícies inclinadas não planas...), a resolução através da aceleração pode se tornar mais complexa. ➜ Podemos resolver com mais simplicidade através do conceito Trabalho - Energia Energia é um dos tópicos mais importantes em ciência pois é uma grandeza que se conserva, pode ser convertida de uma forma a outra, mas não criada nem destruída. Aqui trataremos de Energia mecânica, cinética, potencial, começando com a definição de Trabalho (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 3 / 57 4/ 57 Trabalho de uma Força Constante Vamos começar definindo o Trabalho (W ) de uma força constante em movimento unidimensional. O Trabalho realizado pela Força constante F para deslocar o objeto de uma distância d é W F d cos F d (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 4 / 57 5/ 57 W F d cos F d Se temos várias forças atuando sobre o corpo, consideramos o trabalho de cada uma delas. Note que W pode ser 0 0 ou 0 O Trabalho estará ligado à transferência de energia: Se energia é transferida para o corpo (cedida) ➜ W 0 Se energia é transferida do corpo (gasta) ➜ W 0 Trabalho é uma quantidade escalar. Sua unidade no SI é N.m ➜ Joule (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 5 / 57 6/ 57 Qual o trabalho realizado por cada força para deslocar o objeto de 3m? (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 6 / 57 7/ 57 Um objeto de massa 15kg é arrastado com velocidade constante por uma distância L 5 7 m sobre uma rampa sem atrito até atingir uma altura h 2 5 m acima do ponto de partida. a) Qual a força que a pessoa deve exercer? b) Qual o trabalho executado pela pessoa sobre o objeto para executar este deslocamento? c) A pessoa diz que se usasse uma rampa mais longa (outra inclinação) para levantar até a mesma altura, ela realizaria menos trabalho. V ou F? e) Qual o trabalho realizado pela força Peso? d) Qual o trabalho da pessoa para levantar verticalmente da mesma altura h? (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 7 / 57 8/ 57 (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 8 / 57 9/ 57 Trabalho de uma Força Variável Se a força é constante : W Fx x Se a força varia com a posição: W F x W lim x 0 F x x W xf xi F x dx (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 9 / 57 10/ 57 Trabalho Realizado por uma Mola Qual o Trabalho realizado pela mola para levar o bloco de xi até xf ? F kx W xf xi k x dx W k x 2f 2 x 2i 2 W 1 2 k x 2f x 2 i Em particular, se xi 0 ➜ W 1 2 k x 2 (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 10 / 57 11/ 57 Trabalho de uma Força Qualquer em 3 Dimensões W F dl Fxdx Fydy Fzdz (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 11 / 57 12/ 57 Teorema do Trabalho-Energia É uma consequência da Segunda Lei de Newton: Se uma partícula se move ao longo de um eixo, sob a ação de uma força resultante Fres nessa mesma direção: Wres xf xi F x dx ma x dx ma x dx m dv dt dx mvdv Wres vf vi mvdv mv 2f 2 mv 2i 2 Chamamos a quantidade mv 2 2 de Energia Cinética da partícula: Wres Kf Ki A variação da Energia cinética de uma partícula é igual ao Trabalho da resultante das forças que atuam sobre essa partícula (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 12 / 57 13/ 57 Wres Kf Ki Note que se W 0 a velocidade do objeto aumentará (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 13 / 57 14/ 57 Movimento de Queda Livre Na descida: v aumenta ➜ K aumenta. Peso no mesmo sentido do deslocamento ➜ Wres 0 Na subida: v diminui ➜ K diminui. Peso no sentido contrário ao deslocamento ➜ Wres 0 (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 14 / 57 15/ 57 Movimento Circular Uniforme Se v é constante ➜ K não varia. K 0 Força resultante ao deslocamento ➜ Wres 0 (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 15 / 57 16/ 57 Força de atrito Cinético A força resultante é a força de atrito cinético, que é sempre contrária ao deslocamento: Wres Wfc fc d fcd O Trabalho da Força de atrito Cinético é sempre 0, energia cinética diminui. E o Trabalho da Força de atrito Estático?? (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 16 / 57 17/ 57 Um bloco de 250g é deixado cair sobre uma mola vertical de k 250N m . A compressão máxima da mola produzida pelo bloco é de 12 cm. a) Qual o trabalho executado pelo peso e pela força da mola enquanto ela está sendo comprimida? b) Qual era a velocidade do bloco no momento em que se chocou com a mola? c) Se a velocidade no momento do impacto dobrar, qual será a compressão máxima da mola? (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 17 / 57 18/ 57 (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 18 / 57 19/ 57 Uma força resultante age sobre uma partícula de 3kg de tal forma que sua posição em função do tempo é dada por x t 3 t 4 t2 t3 (x em metros, t em segundos). Determine o trabalho executado pela força entre t 0 e t 4s. (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 19 / 57 20/ 57 (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 20 / 57 21/ 57 Energia Potencial Esses são exemplos em que temos um sistema de dois corpos (elástico+pedra, Terra+pedra, carro+Terra) que interagem através de