Matemática financeira Capítulo II.3 Regimes de Capitalização Taxas de Juro UALG ESGHT

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Capítulo II
Regimes de Capitalização
2018 - 2019
Taxas de Juro
Capítulo II
3
Taxas de Juro
 TAXAS EQUIVALENTES
Duas ou mais taxas, referentes a períodos diferentes,
dizem-se equivalentes, quando aplicadas a um mesmo
capital e durante o mesmo prazo de tempo produzirem o
mesmo valor acumulado ou o mesmo montante de juros.
Sendo,
i: taxa de juro referente a uma unidade de tempo
im : taxa de juro referente a um período de tempo
compreendido m vezes na unidade de tempo de i
m: frequência de capitalização
4
Regime de Juro Simples
Segundo a definição, i e im serão equivalentes se produzirem no
mesmo tempo de aplicação o mesmo valor acumulado. Assim,
temos:
C + Cni = C + Cn(m x im)
Cni = Cn(m x im)
i = m x im
No RJS a equivalência das taxas reduz-se à sua
proporcionalidade1.
___________________________________________
1 Duas ou mais taxas são proporcionais quando a relação de valor entre elas é igual à relação existente entre os seus períodos.
Taxas de Juro
m
i
im 
5
Por exemplo, é indiferente aplicar 100€:
Hip 1: durante 1 ano à taxa anual de 12%;
Hip 2: durante 2 semestres à taxa semestral de 6%.
Porque
Hip 1: M = 100 (1 + 0,12 × 1) = 112€
Hip 2: M = 100 (1 + 0,06 × 2) = 112€
Taxas de Juro
6
Taxas de Juro
Regime de Juro Composto
Continuando com os exemplos das hipóteses 1 e 2:
Hip 1: S = 100 (1 + 0,12)1 = 112€
Hip 2: S = 100 (1 + 0,06)2 = 112,36€
Os valores acumulados são diferentes, sendo o valor
acumulado superior na 2º hipótese, uma vez que os juros
do 1º semestre são capitalizados no 2º semestre.
7
• Capital acumulado no final do 1º semestre:
S = 100 (1 + 0,06)1 = 106€
100€ de capital inicial + 6€ de juros do 1º semestre
• Capital acumulado no final do 2º semestre:
S = 106 (1 + 0,06)1 = 112,36€
100€ de capital inicial + 6€ de juros do 1º semestre
+ 6,36€ de juros do 2º semestre
Em RJC as taxas equivalentes não são proporcionais.
Taxas de Juro
8
Então, qual é a taxa semestral equivalente à taxa anual de
12%? Será necessariamente inferior a 6%!
De acordo com a definição, i e im serão equivalentes se
produzirem no mesmo tempo de aplicação o mesmo valor
acumulado. Assim, temos:
Taxas de Juro
   
m
m
n
1mn
m
n
1n
mn
m
n
)i1()i1(
)i1()i1(
)i1(C)i1(C



9
Taxas de Juro
Através da expressão 1 + i = (1 + im)
m é possível passar
de uma taxa anual para uma taxa equivalente reportada a
um subperíodo do ano e vice-versa.
m
m)i1()i1( 
1)i1(i mm 1)i1(i
m
1
m 
10
Logo, no exemplo anterior:
Calculando novamente o valor acumulado para a hipótese
2, mas utilizando a taxa semestral equivalente:
S = 100 (1 + 0,058300524)2 = 112€
Taxas de Juro
%8300524,5058300524,0i
1)12,01(i
1)i1(i
2
2
1
2
m
1
m



11
Taxas de Juro
Exemplo:
Determine a taxa de juro semestral equivalente à taxa de juro
anual de 9%.
a) Em Regime de Juro Simples
b) Em Regime de Juro Composto
Resolução: i = 9% m = 2 i2 = ?
a) RJS b) RJC 1m
m
1
2
2
2
i (1 i) 1
i (1 0,09) 1
i 0,044 4,4%
  
