VariáveisComplexas

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CALCULO D
Prof. Marcos Figueredo
1
CAPÍTULO1
Sobre Números Complexos
1.1 Definições iniciais
Definição 1
Todo número da forma z = a + bi, com a, b ∈ < e i = √−1 é chamado de número
complexo em que:
a→ parte real;
b→ parte imaginária;
i =
√−1→ unidade imaginária;
Vale que:
1. i2 = −1
2. ai = ia
3. a+ bi = c+ di⇔ a = c e b = d
4. (a+ bi)(c+ di) = (ac− db) + i(ad+ bc)
5. Se z = x+ iy então seu oposto é z = −x− iy
Vale também que se z = a+ bi então:
z = a+ 0i⇒ z é real (Re z);
z = 0 + bi⇒ z é imaginário puro (Im z);
1.2 Plano Complexo
O plano complexo consiste na representação de todos os números complexos z = a + bi
pelos pontos P (x, y) do plano. temos assim que
2
CAPÍTULO 1. SOBRE NÚMEROS COMPLEXOS
y
x
Eixo Imaginário
Eixo Real
Figura 1.1: Plano de Argand-Gauss
O conjugado do complexo z = x + yi, x e y reais é o complexo z¯ = x− yi. É fácil ver
que complexos conjugados tem imagens simétricas em relação ao eixo real. Note que o
produto
z.z¯ = (x+ yi)(x− yi) = x2 − y2i2 = x2 + y2
é um número real.
Para dividir números complexos, multiplicamos dividendo e divisor pelo conjugado do
divisor, o que transforma o problema em uma divisão por um número real.
Exemplo 1
2 + 3i
4− i =
2 + 3i
4− i .
4 + 1
4 + i =
8 + 2i+ 12i+ 3t2
16− i2 =
5 + 14i
17 =
5
17 +
14
17i
As potências de i apresentam um comportamento interessante. Observe abaixo o cálculo
das sete primeiras potências:
i0 = 1;
i1 =
√−1;
i2 = −1;
i3 = i2.i = −i;
i4 = i2.i2 = (−1)(−1) = 1;
i5 = i4.i = 1.i = i;
i6 = i4.i2 = (−1)(−1) = 1;
i7 = i4.i3 = 1.(−i) = −i;
Estas potências se repetem em ciclos de 4. Com efeito in+4 = in.i4 = in.1 = in. Isso
permite estabelecer uma regra para o cálculo de potências de i. Para calcular in, divida n
por 4; se r é o resto da divisão, temos in = ir. Com efeito, se q é o quociente da divisão,
in = i4q+r = (i4)q.ir = 1q.ir = ir
3
CAPÍTULO 1. SOBRE NÚMEROS COMPLEXOS
Teorema 1
Se z e w são complexos, então:
i) z ± w = z¯ ± w¯
ii) z.w = z¯.w¯
iii) z ÷ w = z¯ ÷ w¯ com w 6= 0
iv) Se z é real, z = z¯
v) ¯¯z = z
vi) Se n é um inteiro positivo z¯n = zn
Teorema 2
Se P (z) é um polinômio de coeficientes reais, então P (z¯) = P (z)
Prova:(O porque!)
Se P (z) =
n∑
k=0
akx
k, com ak real, k = 0, 1, 2,
..., n temos ak = ak, logo:
P (z¯) =
n∑
k=0
akz
k =
n∑
k=0
akzk =
n∑
k=0
akzk = P (z)
Fim
Corolário 1
Se um polinômio de coeficientes reais admite uma raiz complexa z = a + bi, a e b
reais, então ela admite também a raiz z¯ = a− bi.
1.3 Exercícios
1 Reduza a forma a+ bi cada uma das expressões complexas seguintes:
a) (3 + 5i) + (2− i)
b) (−7 + 2i)− (1− 3i)
c)
(√
2 + i3
)(√
2− i3
)
d) (3i− 2)
(
i
3 +
1
5
)
2 Mostre que:
4
CAPÍTULO 1. SOBRE NÚMEROS COMPLEXOS
a) (x+ iy)2 = x2 − y2 + 2ixy
b) 1 + i5 + 2i10 + 3i13 = 1− 2i
c) (x+ iy)2(x− iy)2 = (x2 + y2)2
d) (x+ iy)n(x− iy)n = (x2 + y2)n
3 Reduza a forma algébrica (a+ bi) as expressões:
a) 12 + 3i
b) 1− i2− 3i
c) 1 + i1− i
d) 1√
2− 2i
e) −3 + i
5−√2i
f) 1− i1 + i
4 Represente no plano complexo z1, z2, z1.z2 e z1 ÷ z2
a) z1 = 1 + i, z2 = 1− i
b) z1 =
1 +
√
2i
2 , z2 =
√
2 + i
2
c) z1 = 1− 3i, z2 = 2− i
d) z1 = 3− i, z2 = 3− i2
5 Mostre que Re[−i(2− 3i)2] = −12
6 Mostre que 1− i
√
2√
2 + i
= i
7 Dados dois números complexos α e β prove que
|α + β|2 + |α− β|2 = 2|α|2 + 2|β|2
8 Determine a real para que 2 + ai1− i seja:
a) Real
b) Imaginário Puro
9 Determine a área do triângulo cujos vértices são as imagens das raízes da equação
z3 + z2 + z = 0.
10 Determine o lugar geométrico das imagens dos complexos da forma t+ i
√
1− t2
11 Determine o polinômio de segundo grau, de coeficientes reais, que admite 1 − 3i
como raiz.
12 Uma das raízes da equação x4 + bx2 + c = 0, b e c reais, é 1 + 3i. Determine as
outras.
13 Resolva as equações:
a) z + 2z¯ = 6 + i
b) (1 + i)z + 3iz¯ = 2 + i
5
CAPÍTULO 1. SOBRE NÚMEROS COMPLEXOS
P (x, y)
y
x
θ
O
Figura 1.2: Plano Complexo
1.4 A forma Trigonométrica
Considere um sistema de coordenadas no plano. Vamos agora representar cada complexo
z = x+ yi não mais pelo ponto P (x, y) mas sim pelo vetor −→OP = (x, y).
O módulo de um complexo z = x + yi é definido como sendo o módulo do vetor que o
representa, ou seja, é o valor r da distância da sua imagem P à origem. Portanto,
|z| = r =
√
x2 + y2
Um argumento de um complexo z 6= 0, z = x+yi, é, por definição, qualquer dos ângulos
θ =arg z que o vetor −→OP forma com o semi-eixo positivo dos x. É claro que todo complexo
não nulo tem uma infinidade de argumentos, dois quaisquer deles diferindo entre si por
um múltiplo de 2pi. O argumento principal é o argumento que pertence ao intervalo
[−pi, pi]. Se θ é um argumento de z = x+ yi então:
6
CAPÍTULO 1. SOBRE NÚMEROS COMPLEXOS
x = r cos θ
y = r sen θ
Assim:
z = x + y i = r cos θ + ir sen θ = r (cos θ + i sen θ)
Que é chamada Forma Trigonométrica ou polar de um complexo z.
Os números r e θ são as coordenadas polares do ponto P (x, y) do plano.
1.4.1 Identidade de Euler
Segundo Richard P. Feynman, seria a identidade mais bela de toda a Matemática. A
equação aparece na obra de Leonhard Euler Introdução, publicada em Lausanne em 1748.
Nesta equação, e é a base do logaritmo natural, i é a unidade imaginária (número imagi-
nário com a propriedade i2 = −1), e pi é a constante de Arquimedes pi (pi, a razão entre o
perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência). A identidade é um caso especial da
fórmula de Euler da análise complexa, que afirma que:
eix = cosx+ i sen x
Prova:(O porque!)
Sabemos do estudo de séries de Taylor que para todo x:
ex =
∞∑
n−0
xn
n!
cosx =
∞∑
n−0
(−1)n
(2n)! x
2
sen x =
∞∑
n−0
(−1)n
(2n+ 1)!x
2n+1
dai temos
eix = 1 + ix+
(
(ix)2
2!
)
+
(
(ix)3
3!
)
+
(
(ix)4
4!
)
+
(
(ix)5
5!
)
+ . . .
= 1 + ix−
(
x2
2!
)
−
(
x3
3!
)
+
(
x4
4!
)
+
(
x5
5!
)
+ . . .
= 1−
(
x2
2!
)
+
(
x4
4!
)
− (x
6
6! + . . .+ i(
(
x3
3!
)
+
(
x5
5!
)
+ . . .)
= cos x+ i sen x
Fim
para qualquer número real x. Para x = pi tem-se eipi = cospi+ i sen pi e como cos(pi) = −1
e sen(pi) = 0 por definição, obtém-se
eipi = −1
eipi + 1 = 0
7
CAPÍTULO 1. SOBRE NÚMEROS COMPLEXOS
A beleza da equação é que ela relaciona cinco números fundamentais da matemática: e,
pi, i, 0 e 1; e as operações base da matemática: adição, multiplicação e exponenciação.
Exemplo 2
Passe para a forma trigonométrica o complexo:
a) z = −1 +√3i
b) 3i
Decorrem dai dois fatos:
i) Para números complexos vale a desigualdade triangular,
||z1| − |z2|| 6 |z1 + z2| 6 |z1|+ |z2|
ii) Se z1 e z2 são complexos, a distância entre eles é igual a |−−→z1z2| = |z1−z2|. A distância
entre dois complexos é igual ao módulo de sua diferença.
