DERIVADA - AULA 1

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Cálculo 
Cálculo 
 Retas crescentes e decrescentes 
 Como convenção, para determinar se uma função é crescente ou 
decrescente, analisaremos seu gráfico da esquerda para a direita. 
 
 
 
Inclinação 
negativa 
Sem 
inclinação 
Inclinação 
positiva 
Cálculo 
 Retas crescentes e decrescentes 
 Se estivermos analisando uma curva, o ponto de maior ou menor 
valor ocorre quando a inclinação é zero; 
 Definição: A inclinação de uma reta ou, em outras palavras, o 
coeficiente angular de uma reta é dado por: 
 
 
 
 
 
 
P(x1,y1) 
Q(x2,y2) 
x 
y 
x1 x2 
y1 
y2 
12
12
xx
yy
tg



Cálculo 
 Exemplo-1: 
 Suponha que as coordenadas dos ponto P e Q sejam: P=(4,6) e 
Q=(5,-3). Neste caso, a inclinação da reta determinada por esses 
dois pontos é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 Como o coeficiente angular é negativo, significa que a reta é 
decrescente. 
 
 
12
12
xx
yy
tg



9
1
9
45
63





tg
Cálculo 
 Exemplo-2: 
 Suponha agora que as coordenadas dos ponto P e Q sejam: 
P=(1,2) e Q=(5,2). Neste caso, a inclinação da reta 
determinada por esses dois pontos é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 Como o coeficiente angular é zero, significa que a reta é 
horizontal e paralela ao eixo x. 
 
 
12
12
xx
yy
tg



0
4
0
15
22



tg
Cálculo 
 Exemplo-3: 
 Suponha agora que as coordenadas dos ponto P e Q sejam: 
P=(1,2) e Q=(3,7). Neste caso, a inclinação da reta 
determinada por esses dois pontos é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 Como o coeficiente angular é positivo, significa que a reta é 
crescente. 
 
 
12
12
xx
yy
tg



5,2
2
5
13
27



tg
Cálculo 
 A equação da reta 
 Simbolicamente, representaremos o coeficiente angular pela letra 
m: 
 
 
 
 Passando a expressão que está no denominador para o outro 
membro e re-arranjando os termos, teremos a seguinte equação: 
 
 
12
12
xx
yy
m



)()( 1212 xxmyy 
Cálculo 
 A equação da reta 
 Algumas curvas determinam funções, outras não. Qualquer reta 
não vertical pode determinar uma função, a qual chamamos de 
função linear. 
 
 O coeficiente angular de uma reta nos diz como uma função 
cresce. Verifique o que acontece com o domínio e a imagem das 
funções lineares do gráfico que segue. 
 
 
Cálculo 
y=x y=2x y=3x y=4x y=5x 
Cálculo 
 A equação da reta 
 A equação (y2-y1)=m(x2-x1) nos diz: 
 
 Tamanho da imagem = (inclinação) . (tamanho do domínio). 
 
 O coeficiente angular da reta nos dá o fator pelo qual uma função 
linear estende o tamanho da imagem. 
 
 
Cálculo 
 A reta Tangente 
 Considere que a função y=f(x) descreve uma curva definida num 
intervalo (a,b). 
 Sejam os pontos P(x1,y1) e Q(x2,y2) dois pontos distintos da curva. 
 Seja s a reta secante que passa pelos pontos P e Q. 
 
 
Cálculo 
 
 
 
P(x1,y1) 
Q(x2,y2) 
y1 
y2 
x1 x2 x 
y 
x 
y 
O coeficiente angular da reta s é dado por: 
x
y
xx
yy
tg






12
12
s 
Cálculo 
 A reta Tangente 
 Mantenha P fixo e faça Q se mover no sentido anti-horário sobre 
a curva em direção a P. 
 
 Perceba que a inclinação da reta s irá variar. 
 
 A medida que Q vai se aproximando cada vez mais de P, a 
inclinação da secante tende para um valor limite. 
 
 Esse valor limite, é chamado inclinação da reta tangente à curva 
no ponto P. 
 
 
Cálculo 
 
 
 
P(x1,y1) = Q(x2,y2) 
y1 
y2 
x1= x2 x 
y 
Cálculo 
 Definição: Dada uma curva y=f(x), seja P(x1,y1) um ponto sobre ela. 
A inclinação da reta tangente à curva no ponto P é dada por: 
 
 
 
Quando o limite existe. Fazendo , podemos escrever a 
equação acima como: 
 
 
 
 
12
12
1
)()(
limlim)(
12 xx
xfxf
x
y
xm
xxPQ 






xxx  12
x
xfxxf
xm
x 



)()(
lim)( 11
0
1
Cálculo 
 Exemplo: 
 Encontre a inclinação da reta tangente à curva 
no ponto (x1,y1). 
 