  
 
m
2
2
i
i
m
0,09
i
2
i 0,045 4,5%


 
12
Taxas de Juro
 TAXAS NOMINAIS E TAXAS EFETIVAS
A distinção entre Taxa Nominal e Taxa Efetiva só ocorre em
RJC e prende-se com a existência de capitalizações
intermédias de juros.
Taxa Nominal: é a taxa de juro declarada para um período,
sempre que os juros sejam capitalizados mais do que uma
vez em cada período da taxa.
Taxa Efetiva: é a taxa a que efetivamente está colocado um
capital devido ao facto do período de capitalização ser
diferente do período da taxa de juro.
13
Taxas de Juro
Quando o período de capitalização é idêntico ao período
da taxa, a taxa nominal e a taxa efetiva são coincidentes.
Existem diferenças entre Taxas Nominais e Taxas Efetivas
sempre que a taxa declarada não corresponda ao período
de capitalização.
A taxa nominal reflete a remuneração (juros) do capital
inicial e a taxa efetiva reflete a remuneração total, ou seja,
os juros obtidos sobre o capital inicial e sobre os juros
intermédios.
14
Exemplo:
Determine o juro produzido por um capital de 100€ num
período de 1 ano, à taxa anual de 20%, em:
a) Regime de Juro Composto com capitalização anual.
b) Regime de Juro Composto com capitalização semestral.
a) Regime de Juro Composto com capitalização anual
Neste caso há apenas uma capitalização durante o período
considerado, pelo que o juro total é:
J = 100 × 1 × 0,2
J = 20€
Taxas de Juro
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b) Regime de Juro Composto com capitalização semestral
Neste caso, há duas capitalizações durante o período
considerado (uma no final de cada semestre):
Como vigora o regime de juro composto, estes 10€ vão
capitalizar no semestre seguinte, logo o capital sobre o qual vai
incidir a taxa de juro no 2º semestre é agora de 110€. Então,
J = J1 + J2 = 10 + 11 = 21€
Taxas de Juro
€102,0
12
6
100J1 
€112,0
12
6
110J2 
16
Taxa Nominal Anual = 20%
Taxa Nominal Semestral = 10%
Remuneração do Capital Inicial:
J = C n i = 100 × 1 × 0,2 = 20€
100 × 2 × 0,1 = 20€
No 2º semestre: remuneração dos Juros obtidos no 1º
semestre:
J = J n i = 10 × 1 × 0,1 = 1€
Remuneração Total: 20 + 1 = 21€
Taxas de Juro
17
S = C + J
S = 100 + 21 = 121
121 = 100 (1 + i)1
i = 21%
A taxa efetiva de 21% leva em consideração o efeito de
capitalizações sucessivas, ou seja, o facto de haver juros de
juros.
À taxa anual nominal de 20% com capitalizações
semestrais corresponde a taxa anual efetiva de 21%.
Taxas de Juro
18
Se representarmos a taxa nominal por i(m), reportada ao
ano sendo capitalizável m vezes, significa que haverá m
aplicações em períodos 1/m.
A taxa efetiva do subperíodo 1/m (representada por im)
será igual a:
e a taxa efetiva no período ano (representada por i) será
calculada através da seguinte fórmula:
Taxas de Juro
m
i
i )m(m 
1
m
i
1i
m
)m( 






19
Taxas de Juro
Qual é a taxa anual efetiva equivalente à taxa anual
nominal de 20% com capitalizações semestrais?
Logo,
   
€21100121J
€1210,211100i1CS 1n


m
(m)
2
i
i 1 1
m
0,2
i 1 1
2
i 21%
 
   
 
 
   
 

20
Taxas de Juro
Se se conhecer a taxa efetiva anual e se pretender calcular
a taxa nominal anual, capitalizável m vezes, torna-se
necessário resolver a equação acima apresentada em
ordem a i(m), obtendo a seguinte expressão:



  1)i1(mi m
1
)m(
21
Taxas de Juro
Qual é a taxa anual nominal com capitalizações semestrais
equivalente à taxa efetiva anual de 21%?
Logo:
No exemplo anterior:
1
m
(m)
1
2
(2)
(2)
i m (1 i) 1
i 2 (1 0,21) 1
i 20%
   
