01 Equacoes diferenciais (1)

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Matemática aplicada
Prof. Danilo Guia
CAPÍTULO 1
Equações diferenciais
Matemática aplicada
2
 Equações diferenciais estão presentes em diversos
modelos em física, química, biologia, economia,
engenharia, etc. Vários fenômenos envolvem a
variação de uma quantidade em relação a outra,
levando naturalmente a modelos baseados em
equações diferenciais.
Equações diferenciais
3
 Podemos ter variações temporais de, por exemplo, a
posição de um objeto, a temperatura de um material,
a concentração de um agente químico, a
concentração de um poluente ou nutriente em um
meio, a umidade do ar, o numero de habitantes de
uma cidade, a densidade de bactérias de uma
cultura, a densidade de massa de um gás, o valor
de uma mercadoria, o câmbio entre moedas, o
produto interno bruto de um país, etc.
Equações diferenciais
4
 Além de variações temporais dessas quantidades,
podemos ter variações em relação a outras
quantidades, como variação de temperatura em
relação a posição e variação de densidade de
massa de um fluido em relação a temperatura, por
exemplo.
Equações diferenciais
5
 Uma equação algébrica é uma equação em que as
incógnitas são números, enquanto uma equação
diferencial é uma equação em que as incógnitas
são funções e a equação envolve derivadas destas
funções.
 Numa equação diferencial em que a incógnita é uma
função y(t), t é a variável independente e y é a
variável dependente.
Equações diferenciais
6
 Exemplos
 O movimento de um pêndulo simples de massa m e
comprimento l é descrito pela função θ(t) que satisfaz a
equação diferencial
Equações diferenciais
7
Nesta equação a incógnita é a
função θ(t). Assim θ é a variável
dependente e t é a variável
independente.
 Exemplos
 Um circuito RC é um circuito que tem um resistor de
resistência R, um capacitor de capacitância C e um
gerador que gera uma diferença de potencial V(t) ligados
em série. A carga Q(t) no capacitor satisfaz a equacão
diferencial
Equações diferenciais
8
Nesta equação a incógnita é a
função Q(t). Assim Q é a variável
dependente e t é a variável
independente.
 Classificação
 As equações são classificadas quanto ao tipo, a ordem
e a linearidade.
 (a) Quanto ao tipo uma equação diferencial pode ser ordinária
ou parcial. Ela é ordinária se as funções incógnitas forem
funções de somente uma variável. Caso contrário ela é parcial.
Portanto as derivadas que aparecem na equação são derivadas
totais. Por exemplo, as equações que podem ser escritas na
forma
Equações diferenciais
9
 Exemplos EDO:
Equações diferenciais
10
 Exercício
 Classifique em equações diferenciais ordinárias e
parciais.
Equações diferenciais
11
 Ordem e Grau de uma Equação Diferencial
 A ordem da equação diferencial é a ordem da mais alta
derivada da função incógnita que ocorre na equação.
Grau é o valor do expoente para a derivada mais alta da
equação, quando a equação tem a “forma” de um
polinômio na função incógnita e em suas derivadas,
como por exemplo:
Equações diferenciais
12
 Exemplos:
Equações diferenciais
13
 Exercício
 Determinar o grau e a ordem de cada uma das seguintes
equações diferenciais.
Equações diferenciais
14
07
3
2
2