As operações com números complexos, exceto a adição e a subtração, se fazem mais
facilmente na forma polar do que na algébrica, conforme vemos a seguir:
Teorema 3
Se z1 = r1 (cos θ1 + i sen θ1) e z2 = r2 (cos θ2 + i sen θ2), então
z1.z2 = r1.r2 [cos (θ1 + θ2) + i sen (θ1 + θ2)]
e se r2 6= 0
z1 ÷ z2 = r1 ÷ r2 [cos (θ1 − θ2) + i sen (θ1 − θ2)]
Prova:(O porque!)
z1 = z2 = r1 (cos θ1 + i sen θ1) .r2 (cos θ2 + i sen θ2)
= r1.r2 [(cos θ1 cos θ2 − sen θ1 sen θ2)] + i [(cos θ1 sen θ2 − sen θ1 cos θ2)]
= r1.r2 [cos(θ1 + θ2) + i sen(θ1 + θ2)]
Fim
Deixamos a segunda parte como exercício!
Teorema 4: Formula de De Moivre
8
CAPÍTULO 1. SOBRE NÚMEROS COMPLEXOS
Se n é inteiro,
[r. (cos θ1 + i sen θ1)]n = rn [cos (nθ) + i sen (nθ)]
Exemplo 3
Calcule
(
1 + i
√
3
)20
Decorre da fórmula de Moivre que:
n√
r (cos θ + i sen θ) = n
√
r
[
cos
(
θ + 2kpi
n
)
+ i sen
(
θ + 2kpi
n
)]
Exemplo 4
Determine as raízes cúbicas de 8.
1.5 Exercícios
1 Determine
(
1− i√3
)5
2 Determine
∥∥∥∥1 + ai1− ai
∥∥∥∥ a real.
3 Qual a relação entre os argumentos de um complexo e de seu simétrico?
4 Qual a relação entre os argumentos de um complexo e de seu conjugado?
5 Calcule
(√
3 + i
)−12
6 Se z =
√
3
2 +
1
2i, determine o valor de 1 + z + z
2 + . . .+ z50
7 Determine os valores inteiros de n para os quais
(
1−√3i
)n
é imaginário puro.
8 determine as raízes cúbicas de i.
9 determine as raízes quartas de −16.
10 Resolva as equações:
a) z2 + 2iz − 5 = 0
b) z3 + 1 = 0
c) z3 + z2 + z + 1 = 0
9
CAPÍTULO 1. SOBRE NÚMEROS COMPLEXOS
d) z6 + 7z3 − 8 = 0
11 Sendo |z| = 3 e |w| = 4 o que se pode afirmar sobre os argumentos de z e de w se:
a) |z + w| = 5?
b) |z + w| = 7?
c) |z + w| = 1?
d) |z + w| = √37?
1.6 Conjuntos de pontos no Plano
Dados os números r > 0 e z0 complexo qualquer, chama-se disco de centro z0 e raio r ao
conjunto Dr(z0) de todos os números complexos que estão a uma distância menor que r
do ponto z0.
z0
r
V
,Dr(z0)
Figura 1.3: Disco de centro z0
Chama-se vizinhança de um ponto z0 a todo conjunto V que contem um disco de centro
z0. Em particular, qualquer disco Dr(z0) é uma vizinhança de z0. Dizemos que o ponto
z0 é um ponto interior de um conjunto V se V é vizinhança de z0, isto é existe um
disco de centro z0 todo contido em V . Dizemos que V é aberto se todos os seus pontos
são interiores, ou seja, se V é vizinhança de cada um dos seus pontos. Um conjunto é
dito fechado quando o seu complementar é aberto. Lembre-se que o complementar de
um conjunto V é o conjunto V¯ dos pontos que não pertencem a V .
10
CAPÍTULO 1. SOBRE NÚMEROS COMPLEXOS
z0
V
Fronteira
Figura 1.4: Pontos da Fronteira
Chama-se Fronteira ou contorno de V ao conjunto dos pontos z tais que qualquer vizi-
nhança de z0 possua pontos de V e de V .
Nenhum ponto interior a um conjunto pode ser ponto da fronteira e nenhum ponto da
fronteira pode ser ponto interior. Em consequência, um conjunto é aberto se e somente
se ele não contiver pontos da fronteira. É imediato que um conjunto é fechado se tiver
pontos da fronteira.
Dizemos que z0 é ponto de acumulação de um conjunto V se qualquer vizinhança de z0
contiver infinitos pontos de V .
1.7 Exercicios
1 Sejam os complexos z = 2x−3i e t = 2+yi, onde x e y são números reais. Se z = t,
então o produto x.y vale?
2 Qual o é o quociente de (8 + i)/(2− i) ?
3 Dadas as alternativas abaixo
I. i2 = 1 II. (i+ 1)2 = 2i III. 12(4 + 3i) = 5
IV. (1+2i)(1−2i) = 5
Pode-se dizer que
(a) todas as alternativas acima estão corretas
(b) todas as alternativas acima estão erradas
(c) as alternativas I e III estão erradas
(d) as alternativas II, III e IV estão corretas
(e) as alternativas I e III estão corretas
4 Se i é um número complexo e i¯ o seu conjugado, então, o número de soluções da
equação i¯ = i2 é?
5 Os complexos u e I, de módulo igual a 1, são representados no plano de Argand-
Gauss por dois pontos simétricos em relação ao eixo real. Vale então a relação:
11
CAPÍTULO 1. SOBRE NÚMEROS COMPLEXOS
(a) u.I¯ = 1
(b) u.I = 1
(c) u+ I = 0
(d) u.I = 0
(e) n.r.a.
6 O módulo do complexo z, tal que z2 = i, é
7 Qual o valor de m, real, para que o produto (2 + mi).(3 + i) seja um imaginário
puro?
8 O conjugado de (2− i)/i vale:
9 Se os números complexos z e w são tais que z = 2 − 5i e w = a + bi, sabendo-se
que z + w é um número real e z.w é um imaginário puro, pede-se calcular o valor
de b2 − 2a.
10 Se o número complexo z = 1 − i é uma das raízes da equação x10 + a = 0, então
calcule o valor de a.
12
CAPÍTULO2
Funções Analíticas
Vamos considerar uma função de uma variável complexa, f(z). Uma função de variável
complexa é simplesmente uma regra que estabelece uma relação entre números complexos
em uma certa região D, que é o domínio da função, em uma outra região I, que é a
sua imagem. O domínio e a imagem podem ser finitos, puramente reais, imaginários,
ilimitados ou ate mesmo todo o plano complexo. Como a função f(z) é um numero
complexo, podemos escrever
f(z) = u(x, y) + iv(x, y)
z f(z)
D I
Figura 2.1: Função de Variável Complexa
Sendo que:
u = u(x, y) representa a parte real da função Ref(z);
v = v(x, y) representa a parte imaginária da função Imf(z);
Exemplo 5
Sendo f(z) = z2 + 3z − 5, temos
u = x2 − y2 + 3x− 5
13
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES ANALÍTICAS
v = 2xy + 3y
14
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES ANALÍTICAS
2.1 Limite e Continuidade
Dizemos que uma função f(z) tem limite L com z tendendo a z0 quando a distância
|f(z)−L| entre f(z) e L pode ser feita arbitrariamente pequena, desde que se restrinja z
a uma vizinhança conveniente de z0. graficamente:
z0z
δ
L
�
f(z)
Figura 2.2: Limite de uma função geometricamente
Definição 2
Se z0 é um ponto de acumulação do domínio D de uma função f então
lim
z→z0
f(z) = L
se, dado qualquer � > 0 existe um δ > 0 tal que
z ∈ D, 0 < |z − z0| < δ ⇒ |f(z)− L| < �
. Equivalentemente:
z ∈ D ∩ Vδ(z0)⇒ f(z) ∈ V�(L)
.
Observe que z0 não precisa ser necessariamente um ponto do domínio de f .
Definição 3
Se lim
z→z0
f(z) = f(z0) então f é contínua em z0.
Teorema 5
Seja f = u+ iv e L = U + iV . Então
lim
z→z0
f(z) = L⇔ lim
z→z0
u(x, y) = U e lim
z→z0
v(x, y) = V
15
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES ANALÍTICAS
Corolário 2
Uma função f(z) = u(x, y) + iv(x, y) é contínua se, e somente se, as funções u e v são
contínuas
Teorema 6
Se lim
z→z0
f(z) = F e lim
z→z0
g(z) = G então
(i) lim
z→z0
[f(z) + g(z)] = F +G
(ii) lim
z→z0
[f(z)× g(z)] = F ×G
(iii) lim
z→z0
[f(z)÷ g(z)] = F ÷G G 6= 0
Teorema 7
Se lim
z→z0
f(z) = F então existe uma vizinhança Vδ(z0) onde f(z) é limitada.
Teorema 8
A soma e o produto de funções contínuas são contínuas. O quociente é contínuo se o
denominador não se anula.
2.1.1 Exercícios
1 Calcule os seguintes limites, usando fatoração quando possível
(a) lim
z→2i
(
iz4 + 3z2 − 10i
)
(b) lim
z→1+i
(
z − 1− i
z2 − 2z + 2
)2
(c) lim
z→−i
(
(2z − 3)(4z + 1)
(iz + 1)2
)
(d) lim
z→epii/4
(
z2
z4 + z + 1
)
(e) lim
z→3
(
z4 − 81
z2 − 9
)
(f) lim
z→4
(
z2 − 2z − 8
z2 + 2z − 24
)
16
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES ANALÍTICAS
2.2 Funções Analíticas
Diferente do que acontece com as funções de uma variável real, quando se analisa o
comportamento de uma função de uma variável complexa na vizinhança de um ponto
z0 é necessário considerar os diferentes caminhos tomados para se chegar a z0 no plano
complexo. De modo análogo ao que ocorre com funções de duas variáveis reais, diremos
que uma função f : D → C é derivável em z0 se sua derivada não depende do caminho
tomado para se chegar a z0.
