Guia para Física Experimental II

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Universidade do Vale do Para´ıba
Instituto de Pesquisa e Desenvolvimento
IRAPUAN RODRIGUES DE OLIVEIRA FILHO
FI´SICA EXPERIMENTAL II
Sa˜o Jose´ dos Campos, SP
2012
APRESENTAC¸A˜O
O laborato´rio fornece ao estudante uma oportunidade u´nica de validar as teorias
f´ısicas de uma maneira quantitativa num experimento real. A experieˆncia no laborato´rio
ensina ao estudante as limitac¸o˜es inerentes a` aplicac¸a˜o das teorias f´ısicas a situac¸o˜es f´ısicas
reais e introduz va´rias maneiras de minimizar esta incerteza experimental. O propo´sito dos
laborato´rios de F´ısica e´ tanto o de demonstrar algum princ´ıpio f´ısico geral, quanto permitir
ao estudante aprender e apreciar a realizac¸a˜o de uma medida experimental cuidadosa.
Esta apostila visa proporcionar formac¸a˜o de n´ıvel ba´sico sobre Mecaˆnica On-
dulato´ria, Ondas, O´ptica, Acu´stica, Termologia e Calorimetria. Contempla um estudo
introduto´rio a` teoria de erros com vistas ao tratamento de dados obtidos no Laborato´rio e
a construc¸a˜o de gra´ficos lineares, ale´m da descric¸a˜o detalhada de experimentos nas a´reas
acima, possibilitando ao estudante vivenciar a relac¸a˜o entre teoria e pra´tica.
1) Experimentos sobre Ondas: (7 aulas)
Movimento harmoˆnico simples
Equac¸a˜o de onda, gra´ficos
Sistema massa mola
Cordas vibrantes
Ondas estaciona´rias
2) Experimentos sobre acu´stica: (3 aulas)
Tubos sonoros
3) Experimentos sobre Acu´stica: (4 aulas)
luz, reflexa˜o, refrac¸a˜o, Prisma, Dispersa˜o da luz, lentes
4) Experimentos sobre Termometria e calorimetria: (4 aulas)
Dilatac¸a˜o
Transmissa˜o do calor
SUMA´RIO
Pa´g.
CAPI´TULO 1 Noc¸o˜es gerais sobre as atividades experimentais . . . . . 5
1.1 Como elaborar um relato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Como formatar gra´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Regras pra´ticas para construc¸a˜o de gra´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Estudo de erros em medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Propagac¸a˜o de erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 O me´todo dos mı´nimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.1 Exemplo de determinac¸a˜o dos coeficientes Angular e Linear . . . . . . . . . 13
1.6 Linearizac¸a˜o de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
CAPI´TULO 2 Mecaˆnica oscilato´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 Oscilac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Movimento harmoˆnico simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Peˆndulo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Massa-mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Ressonaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
CAPI´TULO 3 Experimento 1: Verificac¸a˜o da relac¸a˜o entre o per´ıodo e
o comprimento de um peˆndulo simples . . . . . . . . . . . 25
3.1 Parte I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Parte II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
CAPI´TULO 4 Experimento 2: Per´ıodo de oscilac¸a˜o de um corpo sus-
penso por uma mola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
CAPI´TULO 5 Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.1 Classificac¸a˜o das ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.1.1 Quanto a` natureza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.1.2 Quanto a` direc¸a˜o de propagac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.1.3 Quanto a` direc¸a˜o de vibrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2 Velocidade de propagac¸a˜o de uma onda unidimensional . . . . . . . . . . . . . 34
5.3 Reflexa˜o de um pulso em uma corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.4 Refrac¸a˜o de um pulso em uma corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.5 Ondas perio´dicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.6 Func¸a˜o de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.7 Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.8 Frentes de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.9 Princ´ıpo de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.10 Leis da reflexa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.11 Leis da refrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.12 Princ´ıpio da Superposic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.13 Ondas estaciona´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.13.1 Ondas estaciona´rias em uma corda com extremidades fixas . . . . . . . . . . 46
5.13.2 Ondas estaciona´rias em tubos abertos ou fechados . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.14 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
CAPI´TULO 6 Experimento 3: Ondas estaciona´rias em cordas vibrantes 56
CAPI´TULO 7 Experimento 4: Tubos sonoros . . . . . . . . . . . . . . . . 58
REFEREˆNCIAS BIBLIOGRA´FICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
CAPI´TULO 1
Noc¸o˜es gerais sobre as atividades experimentais
1.1 Como elaborar um relato´rio
Um bom relato´rio depende de uma boa tomada de dados. Procure organizar-se
de maneira a anotar durante a pra´tica todas as informac¸o˜es relevantes de uma forma
posteriormente intelig´ıvel. Use um caderno apropriado para essas anotac¸o˜es, ao inve´s
de usar folhas avulsas. O seu relato´rio deve descrever, nas suas palavras, a experieˆncia
efetuada, justificar o procedimento escolhido, apresentar e discutir os dados medidos e
finalmente tirar concluso˜es. O relato´rio pode ser dividido em va´rias partes. Por exemplo:
Introduc¸a˜o: Resumo teo´rico para situar a experieˆncia. Exposic¸a˜o dos conceitos teo´ricos
que vai usar. Refereˆncias a` literatura pertinente (Livros texto, livros de refereˆn-
cia, internet, etc...).
Objetivos: Descric¸a˜o concisa do que se pretende obter da experieˆncia.
Equipamento e Procedimento Experimental: Descric¸a˜o do equipamento e/ou dia-
grama do arranjo experimental. Descric¸a˜o do procedimento seguido em aula.
Descreva o que voceˆ fez, na˜o necessariamente o procedimento proposto, justifi-
cando e discutindo a escolha. Avaliac¸a˜o ou estimativa dos erros nos dados devido
aos aparelhos e procedimentos usados.
Dados Experimentais e Ana´lise: Apresentac¸a˜o dos dados coletados, atrave´s de
tabelas, gra´ficos etc. Tratamento dos dados brutos (usando algum modelo
teo´rico), chegando a valores finais, junto com a avaliac¸a˜o final do erro. Na˜o e´
necessa´rio e nem deve ser indicada cada conta efetuada, mas deve ficar claro
como chegou ao resultado.
Concluso˜es: Discussa˜o dos resultados obtidos. Sempre que poss´ıvel, comparar os resul-
tados com os conhecidos ou esperados teoricamente, discutindo as diferenc¸as e
as poss´ıveis fontes de erro. Se usou va´rios me´todos, comparar os me´todos.
Para experieˆncias simples, os itens Introduc¸a˜o e Objetivos podem muito bem
ser tratados em uma u´nica sec¸a˜o. Em todos os itens, deve-se fazer refereˆncia aos livros-
texto, apostilas, sites na internet, etc.
Mais alguns detalhes que devem ser levados em conta durante a confecc¸a˜o do
relato´rio:
5• Unidades para cada grandeza.
• Avaliac¸a˜o de erros nas suas medidas (e, se for o caso, propagar os erros nos
resultados finais).
• Legendas das figuras.
• Numerar as figuras e gra´ficos e se referir neles no texto.
• Mencionar a data da realizac¸a˜o da experieˆncia.
• Se usar textos ou figuras de outras fontes (esta apostila, internet, livros, arti-
gos, relato´rios de colegas...), deixe isto claro, colocando entre “aspas”, e deˆ a
refereˆncia!
1.2 Como formatar gra´ficos
Nas atividades experimentais, muitas vezes, precisamos estudar como uma pro-
priedade ou quantidade depende ou varia com relac¸a˜o a outra. Por exemplo, para medir o
poder de acelerac¸a˜o de um carro, medimos como a sua velocidade se modifica em func¸a˜o
do tempo. Dados desse tipo sa˜o apresentados na Tabela 1.1.
t (s) v (km/h)
0 42± 7
5 67± 7
10 101± 7
15 134± 7
20 161± 7
25 183± 7
30 196± 7
35 200± 7
Tabela 1.1 - Velocidade (v) medida em func¸a˜o do tempo (t), para um automo´vel acelerando.
O gra´fico desses dados (Figura 1.1) permite visualizar imediatamente o compor-
tamento da velocidade em relac¸a˜o ao tempo. Uma imagem vale mil palavras, e um gra´fico
e´ uma maneira muito eficiente de resumir e apresentar os seus dados. E´ importante que
o gra´fico se conforme a certas convenc¸o˜es ou regras que todo mundo conhece. Assim
outras pessoas podem interpretar os seus resultados imediatamente. Em seguida vamos
apresentar as regras para produzir gra´ficos em um formato profissional.
1.2.1 Regras pra´ticas para construc¸a˜o de gra´ficos
Conforme o exemplo da Figura 1.1, um gra´fico conte´m os seguintes elementos:
6
Figura 1.1 - Velocidade de um automo´vel acelerando.
1) Eixos com nome da varia´vel representada, escala e unidade.
2) Os dados e, se apropriado, as barras de erro.
3) Legenda e t´ıtulo.
Os eixos
Cada um dos eixos deve conter o nome (ou s´ımbolo) da varia´vel representada, a
escala de leitura e a unidade correspondente. Escolha uma escala conveniente para a qual
o gra´fico represente bem o intervalo medido para cada varia´vel. A regra pra´tica para esta
definic¸a˜o e´ dividir a faixa de variac¸a˜o de cada varia´vel pelo nu´mero de diviso˜es principais
dispon´ıveis. Toma-se enta˜o um arredondamento a valor superior e de fa´cil leitura. Estes
valores de fa´cil leitura sa˜o: 1, 2 ou 5 unidades ou qualquer mu´ltiplo ou submu´ltiplo de
10 delas. Por exemplo, no papel milimetrado, se a faixa de variac¸a˜o dos dados for de
35 unidades e o nu´mero de cm dispon´ıveis for de 10 cm, chegamos ao valor ideal de 5
unidades para cada divisa˜o do gra´fico.
No caso da Figura 1.1, a varia´vel tempo varia 35s e temos mais ou menos 10 divi-
so˜es principais, o que daria 3,5s por divisa˜o, o que na˜o e´ conveniente. Portanto escolhemos
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5s por divisa˜o. Da mesma maneira foi escolhido 20km/h por divisa˜o no eixo y. As escalas
dos eixos na˜o precisam comec¸ar na origem (zero, zero). Elas devem abranger a faixa de
variac¸a˜o que voceˆ quer representar. E´ conveniente que os limites da escala correspondam
a um nu´mero inteiro de diviso˜es principais. Indique os valores correspondentes a`s diviso˜es
principais abaixo do eixo–x e a` esquerda do eixo–y usando nu´meros grandes.
As unidades devem ser escolhidas de maneira a minimizar o nu´mero de d´ıgitos
nos valores que indicam o valor da divisa˜o principal. Uma regra pra´tica e´ tentar usar
no ma´ximo treˆs d´ıgitos nestes valores, fazendo uso de poteˆncias de 10 na expressa˜o das
unidades para completar a informac¸a˜o. Ao trac¸ar os eixos no papel milimetrado, na˜o use
a escala marcada no papel pelo fabricante. E´ voceˆ que define a sua escala, baseando-se
nos seus dados. Tambe´m na˜o use os eixos nas margens do papel. Desenhe os seus pro´prios,
porque voceˆ precisara´ de espac¸o para a identificac¸a˜o das varia´veis e para a legenda (item
3). Por fim, abaixo ou a` esquerda dos nu´meros da escala, conforme o caso, escreva o nome
(ou s´ımbolo) da varia´vel correspondente e a unidade para leitura entre pareˆnteses (km,
105N/cm2, etc.).
Os dados
Assinale no gra´fico a posic¸a˜o dos pontos experimentais: use marcas bem vis´ıveis
(em geral c´ırculos pequenos). Nunca indique as coordenadas dos pontos graficados no eixo.
