Aula 2 Estática dos fluidos

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Profa. Paula Rosa 
FT – 6 Aula 2 
Estática dos fluidos 
26/03/2019 
A Estática dos Fluidos é o estudo dos fluidos no qual 
não há movimento relativo entre as partículas do fluido; 
 Fluido encontra-se em repouso; 
 Velocidade constante (partículas movimentam com iguais veloc.) 
Em um fluido em equilíbrio (estático), não podem existir tensões tangenciais 
 Tensão normal 
 (Fluido em repouso é denominado de pressão) 
Tensão de 
cisalhamento ou 
tangencial 
du/dx = 0 
Única tensão → Tensão Normal → Pressão (devido ao peso do fluido) 
Estática dos fluidos 
 
APLICAÇÕES 
Determinar forças sobre 
corpos flutuantes/submersos 
 
Determinar forças 
desenvolvidas por 
dispositivos: 
 Prensas hidráulicas 
 Macacos de automóveis 
 
Estática dos fluidos 
APLICAÇÕES 
 Projeto de sistemas de engenharia 
Represas (cálculo de reações em 
comportas) 
Tanques de armazenamento de 
líquidos 
Cálculo de pistões de válvulas de 
controle 
Manometria (medida de pressão) 
 
 Uma das grandezas mais importantes quando se lida com fluidos 
 Quantificar grande parte das características cinemáticas dos 
escoamentos 
Só falamos de pressão quando lidamos com um gás ou um líquido. O 
equivalente da pressão nos sólidos é a tensão normal. 
Uma pressão é a razão de uma força normal para uma área sobre a qual a força atua. 
Definição de Pressão 
 Leis de Pascal: 
 A pressão atua uniformemente em todas as direções sobre um 
volume pequeno (ponto) de um fluido. 
 Em um fluido confinado por fronteiras sólidas, a pressão atua 
perpendicular à fronteira – é uma força normal. 
Unidades de Pressão 
Unidade Definição ou Relações 
1 pascal (Pa) 1 kg m-1 s-2 
1 bar 1 x 105 Pa 
1 atmosfera (atm) 101,325 Pa 
1 torr 1 / 760 atm 
760 mm Hg 1 atm 
14.696 libras por plegada 
quadrada (psi) 
1 atm 
7 
Estática dos fluidos 
 Em um fluido estático, não há tensão de cisalhamento, portanto a 
única força de superfície é a força de pressão: força de 
compressão normal por unidade de área (tensão normal) que atua 
sobre um ponto do fluido num dado plano. 
 A pressão exercida num ponto de um fluido estático é igual em 
todas as direções, isto é, ele é um escalar! E não um vetor 
 
 
 
 
 
 
 
P = Px = Py = Pz 
P é um escalar (requer apenas 
um valor numérico para ser 
caracterizada). 
Conceitos Fundamentais 
Pressão Absoluta: É a pressão real em determinada posição 
Medida com relação ao vácuo absoluto; 
a pressão absoluta zero 
Pressão Manométrica: É a pressão do fluido medida em relação à pressão 
atmosférica.Indica a diferença entre a Pressão Absoluta e a Pressão 
atmosférica 
 Pman = Pabs - Patm 
* Atmosférica: É a força exercida pela atmosfera na superfície terrestre. A pressão 
atmosférica pode variar de um lugar para o outro, em função da altitude e das 
condições meteorológicas (como a umidade e a densidade do ar). Ao nível do mar 
esta pressão é aproximadamente de 760 mmHg, ou 1 atm. 
Pressão 
atmosfé
rica 
Pressão Manométrica e Pressão absoluta 
Pressão 
 manométrica 
PA = pressão 
 absoluta 
Atmosfera 
local 
Pressão positiva 
Pressão 
manométrica negativa (PB) 
(vácuo) 
Pabs = Patm + Pman 
Pressão absoluta (B) Zero absoluto 
de pressão 
Atmosfera 
padrão 
101,3 kPa 
760 mm Hg 
14,7 psi 
Obs: A pressão absoluta chega a zero quando o vácuo ideal é atingido 
 Pman = Pabs - Patm 
 Pvac = Patm - Pabs 
EXEMPLO 1 
O manômetro no condensador de vapor de uma 
turbina indica 26,2 in Hg de vácuo. A leitura do 
barômetro é de 30,4 in Hg. Qual é a pressão 
absoluta do condensador em psi? 
26,2 
inHg 
Variação da pressão com a posição 
 
