Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
PRÓ REITORIA DE GRADUAÇÃO Programa de Apoio à Produção de Material Didático Edson Sardella FÍSICA-MATEMÁTICA: TEORIA E APLICAÇÕES São Paulo 2008 ©Pró-Reitoria de Graduação, Universidade Estadual Paulista, 2008. 1ª reimpressão 2009 Sardella, Edson S244f Física-Matemática : teoria e aplicações / Edson Sardella – São Paulo : Cultura Acadêmica : Universidade Estadual Pau- lista, Pró-Reitoria de Graduação, 2008. 212 p. Inclui Bibliografia e Índice Remissivo ISBN 978-85-98605-31-9 1. Física-Matemática. I. Título. CDD 530.15 Ficha catalográfica elaborada pela Coordenadoria Geral de Bibliotecas da Unesp Universidade Estadual Paulista Reitor Marcos Macari Vice-Reitor Herman Jacobus Cornelis Voorwald Chefe de Gabinete Kléber Tomás Resende Pró-Reitora de Graduação Sheila Zambello de Pinho Pró-Reitora de Pós-Graduação Marilza Vieira Cunha Rudge Pró-Reitor de Pesquisa José Arana Varela Pró-Reitoria de Extensão Universitária Pró-Reitora Maria Amélia Máximo de Araújo Pró-Reitoria de Administração Pró-Reitor Julio Cezar Durigan Secretaria Geral Secretária Geral Maria Dalva Silva Pagotto Cultura Acadêmica Editora Praça da Sé, 108 - Centro CEP: 01001-900 - São Paulo-SP Telefone: (11) 3242-7171 APOIO: FUNDAÇÃO EDITORA DA UNESP FUNDAÇÃO PARA O VESTIBULAR DA UNESP - VUNESP CGB - COORDENADORIA GERAL DE BIBLIOTECAS CONSELHO EDITORAL ������� ��� �� Heraldo Luiz Giacheti João Aristeu da Rosa ��������� ���������� ������� ������ Miguel Ruiz � ��� �� ������ �� �������� � �������������������� ��������������������� ��!� COMISSÃO EXECUTIVA "����# ���� �! ������ $$�� %��&� �# ��������'������� ��� Klaus Schlünzen Junior Leonor Maria Tanuri APOIO TÉCNICO � $������* $��� +��� �� �� ������� %��&�� �����������;��� ��<� ��� PROJETO GRÁFICO PROGRAMA DE APOIO À PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO Considerando a importância da produção de material didático- pedagógico dedicado ao ensino de graduação e de pós-graduação, a Reitoria da UNESP, por meio da Pró–Reitoria de Graduação (PROGRAD) e em parceria com a Fundação Editora UNESP (FEU), mantém o Programa de Apoio à Produção de Material Didático de Docentes da UNESP, que contempla textos de apoio às aulas, material audiovisual, homepages, softwares, material artístico e outras mídias, sob o selo CULTURA ACADÊMICA da Editora da UNESP, dis- ponibilizando aos alunos material didático de qualidade com baixo custo e editado sob demanda. Assim, é com satisfação que colocamos à disposição da comuni- dade acadêmica esta obra, “Física-Matemática: teoria e aplicações”, de autoria do Prof. Dr. Edson Sardella, da Faculdade de Ciências do Campus de Bauru, esperando que ela traga contribuição não apenas para estudantes da UNESP, mas para todos aqueles interessados no assunto abordado. ������� �������� ���� ������ � �������� � ������� ������� � ��� ������ �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� � � ��� ������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ���� ��� �� � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ���� ��� ����� � � ��� ������� !������ � ������������ � � � � �� ��� "����������� #$����� �� � � �� lnx � � � � � � � � � � � � � � �� ��% �������� � & ��� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �% ��' ������ �� &���(� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �% ��) ����� �� *+�,����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �% ��- ������� �� ��� "����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �' ���. /��� �� �� 0������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �' ������ ��fi����� �� ������ �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �) � 1!��� �� ��2��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �) �� 1!��� �� 3���� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � . �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 1!��� �� ��2��� ��(������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �% 4���!��� �� 4��(���5���� �� �+6�� ���� � � � � � � � � � � � � � �' "����� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ' � ������� !������� �" ��� 0������ � ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �. �� 7������ ��� 0������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� 0������ 8���$���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� 1���� � �� 4���������� ������ ����� � � � � � � � � � � � � � � � ������� ��� ���� � �� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ���� � �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ��� ��� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ���� �� � ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� �������� �� � �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� ! "� ���� �� ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� #������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� $ ��%��&�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� � "� � ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� � �'������ �� ������ �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� � ()�� ��� * � ��%��%�� ∇· � ∇× � � � � � � � � � � � � � � � �� �� � +� �&��� �� ���,� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� � -������ �� ��%��&�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � -������ �� . �/�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� � �* ��0�� �� 1�'2��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� �� ��� �� #� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� ��$ ��� �� 3��4�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� ��� ��� �� (�����5 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� ��� 3 �6� �� �� 1������� 1�&�7 � � � � � � � � � � � � � �� �� ��� ��� �� 3��4��81�'2��� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��$! ���9����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � ���������� � ��� ���� �� �� +� ��� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �! ��$ ������ �� �� ��������� �: ;���: � ��� �� � � � � � � � � � � �$ ��� #������ �: ��%��&�� �: � "� � ����� � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ����������� ���<���� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ����������� ��=7�� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� .�������� �� ����>%��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ���9����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$ � �� ���� ����������� ��������� �� �� +� ��� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��$ .�� ��� #���� �� ��? � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� .�& ��� .�� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� .�� ��� #���� �� ��@? � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� 17 ��� �� (��9��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� �* ���� +��� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ���fi ��� �� ���� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ���� "�<B�� "���� � ��� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ����$ "�<B�� "���� � +& ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ����� "�<B�� ������'�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ������� � ��� ���� �� �������� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �������� �� ���� ��� ��� ������� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ��� ����� !