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Cálculo Cálculo Retas crescentes e decrescentes Como convenção, para determinar se uma função é crescente ou decrescente, analisaremos seu gráfico da esquerda para a direita. Inclinação negativa Sem inclinação Inclinação positiva Cálculo Retas crescentes e decrescentes Se estivermos analisando uma curva, o ponto de maior ou menor valor ocorre quando a inclinação é zero; Definição: A inclinação de uma reta ou, em outras palavras, o coeficiente angular de uma reta é dado por: P(x1,y1) Q(x2,y2) x y x1 x2 y1 y2 12 12 xx yy tg Cálculo Exemplo-1: Suponha que as coordenadas dos ponto P e Q sejam: P=(4,6) e Q=(5,-3). Neste caso, a inclinação da reta determinada por esses dois pontos é dada por: Como o coeficiente angular é negativo, significa que a reta é decrescente. 12 12 xx yy tg 9 1 9 45 63 tg Cálculo Exemplo-2: Suponha agora que as coordenadas dos ponto P e Q sejam: P=(1,2) e Q=(5,2). Neste caso, a inclinação da reta determinada por esses dois pontos é dada por: Como o coeficiente angular é zero, significa que a reta é horizontal e paralela ao eixo x. 12 12 xx yy tg 0 4 0 15 22 tg Cálculo Exemplo-3: Suponha agora que as coordenadas dos ponto P e Q sejam: P=(1,2) e Q=(3,7). Neste caso, a inclinação da reta determinada por esses dois pontos é dada por: Como o coeficiente angular é positivo, significa que a reta é crescente. 12 12 xx yy tg 5,2 2 5 13 27 tg Cálculo A equação da reta Simbolicamente, representaremos o coeficiente angular pela letra m: Passando a expressão que está no denominador para o outro membro e re-arranjando os termos, teremos a seguinte equação: 12 12 xx yy m )()( 1212 xxmyy Cálculo A equação da reta Algumas curvas determinam funções, outras não. Qualquer reta não vertical pode determinar uma função, a qual chamamos de função linear. O coeficiente angular de uma reta nos diz como uma função cresce. Verifique o que acontece com o domínio e a imagem das funções lineares do gráfico que segue. Cálculo y=x y=2x y=3x y=4x y=5x Cálculo A equação da reta A equação (y2-y1)=m(x2-x1) nos diz: Tamanho da imagem = (inclinação) . (tamanho do domínio). O coeficiente angular da reta nos dá o fator pelo qual uma função linear estende o tamanho da imagem. Cálculo A reta Tangente Considere que a função y=f(x) descreve uma curva definida num intervalo (a,b). Sejam os pontos P(x1,y1) e Q(x2,y2) dois pontos distintos da curva. Seja s a reta secante que passa pelos pontos P e Q. Cálculo P(x1,y1) Q(x2,y2) y1 y2 x1 x2 x y x y O coeficiente angular da reta s é dado por: x y xx yy tg 12 12 s Cálculo A reta Tangente Mantenha P fixo e faça Q se mover no sentido anti-horário sobre a curva em direção a P. Perceba que a inclinação da reta s irá variar. A medida que Q vai se aproximando cada vez mais de P, a inclinação da secante tende para um valor limite. Esse valor limite, é chamado inclinação da reta tangente à curva no ponto P. Cálculo P(x1,y1) = Q(x2,y2) y1 y2 x1= x2 x y Cálculo Definição: Dada uma curva y=f(x), seja P(x1,y1) um ponto sobre ela. A inclinação da reta tangente à curva no ponto P é dada por: