Matemática Financeira Capítulo III Rendas Financeiras UALG ESGHT

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Capítulo III
Rendas Financeiras
2018 – 2019
Rendas Financeiras
1. Definição e Classificação
3
Rendas Financeiras
 DEFINIÇÃO
Renda: conjunto (finito ou infinito) de capitais T1, T2, ..., Tn
(constantes ou variáveis) vencíveis em momentos
equidistantes.
Termo da Renda: cada um dos capitais da renda.
Período da Renda: espaço de tempo que decorre entre dois
termos consecutivos.
Note-se que não é condição necessária que os capitais T1, T2, ...,
Tn sejam iguais para constituírem uma renda, sendo condição
suficiente que o intervalo de tempo entre os vencimentos de
dois termos consecutivos seja constante.
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Rendas Financeiras
T1 T2 .... Tn
__|_______|_______|_______|_______|______
0 1 2 .... n
|-----------|-----------|
p p
T1, T2, ... Tn : termos da renda
1, 2,...n : momentos de vencimento dos termos
p : período da renda
Se os termos vencerem anualmente: anuidades
semestralmente: semestralidades
trimestralmente: trimestralidades
mensalmente: mensalidades
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Rendas Financeiras
Exemplos:
1. O Sr. Francisco deve as importâncias de 1.000€, 1.200€ e
1.440€, a vencer respetivamente em 30/06/2015,
31/12/2015 e 30/06/2016. Constituirá uma renda este
conjunto de capitais? Em caso afirmativo, indique o período
da renda e os valores dos termos.
2. O Sr. Humberto deve três importâncias de 1.000€ cada,
vencíveis respetivamente em 30/09/2015, 31/12/2015 e
31/12/2016. Constituirão estas importâncias uma renda?
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Rendas Financeiras
 CLASSIFICAÇÃO
1. Quanto ao Número de Termos
• Temporária: número limitado de termos.
• Perpétua: número ilimitado de termos.
2. Quanto à sua Dependência de Fatores
• Certa: quando o vencimento de qualquer termo não está
dependente de fatores aleatórios.
• Incerta: quando podem existir fatores que determinam o
não vencimento dos termos.
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Rendas Financeiras
3. Quanto ao Momento a que são referidos os Valores
Atuais
• Imediata: quando o valor atual é referente ao início do
primeiro período da renda.
250 250 250
__|_______|_______|_______|
Jan Fev Mar Abr
• Diferida: quando o valor atual é calculado num momento
anterior ao início do primeiro período da renda.
250 250
__|_______|_______|_______|
Jan Fev Mar Abr
8
Rendas Financeiras
4. Quanto à Relação entre o seu Período e o da Taxa
Inteira: quando o período da renda e o período da taxa
coincidem.
Fracionada: quando os períodos da renda e da taxa são
diferentes.
Transformar numa renda inteira utilizando a taxa 
equivalente ao período da renda
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Rendas Financeiras
Além das referidas classificações das rendas, também os
termos se classificam:
5. Quanto ao Momento de Vencimento
• Normais ou postecipados: quando os termos se vencem
no final do período a que respeitam.
• Antecipados: quando os termos se vencem no início do
período a que respeitam.
6. Quanto ao Valor
• Constantes: se todos os termos tiverem igual valor.
• Variáveis: se os valores dos termos forem diferentes.
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Rendas Financeiras
Rendas certas 
e inteiras
Termos 
constantes
Temporárias
Imediatas
Termos 
normais
Termos 
antecipados
Diferidas
Termos 
normais
Termos 
antecipados
Perpétuas
Imediatas
Termos 
normais
Termos 
antecipados
Diferidas
Termos 
normais
Termos 
antecipados
Termos 
variáveis
Progressão 
aritmética
Progressão 
geométrica
11
Rendas Financeiras
Cálculo dos valores de uma Renda
O valor de uma renda depende do momento que se toma
por referência:
 Valor Atual: é o valor da renda referido ao início do
primeiro período e é constituído pela soma dos valores
atuais de cada um dos seus termos, também referidos ao
início do primeiro período.
 Valor Acumulado: é o valor da renda referido ao fim do
último período e é constituído pela soma dos valores
acumulados de cada um dos seus termos, também
referidos ao fim do último período.
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Rendas Financeiras
 Valor de uma Renda num Ponto Intermédio da sua
Vigência: é o valor obtido pelo cálculo dos valores
acumulados dos termos vencidos e dos valores atuais dos
termos vincendos, sendo todos os valores referidos ao
ponto intermédio.
Rendas Financeiras
2. Rendas Temporárias
2.1. Rendas Imediatas
Certa, inteira, de termos constantes
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Rendas Financeiras
A. Rendas de Termos Normais
A.1) Valor Atual
T T T ...... T termos
___|_______|________|________|______________|___
0 1 2 3 ...... n períodos
T (1 + i)-1
T (1 + i)-2
T (1 + i)-3
T (1 + i)-n
15
Rendas Financeiras
O Valor Atual da Renda (valor no momento 0)
corresponderá à soma de n termos atualizados para o
momento 0 à taxa de juro i e representa-se por a n i
Fórmula de Cálculo:
T a n i = T (1 + i)-1 + T (1 + i)-2 + T (1 + i)-3 + .... + T (1 + i)-n
T: valor do termo da renda
( )a
  
