aula2 cinematica

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Física 1
Mecânica
Sandra Amato
Instituto de Física - UFRJ
Cinemática Unidimensional
15/08/2014
(Cinemática) Física 1 15/08/2014 1 / 45
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Outline
1 Referencial
2 Movimento Uniforme
3 Movimento Acelerado
4 Derivada
5 MRUV
6 Integral
7 Queda Livre
8 Exercícios
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Cinemática
Para descrever o movimento precisamos primeiramente escolher um referencial
(observador), que será representado aqui pelos eixos cartesianos. Devemos
também escolher a origem.
Descrever o movimento significa dizer em que posição o objeto estará em
qualquer instante de tempo, queremos determinar o vetor posição r t .
O vetor r t pode ser escrito em termos de suas componentes:
r t x t y t z t k
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Chamamos de vetor deslocamento da partícula entre os instantes t1 e t2 o
vetor
r r t2 r t1 x2 x1 y2 y1 z2 z1 k
e definimos o vetor velocidade média como a razão entre o vetor
deslocamento e o intervalo de tempo necessário para realizar o deslocamento
vmed t1 t2 rt
r2 r1
t2 t1
Qual é a direção do vetor vmed t1 t2 ?
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Movimento Uniforme
O Movimento Uniforme se caracteriza pelo fato de que
percursos iguais ( r) são realizados em intervalos de tempos
iguais. Pela definicão de velocidade vmed t1 t2 rt vemos que
ela não varia:
v t v0
Como r v0 t ➜ r é um vetor constate ➜ Movimento
Retilíneo.
Sabendo o vetor posição em um instante inicial, r t0 , e a
velocidade v0, podemos obter o vetor posição em qualquer
instante de tempo:
v v0
r
t
r t r t0
t t0
r t r t0 v0 t t0
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Movimento Uniforme
Lei Horária do MRU
r t r t0 v0 t t0
Como o movimento é retilíneo, é conveniente escolher a direção
de um dos eixos coincidente com a direção do movimento:
v0 v0
r t x t
como x t x0 v0 t t0
r t x0 v0 t t0
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Gráficos - MU
Uma forma bastante prática de se visualizar o movimento é
através de gráficos
Graficamente, a velocidade é o coeficiente angular da reta no
gráfico x t
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Gráficos - MU
Como v xt
x t2 x t1
t2 t1
,
Podemos ter velocidades positivas ou negativas:
Se x2 x1 ➜ movimento no sentido crescente de x ➜ v 0
Se x2 x1 ➜ movimento no sentido decrescente de x ➜ v 0
Como ficaria o gráfico x t ?
Quanto maior a inclinação maior a velocidade.
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Movimento Acelerado (ainda retilíneo)
Qualquer Movimento Retilíneo que não seja uniforme
(v constante) é chamado acelerado.
Da definição de vm xt vemos que, graficamente, ela representa
o coeficiente angular da corda que liga os extremos P1 e P2 do
arco de curva correspondente ao gráfico x t .
A velocidade média entre t1 e t2 é equivalente à velocidade de um
movimento uniforme de uma partícula que saindo de x1 em t1
chegasse em x2 no instante t2.
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Movimento Acelerado
Suponha que um carro percorra 400km em linha reta em 10
horas. ➜ vm 40km h .
Essa informação descreve bem o movimento?
➜ Precisamos do conceito de velocidade instantânea
mas antes...
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Exemplo
Um carro percorre 10 km a 50 km/h até que a gasolina acaba. O
motorista caminha então 4km em meia hora até um posto.
a)Qual a velocidade média desde que entrou no carro até o posto?
b) Se, depois disso, o motorista traz o combustível de volta em
35 min, qual a velocidade média desde o instante em que entrou
no carro até o retorno ao posto?
c) Faça o gráfico da posição x em função do tempo.
