Leis de Newton e Dinâmica

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Física 1
Mecânica
Sandra Amato
Instituto de Física - UFRJ
Dinâmica
Leis de Newton
29/08/2014
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Outline
1 Introdução
2 As Quatro Forças Fundamentais da Natureza
3 Primeira Lei de Newton
4 Segunda Lei de Newton
5 Terceira Lei de Newton
6 Exemplos de Forças
7 Aplicações
8 Movimento Circular
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Dinâmica
Dadas as características de um corpo (massa, volume, carga
elétrica) e conhecendo a sua “vizinhança”, queremos determinar
como esse corpo irá se mover.
Princípios básicos elaborados por Galileo ( 1610) e Newton
(1642-1727).
Newton formalizou as suas 3 Leis usando toda a sua genialidade
e baseando-se nos trabalhos de Galileo e de Kepler.
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As Quatro Forças Fundamentais da Natureza
1 Força Forte - Responsável por manter os núcleos coesos.
2 Força Fraca - Responsável pelos decaimentos de partículas:
Ex: Decaimento : n p e
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As Quatro Forças Fundamentais da Natureza
1 Força Gravitacional. Responsável pelo movimento de
satélites, dos planetas, de estruturas nas
escalas ainda maiores e pelo peso de objetos próximos da Terra
2 Força Eletromagnética. Atua entre corpos carregados
eletricamente, e é responsável pelas forças de interação entre
corpos macroscópicos neutros, como forças de coesão dos
corpos, forças de atrito, forças de contato entre as superfícies.
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Mecânica Newtoniana
A Mecânica Newtoniana faz previsões para uma quantidade
enorme de fenômenos desde escalas moleculares à escala galáctica.
Vamos considerar inicialmente os objetos como partículas -
dimensões desprezíveis
Pré-Galileo - Noção intuitiva de força - precisamos da existência
de uma força para mantermos um objeto em movimento.
Galileo: se um objeto for colocado em movimento em uma
superfície extremamente lisa, seu movimento não cessará. Para
mantermos um corpo em seu movimento de velocidade constante
não precisamos da existência de nenhuma força. Nesse sentido,
repouso e MU são idênticos.
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Primeira Lei de Newton
Primeira Lei de Newton
“ Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel
movendi uniformiter in directum, nisi quatenus illud, a
viribus impressis cogitur statum suum mutar”
“Todo corpo permanece em seu estado de repouso ou Movimento
Uniforme a menos que se aplique uma força sobre ele”
A Primeira Lei pode ser vista como uma definição de
Referenciais Inerciais.
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Referencial Inercial
Se a resultante das forças que atuam sobre um objeto é nula, é
possível encontrar um sistema de referência de forma que o corpo
não tenha aceleração. Todo referencial no qual a aceleração do
objeto se mantém nula é um referencial inercial. A primeira e a
segunda Leis de Newton só são válidas em referenciais inerciais.
A Terra é um referencial inercial?
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Forças
Levando em conta a Primeira Lei de Newton e o conceito de
referencial inercial, podemos definir Força como uma ação
externa sobre um objeto que faça com que sua velocidade seja
alterada, ou seja, que cause uma aceleração em relação a
um referencial inercial.
Em se tratando apenas das forças clássicas, podemos separá-las
entre:
forças de contato: força entre duas superfícies (atrito e
normal), tensão, força elástica...
forças de ação à distância força gravitacional (peso), força
eletro-magnética.
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Adição de Forças
A mudança no movimento depende da direção e sentido da força
‹ Força é um vetor. A Demonstração é experimental.
Fres F1 F2
A Força Resultante é uma Força real?
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Massa
Massa é uma propriedade intrínseca de cada corpo, não
depende do referencial (na mecânica clássica).
Ela representa a resistência que um objeto apresenta ao ser
acelerado ‹ inércia.
A medida da massa de um objeto é feita comparando-a com a de
um objeto padrão - um cilindro de uma liga de irídio-platina
cuidadosamente guardado no Instituto de pesos e medidas de
Sèvres - França. A massa desse objeto é de 1kg - unidade usada
no SI.