  
 
n
n i
1 1 i
T T
i
16
Rendas Financeiras
Exemplo 1:
Para liquidação de um equipamento adquirido, a firma ABC estabeleceu
com o vendedor o pagamento em 3 prestações anuais de 5.000€ cada,
incluindo juros à taxa de 5% ao ano, vencendo-se a 1ª prestação ao fim
de um ano da compra. Qual o valor atual do equipamento?
Resolução:
T = 5.000 i = 0,05 n = 3
5.000 5.000 5.000
___|__________|__________|__________|_
0 1 2 3 anos
Valor Atual = 5.000 (1 + 0,05)-1 + 5.000 (1 + 0,05)-2 + 5.000 (1 + 0,05)-3
Valor Atual = 13.616,24€
17
Rendas Financeiras





 


i
)i1(1
TTa
n
in
24,616.13
05,0
)05,01(1
000.5a000.5
3
%53 




 


Valor Atual = 5.000 (1 + 0,05)-1 + 5.000 (1 + 0,05)-2 + 5.000 (1 + 0,05)-3
ou
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Rendas Financeiras
A.2) Valor Acumulado
T T T ...... T termos
_|_________|_________|_________|______________|___
0 1 2 3 ...... n períodos 
T (1 + i)n-1
T(1 + i)n-2
T (1 + i)n-3
T
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Rendas Financeiras
O Valor Acumulado da Renda (valor no momento n) obtém-
se pela soma dos n termos capitalizados para o momento n
à taxa de juro i e representa-se por S n i
Fórmula de Cálculo:
T S n i = T (1 + i)n-1 + T (1 + i)n-2 + T (1 + i)n-3 + .... + T





 

i
1)i1(
TST
n
in
20
Rendas Financeiras
Exemplo 2:
Para liquidação de um equipamento adquirido, a firma ABC estabeleceu
com o vendedor o pagamento em 3 prestações anuais de 5.000€ cada,
incluindo juros à taxa de 5% ao ano, vencendo-se a 1ª prestação ao fim
de um ano da compra. Contudo ao fim de 6 meses, a firma ABC
resolveu pagar a totalidade do equipamento apenas no final do 3º ano.
Qual o valor a pagar?
T = 5.000 i = 0,05 n = 3
5.000 5.000 5.000
___|__________|__________|__________|_
0 1 2 3 anos
Valor Acumulado = 5.000 + 5.000 (1 + 0,05)1 + 5.000 (1 + 0,05)2
Valor Acumulado = 15.762,5€
21
Rendas Financeiras
5,762.15
05,0
1)05,01(
000.5S000.5
3
%53 




 

Valor Acumulado = 5.000 + 5.000 (1 + 0,05)1 + 5.000 (1 + 0,05)2
ou





 