Quando o limite existe. Fazendo , podemos escrever a equação acima como: 12 12 1 )()( limlim)( 12 xx xfxf x y xm xxPQ xxx 12 x xfxxf xm x )()( lim)( 11 0 1 Cálculo Exemplo: Encontre a inclinação da reta tangente à curva no ponto (x1,y1). Se 122 xxy 122)(21)(2)()( ,12)( ,12)( 1 2 1 2 11 2 11 1 2 11 2 xxxxxxxxxxxxf exxxf entãoxxxf Cálculo Exemplo: Usando a definição de coeficiente angular de uma reta, temos: x xfxxf xm x )()( lim)( 11 0 1 x xxxxxxxx xm x )12(122)(2 lim)( 1 2 11 2 1 2 1 0 1 x xxxx xm x 2)(2 lim)( 2 1 0 1 22 )22( lim)( 1 1 0 1 x x xxx xm x Cálculo A reta Tangente Portanto, a inclinação da reta tangente à curva no ponto (x1,y1) é m(x1) = 2x1-2. 122 xxy Cálculo Derivada de uma função num ponto A derivada de uma função f(x) no ponto x1, simbolicamente designada por f ‘(x1), é definida pelo limite: Este limite nos dá a inclinação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto (x1, f(x1)). Portanto, geometricamente, a derivada de uma função representa o coeficiente angular da reta tangente à curva neste ponto. Devemos esta definição ao ilustre matemático Pierre de Fermat. x xfxxf xf x )()( lim)(' 11 0 1 Cálculo Exemplo-1) Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva y=x2 no ponto (1,1). Utilizando a definição, temos que: Basta aplicar os pontos na regra que define a função. x xfxxf xf x )()( lim)(' 11 0 1 Cálculo 22lim )2( lim 1)(21 lim 1)1( lim )1()1( lim)1(' 0 0 2 0 22 0 0 x x xx x xx x x x fxf f x x x x x Portanto, a derivada de y=x2 no ponto P=(1,1) é igual a 2. Simbolicamente: para f(x)=x2, f ‘(1)=1 (ou, y’=2). Cálculo Exemplo-2) Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva y=x3+2x no ponto (x, x3+2x). Utilizando a definição, temos que: Basta aplicar os pontos na regra que define a função. x xfxxf xf x )()( lim)(' 11 0 1 Cálculo 23233lim )233( lim 222)()(33 lim ]2[)](2)[( lim )()( lim)(' 222 0 22 0 33223 0 33 0 0 xxxxx x xxxxx x xxxxxxxxxx x xxxxxx x xfxxf xf x x x x x Cálculo Derivada Pelas colunas, é possível perceber que a 1.ª e a 3.ª colunas determinam uma nova função. Esta nova função, derivada da função original f, será denotada por f ‘ e chamada de derivada de f. x y=f(x) y’=f ’(x) 1 x2 2 x x2 2x x X3+2x 3x2+2 Cálculo Aplicação Seja s=s(t) a equação horária do movimento de um ponto material na reta. S(t) indica indica a coordenada do ponto material no instante t. A velocidade média do ponto no intervalo de tempo [t, t+t] é dada pela razão ente o espaço percorrido e o tempo decorrido: t tstts t s vm )()( Cálculo Aplicação A velocidade instantâneado ponto material no instante t é o limite da velocidade de média quando t tende para 0: t tstts t s tvv tt )()( limlim)( 00 t s Cálculo Exemplo Seja s(t)=3t2+10t a equação horária de um ponto material que se move na reta numérica. Supomos que s seja medido em metros e t, em segundos. Calcule: a) a velocidade média do ponto material no intervalo de tempo [2,4]. b) a velocidade instantânea no instante t=2. a) 2 )2.102.3()4.104.3( 24 )2()4( 22 ss vm smvm /28 2 56 2 20124048 Cálculo b) t sts v t )2()2( lim 0 t tt v t )2.102.3()2(10)2(3 lim 22 0 t ttt v t 2012.1020.4.3).