Coloque barras de erros nos pontos se for o caso. Se os erros sa˜o menores que o tamanho
dos pontos, indique isso na legenda. A`s vezes ajuda a visualizac¸a˜o trac¸ar a melhor curva
me´dia dos pontos, ignorando alguns pontos que fogem demasiadamente do comportamento
me´dio. Em outras palavras, pode-se dizer que a curva me´dia deve ser trac¸ada de maneira
a minimizar os deslocamentos da curva em relac¸a˜o aos pontos experimentais ao longo do
trac¸ado. Use o seu ju´ızo. Na˜o e´ correto simplesmente ligar os pontos experimentais.
A legenda e o t´ıtulo
Todo gra´fico deve ter um t´ıtulo, pelo qual e´ referido no texto (Figura 1.1, no
nosso exemplo). Geralmente, o t´ıtulo do gra´fico e´ colocado na legenda, abaixo do gra´fico.
A legenda deve conter tambe´m uma descric¸a˜o sucsinta do que e´ apresentado no gra´fico.
Note que uma legenda tipo “velocidade vs. tempo” e´ redundante pois esta informac¸a˜o ja´
esta´ contida nos ro´tulos dos eixos.
Na Figura 1.2, ilustramos os erros mais comuns, que devem ser evitados na cons-
truc¸a˜o de gra´ficos
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Figura 1.2 - Ilustrac¸a˜o dos erros mais comuns que devem ser evitados na construc¸a˜o de gra´ficos.
1.3 Estudo de erros em medidas
A medida de uma grandeza e´ obtida, em geral, atrave´s de um experimento, na
qual o grau de complexidade do processo de medir esta´ relacionado com a grandeza em
questa˜o e tambe´m com o processo de medic¸a˜o.
A determinac¸a˜o do erro de medida na˜o e´ simples, pois na maioria dos casos ha´
uma combinac¸a˜o de inu´meros fatores que influenciam, de forma decisiva, no resultado da
medic¸a˜o. Portanto, o erro “verdadeiro” de uma medida e´ sempre imposs´ıvel de conhecer,
sendo poss´ıvel apenas uma estimativa do erro ma´ximo aceita´vel.
Existem diversas classificac¸o˜es de erros na literatura especializada, entretanto, ha´
treˆs principais que sa˜o:
1) Erro de escala: e´ o erro associado ao limite de resoluc¸a˜o da escala do instrumento
de medida;
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2) Erro sistema´tico: e´ o erro em que o medidor sofre, de maneira constante, em
todo o processo de medic¸a˜o. No momento da descoberta da sua origem, o erro e´
poss´ıvel de ser sanado;
3) Erro aleato´rio: e´ o erro que decorre de perturbac¸o˜es estat´ısticas imposs´ıveis de
serem previstas, sendo assim, dif´ıcil de evita´-los.
O erro aleato´rio pode ser calculado utilizando-se os postulados de Gauss, que por
motivo de brevidade na˜o sera´ citado aqui. Entretanto, os estudantes interessados neste
assunto podem consultar o livro Piacentini et al. (2001).
O valor mais prova´vel de uma grandeza e´ a me´dia aritme´tica das diversas medidas
da grandeza, sendo representado por x:
x =
x1 + x2 + x3 + · · ·+ xN
N
=
1
N
N∑
i=1
xi
onde N e´ o nu´mero de medidas e os xi(i = 1, 2, 3, . . . , N) representam os valores das
medidas. Devido a` natureza estat´ıstica do erro aleato´rio, e´ poss´ıvel estimar apenas seu
valor prova´vel, dado pelo ca´lculo do desvio padra˜o:
σx =
√
(x1 − x)2 + (x2 − x)2 + . . . (xN − x)2
N − 1
Fonte do material desta Sec¸a˜o: Bolzan (2005).
1.4 Propagac¸a˜o de erros
Nesta Sec¸a˜o estudaremos a propagac¸a˜o de erros associados a cada medida em
particular. Este assunto e´ de grande relevaˆncia em todas as a´reas de atividade onde sa˜o
realizadas medidas experimentais.
Seja uma grandeza y que depende de outras grandezas x1, x2, x3, . . . . Enta˜o, a
grandeza y e´ func¸a˜o das grandezas x1, x2, x3, . . . e pode ser escrita da seguinte forma:
y = f(x1, x2, x3, . . . )
A variac¸a˜o infinitesimal de qualqueruma das varia´veis xi provoca tambe´m uma
variac¸a˜o infinitesimal em y. Podemos expressar essa variac¸a˜o atrave´s da diferencial exata
abaixo:
dy =
(
∂f
∂x1
)
dx1 +
(
∂f
∂x2
)
dx2 + . . .
Realizando uma analogia entre variac¸o˜es infinitesimais e os desvios (erros) das
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varia´veis, uma vez que ambos representam variac¸o˜es, temos:
∆y =
(
∂f
∂x1
)
∆x1 +
(
∂f
∂x2
)
∆x2 + . . .
Com a equac¸a˜o acima, considera-se a situac¸a˜o na qual os erros, atuando no mesmo
sentido, somam-se. Isto e´ poss´ıvel tomando-se o mo´dulo das derivadas parciais da equac¸a˜o
acima.
Exemplo, calcularemos o volume de um cilindro de comprimento L = (2, 0 ±
0, 1)mm e diaˆmetro D = (4, 0± 0, 2)mm.
O volume do cilindro e´ V =
piD2L
4
=
pi4, 022, 0
4
= 25, 13274 . . .mm3 = 25, 1mm3.
Agora iremos utilizar os erros das medidas com comprimento e diaˆmetro do ci-
lindro:
V = f(D,L)⇒ ∆V =
∣∣∣∣ ∂V∆D
∣∣∣∣∆D + ∣∣∣∣ ∂V∆L
∣∣∣∣∆L
∆V =
∣∣∣∣piDL2
∣∣∣∣∆D + ∣∣∣∣piD24
∣∣∣∣∆L = ∣∣∣∣pi × 4× 22
∣∣∣∣ 0, 2 + ∣∣∣∣pi × 424
∣∣∣∣ 0, 1
∆V = 2, 8274 . . .mm3 = 2, 8mm3
O resultado final deve ser expresso da seguinte maneira:
V = (25, 1± 2, 8)mm3
Erro Propagado nas Operac¸o˜es Ba´sicas:
Abaixo esta˜o listadas as equac¸o˜es do erro propagado para as operac¸o˜es mais utilizadas.
• Adic¸a˜o: (x+ ∆x) + (y + ∆y) = (x+ y)± (∆x+ ∆y)
• Subtrac¸a˜o: (x+ ∆x)− (y + ∆y) = (x− y)± (∆x+ ∆y)
• Multiplicac¸a˜o: (x+ ∆x)× (y + ∆y) = (x× y)± (x∆y + y∆x)
• Divisa˜o: (x+ ∆x)
(y + ∆y)
=
(
x
y
)
± (x∆y + y∆x)
y2
• Potenciac¸a˜o: (x+ ∆x)n = xn ± n.xn−1.∆x
Fonte do material desta Sec¸a˜o: Bolzan (2005) e Piacentini et al. (2001)
11
1.5 O me´todo dos mı´nimos quadrados
O Me´todo dos Mı´nimos Quadrados e´ uma te´cnica de otimizac¸a˜o matema´tica que
procura encontrar o melhor ajuste para um conjunto de dados tentando minimizar a
soma dos quadrados das diferenc¸as entre a curva ajustada e os dados. Essas diferenc¸as
sa˜o chamadas res´ıduos.
Imagine que em um certo experimento obtivemos uma sucessa˜o de pontos que,
representados em um gra´fico, apresentam comportamento linear, isto e´, parecem mais ou
menos bem alinhados sobre uma reta. E´ fa´cil desenhar uma reta que passe pelo meio
dos pontos e que, visualmente parece descrever o comportamento dos dados experimen-
tais. Contudo, diferentes experimentadores podera˜o trac¸ar diferentes retas, encontrando
diferentes valores para os coeficientes linear e/ou angular. O me´todo dos mı´nimos qua-
drados oferece uma forma estatisticamente correta de determinar valores otimizados dos
paraˆmetros de uma reta que passa pelos dados graficados.
O me´todo funciona assim: como os dados experimentais sugerem que a relac¸a˜o
funcional de y com x e´ uma linha reta, escrevemos:
y = ax+ b
Podemos determinar o coeficiente angular a e o coeficiente linear b da reta, atrave´s
das seguintes equac¸o˜es:
a =
N
N∑
i=1
(xi.yi)−
N∑
i=1
xi
N∑
i=1
yi
N
N∑
i=1
x2i −
(
N∑
i=1
xi
)2
b =
N∑
i=1
yi
N∑
i=1
x2i −
N∑
i=1
xi
N∑
i=1
(xi.yi)
N
N∑
i=1
x2i −
(
N∑
i=1
xi
)2
onde N e´ o nu´mero de pontos experimentais. Aqui usamos a notac¸a˜o de somato´rio:
N∑
i=1
xi = x1 + x2 + x3 + ...+ xN .
Caso o conjunto de pontos obtidos no experimento na˜o corresponda a uma relac¸a˜o
linear, ou seja, na˜o estejam alinhados mais ou menos em linha reta, deve-se primeiro
lineariza´-los antes de utilizar as relac¸o˜es acima.
12
1.5.1 Exemplo de determinac¸a˜o dos coeficientes Angular e Linear
Considere uma medida de movimento retil´ıneo uniforme efetuado por um carrinho
no laborato´rio. Foram medidos tanto sua posic¸a˜o x (em metros) quanto o tempo t (em
segundos) e os resultados esta˜o conforme a Tabela 1.2. Construa o gra´fico que representa
o movimento e determine a velocidade e a posic¸a˜o inicial do carrinho usando o me´todo
dos mı´nimos quadrados.
Tempo (s) Posic¸a˜o (m)
0, 100 0, 51
0, 200 0, 59
0, 300 0, 72
0, 400 0, 80
0, 500 0, 92
Tabela 1.2 - Variac¸a˜o da posic¸a˜o com o tempo para um carrinho.
Para usarmos o me´todo dos mı´nimos quadrados, sugere-se a construc¸a˜o de uma
tabela, conforme indicado abaixo, lembrando que aqui o eixo–x corresponde ao tempo t e
o eixo–y, a` posic¸a˜o x (ver Tabela 1.3)
x (s) y (m) xy x2
0, 100 0, 51 0, 051 0, 0100
0, 200 0, 59 0, 12 0, 0400
0, 300 0, 72 0, 22 0, 0900
0, 400 0, 80 0, 32 0, 160
0, 500 0, 92 0, 46 0, 250∑
x = 1, 500
∑
y = 3, 54
∑
xy = 1, 17
∑
x2 = 0, 550
Tabela 1.3 - Dados parciais para regressa˜o linear por mı´nimos quadrados.
Com esses resultados, basta substituir os valores na fo´rmulas para a e b e lembrar
que neste caso temos N=5 medidas:
a =
5× 1, 17− 1, 500× 3, 54
5× 0, 550− (1, 500)2 =
0, 54
0, 50
= 1, 080 m/s
b =
0, 550× 3, 54− 1, 17× 1, 500
5× 0, 550− (1, 500)2 =
0, 192
0, 50
= 0, 384 m
Assim:
13
y = 1, 080x+ 0, 384
ou trocando x por t e y por x para voltarmos a trabalhar com as varia´veis do problema:
x = 1, 080t+ 0, 384
Figura 1.3 - Variac¸a˜o da posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo de um carrinho em movimento. Os pontos
pretos foram os valores medidos no experimento. Os pontos usados para desenhar
a reta esta˜o marcados com ×.
Para construir a curva basta, atribuir pelo menos dois valores para t e encontrar
os valores correspondentes de x. Por exemplo, em t = 0s temos x = 0, 384m e em t = 0, 45s
temos x = 0, 870m. Na Figura 1.3 e´ mostrado o gra´fico obtido dessa forma.
Exemplo extra´ıdo de Muniz (???).