Seja f uma função cujo domínio é uma região R(conjunto aberto conexo) e seja z um
ponto de R. Diz-se que f tem derivada no ponto z se existe o limite
lim
h→0
f(z + h)− f(z)
h
ou, o que é equivalente, se existe
lim
w→z
f(w)− f(z)
w − z
.
Quando esse limite existe, ele define uma nova função de z, a função derivada da função
f , designada por f :
f ′(z) = lim
h→0
f(z + h)− f(z)
h
Definição 4
Uma função f : D ← C é analítica em uma região R se é derivável em cada ponto de
R. f é analítica no ponto z0 se é analítica numa região contendo z0.
2.3 Regras de derivação
As funções elementares, estendidas para o plano complexo, são analíticas. Veremos alguns
exemplos simples deste fato.
Vale que:
A função continua f(z) = z0 é analítica e sua derivada é nula em todo ponto.
Se f(z) = z2 então
f ′(z) = lim
h→0
f(z + h)− f(z)
h
= lim
h→0
(z + h)2− z2
h
= lim
h→0
2zh+ h2
h
= lim
h→0
2z + h
= 2z
Generalizando temos que f(z) = zn ⇒ f ′(z) = nzn−1
17
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES ANALÍTICAS
A soma e o produto de funções analíticas são analíticas, como também o quociente é
analítico se o denominador for não-nulo. As seguintes regras se aplicam:
(a) (f + g)′ = f ′ + g′
(b) (f.g)′ = f ′g + fg′
(c)
(
f
g
)′
= f
′g − fg′
g2
se g 6= 0
Vale que:
Se uma função é derivável num ponto z0, então f é continua nesse ponto.
2.4 Exercícios
1 Calcule as derivadas das seguintes funções
(a) f(z) = 1− z2 + 4iz5
(b) f(z) = (z2 − 3)5(iz + 3)2
(c) f(z) = 3i− (1− i)z
2
2z3 − iz2 + 3i
2.5 As equações de Cauchy-Riemann
Seja f(z) = u+ iv uma função derivável em z = x+ iy. Então o limite
f ′(z) = lim
h→0
f(z + h)− f(z)
h
existe e independe de como hz −→ 0. Tomamos em particular dois caminhos. Primeiro
faremos h = k, um real puro, o que corresponde a z se aproximando de z0 ao longo do
eixo real. Neste caso temos
f ′(z) = lim
k→0
u(x+ k, y) + iv(x+ k, y)− u(x, y)− iv(x, y)
k
= lim
k→0
u(x+ k, y)− u(x, y) + iv(x+ k, y)− iv(x, y)
k
= ∂u(x, y)
∂x
+ i∂v(x, y)
∂x
Em seguida usaremos outro caminho para encontrar a derivada, tomando h = it, o que
corresponde a tomar z se aproximando de z0 ao longo do eixo imaginário. Agora temos
que:
f ′(z) = lim
t→0
u(x, y + t) + iv(x, y + t)− u(x, y)− iv(x, y)
it
= lim
t→0
u(x, y + t)− u(x, y) + iv(x, y + t)− iv(x, y)
k
Para explicitar as partes real e imaginária deste limite multiplicamos numerador e deno-
minador por −i,
= ∂u(x, y)
∂x
+ i∂v(x, y)
∂x
18
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES ANALÍTICAS
Para que a função seja derivável os limites tomados para os dois casos devem ser iguais.
Identificando então as partes reais e imaginárias nas duas expressões chegamos às equa-
ções:
∂u(x, y)
∂x
= ∂v(x, y)
∂y
∂u(x, y)
∂y
= −∂v(x, y)
∂x
Estas são as equações de Cauchy-Riemann. Para simplificar a notação faremos:
∂u
∂x
= ux;
∂v
∂y
= vy;
∂u
∂y
= uy;
∂v
∂x
= vx
de forma que as equações de Cauchy-Riemann podem ser escritas simplesmente como
ux = vy;uy = −vx
Estas condições, no entanto, são necessárias mas não suficientes para que f = u + iv
seja uma função analítica. O seguinte teorema exibe as condições para que isto seja
verdadeiro.
Teorema 9
Sejam u(x, y) e v(x, y) funções reais com derivadas parciais contínuas numa região R.
Então as equações de Cauchy-Riemann são condições necessárias e suficientes para
que f = u+ iv seja analítica.
Em resumo, uma função f(z) = u(x, y) + i(x, y) é analítica se as condições de Cauchy-
Riemann, ux = vy e uy = −vx são satisfeitas e se as derivadas parciais são contínuas.
Observe que, se f é uma função analítica, para encontrar sua derivada podemos tomar
h→ 0 ao longo de qualquer caminho, em particular podemos fazer h=t, como fizemos na
derivação das equações de Cauchy-Riemann. Esta derivada é, portanto:
df(z)
dz
= ∂f(z)
∂x
Em alguns caso pode ser conveniente usar a derivada parcial na variável y.
Exemplo 6
A função f(z) = z¯ não é analítica.
Solução
De fato, note que z¯ = x− iy e portanto
u(x, y) = x, ux = 1, uy = 0
v(x, y) = −y vx = 0, vy = −1
Exemplo 7
19
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES ANALÍTICAS
Afunção f(z) = z2 é analítica?
Solução
f(z) = (x+ iy)2 = x2 − y2 + 2xyi Suas partes real e imaginária são:
u(x, y) = x2 − y2
v(x, y) = 2xy
e suas derivadas parciais
ux = 2x, vx = 2x
uy = −2y, vy = 2y
Como ux = vy e uy = −vx e as derivadas parciais são contínuas então a função é
analítica. Sua derivada é:
dz2
dz
= ∂z
2
∂x
= ux + ivx = 2x+ 2iy = 2z
Exemplo 8
Vamos verificar que se a função f(z) = 1/z é analítica e encontrar sua derivada.
Solução
Precisamos primeiro escrever a função de forma a explicitar sua parte real e imaginária
f(z) = 1
z
= 1
x+ iy =
1
x+ iy .
x− iy
x− iy =
x− iy
x2 + y2
portanto
u(x, y) = x
x2 + y2 , v(x, y) =
−y
x2 + y2
20
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES ANALÍTICAS
Lembrando que temos a derivada do quociente teremos:
ux =
y2 − x2
(x2 + y2)2
uy =
−2xy
(x2 + y2)2
vx =
2xy
(x2 + y2)2
vy =
y2 − x2
(x2 + y2)2
Observamos que as equações de Cauchy-Riemann, ux = vy,uy =?vx,são satisfeitas em
todo o plano complexo. No entanto as derivadas parciais de u e v não são contínuas em
(x, y) = (0, 0) de onde concluímos que f(z) é analítica em C− 0. Fora de z = 0 a função
é analítica dai:
d
dz
(1
z
)
= ∂
∂x
(1
z
)
= ∂
∂x
(
x− iy
x2 + y2
)
= − 1
z2
Exemplo 9
(a) f(z) = ez
(b) f(z) = zz¯
(c) f(z) = 1
2.6 Cauchy-Riemann em coordenadas polares
Algumas vezes é mais fácil trabalhar com as funções em coordenadas polares para tes-
tar sua analiticidade. Para obter as equações de Cauchy-Riemann nestas coordenadas
partimos das relações entre as coordenadas polares e as coordenadas cartesianas,
x = r cos θ
y = r sen θ
Se f é uma função de x e y, que, por sua vez, são funções de r e θ,
f = f (x(r, θ), y(r, θ))
podemos relacionar as derivadas parciais calculadas nos dois sistemas de coordenadas por
meio da regra da cadeia:
∂f
∂r
= ∂f
∂x
.
∂x
∂r
+ ∂f
∂y
.
∂y
∂r
∂f
∂θ
= ∂f
∂x
.
∂x
∂θ
+ ∂f
∂y
.
∂y
∂θ
21
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES ANALÍTICAS
Como estas duas relações são válidas independentemente da função f considerada podemos
escrever as relações de operadores,
∂
∂r
= ∂
∂x
.
∂x
∂r
+ ∂
∂y
.
∂y
∂r
∂
∂θ
= ∂
∂x
.
∂x
∂θ
+ ∂
∂y
.
∂y
∂θ
Precisaremos das derivadas
xr = cos θ, yr = sen θ
xθ = −r sen θ, yθ = r cos θ
Então
∂
∂r
=

∂
∂x
. cos θ + ∂
∂y
. sen θ
∂
∂x
.(−r sen θ) + ∂
∂y
.r cos θ
Em particular
ur = cos θ.ux + sen θ.uy, vr = cos θ.vx + sen θ.vy
uθ = −r sen θ.ux + r cos θ.uy, vθ = −r sen θ.vx + r cos θ.vy
obtemos então as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares:
∂u
∂r
= 1
r
∂v
∂θ
∂v
∂r
= −1
r
∂u
∂θ
Já sabemos que, se a função é analítica, sua derivada, em coordenadas cartesianas, é
df(z)
dz
= ∂f(z)
∂x
A derivada parcial em x pode ser associada às derivadas em r e θ da seguinte forma:
primeiro calculamos as derivadas parciais
∂r
∂x
= ∂
∂x
√
x2 + y2 = x√
x2 + y2
= x
r
= cos θ
∂θ
∂x
= ∂
∂x
arctan
(
x
y
)
= 11 + (y/x)2 .
−y
x2
= −y
x2 + y2 =
sen θ
r
Em seguida, usando a regra da cadeia, temos
∂
∂x
= ∂
∂r
.
∂r
∂x
+ ∂
∂θ
.
∂θ
∂x
= cos θ ∂
∂r
− sen θ
r
∂
∂θ
Portanto
df(z)
dz
= cos θ∂f(z)
∂r
− sen θ
r
∂f(z)
∂θ
De maneira análoga podemos listar a derivada parcial em y.
Exemplo 10
22
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES ANALÍTICAS
Vamos verificar se a função f(z) = 1/z é analítica.