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Velocidade Instantânea
A velocidade média dá apenas uma noção de como a partícula se desloca num
dado intervalo de tempo, porém se quisermos uma informação mais precisa
temos que definir a velocidade instantânea da partícula, no instante t ,
como sendo o limite da razão entre x e t quando t 0.
v t lim
t 0
x
t
lim
t 0
x t t x t
t
dx
dt
Lê-se: A velocidade instantânea no instante t é a derivada da posição em
relação ao tempo neste instante.
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Velocidade Instantânea
Se mantivermos o ponto P fixo e considerarmos intervalos de
tempo cada vez menores, vemos que a direção da secante entre os
dois instantes de tempo, vai se aproximando à direção da
tangente no instante t ➜ A velocidade instantânea é o coeficiente
angular da reta tangente à curva do gráfico x t .
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Exemplo
Uma pedra é lançada do topo de um prédio. Suponha que a
função posição seja dada por x t 5t2, onde x está em metros e
t em segundos. A origem do eixo x está no topo do prédio e seu
sentido positivo é para baixo. Determine a velocidade da pedra
em função do tempo durante o qual ela está caindo.
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Exemplo
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Gráfico
Podemos obter o gráfico de v t a partir do gráfico x t .
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Propriedades das Derivadas
A Derivada de uma função constante é nula.
x t 4
dx
dt
lim
t 0
x t1 x t0
t1 t0
lim
t 0
4 4
t1 t0
0
A derivada da função que é igual à variável independente t é
igual a 1.
x t t
dx
dt
lim
t 0
x t1 x t0
t1 t0
lim
t 0
t1 t0
t1 t0
1
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Propriedades das Derivadas
A Derivada da função tn , é ntn 1
x t t2
dx
dt
lim
t 0
x t t x t
t
x t t t2 t 2 2t t
dx
dt
lim
t 0
t 2 2t t
t
2t
x t t4
dx
dt
4t3
x t
1
t4
t 4
dx
dt
4t 5
4
t5
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Propriedades das Derivadas
A Derivada das somas das funções é igual à soma das
derivadas
x t t3 t2 t 5
dx
dt
3t2 2t 1 0
A Derivada de atn , onde a é uma constante, é antn 1
x t 3t2
dx
dt
6t
x t 6t2 3t3
dx
dt
12t 9t2
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Exemplo
Uma partícula move-se ao longo do eixo x de modo que sua
posição varia com o tempo de acordo com
x t 8 9t 2t3
(posição em m e tempo em s)
a) Escreva o vetor posição da partícula em qualquer instante de
tempo. E no instante t 2s.
b) Qual a velocidade da partícula em qualquer instante de
tempo? E no instante t 3s?
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Exercícios
1 Uma partícula se move ao longo do eixo x de acordo com
x 50t 10t2 (x em m, t em s). Obtenha:
1 A vm durante os 3 primeiros segundos
2 A velocidade instantânea v em t 3s
3 Faça o gráfico x t e indique como a vm e a v podem ser obtidas
4 Faça o gráfico v t
2 O gráfico abaixo representa o movimento de um automóvel
em uma estrada retilínea. Esboce o gráfico v t
correspondente e indique os intervalos em que ele se move (a)
para a frente, (b) para trás e (c) o intervalo em que está parado
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Aceleração
Uma outra grandeza importante no estudo da cinemática é a
aceleração, que descreve como a velocidade varia com o tempo.
Definimos a aceleração média
am t1 t2
v
t
v2 v1
t2 t1
e a aceleração instantânea
a lim
t 0
v
t
lim
t 0
v t t v t
t
dv
dt
Aceleração instantânea é a derivada da velocidade em
relação ao tempo
a
dv
dt
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Aceleração
Como v dxdt ➜ a
dv
dt
d
dt
dx
dt
d2x
dt2
Aceleração instantânea é a derivada segunda da posição em
relaçãoao tempo
a
d2x
dt2
Ex: Uma partícula move-se ao longo do eixo x de modo que sua
posição varia com o tempo de acordo com
x t t3 27t 4
(posição em m e tempo em s) . Qual a aceleração em t 2 s?
Em que instante a velocidade é nula?