1.6 Linearizac¸a˜o de dados
IRAPA: ESCREVER ISTO COM UM EXEMPLO.
14
CAPI´TULO 2
Mecaˆnica oscilato´ria
Os movimentos harmoˆnicos simples esta˜o presentes em va´rios aspectos de nossas vidas,
como nos movimentos do peˆndulo de um relo´gio, de uma corda de viola˜o ou de uma
mola. Esses mecanismos realizam movimentos de “vai–e–vem” em torno de uma posic¸a˜o
de equil´ıbrio, sendo caracterizados por um per´ıodo e por uma frequeˆncia.
Um movimento e´ dito oscilato´rio ou vibrato´rio quando o mo´vel se desloca periodi-
camente sobre uma mesma trajeto´ria, indo e vindo para um lado e para outro em relac¸a˜o
a uma posic¸a˜o me´dia de equil´ıbrio. Essa posic¸a˜o e´ o ponto sobre a trajeto´ria, para o qual
a resultante das forc¸as que agem sobre o mo´vel, quando a´ı passa, e´ nula. Desse tipo sa˜o o
movimento de um peˆndulo, o movimento de uma laˆmina vibrante e o movimento de um
corpo preso a extremidade de uma mola.
Para fixar a ide´ia, analisemos o movimento realizado por uma re´gua pla´stica presa
a` extremidade de uma mesa e posta a oscilar por ac¸a˜o de uma forc¸a externa.
Figura 2.1 - Re´gua vibrando entre as posic¸o˜es A e B, passando pelo ponto de equil´ıbrio O.
Na Figura 2.1 temos o ponto 0 como sendo a posic¸a˜o de equil´ıbrio. Na medida
em que tiramos a re´gua dessa posic¸a˜o e a aproximamos do ponto A, aparece uma forc¸a na
re´gua, de cara´ter ela´stico tendendo a conduz´ı-la de volta a` posic¸a˜o de equil´ıbrio; quanto
mais nos aproximamos de A essa forc¸a - a que chamamos forc¸a restauradora - cresce. Se
largarmos a re´gua em A, por ac¸a˜o da forc¸a restauradora, ela comec¸a a retornar ao ponto
0. Na medida em que esse retorno ocorre, a velocidade da re´gua cresce e ao chegar no
equil´ıbrio, em func¸a˜o da ine´rcia, ela na˜o para, movimentando-se, enta˜o, em direc¸a˜o a B.
Entretanto, no momento em que passar de 0 novamente surge a forc¸a restauradora que
15
fara´ a sua velocidade decrescer ate´ se anular no ponto B, onde a forc¸a sera´ ma´xima. A
partir desse ponto a re´gua retorna a 0 com velocidade crescente. Aı´ chegando novamente
na˜o para, pela ine´rcia. E assim a re´gua continuara´ oscilando ate´ cessar o movimento em
func¸a˜o do atrito.
2.1 Oscilac¸o˜esPara compreendermos o conceito de oscilac¸a˜o, observemos o movimento de um
peˆndulo na Figura 2.2
Figura 2.2 - Ana´lise da oscilac¸a˜o de um peˆndulo: (a) Na posic¸a˜o O a forc¸a resultante sobre o
corpo e´ nula: o corpo esta´ em equil´ıbrio; (b) Retira-se o peˆndulo da posic¸a˜o de
equil´ıbrio; (c) Abandonando-se o sistema, o peˆndulo entra em oscilac¸a˜o movendo-se
em torno da posic¸a˜o de equil´ıbrio.
2.2 Movimento harmoˆnico simples
O movimento de oscilac¸a˜o mais elementar e´ o movimento harmoˆnico simples
(MHS) Um exemplo de MHS e´ a oscilac¸a˜o de um corpo preso a uma mola quando o atrito
no sistema e´ desprez´ıvel (ver Figura 2.4). Num MHS, a abscissa x que determina a posic¸a˜o
do corpo oscilante, medida a partir do ponto de equil´ıbrio, denomina-se elongac¸a˜o. O
valor ma´ximo da elongac¸a˜o recebe o nome de amplitude (A).
O MHS e´ um movimento perio´dico. Sendo f a frequeˆncia e T o per´ıodo, temos:
f =
1
T
e w = 2pif =
2pi
T
onde a grandeza w denomina-se pulsac¸a˜o. A acelerac¸a˜o no movimento harmoˆnico simples
e´ dada por:
a = −w2x
16
ou usando a definic¸a˜o de w vista acima:
a = −
(
2pi
T
)2
x
Func¸a˜o hora´ria do MHS
A posic¸a˜o x de um corpo em MHS varia em func¸a˜o do tempo de acordo com a
func¸a˜o:
x = A cos(wt+ ψ0)
A constante ψ0 denomina-se fase inicial e descreve a situac¸a˜o do sistema no
instante zero.
No Sistema Internacional de unidades (S.I.), a fase inicial e´ medida em radia-
nos (rad) e a pulsac¸a˜o, em radianos por segundo (rad/s).
2.3 Peˆndulo simples
Um sistema oscilato´rio de grande importaˆncia e´ o peˆndulo simples. Para osci-
lac¸o˜es de pequena amplitude ele executa um MHS. Observe a Figura 2.3 onde se veˆ que
em qualquer situac¸a˜o, ha´ duas forc¸as que atuam sobre a massa: o seu peso ~P = mg e a
trac¸a˜o do fio ~Q.
Figura 2.3 - Ana´lise das forc¸as que atuam sobre um peˆndulo.
A trac¸a˜o no fio e´ uma forc¸a (portanto, um vetor) que aponta sempre na direc¸a˜o
do fio. Podemos decompor o vetor ~Q em duas componentes, uma na direc¸a˜o do eixo–x, Qx
17
e outra na direc¸a˜o do eixo–y, Qy. Fazendo a somato´ria das forc¸as que atuam na direc¸a˜o y
teremos:
Fy = Qy + P
No referencial escolhido, que se move junto com a massa do peˆndulo, na˜o ha´ acelerac¸a˜o
na direc¸a˜o y, e portanto a forc¸a resultante e´ zero:
Fy = 0 ⇒ Qy + P = 0 (2.1)
Usando a relac¸a˜o de Pita´goras para um triaˆngulo retaˆngulo, e´ fa´cil perceber que:
Qy = Q cos(θ)
e enta˜o, substituindo na Equac¸a˜o 2.1:
Q cos(θ) +mg = 0 (2.2)
A forc¸a de trac¸a˜o pode ser escrita como:
Q = m.a (2.3)
onde a e´ a acelerac¸a˜o centr´ıpeta. Vimos na Sec¸a˜o 2.2 que a = − (2pi
T
)2
l, onde l e´ o com-
primento do peˆndulo e T e´ o seu per´ıodo de oscilac¸a˜o. Substituindo a Equac¸a˜o 2.3 Equa-
c¸a˜o 2.2, e introduzindo a expressa˜o para a, ficamos com:
m.a. cos(θ) +m.g = 0 ⇒ −m (2pi
T
)2
l. cos(θ) +m.g = 0
Assim,
/m
(
2pi
T
)2
l. cos(θ) = /m.g
e isolando o per´ıodo T teremos:
T = 2pi
√
l cos(θ)
g
Se realizarmos pequenas oscilac¸o˜es com o peˆndulo, mantendo pequeno o aˆngulo
θ, enta˜o o cos(θ) sera´ aproximadamente 1, e a equac¸a˜o acima podera´ ser escrita na sua
forma mais conhecida:
T = 2pi
√
l
g
(2.4)
E´ importante ressaltar que essa equac¸a˜o so´ e´ va´lida para pequenas oscilac¸o˜es.
18
A propriedade mais importante do peˆndulo simples que voceˆ deve memorizar, e´
que seu per´ıodo de oscilac¸a˜o e´ func¸a˜o somente do seu comprimento e da acelerac¸a˜o da
gravidade. Veremos mais detalhes no Experimento descrito no Cap´ıtulo 3.
2.4 Massa-mola
O sistema massa-mola, mostrado na Figura 2.4, e´ outro exemplo de sistema osci-
lato´rio simples. Aqui, como veremos, o per´ıodo de oscilac¸a˜o depende da massa do objeto
suspenso, diferentemente do caso do peˆndulo visto na Sec¸a˜o 2.3.
O oscilador massa-mola e´ constitu´ıdo por um corpo de massa m ligado a uma
mola de constante ela´stica k, presa a uma parede. Cada mola tem a sua constante ela´stica,
que depende do material de que e´ feita e da sua geometria. O corpo executa MHS sobre
uma superf´ıcie horizontal sem atrito. Veja a Figura 2.4. Quando a mola e´ comprimida
(ou esticada) e liberada, o corpo passa a executar um movimento unidimensional de vai-
e-vem. O movimento e´ regido pela Lei de Hooke, que relaciona forc¸a restauradora com o
deslocamento da massa:
F = −kx
onde F e´ a forc¸a ela´stica em Newtons, x e´ o deslocamento em metros e k e´ a constante
ela´stica da mola.
Figura 2.4 - Sistema massa-mola em movimento harmoˆnico simples. Sa˜o mostradas 3 fases do
movimento: em (a) e (c) as ma´ximas elongac¸o˜es, e em (b) o ponto de equil´ıbio.
Na Sec¸a˜o 2.2 vimos que a acelerac¸a˜o no MHS e´ dada por:
19
a = −
(
2pi
T
)2
x
Pelo princ´ıpio fundamental da dinaˆmica, a forc¸a ela´stica F = −kx deve ser igual
a:
F = ma
Assim:
ma = −kx ⇒ −m
(
2pi
T
)2
x = −kx
Eliminando x em ambos os lados e isolando T , ficamos com:
T = 2pi
√
m
k
Portanto, em um sistema massa-mola, o per´ıodo depende da massa presa a` mola
e da constante ela´stica da mola k.
No Experimento descrito no Cap´ıtulo 4 essa relac¸a˜o sera´ verificada empiricamente.
2.5 Ressonaˆncia
Os sistemas oscilantes, como o sistema massa-mola ou o peˆndulo simples, teˆm uma
frequeˆncia natural de oscilac¸a˜o. E´ claro que eles na˜o oscilam so´ com essa frequeˆncia.
Podemos forc¸a´-los a oscilarem com uma frequeˆncia qualquer, desde que apliquemos uma
forc¸a externa conveniente. Por exemplo, podemos forc¸ar um peˆndulo que apresenta um
per´ıodo natural de 1s, a oscilar com per´ıodo de 0,5s, bastando segura´-lo com a ma˜o e
moveˆ-lo neste novo per´ıodo.
Um efeito muito importante e´ obtido quando aplicamos uma forc¸a externa com
a frequeˆncia natural de oscilac¸a˜o do sistema. No caso do peˆndulo citado acima, deve-se
balanc¸a´-lo com per´ıodo de 1s. Com isso observamos que a energia mecaˆnica do sistema
vai crescer muito rapidamente, crescendo tambe´m a amplitude de oscilac¸a˜o.
Num sistema teo´rico a energia mecaˆnica vai crescer indefinidamente, tendendo ao
infinito. Esse fenoˆmeno recebe o nome de ressonaˆncia. Isso e´ o que fazemos, por exemplo,
quando empurramos ritmadamente uma crianc¸a que anda de balanc¸o. Na pra´tica, pore´m,
a energia mecaˆnica na˜o cresce indefinidamente, pois o sistema encontra alguma limitac¸a˜o
f´ısica (a mola pode se quebrar, o peˆndulo pode entrar em movimento circular, etc...).
Dizemos que um sistema oscilante entra em ressonaˆncia quando recebe uma
forc¸a externa que tenha a mesma frequeˆncia que sua pro´pria frequeˆncia natural.
20
2.6 Exerc´ıcios
1) Um corpo executa MHS com per´ıodo de 0.8s, amplitude 0,1m e fase inicial zero.
Escreva a func¸a˜o hora´ria do movimento e construa um gra´fico representando a
posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo entre t = 0 e t = 0, 8s.