 Se 
122  xxy
122)(21)(2)()(
,12)(
,12)(
1
2
1
2
11
2
11
1
2
11
2



xxxxxxxxxxxxf
exxxf
entãoxxxf
Cálculo 
 Exemplo: 
 Usando a definição de coeficiente angular de uma reta, temos: 
 
 
x
xfxxf
xm
x 



)()(
lim)( 11
0
1
x
xxxxxxxx
xm
x 



)12(122)(2
lim)( 1
2
11
2
1
2
1
0
1
x
xxxx
xm
x 



2)(2
lim)(
2
1
0
1
22
)22(
lim)( 1
1
0
1 




x
x
xxx
xm
x
Cálculo 
 A reta Tangente 
 Portanto, a inclinação da reta tangente à curva 
no ponto (x1,y1) é m(x1) = 2x1-2. 
 
 
 
 
 
122  xxy
Cálculo 
 Derivada de uma função num ponto 
 A derivada de uma função f(x) no ponto x1, simbolicamente 
designada por f ‘(x1), é definida pelo limite: 
 
 
 
 
Este limite nos dá a inclinação da reta tangente à curva y=f(x) no 
ponto (x1, f(x1)). Portanto, geometricamente, a derivada de uma 
função representa o coeficiente angular da reta tangente à curva 
neste ponto. 
Devemos esta definição ao ilustre matemático Pierre de Fermat. 
 
x
xfxxf
xf
x 



)()(
lim)(' 11
0
1
Cálculo 
 Exemplo-1) 
 Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva y=x2 no 
ponto (1,1). 
 Utilizando a definição, temos que: 
 
 
 
 
 Basta aplicar os pontos na regra que define a função. 
x
xfxxf
xf
x 



)()(
lim)(' 11
0
1
Cálculo 
22lim
)2(
lim
1)(21
lim
1)1(
lim
)1()1(
lim)1('
0
0
2
0
22
0
0















x
x
xx
x
xx
x
x
x
fxf
f
x
x
x
x
x
Portanto, a derivada de y=x2 no ponto P=(1,1) é igual a 2. 
Simbolicamente: para f(x)=x2, f ‘(1)=1 (ou, y’=2). 
Cálculo 
 Exemplo-2) 
 Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva y=x3+2x 
no ponto (x, x3+2x). 
 Utilizando a definição, temos que: 
 
 
 
 
 Basta aplicar os pontos na regra que define a função. 
x
xfxxf
xf
x 



)()(
lim)(' 11
0
1
Cálculo 
23233lim
)233(
lim
222)()(33
lim
]2[)](2)[(
lim
)()(
lim)('
222
0
22
0
33223
0
33
0
0















xxxxx
x
xxxxx
x
xxxxxxxxxx
x
xxxxxx
x
xfxxf
xf
x
x
x
x
x
Cálculo 
 Derivada 
 
 
 
 
 Pelas colunas, é possível perceber que a 1.ª e a 3.ª colunas 
determinam uma nova função. Esta nova função, derivada da 
função original f, será denotada por f ‘ e chamada de derivada de 
f. 
 
 
 
 
x y=f(x) y’=f ’(x) 
1 x2 2 
x x2 2x 
x X3+2x 3x2+2 
Cálculo 
 Aplicação 
 Seja s=s(t) a equação horária do movimento de um ponto 
material na reta. S(t) indica indica a coordenada do ponto 
material no instante t. A velocidade média do ponto no intervalo 
de tempo [t, t+t] é dada pela razão ente o espaço percorrido e o 
tempo decorrido: 
 
 
 
 t
tstts
t
s
vm






)()(
Cálculo 
 Aplicação 
 A velocidade instantâneado ponto material no instante t é o 
limite da velocidade de média quando t tende para 0: 
 
 
 
 
t
tstts
t
s
tvv
tt 






)()(
limlim)(
00
t
s


Cálculo 
 Exemplo 
 Seja s(t)=3t2+10t a equação horária de um ponto material que se 
move na reta numérica. Supomos que s seja medido em metros e 
t, em segundos. Calcule: 
 a) a velocidade média do ponto material no intervalo de tempo [2,4]. 
 b) a velocidade instantânea no instante t=2. 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
2
)2.102.3()4.104.3(
24
)2()4( 22 




ss
vm
smvm /28
2
56
2
20124048



Cálculo 
b) 
 
 
 
 
 
 
t
sts
v
t 



)2()2(
lim
0
t
tt
v
t 



)2.102.3()2(10)2(3
lim
22
0
t
ttt
v
t 



2012.1020.4.3).(34.3
lim
2
0
smtv
t
/22]22.3[lim
0


Cálculo 
 Taxa de Variação 
 Para funções quaisquer, o conceito análogo é o de taxa de 
variação. 
 Sejam y=f(x) uma função definida num intervalo I e a um ponto 
interior de I. Seja x=a+x um ponto pertencente a uma 
vizinhança de a, xa. A razão chama-se taxa média de 
 
variação da função f no intervalo [a, a+x ]. 
 
