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1/ 57
Física 1
Mecânica
Sandra Amato
Instituto de Física - UFRJ
Trabalho e Energia
Potenciais
10/09/2014
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 1 / 57
2/ 57
Outline
1 Trabalho de uma Força Constante
2 Trabalho de uma Força Variável
3 Teorema do Trabalho-Energia
4 Energia Potencial
5 Conservação da Energia Mecânica
6 Forças Conservativas e Não Conservativas
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 2 / 57
3/ 57
Introdução
Estudamos a Mecânica Newtoniana utilizando o conceito de
Força ➜ aceleração ➜ velocidade ➜ posição , resolvendo um
grande número de situações.
Porém em situações que temos forças que variam com a
posição (molas, superfícies inclinadas não planas...), a
resolução através da aceleração pode se tornar mais
complexa. ➜ Podemos resolver com mais simplicidade
através do conceito Trabalho - Energia
Energia é um dos tópicos mais importantes em ciência pois é
uma grandeza que se conserva, pode ser convertida de uma
forma a outra, mas não criada nem destruída.
Aqui trataremos de Energia mecânica, cinética, potencial,
começando com a definição de Trabalho
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 3 / 57
4/ 57
Trabalho de uma Força Constante
Vamos começar definindo o Trabalho (W ) de uma força
constante em movimento unidimensional.
O Trabalho realizado pela Força constante F
para deslocar o objeto de uma distância d é
W F d cos F d
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 4 / 57
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W F d cos F d
Se temos várias forças atuando sobre o corpo, consideramos o
trabalho de cada uma delas.
Note que W pode ser 0 0 ou 0
O Trabalho estará ligado à transferência de energia:
Se energia é transferida para o corpo (cedida) ➜ W 0
Se energia é transferida do corpo (gasta) ➜ W 0
Trabalho é uma quantidade escalar.
Sua unidade no SI é N.m ➜ Joule
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 5 / 57
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Qual o trabalho realizado por cada força para deslocar o objeto
de 3m?
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 6 / 57
7/ 57
Um objeto de massa 15kg é arrastado com velocidade constante
por uma distância L 5 7 m sobre uma rampa sem atrito até
atingir uma altura h 2 5 m acima do ponto de partida.
a) Qual a força que a pessoa deve exercer?
b) Qual o trabalho executado pela pessoa sobre o objeto para
executar este deslocamento?
c) A pessoa diz que se usasse uma rampa mais longa (outra
inclinação) para levantar até a mesma altura, ela realizaria menos
trabalho. V ou F?
e) Qual o trabalho realizado pela força Peso?
d) Qual o trabalho da pessoa para levantar verticalmente da
mesma altura h?
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 7 / 57
8/ 57
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 8 / 57
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Trabalho de uma Força Variável
Se a força é constante : W Fx x
Se a força varia com a posição:
W F x
W lim
x 0
F x x
W
xf
xi
F x dx
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 9 / 57
10/ 57
Trabalho Realizado por uma Mola
Qual o Trabalho realizado pela mola
para levar o bloco de xi até xf ?
F kx
W
xf
xi
k x dx
W k
x 2f
2
x 2i
2
W
1
2
k x 2f x
2
i
Em particular, se xi 0 ➜
W
1
2
k x 2
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 10 / 57
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Trabalho de uma Força Qualquer em 3 Dimensões
W F dl Fxdx Fydy Fzdz
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 11 / 57
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Teorema do Trabalho-Energia
É uma consequência da Segunda Lei de Newton:
Se uma partícula se move ao longo de um eixo, sob a ação de
uma força resultante Fres nessa mesma direção:
Wres
xf
xi
F x dx ma x dx
ma x dx m
dv
dt
dx mvdv
Wres
vf
vi
mvdv
mv 2f
2
mv 2i
2
Chamamos a quantidade mv 2 2 de Energia Cinética da partícula:
Wres Kf Ki
A variação da Energia cinética de uma partícula é igual ao
Trabalho da resultante das forças que atuam sobre essa
partícula
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 12 / 57
13/ 57
Wres Kf Ki
Note que se W 0 a velocidade do objeto aumentará
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 13 / 57
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Movimento de Queda Livre
Na descida: v aumenta ➜ K aumenta.
Peso no mesmo sentido do deslocamento ➜
Wres 0
Na subida: v diminui ➜ K diminui.
Peso no sentido contrário ao deslocamento ➜
Wres 0
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 14 / 57
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Movimento Circular Uniforme
Se v é constante ➜ K não varia.
K 0
Força resultante ao deslocamento ➜
Wres 0
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 15 / 57
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Força de atrito Cinético
A força resultante é a força de atrito cinético, que é sempre
contrária ao deslocamento:
Wres Wfc fc d fcd
O Trabalho da Força de atrito Cinético é sempre 0, energia
cinética diminui.
E o Trabalho da Força de atrito Estático??
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 16 / 57
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Um bloco de 250g é deixado cair sobre uma mola vertical de
k 250N m . A compressão máxima da mola produzida pelo
bloco é de 12 cm.
a) Qual o trabalho executado pelo peso e pela força da mola
enquanto ela está sendo comprimida?
b) Qual era a velocidade do bloco no momento em que se chocou
com a mola?
c) Se a velocidade no momento do impacto dobrar, qual será a
compressão máxima da mola?