Soluc¸a˜o:
Sa˜o dados A = 0, 1m, T = 0, 8s e ψ0 = 0.
Para escrevermos a func¸a˜o hora´ria precisamos da pulsac¸a˜o w:
f =
1
T
=
1
0, 8
⇒ f = 1, 25 Hz
w = 2pif = 2pi.1, 25⇒ w = 2, 5pi rad/s
Func¸a˜o hora´ria:
x = A cos(ψ0 + wt)
x = 0, 1 cos(0 + 2, 5pi.t)
Para construir o gra´fico vamos calcular o valor de x para alguns instantes:
t = 0s ⇒ x = 0, 1 cos(0)⇒ x = 0, 1 m
t = 0, 2s ⇒ x = 0, 1 cos (pi
2
)⇒ x = 0 m
t = 0, 4s ⇒ x = 0, 1 cos(pi)⇒ x = −0, 1 m
t = 0, 6s ⇒ x = 0, 1 cos (3pi
2
)⇒ x = 0 m
t = 0, 8s ⇒ x = 0, 1 cos(2pi)⇒ x = 0, 1 m
O gra´fico e´ mostrado na Figura 2.5.
Figura 2.5 - Exerc´ıcio 1: Variac¸a˜o da posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo
2) Qual o per´ıodo de oscilac¸a˜o de um peˆndulo simples de comprimento 1,0m, num
local onde a acelerac¸a˜o da gravidade e´ de 9,8m/s2?
21
Soluc¸a˜o:
T = 2pi
√
l
g
= 2pi√
1,0
9,8
⇒ T = 2, 0 s
3) A posic¸a˜o de um ponto material que se move sobre o eixo dos x e´ dada em func¸a˜o
do tempo pela expressa˜o: x = 5 cos(2pi.t+ pi/2)
a) Determine a posic¸a˜o do ponto nos instantes 0; 0,25s; 0,5s; 0,75s e 1s.
b) Desenhe um gra´fico posic¸a˜o × tempo e marque os pontos calculados em a).
c) Qual e´ o per´ıodo do movimento?
d) Determine a pulsac¸a˜o e a fase inicial desse movimento.
Figura 2.6 - Exerc´ıcio 4: Variac¸a˜o da posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo
4) O gra´fico da Figura 2.6 fornece a posic¸a˜o do ponto material em func¸a˜o do tempo.
Determine:
a) a amplitude da oscilac¸a˜o;
b) o per´ıodo e a frequeˆncia
5) Qual a frequeˆncia de oscilac¸a˜o de um peˆndulo simples de 25cm de comprimento?
(g = 10m/s2)
6) Num dia muito quente, um relo´gio de peˆndulo deve atrasar ou adiantar? Por
que?
7) Um relojoeiro novato, pretendendo atrasar um relo´gio, aumentou a massa do seu
peˆndulo. O que aconteceu? Como ele deveria proceder?
8) (FCMSCSP) A proposic¸a˜o: “E´ o nu´mero de oscilac¸o˜es por unidade de tempo” e´
relativa, num peˆndulo, a` definic¸a˜o de:
(a) movimento perio´dico.
(b) amplitude.
(c) fase.
22
(d) frequeˆncia.
(e) per´ıodo.
9) (UFRGS) Um oscilador harmoˆnico simples oscila sobre uma reta, entre duas po-
sic¸o˜es extremas A e A’, com uma frequeˆncia de 2Hz. O tempo que esse oscilador
leva para percorrer uma vez o segmento AA’ e´, em segundos:
(a) 1/4
(b) 1/2
(c) 1
(d) 2
(e) 4
10) (UnB) Tem-se um movimento harmoˆnico simples dado pela equac¸a˜o:
x = 8. cos
(
pi
4
.t+ pi
6
)
.
Determine o per´ıodo em segundos. A constante pi/4 tem unidades s−1.
Figura 2.7 - Exerc´ıcio 11
11) (UFSC) Observando os quatro peˆndulos da Figura 2.7, pode-se afirmar que:
(a) o peˆndulo A oscila mais devagar que o peˆndulo B.
(b) o peˆndulo A oscila mais devagar que o peˆndulo C.
(c) o peˆndulo B e o peˆndulo D possuem a mesma frequeˆncia de oscilac¸a˜o.
(d) o peˆndulo B oscila mais devagar que o peˆndulo D.
(e) o peˆndulo C e o peˆndulo D possuem a mesma frequeˆncia de oscilac¸a˜o.
12) Dois peˆndulos simples teˆm comprimentos respectivamente iguais a l e 4l. Quan-
tas oscilac¸o˜es (de pequena amplitude) dara´ o peˆndulo menor enquanto o maior
completa 24 das suas?
(a) 6
(b) 12
(c) 24
23
(d) 48
(e) 96
Figura 2.8 - Exerc´ıcio 13
13) (FCMSCSP) Na Figura 2.8 esta´ representado um peˆndulo simples, de compri-
mento l e per´ıodo igual a T . Colocando-se um prego (P) na posic¸a˜o indicada,
o peˆndulo, na ma´xima elongac¸a˜o para a esquerda, fica com a configurac¸a˜o indi-
cada pela linha pontilhada, voltando depois a` sua configurac¸a˜o inicial. Qual e´ o
per´ıodo de oscilac¸a˜o desse sistema?
(a) 4T/3
(b) 3T/2
(c) 3T/4
(d) 2T/3
(e) 2T
Este Cap´ıtulo foi baseado parcialmente em Chiquetto (1993).
24
CAPI´TULO 3
Experimento 1: Verificac¸a˜o da relac¸a˜o entre o per´ıodo e o comprimento de
um peˆndulo simples
Teoria: Vimos na Sec¸a˜o 2.3 que, para pequenas oscilac¸o˜es, o per´ıodo T e o comprimento
l de um peˆndulo simples esta˜o relacionados por:
T = 2pi
√
l
g
Portanto, a relac¸a˜o entre T e l na˜o e´ linear. Podemos eliminar a raiz quadrada
elevando ao quadrado ambos os lados da relac¸a˜o, para obtermos:
T 2 =
(2pi)2
g
l
Agora vemos que a relac¸a˜o entre T 2 e l e´ linear, o que quer dizer que se fizermos um
gra´fico de T 2 vs. l, deveremos obter uma linha reta. A equac¸a˜o acima pode ser comparada
com a equac¸a˜o de uma reta y = ax + b, em que l corresponde a x, T 2 corresponde a y e
(2pi)2
g
corresponde ao coeficiente angular a, da reta. O coeficiente linear b e´ zero (na˜o
aparece na relac¸a˜o).
O experimento aqui proposto tem duas partes: na Parte I vamos construir um
gra´fico que descreve a relac¸a˜o funcional entre o comprimento e per´ıodo de um peˆndulo
simples, e usar esse gra´fico para calcular a constante de proporcionalidade na relac¸a˜o
entre o comprimento de um peˆndulo e o quadrado do seu per´ıodo. Na Parte II medire-
mos o per´ıodo de um peˆndulo mais complexo, o mesmo do Exerc´ıcio 13 da Sec¸a˜o 2.6 e
compararemos com o per´ıodo calculado teoricamente.
3.1 Parte I
Vamos medir a variac¸a˜o do per´ıodo de um peˆndulo simples em func¸a˜o do seu
comprimento.
Procedimento:
1) Monte um peˆndulo com 20 cm de comprimento. Lembre-se de que o comprimento
do peˆndulo deve ser medido desde o in´ıcio do fio ate´ o centro da bolinha (centro
de massa do sistema). Anote o comprimento na primeira coluna de Tabela 3.1.
Use um aˆngulo inicial pequeno (< 20◦), pois a equac¸a˜o acima so´ funciona para
pequenas oscilac¸o˜es. Mec¸a com um cronoˆmetro o tempo para que se comple-
tem 10 oscilac¸o˜es desse peˆndulo. Divida esse tempo por 10 para obter o valor
25
Comprimento Per´ıodo T (s) Me´dia Desvio padra˜o T
2
Erro em T
2
l (m) T1 T2 T3 T σT (s) (s
2) σT 2
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
Tabela 3.1 - Tabela de dados para o Experimento 1.
do per´ıodo, e escreva o resultado na segunda coluna da tabela. Fac¸a o mesmo
procedimento mais duas vezes, anotando os valores obtidos nas colunas 3 e 4.
Em resumo: voceˆ devera´ medir o per´ıodo do peˆndulo em 3 se´ries de 10 oscilac¸o˜es.
2) Aumente o comprimento do peˆndulo para 30 cm e repita o passo acima. Va´
aumentando o comprimento de 10 em 10 cm e repetindo o experimento, ate´
preencher as colunas 2, 3 e 4 da tabela.
3) Para cada um dos comprimentos, calcule o per´ıodo me´dio T . Anote esses valores
na coluna 5 da tabela Tabela 3.1.
4) Para cada um dos comprimentos, calcule o desvio padra˜o dos per´ıodos medidos:
σT =
√
(T1−T )2+(T2−T )2+(T3−T )2
3−1 , e escreva-os na coluna 6.
5) Calcule os quadrados dos per´ıodos (T
2
, coluna 7 da Tabela 3.1) e fac¸a a propa-
gac¸a˜o de erros para obter σT 2 , anotando seu valor na coluna 8.
6) Fac¸a um gra´fico em papel milimetrado colocando l no eixo–x e T
2
no eixo–y.
Marque os pontos obtidos no experimento.
7) Usando o me´todo dos mı´nimos quadrados (ver Cap´ıtulo 1, Sec¸a˜o 1.5), deter-
mine a equac¸a˜o da reta que melhor se ajusta ao conjunto de pontos do gra´fico.
DICA: Nos ca´lculos de a e b, cuidado ao arredonde os valores, especialmente do
coeficiente angular (a), que e´ muito sens´ıvel. Use pelo menos 3 casas decimais.
8) Desenhe no gra´fico a reta obtida no passo anterior. Use tinta azul.
9) Usando a relac¸a˜o teo´rica entre o quadrado do per´ıodo e o comprimento do peˆn-
dulo: T 2 = (2pi)
2
g
l, desenhe em vermelho, no mesmo gra´fico, a reta que a repre-
senta. Assim voceˆ podera´ comparar diretamente a relac¸a˜o teo´rica com o resultado
do experimento.
26
3.2 Parte II
Agora vamos medir o per´ıodo de um peˆndulo composto e comparar esse valor
com o valor calculado teoricamente no Exerc´ıcio 13 da Sec¸a˜o 2.6.
Figura 3.1 - Peˆndulo composto.
Procedimento:
1) Monte um peˆndulo simples com 40 cm de comprimento. Usando uma amplitude
de oscilac¸a˜o pequena (θ < 20◦), mec¸a com um cronoˆmetro o tempo para que se
completem 10 oscilac¸o˜es. Divida esse tempo por 10 para obter o valor do per´ıodo
e anote o resultado. Fac¸a o mesmo procedimento mais duas vezes, anotando os
valores obtidos.
2) Calcule a me´dia e o desvio padra˜o das 3 medidas.
3) Modifique o peˆndulo para que fique como na Figura 3.1, usando a haste que
lhe foi fornecida. A haste deve ficar 30cm abaixo do ponto de fixac¸a˜o do fio do
peˆndulo.
4) Usando um aˆngulo pequeno (< 20◦), mec¸a com um cronoˆmetro o per´ıodo do
peˆndulo em 3 se´ries de 10 oscilac¸o˜es.
5) Calcule a me´dia e o desvio padra˜o do per´ıodo do novo peˆndulo.
6) Reveja a soluc¸a˜o do Exerc´ıcio 13 da Sec¸a˜o 2.6. e verifique se o resultado do
experimento e´ compat´ıvel, dentro doserros experimentais, com o resultado cal-
culado teoricamente. Comente esse resultado e diga o que poderia ser feito para
melhora´-lo.
27
CAPI´TULO 4
Experimento 2: Per´ıodo de oscilac¸a˜o de um corpo suspenso por uma mola.