Solução
f(z) = 1
z
= 1
r e iθ =
e−iθ
r
= 1
r
(cos θ − i sen θ)
Portanto 
u(r, θ) = 1
r
cos θ
v(r, θ) = −1
r
sen θ
Calculamos agora as derivadas parciais:
ur = − 1
r2
cos θ uθ = −1
r
sen θ
vr = − 1
r2
sen θ vθ = −1
r
cos θ
(2.1)
portanto ur =
1
r
vθ, vr =?
1
r
uθ e as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas. No
entanto as derivadas parciais não são contínuas em r = 0 logo f(z) não é analí-
tica em z = 0,como já havíamos concluído usando a representação em coordenadas
cartesianas.
2.7 Interpretação geométrica da analiticidade
Para o estudo que se segue será útil fazer uma revisão dos conceitos de curva de nível e
gradiente. Dada uma função de duas variáveis, z = u(x, y), então, se k é uma constante,
u(x, y) = k, representa famílias de curvas em R2,cada curva correspondendo a um valor
da constante k. Estas são as chamadas curvas de nível de u consistindo no conjunto de
pontos de R2 que são levados no mesmo valor k pela função u. Definimos o gradiente deu como o vetor
∇u =
(
∂u
∂x
,
∂u
∂y
)
e observamos que o gradiente é perpendicular a um vetor tangente às curvas de nível,
u = k3u = k2u = k1
−→du −→∇u
Figura 2.3: Interpretação do vetor gradiente
Observe que temos da figura que
∇u.−→dx = 0⇒ ∇u ⊥ −→dx
23
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES ANALÍTICAS
Ou seja os vetores são ortogonais.
Teorema 10
Se a função f = u + iv é analítica em uma região R então as curvas de nível das
famílias u(x, y) = k1 e v(x, y) = k2 com k1 e k2 constantes, se cruzam em ângulo reto
(são ortogonais) em todo ponto z0 ∈ R satisfazendo f ′(z0) 6= 0.
Prova:(O porque!)
Como ∇u = (ux, uy) é norma às curvas u = k, enquanto ∇v = (vx, vy) é normal às
curvas v = k. Tomamos o produto escalar
∇u.∇v = (ux, uy).(vx, vy) = uxvx + uyvy
Usando as condições de Cauchy-Riemann para a analiticade de f temos
∇u.∇v = −uxuy + uyuy = 0
de onde concluímos que
∇u ⊥ ∇v
Fim
Exemplo 11
Vamos verificar a perpendicularidade estudada acima para a função w = z2 = x2 −
y2 + 2ixy.
2.8 Exercicios
1 Encontre as partes real e imaginárias das seguintes funções:
a) w = z2?5z + 3
b) w = e?iz
c) w =
√
z
d) w = z + 2
z − i
2
3 Use as Equações de Cauchy-Riemann para verificar a analiticidade das seguintes
funções:
a) w = (x2 − y2 − 2x) + 2iy(x− 1)
b) w = (ey + e−y) sen x+ i(ey + e−y) cosx
24
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES ANALÍTICAS
c) w = x
x2 + y2 − i
y
x2 + y2
4 Mostre que as seguintes funções não são analíticas em ponto algum:
a) w = x2y2 + 2ix2y2
b) w = ey(cosx+ i sen x)
c) w = exy− e−xy + ixy
5 Verifique se são analíticas e, em caso afirmativo, em que região são analíticas e quais
as derivadas das funções:
a) w = z3,
b) w = ey + ix
c) w = e−z
d) w =
√
z
e) w = z¯
2.9 Logaritmo
Uma das motivações que levaram ao estudo dos números complexos foi exatamente a
necessidade de se atribuir algum sentido ao logaritmo de números negativos, que não está
definido para os reais. Como veremos a extensão desta função para os complexos está
definida em C− 0. Esta extensão é obtida de modo natural escrevendo-se
ln z = ln r e iθ = ln r + ln e iθ = ln r + iθ
lembrando que a parte real está bem definida se z 6= 0 pois, neste caso, r = |z| > 0. Se
z é real então θ = 0 e ln z = ln r e o logaritmo coincide com a função real. Com esta
definição podemos dar um sentido ao logaritmo de um número negativo.
Como já visto o logaritmo é analítico para z 6= 0 no ramo principal, conclusão que pode
ser ampliada para qualquer ramo. Por outro lado, usando a regra da cadeia, obtemos sua
derivada,
d
dz
ln(z) =
(
1
r
∂r
∂x
+ i ∂θ
∂x
)
=
(
cos θ
r
− isen θ
r
)
= e−iθ
r
= 1
r eiθ =
1
z
2.10 Funções trigonométricas
A partir da equação de Euler e seu conjugado complexo
eiy = cos y + i sen y
e−iy = cos y − i sen y
podemos verificar que as funções trigonométricas seno e cosseno podem ser escritas como
cos y = e
iy + e−iy
2
sen y = e
iy − e−iy
2
25
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES ANALÍTICAS
definidas apenas para valores reais de y. Podemos extender as funções para ter validade
sobre todo o plano complexo fazendo
cos z = e
iz + e−iz
2
sen z = e
iz − e−iz
2 (2.2)
De forma análoga definimos
tg z = sen zcos z , cotg z =
cos z
sen z , sec z =
1
cos z , cossec z =
1
sen z
respectivamente a tangente, cotangente, secante e cossecante. As derivadas das funções
continuam formalmente iguais as derivadas no eixo real:
2.11 Exercícios
1 Mostre que ln(−1) = (2k + 1)pii e ln(i) =
(
4k + 1
2
)
pi onfde k = 0,±1,±2, . . .
2 Determine as raízes de:
a) ez +1 = 0
b) e 2z + e = 0
c) ez +
√
3− 3i = 0
d) ln z = pi/2
e) ez +6 e−z −5 = 0
f) e 3z − 4 + 1 = 0
3 Mostre que são válidas as seguintes relações:
a) (sen z)′ = cos z
b) (cos z)′ = − sen z
c) sen2 z + cos2 z = 1
26
CAPÍTULO3
Teoria da Integral
3.1 Representação Paramétrica de Curvas
Sejam
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
Funções contínuas de uma variável t, definimos para t ∈ [a, b]. AS equações 3.1 são
chamadas equações paramétricas de uma curva e t é chamado parâmetro.
Dadas as equações paramétricas de uma curva, podemos obter uma equação vetorial para
ela. Basta considerar o vetor posição r¯(t) de cada ponto da curva. As componentes de
r¯(t) são precisamente as coordenadas do ponto (ver 3.1). Escrevemos
x
y
z
Figura 3.1: Curva no Espaço
r¯(t) = x(t)¯i+ y(t)j¯ + z(t)k¯, a 6 t 6 b (3.1)
Definição 5
Uma curva plana é uma curva que está contida em um plano no espaço. Uma curva
que não é plana chama-se curva reversa.
27
CAPÍTULO 3. TEORIA DA INTEGRAL
Figura 3.2: Exemplo de Curvas fechadas simples
Definição 6
(i) Uma curva parametrizada r¯t, t ∈ [a, b], é dita fechada se r¯(a) = r¯(b).
(ii) Se a cada ponto da curva corresponde um único valor do parâmetro t (exceto
quando t = a e t = b), dizemos que a curva é simples.
3.1.1 Parametrização de uma reta
As equações paramétricas da reta que passa pelo ponto (a1, a2, a3) e tem direção b1i¯ +
b2j¯ + b3k¯ são
x(t) = a1 + tb1
y(t) = a2 + tb2
z(t) = a3 + tb3
A reta passa pelo ponto A, que tem vetor posição a¯ e a direção do vetor b¯
x
y
z
a¯
b¯
A
a1
a2
a3
Figura 3.3: Reta no Espaço
3.1.2 Parametrização de uma circunferência
Na figura 3.4 visualizamos o parâmetro t, 0 6 t 6 2pi, que representa p ângulo formado
pelo eixo positivo dos x e o vetor posição de cada ponto da curva.
Do triângulo OAB na figura 3.4, obtemos:
x(t) = a cos t
y(t) = a sen t
28
CAPÍTULO 3. TEORIA DA INTEGRAL
x
y
a
P
r¯(t
)
t
x0
y0
A
O
Figura 3.4: Circunferência parametrizada
3.1.3 Parametrização da Elipse
Uma equação vetorial de uma elipse, no plano xy, com centro na origem e eixo nas direções
x e y é: Do triângulo ONA, obtemos x = a cos t, e do triângulo OMB, y = b sen t. Assim:
x
y
PB
A
t
x0
y0
O
M N
a
b
Figura 3.5: Elipse parametrizada
r¯(t) = a cos(t)¯i+ b sen(t)j¯, 0 6 t 6 2pi (3.2)
3.1.4 Outras Curvas
Hélice circular
x(t) = a cos t
y(t) = a sen t
z(t) = at tg θ
Cicloide
r¯(t) = a(t− sen(t))¯i+ a(1− cos(t))j¯ (3.3)
29
CAPÍTULO 3. TEORIA DA INTEGRAL
Hipocicloide
x(t) = (a− b) cos t+ b cos
(
a− b
b
)
t
y(t) = (a− b) sen t− b sen
(
a− b
b
)
t
3.2 Arcos e Contornos
Definimos arco contínuo como sendo um conjunto C de pontos do tipo:
C = {z(t) = x(t) + iy(t), a 6 t 6 b}
onde z(t) é contínua de t. Observamos que z(t) é contínua se, e somente se, x(t) e y(t)
são contínuas.
A representação paramétrica z = z(t) ordena os pontos de C de acordo com os valores
crescentes de t, de forma que C é um conjuntos ordenado ou orientado. O mesmo con-
junto co orientação oposta é o arco que designamos por −C e que possui representação
paramétrica:
z1(t) = z(−t), −b 6 t 6 −a
Chama-se arco de Jordan ou arco simples aquele em que cada ponto z(t) corresponde a
um único valor de t.