dx
dy
dx
dy
dx
yd
03
2






y
dx
dy
dx
dy
 Exercício
 A Equação (a) é uma equação diferencial de primeiro
grau de ordem 2 porque d2y/dx2 é a derivada de maior
ordem na equação e está elevada à primeira potência.
Notar que a terceira potência de dy/dx não tem influência
no grau da Equação (a) porque dy/dx é de menor ordem
que d2y/dx2.
 A Equação (b), por outro lado, é uma equação diferencial
de segundo grau e primeira ordem; dy/dx é a derivada de
maior ordem (ordem 1) e 2 é a maior potência de dy/dx
aparecendo na equação.
Equações diferenciais
15
 Linearidade
 Quanto a linearidade uma equação diferencial pode ser
linear ou não linear. Ela é linear se as incógnitas e suas
derivadas aparecem de forma linear na equação, isto é,
as incógnitas e suas derivadas aparecem em uma soma
em que cada parcela é um produto de alguma derivada
das incógnitas com uma função que não depende das
incógnitas.
 Por exemplo uma equação diferencial ordinária linear de
ordem n é uma equação que pode ser escrita como
Equações diferenciais
16
 Constituem exemplos de equações diferencias
ordinárias lineares, supondo y=y(x),
Equações diferenciais
17
 São equações diferenciais ordinárias não lineares,
supondo y=y(x),
Equações diferenciais
18
 Causas da não-linearidade
 Na equação (1) a não linearidade deve-se ao termo y2;
 Na equação (2) é devida ao produto ydy/dx;
 Na equação (3) é causada pelo termo (dy/dx)2;
 Nas equações (4) e (5) é devida às funções
transcendentes cosseno e exponencial que têm como
argumento y ou uma função de y.
Equações diferenciais
19
 Note-se, portanto, que nas equações diferenciais
lineares:
 Tanto y como as suas derivadas são sempre de primeiro
grau;
 Não surgem produtos de y ou das suas derivadas;
 Não figuram funções transcendentes de y (exponencial,
seno, cosseno, logaritmo, potência, etc.) ou das suas
derivadas.
Equações diferenciais
20
 No caso das equações diferenciais de primeira
ordem, e conforme veremos em seguida, estas
podem ser escritas essencialmente de três formas
equivalentes:
Equações diferenciais
21
 Em particular, pode acontecer que determinada
equação diferencial de primeira ordem não seja
linear para determinada escolha da variável
independente, mas passe a ser linear se for
reescrita considerando outra variável independente
(na prática, trocando o papel das variáveis
dependente/independente).
Equações diferenciais
22
 Exemplo
 Onde se assumiu que x=x(y). Esta equação
diferencial já é linear (na variável dependente x)
 Porém, para a equação abaixo
 Verifica-se que é não-linear (na variável dependente
x) devido ao termo 1/x.
Equações diferenciais
23
 Classificar cada uma das seguintes equações
diferenciais como ordinárias ou parciais; mencionar
a ordem de cada equação; averiguar, no caso de se
tratar de uma equação diferencial ordinária, se esta
é linear
Equações diferenciais
24
 Respostas
 (a) EDO, 1ª ordem, não linear se y=y(x) ou x=x(y);
 (b) EDO, 4ª ordem, linear;
 (c) EDP, 2ª ordem;
 (d) EDO, 1ª ordem, não linear se u=u(t) ou t=t(u);
 (e) EDO, 2ª ordem, não linear;
 (f) EDO, 1ª ordem, linear se y=y(x), mas não linear se 
x=x(y).;
 (g) EDO, 1ª ordem, não linear se s=s(t) ou t=t(s);
 (h) EDO, 1ª ordem, não linear se y=y(x) ou x=x(y);
 (i) EDP, 4ª ordem;
 (j) EDO, 1ª ordem, não linear se y=y(x), mas linear 
sex=x(y).
Equações diferenciais
25
 Solução da EDO
 Uma solução para uma equação diferencial é uma função
que satisfaz identicamente à equação. A solução mais
geral possível que admite uma equação diferencial é
denominada solução geral, enquanto que outra solução é
chamada uma solução particular.
Equações diferenciais
26
 Considerando
 A solução de uma equação diferencial é qualquer
relação (explícita ou implícita) entre as variáveis x e
y que não contenha derivadas e que verifique a
equação acima.
Equações diferenciais
27
 As soluções de uma equação diferencial
correspondem a uma família de curvas. Por
exemplo, dada a seguinte equação diferencial de
ordem 1:
 Por integração temos
Equações diferenciais
28
 Isto é, uma famíliade circunferências centradas na
origem diferenciadas pela constante R (raio).
 Para equações diferencias de ordem superior
teríamos tantas constantes quanto a ordem da
equação diferencial.