No experimento anterior (Cap´ıtulo 3) verificamos experimentalmente que o per´ıodo de
oscilac¸a˜o de um peˆndulo simples e´ determinado pelo seu comprimento. Aqui verificaremos
que em um sistema massa-mola, o per´ıodo de oscilac¸a˜o depende da massa do corpo
suspenso.
Na Sec¸a˜o 2.4 vimos que o per´ıodo de um sistema massa-mola e´ dado por:
T = 2pi
√
m
k
onde m e´ a massa do corpo preso a` mola e k e´ a constante ela´stica da mola.
Trabalharemos com um sistema massa-mola na vertical, como o que esta´ mostrado
na Figura 4.1. A figura mostra treˆs momentos durante o movimento oscilato´rio. Em todos
esses momentos ha´ sempre 2 forc¸as atuando sobre a massa: a forc¸a peso (P = mg) e a
forc¸a restauradora F . Vamos analisar brevemente o que acontece na fase (b): se o sistema
na˜o estivesse oscilando, seria essa a sua posic¸a˜o de repouso. Em oscilac¸a˜o, esse e´ o ponto
me´dio em torno do qual o movimento acontece. Nesta posic¸a˜o, ha´ um equil´ıbrio entre
F e P , que significa que a forc¸a resultante tem que ser zero: FR = P + F = 0. Em (a)
teremos F > P , ou seja, a forc¸a ela´stica ganha da forc¸a peso: a forc¸a resultante FR aponta
para cima. Em (c) a situac¸a˜o e´ oposta: P > F , a forc¸a peso ganha da forc¸a ela´stica, e a
resultante aponta para baixo.
Figura 4.1 - Sistema massa-mola em movimento harmoˆnico simples. A figura mostra 3 fases do
movimento: em (a) e (c) sa˜o mostradas as ma´ximas elongac¸o˜es, e em (b) o ponto
de equil´ıbio.
28
O experimento:
O objetivo do experimento aqui proposto e´ verificar a relac¸a˜o entre o per´ıodo de
oscilac¸a˜o e a massa do corpo, obtendo uma relac¸a˜o simples entre estas duas grandezas.
Procedimento:
1) Monte o sistema com o material fornecido, colocando inicialmente uma ficha de 5
gramas no suporte para massas preso a` mola. Anote a massa na primeira coluna
de Tabela 4.1. Mec¸a com um cronoˆmetro o tempo para que se completem 10
oscilac¸o˜es. Divida esse tempo por 10 para obter o valor do per´ıodo, e escreva o
resultado na segunda coluna da tabela. Fac¸a o mesmo procedimento mais duas
vezes, anotando os valores obtidos nas colunas 3 e 4. Em resumo: voceˆ devera´
medir o per´ıodo do peˆndulo em 3 se´ries de 10 oscilac¸o˜es.
2) Adicione mais uma ficha de 5g ao suporte e repita o passo acima. Va´ aumentando
a massa de 5 em 5 gramas e repetindo o experimento, ate´ preencher as colunas
1–4 da tabela. Cuidado para na˜o colocar carga em excesso, isso pode danificar
a mola e invalidar o experimento.
3) Para cada valor de massa, calcule o per´ıodo me´dio T . Anote esses valores na
coluna 5 da Tabela 4.1.
4) Para cada valor de massa da tabela, calcule o desvio padra˜o dos per´ıodos medi-
dos: σT =
√
(T1−T )2+(T2−T )2+(T3−T )2
3−1 , e escreva-os na coluna 6.
5) Calcule os quadrados dos per´ıodos (T
2
, coluna 7 da Tabela 4.1) e fac¸a a propa-
gac¸a˜o de erros para obter σT 2 , anotando seu valor na coluna 8.
Massa Per´ıodo T (s) Me´dia Desvio padra˜o T
2
Erro em T
2
m (g) T1 T2 T3 T σT (s) (s
2) σT 2
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Tabela 4.1 - Tabela de dados para o Experimento 2.
29
6) Fac¸a um gra´fico em papel milimetrado colocando m no eixo x e T
2
no eixo y.
Marque os pontos obtidos no experimento.
7) Determine a equac¸a˜o da reta que melhor se ajusta ao conjunto de pontos do
gra´fico, atrave´s do me´todo dos mı´nimos quadrados (ver Cap´ıtulo 1, Sec¸a˜o 1.5).
DICA: Nos ca´lculos de a e b, cuidado ao arredondar os valores, especialmente
do coeficiente angular (a). Use pelo menos 3 casas decimais.
8) Desenhe no gra´fico a reta obtida no passo anterior. Use tinta azul.
9) Com base no experimento, o que podemos dizer sobre a relac¸a˜o entre a massa e
o per´ıodo do sistema massa-mola?
30
CAPI´TULO 5
Ondas
As ondas sa˜o uma parte comum e essencial do ambiente humano. Alguns exemplos fami-
liares incluem: pequenas ondulac¸o˜es nas a´guas de um lago; o solo que oscila durante um
terremoto; a corda de uma guitarra em vibrac¸a˜o; a luz e as cores do arco-iris.
Elas esta˜o por toda parte e podemos controla´-las para conduzir informac¸o˜es ou
transportar energia de um local para outro. Apesar da grande diversidade de tipos e de
fontes de ondas, uma teoria geral e elegante e´ capaz de descrever todas elas.
Imagine duas pessoas segurando as extremidades de uma corda. Se uma delas
fizer um movimento brusco, para cima e depois para baixo, causara´ uma perturbac¸a˜o na
corda, originando uma sinuosidade que se deslocara´ ao longo da corda (ver Figura 5.1.
Nesse exemplo a perturbac¸a˜o e´ chamada de pulso, o movimento do pulso chama-se onda,
a ma˜o da pessoa que gerou o pulso e´ a fonte e a corda e´ o meio em que a onda se propaga.
Figura 5.1 - Um pulso que se propaga ao longo de uma corda.
Se provocarmos va´rios pulsos sucessivos na corda, teremos va´rias ondas
propagando-se uma atra´s da outra, constituindo um trem de ondas (Figura 5.2).
Figura 5.2 - Um trem de ondas em uma corda.
Uma pedra atirada em um lago de a´guas tranquilas (Figura 5.3) originara´ uma
onda que se propagara´ pela superf´ıcie do lago na forma de c´ırculos conceˆntricos que se
afastam do ponto de impacto.
31
Denomina-se onda ao movimento causado por uma perturbac¸a˜o que se propaga
atrave´s de um meio.
Figura 5.3 - Onda que se propaga na superf´ıcie de um lago.
Colocando-se um pedac¸o de cortic¸a na a´gua, pro´ximo ao local do lanc¸amento da
pedra, verifica-se que a onda, ao atingir a cortic¸a, faz com que ela apenas oscile, subindo
e descendo, sem variar a direc¸a˜o. Como a rolha na˜o e´ arrastada pela onda, conclu´ımos
que a onda na˜o transporta mate´ria. Pore´m, como ela se movimenta, implica que recebeu
energia da onda.
Figura 5.4 - Onda que se propaga na superf´ıcie de um lago.
Uma onda transmite energia ao se propagar, mas sem transportar mate´ria.
5.1 Classificac¸a˜o das ondas
As ondas podem ser classificadas de treˆs maneiras: quanto a` sua natureza, quanto
a` direc¸a˜o de propagac¸a˜o e quanto a` direc¸a˜o de vibrac¸a˜o.
32
5.1.1 Quanto a` natureza
1) Ondas mecaˆnicas: sa˜o aquelas que necessitam de um meio material para se pro-
pagarem. Exemplos: ondas em cordas e ondas sonoras. As ondas mecaˆnicas na˜o
se propagam no va´cuo.
2) Ondas eletromagne´ticas: sa˜o geradas por cargas ele´tricas oscilantes e na˜o neces-
sitam de um meio f´ısico para se propagarem, podendo se propagar no va´cuo.
Exemplos: luz, ondas de ra´dio, microondas.
5.1.2 Quanto a` direc¸a˜o de propagac¸a˜o
1) Unidimensionais: sa˜o aquelas que se propagam numa so´ direc¸a˜o. Exemplo: ondas
em cordas.
2) Bidimensionais: sa˜o aquelas que se propagam em um plano. Exemplos: ondas na
superf´ıcie de um lago, ondas no couro de um tambor.
3) Tridimensionais: sa˜o aquelas que se propagam em todas as direc¸o˜es. Exemplos:
ondas sonoras no ar.
5.1.3 Quanto a` direc¸a˜o de vibrac¸a˜o
1) Transversais: sa˜o aquelas cujas vibrac¸o˜es sa˜o perpendiculares a` direc¸a˜o de pro-
pagac¸a˜o. Exemplo: ondas em cordas (Figura 5.5).
Figura 5.5 - Onda transversal em uma corda.
2) Longitudinais: sa˜o aquelas cuja direc¸a˜o das vibrac¸o˜es coincide com a direc¸a˜o
de propagac¸a˜o. Exemplos: ondas sonoras, ondas longitudinais em molas (Fi-
gura 5.6).
Observe que as ondas em uma mola helicoidal podem ser transversais ou longi-
tudinais, dependendo da perturbac¸a˜o inicial provocada na mola.
33
Figura 5.6 - Onda longitudinal em uma mola.
Figura 5.7 - Duas formas de propagac¸a˜o de ondas em molas. Acima: onda transversal. Abaixo:
ondalongitudinal.
5.2 Velocidade de propagac¸a˜o de uma onda unidimensional
Seja uma onda transversal numa corda de massa m e comprimento l, sob a ac¸a˜o
de uma forc¸a de trac¸a˜o Tc, como mostrado na Figura 5.8.
Figura 5.8 - Corda de comprimento l, esticada sob trac¸a˜o Tc. Sobre ela viaja um pulso com
velocidade v.
A velocidade de propagac¸a˜o de uma onda em um meio unidimensional, por exem-
plo, uma corda, depende da forc¸a de trac¸a˜o Tc a` qual esta´ submetido o meio unidimensional
e da sua densidade µ:
v =
√
Tc
µ
(5.1)
onde Tc e´ a forc¸a de trac¸a˜o na corda e µ =
m
l
e´ a densidade linear da corda.
34
Observe que:
• Quanto maior a trac¸a˜o na corda Tc, maior sera´ a velocidade v.
• Quanto maior a densidade linear µ, menor sera´ a velocidade v.
5.3 Reflexa˜o de um pulso em uma corda
Quando um pulso, propagando-se numa corda, atinge sua extremidade, ele retorna
para o meio em que estava se propagando. A reflexa˜o pode ocorrer de duas formas (ver
Figura 5.9):
• Se a extremidade da corda e´ fixa, o pulso se inverte: sofre reflexa˜o com inversa˜o
de fase.
• Se a extremidade da corda e´ livre, o pulso refletido na˜o se inverte: a reflexa˜o
ocorre sem inversa˜o de fase.
Figura 5.9 - A` esquerda: Reflexa˜o de um pulso em uma corda cuja extremidade e´ fixa em uma
parede. A reflexa˜o se da´ com inversa˜o de fase. A` direita: Reflexa˜o de um pulso em
uma corda cuja extremidade e´ livre para realizar movimentos verticais, pois e´ presa
em uma argola. A reflexa˜o se da´ sem inversa˜o de fase.
5.4 Refrac¸a˜o de um pulso em uma corda
Quando uma onda que se propaga em um meio encontra um meio diferente, ela
sofre um fenoˆmeno chamado de refrac¸a˜o. Considere um sistema formado por duas cordas
35
de densidades diferentes, como na Figura 5.10.