i
1)i1(
TST
n
in
22
Rendas Financeiras
Note-se que para os exemplos 1 e 2:
5.000 5.000 5.000
___|__________|__________|__________|_
0 1 2 3 anos
Valor Acumulado = 15.762,5€
Valor Atual = 13.616,24€
S n i = 15.762,5a n i = 13.616,24
e
13.616,24 × (1 + 0,05)3 = 15.762,5€
15.762,5 × (1 + 0,05)-3 = 13.616,24€
23
RendasFinanceiras
Pode-se concluir que:
 O Valor Acumulado é igual ao Valor Atual capitalizado
para o fim do último período da renda.
 O Valor Atual é igual ao Valor Acumulado atualizado para
o início do primeiro período da renda.
T T T ...... T termos
___|_______|________|________|____________|___
0 1 2 3 ...... n períodos
a n i
S n i
(1+i)n a n i
S n i (1+i)-n
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Rendas Financeiras
B. Rendas de Termos Antecipados
B.1) Valor Atual
T T T ...... T termos
___|_______|_______|_____________|_______|_____
0 1 2 ...... n-1 n períodos
T 
T(1 + i)-1
T(1 + i)-2
T(1+i)-(n-1)
25
Rendas Financeiras
O Valor Atual da Renda (valor no momento 0)
corresponderá à soma de n termos atualizados para o
momento 0 à taxa de juro i e representa-se por ä n i
Fórmula de Cálculo:
T ä n i = T + T (1 + i)-1 + T (1 + i)-2 + .... + T (1 + i)-(n-1)
)i1(aTaT inin 
)i1(
i
)i1(1
TaT
n
in 




 



26
Rendas Financeiras
Exemplo 3:
Para liquidação de um equipamento adquirido, a firma ABC estabeleceu
com o vendedor o pagamento em 3 prestações anuais de 5.000€ cada,
incluindo juros à taxa de 5% ao ano, vencendo-se a 1ª prestação no
momento da compra. Qual o valor atual do equipamento?
Resolução:
T = 5.000 i = 0,05 n = 3
5.000 5.000 5.000
___|__________|__________|__________|_
0 1 2 3 anos
Valor Atual = 5.000 + 5.000 (1 + 0,05)-1 + 5.000 (1 + 0,05)-2
Valor Atual = 14.297,05€
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Rendas Financeiras
)i1(
i
)i1(1
TaT
n
in 




 



05,297.14)05,01(
05,0
)05,01(1
000.5a000.5
3
%53 




 



Valor Atual = 5.000 + 5.000 (1 + 0,05)-1 + 5.000 (1 + 0,05)-2
ou
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Rendas Financeiras
B.2) Valor Acumulado
T(1 + i)n
T(1 + i)n-1
T(1 + i)n-2
T (1 + i) 
T T T ...... T termos
___|_______|_______|_____________|_______|_____
0 1 2 ...... n-1 n períodos
29
Rendas Financeiras
O Valor Acumulado da Renda (valor no momento n) obtém-
se pela soma dos n termos capitalizados para o momento n
à taxa de juro i e representa-se por
Fórmula de Cálculo:
T = T (1 + i)n + T (1 + i)n-1 + T (1 + i)n-2 + .... + T (1 + i)
inS
inS
)i1(STST inin 
)i1(
i
1)i1(
TST
n
in 




 

30
Rendas Financeiras
Exemplo 4:
Para liquidação de um equipamento adquirido, a firma ABC estabeleceu
com o vendedor o pagamento em 3 prestações anuais de 5.000€ cada,
incluindo juros à taxa de 5% ao ano, vencendo-se a 1ª prestação no
momento da compra. Qual o valor a pagar se a firma ABC resolvesse
pagar a totalidade do equipamento apenas no final do 3º ano?
T = 5.000 i = 0,05 n = 3
5.000 5.000 5.000
___|__________|__________|__________|_
0 1 2 3 anos
Valor Acumulado = 5.000 (1+0,05)1 + 5.000 (1+0,05)2 + 5.000 (1+0,05)3
Valor Acumulado = 16.550,63€
31
Rendas Financeiras
63,550.16)05,01(
05,0
1)05,01(
000.5S000.5
3
%53 




 

Valor Acumulado = 5.000 (1+0,05)1 + 5.000 (1+0,05)2 + 5.000 (1+0,05)3
ou
)i1(
i
1)i1(
TST
n
in 




 

Rendas Financeiras
2. Rendas Temporárias
2.2. Rendas Diferidas
Certa, inteira, de termos constantes
33
Rendas Financeiras
A. Rendas de Termos Normais
A.1) Valor Atual
T T T
___|____________|________|________|______________|___
0 k k+1 k+2 … k+n 
T a n i
K|T an i = (1 + i)-k T a n i
34
Rendas Financeiras
O Valor Atual da Renda (valor no momento 0)
corresponderá à soma de n termos atualizados para o
momento 0 à taxa de juro i e representa-se por k|a n i
Fórmula de Cálculo:





 



i
)i1(1
T)i1(aT
n
k
ink
in
k
ink
aT)i1(aT 
35
Rendas Financeiras
A.2) Valor Acumulado
No cálculo do valor acumulado não faz sentido distinguir as
rendas imediatas das diferidas, pois o período de diferimento
não tem influência na expressão do valor acumulado.
T T … T
_|________|________|________|______________|___
0 k k+1 k+2 ... k+n
T S n i
36
Rendas Financeiras
O Valor Acumulado da Renda (valor no momento k+n)
obtém-se pela soma dos n termos para o momento k+n à
taxa de juro i e representa-se por k| S n i
Fórmula de Cálculo:
inink
STST 





 

i
1)i1(
TST
n
ink
37
Rendas Financeiras
Exemplo 5:
Considere uma renda com 5 anuidades de 30.000€ cada e
que vencem juros à taxa anual de 4%. O 1º termo vence-se
daqui a 5 anos.
Determine os valores atual e acumulado supondo que os
termos são normais.
38
Rendas Financeiras
Resolução (termos normais):
T = 30.000 i = 0,04 n = 5
30.000 30.000 30.000 30.000 30.000
|____|____|____|____|____|____|____|____|____|___
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
4|30.000 a5 4% 30.000 a 5 4%
€09,163.114
04,0
04,11
000.3004,1a000.30
5
4
%454





 



39
Rendas Financeiras
Resolução (termos normais):
T = 30.000 i = 0,04 n = 5
30.000 30.000 30.000 30.000 30.000
|____|____|____|____|____|____|____|____|____|___
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
€68,489.162
04,0
104,1
000.30S000.30
5
%454





 

30.000 S 5 4%
40
Rendas Financeiras
B. Rendas de Termos Antecipados
B.1) Valor Atual
T T T 
___|_________________|________|____________|________|_
0 k k+1 … k+n-1 k+n 
T ä n i
k|T ä n i = (1 + i)-k T ä n i
41
Rendas Financeiras
B. Rendas de Termos Antecipados
B.1) Valor Atual
T T T 
___|________|________|________|____________|________|_
0 k-1 k k+1 … k+n-1 k+n 
T ä n i
T a n i
k-1|T a n i = (1 + i)-(k-1) T a n i
42
Rendas Financeiras
Fórmula de Cálculo:
in
k
ink
aT)i1(aT  
in
)1k(
ink
aT)i1(aT 





 



i
)i1(1
T)i1(aT
n
)1k(
ink

43
Rendas Financeiras
B.2) Valor Acumulado
O prazo de diferimento não tem influência na expressão do
valor acumulado.
T T … T
_|________|________|________________|________|__
0 k k+1 … k+n-1 k+n
inST 
44
Rendas Financeiras
)i1(
i
1)i1(
TST
n
ink





 

)i1(STST inink 

Fórmula de Cálculo:
45
Rendas Financeiras
Exemplo 6:
Considere uma renda com 5 anuidades de 30.000€ cada e
que vencem juros à taxa anual de 4%. O 1º termo vence-se
daqui a 5 anos.
Determine os valores atual e acumulado supondo que os
termos são antecipados.
415 04,104,1  
46
Rendas Financeiras
Resolução (termos antecipados):
T = 30.000 i = 0,04 n = 5
30.000 30.000 30.000 30.00030.000
|____|____|____|____|____|____|____|____|____|___
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
€09,163.11404,1
04,0
04,11
000.3004,1a000.30
5
5
%455





 



30.000 ä 5 4%5|30.000 ä 5 4%
47
Rendas Financeiras
Transformar a renda de termos antecipados numa renda 
de termos normais:
30.000 30.000 30.000 30.000 30.000
|____|____|____|____|____|____|____|____|____|___
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
4|30.000 a5 4% 30.000 a 5 4%
€09,163.114
04,0
04,11
000.3004,1a000.30
5
4
%454





 



48
Rendas Financeiras
Resolução (termos antecipados):
T = 30.000 i = 0,04 n = 5
30.000 30.000 30.000 30.000 30.000
|____|____|____|____|____|____|____|____|____|____|__
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
€26,989.16804,1
04,0
104,1
000.30S000.30
5
%455





 

