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01 Equacoes diferenciais (1)

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Matemática aplicada
Prof. Danilo Guia
CAPÍTULO 1
Equações diferenciais
Matemática aplicada
2
 Equações diferenciais estão presentes em diversos
modelos em física, química, biologia, economia,
engenharia, etc. Vários fenômenos envolvem a
variação de uma quantidade em relação a outra,
levando naturalmente a modelos baseados em
equações diferenciais.
Equações diferenciais
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 Podemos ter variações temporais de, por exemplo, a
posição de um objeto, a temperatura de um material,
a concentração de um agente químico, a
concentração de um poluente ou nutriente em um
meio, a umidade do ar, o numero de habitantes de
uma cidade, a densidade de bactérias de uma
cultura, a densidade de massa de um gás, o valor
de uma mercadoria, o câmbio entre moedas, o
produto interno bruto de um país, etc.
Equações diferenciais
4
 Além de variações temporais dessas quantidades,
podemos ter variações em relação a outras
quantidades, como variação de temperatura em
relação a posição e variação de densidade de
massa de um fluido em relação a temperatura, por
exemplo.
Equações diferenciais
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 Uma equação algébrica é uma equação em que as
incógnitas são números, enquanto uma equação
diferencial é uma equação em que as incógnitas
são funções e a equação envolve derivadas destas
funções.
 Numa equação diferencial em que a incógnita é uma
função y(t), t é a variável independente e y é a
variável dependente.
Equações diferenciais
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 Exemplos
 O movimento de um pêndulo simples de massa m e
comprimento l é descrito pela função θ(t) que satisfaz a
equação diferencial
Equações diferenciais
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Nesta equação a incógnita é a
função θ(t). Assim θ é a variável
dependente e t é a variável
independente.
 Exemplos
 Um circuito RC é um circuito que tem um resistor de
resistência R, um capacitor de capacitância C e um
gerador que gera uma diferença de potencial V(t) ligados
em série. A carga Q(t) no capacitor satisfaz a equacão
diferencial
Equações diferenciais
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Nesta equação a incógnita é a
função Q(t). Assim Q é a variável
dependente e t é a variável
independente.
 Classificação
 As equações são classificadas quanto ao tipo, a ordem
e a linearidade.
 (a) Quanto ao tipo uma equação diferencial pode ser ordinária
ou parcial. Ela é ordinária se as funções incógnitas forem
funções de somente uma variável. Caso contrário ela é parcial.
Portanto as derivadas que aparecem na equação são derivadas
totais. Por exemplo, as equações que podem ser escritas na
forma
Equações diferenciais
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 Exemplos EDO:
Equações diferenciais
10
 Exercício
 Classifique em equações diferenciais ordinárias e
parciais.
Equações diferenciais
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 Ordem e Grau de uma Equação Diferencial
 A ordem da equação diferencial é a ordem da mais alta
derivada da função incógnita que ocorre na equação.
Grau é o valor do expoente para a derivada mais alta da
equação, quando a equação tem a “forma” de um
polinômio na função incógnita e em suas derivadas,
como por exemplo:
Equações diferenciais
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 Exemplos:
Equações diferenciais
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 Exercício
 Determinar o grau e a ordem de cada uma das seguintes
equações diferenciais.
Equações diferenciais
14
07
3
2
2