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Aceleração - através do gráfico v t
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Gráfico da aceleração através do gráfico v t
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Caso Particular - Aceleração Constante - MRUV
Aceleração instantânea é igual à aceleração média ➜ Gráfico
v t é uma reta.
a vt escolhendo t1 0 e v1 v0 temos a
v v0
t 0
Equação da velocidade para o MRUV
v v0 at
Verifique que dvdt a
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MRUV - Variação da posição em função de t
v xt ➜ x x0 vt
Como a é constante ➜ v v0 v2 (Demonstre)
Substituindo v v0 at nessa:
v v0 v0 at2
2v0 at
2 v0
1
2at
Substituindo na eq. para x
Equação horária do MRUV
x x0 v0t
1
2
at2
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MRUV
Equações fundamentais do MRUV
x x0 v0t
1
2
at2 v v0 at
Eliminando o tempo entre elas, obtemos a chamada equação de
Torricelli
v 2 v 20 2a x
que permite determinar, o módulo da velocidade ao fim de um
deslocamento, a partir apenas do módulo da velocidade no início
do deslocamento, sem saber o tempo decorrido.
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Gráficos do MRUV
x x0 v0t 12at
2 ➜ O gráfico x t é uma parábola.
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Exercícios
Um motorista freia seu carro uniformemente de forma que a
velocidade cai de 60 km/h para 30 km/h em 5s. Que
distância o carro percorrerá depois disso até parar? Quanto
tempo levará para percorrer essa distância adicional?
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Obtenção de x t a partir de v t
Vimos como obter v t a partir de x t e a t a partir de v t .
Queremos agora fazer o processo inverso: Obter o espaço
percorrido x t2 x t1 a partir de v t .
Vamos começar usando o MRU: v constante ➜ v v v0
v v0
x
t
x x t2 x t1 v0 t
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Integral
Vamos considerar uma função v t qualquer. Dividimos o intervalo de tempo
em vários intervalos pequenos de larguras t1 t2 , de forma a poder
considerar v v .
x t2 x t1
i
vi ti
x t2 x t1 lim
t 0
i
vi ti
t2
t1
v t dt
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Obtenção de x no MRUV
Para o MRUV, o gráfico de v t é uma reta. Podemos calcular a área sob a
curva entre os instantes t1 e t2 para saber o espaço percorrido x nesse
intervalo.
x v1 t
1
2
a t 2
escolhendo t1 0 e t2 t esta equação se torna x x0 v0t 12at
2
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Queda Livre
Um exemplo bastante comum de MRUV é a queda livre de uma
partícula próxima à superfície da Terra.
Esse é o movimento de uma partícula com velocidade inicial
vertical; ela realiza um movimento retilíneo com aceleração
constante apontando para baixo e de módulo g 9 8 m s2 (em
boa aproximação).
Portanto, escolhendo como eixo do movimento, um eixo vertical
OY apontando para cima, obtemos ay g , de modo que as
equações fundamentais da queda livre são
Equações de queda livre
y y0 v0yt
1
2
gt2 vy v0y gt
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Exercícios
H 2.54 Quando a luz verde de um sinal de trânsito acende, um
carro parte com aceleração constante a 2 2 m/s2. No mesmo
instante, um caminhão, com velocidade constante de 9,5 m/s,
ultrapassa o automóvel.
1 A que distância após o sinal, o carro ultrapassará o
caminhão?
2 Qual a velocidade do carro nesse instante?
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Exercícios
H 2.83 Um paraquedista salta e cai livremente por 50 m. Em
seguida o paraquedas se abre e ele desacelera a 2,0 m/s2. Quando
chega ao solo, sua velocidade é de 3,0 m/s.
1 Quanto tempo o paraquedista fica no ar?
2 De que altura ele saltou?
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H 2.68 Um modelo de foguete é lançado verticalmente e sobe
com uma aceleração constante de 4,00 m/s2, por 6,00 s. Seu
combustível então acaba e ele passa a mover-se como uma
partícula em queda livre.
1 Qual a altura máxima atingida pelo foguete?
2 Qual o tempo total decorrido desde o lançamento até sua
queda na Terra?
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