uma força. O sistema se encontra em uma certa configuração (de repouso) e que ao ser liberado, muda a configuração e surge um estado de movimento. Dizemos que no sistema com os dois corpos havia uma forma de Energia armazenada ➜ Energia Potencial, que se transforma em energia de movimento (Energia Cinética). (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 21 / 57 22/ 57 A toda força podemos associar uma energia potencial? Não! Apenas às forças Conservativas!! Vamos examinar 3 exemplos: Força Elástica, Força Gravitacional, Força de atrito Cinético (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 22 / 57 23/ 57 Força Elástica Um bloco com velocidade constante v se aproxima de uma mola em sua posição natural. A mola é comprimida, a velocidade diminui até chegar a zero. O bloco retorna passando pelo ponto A com a mesma velocidade (em módulo). Se o corpo recupera toda a sua energia cinética, podemos associar a esta força uma energia potencial. Toda mudança na energia cinética foi acompanhada da mesma mudança (mas de sinal oposto) na energia potencial (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 23 / 57 24/ 57 Força Gravitacional O módulo da Velocidade é recuperado, podemos associar uma energia Potencial (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 24 / 57 25/ 57 Conservação da Energia Mecânica A relação “variação na energia cinética acompanhada de uma variação oposta na energia potencial” pode ser escrita matematicamente: U K U K 0 Uf Ui Kf Ki 0 Lei da Conservação da Energia Mecânica Ki Ui Kf Uf E constante onde E é chamada de Energia Mecânica do sistema (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 25 / 57 26/ 57 Força de Atrito O módulo da Velocidade NÃO é recuperado, NÃO podemos associar uma energia Potencial à força de atrito. (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 26 / 57 V 27/ 57 Definição de Energia Potencial Considerando o Teorema do Trabalho - Energia Cinética Wres K e que uma variação na energia potencialcorresponde a uma variação de sinal contrário na Energia cinética: K U temos que: U Wres Para uma dimensão: U x x0 F x dx (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 27 / 57 28/ 57 U x x0 F x dx Se a configuração de um sistema é alterada pela ação de uma força, a mudança na energia potencial será o negativo do trabalho realizado por essa força. Note que só faz sentido calcular variação de energia potencial. Devemos sempre escolher arbitrariamente um “zero” de energia potencial: U x U x0 x x0 F x dx (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 28 / 57 29/ 57 Energia Potencial Elástica F x kx . Escolhemos U x0 0 onde x0 0 ( posição de relaxamento da mola) Uel 0 xf 0 k x dx k x 2 2 xf 0 k x 2f 2 Substituindo na equação de conservação de energia mecânica: 1 2 k x 21 1 2 m v 21 1 2 k x 22 1 2 m v 22 (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 29 / 57 30/ 57 Energia Potencial Gravitacional F y mg . Escolhemos U y0 0 onde y0 0 (ponto mais baixo, eixo y orientado para cima) Ug 0 yf 0 m g dy m g yf Substituindo na equação de conservação de energia mecânica: m g y1 1 2 m v 21 m g y2 1 2 m v 22 (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 30 / 57 31/ 57 Um bloco de massa m 5 7kg desliza sem atrito num plano horizontal com velocidade constante v 1 2m/s. Ele se choca com uma mola, de constante elástica k 1500N.m, e sua velocidade se reduza a zero no momento em que o comprimento da mola diminui de d em relação ao seu comprimento natural. Qual o valor de d? (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 31 / 57 32/ 57 (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 32 / 57 33/ 57 Uma bungee jumper de m 61kg está em uma ponte 45m acima de um rio. No estado relaxado a corda elástica tem comprimento 25m. Suponha que a corda obedeça à Lei de Hooke com k 160N/m. a) A que distância h0 os pés da moça estão da água no ponto mais baixo da queda? b) Qual a resultante das forças e a aceleração no ponto mais baixo? (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 33 / 57 L d 34/ 57 (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 34 / 57 35/ 57 Exemplo 7-6 Tipler Um bloco de 2kg comprime de 20cm uma mola de k 500N/m em uma superfície horizontal e lisa. O bloco é liberado, deslizando sobre a superfície, subindo por uma rampa que faz 45 com a horizontal. Qual a distância que ele precorre na rampa até parar? (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 35 / 57 36/ 57 (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 36 / 57 37/ 57 Exemplo 7-5 Tipler O pêndulo de comprimento L é solto do repouso quando faz um ângulo com a vertical. Qual a velocidade e a Tensão na corda ao passar pelo ponto mais baixo? (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 37 / 57 0 38/ 57 (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 38 / 57 39/ 57 Um esquiador parte do repouso do topo de um semi-hemisfério de raio R. Em que altura ele perde contato com a superfície? (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 39 / 57 40/ 57 (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 40 / 57 41/ 57 Um bloco