Essa comparação é feita usando a Segunda Lei de Newton:
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Segunda Lei de Newton
Segunda Lei de Newton
“ Mutationem motus proportionalem esse vi motrici
impressae, e fieri secumdum lineam rectam qua vis illa
imprimitur”
“A aceleração de um objeto é diretamente proporcional à força
resultante que age sobre ele, sendo a massa desse objeto a
constante de proporcionalidade”
Fres ma
A unidade de força no SI é o Newton (N). 1N é definido como a
força necessária para dar uma aceleração de 1m/s2 a um objeto
de 1kg.
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Terceira Lei de Newton
Terceira Lei de Newton
“ Actioni contrariam semper e aequalem esse reactionem :
sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse
aequales et in partes contrarias dirigi”
“A toda ação corresponde uma reação igual e contrária”
Quando dois corpos A e B interagem entre si, a força FBA
exercida pelo corpo B sobre o corpo A tem a mesma magnitude e
sentido oposto ao da força FAB exercida pelo corpo A sobre o
corpo B.
FBA FAB
Note que elas atuam em corpos diferentes!!
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Força Gravitacional
A Força Gravitacional é de longo alcance e atua entre
partículas que possuem massa e é dada por:
F G
m1m2
r 2
r
Sendo uma das partículas a Terra e a outra partícula estar
próxima à ela (a distância entre a superfície da Terra e o objeto
RT ) essa força é a que chamamos de Força Peso que é
constante e vale
P mg
onde g GMT R2T r
e tem módulo 9,8 m/s2
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Força elástica
Temos uma mola com uma extremidade fixa e a outra presa em
um objeto que se move apenas no eixo . A mola exerce uma
força elástica sobre o objeto que depende da deformação da
mola. Dizemos que ela é uma mola ideal se
Lei de Hooke
F k x
k é uma constante positiva característica da mola, chamada sua
constante elástica e x é a posição do objeto chamada
elongação da mola.
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Tensão em um fio
Temos um fio com uma extremidade fixa e a outra presa em um
objeto. O fio é uma espécie de mola que exerce sobre o objeto
uma força elástica dependente da elongação do fio.
Fios ideais se caracterizam por ter massa desprezível e
elongações imperceptíveis (inextensíveis).
Essa força, chamada tensão do fio sobre a partícula, tem valor
diferente de zero somente se o fio está tenso, tem a direção do fio,
sentido compatível com o fio estar tenso e módulo determinável
em cada problema particular por meio da condição do fio ser
ideal.
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Forças entre superfícies
Vamos considerar as superfícies de dois corpos sólidos em
contato.
Elas possuem duas componentes:
1 Uma perpendicular ou Normal à superfície: Ela está sempre
presente e seu módulo é determinável em cada problema
particular.
2 uma tangente à superfície: a força de atrito. Se as
superfícies forem lisas o atrito é considerado desprezível
(gelo, colchão de ar...).
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Força de atrito Cinético
As duas superfícies (não lisas) em contato podem estar se
movendo uma em relação à outra (na direção tangencial às
superfícies). Neste caso dizemos que há deslizamento de um
objeto sobre o outro, e a força de atrito é chamada de atrito
cinético. Resultados experimentais mostram que esta força tem
sentidocontrário ao da velocidade do objeto e tem módulo
fc c N
onde c é uma constante característica das superfícies em contato
chamada coeficiente de atrito cinético e N é a força normal
exercida pela superfície.
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Força de atrito Estático
Se não há deslizamento entre as duas superfícies, a força de atrito
é chamada de atrito estático. Seu módulo, direção e sentido
são determinados em cada problema particular de modo a
satisfazer as Leis de Newton.
O módulo da força de atrito estático pode variar desde zero até o
valor máximo
fe e N
onde e é uma constante característica das superfícies em
contato chamada coeficiente de atrito estático.
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Gráfico da Força de atrito
c e e são adimensionais, normalmente 1 e c e
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Exemplos de Coeficiente de atrito
c e e são adimensionais, normalmente 1 e c e
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Freio ABS - AntiLocking Breaking Systems
(Explicação mais completa com dados no Halliday Fundamentals)
Como freiar um carro se quisermos parar na menor distância
possível?
Ao pressionar bruscamente o pedal do freio, fazemos com que a
roda pare de rolar, o carro passa a deslizar, passando do atrito
estático para o cinético ( c e ) fazendo com que o carro
percorra uma distância maior até parar.