Com o sistema montado, produz-se um pulso na extremidade da corda de menor
densidade linear em direc¸a˜o a` corda de maior densidade (Figura 5.10 a` esquerda). O que
ocorre e´ que para a corda de menor densidade, a corda de maior densidade funcionara´
como uma extremidade fixa, no entanto esta sofrera´ uma refrac¸a˜o de pulso onde parte do
pulso da corda de menor densidade passa para a corda de maior densidade. Assim o pulso
refratado sai na mesma fase em que foi recebido, ou seja, se o pulso estiver para cima, o
pulso refratado tambe´m estara´ para cima e vice-versa, com isso o pulso refletido sofrera´
uma inversa˜o de fase e o pulso refratado na˜o sofrera´.
Figura 5.10 - Refrac¸a˜o de um pulso que cruza a interface entre duas cordas de densidades dife-
rentes. A` esquerda: o pulso viaja da corda menos densa para a de maior densidade.
A` direita: o pulso vai da corda mais densa para menos densa.
Se invertermos o sistema e gerarmos um pulso na corda de maior densidade (Fi-
gura 5.10 a` direita), a corda de menor densidade funcionara´ como uma extremidade livre:
assim que o pulso ating´ı-la, sera´ refratado e, como ja´ havia sido dito, o pulso refratado
na˜o sofre inversa˜o de fase. O pulso refletido tambe´m na˜o sofrera´ uma inversa˜o de fase,
devido a` corda de menor densidade funcionar como uma extremidade livre.
5.5 Ondas perio´dicas
Considere uma pessoa executando um movimento vertical cont´ınuo de sobe-e-
desce na extremidade livre da corda indicada na Figura 5.11, em intervalos de tempo
iguais.
Esses impulsos causara˜o pulsos que se propagara˜o ao longo da corda em espac¸os
iguais, pois os impulsos sa˜o perio´dicos. A parte elevada denomina-se crista da onda e
a cavidade entre duas cristas chama-se vale. Denomina-se per´ıodo T o tempo necessa´rio
para que duas cristas consecutivas passem pelo mesmo ponto. Chama-se frequ¨eˆncia f o
nu´mero de cristas consecutivas que passam por um mesmo ponto, em cada unidade de
tempo.
36
Figura 5.11 - Onda perio´dica propagando-se em uma corda.
Entre T e f vale a relac¸a˜o:
f =
1
T
A distaˆncia entre duas cristas ou dois vales consecutivos e´ denominada compri-
mento de onda, representado pela letra grega λ (lambda). A e´ a amplitude da onda.
Como um pulso se propaga com velocidade constante, vale a expressa˜o v =
x
t
.
Fazendo x = λ e t = T , temos:
v =
x
t
→ v = λ
T
→ v = λ.f
Essa igualdade e´ va´lida para todas as ondas perio´dicas, como o som, as ondas na
a´gua e a luz.
Unidades: no Sistema Internacional (SI) temos que:
• λ e´ dado em metros (m)
• T em segundos (s)
• f em Hertz (Hz)
5.6 Func¸a˜o de onda
Considere uma onda se propagando em uma corda com velocidade v, como mos-
trado na Figura 5.12
Cada ponto da corda, ao ser atingido pela onda, executa um movimento harmoˆ-
nico simples. Para o ponto P vale a func¸a˜o do MHS:
y = A.cos(wt)
onde y e´ a elongac¸a˜o (deslocamento do ponto P em relac¸a˜o a` posic¸a˜o de equil´ıbrio) e A e´
a amplitude do movimento (elongac¸a˜o ma´xima).
37
Figura 5.12 - Onda em uma corda.
Em um outro ponto P ′ a elongac¸a˜o pode ser calculada por:
y = A.cos[w(t− t′)]
Mas:
x = vt′ → t′ = x
v
, w =
2pi
T
e λ = vT
Assim:
y = A.cos[
2pi
T
(t− x
v
)]→ y = A.cos[2pi( t
T
− x
vT
)]
E finalmente:
y = A.cos[2pi(
t
T
− x
λ
)]
Observac¸a˜o:
A func¸a˜o de onda permite o ca´lculo da elongac¸a˜o y de um ponto qualquer do meio de
propagac¸a˜o, conhecendo-se o instante t e a posic¸a˜o x de um ponto em relac¸a˜o a um
referencial. O aˆngulo 2pi(
t
T
− x
λ
) e´ chamado de fase da onda, e o valor (
t
T
− x
λ
) e´ um
nu´mero que representa a quantidade de oscilac¸o˜es realizadas por um ponto qualquer depois
de decorrido um tempo t.
5.7 Fase
Dois pontos do meio onde uma onda se propaga, esta˜o em fase quando a distaˆncia
entre eles e´ um mu´ltiplo do comprimento de onda. A fase pode ser quantificada como foi
explicado no final da Sec¸a˜o 5.6. Para esses pontos, a diferenc¸a de fase e´ um mu´ltiplo de
2pi. Na Figura 5.13 os pontos:
• A e B esta˜o em fase, a distaˆncia entre eles e´ λ e sua diferenc¸a de fase e´ 2pi.
• C e D esta˜o em fase, a distaˆncia entre eles e´ 2λ e sua diferenc¸a de fase e´ 4pi.
38
Figura 5.13 - Ana´lise de fase de certos pontos em uma onda.
• E e F esta˜o em fase, a distaˆncia entre eles e´ 3λ e sua diferenc¸a de fase e´ 6pi.
Dizemos que dois pontos esta˜o em oposic¸a˜o de fase, quando as suas posic¸o˜es sa˜o
sime´tricas e os sentidos dos respectivos movimentos sa˜o opostos. Novamente na Figura 5.13
os pontos:
• A e E esta˜o em oposic¸a˜o de fase.
• D e G esta˜o em oposic¸a˜o de fase.
• A e F esta˜o em oposic¸a˜o de fase.
• E e B esta˜o em oposic¸a˜o de fase.
5.8 Frentes de onda
Suponha que voceˆ tirasse uma foto das ondas circulares que se propagam em uma
piscina. Se voceˆ marcasse na foto as cristas das ondas, voceˆ teria c´ırculos conceˆntricos. As
linhas que localizam as cristas sa˜o chamadas de frentes de onda, e esta˜o espac¸adas entre
si precisamente em um comprimento de onda. A trajeto´ria dos pontos da frente de onda
chama-se raio de onda. O raio de onda fornece a direc¸a˜o de propagac¸a˜o de uma onda.
Veja alguns exemplos nas figuras Figura 5.14, Figura 5.15 e Figura 5.16:
5.9 Princ´ıpo de Huygens
Christian Huygens (1629-1695), no final do se´culo XVII, propoˆs um me´todo de
representac¸a˜o de frentes de onda, onde cada ponto de uma frente de onda se comporta
como uma nova fonte de ondas elementares, que se propagam para ale´m da regia˜o ja´
atingida pela onda original e com a mesma frequ¨eˆncia que ela. Esta ide´ia e´ conhecida
como Princ´ıpio de Huygens. Veja Figura 5.17.
Para um dado instante, cada ponto da frente de onda comporta-se como fonte
das ondas elementares de Huygens.
39
Figura 5.14 - A` esquerda: A onda circular criada por gotejamento de a´gua em uma piscina. A`
direita: Onda tridimensional esfe´ricaque pode representar, por exemplo, as ondas
provocadas por uma fonte sonora, ou a luz de uma laˆmpada.
Figura 5.15 - A` esquerda: Ondas retas provocadas pelo batimento de uma re´gua na superf´ıcie de
um aqua´rio. A` direita: Onda tridimensional plana provocada por uma membrana
vibrante.
Figura 5.16 - Ondas unidimensionais em uma corda.
A partir deste princ´ıpio, e´ poss´ıvel concluir que, em um meio homogeˆneo e com as
mesmas caracter´ısticas f´ısicas em toda sua extensa˜o, a frente de onda se desloca mantendo
sua forma, desde que na˜o haja obsta´culos (Figura 5.18).
40
Figura 5.17 - Ilustrac¸a˜o do Princ´ıpio de Huygens.
Figura 5.18 - Princ´ıpio de Huygens para ondas circulares e para ondas retas.
5.10 Leis da reflexa˜o
Quando ondas esfe´ricas provenientes de uma fonte A encontram um obsta´culo
plano, produz-se reflexa˜o de ondas porque cada ponto do obsta´culo torna-se fonte de uma
onda secunda´ria. As ondas refletidas se comportam como se emanassem de uma fonte A’,
sime´trica de A em relac¸a˜o ao obsta´culo refletor, como esquematizado na Figura 5.19.
Figura 5.19 - Reflexa˜o de onda esfe´rica em um obsta´culo plano.
41
Figura 5.20 - Reflexa˜o de onda plana em um obsta´culo plano.
A Figura 5.20 representa a reflexa˜o de ondas planas por um obsta´culo plano, a
partir da qual podemos definir que:.
AI = raio de onda incidente
IB = raio de onda refletido
NI = normal ao ponto de incideˆncia
i = aˆngulo de incideˆncia
r = aˆngulo de reflexa˜o
As leis da Reflexa˜o sa˜o:
• 1a. lei: o raio incidente, o raio refletido e a normal sa˜o coplanares.
• 2a. lei: o aˆngulo de incideˆncia i e´ igual ao aˆngulo de reflexa˜o r.
Propriedades
• 1a. propriedade: na reflexa˜o, a frequeˆncia, a velocidade e o comprimento de onda
na˜o variam.
• 2a. propriedade: na reflexa˜o, a fase pode variar ou na˜o.
5.11 Leis da refrac¸a˜o
Considere, por exemplo, um tanque contendo a´gua com duas regio˜es de propaga-
c¸a˜o distintas, uma mais rasa, ¬, e outra mais profunda, ­, como mostrado na Figura 5.21.
Suponha que uma onda reta esteja se propagando no meio ¬ e incidindo na superf´ıcie de
separac¸a˜o entre os meios ¬ e ­. Seja AI o raio incidente da onda que se propaga no meio
¬ com velocidade v1. Incidindo na superf´ıcie de separac¸a˜o, ela sofre refrac¸a˜o e passa a se
propagar no meio ­ com velocidade v2.
42
Veja que na regia˜o ­ (mais profunda) a velocidade de propagac¸a˜o e´ maior que
na regia˜o ¬ (mais rasa), ou seja, v2 > v1.
Figura 5.21 - Tanque de a´gua com 2 profundidades diferentes: na parte ¬ e´ mais raso, na parte
­ e´ mais profundo.
Sendo:
S = superf´ıcie de separac¸a˜o
AI = raio de onda incidente
IB = raio de onda refratado
NI = normal
i = aˆngulo de incideˆncia
r = aˆngulo de refrac¸a˜o
As leis da Refrac¸a˜o sa˜o:
• 1a. lei: os raios de onda incidente e refratado e a normal sa˜o coplanares.
• 2a. lei: lei de Snell–Descartes:
sen(i)
sen(r)
=
n2
n1
=
λ1
λ2
=
v1
v2
Onde n1 e n2 sa˜o os ı´ndices de refrac¸a˜o dos meios ¬ e ­. Define-se o ı´ndice de
refrac¸a˜o de um meio como n =
c
v
, onde c e´ a velocidade da luz no va´cuo e v e´ a
velocidade da luz no meio em questa˜o.
Aplicando a lei de Snell, temos:
Se n2 > n1 =⇒ λ2 < λ1 =⇒ v2 < v1 =⇒ r < i
Se n2 < n1 =⇒ λ2 > λ1 =⇒ v2 > v1 =⇒ r > i
Propriedades
43
• 1a. propriedade: na refrac¸a˜o, a frequ¨eˆncia e a fase na˜o variam.
• 2a. propriedade: na refrac¸a˜o, a velocidade de propagac¸a˜o e o comprimento de
onda variam na mesma proporc¸a˜o.
5.12 Princ´ıpio da Superposic¸a˜o
Quando duas ou mais ondas se propagam, simultaneamente, num mesmo meio,
diz-se que ha´ uma superposic¸a˜o de ondas. Considere, por exemplo, dois pulsos propagando-
se em uma corda, conforme indica a Figura 5.22: um se propaga da esquerda para a direita
e o outro que vai da direita para a esquerda.