��"��#�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ����� $"��� �� ��� ����� !��"��#�� � � � � � � � � � � ��� ����� %�"������� �� &�'fi�� �� �� ���� !��"��#� � � � ��) ��) *�� �� !��"��#�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ��+ !���� �� �� !���,-.%������ � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ��� /������ ����0��� �� !���,- � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ��� *1����� ����0��� �� !���,- � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ��� ����� �� /�-��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��) ��� ������ ���0������ � �1��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ��� ����� �� 2������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ���� /������ ��� %��3���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ���� 4"���� ��5 ����0���� /��0����������� � � � � � � � � � � � � � � ��� ���� 4"���� ��5 ����0���� ��"�1"���� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ������ ����0���� ��"�1"���� �� *�� �� %�������� � � � � � � � ��) ������ ����0���� ��"�1"���� �� *�� �� %�������� � /��0���. �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ���) 4"���� ��5 ����0���� ��"�1"���� ��� �1��� � � � � � � � � � � � ��� ���+ 2��� �� 6����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ���� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� � ����� �� ������� ��� ��� ������� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �)) ��� *�� �� ����1����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �)) ��) *�� �� $���0����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �)+ ��+ ����� �� *������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �)� ��� ���������� �� ������7�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �)� ��� *�� �� ����� � 8�"���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �)� ��� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+� � �������� �� ������ �� ������� ��� ��� 9:�� �� �� ;�<���� �� !���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+) ����� !���� �� �� !������� =���0>���� � � � � � � � � � � �+) ����� !���� �� �� !������� ��.=���0>���� � � � � � � � �+� ��� 9:�� �� �� $��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+� ��) ��������� �� ;����,��� � �� ������ � � � � � � � � � � � � � ��� ��)�� 9:�� �� �� 2�"����5 !���������� %����0������ � � � ��� ��)�� 9:�� �� �� 2�"����5 !���������� ������� � � � � � � � ��� �� ������� ��� ��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� � ������ � �� ����� ��� ��� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ��� ��������� ���� � ������ �� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ��� ����� �� ��� � ������ �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �!� ��� ������ �� "� # � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �!� ��� ������ �� � �� �� � � ��$� � ������� � � � � � � � � � � � � �!� ��! �� ��� �� ��%& ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �!� ��� ��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �!! �� ���������� �� ����� � ��� ���� '����� �� ���� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �!� ���� '����� �� (��#� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ���� ����� � �� �� � ����# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ���� '� ��)��� � � � ��� # � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ���� '� ��)��� � �� ���� �� (������ � *��� � � � � � � � � � � � � ��� ���! ��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� �� � ���� ������������ � ���� � !���"����� ��� ���� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ���� +,� ��� � )����% -���. �/��� � � � � � � � � � � � � � � � ��� ���� ������� 0���1�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ���� ��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� �# $� ��%���� & ���� ��' ���� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ���� 0�% ��� " ��2� %� * �� �� 3�4�� %� � � � � � � � � � � � � � ��� ���� �� ���� �� ��%���$�% � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ���� ������ 5�� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ���� �6��� �� ���� 1��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ���! 0���1�� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ���� ��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� �( $��) ��� * �������� ��� ���� *7� �� ��fi� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ���� -�9 �� :���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ���� (������ � � (��# ;�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ���� +,� ���� � )����% � 0�� �9� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ���� : � 9#� � (��� �< � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ���! *7� �� �� ���� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ���� +,� ���� � )����% � � �% � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ������� �� ���� ���� �� �� �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ���� �� ��� �� �������� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ������ ����� �� !������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��" ���������fi� �� ����� ��������� �� �������� ���� ���� ���� �� ������� ��� � � � � �� �� ������ � �������� � ������� ���������� ���� � �� �� ���� ���� �� �� ������ � ��������� � �� ������� ���� � � ���������� �� ����� �� � � ! �" ���� � � ���� � ���� � � #�� ���� ��� � ! $����� % ���&������ �� ' ���� ���� � � &��(" ����� ���� ! � ����� � � � ���� � ���� � &��')� ��� �� �� � �%� �� � ��� ' � ������ �� � & ���(*��� ' � � ���� ��+�� � ���#���+� � �# ���,�� �� � � � � � #��-��� � �� � ������� �� �-��� ������fi� �� �������� � �� ���� ��%��� � � ��������! � � ��� �� ����� ��fi� ����� ' � � � � ����� ��� � � � ���������� �� ������ �� � ��� � ������ � #��-��� � �� ���� ��� � ������ �� � � � #/���� ��� ����� �� � ��� �� � � �� � �� &����� � ����� � � ���� ����� ���� &�������� �� ��� 0��� � � � ����� �" ���� �&���� � ��� �������� �� �� fi��� �� ��+� ��� � � �� �� ���� ���� �� ���� � � ����� ��, ����� � ���� � �� �� ���%���� � ���1 ��� 2 1 ����! �� ���� ��������� ���� ���� & � � ��#�� ���� ��� � , �� ������ �� ���� �� � ��! � ��� � � ���� � ������ ��� � ��3� ��' ���� �� � ���� ��� �� ����� & ����� �� � � � ��� �� ���� � ������� � �� �������� �� ���� � � ��������� �� ��� �� � ,� � �4 �� � �� �� ���� � ��� ��� � ������ � �� 5� �,� $�&4� ! ���� ��� �� � ' � � � ������� ��� ����(*�� �� �� �����! $ � &��� % ���� �� ������(*�� ������ �� � ���� ��� � �� � ������� � ���� �� ���� ����� � � ���� �' ���� ��� � ' � �������� � � � (" �� �� #����� �� &�����! � � �� ����� �� �� �������� �� ������ �� ���� � ���� � � / � �� �-��� � ���� � �������� � �� ������������������ ' ��' �� � ,���" ' � ���� � � ���0 ��� � ����� ���� � ���� #�� �� �� ��� � � �! ��� �������� ������ ��� ������ � � � ��� � ����! �������� � ��� ������ � �� ��� �� � � ����� ���� ������ � �� ��� �� �� �� � ����� Re(z) �� �� ��� �� �� ���� � ����� z Im(z) �� �� ��� �� � �� �� ���� � ����� z Arg(z) � ������ �� ������ � ����� z Res(f, zk) ��� �� �� f(z) �� z = zk F{f(x)} ! ���� ���� �� " � � � ��� F−1{f(x)} ! ���� ���� �� " � � �#� �� �������� �������� �� �� � ������ ��� ������ �� �� ����� ��� � � ��� ������� ��� ��� � ����� ������ ���� � ���� �� �� ���� ��� �� ��� ���� ������ � �� �� � ����� � �� ������ ��� � �� �� ��� ��� � ���� �� �� �������� � � ��� � ����� ��� �� �������� �� �� �� �� � � ����� ������ ����� � �� ����� ������ � ������ � �� ��� ���� ������ �� ��� ����� � � �������� ��� �� � ���� ��� � ��� ������������ �� � ����� � ������ ��� ��� ��fi� ��� ���! sinhx = 1 2 (ex − e−x) , coshx = 1 2 (ex + e−x) , tanhx = sinhx coshx , cothx = coshx sinhx . "#�#$ �������� �� ����� � ������� ������� �� ��� ����� � �� � ��� ������ � ��� ���� ��� ���� ����� � ������� ������� ����� � � �� ����� �� �� ��� � ��� �������� � �� � ��� ���� �� ������ � �� �� cos θ = 1 2 (eiθ + e−iθ) , sin θ = 1 2i (eiθ − e−iθ) , ����� ���� i = √−1 � ���� �� � ��� �� � ��� ����� � ����� � �� � �������������� � ����������� sin(ix) = sinh(x) , cos(ix) = cosh(x) , tan(ix) = tanh(x) , cot(ix) = coth(x) . ���!