O sistema ABS libera os freios ligeiramente antes das rodas
pararem de rolar, mantendo o atrito estático
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Método de solução de problemas de dinâmica
Queremos determinar a aceleração de um corpo em translação,
relativamente a um referencial inercial.
Identificar este corpo
Identificar a “vizinhança”: Quais os outros corpos que
exercem forças sobre ele
Fazer o diagrama vetorial das forças
Aplicar a segunda lei de Newton F ma
escolher os eixos coordenados e decompor a forma vetorial em
3 equações escalares
substituir, quando possível, a expressão para cada força
(força elástica kx , atrito cinético cN )
Se houver mais de um corpo, isolá-los separadamente. A
Terceira Lei de Newton pode ajudar a montar as relações
entre os dois conjuntos de forças.
Verifique se o resultado está dimensionalmente correto
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Máquina de Atwood
Dois blocos suspenso por um fio (inextensível e com massa
desprezível) que passa por uma roldana presa ao teto. Determine
a aceleração de cada bloco e a tensão em cada fio.
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As somas das forças que atuam sobre cada bloco, acelerados, são obtidas por
F1 m1a1 T1 m1g m1a1
F2 m2a2 T2 m2g m2a2
fio inextensível ‹ a1 a2 a
fio e polia de massas desprezíveis ‹ T1 T2 T
Usando as componentes das equações acima Fy may , como
T m1g m1a
m2g T m2a
subtraindo uma equação da outra, obtemos
a m2 m1m1 m2 g
Se m2 m1, temos a 0 ‹ aceleração está no sentido escolhido,
se m1 m2, temos a 0 e a aceleração aponta no sentido contrário.
Levando esse resultado de a em uma das equações, temos
T 2m1m2m1 m2 g
Note que a tração no fio não é igual ao peso
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Ângulo de deslizamento
Um bloco está inicialmente em repouso sobre uma superfície.
Como podemos medir o coeficiente de atrito estático entre eles?
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Peso aparente
Um passageiro de massa m 72 2kg está de pé em uma balança
dentro de um elevador. Qual será a leitura da balança quando o
elevador:
a) está em repouso
b) sobe acelerado com a 3 2m/s2
c) desce acelerado com a 3 2m/s2
d) está em queda livre e) para o passageiro dentro do elevador, é
possível saber o sentido de movimento do elevador?
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Um pintor de massa igual a 80kg está trabalhando sentado em
um pequeno andaime de massa igual a 15kg pendurado ao longo
de um lado de um prédio alto. O pintor puxa a corda com uma
força tal que a força de contato que ele exerce sobre o andaime é
500 N. Suponha que a polia e a corda tenham massas
desprezíveis.
a) Indique isoladamente as forças que atuam sobre o pintor e
sobre o andaime
b) Determine a aceleração do conjunto pintor andaime
c) Determine a força que o pintor exerce sobre a corda
d) Determine a tensão na corda que sustenta a polia
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H 5.40) Dois blocos estão em contato sobre uma mesa sem
atrito. Uma força horizontal é aplicada a um dos blocos, como
mostrado na figura. (a) Se m1 2 3 kg, m2 1 2 kg e F 3 2
N, determine a força de contato entre os dois blocos. (b) Mostre
que, se a mesma força F for aplicada a m2, ao invés de m1, a
força de contato entre os dois blocos vale 2,1 N, que não é o
mesmo valor obtido no item (a). Explique a diferença.
F
m1
m2
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Dois blocos A e B de massas mA e mB (com mA mB ) estão
ligados por um fio, como mostra a figura. A polia e o fio têm
massas desprezíveis, e não há atrito entre A e a superfície
horizontal. (a) Calcule a aceleração do sistema e a força F qua
atua sobre A. (b) Mantendo-se o mesmo valor de mA para A,
que valor mB deveria ter a massa de B para que a força F
atuando sobre A seja o dobro da força F calculada no item (a)?
(c) Comente o resultado do item (b) para os casos em que
mA mB e mA mB .
B
A
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H 5.49) Três blocos são ligados, como mostrado na figura
abaixo, por fios de massa desprezível. Os blocos estão apoiados
sobre uma mesa horizontal lisa, e são puxados para a direita por
uma força horizontal de módulo T3 65 0 N. Se m1 12 0 kg,
m2 24,0 kg e m3 31,0 kg, calcule (a) a aceleração do sistema e
(b) as tensões T1 e T2 da figura.