de massa m é liberado a partir do repouso de uma altura h do alto de um plano inclinado de um ângulo sem atrito. O bloco comprime uma mola de constante elástica k . a) Qual a velocidade do bloco ao se chocar com a mola? b) Qual a distância total percorrida pelo bloco até parar? (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 41 / 57 42/ 57 (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 42 / 57 43/ 57 Forças Conservativas e Não Conservativas Se uma energia potencial puder ser associada à uma força, dizemos que essa força é conservativa. Senão é dissipativa. As forças conservativas têm duas propriedades importantes: O Trabalho realizado pela força em um circuito fechado é nulo O Trabalho de uma força para levar um corpo de um ponto a outro é independente do caminho W12 A W21 B 0 W12 A W21 B se for de 1 a 2 por B: W12 B W21 B W12 A W12 B Se só atuam forças conservativas, a Energia mecânica se conserva (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 43 / 57 44/ 57 Força Conservativa Força elástica e gravitacional ➜ força conservativa Jogar uma bola para cima por h: WP mgh , ao descer: WP mgh Ao alongar uma mola de x : Wel x0 kx k x2 2 ao retornar: Wel 0x kx k x2 2 Força não conservativa Força de atrito ➜ força dissipativa tanto na ida quanto na volta Wfc fcd Independência dos caminhos: (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 44 / 57 45/ 57 Forças Dissipativas Vamos considerar uma partícula sujeita a várias forças conservativas e apenas uma dissipativa. Wres K Vamos separar o Wres em Wcon Wfc K Cada força conservativa pode ser associada a uma energia potencial: Wcon U Wfc K U E Sempre que atuam forças dissipativas a Energia mecânica não se conserva. Ela é transformada em Energia térmica ou Energia interna do sistema. (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 45 / 57 46/ 57 Um bloco de 2,5kg colide com uma mola horizontal cuja constante k é 320 N/m. O bloco comprime a mola até que seu comprimento diminua de 7,5 cm em relação ao comprimento inicial. O coeficiente de atrito cinético vale 0,25. a) Qual o trabalho realizado pela mola até parar?R: Wel 0 9J b) Qual a Energia mecânica dissipada pela força de atrito enquanto o bloco está sendo levado ao repouso pela mola?R: Wf 0 46J c) Qual a velocidade da mola no momento da colisão? R: v 1 04 m/s (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 46 / 57 47/ 57 (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 47 / 57 48/ 57 Dois blocos são ligados por uma corda e liberados a partir do repouso. Mostre que a velocidade deles após percorrerem uma distância L é v 2 m2 m1 g L m1 m2 onde é o coeficiente de atrito cinético. Despreze a massa e o atrito da roldana. (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 48 / 57 49/ 57 (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 49 / 57 50/ 57 Dois blocos são conectados por um fio que passa por uma roldana. O bloco de massa m1 está sobre uma superfície horizontal preso a uma mola de constante elástica k . O sistema é liberado do repouso com a mola relaxada. Se o bloco m2 desce uma distância h antes de parar, calcule o coeficiente de atrito estático entre a superfície e m1. (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 50 / 57 51/ 57 (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 51 / 57 52/ 57 O cabo de um elevador de 2 toneladas arrebenta e ele cai. Quando sua velocidade é 4m/s ele atinge a mola amortecedora que deve ser capaz de pará-lo após ser comprimida de uma distância de 2m. Durante a compressão da mola, o freio de segurança aplica uma força de atrito constante de 17000N. Qual deve ser a constante elástica da mola para que essa situação aconteça? (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 52 / 57 53/ 57 (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 53 / 57 54/ 57 Uma pequena partícula escorrega por uma pista com extremidades elevadas e uma parte plana central de comprimento L. O atrito com as partes elevadas da pista é desprezível, mas na parte plana c vale 0,2. A partícula começa a descer a partir do repouso no ponto A, que se encontra a uma altura h L 2 acima da parte plana da pista. Determine a posição da partícula quando ela atinge o repouso. (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 54 / 57 55/ 57 (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 55 / 57 56/ 57 Um objeto de massa m é amarrado num suporte no teto usando-se uma corda fina e flexível de comprimento l . Ele é deslocado até que a corda esteja esticada horizontalmente, como mostra a figura, e depois é deixado livre. a) Ache a velocidade atingida pela massa quando ela está diretamente abaixo do ponto de suspensão, na base de sua oscilação. b) Ache a tensão na corda neste ponto, imediatamente antesda corda tocar no pino. c) A corda é interceptada por um pino, como mostra a figura. Qual a distância b mínima para que a massa realize um giro completo em torno do pino? (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 56 / 57 57/ 57 (Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 57 / 57
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