� ��� ����������� ! ��� �� � ��"� ln x � "�� �� ������� ���� �� ������# ���$� ���� "� � ��� � �� ���� ��� � ��� ���� � ������ lnx� ��� � �� ���� ��� ��� ���� �� � � � ������ �� ��� � ������ ������� �� �%� ���� ��������� �� ���� ��� �� ������ ���� � �� �� lnxa = a lnx , ln(xy) = lnx + ln y , ln ( x y ) = lnx− ln y , eln x = x . ���&� � �������� ��� � ��� � ���� ����� �� ��������� � ���� ���� �� ��� ��� �������� ���� ���� � ���� �� �� �� ������������� �����!�����" #���� ����� ������� � $��%� ����� &�$�� ��� �� �� �� �� ��������� ������ � � �� �������� ���$������ �� ���' ��� �� �����!����" �� ��������� �� ��� ������ � ���� ��� ��� ����� � � � � � ����� � � ����� ��������� � � ���������� �� �������� � �� �� �������� �� �������� �� ������������������ ����� n! = n · (n− 1) · (n− 2) . . . 2 · 1 , (2n)!! = (2n) · (2n− 2) . . . 4 · 2 , (2n + 1)!! = (2n + 1) · (2n− 1) . . . 3 · 1 . �� ���� !��������" ��� ���� ��� ����� �� ������� � ������ ������� ��� �#����� ���� !�� ����"� $��� ��� �� ��fi�� ��� ����� �� ��� �� �� ������ �� �������� (n + 1)! = (n + 1)n! , (2n)!! = 2nn! , (2n)!! = (2n)! (2n− 1)!! , (2n + 1)!! = (2n + 1)! (2n)!! . !��&" ��� ������ �� ��� ����� '���(��� �� ������ � �� ��������� �� ���� ��� ���) d(fg) dx = df dx g + f dg dx , d dx ( f g ) = df dxg − f dgdx g2 . !���" *� �� �� ������) df [g(x)] dx = df dg dg dx . !��+" ��� ����� �� ����� �� ,�������� ���� ��� ��� f(x) � g(x) ����������(��� �� a < x < b- ��.� x0 �� ���� ����� �����(��� ��� ��� f(x0) = g(x0) = 0� /��0� �������� �� ����� � ������� ������� �� lim x→x0 f(x) g(x) = lim x→x0 f ′(x) g′(x) , ����� �� � � ��� � �� � �� � �� � �� �� � � � � �� ����� � �� �� �� � � � ���� � � ��� ����� � � ��� �� � ��� � � ��� �� � � � ��� �� ! � ��� "#$%� ��� ���&�� � ��� �� � � � �� ���' � � � �� ∞/∞� ��� ����� �� � � ��� � � u v ��� (���' � � � � ��� ��� �� � x� )����∫ u dv = uv − ∫ v du . ���*� ���� � � �� �� ��� �� +��� fi��� ���� � �������� ������ � �� ���� � � ��� ���� � ������� � ��� � �� ���� ���� - ����� ��� �� � ��� ��� ��� � ��� � � �� �� ���� � �� � � �. ��� � �� � ��� � ���� ����� � ��� �� ���� � F � �������� ������ ��fi�� �� ��� ����� ��� ��� ����� � fi ��� � ��� � �� �� � fi �� � ���� �� ������� � �� ��� � �� ������ �� ������ �������� � �� ������ �� �� ����� ����� ������� ��������� � ��� �� ���� ������� ���������� �� ��������� � � ����� �� ���� �� � ������� !���� � �� ! ��� �� ����� � "����� � � ����� �� #���� �� � ������� $ � ����� �� % ������ & ����� ��� ������ �� �� ���� � ��� ��� �� � �� � ���� !'���� ����������� ���� � � � � ���( �� �)������ ������ ����� �� ����� �� ��*� �� ����� ��+�� ����� ��� '���� � ��������� ��� ���� � ������ � ������� � ��� �� �( f(x)� ,�� "�� � )�� f(x) � ���� ����!���� �� � ��� �� ��� � f ′(x)� f ′′(x)� . . .� f (j)(x) �( � �� ��� � ���!�� b ≤ x ≤ c� -)�� ���� � � ���( f (j)(x) = djf(x) dxj , f (0)(x) = f(x) . ./�01 � ������� � � � ��*��� �� j2����� ����!��� �� f(x)� ∫ x a f (j)(x) dx = ∫ x a df (j−1)(x) dx dx = f (j−1)(x) ∣∣∣x a = f (j−1)(x)− f (j−1)(a) . ./�/1 �������� �� ��� ��fi����� �� ������ � � ��� ����� ������� �� ∫ x a (∫ x a f (j)(x) dx ) dx = ∫ x a [ f (j−1)(x)− f (j−1)(a) ] dx = f (j−2)(x)− f (j−2)(a)− (x− a)f (j−1)(a) , ����� ��� � � �� � � ���� �� � � � ��� ���� �� ��� ����� � ������ � � �� � ������� ���� ��� ��� ∫ x a [∫ x a (∫ x a f (j)(x) dx ) dx ] dx = = ∫ x a [ f (j−2)(x)− f (j−2)(a)− (x− a)f (j−1)(a) ] dx = f (j−3)(x)− f (j−3)(a)− (x− a)f (j−2)(a)− (x− a) 2 2 f (j−1)(a) . ����� ������� ��� �� ���� ���� ��� ��� � � n����� ��� � � ∫ x a ∫ x a · · · ∫ x a f (j)(x) dx · · · dx dx︸ ︷︷ ︸ n−integrais = = f (j−n)(x)− f (j−n)(a)− (x− a)f (j−n+1)(a) − (x− a) 2 2! f (j−n+2)(a)− · · · − (x− a) n−1 (n− 1)! f (j−1)(a) . ����� ��� ����� j = n� �� !� ��� ��� "��� ∫ x a ∫ x a · · · ∫ x a f (n)(x) dx · · · dx dx︸ ︷︷ ︸ n−integrais = = f(x)− f(a)− (x− a)f ′(a)− (x− a) 2 2! f ′′(a) − · · · − (x− a) n−1 (n− 1)! f (n−1)(a) . ���#� $ ���� ��� � � f(x)� fi� �� �� ������ ��� �� ��������� �� ��� ������ � ���� ��� f(x) = f(a) + (x− a)f ′(a) + (x− a) 2 2! f ′′(a) + · · ·+ (x− a) n−1 (n− 1)! f (n−1)(a) + Rn , ����� ���� Rn � ��������� ���� � ����� �� ����� � � ��fi���� �� Rn = ∫ x a ∫ x a · · · ∫ x a f (n)(x) dx · · · dx dx︸ ︷︷ ︸ n−integrais . ����� ������ � ��� �� f(x) ��� ��� �� lim n→∞ Rn = 0 , ���!� ����� � ����� �����"�� ��� ���� ��fi���� �� ������� ����� f(x) = f(a) + (x− a)f ′(a) + (x− a) 2 2! f ′′(a) + · · · = ∞∑ n=0 f (n)(a) n! (x− a)n . ���#�� $��� ����� � ��������� ���� ����� �� ��%���� � ��� ����� � �� ����� �& ����� �� ��� ��� �� �� ����� �� ��%��� �� ����� �� ���'�� � �����" ���� ���� ����� �� (��������� �������"�� a = 0 �� ���#��) �*����� f(x) = f(0) + xf ′(0) + x2 2! f ′′(0) + · · · = ∞∑ n=0 f (n)(0) n! xn . ���##� � �������� �� �� ��� �� ������ �� � ���� � ����� � ���� �� ����! �������� �� ��� ��fi����� �� ��� ����� � ����� � �� ��� ��� ������� ���� ����� ���� ������ ��������� � ������� �� ����� ����� �� ������� �������� �� g(x) ��� ��� ���� � ����!��� �� ��������� a ≤ x ≤ b" �#���� �� ���� x = ξ ��� $�� ∫ b a g(x) dx = (b− a)g(ξ) . � ��� % ������� ���� ������� ��� � �������� ���� �������� �� � ��" ����� Rn = ∫ x a ∫ x a · · · ∫ x a f (n)(ξ)(x− a) dx · · · dx dx︸ ︷︷ ︸ (n−1)−integrais = f (n)(ξ) (x− a)n n! . � �&� �� �� � �� ������ ��� � ���� '���� ��� � ����������� ��� ����� ����� �� �(������ � ����� �� )�*��� ��������� ��� ���� � f(x) ��� ��������� ����!���� �� ����� �� ������ �� ��������� ξ ≤ x ≤ h ��+� � �������� �������� I = ∫ ξ+h ξ f ′(x) dx = f(ξ + h)− f(ξ) . � �,� -�� ���� �� ������� �� �������� x = ξ + h − t" ������ ���������� � �������� ����� ���� I = ∫ h 0 f ′(ξ + h−t) dt . � �.� ���������� �� �����" �(����� I = tf ′(ξ + h− t)|h0 + ∫ h 0 tf ′′(ξ + h− t) dt = hf ′(ξ) + ∫ h 0 tf ′′(ξ + h− t) dt . � �/� 0� ���� �������� � �� ����� ��� ���� 1 �������� �# ���� � ��� � �������� �� ��������� �� ��� ������ � � ���� �� I = hf ′(ξ) + h2 2! f ′′(ξ) + ∫ h 0 t2 2! f ′′′(ξ + h− t) dt . ������ �� ������� ���� ����������� �� ������ ����� � ������ � ������� ������ � ����� � !"��� � ���� �� ��# �� f(ξ + h) = f(ξ) + hf ′(ξ) + h2 2! f ′′(ξ) + h3 3! f ′′′(ξ) + · · · . ����$� %������ �������� � �&��� ���� !���� ���� !