Equações diferenciais
29
 Exercício
 Prove que a função abaixo é solução da equação
diferencial, via substituição.
Equações diferenciais
30
 Exercício
Equações diferenciais
31
 Solução geral x solução particular
 Uma solução particular pode ser obtida se forem dadas
certas condições iniciais. Uma condição inicial de uma
equação diferencial é uma condição que especifica um
valor particular de y = y0, correspondente a um valor
particular de x = x0. Isto é, se y = f(x) pode ser uma
solução da equação diferencial, então a função deve
satisfazer a condição: y0 = f(x0). O problema de ser dada
uma equação diferencial com condições iniciais é
chamado um problema de valor inicial.
Equações diferenciais
32
 Exemplo
 A equação
 pode ser resolvida por integração direta obtendo
 que é a solução geral da equação diferencial dada.
Equações diferenciais
33
 Para encontrarmos a solução do PVI
 Substituímos t = 1/3 e y = e/3 na solução geral
encontrada obtendo C = 0. Assim a solução do PVI
é:
 válida para −∞ < t < ∞, que é o maior intervalo em
que a solução e sua derivada estão definidas
Equações diferenciais
34
 Exercício
 Mostre que a função é uma solução para a equação
diferencial e encontre a solução particular determinada
pela condição inicial
Equações diferenciais
35
 Exercício
 Verifique as afirmações abaixo
Equações diferenciais
36
 Aula 02
Equações diferenciais
37
 As formas normal e diferencial de primeira 
ordem
 Uma grande quantidade de equações diferenciais
ordinárias de primeira ordem pode ser escrita na sua
forma normal, dada por:
 ou quando a função f = f(x, y) pode ser escrita como 
o quociente de duas outras funções M = M(x, y) e N 
= N(x, y), temos:
Equações diferenciais
38
 É vantajoso manter o sinal negativo antes da fração,
na forma
 pois usando o fato que dy = y’(x)dx, poderemos
escrever
Equações diferenciais
39
 Exemplos:
 1. A equação diferencial y’ = cos(x + y) está em sua forma
normal.
 2. A equação diferencial y’ =x/y está em sua forma
normal, mas pode ser reescrita na sua forma diferencial
xdx − ydy = 0.
Equações diferenciais
40
 Exercício
 Reescrever a equação diferencial abaixo
Equações diferenciais
41
 Resposta
Equações diferenciais
42
 Classificação das Equações Diferenciais de 1ª
Ordem
 Equações nas quais as variáveis podem ser separadas;
 Equações homogêneas (todos os termos são do primeiro
grau);
 Equações lineares (onde y e y’ são do primeiro grau).
Equações diferenciais
43
 Todas as equações anteriores podem ser escritas na
forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, onde M(x,y) e N(x,y)
são funções envolvendo as variáveis x e y.
 Para esse tipo de equação, pode-se juntar todos os
termos contendo x com dx e todos os termos
contendo y com dy, obtendo-se uma solução através
de integração.
 Tais equações são ditas separáveis, e o método de
solução é o método de separação de variáveis. O
método é descrito a seguir.
Equações diferenciais
44
 Equações Diferenciais Separáveis
 Coloque a equação na forma diferencial na forma
 M(x)dx + N(y)dy = 0 ou M(x)dx = - N(y)dy
Equações diferenciais
45
 Exemplo: Reescreva a equação diferencial de
primeiro grau
 na forma de equação de variáveis separáveis
 Neste exemplo, M(x) = -2/x e N(y) = 1/y2. 
Equações diferenciais
46
 Exercício
 Determinar a solução geral da equação diferencial
 x2yy’ – 2xy3 = 0.
Equações diferenciais
47
 Resposta
Equações diferenciais
48
 Exercício:
 Resolver a equação diferencial 
Equações diferenciais
49
 Resposta
Equações diferenciais
50
 Exercícios:
 Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais.
Equações diferenciais
51
(2)
(3)
(4)
(1) (5)
(6)
(7)
(8)
 Exercícios:
 Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais.
Equações diferenciais
52
(10)
(11)
(12)
(1 + x2)dy + xdx = 0 
(1 + x2)dy – dx = 0 
(9)
(13)
(14)
(15)
(16)
 Aula 03
Equações diferenciais
53
 Exercícios
 Determinar a solução particular de cada uma das
seguintes equações diferencial sujeitas às condições
dadas.
Equações diferenciais
54
y (1) = 1
y (0) = 2
(17)
(18)
y (0) = 4(19)
y (1) = 1(20)
 Dica:
 https://pt.symbolab.com
Equações diferenciais
55
 Respostas
Equações diferenciais
56
1) y.lnx + 1 = Cy 8) y = arc tg[(ex – 1)³.k] 15) y = 
  Ce x  /1ln
 