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 17 / 57
18/ 57
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 18 / 57
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Uma força resultante age sobre uma partícula de 3kg de tal
forma que sua posição em função do tempo é dada por
x t 3 t 4 t2 t3 (x em metros, t em segundos). Determine
o trabalho executado pela força entre t 0 e t 4s.
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 19 / 57
20/ 57
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 20 / 57
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Energia Potencial
Esses são exemplos em que temos um sistema de dois corpos
(elástico+pedra, Terra+pedra, carro+Terra) que interagem
através de uma força. O sistema se encontra em uma certa
configuração (de repouso) e que ao ser liberado, muda a
configuração e surge um estado de movimento.
Dizemos que no sistema com os dois corpos havia uma forma de
Energia armazenada ➜ Energia Potencial, que se transforma
em energia de movimento (Energia Cinética).
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 21 / 57
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A toda força podemos associar uma energia potencial?
Não! Apenas às forças Conservativas!!
Vamos examinar 3 exemplos: Força Elástica, Força Gravitacional,
Força de atrito Cinético
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 22 / 57
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Força Elástica
Um bloco com velocidade constante v se
aproxima de uma mola em sua posição
natural.
A mola é comprimida, a velocidade diminui
até chegar a zero.
O bloco retorna passando pelo ponto A com a
mesma velocidade (em módulo).
Se o corpo recupera toda a sua energia
cinética, podemos associar a esta força uma
energia potencial.
Toda mudança na energia cinética foi
acompanhada da mesma mudança (mas de
sinal oposto) na energia potencial
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 23 / 57
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Força Gravitacional
O módulo da Velocidade é recuperado, podemos associar uma
energia Potencial
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 24 / 57
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Conservação da Energia Mecânica
A relação “variação na energia cinética acompanhada de uma
variação oposta na energia potencial” pode ser escrita
matematicamente:
U K
U K 0
Uf Ui Kf Ki 0
Lei da Conservação da Energia Mecânica
Ki Ui Kf Uf E constante
onde E é chamada de Energia Mecânica do sistema
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 25 / 57
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Força de Atrito
O módulo da Velocidade NÃO é recuperado, NÃO podemos
associar uma energia Potencial à força de atrito.
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 26 / 57
V
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Definição de Energia Potencial
Considerando o Teorema do Trabalho - Energia Cinética
Wres K
e que uma variação na energia potencialcorresponde a uma
variação de sinal contrário na Energia cinética:
K U
temos que:
U Wres
Para uma dimensão:
U
x
x0
F x dx
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 27 / 57
28/ 57
U
x
x0
F x dx
Se a configuração de um sistema é alterada pela ação de uma
força, a mudança na energia potencial será o negativo do
trabalho realizado por essa força.
Note que só faz sentido calcular variação de energia potencial.
Devemos sempre escolher arbitrariamente um “zero” de energia
potencial:
U x U x0
x
x0
F x dx
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 28 / 57
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Energia Potencial Elástica
F x kx . Escolhemos U x0 0 onde x0 0 ( posição de
relaxamento da mola)
Uel 0
xf
0
k x dx
k x 2
2
xf
0
k x 2f
2
Substituindo na equação de conservação de energia mecânica:
1
2
k x 21
1
2
m v 21
1
2
k x 22
1
2
m v 22
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 29 / 57
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Energia Potencial Gravitacional
F y mg . Escolhemos U y0 0 onde y0 0 (ponto mais
baixo, eixo y orientado para cima)
Ug 0
yf
0
m g dy m g yf
Substituindo na equação de conservação de energia mecânica:
m g y1
1
2
m v 21 m g y2
1
2
m v 22
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 30 / 57
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Um bloco de massa m 5 7kg desliza sem atrito num plano
horizontal com velocidade constante v 1 2m/s. Ele se choca
com uma mola, de constante elástica k 1500N.m, e sua
velocidade se reduza a zero no momento em que o comprimento
da mola diminui de d em relação ao seu comprimento natural.
Qual o valor de d?
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 31 / 57
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(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 32 / 57
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Uma bungee jumper de m 61kg está em uma ponte 45m acima
de um rio. No estado relaxado a corda elástica tem comprimento
25m. Suponha que a corda obedeça à Lei de Hooke com
k 160N/m.
a) A que distância h0 os pés da moça estão da água no ponto
mais baixo da queda?
b) Qual a resultante das forças e a aceleração no ponto mais
baixo?
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 33 / 57
L
d
34/ 57
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 34 / 57
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Exemplo 7-6 Tipler
Um bloco de 2kg comprime de 20cm uma mola de k 500N/m
em uma superfície horizontal e lisa. O bloco é liberado,
deslizando sobre a superfície, subindo por uma rampa que faz 45
com a horizontal. Qual a distância que ele precorre na rampa até
parar?
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 35 / 57
36/ 57
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 36 / 57
37/ 57
Exemplo 7-5 Tipler
O pêndulo de comprimento L é solto do repouso quando faz um
ângulo com a vertical.