%45S000.30 
30.000 S 5 4% x 1,04
Rendas Financeiras
2. Rendas Temporárias
2.3. Rendas Fracionadas
Certa, de termos constantes
50
Rendas Financeiras
As fórmulas anteriores foram obtidas considerando que o
período da taxa é coincidente com o período da renda. No
entanto, esta coincidência nem sempre ocorre; por vezes, a
taxa que nos é apresentada diz respeito a um período
diferente (maior ou menor) ao do período da renda.
Renda Fracionada é aquela em que cada termo está
dividido em vários sub-termos, encontrando-se estes
disponíveis em sub-períodos de cada período inteiro da
taxa.
51
Rendas Financeiras
Segundo o esquema, o período da renda é inferior ao
período da taxa. Assim, há que calcular a taxa efetiva relativa
ao período da renda.
T T T T … T T
__|______|______|______|______|___________|______|__
0 1 … 2 n 
|---------|
período da renda
|-------------------------------------------|
período da taxa
m
1
m
2
m
)1m( 
52
Rendas Financeiras
 Período da Taxa com uma Taxa Efetiva i (referida ao
período inteiro)
 Período da Renda com uma Taxa Efetiva Equivalente im
(referida ao subperíodo)
com i(m) = Taxa Nominal1
m
i
1i
m
)m( 






  1i1i m
1
m 
T T …… T 
___|______|______|_________________|_
0 1 2 …… n
|----------|
im
53
Rendas Financeiras
Conclusão:
Qualquer renda fracionada poderá ser transformada
numa renda inteira se calcularmos uma taxa que tenha
um período igual ao período de renda.
Rendas Financeiras
3. Rendas Perpétuas
55
Rendas Financeiras
As Rendas Perpétuas são aquelas em que a duração é ilimitada.
As expressões dos Valores Atuais e Acumulados obtêm-se a partir das
expressões dos valores das rendas temporárias, calculando o seu limite
com n a tender para infinito.
Os símbolos dos seus valores atuais são os seguintes:
a ou a i : imediata de termos normais
ä ou ä i : imediata de termos antecipados
k|a ou k|a i : diferida de termos normais
k|ä ou k|ä i : diferida de termos antecipados
56
Rendas Financeiras
A. Rendas Imediatas, Certas, Inteiras de Termos 
Normais e Constantes
T T T ...... T ….. 
___|_______|________|________|______________|___
0 1 2 3 ...... n 
T a i = lim T an in 
i
T
Ta i 
57
Rendas Financeiras
B. Rendas Imediatas, Certas, Inteiras de Termos 
Antecipados e Constantes
T T T …… T ……. 
___|_______|________|________________|________|_
0 1 2 … n-1 n 
T ä i = lim T än i
n 
)i1(
i
T
aT i 
58
Rendas Financeiras
C. Rendas Diferidas, Certas, Fracionadas de 
Termos Normais e Constantes
T T ...... T …….. 
___|_______|________|_________________|___
0 k k+1 ...... k+n 
k
m
m
ik
)i1(
i
T
aT
m

 
|------------|
im
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Rendas Financeiras
Exemplo 7:
Uma pessoa deseja saber qual dos investimentos é mais
vantajoso em termos financeiros, sabendo que a taxa de juro
mensal média no mercado de capitais é 0,4%:
• Compra a pronto pagamento de uma casa no valor de 100.000€;
• Arrendamento da mesma, pagando 1.000€ de renda mensal.
a) Vencendo-se o 1º termo daí a um mês.
b) Vencendo-se o 1º termo imediatamente.
c) Vencendo-se o 1º termo daí a 1 ano.
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Rendas Financeiras
Valor Atual da Renda de 1.000 € mensais:
a)
b)
T
i
T
i
T
i
i
T
Ta i 
€000.250
004,0
000.1
a000.1 %4,0 
)i1(
i
T
aT i 
€000.251004,1
004,0
000.1
a000.1 %4,0 
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Rendas Financeiras
c)
A compra por 100.000€ é mais vantajosa em qualquer dos casos, uma
vez que em termos atuais o valor da renda é superior ao valor da casa
de acordo com a taxa de juro aplicada no problema.
k
m
m
ik
)i1(
i
T
aT
m

 
1.000 1.000 …
|___|___|___|___|________________|___|___|_
0 1 2 3 4 …. 11 12 13 meses … 
€49,259.239004,1
004,0
000.1
a000.1 11%4,011 