��� ��� ������ ξ = 0 � h = x' f(x) = f(0) + xf ′(0) + x2 2! f ′′(0) + x3 3! f ′′′(0) + · · · , ����(� ��� & � �&��� �� )�� ������ � ������� � �* ����� � !����� �* ������� f(x) = ex �� ��� �&��� �� )�� ������ ���� ��� %������������ ������� �� �� �� �� ��������� �� !������ ��+ ���' f (n)(x) = ex � ������,��������� f (n)(0) = 1� -� ��������� �� ������+ ��� �� ������' � ����� ex = 1 + x + x2 2! + x3 3! + · · · = ∞∑ n=0 xn n! . ����.� /�� fi����� ���1��� ������ 2 �������3���� �� �&���� %��� ���� ����+ ����� ��� ���� � ������ %� � ������� ����4�' ����� ��� Rn = eξ xn n! ≤ exx n n! , ������ ��� ξ ≤ x� 5�� ��� ��� x & fi����' ������ ���� ��� ��� lim n→∞ Rn = limn→∞ e xx n n! = 0 . ������ %�������' � �&��� �������� �� ������� � −∞ < x <∞� � � ������� � � 6��������� � �* ����� �� �&��� �� )�� ����� �� !����� f(x) = ln(1 + x)� �������� �� ��� ��fi����� �� �������� ������ �� ����� ������� ��� f (n)(x) = (−1)n−1(n− 1)!(1+ x)−n� � f (n)(0) = (−1)n−1(n− 1)!� � ������������ �� ����� �� �� ������ ��� � ln(1 + x) = x− x 2 2 + x3 3 − · · · = ∞∑ n=1 (−1)n−1x n n . ������ !�� � ������� � ����� �� � ��� ������� ���� Rn = (−1)n−1 (n− 1)!(1 + ξ)n xn n! ≤ x n n , 0 ≤ ξ ≤ x , ����"� ���� Rn ≤ |Rn|� � � �� ��� 1/(1 + ξ)n ��#��� ��� � ξ = 0� $��� 0 ≤ x ≤ 1� �� ���� %��� ��� ��� lim n→∞ Rn = limn→∞ xn n = 0 . ����&� '�� ������� � � ��� �� ���%� � � ������� 0 ≤ x ≤ 1� � � � ���� �� �������� �� ��� � (#�� �� � �� ��� f(x) = (1 + x)m �� ��� � ��� � )������� � � � m ����� �� �� �� *� �� �� +����� ������ �������� !�� � ��%��� � ��������� �� ���� ������� �� ������� ��� f (n)(x) = m(m − 1)(m − 2) · · · (m − n + 1)(1 + x)m−n� , ��� � � � �� ����� �� �� ������� � �� ������ f(x) = 1 + mx + m(m− 1) 2! x2 + m(m− 1)(m− 2) 3! x3 + · · · . ����-� .���� ����� � ����� � � ��� Rn = m(m− 1)(m− 2) · · · (m− n + 1) (1 + ξ)n−m xn n! ≤ m(m− 1)(m− 2) · · · (m− n + 1)x n n! , 0 ≤ ξ ≤ x , ����/� ���� 1/(1 + ξ)n−m ��#��� ��� � ξ = 0� 0��� � 0 ≤ x ≤ 1� �� ��������� �� ��� ������ � ���� ��� lim n→∞ Rn = limn→∞ m(m− 1)(m− 2) · · · (m− n + 1) xn n! = 0 . ������ ����� � ����� �������� �� ��������� 0 ≤ x ≤ 1� � � ������� � ������� ������������� �� ��� �������� � ���� �� E = mc2 ( 1− v 2 c2 )−1/2 . ������ !��� � ������� �������� �� �������� �� ������ �� !��"� ����������� ���� �� v/c� 1� ���� ��� #�� ������ � $����� �%�� &� ��� ����'�� �!����� x = −v2/c2 � m = −1/2� ����� E = mc2 [ 1 + ( −1 2 )( −v 2 c2 ) + (− 12) (− 12 − 1) 2! ( −v 2 c2 )2 + · · · ] = mc2 [ 1 + 1 2 v2 c2 + 3 8 v4 c4 + · · · ] . ���()� ����� mc2 � � ������� �� �� ����� � � ������� �������� � ���� �� E −mc2� ����� Ecine´tica = 1 2 mv2 [ 1 + 3 4 v2 c2 + · · · ] . ���(*� +� ������ �� v/c→ 0� ����������� � �" ����&� ��,����� Ecine´tica = 12mv2�� � ������� � � ������� ��� ���� -� �� ��� �������� � ����������� �� ���� ������ ������� �� ��������� q ���� ��������� �� .��� ��*� /������ %�� �� ������ �� a/r � 1� � �������� �������� �� ���� P � ���� �� ϕ(r, θ) = p cos θ r2 = p · r r3 , ���(�� ���� p = 2aq � � ������� �� �� ��� ��������� ���� ��� � ������� r1 � r2 ���&� ������������ ��� r ������� �� r1 = r− ai � r2 = r + ai� -����� � ��� ��� �������� ������ �������� r1 = [ r2 + a2 − 2ar cos θ]1/2 , r2 = [ r2 + a2 + 2ar cos θ ]1/2 . ���((� �������� �������� �� P � �� ������� #01 � ���� �� �������� �� ��� ��fi����� �� −q −a +q +a P r2 r r1 x y ������ � � �� ��� �������� ϕ(r, θ) = q r1 − q r2 = q r ⎧⎨ ⎩ 1[1 + a2−2ar cos θr2 ]1/2 − 1[ 1 + a2+2ar cos θr2 ]1/2 ⎫⎬ ⎭ .�� ��� ������ � �� ����� �������� !�� "�� ϕ(r, θ) = q r { 1 + ( −1 2 )( a2 − 2ar cos θ r2 ) + · · · − [ 1 + ( −1 2 )( a2 + 2ar cos θ r2 ) + · · · ]} = q r [ 2a cos θ r + · · · ] . �� ��� ��� ��#���� ������ �� ����� ����� �� �� ����� � (a/r)2 ������� � �"��$�� �� ��� � ��� ������� � � � �������� � ��������� %�������� ��� ����� ��fi���� �� ��� '���� ����� �� ��������� �� ��� ������ � ���� ��� f(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · = ∞∑ n=0 anx n . ������ � �������� �� �� ������� � ���������� ���� �� � ������ lim n→∞ ∣∣∣∣an+1an ∣∣∣∣ = 1R , ������ ��� fi!���� �!�"� � ����� ��!#��$� !� �!���#��� −R < x < R� � #���� �� R � ��!%����� ���� ���� �� ��!#��$&!���� � �������� !"� $���!�� ��!#��$&!��� !�� �'������ �� �!���#���� x = ±R� � ������� � (������ ��� � ����� ����)� ��!#��$� !� �!���#��� −∞ < x <∞� ���� ��� *�� ���!�� ����)� ��� ������� ����� ��� an = 1/n!� � an+1/an = 1/(n + 1)� ����� lim n→∞ ∣∣∣∣an+1an ∣∣∣∣ = limn→∞ 1n + 1 = 0 , ����+� �� �!�� �� ����, ��� R = ∞� *�!���-�!����!��� � ����� ��!#��$� !� �!���#��� −∞ < x <∞� � � ������� � � (������ ��� � ����� ������ ��!#��$� !� �!���#��� −1 < x < 1� ���� ��� *�� ���!�� ������ ��� ������� ������� an = 1/n� � an+1/an = n/(n + 1)� .��!�� � ��$�� �� /�01 ����� ����� ��� lim n→∞ ∣∣∣∣an+1an ∣∣∣∣ = limn→∞ nn + 1 = limn→∞ 11 = 1 . ����2� 3�4� ������� R = 1� 3� ��!���� ��� � ����� ��!#��$� ��� ���� |x| < 1� 5��� ����� ��!#��$� ��� x = 1� ������ � �������� �� �� ������� !"� � �� �, �� �������� ��!#��$&!��� !���� �!��� � � ������� � � (������ ��� � ����� ������ ��!#��$� !� �!���#��� −1 < x < 1� � ���� �� �� � ��� ��� ����� � ����� � �������� ������ ������� ��� ������� �� ������ �� ��� ���� ������� �� ����! ����� �� "�����#���! �� $����! %�� ������� ��� �� &������ '����� (��� ����� ���'� ������ ��� ��� ��� ��� � ������� �� �����&���� )&�*����� #�����'&�� � ��� �+� � ������'�,��'� ��'������ (����� �� -������ (�� � ��� ���! ������ �� ������ �� �����,��'� %�����! ���%���� ��� ��'��&�'��� '��� fi�&� �� ���� ���� �����*��� �������� �� ��� ��fi����� �� �������� ������� �� �� ���� � ���� ��� ����� � ��������� ����� ��� ���� ���� an = m(m − 1)(m − 2) · · · (m − n + 1)/n!� ��� �� �� ������ �� ������� ������ ������ ������� �������� an = m!/n!(m− n)!� ���� ����� ��� ∣∣∣∣an+1an ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ m!(n + 1)!(m− n− 1)! n!(m− n)!m! ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ m!(n + 1)n!(m− n− 1)! n!(m− n)(m− n− 1)!m! ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣m− nn + 1 ∣∣∣∣ . ���!"� #��� �� � ������� lim n→∞ ∣∣∣∣an+1an ∣∣∣∣ = limn→∞ ∣∣∣∣m− nn + 1 ∣∣∣∣ = 1 . ���!�� $ �%� � ����� �� ����� � � ������� −1 < x < 1� � ��� ����� �� ��� &������ ��� sinx = ∞∑ n=0 (−1)n x 2n+1 (2n + 1)! , cosx = ∞∑ n=0 (−1)n x 2n (2n)! . '����� �� � �������� �� �('�������� ������� �� �� ����� �� �� ����) * ��� ���� ����� �� ������ ��� ��� �� �� ���������� �� �������� ���� � �� ����� �� � +%� �,�� � * ����� ������� ��� eix = cosx + i sinx , � �� i � � � ����� ����� ���� ��- $,�� ��� (1−2tz+t2)−1/2 �� ���) ���� �� �� .���� �� ���fi��� ��� �� t0� t1� � t2� . ��������� ��� ���) ����� �� � �� ���� �%� �� �0������ ���� 1���� �� ��� ����P0(z)� P1(z)� P2(z)� �� ��������� �� ��� ������ � ���� ��� ��� ����� �� ��������� ���������������� (a) arcsinx = x + ∑∞ n=1 (2n−1)!! (2n)!! x2n+1 2n+1 , |x| ≤ 1 , (b) ecos x = e ( 1− x22! + 4x 4 4! − 31x 6 6! + · · · ) , |x| <∞ , (c) ln(x + √ x2 + 1) = x + ∑∞ n=1 (−1)n (2n−1)!!(2n)!! x 2n+1 2n+1 , |x| ≤ 1 . ��� �� ����� �� ��� ��� coshx � sinhx �� ����� �� �� ���� !�������� � ���� �� �������"���� ��� ���� ����� ��# $������ %�� x ex − 1 = ∞∑ n=0 Bn n! xn , ���� B0 = 1& B1 = −1/2& B2 = 1/6& B3 = 0& B4 = −1/30& ���� �� ���fi������� �� ����� Bn �(� ���)������ ���� �*����� �� +��������� ��, ���� �������-����� �� ���� ����������� u � v � ���� �� w = u + v 1 + uv/c2 , ���� c � � ���������� �� ��. �� �/���� $����� %�� � �� ���(� �� w �� ��"����� �� uv/c2 � ���� �� w = (u + v) [ 1− uv c2 + (uv c2 )2 − · · · ] . 