 
 
 
 
x 
y 
z 
y 
x 
z 
Px +x 
Py +y 
Pz +z 
Px 
Py 
PZ 
Direção da 
gravidade W 
Para o elemento em 
repouso, somatório 
das forças de 
superfície e de ação 
(gravitacional) à 
distância é zero. 
Considerando as três 
direções 
isoladamente: 
0
0
0












z
y
x
g
z
p
g
y
p
g
x
p



Contudo, a gravidade se impõe 
somente no eixo y (vertical). 
Então: 
yg
dy
dp

Eixo y “aponta para cima”, e a 
gravidade “aponta para baixo” 
Para um fluido incompressível (líquido),  = 0 = constante. 
 yygppgdydpg
dy
dp y
y
p
p
  00000
00

ghpp 00 
13 
Variação da pressão com a posição 
 A maioria dos medidores de pressão, na verdade, mede o 
resultado da pressão relativamente à pressão atmosférica 
(referência). 
 
p0= patm p – patm = 0gh 
 
 
14 
ghpp 00 
Equação da Hidrostática 
A pressão em um fluido estático aumenta linearmente 
com a profundidade 
 Abaixo: Refere-se ao ponto de menor elevação (mais profundo no fluido) 
 Acima: Refere-se ao ponto de maior elevação 
Obs: A variação da pressão com a altura para pequenas distâncias é 
desprezível para os gases, por causa da sua baixa densidade 
Se considerarmos o ponto “acima” da superfície 
livre de um líquido aberto para a atmosfera 
Então, a pressão a uma profundidade h da 
superfície livre torna-se 
Pressão manométrica 
Equação da Hidrostática 
 Consideremos agora, um tanque cheio de fluido e aberto à pressão 
atmosférica local (P0). Neste tanque são feitos alguns furos, 
conforme está esquematizado na Figura 1. 
17 
Figura 2 – Tanque cheio de fluido com furos nas laterais 
Pergunta-se: Qual 
dos furos originará um 
jato com o maior 
alcance horizontal? 
Teorema de Stevin 
(Princípio dos Vasos Comunicantes) 
 STEVIN e relaciona as pressões estáticas exercidas por um fluido em 
repouso com a altura da coluna do mesmo em um determinado 
reservatório. 
Seu enunciado diz: 
 “A diferença de pressão entre dois pontos de um fluido em repouso é igual 
ao produto do peso específico do fluido pela diferença de nível entre os 
dois pontos”. 
18 
Teorema de Stevin 
19 
As pressões são radiais e 
igualmente distribuídas ao longo da 
superfície. pressão estática (PE). 
À medida que o fluido entra em movimento, 
a distribuição do perfil de pressão ao redor 
do corpo é alterada e torna-se 
assimétrica. pressão diferente daquela 
quando o fluido estava em repouso. 
 Pressão “P” não varia nas posições “x” nem “y”. Pode-se afirmar 
então, que pontos no interior do tanque com os mesmos “x” 
ou “y” possuem a mesma pressão. 
20 
De acordo com a solução da integral, quanto mais próximo à base 
do tanque, menor é a variável “z” e, portanto, maior é a pressão 
(quanto maior a coluna de fluido acima do ponto analisado, maior 
será a pressão no mesmo). Logo, pode-se concluir que o furo de nº 
4 será o que terá o jato cujo alcance será o maior dentre todos. 
Equação da Hidrostática 
 
 
 
A pressão em um fluido estático uniforme é a mesma em todos os ponto a 
mesma altura de um plano horizontal, independente da geometria, desde 
que os pontos estejam interconectados pelo mesmo fluido. 
PA = PB = PC = PD = PE = PF = PG = Patm + ρgh 
Ph = PI 
 Portanto, a pressão: 
 Depende somente da altura do fluido até a superfície livre; 
 Em um fluido estático uniforme, distribuído continuamente, 
varia apenas com a distância vertical e é independente da 
forma do recipiente; 
 É a mesma em todos os pontos sobre um dado plano 
horizontal no fluido; 
 Aumentacom a profundidade no fluido. 
Equação da Hidrostática 
Vasos comunicantes: 
ligação de dois 
recipientes através de 
um duto aberto. 
Exemplo 2 
Determine a pressão em um nível 2 de uma 
massa de água, situado 5 m abaixo da superfície, 
sabendo que na superfície (nível 1) age a pressão 
atmosférica que, para efeitos deste exemplo, vale 
100 kPa. Considere que a massa específica da 
água é constante e vale 1000 kg/m³. 
 