  
   
  

mn
)m(
m
i
1CS 






€121
2
2,0
1100S
12





 

22
Taxas de Juro
Conclusão:
Uma taxa anual de 20% com capitalizações semestrais,
produz o mesmo resultado que uma taxa de 21% com
apenas uma capitalização anual. Ou seja, à taxa nominal de
20% com capitalizações semestrais corresponde a taxa
anual efetiva de 21%.
Taxa efetiva (21%) > Taxa nominal (20%)
A taxa efetiva é sempre superior à taxa nominal (com m > 1)
Podemos então esquematizar os procedimentos a seguir
perante a apresentação de uma taxa de juro, da seguinte
forma:
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Taxas de Juro
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 TAE / TAEG
TAE (Taxa Anual Efetiva)
Decreto-Lei n.º 220/94, de 23 de Agosto:
A Taxa Anual Efetiva (TAE) é a “taxa de juro que, para uma
espécie de operações decrédito ou para uma determinada
operação de crédito, torna equivalentes, numa base anual,
os valores atualizados do conjunto das prestações
realizadas ou a realizar pela instituição de crédito e dos
pagamentos realizados ou a realizar pelo cliente (...)”.
alínea d) do art. 2º
Taxas de Juro
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A TAE é a taxa de rendibilidade real para o banco. Para o cálculo
da mesma consideram-se como pagamentos efetuados ou a
efetuar pelo cliente os seguintes:
 O reembolso do capital;
 Os juros remuneratórios;
 Os montantes de saldos em contas de depósito exigidos ao
cliente como condição para a concessão de crédito;
 Todas as comissões e outras prestações que devam ser pagas
pelo cliente em conexão direta com a operação de crédito (...)
desde que constituam receitas da instituição de crédito ou de
outras instituições financeiras (prémios de seguro, comissões de
preparação do processo, constituição de garantias, etc.).
nº 1 do art. 4º
Taxas de Juro
26
Excluem-se do cálculo da TAE todos os pagamentos a efetuar
pelo cliente que sejam meramente eventuais,
designadamente os resultantes de incumprimento do
contrato, bem como os resultantes de impostos, taxas e
emolumentos notariais ou de registo.
nº 2 do art. 4º
A TAE é calculada de acordo com o Anexo nº 2:
Taxas de Juro

 


p
1q
y
q
m
1k
y
k
qk )r1(
D
)r1(
R
27
m : nº total de recebimentos por parte do cliente
k : nº de ordem do recebimento
Rk : valor do recebimento de ordem k pelo cliente
Yk : nº de dias entre o recebimento de ordem k e o 1º recebimento ou
pagamento efetuado pelo cliente / nº total de dias do ano1
p : nº total de pagamentos efetuados pelo cliente
q : nº de ordem do pagamento
Dq : valor do pagamento de ordem q efetuado pelo cliente
yq : nº de dias entre o recebimento de ordem q e o 1º recebimento ou
pagamento efetuado pelo cliente / nº total de dias do ano1
r :  100 = taxa anual efetiva (TAE)
___________________________
1 De acordo com a base anual utilizada pelo banco (360 ou 365 dias)
Taxas de Juro
28
A taxa de juro nominal nas operações de desconto de letras deve
estar de acordo com a fórmula seguinte:
base: total de dias utilizados no cálculo do juro diário (360 dias)
n: nº de dias em que os juros são devidos em cada pagamento
(incluindo os 2 dias úteis da Lei Uniforme de Letras e Livranças)
Anexo nº 1
Taxas de Juro
Juros base
i 100
Valor Nominal Juros n
  