2) y = k. 3xe 9) y = 3 x ke3  16) y =    22 1/ xxk  
3) y = C/x 10) 2y + e-2x = C 17) (2 – x³).y³ = 1 
4) y = arc cos(senx – c) 11) y = sen
  Cx 6/2
 18) y = 
xe48 
 
5) 3y² = 2x³ + C 12) y = arc tg x + C 19) y² = 2.ln(x² + 1) + 16 
6) y = k. 
3x 2 
 13) y = - 
Cx 1ln.5,0 2
 
20) y = x1xe
 
7) 1 = 2y².(senx + C) 14) arc tg y = x + 
 3/3x
+C 
 
 Equações Diferenciais Homogêneas
 Algumas equações que não são separáveis podem vir a
sê-lo mediante uma mudança de variáveis. Isso funciona
para equações da forma y’ = f(x,y), onde f é uma função
homogênea, e f pode ser escrita como uma função
 E não varia se substituirmos os “x” -> “kx” e y por “ky”.
Equações diferenciais
57
 Exemplos:
 (1) f(x,y) = x2 – 3xy + 5y2
 f(kx,ky) =(kx)2 – 3(kx)(ky) +5(ky)2= k2x2–3k2 xy+5k2y2
 f(kx,ky) = k2 [x2–3xy+5y2] = k2 f(x,y)  função
homogênea de grau dois.
 (2) f(x,y) =x3+y3+1
 f(kx,ky) = (kx)3+ (ky)3+1  k3 f(x,y)  função não é
homogênea.
Equações diferenciais
58
 OBS: Muitas vezes uma função homogênea pode
ser reconhecida examinando o grau de cada termo.
 Exemplos: 
 (1) f(x,y) = 6xy3 – x2y2  A função é homogênea de
grau quatro.
 (2) f(x,y) = x2 – y  A função não é homogênea, pois os
graus dos dois termos são diferentes.
Equações diferenciais
59
 Solução de equações diferenciais homogêneas
 M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
 é chamada homogênea se ambos os coeficientes
M e N são funções homogêneas do mesmo grau.
 Para resolver uma equação diferencial homogênea
pelo método de separação de variável, basta fazer a
mudança de variáveis dada pelo Teorema a seguir.
Equações diferenciais
60
 Teorema Mudança de Variáveis para Equações
Homogêneas
 Se M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 é homogênea, então ela pode
ser transformada em uma equação diferencial cujas
variáveis são separáveis pela mudança de variável y=ux
onde u é uma função diferenciável de x e dy/dx = u +
xdu/dx.
 OBS: São válidas também as substituições x = yu e dx = 
ydu + udy.
Equações diferenciais
61
 Exemplo: Resolva (x2 + y2)dx + (x2 – xy)dy = 0
Equações diferenciais
62
 Exercícios
 Resolva a equação diferencial homogênea dada.
Equações diferenciais
63
1 4
2 5
3 6
(usar a subst. x = y*v) 
 Exercícios
 Encontre a solução particular que satisfaz a
condição inicial dada.
Equações diferenciais
64
7
xdy – (2xe-y/x + y)dx = 0; 
y(1) = 0
9
8
– y2dx + x(x + y)dy = 0; 
y(1) = 1
10
y(1) = 0
y(1) = 0
 Respostas
Equações diferenciais
65
1) x = C.(x – y)² 
5) y = C 22 y2xe
 
9) y = x arc sen(ln x) 
2) x = k.y² - 2y 6) y = kx² - 3x 10) y = x sen(- lnx) 
3) x² - 2xy – y² = k 7) xye = ln x² + 1 
 