dx
dy
dx
dy
dx
yd
03
2






y
dx
dy
dx
dy
 Exercício
 A Equação (a) é uma equação diferencial de primeiro
grau de ordem 2 porque d2y/dx2 é a derivada de maior
ordem na equação e está elevada à primeira potência.
Notar que a terceira potência de dy/dx não tem influência
no grau da Equação (a) porque dy/dx é de menor ordem
que d2y/dx2.
 A Equação (b), por outro lado, é uma equação diferencial
de segundo grau e primeira ordem; dy/dx é a derivada de
maior ordem (ordem 1) e 2 é a maior potência de dy/dx
aparecendo na equação.
Equações diferenciais
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 Linearidade
 Quanto a linearidade uma equação diferencial pode ser
linear ou não linear. Ela é linear se as incógnitas e suas
derivadas aparecem de forma linear na equação, isto é,
as incógnitas e suas derivadas aparecem em uma soma
em que cada parcela é um produto de alguma derivada
das incógnitas com uma função que não depende das
incógnitas.
 Por exemplo uma equação diferencial ordinária linear de
ordem n é uma equação que pode ser escrita como
Equações diferenciais
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 Constituem exemplos de equações diferencias
ordinárias lineares, supondo y=y(x),
Equações diferenciais
17
 São equações diferenciais ordinárias não lineares,
supondo y=y(x),
Equações diferenciais
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 Causas da não-linearidade
 Na equação (1) a não linearidade deve-se ao termo y2;
 Na equação (2) é devida ao produto ydy/dx;
 Na equação (3) é causada pelo termo (dy/dx)2;
 Nas equações (4) e (5) é devida às funções
transcendentes cosseno e exponencial que têm como
argumento y ou uma função de y.
Equações diferenciais
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 Note-se, portanto, que nas equações diferenciais
lineares:
 Tanto y como as suas derivadas são sempre de primeiro
grau;
 Não surgem produtos de y ou das suas derivadas;
 Não figuram funções transcendentes de y (exponencial,
seno, cosseno, logaritmo, potência, etc.) ou das suas
derivadas.
Equações diferenciais
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 No caso das equações diferenciais de primeira
ordem, e conforme veremos em seguida, estas
podem ser escritas essencialmente de três formas
equivalentes:
Equações diferenciais
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 Em particular, pode acontecer que determinada
equação diferencial de primeira ordem não seja
linear para determinada escolha da variável
independente, mas passe a ser linear se for
reescrita considerando outra variável independente
(na prática, trocando o papel das variáveis
dependente/independente).
Equações diferenciais
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 Exemplo
 Onde se assumiu que x=x(y). Esta equação
diferencial já é linear (na variável dependente x)
 Porém, para a equação abaixo
 Verifica-se que é não-linear (na variável dependente
x) devido ao termo 1/x.
Equações diferenciais
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 Classificar cada uma das seguintes equações
diferenciais como ordinárias ou parciais; mencionar
a ordem de cada equação; averiguar, no caso de se
tratar de uma equação diferencial ordinária, se esta
é linear
Equações diferenciais
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 Respostas
 (a) EDO, 1ª ordem, não linear se y=y(x) ou x=x(y);
 (b) EDO, 4ª ordem, linear;
 (c) EDP, 2ª ordem;
 (d) EDO, 1ª ordem, não linear se u=u(t) ou t=t(u);
 (e) EDO, 2ª ordem, não linear;
 (f) EDO, 1ª ordem, linear se y=y(x), mas não linear se 
x=x(y).;
 (g) EDO, 1ª ordem, não linear se s=s(t) ou t=t(s);
 (h) EDO, 1ª ordem, não linear se y=y(x) ou x=x(y);
 (i) EDP, 4ª ordem;
 (j) EDO, 1ª ordem, não linear se y=y(x), mas linear 
sex=x(y).
Equações diferenciais
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 Solução da EDO
 Uma solução para uma equação diferencial é uma função
que satisfaz identicamente à equação. A solução mais
geral possível que admite uma equação diferencial é
denominada solução geral, enquanto que outra solução é
chamada uma solução particular.
Equações diferenciais
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 Considerando
 A solução de uma equação diferencial é qualquer
relação (explícita ou implícita) entre as variáveis x e
y que não contenha derivadas e que verifique a
equação acima.
Equações diferenciais
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 As soluções de uma equação diferencial
correspondem a uma família de curvas. Por
exemplo, dada a seguinte equação diferencial de
ordem 1:
 Por integração temos
Equações diferenciais
28
 Isto é, uma família