T1 T2 T3m1 m3m2
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Sobre um corpo de 2kg que se encontrava em repouso na origem,
passam a atuar três forças:
F1 k N, F2 2 k N e F3 2k N,
onde e k representam os unitários dos eixos cartesianos x y e
z respectivamente. Determine:
a) O ângulo entre a força resultante e o eixo x positivo;
b) o vetor velocidade do corpo em função do tempo
c) o vetor posição do corpo em função do tempo
d) a distância do corpo até a origem no instante t 3s
e) o vetor velocidade média entre t 0s e t 2s
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Sandra Amato
t
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H 5.58) Um bloco de massa m1 3,70 kg está sobre um plano
liso com inclinação de 30 , preso por uma corda que passa por
uma polia, de massa e atrito desprezíveis. Na outra extremidade
da corda está colocado um segundo bloco de massa m2 2,30 kg,
que fica pendurado verticalmente (veja figura). Quais são (a) os
módulos das acelerações de cada bloco e (b) o sentido da
aceleração de m2? (c) Qual a tensão na corda?
30�
m2
m1
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H 6.32) Dois blocos são ligados através de uma polia, como
mostrado na figura. A massa do bloco A é de 10 kg e o
coeficiente de atrito cinético é 0,20. O bloco A desliza para baixo
sobre o plano com velocidade constante. Qual a massa de B?
30�
B
A
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H 6.36) Um bloco de 4,0 kg é colocado em cima de um outro de
5,0 kg. Para fazer o bloco de cima deslizar sobre o de baixo, que
é mantido fixo, uma força horizontal de pelo menos 12 N deve seraplicada ao de cima. O conjunto de blocos é agora colocado sobre
uma mesa horizontal sem atrito (veja a figura). Determine (a) a
força horizontal F máxima aplicada ao bloco inferior para que
ainda se movimentem juntos e (b) a aceleração resultante dos
blocos.
5, 0 kg
4, 0 kg
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Sandra Amato
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H 6.38) A figura abaixo mostra dois blocos em contato (m 16
kg e M 88 kg) que não estão fixados um ao outro. O sistema
está acelerado. O coeficiente de atrito estático entre eles é e
0,38, mas na superfície embaixo de M não há atrito. Qual a
menor força horizontal F necessária para manter m em contato
com M ?
M
m
sem atrito
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Uma força horizontal F , de módulo 50 N, empurra um bloco de
peso 20 N contra uma parede vertical. O coeficiente de atrito
estático entre a parede e bloco é 0,40 e o de atrito cinético é 0,30.
Suponha que inicialmente o bloco esteja em repouso. (a) O bloco
começará a se mover? (b) Qual a força exercida pela parede
sobre o bloco?
F
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1) Um elétron de massa m é lançado com velocidade v0
horizontal no interior de uma região com um campo elétrico
vertical uniforme E , criado por duas placas metálicas paralelas
de comprimento d como mostra a figura. O campo elétrico dá
origem a uma força F eE sobre o elétron, onde e é o módulo
da carga do elétron. Se uma tela for colocada no final das placas,
determine em relação aos eixos da figura (despreze o efeito da
força gravitacional entre o elétron e a Terra), (a) em que ponto
da placa o elétron incidirá, (b) o vetor velocidade neste ponto,
(c) quanto tempo o elétron leva para atravessar a distância d?
x
y
�v0
�E
d
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Movimento Circular Uniforme
Se uma partícula descreve um círculo com módulo de
velocidade constante, a sua aceleração será centrípeta de
módulo:
ac
v 2
R
Para que isso aconteça a Resultante das forças deve apontar
para o centro do círculo
F ma
mv 2
R
A força centrípeta NÃO é uma força extra, ela é
simplesmente a força resultante na direção radial
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Considere um disco de massa m preso a um fio, apoiado sobre
uma mesa sem atrito, que gira com v constante
Um disco de massaM que esta´ ligado por um fio leve a outra massa m pode
deslizar sobre a mesa com atrito desprezı´vel, como mostrado na figura. Qual deve
ser o valor da massam para que o disco descreva ummovimento circular uniforme
de raio r e velocidade angular �?
m
Mr
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Carro em uma curva plana
Um carro de massa m faz uma curva de raio R em uma estrada
plana. Qual o valor mínimo do coeficiente de atrito estático e
de forma a evitar a derrapagem?