4) x² - kx = y² 8) y = 1xye  
 
 
 Aula 04
Equaçõesdiferenciais
66
 Equações Diferenciais Exatas
 Embora a equação y dx + x dy = 0 seja separável e
homogênea, podemos ver que ela é também equivalente
à diferencial do produto de x e y; isto é:
 y dx + x dy = d(xy) = 0, integrando  xy = c.
Equações diferenciais
67
 Se z = f(x,y) é uma função com derivadas parciais
contínuas em uma região R do plano xy, então sua
diferencial total é
 E se f(x,y) = c, então 
Equações diferenciais
68
(1)
(2)
 Exemplo 1 Se x2 – 5xy + y3 = c, então por (2)
 (2x –5y)dx + (-5x +3y2)dy = 0 
 Ou
Equações diferenciais
69
 Note que a equação anterior não é separável nem
homogênea.
 Uma equação diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy é uma
diferencial exata em uma região R do plano xy se
ela corresponde à diferencial total de alguma função
f(x,y). Isto é:
Equações diferenciais
70
 Exemplo 2 A equação (x2y3)dx + (x3y2)dy = 0 é 
exata, pois
Equações diferenciais
71
 Teorema Critério para uma Diferencial Exata
 Sejam M(x, y) e N(x, y) funções contínuas com derivadas
parciais contínuas em uma região R definida a < x < b, c
< y < d. Então, uma condição necessária e suficiente
para que M(x,y)dx + N(x,y)dy=0, seja uma diferencial
exata é
Equações diferenciais
72
 Método de solução
 Dada a equação: M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 
 Mostre primeiro que
 Depois suponha que
 Integrando, considerando y=cte, obtém-se:
 onde g(y) é a constante de integração.
Equações diferenciais
73
 Derivando f(x,y) com relação a y e supondo f/y = 
N(x,y)
 Executando os cálculos acima chega-se a f(x,y) = c. 
Equações diferenciais
74
 Exemplo 3 Resolva (2xy) dx + (x2 – 1) dy = 0.
Equações diferenciais
75
 Exemplo 4 Resolva o problema de valor inicial
Equações diferenciais
76
 Exercícios
 Verifique se a equação diferencial dada é exata e, se for,
encontre sua solução geral.
Equações diferenciais
77
1. (2x – 3y)dx + (2y – 3x)dy = 0 6. 2y2 2xye dx + 2xy 2xye dy = 0 
2. yexdx + exdy = 0 7. 
0)(
1
22


ydxxdy
yx
 
3. (3y2 + 10xy2)dx + (6xy – 2 + 10x2y)dy = 0 8. 
0)()(
22
 ydyxdxe yx
 
4. 2.cos(2x – y)dx - cos(2x – y)dy = 0 9. 
 
0)(
1 22
2


dyxdxy
yx
 
5. (4x3 – 6xy2)dx + (4y3 – 6xy)dy = 0 10. 
   0cos  dytgxyxydxxye y
 
 
 Encontre a solução particular que satisfaz a
condição inicial dada.
Equações diferenciais
78
11. 
  02)1ln(
1


dyyxdx
x
y
; y(2) = 4 14. 
0)3cos3(sen3  ydyydxe x
; y(0) =  
12. 
0)(
1
22


ydyxdx
yx
; y(4) = 3 15. (2xtgy + 5)dx + (x2sec2y)dy = 0; y(0) = 0 
13. 
0)(
1
22