Chama-se curva fechada simples ou curva de Jordan a toda curva fechada cujos pontos,
a exceção das extremidades, sejam todas simples.
Chamaremos contorno ou caminho a todo arco contínuo que consiste de um número
finito de arcos regulares. Um contorno C tem então representação paramétrica do tipo
z = z(t), a 6 t 6 b, onde z(t) é uma função contínua no intervalo [a, b]. Este, por
sua vez, consiste num número finito de suintervalos [aj, bj], em que cada um dos quais a
derivada z′(t) é contínua e diferente de zero e tais que b1 = a2, b2 = a3, etc.
3.2.1 Exercícios
1 Identifique as curvas ou arcos de equações dadas a seguir, faça os gráficos e indique
as orientações em cada caso.
(a) z = 3t+ it2; −∞ < t <∞;
(b) z = r(cos t+ i sen t); −pi4 6 t 6 pi;
(c) z = 1
t
+ it; 1 6 t <∞;
(d) z = t+ 2i
t
; −∞ < t < 0;
(e) z = t+ i
√
1− t2; −1 6 t 6 1;
(f) z = t− i
√
1− t2; −16 t 6 1;
(g) z =
√
1− t2 + it; −1 6 t 6 1;
30
CAPÍTULO 3. TEORIA DA INTEGRAL
3.3 Integral do Contorno
Seja F (t) = U(t) + iV (t) uma função contínua de variável real t num intervalo [a, b]. Sua
integral é definida facilmente em termos das integrais das funções reais U e V , mediante
a expressão. ∫ b
a
F (t)dt =
∫ b
a
U(t) + iV (t)dt =
∫ b
a
U(t)dt+ i
∫ b
a
V (t)dt (3.4)
Desta definição seguem imediatamente as seguintes propriedades:
Re
∫ b
a
F (t)dt =
∫ b
a
ReF (t)dt, Im
∫ b
a
F (t)dt =
∫ b
a
ImF (t)dt (3.5)
As propriedades de linearidade∫ b
a
[F (t) +G(t)] dt =
∫ b
a
F (t)dt+
∫ b
a
G(t)dt (3.6)∫ b
a
c.F (t)dt = c.
∫ b
a
F (t)dt (3.7)
onde c é uma constante. A integral 3.4 goza também da propriedade (onde a < b)∣∣∣∣∣
∫ b
a
F (t)dt
∣∣∣∣∣ =
∫ b
a
|F (t)| dt (3.8)
Com base nas definições acima estamos em condições de definir a integral curvilínea ou
integral de contorno. ∫
C
F (z)dz (3.9)
onde C e um contorno qualquer e f = u + iv e uma função contínua em C. Usando a
representação do contorno C, z = z(t); a 6 t 6 b, definimos∫
C
F (z)dz =
∫ b
a
f(z(t))z′(t)dt (3.10)
3.3.1 Propriedades
Vale que:
i.
∫
−C
F (z)dz = −
∫ b
a
f(z)dz
ii.
∣∣∣∣∫
C
f(z)dz
∣∣∣∣ 6 ∫
C
|f(z)| |dz|
3.3.2 Exercícios
1 Dados os pontos a = (1, 0), b = (0,m),c = (1,m), calcule
∫
C
f(z)dz onde f(z) = z e
C é o caminho que liga a origem ao ponto C ao longos de três percursos diferentes:
Oc,Oac e Obc. Calcule
∫
C
f(z)dz onde:
(a) f(z) = |z|; C =
{
z = reiθ, pi/2 6 θ 6 pi
}
(b) f(z) = z2; C =
{
z = reiθ, 0 6 θ 6 pi
}
31
CAPÍTULO 3. TEORIA DA INTEGRAL
(c) f(z) = z2; C =
{
z = reiθ,−pi 6 θ 6 pi
}
(d) f(z) =
√
z; C =
{
z = reiθ, 0 6 θ 6 pi
}
(e) f(z) =
√
z; C =
{
z = reiθ,−pi 6 θ 6 pi
}
(f) f(z) = |z|; ao longo do segmento de reta de zero até −2 + 3i.
(g) f(z) = x2 − y2 + i(x− y2), ao longo do segmento de reta de zero a 3 + 2i.
(h) f(z) = y − x2, ao londo dos caminhos Oac e Obc, onde O = (0, 0), a = (2, 0),
b = (0, 1) e c = (2, 1).
2 Calcule
∫
C
z + 2
z
dz onde C é uma semicircunferência ou circunferência parametri-
zada por:
(a) z = 2 eiθ, 0 6 θ 6 pi
(b) z = 2 eiθ, pi 6 θ 6 2pi
(c) z = 2 eiθ, 0 6 θ 6 2pi
3 Calcule a integral dada ao longo do caminho indicado:
(a)
∫
C
z + 3dz ode C é x = 2t, y = 4t− 1, 1 6 t 6 3
(b)
∫
C
2z¯ − zdz ode C é x = −t, y = t2 + 2, 0 6 t 6 2
4 Calcule a integral de |z| nos seguintes casos:
(a) Ao longo do semi-circulo z = r eiθ, 0 6 θ 6 pi;
(b) Ao longo do semi-circulo z = r eiθ, pi2 6 θ 6
3pi
2 ;
5 Calcule a integral de
∫
C
√
zdz nos seguintes casos:
(a) Ao longo do semi-circulo z = r eiθ, −pi2 6 θ 6
pi
2 ;
(b) Ao longo do circulo z = r eiθ, 0 6 θ 6 2pi;
(c) Ao longo do circulo z = r eiθ, 0 6 θ 6 3pi;
3.3.3 Teorema de Cauchy
O seguinte teorema foi originalmente foi apresentada por Cauchy no início da década
de 1800, afirmando que a integral de uma função analítica, realizada sobre um contorno
fechado, é sempre nula. Antes de enunciar e provar o teorema de Cauchy vamos definir o
sentido orientação de um contorno e fazer uma breve revisão sobre o teorema de Green.
32
CAPÍTULO 3. TEORIA DA INTEGRAL
Definição 7
Dizemos que o contorno fechado C é positivamente orientado se um observador com
trajetória sobre esta curva deixa sempre a região interior envolvida por C à sua
esquerda. Os dois contornos, C1 e C2 na figura são positivamente orientados.
Figura 3.6
Teorema 11
Sejam P (x, y) e Q(x, y) duas funções definidas em uma região R simplesmente conexa
com derivadas primeiras contínuas. Então, para qualquer contorno fechado simples
C contido em R vale ∫ ∫
R
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dxdy =
∮
C
Pdx+Qdy (3.11)
onde R é a região interior a C.
Teorema 12
Seja f uma função analítica em uma região simplesmente conexa R. Então∮
C
f(z)dz = 0 (3.12)
onde C e qualquer caminho fechado em R.
A afirmação acima e equivalente a dizer que a integral∫ z2
z1
f(z)dz
não depende da escolha do caminho tomado mas apenas dos pontos extremos.
3.4 Integrais e Primitivas
O teorema de Cauchy, também conhecido como teorema de Cauchy-Goursat, é o teorema
fundamental da teoria das funções analíticas. Praticamente todos os principais resultados
que ainda estudaremos são consequência direta deste teorema. Em particular veremos que
funções analíticas possuem derivadas de todas as ordens e estas derivadas são contínuas.
Nesta seção mostraremos que uma função analítica possue uma primitiva.
33
CAPÍTULO 3. TEORIA DA INTEGRAL
Teorema 13
Seja f uma função analítica em uma região R simplesmente conexa. Então a forma
geral de sua primitiva é
F (z) =
∫ z
z0
f(w)dw + c (3.13)
onde C é uma constante arbitrária, z0 é um ponto fixo qualquer de R e a integração é
feita ao longo de um contorno inteiramente contido em R. Além disto a função F (z)
definida desta forma é analítica.
Corolário 3
Com base neste teorema temos:
∫ z1
z0
f(z)dz = F (z1)−F (z0) onde F (z) e uma primi-
tiva qualquer de f .
3.5 Exercicios
1 Verifique se sao nulas as seguintes integrais
∮
C
f(z)dz
(a) f(z) = z + 1
z − 3 , onde C e o circulo |z| = 2
(b) f(z) = 3z
2
z + 2i , onde C e o circulo |z| =
3
2
(c) f(z) = 3z e
z
z2 + 3 , onde C e o circulo |z| =
5
4
(d) f(z) = ln(z − 2i)
z + 2 , onde C é o quadrado de vértices ±1± i
(e) f(z) = ln(z + 1)
z2 − 9 , onde C é o circulo x
2 + y2 − 2x = 0
(f) f(z) = ln(z + i)
z2 − 9 , onde C é o circulo x
2 + y2 + 2x = 0
(g) f(z) = ln(z − 1 + i)
z2 + 9 , onde C é o quadrado de vértices ±1± i
(h) f(z) = 1
z2
, onde C é qualquer caminho que envolve a origem uma vez, no
sentido positivo
34
CAPÍTULO4
Transformada de Laplace
Oliver Heaviside, quando estudava processos simples para obter soluções de Equações
Diferenciais, vislumbrou um método de Cálculo Operacional que leva ao conceito ma-
temático da Transformada de Laplace, que é um método simples para transformar um
Problema com Valores Iniciais (PVI)1, em uma equação algébrica, de modo a obter uma
solução deste PVI de uma forma indireta, sem o cálculo de integrais e derivadas para ob-
ter a solução geral da Equação Diferencial. Pela utilidade deste método em Matemática,
na Computação, nas Engenharias, na Física e outras ciências aplicadas, o método repre-
senta algo importante neste contexto. As transformadas de Laplace são muito usadas em
diversas situações, porém, aqui trataremos de suas aplicações na resolução de Equações
Diferenciais Ordinárias Lineares.
