P1_gabarito prova de calculo III

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1 a Prova de Ca´lculo III – 06/11/2013 – Turma
NOME: MATRI´CULA:
Atenc¸a˜o: Justifique todas as suas respostas de maneira leg´ıvel.
Q1 Q2 Q3 Q4 NOTA
1. (25 pts) Considere a integral I =
∫ 1
2
0
∫ √3y
0
f(x, y) dxdy +
∫ 1
1
2
∫ √1−y2
0
f(x, y)dxdy.
(a) (15 pts) Reescreva a integral I como uma u´nica integral iterada.
(b) (10 pts) Reescreva I utilizando coordenadas polares.
Soluc¸a˜o:
(a) A regia˜o de integrac¸a˜o R e´ a regia˜o no primeiro quadrante limitada pela circunfeˆrencia
x2 + y2 = 1 e pelas retas x = 0 e x =
√
3y e pode ser representada por:
R
(√
3
2 ,
1
2
)
Neste caso, invertendo a ordem de integrac¸a˜o obtemos: I =
∫ √3
2
0
∫ √1−x2
√
3
3
x
f(x, y) dydx.
(b) Em coordenadas polares, temos que:
– A circunfereˆncia x2 + y2 = 1 e´ dada por r = 1.
– A reta x = 0 e´ dada por r = 0 ou θ = pi2 .
– A reta y =
√
3
3 x e´ dada por θ =
pi
6 .
Portanto, a regia˜o R em coordenadas polares e´ dada por:
R′ = {(r, θ) : 0 ≤ r ≤ 1, pi
6
≤ θ ≤ pi
2
}.
E a integral escrita em coordenadas polares e´ dada por:
I =
∫ pi
2
pi
6
∫ 1
0
f(r cos θ, r sin θ)r drdθ.
2. (25 pts) Calcule a integral
I =
∫∫∫
T
2xz
x2 + y2
dV,
onde T e´ a regia˜o contida no primeiro octante interior a`s superf´ıcies x2 + y2 + z2 = 4 e
x2 + y2 = 2y.
Soluc¸a˜o:
Por conta do cilindro x2 + y2 = 2y, sugere-se a mudanc¸a de varia´veis por coordenadas
cil´ındricas.
Em coordenadas cil´ındricas, temos que:
• O primeiro octante e´ dado por 0 ≤ θ ≤ pi
2
.
• A esfera x2 + y2 + z2 = 4 e´ dada por r2 + z2 = 4.
• O cilindro x2 + y2 = 2y e´ dado por r = 0 ou r = 2 cos θ, 0 ≤ θ ≤ pi.
y
x
z
2
A regia˜o T em coordenadas cil´ındricas e´ dada por:
Tcil = {(r, θ, z) : 0 ≤ z ≤
√
4− r2 , 0 ≤ r ≤ 2 sin θ , 0 ≤ θ ≤ pi
2
}.
Neste caso, a integral I e´ dada por:
I =
∫ pi
2
0
∫ 2 sin θ
0
∫ √4−r2
0
2(r cos θ)z
r2
r dzdrdθ
=
∫ pi
2
0
∫ 2 sin θ
0
∫ √4−r2
0
2z cos θ dzdrdθ
=
∫ pi
2
0
∫ 2 sin θ
0
(4− r2) cos θ drdθ
=
∫ pi
2
0
4r − r
3
3
∣∣∣r=2 sin θr=0 cos θ dθ
=
∫ pi
2
0
8 cos θ sin θ − 8
3
sin3 θ cos θ dθ
=
∫ pi
2
0
4 sin 2θ dθ − 8
3
∫ pi
2
0
sin3 θ cos θ dθ
= −2 cos 2θ
∣∣∣θ=pi2θ=0 − 23 sin4 θ ∣∣∣θ=pi2θ=0
=
10
3
.
2
3. (25 pts) Use coordenadas esfe´ricas para calcular o volume da regia˜o interior a` esfera x2 +
y2 + (z − 12)2 = 14 e abaixo do cone z2 = x2 + y2.
Em coordenadas esfe´ricas, temos que:
• A esfera x2 + y2 + (z − 12)2 = 14 e´ dada por ρ = 2 cosφ.
• O cone z2 = x2 + y2 e´ dado por φ = ±pi
4
.
Elas se interceptam em (0, 0, 0) e z =
1
2
, x2 + y2 =
1
4
.
y
x
z
1
1
2
A regia˜o T em coordenadas esfe´ricas e´ dada por:
Tesf = {(ρ, θ, φ) : 0 ≤ ρ ≤ 2 cosφ , pi
4
≤ φ ≤ pi
2
, 0 ≤ θ ≤ 2pi}.
O volume e´ dado pela integral tripla V =
∫∫∫
T
dV que, em coord. esfe´ricas, e´ dado por:
V =
∫ 2pi
0
∫ pi/2
pi/4
∫ cosφ
0
ρ2 sinφ dρdφdθ.
=
∫ 2pi
0
∫ pi/2
pi/4
ρ3
3
∣∣∣ρ=cosφρ=0 sinφ dφdθ
=
∫ 2pi
0
∫ pi/2
pi/4
cos3 φ sinφ
3
dφdθ
=
∫ 2pi
0
−cos
4 φ
12
∣∣∣φ=pi/2φ=pi/4 dθ
=
1
48
θ
∣∣∣θ=2piθ=0 = pi24 .
3
4. Seja C a curva dada pela intersec¸a˜o do plano y = z com a esfera x2 + y2 + z2 = 1. Fornec¸a
uma parametrizac¸a˜o para C.
SOLUC¸A˜O 1:
A intersec¸a˜o e´ dada por:
 y = zx2 + y2 + z2 = 1 =
 y = zx2 + 2y2 = 1
Assim, a projec¸a˜o da curva C no plano xy e´ a elipse x2 + 2y2 = 1 parametrizada por
x(t) = cos t
y(t) =
√
2
2
sin t
, 0 ≤ t ≤ 2pi
z
y
x
Como z = y, temos que z(t) =
√
2
2
sin t, 0 ≤ t ≤ 2pi.
Segue que uma parametrizac¸a˜o para C e´ dada por
~σ(t) =
(
cos t,
√
2
2
sin t,
√
2
2
sin t
)
, 0 ≤ t ≤ 2pi.
SOLUC¸A˜O 2:
• y = z = t.
• x = ±√1− 2t2.
• −
√
2
2 ≤ t ≤
√
2
2 .
• Segue que uma parametrizac¸a˜o para C e´ dada por
~σ±(t) =
(
±
√
1− 2t2, t, t
)
, −
√
2
2
≤ t ≤
√
2
2
.
4