ydyxdx
yx
; y(0) = 4 16. (x2 + y2)dx + 2xydy = 0; y(3) = 1 
 
 Respostas
Equações diferenciais
79
 Aula 05
Equações diferenciais
80
 Fatores integrantes
 Algumas vezes, é possível converter uma equação
diferencial não exata em uma equação exata
multiplicando-a por uma função (x,y) chamada fator de
integração. Porém, a equação exata resultante
 (x,y)M(x,y)dx + (x,y)N(x,y)dy = 0
 Pode não ser equivalente à original no sentido de que a
solução para uma é também a solução para a outra. A
multiplicação pode ocasionar perdas ou ganhos de
soluções.
Equações diferenciais
81
 Exemplo Se a equação diferencial (2y) dx + (x) dy =
0 (Não é uma equação exata) for multiplicada pelo
fator integrante (x,y) = x, a equação resultante 2xy
dx + x2 dy = 0 é exata, ou seja,
Equações diferenciais
82
 Pode ser difícil encontrar um fator integrante. No
entanto, existem duas classes de equações
diferenciais cujos fatores integrantes podem ser
encontrados de maneira rotineira - aquelas que
possuem fatores integrantes que são funções que
dependem apenas de x ou apenas de y.
 O Teorema a seguir, que enunciaremos sem
demonstração, fornece um roteiro para encontrar
esses dois tipos especiais de fatores integrantes.
Equações diferenciais
83
 Teorema Fatores Integrantes
 1) Considere a equação diferencial 
 M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0.
 Se
 é uma função só de x, então 
 é um fator integrante.
Equações diferenciais
84
 2) Se
 é uma função só de y, então 
 é um fator integrante.
Equações diferenciais
85
 Exemplo 1 Encontre a solução geral da equação
diferencial (y2 – x) dx + (2y) dy = 0.
 A equação dada não é exata, pois
 Entretanto, como
Equações diferenciais
86
 Temos que 
 é um fator integrante. Multiplicando a equação dada 
por ex obtemos a equação diferencial exata
 (y2ex – x ex) dx + 2yex dy = 0
 cuja solução é obtida da seguinte maneira:
Equações diferenciais
87
 dxxhe
)( = xdx ee 1 
 Solução
Equações diferenciais
88
 Outra forma de encontrar o fator integrante é em E. 
D. na forma:
 M(x,y) = y. f(x,y) e N(x,y) = x. g(x,y), então
Equações diferenciais
89
 Exemplo 2 Resolva 
Equações diferenciais
90
 Resposta
Equações diferenciais
91
 Exemplo: Considere a equação:
Equações diferenciais
92
Esta nova equação acima é exata !
Eq.(1)
 Encontrando o fator integrante
Equações diferenciais
93
Eq.(2)
 Encontrando o fator integrante
Equações diferenciais
94
Eq.(3)
 Encontrando o fator integrante
Equações diferenciais
95
 Encontrando o fator integrante
Equações diferenciais
96
 Exercícios
Equações diferenciais
97
 Resolução
Equações diferenciais
98
 Resolução
Equações diferenciais
99
 Resolução
Equações diferenciais
100
 Resolução
Equações diferenciais
101
 Resolução
Equações diferenciais
102
 Resolução
Equações diferenciais
103
 Resolução
Equações diferenciais
104
 Resolução
Equações diferenciais
105
 Exercícios
 Encontre o fator integrante que é função apenas de x ou
apenas de y, e use-o para encontrar a solução geral da
equação diferencial dada
Equações diferenciais
106
1. ydx - (x + 6y2)dy = 0 6. (2x2y – 1)dx + x3dy = 0 
2. (2x3 + y)dx - xdy = 0 7. y2dx + (xy - 1)dy = 0 
3. (5x2 - y)dx + xdy = 0 8. (x2 +2x + y)dx + 2dy = 0 
4. (5x2 – y2)dx + 2ydy = 0 9. 2ydx + (x – sen 
y
)dy = 0 
5. (x + y)dx + tgxdy = 0 10. (-2y3 + 1)dx + (3xy2 + x3)dy = 0 
 
 Respostas
Equações diferenciais
107
1) FI: 1/y²  (x/y) – 6y = C 6) FI: x -1  x²y – ln x = C 
2) FI: 1/x²  (y/x) – x² = C 7) FI: (1/y)  xy – ln y = C 
3) FI: 1/x²  (y/x) + 5x = C 
8) FI: 2xe
  2xe (2y + 2x² - 4x + 8) = C 
4) FI: e-x  e-x (y² - 5x² - 10x – 10) = C 9) FI: (1/
y
)  x. 
y
 + cos 
y
 = C 
5) FI: cos x  y sen x + x sen x + cos x = C 10) FI: x -3  x -2y³ + y - (1/ 2x²) = C 
 