29
Exemplo:
Uma operação de crédito bancário no valor de 1.000€ foi
contratada nas seguintes condições:
• reembolso de uma só vez ao fim de 120 dias
• juros e outros encargos cobrados antecipadamente
• taxa de juro nominal: 20% ao ano
• despesas de expediente e portes: 1,25€
• imposto de selo (sobre juros): 4%
a) Calcular o valor recebido pelo utilizador na data do
contrato
b) Calcular a taxa anual efetiva (TAE)
Taxas de Juro
30
a) Juros e Encargos
Juros = 1.000 × 0,2 × 120 = 66,67
360
Despesas = = 1,25
Imp. Selo = 66,67 × 4 % = 2,67 .
TOTAL 70,59€
Valor recebido na data do contrato:
1.000 – 70,59 = 929,41€
Taxas de Juro
31
Taxas de Juro
b) Do ponto de vista do banco:
Retido inicialmente 66,67 (juros) + 1,25 (despesas) = 67,92€
Disponibilizado ao cliente: -932,08 Recebido do cliente
(1.000 – 67,92 = 932,08) 1.000
________|____________________________|_____
0 120 d
1.000 = 932,08 (1 + TAE)120/360
TAE = 23,5%
32
TAEG (Taxa Anual de Encargos Efetiva Global)
Decreto-Lei n.º133/2009, de 2 de Junho:
Alterado pela Retificação nº 55/2009, de 31 de Julho
Instrução nº 13/2013 do Banco de Portugal
A TAEG é a taxa que “torna equivalentes, numa base anual,
os valores atuais do conjunto das obrigações assumidas,
considerando os créditos utilizados, os reembolsos e os
encargos, atuais ou futuros, que tenham sido acordados
entre o credor e o consumidor.” nº 1 do art. 24º
A TAEG é a taxa de custo real para o devedor, abrangendo
todos os pagamentos e não apenas os que constituem
receita da instituição de crédito (como acontece na TAE).
Taxas de Juro
33
O cálculo da TAEG é realizado com base na expressão
matemática referida no Anexo 1 do referido diploma, a qual
representa uma igualdade entre os valores atualizados, à
data da celebração do contrato de crédito, dos montantes
dos capitais recebidos (crédito utilizado) e pagos
(reembolsos de capital e encargos):
Taxas de Juro
k l
m m'
k l
t s
k 1 l 1
C D
(1 t) (1 t) 

 
 
34
k : nº de ordem de uma utilização do crédito
m : nº de ordem da última utilização do crédito
Ck : montante de utilização do crédito
tk : intervalo de tempo
1 que medeia entre a data da 1ª utilização de
crédito e a data de cada utilização sucessiva
l : nº de ordem de um reembolso ou pagamento de encargos
m’ : nº de ordem do último reembolso ou último pagamento de
encargos
Dl : montante de um reembolso ou pagamento de encargos
sl : intervalo de tempo
1 que medeia entre a data da 1ª utilização de
crédito e a data de cada reembolso ou pagamento de encargos
t :  100 = taxa anual de encargos efetiva global (TAEG)
____________________
1 Expresso em anos e fração de um ano, utilizando a base de 360 dias.
Taxas de Juro
35
Exemplo:
Valor Nominal do Título: 2.500,00€
Produto Líquido Recebido: 2.259,80€
Encargos Totais: 240,20€
. Encargos a favor do Banco = 230,97€
(Juros + Comissões + Portes)
. Encargos a favor do Estado = 9,23€
(Imposto de Selo sobre Juros e Comissões)
Taxas de Juro
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Exemplo:
TAE: Apenas os encargos a favor do Banco:
2.500 – 230,97 = 2.269,03€
2.500 = 2.269,03 (1 + TAE)121/360 TAE = 33,4%
TAEG: Todos os encargos (a favor do Banco e do Estado):
2.500 – 240,20 = 2.259,80€ (Produto Líquido)
2.500 = 2.259,8 (1 + TAEG)121/360 TAEG = 35,1%
Taxas de Juro
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TAEG Máximas
O Banco de Portugal determina, numa base trimestral, as TAEG
máximas permitidas para os diversos tipos de crédito e é responsável
pela respetiva divulgação junto do público. As taxas máximas em vigor
para o 1º Trimestre de 2019 estão estabelecidas na instrução n.º
27/2018. Exemplos:
Crédito Pessoal
• Finalidade Educação, Saúde e Energias Renováveis 6,2%
• Locação Financeira de Automóveis (usados) 6,0%
• Outros Créditos Pessoais1 16,6%
(1) Inclui Cartões de Crédito, Linhas de Crédito, Contas Correntes Bancárias e 
Facilidades de Descoberto
Taxas de Juro
38
Taxas de Juro
 OUTRAS TAXAS
Taxa Anual Nominal (TAN) e Taxa Real
Designa-se por taxa anual nominal ou corrente uma taxa de
juro que incorpora o efeito da inflação na remuneração do
capital e por taxa real uma taxa de juro que exclui esse
efeito.
i : taxa de juro nominal
r : taxa de juro real
z : taxa de inflação z1
zi
r