(34.3 lim 2 0 smtv t /22]22.3[lim 0 Cálculo Taxa de Variação Para funções quaisquer, o conceito análogo é o de taxa de variação. Sejam y=f(x) uma função definida num intervalo I e a um ponto interior de I. Seja x=a+x um ponto pertencente a uma vizinhança de a, xa. A razão chama-se taxa média de variação da função f no intervalo [a, a+x ]. O limite da taxa média de variação quando x tende a zero chama-se taxa instantânea de variação. x y Cálculo Regras de derivação R1) Derivada de uma função constante Se c é uma constante e f(x)=c para todo x, então f ’(x) =0. Exemplo Seja f(x)=5 -> f ’(x) = 0. Se aplicarmos a definição: x xfxxf xf x )()( lim)(' 11 0 1 00lim 55 lim)(' 00 1 xx x xf Cálculo Regras de derivação R2) Derivada de uma função potência Se n é um número inteiro positivo e f(x)=xn, então f ‘ (x) = n. xn-1. Exemplo Seja f(x)=x5 -> f ’(x) = 5x4. R3) Derivada de uma função multiplicada por uma constante Sejam f uma função, c uma constante e g a função definida por g(x) =c.f(x). g’(x)=c.f ‘(x). Exemplo f(x)=8x2 -> f ‘(x)=8.(2x) = 16x Cálculo Regras de derivação R4) Derivada da Soma Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x) + g(x). A derivada da soma é: h’(x) = f ‘(x) + g’(x). Exemplo f(x) = 3x4+8x+5 -> f ‘(x) =3.(4x3)+8.1 + 0 f ‘(x)=12x3+8 R5) Derivada do Produto Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x) . g(x). A derivada do produto é: h’(x) = f (x) . g’(x)+f ‘(x).g(x). Exemplo f(x)=(2x3-1)(x4+x2) - > f ‘(x) =(2x3-1).(4x3+2x)+(x4+x2).6x2 Cálculo Regras de derivação R6) Derivada do quociente Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x) / g(x). A derivada do quociente é: Exemplo 2)]([ )(').()(').( )(' xg xgxfxfxg xh 35 32 )( 2 4 xx x xf 22 432 )35( )52)(32()04.2).(35( )(' xx xxxxx xf 22 432 )35( )52)(32()8).(35( )(' xx xxxxx xf Cálculo Regras de derivação R7) Seja f(x)=sen x, a derivada do seno é f ‘(x)=cos x. R8) Seja f(x)=cos x, a derivada do cosseno é f ‘(x) = -sen x. R9) Seja f(x)=cotg x, a derivada da cotangente é f ‘(x) = -cosec2 x. R10) f(x)=sec x, a derivada da secante é f ‘(x)=sec x.tg x; R11) f(x)=cosec x, a derivada da cosec é f ‘(x)=-cosec x.cotg x. Cálculo Regras de derivação R12) Regra da Cadeia Se f e g são funções diferenciáveis, então a derivada da função composta f(g(x)) é dada por: [f(g(x))]’ = f ‘(g(x)).g’(x) Cálculo Exemplo Calcule a derivada de h(x) = (2x+1)10. A função h(x) é composta, f(x)=x10 e g(x)=2x+1. Pela regra da cadeia, temos h’(x)=f ‘(g(x)).g’(x)=10.(2x+1)9.2=20(2x+1)9 Cálculo Regras de derivação R13) Derivada da função logarítmica natural Seja f(x)=lnx, sua derivada é; f ‘(x)= 1/x. Exemplo xx x x xx xf entãoxxxf 22 2 3 16 )16.( 3 1 )(' ),3ln()( Cálculo Regras de derivação R14) Derivada da função logarítmica de base a Seja f(x)=loga(x), sua derivada é; f ‘(x)= 1/x.lna Exemplo 10ln. 1 )(' ,log)( 10 x xf entãoxxf Cálculo Regras de derivação R15) Derivada da função exponencial de base e Seja f(x)=ex, sua derivada é a própria f ‘(x)= ex. R16) Derivada da função exponencial de base “a” Seja f(x)=ax, sua derivada é:ax.lna
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