 Aula 06
Equações diferenciais
108
 Equações Diferenciais Lineares de Primeira
ordem
Equações diferenciais
109
 Definimos a forma geral para uma equação
diferencial linear de ordem n como,
 A linearidade significa que todos os coeficientes
an(x) são funções de x somente e que y e todas as
suas derivadas são elevadas à primeira potência.
Equações diferenciais
110
 Quando n = 1, a equação linear é de primeira
ordem:
 Procuramos uma solução para a equação acima em
um intervalo no qual as funções P(x) e Q(x) são
contínuas. Rescrevendo na forma:
Equações diferenciais
111
 Podemos sempre encontrar uma função (x) para
equações lineares, isto é:
 é uma equação diferencial exata. Neste caso:
Equações diferenciais
112
 Portanto, (x) é um fator de integração para aequação linear. Note que não precisamos usar uma
constante de integração pois a equação diferencial
não se altera se multiplicarmos todos os temos por
uma constante. Para (x)  0, é contínua e
diferenciável.
Equações diferenciais
113
 Esta solução pode ser obtida diretamente pelo
método Método de Lagrange.
 Resolve-se a equação considerando Q(x)=0, e
obtendo-se y(x)=Af(x), com A=Cte.
 Depois, substitui-se A por uma função A(x) e
resolve a equação completa, e então obtém-se o
valor de A(x).
Equações diferenciais
114
 Resolução
Equações diferenciais
115
 Exemplo 1: Encontre a solução geral da EDO
abaixo
Equações diferenciais
116
 Resposta
Equações diferenciais
117
 Resposta – pelo método de Lagrange
Equações diferenciais
118
 Exemplo 2: Um corpo de massa m, afunda em um
fluido e sofre a resistência deste. Como as
velocidades são pequenas, a resistência é
proporcional à velocidade na forma f=Bv. Determine
a velocidade do corpo.
Equações diferenciais
119
 Resposta
Equações diferenciais
120
 Exemplo 3: Uma esfera de diâmetro D e massa m,
com velocidade inicial de translação v0, é
desacelerada pela ação do ar. Se a força de
resistência do ar fR=CD
2v, onde C é uma constante
e D2 refere-se a área de seção transversal da esfera
em relação ao movimento. Calcule o
comportamento da velocidade e do deslocamento
da esfera.
Equações diferenciais
121
 Resposta
Equações diferenciais
122
 Exemplo 4: Calcule a corrente elétrica que circula
em um circuito composto por uma fonte
V=V0 cos(wt), onde w é a frequencia angular,
conectada em série com um resistor R e um
capacitor C.
Equações diferenciais
123
 Resposta
Equações diferenciais
124
 Exercícios
 Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais.
Equações diferenciais
125
1. 
 
3
3 5
5
1
 
2
x
x x
dy
y e
dx
y e Ce
 
  
 2. 2
2 3
3 x
x x
dy
y e
dx
y e Ce

 
 
 
 3. 
 
3
7 4
3
2
1
2 7
14 ³
dy y
x
dx x
y x x C
x
  
  
 
4. 22 5
³ 5 ²
dy y
x
dx x
y x x Cx
  
  
 5. 
2
3
3
1
2 (3 2 )x
xx
dy
xy e x
dx
y e Ce
 
    
  
 
 6. 
2 23 (3 1)x
x
dy
x y e x
dx
y e C
  
  
 
7. 2 4
4
4
3 ³
x
x
dy ydx x e dx
y x e C
 
 
 
8. 
3
2 23
1
:
3
x
dy x ydx x dx
R y Ce
 
  
 9.  
6
6 5
5 4
:
xdy ydx x x dx
R y x x Cx
  
  
 
10.    
3
3 ; 0 1
1
– +
3 9
x
dy x y dx y
x
y Ce
  

 
11. 
2 2(1 ) 2 3
 ³
1 ²
x dy xydx x dx
x C
y
x
  



 
12. 
tan sen
sen² 
sec
2
dy
y x x
dx
x
y C x
 
 
  
 
 
13. 
 