4.1 A transformada
Recordemos um pouco sobre as séries de potência. Uma série de potência é uma série de
um parâmetro x, da seguinte forma:
A(x) =
∞∑
n=0
anx
n (4.1)
Considerando que estamos num caso discreto, ou seja as variáveis são discretas podemos
interpretar esta série como uma função da forma:
f : N→ R
Dessa forma escrevemos a série de potências como
A(x) =
∞∑
n=0
a(n)xn (4.2)
Podemos então estender o conceito para o caso contínuo, ou seja −∞ < t < ∞. Neste
caso utilizamos a integral. ∫ ∞
0
f(t)xtdt (4.3)
Note que
x = eln(x)
xt =
[
eln(x)
]t
35
CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Se x > 1 evidentemente a série não convergirá. Se 0 < x < 1 então teremos convergência
mas assim temos que ln(x) < 0
Fazendo −s = ln(x) teremos a expressão∫ ∞
0
f(t) e−st dt = F (s) (4.4)
Definição 8
Seja f uma função definida por t > 0. Então a integral∫ ∞
0
f(t) e−st dt = F (s)
é chamada de transformada de Laplace de f desde que a integral convirja.
Exemplo 12
Calcule L (1)
A transformada de Laplace depende de s, é representada por uma letra maiúscula F =
F (s), enquanto que a função original que sofreu a transformação depende de t é repre-
sentada por uma letra minúscula f = f(t). Para representara transformada de Laplace
da função f , é comum usar a notação L [f(t)] = F (s)
4.1.1 L , uma Transformada Linear
Para uma soma de funções, podemos escrever∫ ∞
0
e−st [αf(t) + βg(t)] dt = α
∫ ∞
0
f(t) e−st dt+ β
∫ ∞
0
g(t) e−st dt
quando ambas as integrais convergem. Segue-se então que
L [αf(t) + βg(t)] = αL [f(t)] + βL [g(t)]
Por causa da propriedade dada, L é uma transformada linear, ou operador linear
Uma relação muito útil nas definições da transformada de Laplace é a identidade de
Euler. Para todo número complexo, vale a relação:
eiα = cos(α) + i sen(α)
A partir desta identidade, podemos escrever
cos(α) = 12
[
eiα + e−iα
]
e sen(α) = 12i
[
eiα− e−iα
]
Exemplo 13
36
CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Mostre que:
(a) Se s > 0 então L (t) = 1
s2
(b) Se s, a ∈ < com s > 0 então L (eat) = 1
s− a
(c) Se Re(z) > 0 então L (cos(kt)) = z
z2 + k2
(d) Se Re(z) > 0 então L (sin(kt)) = k
z2 + k2
Teorema 14
As transformadas de Algumas funções Básicas são:
(i) L (1) = 1
s
(ii) L (tn) = n!
sn+1
(iii) L (eat) = 1
s− a
(iv) L (sen(kt)) = k
s2 + k2
(v) L (cos(kt)) = s
s2 + k2
(vi) L (sinh(kt)) = s
s2 − k2
(vii) L (cosh(kt)) = s
s2 − k2
Teorema 15
Seja f(t) uma função contínua por partes no intervalo [0,∞] e de ordem exponencial
para t > T , então, sua transformada de Laplace existe para todos s > c
Prova:(O porque!)
L {f(t)} =
∫ ∞
0
f(t) e−st dt
=
∫ T
0
f(t) e−st dt+
∫ ∞
T
f(t) e−st dt
= I1 + I2
37
CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE
A integral I1 existe porque pode ser escrita como uma soma de integrais em intervalos
nos quais e−stf(t) é contínua. Agora
|I2| 6
∫ T
0
f(t) e−st dt 6M
∫ T
0
f(t) e−st ect dt
= M
∫ T
0
f(t) e−(s−c)t dt
= −M− e
−(s−c)t
s− c
∣∣∣∣∣
∞
T
= −M− e
−(s−c)T
s− c para s > c
Isso implica que a integral I2 converge para todos s > c. Logo, a transformada existe
para todo s > c. Fim
Exemplo 14
Calcule:
(i) L (e−3t)
(ii) L (sen 2t)
(iii) L (3t− 5 sen 2t)
(iv) L (t e−2t)
(v) L (t2 e−2t)
(vi) L (f(t)) para f(t) =
0, 0 6 t < 32, t > 3
(vii) L (sen2 t)
4.1.2 Exercícios
1) Encontre a transformada de Laplace das funções:
L
{
2 e4t
}
a) L
{
3 e−2t
}
b) L {5t− 3}c)
L
{
2t2 − e−t
}
d) L {3 cos(5t)}e) L {10 sen(6t)}f)
L {6 sen(2t)− 5 cos(2t)}g) L
{(
t2 + 1
)2}
h) L
{(
sen(t)− cos(t)2
)2}
i)
L {3 cosh(5t)− 4 sinh(5t)}j)
Soluções:
38
CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE
2
s− 4a)
3
s+ 2b)
5− 3s
s2
c) 4 + 4s− s
3
s3(s+ 1)d)
3s
s2 + 25e)
60
s2 + 36f)
12− 5s
s2 + 4g)
s4 + 4s2 + 24
s5
h) s
2 − 2s+ 4
s (s2 + 4)i)
3s− 20
s2 − 25j)
2) Encontre a transformada de Laplace das funções:
L {F (t)} com F (t) =
0 0 < t < 24 t > 2a)
b)
L {F (t)} com F (t) =
2t 0 6 t 6 51 t > 2c)
Soluções:
4 e−2s/sa)
2
s2
(
1− e−5s
)
− 92 e
−5sb)
39
CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE
4.2 Transformada Inversa
A transformada de Laplace realiza a transformação de uma função no domínio t para s
ou seja L [f(t)] = F (s). Agora, nesta seção trabalharemos com o problema inverso, ou
seja dada uma função F (s), tentaremos encontrar uma função f(t) cuja transformada
de Laplace seja F (s). Dizemos que f(t) é a transformada de Laplace inversa de F (s) e
escrevemos:
f(t) = L −1[F (s)]
Assim utilizando o teorema 14 temos:
Teorema 16
(a) L −1
[1
s
]
= 1
(b) L −1
[
n!
sn+1
]
= tn
(c) L −1
[ 1
s− a
]
= eat
(d) L −1
[
k
s2 + k2
]
= sen(kt)
(e) L −1
[
s
s2 − k2
]
= cos(kt)
(f) L −1
[
s
s2 + k2
]
= sinh(kt)
(g) L −1
[
s
s2 − k2
]
= cosh(kt)
Exemplo 15
(a) L −1
[ 1
s5
]
(b) L −1
[ 1
s2 + 64
]
(c) L −1
[3s+ 5
s2 + 7
]
(d) L −1
[
1
(s− 1)(s+ 2)(s+ 4)
]
(e) L −1
[
s+ 1
(s2)(s+ 2)3
]
40
CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE
(f) L −1
[
3s− 2
(s3)(s2 + 4)
]
4.3 Exercícios
1)
L −1
{ 3
s+ 4
}
a) L −1
{ 1
2s− 5
}
b) L −1
{ 8s
s2 + 16
}
c) L −1
{ 6
s2 + 4
}
d)
L −1
{3s− 12
s2 + 8
}
e) L −1
{2s− 5
s2 − 9
}
f) L −1
{ 1
s5
}
g) L −1
{ 12
4− 3s
}
h)
Soluções:
3 e−4ta) 12 e 5t/2b) 8 cos 4tc) 3 sen 2td)
3 cos 2
√
2t−3√2 sen s√2te) 2 cosh 3t−53 sinh 3tf)
t4
24g) −4 e
4t/3h)
4.4 Teoremas de Translação e Derivada
Teorema 17
Primeiro Teorema da Translação:
Se a é um número real, então
L
[
eat f(t)
]
= F (s− a)
em que F (s) = L [f(t)]
Exemplo 16
Calcule L
[
e5t t3
]
e L
[
e−2t cos 4t
]
4.4.1 Forma Inversa do primeiro teorema
A forma inversa do teorema 17 pode ser escrita em que
f(t) = L −1 [F (s)]
Exemplo 17
41
CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Calcule L −1
[
s
s2 + 6s+ 11
]
Teorema 18
Se a for uma constante positiva, então
L (f(t− a)g(t− a)) = e−as F (s)
em que F (s) = L {f(T )}
Exemplo 18
Calcule L
{
(t− 2)3(t− 2)
}
4.5 Exercícios
1) Encontre a transformada de Laplace das funções:
L
{
t3 e−3t
}
a) L
{
e−t cos(2t)
}
b) L
{
2 e−3t sen(4t)
}
c)
L
{
(t+ 2)2 et
}
d) L
{
e2t (3 sen(4t)− 4 cos(4t))
}
e) L
{
e−4t cosh(2t)
}
f)
L
{
e−t (3 sinh(2t)− 5 cosh(2t))
}
g)
Soluções:
6
(s+ 3)4
a) (s+ 1)
s2 + 2s+ 5b)
8
s2 − 6s+ 25c)
4s2 − 4s+ 2
(s− 1)3d)
20− 4s
(s2 − 4s+ 20)e)
s+ 4
(s2 + 8s+ 12)f)
1− 5s
(s2 + 2s− 3)g)
4.6 Transformadas de Derivadas
Nosso objetivo é usar a transformada de Laplace para resolver certos tipos de equações
diferenciais. Para isso, precisamos calcular quantidades como L
{
dy
dt
}
e L
{
d2y
dt2
}
. Por
exemplo, se f ′ for contínua para t > 0, então a integração por partes proporciona
L {f ′(t)} =
∫ ∞
0
f ′(t) e−st dt
= e−st f(t)
∣∣∣∞
0
+ s
∫ ∞
0
e−st dt
= −f(0) + sL {f(t)}
42
CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE
ou
L {f ′(t)} = sF (s)− f(0) (4.5)
Aqui, estamos supondo que e−st f(t)− → 0 quando f →∞. Analogamente.