0��� %�� �� ������ uv/c2 � 1 ������� � �� ����(� ��/����� �� 1������ w = u + v� ��� � ������������ �� ��� ���-���� �� ����� �� �� ���� m0& ���������� �� ��� ��������� �� ��� � m0g �� ����� �� ���� y � y = c2 g ⎧⎨ ⎩ [ 1 + ( gt c )2]1/2 − 1 ⎫⎬ ⎭ , � %��� ������ �� ������� �������-������� $������ %�� � �� ���(� �� y �� ��"����� �� gt/c � ���� �� y = 1 2 gt2 [ 1− 1 4 ( gt c )2 + · · · ] . �������� �� ��� ��fi����� �� ���� ��� � ����� gt/c� 1 y = gt2/2 ��� � � ��������� � ������ �� �� � ��� ��� � ������� �� �� �� �� � ���� �� � ���� �� � ����� �� ������� T = 4 √ l g ∫ π/2 0 [ 1− sin2 ( θM 2 ) sin2 ϕ ]−1/2 dϕ , � �� θM � � ��� ����� ������ �� ���� ����� ��� ����� �� ����� ��� � ������� ∫ π/2 0 sin2 ϕdϕ = π 4 , ∫ π/2 0 sin4 ϕdϕ = 3π 16 . ������ ��� T = 2π √ l g [ 1 + 1 4 sin2 θM 2 + 9 64 sin4 θM 2 + · · · ] . ��!" # ������ �� �������� �� ����� ���� �� $ � �% � &� &� � ����� �� � ����� ' ∫ ∞ 0 x3 ex − 1 dx . ������ ��� ���� � ����� � ���� � π4/15� �������� $��������� �� ���� � ���� ��� (� ���� � ������� ��� (1− e−x)−1 = ∞∑ n=0 e−nx . ���� �� ���� �� ����� ��� ���� ����� ∞∑ n=1 1 n4 = π4 90 , ∫ ∞ 0 y3e−y dy = 6 . ��!! � ��� �� ������ �� ���&������ �� )���� �����* � ����� �� +,��� � �� �������������� ��-���� E = mc2 [ 1 + γ2 (s + n− |k|)2 ]−1/2 , � �� s = (|k|2 − γ2)1/2� k = ±1,±2,±3, . . .� � γ2 = Ze2/�c� ���� Z � � ���� � ��� ��� ��� �� E �� ������ � �� γ2 �� � ��� γ4� �������� ������� �� ���� ��� ������ � �� ��� ������� � ��� � ����� �� � �� ���� ����� �� � � ������ ��� �� � ���� � � ��� �� ��� �������� � � ������fi� ��� �� ��� � �� �������� � ���� ����� �� ��� � �� ���� ��� ��� �� � � � �� � ��� ��� � ��� �� ����� ��� ��� � � ��� � � ����� � � �� ���� ������ ������ ������� ��� � ��� ���� ���� ���� � ��� �� ��� ��� �� �� � �������� ��� � ��� � � � �� �� �� ��� � �� � ������ � �� �� ���� ��� ��� ������� � � �� � ��� ��� � �� ����� �� ����� ��� �� ���� �� �� �������� �� �� � ���� �� �AB �� ����� �� ����� A � � ����� B� ����� �� ����� �� � !��� "�#� $ ��������� �� ���� �� �� ��� � � � ����� ���� �� �� ��� �� ��� ��� �� �� �� ��� ��� �� ��� �� ��� � $ ��� ���� ������� �� ���� ��� �� ��� ���� %����� � ���� �AB �� & �� ����� �� �� A� � � ��� �'���� (�� � �������) �� �� ��� �� ��&����� %����� A �� ����� � �'���� �� A� * ������ �� �� ���� � ����� �� � � ��� �� �������� � ���� ��� � � � � � � � � !��� "�#+ �� ����� ��� � &fi� �� �� ���� � �������� �� ���� �������� �� ��� ����� �� ���� � ���� �� � �� ��� �� ��� �� � ����� � �� ���� �� � ����� ��� ��� � ����� �� ���� � � ����� ��� ���� �� ���� ���� A = B� ������� � � ���� �� � �� ��� �� ������ �� ��� �� � ����� �� ����� � ������ �� � �� � A � � �� � � � ���� � � ����� ��� ��� � ����� �� ����� �� �� ��� ��� ���� � �� �� A� ���� ���� �� � �� −A ��� ���� ��� � � � � � � ��� � ���! ���� � �� � �� � " � � ����#���� �� � �� � �� � ��#��� � $ � � ����#���� �� � ��#��� λ �� � �� � A �� � � �� � �� � �� ����� �� ���� �� A #��� �� � � � ���� ���� � ��� ��� �� λA �� % � ����� �� A �� λ &� ���� ���� � ���� � �� A �� λ &� ���� ���� ����� A � B� �� � ������� � ���� ��� �� ���� �� � �� �����#������� �� �� ���� � � � � ���� �� � ����� #���#��� #�� � �' ������� �� � � #��� �� � � � ���� ���� � �� � ��� � � �� � C = A + B� �� � � � �� � �� � �� ���� �� �� � �� � �� ������ � ( �� � �� �� ������ ��� ��� ���� ��� � � � ��� � � ��� ��� � ���! )��� �� �� � ��� $ � * ���� �� ���� �� � ��� A − B� � �� ������ � � ���� A #�� � ���� � �� B ��� ���� ��+ � $ �� � �� �� ������ ��� �� � ������ �� �� � �� ���� �� ���� ������� �� � ���� �� ���� �� � ��� ,� � �� � � #��-�#��� #��� �� � �� ���.���� ��� ���� ��/ � 0���� �� ��� �� �� � �� �������! �� ��������� �� ��� ������ � ���� ��� � � � � � ������ ���� ������ �� �� �������� � � � ����� ������ ���� ���� �� ������� ��� ����� �� �������� � !��������� �� ��� ��� A + B = B + A , "�� # � $��� ��� ��� ����fi���� &��������� ������ � ����� �� ������������� �� ���������� �� ��� ��� A + (B + C) = (A + B) + C , "���# � $��� ��� ��� ����fi���� &��������� ������ � ����� �� �������� ��� ������� ������� '���������� �� ����� ����(��� �$���� $�� ����� �)���� �*�������� ����� � ��� �� A + �� ����� �� �)���� A, ����� a = A/A + �� ����� ����(��� �� ����� ���� �� � ������� �� A� �� ������� �� ������ ���� ���� ������� !�������� ��-� ������� ����(���� i, j, � k� !��� �� ����� ��fi�� � ������� ������� ��� ��*�� ����������� (x, y, z) "��� ���� ��.#� /� ������� ����(���� ��� ���������� �� ������������ ����, ���� ���0 ���� �� ����������� + �������� � ���� ����� A ��� ��� ������� ���� ��� ������� �� ������ ��� ������� ����(���� "��� ���� ��1#� ����� �������� �� ���� �������� �� � � � � � � � ������ �� �� ���� ��� ����� �� �� �� A = Axi + Ayj + Azk , ����� ���� (Ax, Ay, Az) ��� �� ����������� �� �� �� A� ������ � ���� �� ���� �� ���� A � B ���� ���� ���� ���� �� ���� �������� ��� �� � �� ��� ��������� �� ����� �� ���� � ��� � ���� ��� ��� �� �� � �� ��� ���fi��� � � � � � � � � � � � � � � ������ ��" #�� ��� �� ����������� �� ���������� $ �%���� �� �� ���� �� �� u � ��fi���� ��� u = |u| = √ u2x + u2y + u2z . ���&� �� ��������� �� ��� ������ � ���� ��� �� ����� ����� �� ����� ��� �������� �� ����� ����� ����� � � ����� �� ��� �� r = xi + yj + zk� ���� ������ ���������� ���� r = √ x2 + y2 + z2� ��� � � ��������� �� O �� ���� �� ����������� (x, y, z) ��� ����� � �� � � ! ������ ������� ����� ���� ������� u � v� �������� �� u · v� � ��fi���� �� u · v = uv cos θ , #� $% ���� θ � � ������ &������ ����� �� ���� ������� '�� �&����� �� ������� ����(���� �)� �� ��������� �� ��������* i · i = j · j = k · k = 1 , i · j = i · k = j · k = 0 . #� +% ,��� ��� � ������ ������� ������� �� �� ������� � ��� �� �� ����� ! ������ ������� ��� �� ��������� �� ��������* - '���������* u · v = v · u . #� .% / 0�����1�����* u · (v + w) = u · v + u ·w . #� 2% ��������� #� +% � � �� ������� ������1����� ������ ���������� � ��� ���� ������� ���� u · v = uxvx + uyvy + uzvz . #� 3% ,��� ���1�� ��� #�% u·u = u24 #1% u·v = 0 �� u � v ��� �� �������������� ����� � �� ��� � 0�������� �� u×v � ������ �������� ����� ���� ������� u � v� ���� ������ � ���� �� |u× v| = uv sin θ , 0 ≤ θ ≤ π , #� -5% �������� �� ���� �������� �� ���� θ � � ���� ��� � �� ���� ��� � �� ���� ���� �� u � v� ������ �� u � v ��� �� � � ��� � � ����� ���� �� ��� � � �� � ������������� �� �� � ���� w = u × v � �� ���� ���� �� ���� � �� ������� � �� � ��� �� ���� �� u � v� � ������� � �� ��� u� v� � w �� ��� �� � ��� � �� ���� � � ����� ���� �� ����� �� ��������� � �� �������� �� ���!"���������� u× v = −v × u . #����$ %� &��� �'������ u× (v + w) = u× v + u×w . #���%$ (�����!�� � ��fi����� �� � ����� ���� �� � ������� ���� � ��� �� ��! �� �� ����* ��� �+� �� ��������� � �� �������� i× i = j× j = k× k = 0 , i× j = k , i× k = −j , j× k = i . #����$ �� �� ������ ����� ��� ����� � � � �� ������ ���� �'����� �� � ����� ���� �� � ������� ���� � ��� u× v = (uxi + uyj + uzk)× (vxi + vyj + vzk) = (uyvz − uzvy)i + (uzvx − uxvz)j + (uxvy − uyvx)k . #���,$ ���� ������� ���'�� ���� �� ��� ��� ���� ���������������� �� �� �� �� �� ���� ������� u× v = ∣∣∣∣∣∣ i j k ux uy uz vx vy vz ∣∣∣∣∣∣ . #����$ � �-�� � �� � ����� ���� �� ���� �� ���� ����� �'���� ������!