2 4
5
2 7
1
35
5 ²
dy
x xy x
dx
y x x C
x
  
  
 14. 
2 32 5
5
² ln ²
3
dy
x xy x
dx
y x x x Cx
  
  
 15. 
 
 
2
2
3 ; 0 2
3 1
x
x x
dy
y e y
dx
y e e
  
 
 
16. 
2
2
3
3; (1) 3
ln
2
dy y
x y
dx x
x
y x x C
   
 
   
 
 
17. 
 
cosec cot
3
2 2
1
sen
dy
x y x
dx
y
y x
x
 

 
 
 
 
 
 
 18.  
2 3
4
2
2
2 ( 4)
41
:
8
dy
x y x
dx
x
R y C
x
  
 
  
 
 
 
 
 Exercícios
 Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais.
Equações diferenciais
126
1. 
 
3
3 5
5
1
 
2
x
x x
dy
y e
dx
y e Ce
 
  
 2. 2
2 3
3 x
x x
dy
y e
dx
y e Ce

 
 
 
 3. 
 
3
7 4
3
2
1
2 7
14 ³
dy y
x
dx x
y x x C
x
  
  
 
4. 22 5
³ 5 ²
dy y
x
dx x
y x x Cx
  
  
 5. 
2
3
3
1
2 (3 2 )x
xx
dy
xy e x
dx
y e Ce
 
    
  
 
 6. 
2 23 (3 1)x
x
dy
x y e x
dx
y e C
  
  
 
7. 2 4
4
4
3 ³
x
x
dy ydx x e dx
y x e C
 
 
 
8. 
3
2 23
1
:
3
x
dy x ydx x dx
R y Ce
 
  
 9.  
6
6 5
5 4
:
xdy ydx x x dx
R y x x Cx
  
  
 
10.    
3
3 ; 0 1
1
– +
3 9
x
dy x y dx y
x
y Ce
  

 
11. 
2 2(1 ) 2 3
 ³
1 ²
x dy xydx x dx
x C
y
x
  



 
12. 
tan sen
sen² 
sec
2
dy
y x x
dx
x
y C x
 
 
  
 
 
13. 
 
2 4
5
2 7
1
35
5 ²
dy
x xy x
dx
y x x C
x
  
  
 14. 
2 32 5
5
² ln ²
3
dy
x xy x
dx
y x x x Cx
  
  
 15. 
 
 
2
2
3 ; 0 2
3 1
x
x x
dy
y e y
dx
y e e
  
 
 
16. 
2
2
3
3; (1) 3
ln
2
dy y
x y
dx x
x
y x x C
   
 
   
 
 
17. 
 
cosec cot
3
2 2
1
sen
dy
x y x
dx
y
y x
x
 

 
 
 
 
 
 
 18.  
2 3
4
2
2
2 ( 4)
41
:
8
dy
x y x
dx
x
R y C
x
  
 
  
 
 
 
 
 Aula 07
Equações diferenciais
127
 Equações Diferenciais Não-Lineares de Primeira 
ordem
Equações diferenciais
128
 Equações de Bernoulli
 A equação diferencial
 em que n é um número real qualquer, é uma equação
não-linear, chamada de equação de Bernoulli. Dividindo
por yn(x), obtém-se:
Equações diferenciais
129
 Exemplo
 Resolva:
Equações diferenciais
130
 Resposta
Equações diferenciais
131
Comparando com 
ndy Py Qy
dx
 
 verificamos que 
1
; e 2P Q x n
x
  
. 
 
   
 
     
(1 ) ( 1)1
1 ln ln
2
( ) (1 ) ln
( )
1
( )
n P x dx n P x dxn
x x
dx
y x n Q x e dx C e P x x
x
y x xe dx C e dx C x x x C
y x
x C
 
 
        
 
        
 

  
 
 
 Exercícios
 Resolva a equação diferencial de Bernoulli dada.
Equações diferenciais
132
 Próximas aulas:
 Sistema de equação diferencial
 Equação linear de ordem superior
Equações diferenciais
133