Qual a velocidade e a Tensão na corda ao passar pelo ponto mais
baixo?
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 37 / 57
0
38/ 57
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 38 / 57
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Um esquiador parte do repouso do topo de um semi-hemisfério
de raio R. Em que altura ele perde contato com a superfície?
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 39 / 57
40/ 57
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 40 / 57
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Um bloco de massa m é liberado a partir do repouso de uma
altura h do alto de um plano inclinado de um ângulo sem
atrito. O bloco comprime uma mola de constante elástica k .
a) Qual a velocidade do bloco ao se chocar com a mola? b) Qual
a distância total percorrida pelo bloco até parar?
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 41 / 57
42/ 57
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 42 / 57
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Forças Conservativas e Não Conservativas
Se uma energia potencial puder ser associada à uma força,
dizemos que essa força é conservativa. Senão é dissipativa.
As forças conservativas têm duas propriedades importantes:
O Trabalho realizado pela força em um circuito fechado é
nulo
O Trabalho de uma força para levar um corpo de um ponto a
outro é independente do caminho
W12 A W21 B 0 W12 A W21 B
se for de 1 a 2 por B:
W12 B W21 B W12 A W12 B
Se só atuam forças conservativas, a Energia mecânica se conserva
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 43 / 57
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Força Conservativa
Força elástica e gravitacional ➜ força conservativa
Jogar uma bola para cima por h: WP mgh , ao descer:
WP mgh
Ao alongar uma mola de x : Wel x0 kx
k x2
2
ao retornar: Wel 0x kx
k x2
2
Força não conservativa
Força de atrito ➜ força dissipativa
tanto na ida quanto na volta Wfc fcd
Independência dos caminhos:
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 44 / 57
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Forças Dissipativas
Vamos considerar uma partícula sujeita a várias forças
conservativas e apenas uma dissipativa.
Wres K
Vamos separar o Wres em Wcon Wfc K
Cada força conservativa pode ser associada a uma energia
potencial:
Wcon U
Wfc K U E
Sempre que atuam forças dissipativas a Energia mecânica não se
conserva. Ela é transformada em Energia térmica ou Energia
interna do sistema.
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 45 / 57
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Um bloco de 2,5kg colide com uma mola horizontal cuja
constante k é 320 N/m. O bloco comprime a mola até que seu
comprimento diminua de 7,5 cm em relação ao comprimento
inicial. O coeficiente de atrito cinético vale 0,25.
a) Qual o trabalho realizado pela mola até parar?R: Wel 0 9J
b) Qual a Energia mecânica dissipada pela força de atrito
enquanto o bloco está sendo levado ao repouso pela mola?R:
Wf 0 46J
c) Qual a velocidade da mola no momento da colisão? R:
v 1 04 m/s
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 46 / 57
47/ 57
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 47 / 57
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Dois blocos são ligados por uma corda e liberados a partir do
repouso. Mostre que a velocidade deles após percorrerem uma
distância L é
v
2 m2 m1 g L
m1 m2
onde é o coeficiente de atrito cinético. Despreze a massa e o
atrito da roldana.
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 48 / 57
49/ 57
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 49 / 57
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Dois blocos são conectados por um fio que passa por uma
roldana. O bloco de massa m1 está sobre uma superfície
horizontal preso a uma mola de constante elástica k . O sistema é
liberado do repouso com a mola relaxada. Se o bloco m2 desce
uma distância h antes de parar, calcule o coeficiente de atrito
estático entre a superfície e m1.
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 50 / 57
51/ 57
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 51 / 57
52/ 57
O cabo de um elevador de 2 toneladas arrebenta e ele cai.
Quando sua velocidade é 4m/s ele atinge a mola amortecedora
que deve ser capaz de pará-lo após ser comprimida de uma
distância de 2m. Durante a compressão da mola, o freio de
segurança aplica uma força de atrito constante de 17000N. Qual
deve ser a constante elástica da mola para que essa situação
aconteça?
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 52 / 57
53/ 57
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 53 / 57
54/ 57
Uma pequena partícula escorrega por uma pista com
extremidades elevadas e uma parte plana central de comprimento
L. O atrito com as partes elevadas da pista é desprezível, mas na
parte plana c vale 0,2. A partícula começa a descer a partir do
repouso no ponto A, que se encontra a uma altura h L 2
acima da parte plana da pista. Determine a posição da partícula
quando ela atinge o repouso.
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 54 / 57
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(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 55 / 57
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Um objeto de massa m é amarrado num suporte no teto
usando-se uma corda fina e flexível de comprimento l . Ele é
deslocado até que a corda esteja esticada horizontalmente, como
mostra a figura, e depois é deixado livre.
a) Ache a velocidade atingida pela massa quando ela está
diretamente abaixo do ponto de suspensão, na base de sua
oscilação.
b) Ache a tensão na corda neste ponto, imediatamente antesda
corda tocar no pino.
c) A corda é interceptada por um pino, como mostra a figura.
Qual a distância b mínima para que a massa realize um giro
completo em torno do pino?
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 56 / 57
57/ 57
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 57 / 57

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