�� � ��fi����� �� � ����� ���� � � .���� (u× v) · (u× v) = (uyvz − uzvy)2 + (uxvz − uzvx)2 + (uxvy − uyvx)2 = u2yv 2 z + u 2 zv 2 y − 2uyuzvyvz �� ��������� �� ��� ������ � ���� ��� +u2zv 2 x + u 2 xv 2 z − 2uxuzvxvz +u2xv 2 y + u 2 yv 2 x − 2uxuyvxvy +u2xv 2 x − u2xv2x +u2yv 2 y − u2yv2y +u2zv 2 z − u2zv2z , ������ ���� ����� ������� � ���������� ���� ������ ��� ������� � ��������� fi���� �� ������ �������� ���� ��� ��������� �� ����� (u2x +u 2 y +u 2 z)(v 2 x + v 2 y + v2z) = u 2v2 � �� ��������� �� ����� (uxvx +uyvy +uzvz)2 = (u ·v)2� ���� ������!�� ���"� ������� (u× v) · (u× v) = u2v2 − (u · v)2 = u2v2 − (uv cos θ)2 = u2v2(1− cos2 θ) = u2v2 sin2 θ . ����#� $%������� � ���& '������� ������� � ��������� ����(��� ����)�� ��� ��� �� � ��� *�(� w = u + v� ����� w2 = (u + v) · (u + v) = u · u + u · v + v · u + v · v = u2 + v2 + 2u · v = u2 + v2 + 2uv cos θ , ����+� ���� �� ,����� ���-� ������ � ��fi�� .� �� ������ �������� $%������� � ���& '������� ������� |u + v| = √ u2 + v2 + 2uv cos θ . ����/� ��� ������ ����� �� ������� ������� � �������� ���� �� ���������� �� �0���� �������� ���� ����1 �������� �� ���� �������� �� �� ���� � �� �� u · (v ×w) = (w × u) · v = (u× v) ·w = ∣∣∣∣∣∣ ux uy uz vx vy vz wx wy wz ∣∣∣∣∣∣ . ������ �� � ��� ���� � �� ������ A× (B×C) = B(A ·C)−C(A ·B) , ������ ��������� ���� ����� BAC − CAB ���� � ��� ����� ����� � � � �� �� ���� � �� � ! �� �� �� ��� �� �� � ���������"���� ���� #��� ��$�� % &��� �� ������������� '������ ���� �� ��� B � C ! ���� ��� |B×C|( �� �� � ) � � �� �� h ! ���� ���� ���*�+,� �� �� �� A �� ����� �� �� �� �� &��� n� -��� ) � � ��� �� ! �� �� � (A · n)(|B×C|) = A · (|B×C|n) = A · (B×C) . ������ .� � �� ��� A( B � C �,� '����� � ������ ���� �( �� ,� A · n < 0� ���� ����� �� ) � � �� � ��� ! �� � ��� ��� ��� � � � �� �� ���� � �� �� � � � � � #�� �� ��$� ��� ����� � �� � ����� /�� ������� � �� �� u ) � '���� � 0�� �� θ ��� � �� ��� �� �� s ���� #��� ��1�� % ���*�+,� �� u �2�� s ! ��fi���� ���� ���� � � � �� �� u ��4� � �� ��� �� 0�� �� θ �� �� � ��� �� ��� � us = u cos θ . ������ �� ��������� �� ��� ������ � ���� ��� ��������� ��� u = uxi + uyj + uzk� � ���� �� ����� ��� ��� ����� �������������� ��� �������� us = ux cos(i, s) + uy cos(j, s) + uz cos(k, s) , ������ ����� �� � �� ��� (i, s) ! � "�#��� $������ ����� (i � s)� � � y z O s u x θ %�#��� ��&' ���� ���� � �� ���������� (�������� ��� ���� �� �� ������� �� ����������� �����#������ (x, y) �� �� "�#��� θ �� ����� �� �� � z ���� %�#� ��)*�� +�������� �� (x′, y′) �� ����������� �� ������� ������������ , ����� ��-����� ! ����� ���� �� ���������� �� ��� ������� �� �� ����� u ��� ���� �������� �� ������������ .����� ������� �� ����������� �� ����� u �� ������� �� ����������� (x′, y′) ����� ����� �� u′x = ux cos(i ′, i) + uy cos(i′, j) = ux cos θ + uy cos(π/2− θ) = ux cos θ + uy sin θ , ����/� � �������� �� ���� �������� �� � � � � � � � � � ������ � �� u′y = ux cos(j ′, i) + uy cos(j′, j) = ux cos(π/2 + θ) + uy cos θ = −ux sin θ + uy cos θ . � ��� ��������� � ������������� ���� � ���� ��������������� ���� u′x = ux cos(i ′, i) + uy cos(i′, j) + uz cos(i′,k) , u′y = ux cos(j ′, i) + uy cos(j′, j) + uz cos(j′,k) , u′z = ux cos(k ′, i) + uy cos(k′, j) + uz cos(k′,k) . � �!� " ���#������� �������� � ������� �� (ux, uy, uz) ���� (u1, u2, u3) � ��fi��� amn = cos(m,n)% ���� (m,n) = 1, 2, 3 &����% �� �'���(�� ����� ����� ��� ���������� ���� u′1 = a11u1 + a12u2 + a13u3 , u′2 = a21u1 + a22u2 + a23u3 , u′3 = a31u1 + a32u2 + a33u3 . � �)� *� ���fi������� amn = cos(m,n) ��� ���+������ ���� �������� ��������� & �'����� �������� ���� ���,-� ��� ������� �� .���� ���������⎛ ⎝ u′1u′2 u′3 ⎞ ⎠ = ⎛ ⎝ a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ u1u2 u3 ⎞ ⎠ , � ��� �� ��������� �� ��� ������ � ���� ��� �� ����� �� ����� ��������� ������ ��������� u′m = 3∑ n=1 amnun . ������ ���� ����� � ���� ��������� u = (1, 0, 0) = i� ������������ �� ��� !�" ������� ��� �� ����� ��� ������� �� u u′1 = a11 , u ′ 2 = a21 , u ′ 3 = a31 , ����#� �� ��� ������� $�� i = a11i′ + a21j′ + a31k′ . ���� � �����������" ������������ u �� (0, 1, 0) �� (0, 0, 1) " ������� j = a12i′ + a22j′ + a32k′ , ������ � k = a13i′ + a23j′ + a33k′ . ������ �� ������ $�� � ���� ������� �� ����������� (x′, y′, z′) % ���������" ���� %" �� ������� ����&���� (i′, j′,k′) �������� �� ������ �� �������� $�� �� ���'� ��� �� ������� (i, j,k)� ����� i · i = a211 + a221 + a231 = 1 , j · j = a212 + a222 + a232 = 1 , k · k = a213 + a223 + a233 = 1 , i · j = a11a12 + a21a22 + a31a32 = 0 , i · k = a11a13 + a21a23 + a31a33 = 0 , j · k = a12a13 + a22a23 + a32a33 = 0 . ����(� )�������" � ���� ��� $�������� ��� ��������� ������ �� ��� ������ % ����� � ��" � � ���� ��� ������� ��� ��������� �� ���������� ������� % ����� � *���� +����*�� $�� �������� ���� �� ������� �,� �-������ �� �������� �� ����� � ���� �$�� ��� ����(� ���� ��� �������� �� ��� ����� ��� ���� ���� ����� 3∑ i=1 aijaik = δjk = { 1 , j = k 0 , j �= k , ����'� ���� δij % ���-����� ���� �� �� �� �� ������� �������� �� ���� �������� �� ���� ����� � ��� ���� � ��� � ��� ��� � ������� � (x, y, z) ���� (x1, x2, x3)� � �� ϕ(x1, x2, x3) ��� ������ ������ �� ��� ��� ��� � ���� � �� ������ � �� ��� � � �� � ��� � ����� � ϕ � � �� � �� � �� � �� �� � ����� ����� ϕ′(x′1, x ′ 2, x ′ 3) = ϕ(x1, x2, x3) . ���� ! " � ����� ���� ��� �� ��� � ����� � x′i (i = 1, 2, 3) � ��� ∂ϕ′(x′1, x ′ 2, x ′ 3) ∂x′i = ∂ϕ(x1, x2, x3) ∂x′i = ∂ϕ ∂x1 ∂x1 ∂x′i + ∂ϕ ∂x2 ∂x2 ∂x′i + ∂ϕ ∂x3 ∂x3 ∂x′i = 3∑ j=1 ∂ϕ ∂xj ∂xj ∂x′i = 3∑ j=1 aij ∂ϕ ∂xj , ����#! ��� aij = ∂xj/∂x′i� $� ����� ���� � �� ���%&� ��� ��� ��� � �⎛ ⎜⎜⎝ ∂ϕ′ ∂x′1 ∂ϕ′ ∂x′2 ∂ϕ′ ∂x′3 ⎞ ⎟⎟⎠ = ⎛ ⎝ a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 ⎞ ⎠ ⎛ ⎜⎝ ∂ϕ ∂x1 ∂ϕ ∂x2 ∂ϕ ∂x3 ⎞ ⎟⎠ . ����'! � � ��� ������ (� ���� � � ��%�� �� ����� �� (����� �� �� & ���) � �� ���� � ��� ��������� �� ������ ϕ ∇ϕ = i∂ϕ ∂x + j ∂ϕ ∂y + k ∂ϕ ∂z , ����*! ��� � �� ����� �� � & � fi� �� ���∇ = i ∂ ∂x + j ∂ ∂y + k ∂ ∂z . �����! ,�� �� ����� � � � �� �� �- � � � �� (����� ��� ���� ��%� ��� ������ ������� .�� �� ��� ����� � ��&�� �� �� � ����� �� ���� �� & (� � ϕ(x, y, z) = C & � (����� � ��� ��� ��/� ���� ∇ϕ & ������ � ��� � �� ��������� �� ��� ������ � ���� ��� ����� �� ���� ������ ���� ��� ����� ��������� ���� ����� P � Q �� ��� �� ������� ���������� ���� ��� �!!"� #�$� dr � ������������ ����� �� ���� ������ % ������������ �� P ��� Q ����� ��� ����� � ��fi��������� �� ϕ = C ���� �� dϕ = ∂ϕ ∂x dx + ∂ϕ ∂y dy + ∂ϕ ∂z dz = ( i ∂ϕ ∂x + j ∂ϕ ∂y + k ∂ϕ ∂z ) · (idx + jdy + kdz) = ∇ϕ · dr . � ���" � � � � � � � � � � �� ������ �!!' (���� ���� )� ����*����� �� ���������� ��� ����� ���� dϕ = 0� ���� ∇ϕ * �� ��������� + �� �������� % ����� ������ + �� ������� * ������ ���������,�� � ��������� ��� ��� �-����� n = ∇ϕ/|∇ϕ|� #� �� ����� .�� P � Q ���)� ������/���� �� �� �������� ����������� ϕ = C1 � ϕ = C2 ���� ���� �!�"� 0����������� �� ����� ��fi�������������� �-1����� �� ������������ �� �� ���� �� ����� ����� ��� ����� � ���� �� �������� �� ���� �������� �� dϕ = C2 − C1 = Δϕ = ∇ϕ · dr . ������ y z x ϕ = C1 ϕ = C2 > C1 P Q ∇ϕ dr ��� � ��� � � � � ���� � ������ ������ ��� �� � �������� ���� � ����� � ������ � ���� � ��� ∇ϕ � �� �!