Figura 5.22 - Sobreposic¸a˜o de pulsos em uma corda: interfereˆncia construtiva el P.
Supondo que ambos pulsos atinjam o ponto P no mesmo instante: eles causara˜o
nesse ponto uma perturbac¸a˜o que e´ igual a` soma das perturbac¸o˜es que cada pulso causaria
se o tivesse atingido individualmente, ou seja, a onda resultante e´ igual a` soma alge´brica
das ondas que cada pulso produziria individualmente no ponto P, no instante considerado.
Na Figura 5.22 e´ mostrado o caso da interfereˆncia construtiva. Apo´s a sobreposic¸a˜o, as
ondas continuam a se propagar com as mesmas caracter´ısticas que tinham antes.
• Quando ocorre o encontro de duas cristas, ambas levantam o meio naquele ponto;
por isso ele sobe muito mais.
• Quando dois vales se encontram eles tendem a baixar o meio naquele ponto.
• Quando ocorre o encontro entre um vale e uma crista, um deles quer puxar o
ponto para baixo e o outro quer puxa´-lo para cima. Se a amplitude das duas
ondas for a mesma, na˜o ocorrera´ deslocamento, pois eles se cancelam (amplitude
zero) e o meio na˜o sobe e nem desce naquele ponto.
44
Figura 5.23 - Sobreposic¸a˜o de pulsos invertidos em uma corda.
Figura 5.24 - Sobreposic¸a˜o de ondas. A` esquerda: Duas ondas em fase se somam: interfereˆncia
construtiva. A` direita: Duas ondas com fases invertidas (diferenc¸a de fase igual
a pi ou 180◦), se anulam: interfereˆncia destrutiva.
No caso de dois pulsos com deslocamentos invertidos (um para cima e um para
baixo), os efeitos sa˜o subtra´ıdos (soma alge´brica), podendo anularem-se. Chama-se esse
fenoˆmeno de interfereˆncia destrutiva (ver Figura 5.23).
O efeito de superposic¸a˜o de duas ou mais ondas e´ denominado interfereˆncia (ver
Figura 5.24)
5.13 Ondas estaciona´rias
Sa˜o ondas resultantes da sobreposic¸a˜o de duas ondas de mesma frequ¨eˆncia, mesma
amplitude, mesmo comprimento de onda, mesma direc¸a˜o e sentidos opostos. E´ um caso
especial de sobreposic¸a˜o de ondas.
Pode-se obter uma onda estaciona´ria em uma corda fixa numa das extremidades.
Com uma fonte, faz-se a outra extremidade vibrar com movimentos verticais perio´dicos,
produzindo-se perturbac¸o˜es regulares que se propagam pela corda.
Ao atingirem a extremidade fixa, as ondas se refletem, retornando com sentido de
45
Figura 5.25 - Ondas estaciona´rias.
deslocamento contra´rio ao anterior. Dessa forma, as perturbac¸o˜es se sobrepo˜em a`s outras
que esta˜o chegando a` parede, originando o fenoˆmeno das ondas estaciona´rias.
Uma onda estaciona´ria se caracteriza pela amplitude varia´vel de ponto para ponto,
isto e´, ha´ pontos da corda que na˜o se movimentam (amplitude nula), chamados no´s (ou
nodos), e pontos que vibram com amplitude ma´xima, chamados ventres. Na Figura 5.25:
N sa˜o os no´s ou nodos e V sa˜o os ventres.
E´ evidente que, entre os nodos, os pontos da corda vibram com a mesma frequ¨eˆn-
cia, mas com amplitudes diferentes.
Observac¸o˜es importantes:
• Como os nodos esta˜o em repouso, na˜o pode haver passagem de energia por eles,
na˜o havendo, enta˜o, em uma corda estaciona´ria o transporte de energia.
• A distaˆncia entre dois nodos consecutivos vale λ
2
.
• A distaˆncia entre dois ventres consecutivos vale λ
2
.
• A distaˆncia entre um nodo e um ventre consecutivo vale λ
4
.
5.13.1 Ondas estaciona´rias em uma corda com extremidades fixas
Para cada corda, existem frequeˆncias em que a sobreposic¸a˜o de ondas conduz
a uma configurac¸a˜o de vibrac¸a˜o estaciona´ria. Se fixarmos as duas extremidades de uma
corda, e a excitarmos, num determinado ponto, com um movimento harmo´nico simples
de pequena amplitude e transversal a` corda, verificamos que a onda gerada percorre o
comprimento da corda ate´ atingir uma das suas extremidades fixas. A onda e´ refletida e
retorna novamente a` outra extremidade onde e´ novamente reflectida, e assim sucessiva-
46
mente. Dessa forma, as perturbac¸o˜es sobrepo˜em-se,originando ondas estaciona´rias (ver
Figura 5.26).
Figura 5.26 - Ondas estaciona´rias numa corda fixa nas duas extremidades. Sa˜o mostrados treˆs
casos: m=1, m=2 e m=3
Podemos caracterizar a onda estaciona´ria pelo nu´mero de ventres que aparecem.
Quando m = 1 teremos apenas um ventre, o comprimento de onda sera´ 2l e dizemos que
esse e´ o 1o harmoˆnico. Quando m = 2 ha´ dois ventres, o comprimento de onda sera´ l e
dizemos que esse e´ o 2o harmoˆnico. E assim por diante.
Os comprimentos de onda para os quais se observam ondas estaciona´rias sera˜o
dado por:
λm =
2l
m
(m = 1, 2, 3, . . . )
onde m e´ o nu´mero de ventres e l e´ o comprimento da corda.
As frequeˆncias para as quais se observam ondas estaciona´rias sa˜o chamadas de
frequeˆncias de ressonaˆncia. As frequeˆncias de ressonaˆncia numa corda sa˜o dadas por:
fm =
v
λm
=⇒ fm = v.m
2l
=⇒ fm = m
2l
√
Tc
µ
(m = 1, 2, 3, . . . )
onde m e´ o nu´mero de ventres; Tc e´ a tensa˜o na corda; l e´ o comprimento da
corda; µ e´ a densidade linear (massa por unidade de comprimento) da corda.
47
5.13.2 Ondas estaciona´rias em tubos abertos ou fechados
Colunas de ar que emitem som sa˜o abertas em uma ou nas duas extremidades.
Muitos instrumentos musicais sa˜o feitos desta forma (flautas e instrumentos de sopro em
geral, o´rga˜os, etc). O ar contido no tubo entra em vibrac¸a˜o emitindo um som.
Quando uma onda sonora se propaga em um tubo e atinge uma extremidade
aberta, parte da energia e´ transmitida para fora do tubo na forma de um som, e parte da
onda e´ refletida de volta para o tubo. Essa onda refletida internamente e´ responsa´vel pelo
estabelecimento da onda estaciona´ria dentro do tubo.
Tubos com ambas extremidades abertas:
Se o tubo e´ aberto em ambos os lados, o ar vibra com sua ma´xima amplitude
nos extremos. Nos extremos, portanto, se estabelecem anti-nodos ou ventres de ondas
estaciona´rias. Na Figura 5.27, sa˜o representados os treˆs primeiros modos de vibrac¸a˜o.
Figura 5.27 - Ondas estaciona´rias em um tubo com extremidades abertas. Sa˜o mostrados treˆs
casos: m=1, m=2 e m=3
Como a distaˆncia entre dois nodos ou entre dois ventres e´ de meio comprimento
de onda, se o comprimento do tubo e´ l, temos que:
λ = 2l1 , λ = l2 , λ =
2 l3
3
, ...
Em geral λm =
2 lm
m
, (m = 1, 2, 3...)
Considerando que λ = vs/f (velocidade do som dividido pela frequ¨eˆncia), as
frequ¨eˆncias dos distintos modos de vibrac¸a˜o (m=1, m=2, m=3, ...) sa˜o dadas pela fo´rmula:
48
fm =
m
2
vs
lm
(m = 1, 2, 3, ...)
Tubos com uma extremidade aberta e outra fechada:
Se o tubo tem uma extremidade aberta e outra fechada, teremos a seguinte si-
tuac¸a˜o: na extremidade aberta, por onde entra o ar, e´ originado um ventre; no extremo
fechado se forma um nodo. Como a distaˆncia entre um ventre e um nodo consecutivo e´
λ/4, O comprimento l do tubo representado na Figura 5.28 sera´:
λ = 4 l0 , λ =
4 l1
3
, λ =
4 l2
5
...
Em geral λ =
4 lm
(2m+ 1)
(m = 0, 1, 2, 3, ...)
Nesse caso, as frequ¨eˆncias dos distintos modos de vibrac¸a˜o sa˜o dadas pela equac¸a˜o:
fm =
2m+ 1
4
vs
lm
(m = 0, 1, 2, 3, ...)
Figura 5.28 - Ondas estaciona´rias em um tubo com uma extremidade fechada. Sa˜o mostrados
treˆs casos: m=0, m=1 e m=2
5.14 Problemas
1) Uma corda de comprimento 3 m e massa 60 g e´ mantida tensa sob ac¸a˜o de uma
forc¸a de intensidade 800 N. Determine a velocidade de propagac¸a˜o de um pulso
nessa corda.
Soluc¸a˜o:
Dados: m = 60g; l = 3m; Tc = 800N
49
Sabemos que µ = m
l
= 0,06
3
= 0.02kg/m
v =
√
Tc
µ
=
√
800
0.02
→ v = 200m/s
Resposta: v = 200m/s
2) Determine a velocidade de propagac¸a˜o de uma onda transversal numa corda de
1 metro de comprimento e 0,1kg de massa sob trac¸a˜o de 200N
3) Um fio de ac¸o de comprimento l e massa 40g e´ esticado com trac¸a˜o de 400N.
Sabendo que a velocidade de propagac¸a˜o de uma onda transversal nesse fio e´ de
50
√
2m/s, determine l.
4) Uma corda de massa 240g e de comprimento 1,2m vibra com frequ¨eˆncia de
150Hz, conforme indica a Figura 5.29.
Figura 5.29 - Onda em uma corda.
a) Qual a velocidade de propagac¸a˜o da onda na corda?
b) Qual a intensidade da forc¸a tensora na corda?
Soluc¸a˜o:
(a) Vemos na Figura 5.29 que entre as duas extremidades da corda ha´ um e meio
comprimentos de onda: 3
λ
2
= 1, 2m → λ = 0, 8m
v = λ.f → v = 0, 8× 150 → v = 120m/s
(b) v =
√
Tc
µ
→ v =
√
Tc
m/l
→ 120 =
√
Tc
0, 240/1, 2
→ Tc = 2880N
5) Determine o comprimento de onda de um som de 400Hz que se propaga com
velocidade de 340m/s.
6) Considere a onda representada na Figura 5.30 abaixo. Sendo o per´ıodo dessa
onda igual a 6s, determine:
a) a sua frequeˆncia; b) a sua velocidade.
7) Determine o comprimento de onda sonora de 200Hz que se propaga na a´gua com
velocidade de 1450m/s.
50
Figura 5.30 -
8) Calcule o per´ıodo de oscilac¸a˜o de uma part´ıcula de ar, sabendo que o compri-
mento de onda correspendente e´ de 2 metros e a velocidade de propagac¸a˜o do
movimento vibrato´rio e´ de 340m/s
9) Uma radiac¸a˜o de frequeˆncia 8 × 108Hz se propaga no va´cuo. Determine o seu
comprimento de onda.
10) Um conjunto de ondas perio´dicas transversais, de frequeˆncia 20Hz, propaga-se
em uma corda. A distaˆncia entre uma crista e um vale adjacente e´ de 2 metros.
Determine:
a) O comprimento de onda;
b) a velocidade da onda.
11) Uma estac¸a˜o de ra´dio emite ondas de frequeˆncia 3MHZ. Se a velocidade de
propagac¸a˜o dessas ondas e´ de 300.000km/s, determine o seu comprimento de
onda.