39
Taxas de Juro
 OUTRAS TAXAS
Taxa Anual Nominal (TAN) e Taxa Real
   i 1 r 1 z 1      
1
z1
i1
r 



40
Taxas de Juro
Exemplo: Uma aplicação financeira que gera 3% de juros
num país que regista 1,5% de inflação representa uma
remuneração real de:
%48,11
015,01
03,01
r 



Atenção: É erro comum considerar que a taxa real é de
3% - 1,5% = 1,5%x
%48,1
015,01
015,003,0
r 



41
Taxas de Juro
Taxa Ativa e Taxa Passiva
A distinção entre taxa de juro ativa e taxa de juro passiva
relaciona-se com o tipo de operação financeira subjacente.
As taxas de juro ativas estão associadas a operações de
empréstimos de fundos e as taxas de juro passivas a
operações de tomada de fundos (depósitos ou outras
aplicações).
42
Taxas de Juro
Taxa Fixa e Taxa Variável
Diz-se que a taxa de juro é fixa, quando a taxa de juro se
mantém inalterável durante todo o prazoda operação
financeira.
Na generalidade das vezes, o que acontece é que a taxa de
juro é revista periodicamente, mantendo-se fixa apenas
durante um determinado intervalo de tempo, ao fim do
qual pode ser alterada ou ajustada (taxa de juro variável).
Normalmente, as taxas são calculadas a partir de uma taxa
de juro base (indexante) acrescida de uma margem
(spread), dependente do nível de risco inerente à operação
para o credor.
43
Taxas de Juro
Taxa Bruta (TANB) e Taxa Líquida (TANL)
Os juros produzidos em qualquer processo de capitalização
estão sujeitos a imposto (IRS). Este imposto é normalmente
calculado aplicando uma taxa (atualmente de 28%) ao
montante de juro produzido, o que significa que para o
aforrador ficam apenas os 72% do juro produzido em cada
período de capitalização.
A taxa de juro bruta (TANB) não leva em consideração o
efeito fiscal, ou seja, não desconta os impostos que incidem
sobre as remunerações de capital (juros) e taxa de juro
líquida (TANL) reflete o efeito fiscal, incorporando a
retenção de impostos sobre o rendimento.
44
Taxas de Juro
Considerando a taxa de imposto (t), a TANL é dada pela
seguinte expressão:
TANL = TANB (1 – t)
O valor efetivamente recebido numa aplicação de capital
(depósito a prazo, por exemplo) é igual ao valor acumulado
calculado à taxa de juro líquida de impostos (TANL).
Exemplo: Uma aplicação financeira que gera 3% de juros
sujeitos a 28% de IRS representa uma remuneração líquida
de:
TANL = 0,03 (1 – 0,28) = 2,16%
45
Taxas de Juro
Taxa Supletiva de Juros de Mora
Os juros produzidos por atrasos nos pagamentos são
calculados com base no RJS:
Juros de Mora Comerciais: 1º semestre de 2019: 7,00%
(juros atualizados semestralmente);
Juros de Mora de dívidas ao Estado: a partir 1 Jan 2019: 4,825%
(Aviso n.º 212/2019, atualizados anualmente).
taxa juro
JMora Capital em dívida nºdias em mora
365
  