L {f ′′(t)} =
∫ ∞
0
f ′′(t) e−st dt
= e−st f(t)
∣∣∣∞
0
+ s
∫ ∞
0
e−st f ′(t)dt
= −f(0) + sL {f ′(t)}
= s [sF (0)− f(0)]− f ′(0) (4.6)
ou
L {f ′′(t)} = s2F (s)− sf(0)− f ′(0) (4.7)
Os resultados das equações 4.5 e 4.7 são casos particulares do teorema que fornece a
transformada de laplace da n-ésima derivada de f .
Teorema 19
Se f(t), f ′(t), . . . , f (n−1)(t) forem contínuas em [0,∞], então
L
{
f (n)(t)
}
= snF (s)− s(n−1)f(0)− s(n−2)f ′(0)− . . .− f (n−1)(0)
em que F (s) = L {f(t)}
4.7 Convolução
Se as funções f e g forem contínuas por partes em [0,∞], então a convolução de f e g,
denotada por f ∗ g, é dada pela integral
f ∗ g =
∫ t
0
f(τ)g(t− τ)dτ
Valendo que f ∗ g = g ∗ f .
Exemplo 19
A convolução de f(t) = et e g(t) = sen t é:
Solução
et ∗ sen t =
∫ t
0
eτ sen(t− τ)dτ
= 12
(
− sen t− cos t+ et
)
43
CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE
É possível calcular a transformada de Laplace da convolução de duas funções, sem precisar
resolver a integral em τ . Esse resultado é conhecido como teorema da convolução.
Teorema 20
Sejam f(t) e g(t) funções contínuas por partes em [0,∞] e de ordem exponencial,
então:
L {f ∗ g} = L {f(t)}L {g(t)} = F (s)G(s)
Exemplo 20
Calcule f ∗ g sendo f(t) = et e g(t) = sen t
4.8 Exercícios
1) Utilize as frações parciais para encontrar a transformada inversas das funções abaixo:
L −1
{ 3s+ 16
s2 − s− 6
}
a) L −1
{3s− 1
s2 − s
}
b)
Soluções:
5 e3t−2 e−2ta) 1− 32 e
−t +12 e
tb)
2) Utilize as frações parciais para encontrar a transformada inversas das funções abaixo:
L −1
{
s+ 1
6s2 + 7s+ 2
}
a) L −1
{
11s2 − 2s+ 5
(s− 2)(2s− 1)(s+ 1)
}
b)
Soluções:
1
2 e
−t/2−13e
−2t/3a) 5 e2t−32 e
t/2 +2 e−tb)
Utilize as frações parciais para encontrar a transformada inversas das funções abaixo:
L −1
{
27− 12s
(s+ 4)(s2 + 9)
}
a) L −1
{
s3 + 16s− 24
s4 + 20s2 + 64
}
b)
Soluções:
3 e−4t−3 cos 3ta) 12 sen 4t+ cos 2t− sen 2tb)
Utilize as frações parciais para encontrar a transformada inversas das funções abaixo:
L −1
{
s− 1
(s+ 3)(s2 + 2s+ 2)
}
a)
Soluções:
1
5 e
−t(4 cos t− 3 sen t)− 45 e
−3ta)
44
CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE
4.9 Aplicação: Resolução de EDO
Exemplo 21
dy
dt
− 3y = e2t, y(0) = 1
Exemplo 22
y′′ − 6y′ + 9y = t2 e3t, y(0) = 2, y′(0) = 6
Exemplo 23
y′′ + 4y′ + 6y = 1 + e−t, y(0) = 0, y′(0) = 0
4.10 Exercícios
Resolva as equações diferencias abaixo usando a transformada de Laplace.
Y ′′(t) + 4Y (t) = 12t Y (0) = 0, Y ′(0) = 7a)
Y ′′(t)− 3Y ′(t) + 2Y (t) = 4t+ 12 e−t Y (0) = 6, Y ′(0) = −1b)
Y ′′(t)− 4Y ′(t) + 5Y (t) = 125t2 Y (0) = Y ′(0) = 0c)
Y ′′(t) + Y (t) = 8 cos t Y (0) = 1, Y ′(0) = −1d)
Soluções:
Y (t) = 94t+
19
8 sen 2ta)
Y (t) = 3 et−2 e2t +2t+ 3 + 2 e−tb)
Y (t) = 25t2 + 40t+ 22 + 2 e2t(s sen t− 11 cos t)c)
Y (t) = cos t− sen t+ 4t sen td)
45
CAPÍTULO5
Series de Fourier
Emmuitas aplicações importantes da Engenharia, é necessário obtermos a aproximação de
uma função f(x) em um intervalo suficientemente grande. Em tais casos usamos as séries
de Fourier, assim chamamos em homenagem ao físico francês Joseph Fourier (1768-1830).
Enquanto a série de Taylos emprega potências de x com elementos fundamentais, a série
de Fourier tem como componentes básicos funções periódicas simples, tais como seno e
cosseno. A teoria das séries de Fourier é complicada, mas a aplicação delas é simples.
Em certo sentido, as séries de Fourier são mais universais que as séries de Taylor, porque
muitas funções periódicas descontinuas de interese prático podem ser desenvolvidas em
série de Fourier, não podendo, obviamente, ser desenvolvidas em série de Taylor.
5.1 Funções Ortogonais
Em matemática avançada, uma função é considerada como uma generalização de um ve-
tor. Veremos nesta seção com os dois conceitos vetoriais de produto interno(escalar) e
ortogonalidade podem ser estendidos a funções. Sejam u e v vetores no espaço tridimen-
sional, ou espaço-3. O produto interno (u, v) dos dois vetores, também denotado por u.v,
apresenta as seguintes propriedades:
(i) (u, v) = (v, u)
(ii) (ku, v) = k(u, v)
(iii) (u, u) = 0 se u = 0 e (u, u) > 0 se u 6= 0
(iv) (u+ v, w) = (u,w) + (v, w)
Naturalmente, é de se esperar que uma generalização do produto interno também apre-
sente essas propriedades.
5.1.1 Produto Interno
Sejam f1 e f2 funções definidas em um intervalo [a, b]. Como uma integral definida
do produto f1(x)f2(x) também apresenta as propriedades (i) − (iv) quando as integrais
existem, estamos em condições de formular a definição a seguir.
46
CAPÍTULO 5. SERIES DE FOURIER
Definição 9
O produto interno de duas funções f1 e f2 em um intervalo [a, b] é o número
(f1, f2) =
∫ b
a
f1(x)f2(x)dx
5.1.2 Funções Ortogonais
Motivados pelo fato de que dois vetores u e v são ortogonais quando seu produto interno
é zero, definimos de maneira análoga as funções ortogonais.
Definição 10
Duas funções f1 e f2 são ortogonais em um intervalo [a, b] se
(f1, f2) =
∫ b
a
f1(x)f2(x)dx = 0
Ao contrario do que ocorre na análise vetorial, onde a palavra ortogonal é sinônima de
perpendicular, no presente contexto esse termo não se aplica ou seja não tem significado
geométrico.
Exemplo 24
As funções f1(x) = x2 e f2(x) = x3 são ortogonais no intervalo [−1, 1]?
5.1.3 Conjuntos Ortogonais
Definição 11
Diz-se que um conjunto de funções com valores reais
{φ0(x), φ1(x), φ2(x), . . .}
é ortogonal em um intervalo [a, b] se
(φm, φn) =
∫ b
a
φm(x)φn(x)dx = 0, m 6= n
A norma, ou comprimento ‖u‖, de um vetor u pode ser expressa em termos do produto
interno, a saber, (u, u) = ‖u‖2 ou ‖u‖ =
√
(u, u). A norma, ou comprimento generalizado
de uma função φn é ‖φn(x)‖ =
√
(φn, φn) isto é:
‖φn(x)‖ =
√∫ b
a
φ2n(x)dx
47
CAPÍTULO 5. SERIES DE FOURIER
ou
‖φn(x)‖2 =
∫ b
a
φ2n(x)dx
é chamado norma quadrática ou quadrado da norma de φn. Se o {φn(x)} é um conjunto
ortogonal de funções no intervalo [a, b] com a propriedade de que ‖φn(x)‖ = 1 para
n = 0, 1, 2, . . . então {φn(x)} é chamado um conjunto ortonormal no intervalo.
Exemplo 25
Mostre que o conjunto {1, cosx, cos 2x, . . .} é ortogonal no intervalo [−pi, pi] Em se-
guida calcule a norma
Sejam três vetores v1, v2 e v3 três vetores não nulos, mutualmente ortogonais, o espaço
<3. Considere uma base com estes vetores
u = c1v1 + c2v2 + c3v3
onde os ci, i = 1, 2, 3 são escalares. Observe que cada componente ci pode ser expresso
em termos de u e do correspondente do vetor vi. observe:
(u, v1) = c1(v1, v1) + c2(v2, v1) + c3(v3, v1)
= c1‖v1‖2 + c2.0 + c3.0
c1 =
(u, v1)
‖v1‖2
(5.1)
analogamente, temos
c2 =
(u, v2)
‖v2‖2 e c3 =
(u, v3)
‖v3‖2
Assim pode ser expresso como
u = (u, v1)‖v1‖2 v1 +
(u, v2)
‖v2‖2 v2 +
(u, v3)
‖v3‖2 v3 =
3∑
n=1
(u, vn)
‖vn‖2 vn
Serie de Fourier
O conjunto de funções{
1, cos
(
pi
p
x
)
, cos
(
2pi
p
x
)
, . . . , sen
(
pi
p
x
)
, sen
(
2pi
p
x
)
, sen
(
3pi
p
x
)
, . . .