12) A func¸a˜o de uma onda transversal e´ y = 5.cos[2pi(
t
0, 1
− x
20
)]. Todas as unidades
sa˜o as do S.I. Determine:
a) a amplitude;
b) o per´ıodo;
c) a velocidade de propagac¸a˜o;
13) Ondas senoidais, observadas em um certo referencial de coordenadas cartesianas,
propagam-se ao longo de uma corda obedecendo a func¸a˜o: y = 4[cos(2x − 4t)].
Determine:
a) a frequeˆncia e o comprimento de onda;
b) a velocidade de propagac¸a˜o.
14) Um trem de ondas senoidais de frequeˆncia 440Hz propaga-se ao longo de uma
corda tensa. Verifica-se que a menor distaˆncia que separa dois pontos que esta˜o
em oposic¸a˜o de fase e´ 40cm. Determine a velocidade de propagac¸a˜o das ondas
nessa corda.
51
15) Ondas circulares propagam-se na superf´ıcie da a´gua em um grande tanque. Elas
sa˜o produzidas por uma haste, cuja extremidade P, sempre encostada na a´gua,
executa movimento harmoˆnico simples vertical com frequeˆncia f = 0, 5Hz.
a) Quanto tempo gasta a extremidade P para uma oscilac¸a˜o completa?
b) Se as cristas de duas ondas adjacentes distam entre si 2cm, qual a velo-
cidade de propagac¸a˜o dessas ondas?
16) Um pulso reto P propaga-se na superf´ıcie da a´gua em direc¸a˜o a um obsta´culo
M r´ıgido, onde se reflete. O pulso e o obsta´culo esta˜o representados na figura. A
seta indica o sentido de propagac¸a˜o de P.
Assinale a alternativa contendo a figura que melhor representa P depois de sua
reflexa˜o em M.
(a) (b) (c) (d)
17) Uma fonte sonora em repouso no ponto A da figura emite, num ga´s, ondas
esfe´ricas de frequ¨eˆncia 50Hz e comprimento de onda 6,0m, que se refletem em
uma parede r´ıgida. Considere o ponto B da figura e as ondas que se propagam
entre A e B diretamente (sem reflexa˜o) e refletindo-se na parede.
Pede-se:
a) a velocidade de propagac¸a˜o dessas ondas;
b) a diferenc¸a entre os tempos de propagac¸a˜o das duas ondas entre A e B;
c) esboce as ondas refletidas.
52
18) As frentes de ondas sucessivas emitidas por uma fonte F, possuem velocidade de
10m/s, incidem no anteparo A da figura, onde esta´ representado o raio de onda
incidente, e sa˜o refletidas.
a) Determineo comprimento de onda das ondas refletidas.
b) Qual e´ a frequ¨eˆncia das ondas refletidas?
c) Represente numa figura, o raio de onda refletido, os aˆngulos de incideˆncia
e de reflexa˜o e as frentes de ondas refletidas.
19) Uma onda estaciona´ria de frequ¨eˆncia 8 Hz se estabelece numa linha fixada entre
dois pontos distantes 60 cm. Incluindo os extremos, contam-se 7 nodos. Calcule
a velocidade da onda progressiva que deu origem a` onda estaciona´ria.
Soluc¸a˜o:
A partir do enunciado podemos fazer o desenho a seguir:
De onde poderemos facilmente concluir que:
53
6.
λ
2
= AB → 6.λ
2
= 60cm → λ = 20cm
Logo:
v = λ.f → v = 20× 8 → v = 160cm/s
Resposta: v = 1, 6m/s
20) A figura mostra uma onda transversal perio´dica, que se propaga com velocidade
V1 = 12m/s, numa corda AB de comprimento 1,5m, cuja densidade linear e´ µ1.
Essa corda esta´ ligada a uma outra, BC, cuja densidade linear e´ µ2, sendo a
velocidade de propagac¸a˜o da onda V2 = 8m/s.
Calcule:
a) O comprimento da onda quando se propaga na corda BC.
b) A frequ¨eˆncia da onda.
21) A figura representa uma onda perio´dica I que atinge a superf´ıcie de separac¸a˜o S
entre dois meios. Representa tambe´m outros dois trens de ondas, X e Y, a serem
identificados, e a linha pontilhada representa a normal a` superf´ıcie de separac¸a˜o
S.
Os dois trens de ondas X e Y correspondem, respectivamente, a ondas:
(a) refletida e refratada
(b) refletida e difratada
(c) refratada e refletida
(d) difratada e refratada
(e) refletida e polarizada
54
22) Um feixe estreito de luz monocroma´tica, propagando-se inicialmente no ar, pe-
netra em um meio transparente, formando aˆngulos de 60◦ e 30◦ com a normal,
como ilustrado na figura a seguir.
Calcule o comprimento de onda da luz no novo meio.
Dados:
I´ndice de refrac¸a˜o do ar = 1,00
Velocidade da luz no va´cuo e no ar = 3× 108m/s
Comprimento de onda da luz no ar = 633 nm
Refereˆncias deste cap´ıtulo: Knight (2009), Halliday et al. (2003), Bonjorno et al.
(1985).
http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/ondas.htm
http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/
55
CAPI´TULO 6
Experimento 3: Ondas estaciona´rias em cordas vibrantes
Vimos na Subsec¸a˜o 5.13.2 que podemos produzir ondas estaciona´rias em cordas vibrantes.
Voceˆ devera´ reler essa Sec¸a˜o, onde sa˜o feitas as considerac¸o˜es teo´ricas que servira˜o de base
para este experimento.
Neste experimento produziremos ondas progressivas em um fio, usando um diapa-
sa˜o ele´trico preso a uma das suas extremidades. O diapasa˜o, vibrando em uma frequeˆncia
f , troca energia com o fio e provoca oscilac¸o˜es forc¸adas. A situac¸a˜o mais favora´vel para
troca de energia entre dois sistemas vibrantes que interagem, ocorre quando o sistema ex-
citado (neste caso, o fio) vibra com a mesma frequeˆncia do sistema excitador (o diapasa˜o).
Esta situac¸a˜o e´ conhecida como ressonaˆncia entre os dois sistemas.
Quando se estabelece uma onda estaciona´ria, ocorre ressonaˆncia entre o fio traci-
onado e o diapasa˜o. Nessa situac¸a˜o ocorre a sobreposic¸a˜o das ondas incidentes e refletidas
que teˆm a mesma frequeˆncia f do diapasa˜o.
Na Subsec¸a˜o 5.13.1 vimos que uma corda de comprimento l, presa em suas extre-
midades, apresenta modos estaciona´rios de vibrac¸a˜o para um conjunto bem definido de
frequ¨eˆncias que podem ser calculadas por:
fm =
m
2l
√
Tc
µ
(m = 1, 2, 3, . . . )
onde m e´ o nu´mero de ventres; Tc e´ a tensa˜o no fio; l e´ o comprimento do fio; µ e´ a sua
densidade linear (massa por unidade de comprimento).
Usaremos um diapasa˜o que vibra em uma frequeˆncia fixa, a qual queremos de-
terminar. Como esta frequ¨eˆncia e´ fixa vamos ajustar o comprimento l e a tensa˜o TC para
que uma de suas frequ¨eˆncias de ressonaˆncia coincida com a frequ¨eˆncia do diapasa˜o.
No presente experimento, fixaremos inicialmente o comprimento l do fio e faremos
variar a tensa˜o TC para calcularmos a frequeˆncia de vibrac¸a˜o do diapasa˜o.
Objetivo do experimento:
Determinar a frequeˆncia de oscilac¸a˜o do diapasa˜o.
Procedimento:
1) Determinar a densidade linear µ do fio. Para isso, utilize uma amostra ideˆntica
a` do fio a ser usado no experimento e mec¸a o seu comprimento e a sua massa
56
usando uma balanc¸a de precisa˜o. Anote o valor na Tabela 6.1
2) O aparato experimental devera´ estar montado como na Figura 6.1.
Figura 6.1 - Montagem experimental.
3) Ligue o diapasa˜o ele´trico, fazendo-o vibrar. Va´ modificando a massa suspensa ate´
conseguir uma configurac¸a˜o de onda estaciona´ria. Quando isso ocorrer calcule a
forc¸a peso que essa massa exerce na forma de trac¸a˜o no fio (Tc = P = m.g) e
anote na tabela.
4) Conte o nu´mero m de meios comprimentos de onda e anote na tabela.
5) Mec¸a o comprimento l do fio entre as suas extremidades fixas.
6) Calcule a frequeˆncia do diapasa˜o.
7) Repita todo o procedimento para mais dois valores de m. Para isto voceˆ devera´
modificar a massa e provavelmente o comprimento do fio.
Densidade Massa Nu´mero de Forc¸a de Velocidade Comprimento Frequeˆncia
linear meias ondas trac¸a˜o da onda do fio do diapasa˜o
µ m n Tc v l f
(kg/m) (kg) (N) (m/s) (m) (Hz)
1
2
3
Tabela 6.1 - Tabela de dados para o Experimento 3.
57
CAPI´TULO 7
Experimento 4: Tubos sonoros
Na Subsec¸a˜o 5.13.2 vimos que se pode produzir ondas sonoras estaciona´rias em tubos.
Voceˆ devera´ reler essa Sec¸a˜o, onde sa˜o feitas as considerac¸o˜es teo´ricas que servira˜o de
base para este experimento.
No presente experimento produziremos ondas sonoras estaciona´rias em um tubo
de vidro cil´ındrico, aberto em uma das suas extremidades e fechado na outra. O tubo faz
parte de um sistema de vasos comunicantes, em que a altura da coluna de ar e´ controlada
por uma coluna de a´gua de altura varia´vel. O aparato experimental esta´ mostrado na
Figura 7.1.
Figura 7.1 - Esquema da montagem experimental.
Veja que a altura da coluna de a´gua no tubo pode ser alterada, bastando que se
altere a altura do reservato´rio que esta´ conectado ao tubo por uma mangueira.
Um diapasa˜o colocado pro´ximo da extremidade do tubo permite propagar ondas
sonoras no ar dentro do tubo. A frequ¨eˆncia do diapasa˜o e´ conhecida: no laborato´rio voceˆ
tera´ diapaso˜es com diferentes frequeˆncias ao seu dispor. A velocidade do som no ar sera´
determinada atrave´s do estabelecimento de ondas sonoras estaciona´rias no ar do tubo.
O diapasa˜o vibrando na extremidade aberta do tubo provoca nas part´ıculas do
ar, vibrac¸o˜es longitudinais de mesma frequeˆncia, que se propagam dentro do tubo e sa˜o
refletidas pela superf´ıcie da a´guana extremidade fechada. As ondas incidentes e refletidas
58
interagem dentro do tubo dando origem ao fenoˆmeno da interfereˆncia. Sob certas condi-
c¸o˜es, o resultado dessa interfereˆncia pode ser a formac¸a˜o de ondas estaciona´rias. Nesas
condic¸o˜es o diapasa˜o e a coluna de ar vibram de uma maneira caracter´ıstica, conhecida
por ressonaˆncia, onde ocorre o reforc¸o da intensidade sonora do diapasa˜o.
Objetivo do experimento:
Determinac¸a˜o da velocidade de propagac¸a˜o do som no ar.
Procedimento:
1) Com o aparato montado como na Figura 7.1, escolha o diapasa˜o a ser utilizado
e fac¸a o n´ıvel da a´gua ficar o mais alto poss´ıvel no tubo.
2) Ponha o diapasa˜o a vibrar, batendo nele com o martelinho de borracha que lhe
foi fornecido e lentamente mova o reservato´rio de a´gua para fazer o n´ıvel da a´gua
descer, buscando a primeira condic¸a˜o de ressonaˆncia.
3) Quando essa condic¸a˜o for satisfeita, coloque uma marca no tubo de ar, movendo
um dos ane´is de PVC, marcando o n´ıvel da a´gua onde a ressonaˆncia ocorreu.
4) Continue descendo o n´ıvel da a´gua