Considere m 1600 kg, v 72 km/h e R 190 m
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Carro em uma curva plana
f e
mv 2
R
Se a f e está em seu valor máximo, prestes a derrapar:
f e
mv 2
R e
N emg
e
v 2
Rg
e 0 21
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Carro em uma curva inclinada
Não podemos sempre contar com o atrito (chuva, óleo) ‹
As estradas são inclinadas nas curvas.
Ncos mg
Nsen mv 2R
tan
v 2
Rg
12
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Pêndulo cônico
O pêndulo cônico é um partícula de massa m que gira em
movimento circular uniforme, descrevendo um círculo de raio R,
suspensa por um fio de comprimento L preso a um ponto fixo, de
forma que o fio descreve a superfície de um cone de ângulo de
abertura .
A força resultante sobre o corpo é
F T mg mac
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usando o diagrama de forças, podemos decompor as forças na
forma
Fx ma T sen mac
Fy 0 T cos mg 0
como ac v 2 R
tan
ac
g
v 2
Rg
v R g tan
Qual o período do pêndulo?
T
2 R
v
2 R
R g tan
2
R cos
g sen
olhando a figura podemos perceber que R L sen , e então
T 2
Lcos
g
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Um rotor é um brinquedo de parque de diversões, constituído de
um cilidro, em a pessoa enconsta na parede e o cilindro começa a
girar. Após atingir uma certa velocidade o chão se abre e a
pessoa nao cai. Considere o coeficiente de atrito estático entre as
roupas da pessoa e a parede cilíndrica como e 0 5 e o raio do
cilindro 2,0m. Qual deve ser a velocidade mínima para que a
pessoa permaneça colada à parede? A quantas rpm isto equivale?
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Sandra Amato
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Considere um satélite de massa m orbitando em torno da Terra a
uma velocidade v e altura h em relação à superfície da Terra.
Determine a velocidade do satélite em função de G h MT e RT .
Usando os valores de RT 6 37 106 m, MT 6 1024 kg e uma
altura h 1000 km, em quanto tempo o satélite dá uma volta?
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Movimento Circular Não Uniforme
Se além do movimento ser circular (possuir ac ) o módulo de v
também variar, teremos também uma componente tangencial da
aceleração aT dvdt
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Uma pequena esfera de massa m está presa a um fio de
comprimento L e gira em um círculo vertical de centro fixo.
Determine a Tensão na corda em um instante em que o módulo
da velocidade é v e o ângulo com a vertical é
Em que posição seria mais provável a corda arrebentar caso
aumentássemos muito a velocidade?
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H 6.57) Uma pessoa dirige um carro sobre o alto de uma
montanha, cuja seção reta é aproximadamente um círculo de 250
m de raio, conforme a figura. Qual a maior velocidade em que
pode dirigir o carro sem sair da estrada no alto da montanha?
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H 6.70) A figura mostra uma bola de 1,34 kg presa a um eixo
girante vertical por duas cordas de massa desprezível. As cordas
estão esticadas, formam os lados de um triângulo equilátero e
cada uma mede 1,70 m. A tensão na corda superior é de 35 N.(a)
Desenhe o diagrama de corpo isolado para a bola. (b) Qual a
tensão na corda inferior? (c) Qual a força resultante sobre a bola
no instante mostrado na figura? (d) Qual a velocidade da bola?
Resp: (b) 8,7 N (c) -37,9 N apontando para o eixo e
perpendicularmente a ele. (d) 6,45 m/s.
eixo girante
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H 6.53) Uma criança coloca uma cesta de piquenique na parte
externa de um carrossel que tem 4,6 m de raio e faz uma volta a
cada 30 s. (a) Qual a velocidade de um ponto sobre a borda do
carrossel? (b) Qual deve ser o coeficiente de atrito estático entre
a cesta e o carrossel, para que a cesta não deslize sobre este?
H 6.62) Um estudante de 68 kg, numa roda-gigante com
velocidade constante, tem um peso aparente de 56 kg no ponto
mais alto. Qual o seu peso aparente no ponto mais baixo?
H 6.65) Um avião está voando num círculo horizontal com uma
velocidade de 480 km/h. Se as asas do avião estão inclinadas 40
sobre a horizontal, qual o raio do círculo que o avião faz? Resp:
1,52 km.
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