Dado: 
1 Pa = 1 N/m² = 1 (kg.m/s²)/m² 
Teorema de pascal 
 O acréscimo de pressão produzido num fluido em 
equilíbrio transmite-se integralmente a todos os pontos 
dele. 
 Consideremos um líquido em equilíbrio colocado em 
um recipiente. Vamos supor que as pressões 
hidrostáticas nos pontos A e B (veja a figura) sejam, 
respectivamente, 0,2 e 0,5 atm. 
 
24 
Se através de um êmbolo comprimirmos o líquido, produzindo uma 
pressão de 0,1 atm, todos os pontos do líquido , sofrerão o mesmo 
acréscimo de pressão. Portanto os pontos A e B apresentarão 
pressões de 0,3 atm e 0,6 atm, respectivamente. 
Elevador Hidráulico 
 A pressão aplicada a um fluido no interior de um recipiente 
é transmitida sem diminuição a todos os pontos do fluido e 
para as paredes do recipiente. 
25 
Princípio de funcionamento de um 
elevador hidráulico, uma aplicação 
da lei de Pascal. 
Sistemas multiplicadores de força 
Já que os pistões estão no mesmo 
nível: P1=P2 
 
Teorema de Pascal: macaco hidráulico 
26 
A2= 5 A1 
Exemplo 3 
Considere um macaco hidráulico usado em uma 
oficina de carros. Os pistões têm uma área de A1 
= 0,8 cm² e A2 = 0,04 m². Óleo hidráulico com 
densidade relativa de 0,870 é bombeado a 
medida em que o pequeno pistão do lado 
esquerdo é empurrado para cima e para baixo, 
elevando lentamente o pistão maior do lado 
direito. Um carro que pesa 13000 N deve ser 
levantado. 
(a) No início, quando ambos os pistões estão na 
mesma elevação (h = 0), calcule a força F1 em 
newtons necessária para manter o peso do carro. 
(b) Repita o cálculo depois de o carro ser 
levantado a dois metros (h= 2 m). 
Óleo hidráulico 
GE = 0,870 
Manometria 
Manometria é uma área dos Fenômenos de Transporte 
que estuda as técnicas de medida de pressão. Por 
sua vez, os dispositivos medidores de pressão são 
denominados de manômetros. 
A aplicação prática mais simples da forma da hidrostática é 
o barômetro inventado por Torricelli, que mede a pressão 
atmosférica. 
Manometria: Barômetro de 
Torricelli (medida da patm): 
Esse barômetro é constituído de um tubo de vidro com 
a boca para baixo, cheio de mercúrio, com sua abertura 
imersa num recipiente também cheio de mercúrio. 
Devido à pressão que o ar (Patm) faz sobre a superfície 
do recipiente, o nível de mercúrio na coluna aumenta. 
Forma-se assim uma coluna de líquido que tem o 
mesmo peso da coluna de ar sobre o recipiente. 
Portanto, a altura da coluna de mercúrio representa 
uma medida da pressão atmosférica. Torricelli calculou 
que o efeito da pressão atmosférica no nível do mar é 
igual àquela que existe numa pequena coluna de 
mercúrio com 760 mm de altura. Esse valor é chamado 
“atmosfera” (atm). 
http://educacao.uol.com.br/ciencias/o-barometro-de-torricelli-fisico-e-matematico-italiano-foi-o-primeiro-a-
medir-a-pressao-atmosferica.jhtm 
Manometria: Barômetro de 
Torricelli (medida da patm): 
31 
Barômetro de Torricelli (medida da patm): 
 A pressão atmosférica é, em unidades do 
sistema internacional (SI) 101325 Pa, e a 
aceleração da gravidade é 9,81 m/s². A altura 
da coluna de mercúrio, sabendo que a massa 
específica do mercúrio é 13579 kg/m³. 
 