 O limite da taxa média de variação quando x tende a zero 
chama-se taxa instantânea de variação. 
 
 
 
x
y


Cálculo 
 Regras de derivação 
 R1) Derivada de uma função constante 
 Se c é uma constante e f(x)=c para todo x, então f ’(x) =0. 
Exemplo 
Seja f(x)=5 -> f ’(x) = 0. 
Se aplicarmos a definição: 
 
 
 
 
 
 
x
xfxxf
xf
x 



)()(
lim)(' 11
0
1
00lim
55
lim)('
00
1 



 xx x
xf
Cálculo 
 Regras de derivação 
 R2) Derivada de uma função potência 
 Se n é um número inteiro positivo e f(x)=xn, então f ‘ (x) = n. xn-1. 
Exemplo 
Seja f(x)=x5 -> f ’(x) = 5x4. 
 
 R3) Derivada de uma função multiplicada por uma constante 
 Sejam f uma função, c uma constante e g a função definida por g(x) 
=c.f(x). 
 g’(x)=c.f ‘(x). 
Exemplo 
f(x)=8x2 -> f ‘(x)=8.(2x) = 16x 
 
 
 
 
 
 
Cálculo 
 Regras de derivação 
 R4) Derivada da Soma 
 Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x) + 
g(x). A derivada da soma é: h’(x) = f ‘(x) + g’(x). 
Exemplo 
f(x) = 3x4+8x+5 -> f ‘(x) =3.(4x3)+8.1 + 0 
f ‘(x)=12x3+8 
 
 R5) Derivada do Produto 
 Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x) . 
g(x). A derivada do produto é: h’(x) = f (x) . g’(x)+f ‘(x).g(x). 
Exemplo 
f(x)=(2x3-1)(x4+x2) - > f ‘(x) =(2x3-1).(4x3+2x)+(x4+x2).6x2 
 
Cálculo 
 Regras de derivação 
 R6) Derivada do quociente 
 Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x) / 
g(x). A derivada do quociente é: 
 
 
Exemplo 
 
 
2)]([
)(').()(').(
)('
xg
xgxfxfxg
xh


35
32
)(
2
4



xx
x
xf
22
432
)35(
)52)(32()04.2).(35(
)('



xx
xxxxx
xf
22
432
)35(
)52)(32()8).(35(
)('



xx
xxxxx
xf
Cálculo 
 Regras de derivação 
 R7) Seja f(x)=sen x, a derivada do seno é f ‘(x)=cos x. 
 
 R8) Seja f(x)=cos x, a derivada do cosseno é f ‘(x) = -sen x. 
 
 R9) Seja f(x)=cotg x, a derivada da cotangente é f ‘(x) = -cosec2 x. 
 
 R10) f(x)=sec x, a derivada da secante é f ‘(x)=sec x.tg x; 
 
 R11) f(x)=cosec x, a derivada da cosec é f ‘(x)=-cosec x.cotg x. 
Cálculo 
 Regras de derivação 
 R12) Regra da Cadeia 
Se f e g são funções diferenciáveis, então a derivada da função 
composta f(g(x)) é dada por: 
[f(g(x))]’ = f ‘(g(x)).g’(x) 
 
Cálculo 
Exemplo 
 Calcule a derivada de h(x) = (2x+1)10. 
 
A função h(x) é composta, f(x)=x10 e g(x)=2x+1. 
 
 Pela regra da cadeia, temos 
h’(x)=f ‘(g(x)).g’(x)=10.(2x+1)9.2=20(2x+1)9 
Cálculo 
 Regras de derivação 
 R13) Derivada da função logarítmica natural 
 Seja f(x)=lnx, sua derivada é; f ‘(x)= 1/x. 
Exemplo 
 
 
 
xx
x
x
xx
xf
entãoxxxf






22
2
3
16
)16.(
3
1
)('
),3ln()(
Cálculo 
 Regras de derivação 
 R14) Derivada da função logarítmica de base a 
Seja f(x)=loga(x), sua derivada é; f ‘(x)= 1/x.lna 
 
Exemplo 
 
 
 10ln.
1
)('
,log)( 10
x
xf
entãoxxf


Cálculo 
 Regras de derivação 
 R15) Derivada da função exponencial de base e 
Seja f(x)=ex, sua derivada é a própria f ‘(x)= ex. 
 
 R16) Derivada da função exponencial de base “a” 
Seja f(x)=ax, sua derivada é:ax.lna