�!� � dr� "� �����# � � ������� ������ � �� ���� �� ���� � ��������� �� $ ���� ����!� ϕ� � ������� � %�� � �� $&��� ��$� ��� �� ��� r � ���� ��!� �� ���� ϕ(x, y, z) = √ x2 + y2 + z2 = r� '��� ���� � ��� �� ��! � � �!� � ����� �� ��$� �� ���� ��� (���� �� ��� ����� �� � ���� �� ��������� �� ��� ������ � � ���� �� ∂ϕ ∂x = x√ x2 + y2 + z2 = x r , ∂ϕ ∂y = y√ x2 + y2 + z2 = y r , ∂ϕ ∂z = y√ x2 + y2 + z2 = z r . ������ ������������ �� ������� �� ��������� ������� ����������� ∇ϕ = xi + yj + zk r = r r . ������ !���� ����� " ����#��� � ������� ��� $# ����������� �� ��!���% � � � ��� �&�� �� � ���� ���� ���� '(���� � ����� )����� �� �������� � � ������ ��� � ��� )��� �� ���� ���� � !��������� *� ����� �������� !���� ��� ���� � ������ � ����� � ��� )����� ���� �� ���� �� �� ���������� +������ ����"� �������� ∇ ��� ��� )����� !������ ����!"� �� �� ������ ���� ��� ��!������� �� ��� )����� !������ " ��fi���� �� ∇ · u = ∂ux ∂x + ∂uy ∂y + ∂uz ∂z . ����-� *��� ��� � ��!������� �� �� !���� " �� ���� ��� .����� ∇ · u ��� !� �� �����!� �� �� ����������� ����� ��/���� ��� � ��� � !������ ��� ��� 0!�/��1 2����� ��� )��� �� !�/��$���� ����� ����� '��� " � ���� �� ��� � � "����� ����/��� �� ��� ����� ����� � 3� ������� �� ���� �� ������ �� ��$�� �� ��� � �� ���!����� ���� �� ��!����� �� ���� ���� � � �� ��������� ��!���� ������ ��� � ��� � ����"����� ��� ����� ���� �� ��$�� �� ��� � �� )��$�� �� �� ������� ���� "� � ��� � ��� ����������� ��� !������������ *���� 4 ���� ����� ��� $# !�/��5 ����� �� ��$�� �� ��� � ��� �������� ��� ��������� �� ��)2��� )��$���� ���� ������� �� � ��� ����� ���� �� ����� �� ��)2���� ���� ��������� ����"� ������ �������� � � ������ ��� � ��� �� !���� ����!"� �� �� ������ !������ � ��������� " ��fi���� �� �������� �� ���� �������� �� ∇× u = ∣∣∣∣∣∣ i j k ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z ux uy uz ∣∣∣∣∣∣ . ������ � �� � � � ���� ������ �� ��� ��� � �� ������ ���� �� �� ��� ����� ��� � �� ��� � ���� ���� �� � ��� �� ��������� y x -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ���� � ���� !��� ��� ��� A = xi + yj� "� �#���� �$�� �� ��� ��� ��� � ���� ����� �� ��� � �� � � ��� ������ ������ ��� � A = xi+yj� �%� �� ������&� � �fi � �� �� ���� ����� ��� �� ���� ����� "� ������ �#���� ��� � �#�������� � �� � �#���� ��� �� � � A = −yi + xj� �% � �fi � � �� �� �� ���� ����� ( �� � �� ��� ��� ��� �� � ���� ��������������� � � �� ����� � ���� �)� ��� ! � �� �� �$�� � ��� � ��� ��� ��� A = yi + xj ��� ��� ������ �� ��������� �� ��� ������ � ���� ��� y x -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ������ �� � �� �� �������� A = −yi + xj� ���� ���� �� � ���� ��� ∇· � ∇× ������� ��� �� ��������� �������� �� f � g� u� � v ������ � ����� ��� ������� �� ��������� ����������� ∇(f + g) =∇f +∇g , ��� � ∇(fg) = f∇g + g∇f , ��� ! ∇ · (fu) = f∇ · u + u ·∇f , ���"# ∇× (fu) = f(∇× u) + (∇f)× u , ���" ∇× (∇f) = 0 , ���"$ ∇ · (∇× u) = 0 , ���"� �������� �� ���� �������� �� x y -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ������ �� ����� �������� A = yi + xj ∇(u · v) = (v ·∇)u + (u ·∇)v + v × (∇× u) + u× (∇× v) , � ��� ∇ · (u× v) = v · (∇× u)− u · (∇× v) , � ��� ∇× (u× v) = u(∇ · v)− v(∇ · u) + (v ·∇)u− (u ·∇)v , � ��� ∇ · (∇f) = ∇2f = ∂ 2f ∂x2 + ∂2f ∂y2 + ∂2f ∂z2 . � ��� ���� ������ � ������� � ���� � ���������� � f !��"�� ����� ∇× (∇× u) =∇(∇ · u)−∇2u , � �#� ∇2(fg) = f∇2g + g∇2f + 2(∇f) · (∇g) . � �$� � ������� � %� &��'�� �������� �� �� ��� �������� ���� F = f(r)r �������� ∇× (f(r)r) �� ��������� �� ��� ������ � ���� ��� �������� ������ � ���������� ������� ����� ��� ∇× (f(r)r) = f∇× r +∇f × r . ������ ������ � ��fi�� !� �� ���������� ����"� # $%��� ������� ��� ∇ × r = 0� &�� �$���� ∇ × (f(r)r) = ∇f × r� ��� '�( ��� f �� ���� � ���� �� �)���� �� r� ����� ∇f = i∂f ∂x + j ∂f ∂y + k ∂f ∂z = i df dr ∂r ∂x + j df dr ∂r ∂y + k df dr ∂r ∂z . ������ *����������� �� � ���� ��� �+����� ∇f = (r/r)df/dr� ,�������� ∇× (f(r)r) = ( r r df dr ) × r = 0 . ����-� ./�� ��� �� $�� � ������� �!� � �� $�� � 0��'��������� � �� $�� � �� &�����+� �� ��� f(r) = C/r3� ���� C = −Gm1m2 ��� � ������� ���� � C = q1q2/4π�0 ��� � ��0���� ����� � � � ���� � &������� ∇ · r� �������� ,��� ��fi�� !� ������� ����� ��� ∇ · r = ∂x ∂x + ∂y ∂y + ∂z ∂z = 1 + 1 + 1 = 3 . ������ � � � ���� �� &������� ∇2g(r)� ���� g # ��� $�� !� ��� �� ���� ������� �� �)���� �� r� �������� 1� � ���� ��� '�� ��� ∇ · (∇g(r)) =∇ · ( r r dg dr ) . ������ 0���� ������ � ���������� ������ � � ��������� �� � ���� � � �+2 ����� ∇ · (∇g(r)) = 1 r dg dr ∇ · r + r ·∇ ( 1 r dg dr ) = 3 r dg dr + r · [ r r d dr ( 1 r dg dr )] = 2 r dg dr + d2g dr2 . ������ �������� �� ���� �������� �� �� g(r) = rn� ���� ∇ · (∇g(r)) = n(n + 1)rn−2 . �� � ���� ������ ���� ���� � ����� �� n = 0 � n = −1� �� ����� � ������� �� � �� � g(r) = 1/r �����!�" � ������ �� #������ ∇2g = 0� � ���� ���� �� � ����� � �������� � ϕ(x, y, z) ��� !���� ������� � u(x, y, z) ��� !���� $�� ����� %����������� �&����� ��'� ! ���� �� ����(��� �� ���)�� �� ����� ∫ C ϕdr ,∫ C u · dr ,∫ C u× dr , �� *� ��� dr + �� ������� �� � �������� �� �� � �� �� � ��� � !��)�� � C �� ����(���� � � �+� � �� ��� ���� �� ��� ����(��� �� ���)� � ������ �� ����"�,�� � ����(���� ��������� �� ����� � ��� � ��� �$�� ��� � �+� � � ������� -���� � ��(��� �&���� �� � ������� � .���(��� � !���� ϕ(x, y) = xy ����� � ��(�� ��+ � �� (1, 1)� ��(���� � �����) � C1 � C2 ������� � �� /�(� ��0 � ���� ��� 1���$+� � �����) C1� ��� � ��� ∫ C ϕdr = i ∫ 10,y=0 ϕdx + j ∫ 1 0,x=1 ϕdy = i ∫ 1 0 0 dx + j ∫ 1 0 y dy = j 1 2 . �� 2� 1���$+� �� C2 ��� � ∫ C ϕdr = i ∫ 1 0,y=x ϕdx + j ∫ 1 0,y=x ϕdy �� ��������� �� ��� ������ � ���� ��� C1 C2 (1, 1) (1, 0) x y ������ ����� � ������� C1� y = 0 ����� (0, 0) � (1, 0)� � x = 1 ����� (1, 0) � (0, 1)� � ������� C2� y = x ����� �� ����� (0, 0) � (1, 1)� = i ∫ 1 0 x2 dx + j ∫ 1 0 x2 dx = i 1 3 + j 1 3 . ���� ! � � ������� � "������� � #�� $� F(x, y) = (x− y)i+ (x+ y)j ����%&� '� ��()��� *�� ��� �� ����� (0, 0) � (1, 1) ���� �������'� �� ���� ���+� C (1, 1) x y ������ ���+� � ������� C & '�'� �� y = x2� ���� ��� � ����� '� ������� C� y = x2� ����� �������� �� ���� �������� �� ∫ C F · dr = ∫ 1 0,y=x2 (x− y) dx + ∫ 1 0,y=x2 (x + y) dy = ∫ 1 0 (x− x2) dx + ∫ 1 0 2x(x + x2) dx = [ x2 2 + x3 3 + x4 2 ]∣∣∣∣1 0 = 11 6 . ������ � ���� ����� �� � �������� �� V � ��� � �������� ��� �� � � ����� � ����� S� �������� � �� ������ �� � � � � ��� u � ���� � ������� �������� ������ �� � S �� � ��� ����� ����� ∮ S u · n dS = ∫ V ∇ · u dV , ������ ��� n � � ��� ������ ! � � ����� � � ��� � ����� � S� "� ���� �� ��� �� � �#�� ����� � ��� �� ��� $��� � � � ����� �� ���� ��� ��� �� ��� $��� � ��� � � %��� � �������� �� � �� ��& ������ � ��� ���� ��� � � � ��� � ��� � ΔV � '����� � ��� � �� ��� � � �� ��� � ���� �� ������ �� (�$� ���)� * fl ,� � u ����� � ��� ��� � � - ��� ����� ��� (valor de ux na face 1)ΔyΔz , (valor de ux na face 2)ΔyΔz . ����-� * fl ,� ��� ��� ���� ���� ��� [(valor de ux na face 2)− (valor de ux na face 1)]ΔyΔz = ΔuxΔyΔz . ������ . � �����/� � � ��� ���������� ���� �� � ���� ��� � �0� ��� � fl ,� ����� ����� � � ����� �� ��� � �� ��������� �� ��� ������ � ���� ��� � � � � � ������ ����� ���� � ������ ���� �� ���� x = 0 � � ���� � ������� � ���� ����� ΔuxΔyΔz + ΔuyΔxΔz + ΔuzΔxΔy = ( Δux Δx + Δuy Δy + Δuz Δz )ΔxΔyΔz . ������ � ���!