Patm = gh 
 
h = 760 mmHg 
 
Manômetros 
Um manômetro consiste principalmente em um tubo em forma de U de vidro ou 
plástico, contendo uma ou mais fluidos como mercúrio, água, álcool ou óleo 
São instrumentos que usam colunas de fluidos 
para medir Diferenças de pressão 
Manômetro U 
 Pressões relativamente pequenas 
 Único fluido manométrico 
 Pressões relativamente elevadas 
z1 
z2 
Manômetros 
Manômetros 
Manômetro do tipo coluna inclinada 
ρm 
ρ 
O manômetro abaixo é utilizado para medir a pressão de um 
tanque 
Manômetro básico 
Análise 
1) A Pressão de um fluido não varia na direção 
horizontal 
2) A coluna de fluido diferencial de está em equilíbrio 
 estático e aberta para atmosfera 
Assim a Pressão no ponto 2 podem 
ser determinada diretamente por: 
Muitos problemas de engenharia e alguns manômetros 
envolvem a sobreposição de vários fluidos imiscíveis de 
diferentes massas específicas uns sobre os outros 
Análise 
1) A variação da pressão em uma coluna de 
fluido de altura h é: ΔP = ρgh 
3) Dois pontos em uma mesma altura em um 
fluido contínuo em repouso estão a mesma 
pressão 
Qual é a pressão no ponto 1 
Manômetros são utilizados também para medir a QUEDA DE 
PRESSÃO entre dois pontos específicos de uma seção de 
escoamento horizontal 
Uma relação para a diferença de pressão P1 
– P2 pode ser obtida iniciando-se pelo ponto 
1 com P1, movendo-se ao longo do tubo 
adicionando ou subtraindo os termos até 
atingir o ponto 2 
 
Simplificando 
Manômetros 
Manômetro do tipo elástico 
 Robert Hook estabeleceu a lei que relaciona a força aplicada em um 
corpo e a deformação por ele sofrida: “o módulo da força aplicada em 
um corpo é proporcional à deformação provocada’. Essa 
deformação pode ser elástica (determinada pelo limite de elasticidade). 
 
 Manômetros de Bourdon (analógico ou digital), facilmente adquiridos 
no comércio. São medidores dotados de uma ampla faixa de 
pressão, bem como, uma ampla escala de precisão. É importante dizer 
que os manômetros de Bourdon medem a pressão relativa do 
sistema no qual está inserido em relação à pressão ambiente em que 
o envolve. 
Manômetros 
Manômetro elástico do tipo Bourdon 
 
Internamente, há um dispositivo do tipo 
“Língua de Sogra” que sofre um 
deflexão conforme a pressão a que 
está submetida. Assim, o fabricante 
correlaciona cada deflexão com uma 
determinada pressão, materializada 
sob a forma de uma escala contida 
no painel do manômetro. 
Funciona segundo o mesmo princípio da língua de sogra: conforme a pressão 
aumenta a língua de sogra abre produzindo uma deflexão no ponteiro do mostrador 
proporcional a diferença entre pressão que está sendo medida e a pressão ambiente 
a que o manômetro está submetida. Quanto maior a pressão no interior da câmara do 
manômetro maior a deflexão de seu ponteiro. 
Exemplo 4 
 Considere um tubo em forma de U. Determine 
a pressão no ponto A em relação a Patm. 
 Qual a diferença de pressão entre 
os pontos A e B, considerando 
que as esferas estão preenchidas 
completamente com água (massa 
específica = 1000 kg/m³), e que 
entre os dois pontos há um trecho 
com óleo (densidade = 0,8) cuja 
diferenças de altura são: 
 