}
(5.2)
é ortogonal no intervalo [−p, p]. Suponha que f seja uma função definida no intervalo
[−p, p], que possa ser desenvolvida na série trigonométrica
f(x) = a02 +
∞∑
n=1
(
an cos
npi
p
x+ bn sen
npi
p
x
)
(5.3)
Então podemos determinar os coeficientes a0, a1, a2, . . . , b1, b2, . . . basta integrar ambos os
membros de 5.3 de −p a p donde:
∫ p
−p
f(x) dx = a02
∫ p
−p
dx+
∞∑
n=1
(
an
∫ p
−p
cos npi
p
x dx+ bn
∫ p
−p
sen npi
p
x dx
)
(5.4)
48
CAPÍTULO 5. SERIES DE FOURIER
Como cada função cos npi
p
x,sen npi
p
x, n > 1, é ortogonal a 1 no intervalo, o membro direito
da equação 5.4 se reduz a um único termo e, consequentemente,∫ p
−p
f(x) dx = a02
∫ p
−p
dx
= a02 x|
p
−p
= pa0
(5.5)
Resolvendo em relação a a0, obtemos
a0 =
1
p
∫ p
−p
f(x) dx
E assim obtemos o coeficiente a0, Vamos agora encontrar an e bn. Inicialmente multipli-
camos a expressão 5.3, por cos
(
m
pix
p
)
e integrando chegamos a seguinte expressão:
∫ p
−p
f(x) cos
(
mpi
p
x
)
dx = a02
∫ p
−p
cos
(
mpi
p
x
)
dx+
+
∞∑
n=1
(
an
∫ p
−p
cos npi
p
x cos
(
mpi
p
x
)
dx+ bn
∫ p
−p
cos
(
mpi
p
x
)
sen npi
p
x dx
) (5.6)
Pela ortogonalidade, temos
∫ p
−p
cos
(
mpi
p
x
)
dx = 0 m > 0
∫ p
−p
cos npi
p
x. cos mpi
p
x dx
= 0, m 6= n= p, m = n∫ p
−p
cos mpi
p
x. cos npi
p
x dx = 0
Assim, a equação se reduz a
∫ p
−p
f(x) cos
(
mpi
p
x
)
dx = anp
e portanto
an =
1
p
∫ p
−p
f(x) cos
(
npi
p
x
)
dx
Finalmente, multiplicando a 5.3 por sen
(
m
pix
p
)
, integrando e utilizando os resultados
chegamos
bn =
1
p
∫ p
−p
f(x) sen
(
npi
p
x
)
dx
49
CAPÍTULO 5. SERIES DE FOURIER
Definidos os termos a0, an e bn chamamos a série trigonométrica obtida de Série de Fou-
rier Assim podemos definir que:
Definição 12
Dizemos que uma série trigonométrica é uma série de Fourier quando:
f(x) = a02 +
∞∑
n=1
(
an cos
npi
p
x+ bn sen
npi
p
x
)
onde
a0 =
1
p
∫ p
−p
f(x)dx
an =
1
p
∫ p
−p
f(x) cos npi
p
xdx
bn =
1
p
∫ p
−p
f(x) sen npi
p
xdx
Exemplo 26
Desenvolva
f(x) =
0, −pi < x < 0pi − x, 0 < x < pi
numa série de Fourier
Convergencia de uma Série de Fourier
O teorema a seguir dá condições suficientes paraa convergência de uma série de Fourier
em um ponto.
Teorema 21
Sejam f e f ′ parcialmente contínuas no intervalo (−p, p); isto é, sejam fe f ′ contínuas
exceto em um número finito de pontos no intervalo e tendo apenas descontinuidades
finitas nesses pontos. Então, a série de Fourier no intervalo converge para f(x) em um
ponto de continuidade. Em um ponto de descontinuidade, a série de Fourier converge
para a média
f(x+) + f(x−)
2
onde:
f(x+) = lim
h→0
f(x+ h)
f(x−) = lim
h→0
f(x− h) (5.7)
50
CAPÍTULO 5. SERIES DE FOURIER
5.2 Exercícios
Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado:
f1(x) = x e f2(x) = x2, [−2, 2]?a) f1(x) = x3 e f2(x) = x2 + 1, [−1, 1]?b)
f1(x) = ex e f2(x) = x e−x− e−x, [0, 2]?c) f1(x) = cos x e f2(x) = sen2 x, [0, pi]?d)
Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma
de cada função do conjunto.
{sen x, sen 3x, sen 5x, . . .} [0, pi/2]a) {cosx, cos 3x, cos 5x, . . .} [0, pi/2]b)
{sennx} n = 1, 2, 3, . . . , [0, pi/2]c)
{
sen
(
npi
p
x
)}
n = 1, 2, 3, . . . , [0, p]d)
{
1, cos
(
npi
p
x
)}
n = 1, 2, 3, . . . , [0, p]e)
{
1, cos
(
npi
p
x
)}
n = 1, 2, 3, . . . , [0, p]f)
Sejam {φn(x)} um conjunto ortogonal de funções em [a, b] tal que φ0(x) = 1. Mostre que∫ b
a
φn(x)dx = 0 para n = n = 1, 2, 3, . . .
Ache a série de Fourier de f no intervalo dado
f(x) =
0, −pi < x < 01, 0 6 x < pia) f(x) =
−1, −pi < x < 02, 0 6 x < pib)
f(x) =
1, −1 < x < 0x, 0 6 x < 1c) f(x) =
0, −1 < x < 0x, 0 6 x < 1d)
f(x) =
0, −pi < x < 0x2, 0 6 x < pie) f(x) =
pi
2, −pi < x < 0
pi2 − x2, 0 6 x < pif)
f(x) = x+ pi, −pi < x < pig) f(x) = 3− 2x+ pi, −pi < x < pih)
f(x) =
0, −pi 6 x < 0sen x, 0 6 x 6 pii) f(x) =
0, −pi/2 < x < 0cosx, 0 6 x < pi/2j)
51
CAPÍTULO 5. SERIES DE FOURIER
5.3 Serie de Fourier do seno e cosseno
5.3.1 Funções Pares e Impares
Uma função é dita par quando:
f(x) = f(−x)
e impar quando:
f(−x) = −f(x)
Exemplo 27
Mostre se as funções abaixo são pares ou impares
a) f(x) = x2
b) f(x) = x3
c) f(x) = cos x
d) f(x) = sen x
Teorema 22
(a) O produto de duas funções pares é par.
(b) O produto de duas funções impares é par.
(c) O produto de uma função par e uma função impar é impar.
(d) A soma(diferença) de duas funções pares é par.
(e) A soma(diferença) de duas funções impares é impar.
(f) Se f é par, então
∫ a
−a
f(x) dx = 2
∫ a
0
f(x) dx
(g) Se f é impar, então
∫ a
−a
f(x) dx = 0
Séries do Cosseno e do seno
Se f é uma função par em (−p, p), então em vistas das propriedades, do teorema 22
podemos escrever os coeficientes a0, an e bn como:
52
CAPÍTULO 5. SERIES DE FOURIER
a0 =
1
p
∫ p
−p
f(x) dx = 2
p
∫ p
0
f(x) dx
an =
1
p
∫ p
−p
f(x) cos
(
npi
p
x
)
dx︸ ︷︷ ︸
par
= 2
p
∫ p
0
f(x) cos
(
npi
p
x
)
dx
bn =
1
p
∫ p
−p
f(x) sen
(
npi
p
x
)
dx︸ ︷︷ ︸
ímpar
= 0
(5.8)
Analogamente, quando f é impar no intervalo (−p, p) temos
bn =
2
p
∫ p
0
f(x) sen npi
p
xdx
Definição 13
A série de Fourier de uma função par no intervalo (−p, p) é a série do cosseno
f(x) = a02 +
∞∑
n=1
an cos
npi
p
x
onde:
a0 =
2
p
∫ p
0
f(x)dx
an =
2
p
∫ p
0
f(x) cos npi
p
xdx
A série de Fourier de uma função impar no intervalo (−p, p) é a série do seno
f(x) =
∞∑
n=1
bn sen
npi
p
x
onde:
bn =
2
p
∫ p
0
f(x) sen npi
p
xdx
Exemplo 28
Desenvolva f(x) = x, −2 < x < 2, em série de Fourier.
Exemplo 29
53
CAPÍTULO 5. SERIES DE FOURIER
Desenvolva f(x) =
−1, −pi < x < 01, 0 6 x < pi/ , em série de Fourier.
54
CAPÍTULO 5. SERIES DE FOURIER
5.4 Exercicios
1 Determine se a função é par, impar ou nenhuma das duas.
(a) f(x) = sen 3x
(b) f(x) = x cos 3x
(c) f(x) = x2 + x
(d) f(x) = x3 − 4x
(e) f(x) = e |x|
(f) f(x) = |x5|
2 Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
(a) f(x) =
−1, −pi < x < 01, 0 6 x < pi
(b) f(x) =

1, −2 < x < −1
0, −1 < x < 1
1, 1 < x < 2
(c) f(x) =
x− 1, −pi < x < 0x+ 1, 0 6 x < pi
(d) f(x) =
x+ 1, −1 < x < 0x− 1, 0 6 x < 1
(e) f(x) = |x|, −pi < x < pi
(f) f(x) = x, −pi < x < pi
(g) f(x) = x2, −1 < x < 1
(h) f(x) = x|x|, −1 < x < 1
(i) f(x) = pi2 − x2, −pi < x < pi
(j) f(x) = x3, −pi < x < pi
55