d1 = 20 cm 
d2 = 10 cm 
d3 = 30 cm 
g= 10 m/s2 
óleo 
Exemplo 5 
pA 
 Calcule a diferença de pressão 
entre o bulbo de água e o bulbo 
de óleo conectados por 
tubulações horizontais. Um 
manômetro do tipo U contendo 
Hg é conectado entre as 
tubulações, como mostrado: 
Exemplo 6 
água = 998,2 kg/m
3 
ar = 1,204 kg/m
3 
óleo = 860 kg/m
3 
Hg = 13600 kg/m
3 
Hg 
 ar 
Princípio de Arquimedes: Lei do Empuxo 
 O que Arquimedes descobriufoi que: "Todo corpo mergulhado 
num fluido em repouso sofre, por parte do fluido, uma 
força vertical para cima, cuja intensidade é igual ao peso do 
fluido deslocado pelo corpo." 
Vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=TYuAhV2v5AU&feature=player_embedded 
E= fluido.g.Vdeslocado 
Princípio de Arquimedes: Lei do Empuxo 
 A força de empuxo, E, aplicada pelo fluido sobre um objeto é dirigida para 
cima. 
 A força deve-se à diferença de pressão exercida na parte de baixo e na 
parte de cima do objeto. Para um objeto flutuante, a parte que fica acima da 
superfície está sob a pressão atmosférica, enquanto que a parte que 
está abaixo da superfície está sob uma pressão maior porque ela está em 
contato com uma certa profundidade do fluido, e a pressão aumenta com a 
profundidade. 
 Para um objeto completamente submerso, a parte de cima do objeto não 
está sob a pressão atmosférica, mas a parte de baixo ainda está sob uma 
pressão maior porque está mais fundo no fluido. 
P1.A 
A 
0 
y + ∆y 
y 
∆m 
P2.A 
Fp/cima = P2.A 
Fp/baixo P1A + ρ0 (∆y.A).g = 
Princípio de Arquimedes: Empuxo 
Massa específica do corpo ρ0 
Força peso do 
 objeto 
Fp/cima Fp/baixo - P2.A = - (P1.A + ρ0.A.∆y.g) 
Fp/cima Fp/baixo - (P2 = - P1).A - ρ0.(A.∆y).g 
F = ( ρH20.V.g – ρ0.V.g)ŷ 
Onde ... 
ρH2O.V.g E = 
Empuxo ( buoyancy) 
ŷ 
P2 – P1 = ρH2O.g.∆y Porém já vimos que: 
ρ.V.g – ρ0.V.g)ŷ F = ( 
ρ0 > ρH2O 
Corpo afunda 
ρ0 < ρ 
Corpo flutua 
H2O 
Princípio de Arquimedes: Lei do Empuxo 
50 
Para um corpo totalmente imerso em um líquido, 
tem-se: 
 Se ele permanece parado no ponto em que foi 
colocado, a intensidade da força de impulsão, 
ou empuxo, é igual a intensidade da força 
peso (E = P); 
 Se ele afundar, a intensidade da força de 
impulsão é menor que a intensidade da força 
peso (E < P); 
 Se ele for levado para a superfície, a 
intensidade da força de impulsão é maior do 
que a intensidade da força peso (E > P). 
 Relação entre as forças: 
 
 
 
E= fluido.g.V deslocado 
Princípio de Arquimedes: Lei do Empuxo 
 Em ambos os casos a diferença na pressão resulta em uma força 
resultante para cima (força de empuxo) sobre o objeto. 
Empuxo (Força de Flutuação) 
O corpo imerso em um fluido: 
1. Permanece em repouso em qualquer 
ponto do fluido quando sua 
densidade é igual à densidade do 
fluido; 
2. Vai até o fundo quando sua 
densidade é maior que a densidade 
do fluido; 
3. Sobe à superfície do fluido e flutua 
quando a densidade do corpo é 
menor do que a densidade do fluido. 
Corpo suspenso 
(neutramente 
flutuante) 
Corpo 
afundado 
Fluido 
Corpo 
flutuante 
Exemplo 7 
Um guincho é usado para abaixar pesos no mar 
(ρágua do mar = 1025 kg/m³) para um projeto de 
construção submarina. Determine a tensão no 
cabo do guincho devida a um bloco de concreto 
retangular de 0,4 m x 0,4 m x 3 m (ρconcreto = 
2300 kg/m³) quando ele é: 
(a) suspenso no ar 
(b) completamente imerso na água. 
Referências Bibliográficas 
•Welty, J. R.; Wicks, C. E.; Wilson, R. E.; Rorrer, G. L., Fundamentals of 
Momentum, Heat, and Mass Transfer, 5th Edition, John Wiley and Sons, New 
Jersey, 2007. 
•Potter, M. C., Wiggert, D. C., Hondzo, M. Shih, T. I. P. - Mecânica dos Fluidos, 3a. 
edição, tradução de A. Pacini, Pioneira Thomson Learning, São Paulo-SP, 2004. 
•Roma, W, N. L. - Fenômenos de Transporte para Engenharia, 2. edição revisada, 
Rima Editora, São Carlos-SP, 2006. 
•Fox, R. W.; McDonald, A. T.; Pritchard, P. J., Introduction to Fluid Mechanics, 6th 
Edition, John Wiley and Sons, New Jersey, 2004.