� ����������� ���� �"�� #� ��� ��� ��������� ��!�( ∂ux ∂x + ∂uy ∂y + ∂uz ∂z ) dxdydz =∇ · udV . ������ $��� ��fi�� #� �� fl�'�(∑ u · nΔS =∇ · uΔV , ����)� ���� � ��!� ������*�� � ����� �� ����� �� +���!� ΔV � ,!�����!�� ����� "�� � +���!� V ���� ��� ��-��+����� �! �"����� �������� ��fi������!��� �� +���!� ΔVi� .����� � /���!� �"�� #� ���!�( ��!�� ∫ V ∇ · u dV = ∑ i ∇ · uΔVi = ∑ i ∑ u · nΔSi �������� �� ���� �������� �� = ∮ S u · n dS . ������ ���� ����� �� � ���� �� S �� ��������� ��� ��� � ����� � ��� �� ���� ���� � C� � ���� ��� �� ����� � � ������ ���∫ S ∇× u · n dS = ∮ C u · dr . ������ ��! ���� �� � �� ����" �� #$� �� �� ������ � ���� ��� ���� �� � ����� ������ ��� �� ��� % � ��� fi�� ��� � � ��� ��'����� E �����(��� ��� �� ���� �� ������#$� �� � �) ���� �� �������" �� ��� ��� #$�∮ S E · n dS = q �0 , ����*� �"�� q ' � �) ��� � "� �"������ �� S�� +��� ������ �� �����)�"�� ����,�- ���� ∮ S E · n dS = ∫ V ∇ ·E dV . ����.� +�� ����� � ��- � �) ��� � ���� �� �!��� �� ����� � ��" �� �� �� � �) ρ �� �' �� q = ∫ V ρ dV . ����,� ��� �����"�� �� /���� ��� #0� �� ����*�- ������ ∫ V ( ∇ ·E− ρ �0 ) dV = 0 . ����1� 2� ��( ��� V ' ������� ��"�� �����3���- 4 ������ ) � "��� ��� �"��)� � ��� � "�� � � ���"�� � � ���� ��� � � ��������� �� � ��� � ���� ��������� ����� ����� � ������ ����� � ������ �� ��� ������ ���� ��! "��#��� � �� ��$��� � ��� � �� �����%���� � �� �&���� �� ��� ���� � �� ��� � � '��� �� (� ������ ������ ����� ��( ����� � ���� ��� � )����! �� ��������� �� ��� ������ � ���� ��� ∇ ·E = ρ �0 . ������ ���� � � ��� �� ����� �� ����� ������������ ������ ��� � �� �� � ��� � ��������� B �� �������� � ��� �!��"�� �� �� ��� ������#�� $� �� �������� ��� ��� ��������� ��� ��� �� � ���% � &��� ����#����� &��∮ C B · dr = μ0I , ������ ���� I � � �������� ����� �� �������� �� C�� '� ������� �� (��)�� ���*��% ����� &��∮ C B · dr = ∫ S ∇×B · n dS . ������ ����% � �������� ����� �� �������� �� C �� ������ �� ��������� �� �������� J � ���� �� I = ∫ S J · n dS . ����+� ,��#������ �� ���� �&�� ��� ����� ��� � ��� �� � -�� ������% ����� &�� ∫ S (∇×B− μ0J) · n dS = 0 . ����*� (���� S ��� �� ���.��� ������������ ��#���/���% ����������� ∇×B = μ0J . ������ ���� �&�� $� � � ��� �� � ��� �� ����� ������������ 0������ ���� ������� &�� ���� ��� ���/ ����� ����� 1 ������/��� ��������� �� ����� � ���� �� ���� ������� �� �&�� $� ����� �� ��� ����� � �����2�� ����������� ��� � ��� �� ������ � $� �� ������ � ���� ��� � � ��������� �� � � ����� � � ��� ����� �� ��� ����� � ������ ����� �� � ������ �!��� ���"#�� ��� $������ �% ��� � !& � '�� (�) *�+�� , -�� �� � ���.��(/ �� �� ��� , ����� �� 0����� �� 1��� � ���� � �� 2 3�1� �� ��������� ����)4 �������� �� ���� �������� �� ������ ��� �� � � � � ����� � �� �� ���� ��� ������ ��� �� ����� ���� � �� ��� ��� � �� ������ � � �� ������� � ������ ��� ��� ∮ C E · dr = − d dt ∫ S B · n dS . ������ ������ � ������� �� ��!�� �� ��� �������� �� � �� �������" ����������� ∫ S ( ∇×E + ∂B ∂t ) · n dS = 0 . ����#� $�� �%� �� ∇×E = −∂B ∂t , ����&� ��� � � �� ������� ���� �� �� %���� � %����� � � ����� ������� �� �������� � ������� ����� ��� ��� �� �'�� �� ����� ���� � �� ��� ��� ���� � ����" � fl�)� �� ����� ���� � �� ����� � �� ��� ���� �����%*� � %��'��� ��� �+��" ∮ S B · n dS = 0 . ����,� -� � ������� �� � �������� ���.&�" ����� ��� ∮ S B · n dS = ∫ V ∇ ·B dV = 0 . ������ $�����/��������� ∇ ·B = 0. ����0� 1��� ����23� � �� fi�� ��� �� ������5� �3� '6 ������ � ���� � ��� � ������� �� � �� � �� � ���� ������ �� ��������� ������ �� ��� �� �� ��� !������ �" #���� � � � $� ������ ���� � ���� %&���� �'$� ������� � ����( �� � ��)����" *� � ���� $�+ � �� ��� $�� � �+����,� ���� %� �� ��� ���� �� � %�� � �+���� �� ��� ��, � �� ���� � ���$� �� � � ���� � �� � " ��� �� �� ,���� � ���,���� - ����� �" .� ����� / ����� � � � $� ������ ���� �� ���� � ���" �� ��������� �� ��� ������ � ���� ��� ������ ��� � �� ���������� �� ����������� ������������� ��� � ��� �� � ��� ��� �������� ���������� �������� � �������� �� �� ������ �� ���� �� ���� !� ���� �� "#�$$%& � ������ � ���������� "#��#%& ����� ��� ∇ · (∇×B) = μ0∇ · J = 0 . "#�'�% (��� ��������� ���� �� ��������� ��� � ���� �� �� ������������ ��� �)� ����� � �������� �� �� �����& ∇ · J + ∂ρ ∂t = 0 . "#�'�% ����& ������ � ��� �� *���� "#�$#%& ����� ��� ∇ · J + �0 ∂∇ ·E ∂t =∇ · ( J + �0 ∂E ∂t ) = 0 . "#�'+% ����� ����� ��� ���� ���� �� � "#�'�% ��� �������������� (��� � �� ����� �����)� ��� ��� ��������� �������������� �� ����� � ���� �� ��� �� � ��� �� ������� ��� � ���� �� �� ������������ �� � ����������& ∇×B = μ0J + μ0Jd . "#�'$% ��������� �� �������� �� ������������ Jd ��� ��� ����������� �,���� �������� ��� ∇ · (∇×B) = μ0∇ · (J + Jd) = 0 . "#�''% -�� ������ ���� ���� �� ��� "#�'+%& �,����� Jd = �0 ∂E ∂t . "#�.//% ����& �� ������ ���� ��� ������������ �� 0�)1��� � �� ������������ ����� ���� ��� �������� ���� ∇ ·E = ρ�0 , ∇ ·B = 0 , ∇×E = −∂B ∂t , ∇×B = μ0J + μ0�0 ∂E ∂t . "#�./.% � ����� ���� ������ ���� � ����� ������ �� ���������� ������� ��!�� �� ���� �� ��"# � ��"$ !�����%�� �� &���� �������� �� '������� ���� �������� � !����� �� ���� !�������!���� ���!�!�(��� ��� )��!�� �*������ �)��+,�� )�� ��-�� � ��� ���� �������� �� ���� �������� �� ���� ���� �� ��� ��� � � � � ����� � ��� � � �� ���� A = 3i − j� B = j + 2k� C = i + 5j + 4k� ��� � � ���� a � � � � 2i− 3j+ 5k 3i+ aj− 2k � ��� � �� ���� � ��� �� ��� � A = i+ j� B = 2i− 3j+k� C = 4j− 3k� ���� � �� � � � � ���� ����� A × (B × C) ��� ���� � � fi�� ! � �� � � � � ����� ��� ���� � � �� ! �������� ��" �! ��� � � � � � � a′ = b× c a · (b× c) , b′ = c× a a · (b× c) , c′ = a× b a · (b× c) . � � � a · (b× c) �= 0� # ����� � x′ · y = δxy , �� (x,y = a,b, c)� $�� � � ���� % ��� ����� � �� � � � � � ����������� � &����� � $���� �'��� � ��� (� � � � )� � � � ����� � *��� � ��� � � � % ��� � � |A×B|� ��+ � A = (3x− 6yz)i+ (2y +3xz)j+ (1− 4xyz)k� ���� ��� ∫ C A · dr � ,-�-�-. � ,�����. � � �* � � � * ��� � � �� �� � C/ ��� x = t� y = t2� z = t30 ��� � *� �� � � � �� � ,-�-�-. � ,-�-��.� � �� � ,-����.� � �� � ,�����.� ��� � F = (x2 − y2)i + 2xyj� ���� ��� ∫ C A · dr � � �* �� � ��� C � ���� xy� ���� � � y = x2 − x � � �� ,��-. � ,���.� �� ��������� �� ��� ������ � ���� ��� ��� ������ �� �������� �� ���������� � �� ������� ���� ������������ ���� ���� �� ��������� ���������� (a) ∮ u ·n dS� ���� u = x3i+ y3j+ z3k � S � � ������ �� ���� R ��� ������ �� ������� (b) ∮ u · n dS� ���� u = x5i + y5j + z5k � S � ������ �� ��� (a)� (c) ∮ C u · dr� ���� u = −3yi + 3xj + k� � C � � � ����� x2 + y2 = 1 ������� �� ���� z = 2� ��! "������ #�� 1 3 ∫ S r · n dA = V , ���� V � � ������ �������� ��� �� ��� ��� ���$��� S� ��%& �� B =∇×A� ������� #��∫ S B · n dS = 0 , ��� ��� �� ��� ��� #���#��� ���$��� S� ��%% ����� t = −iy + jx� ������� #�� 1 2 ∮ C t · dr = A , ���� A � � '��� �������� ��� �����$� ���$��� C� ��%( � ��� �� ������������� ���� ��� �� ��� �������� ���� ����� � ���� ������ �� ��� ��� )� ������� F = −∇ϕ . "������ #�� � ���*��$� �����+��� �� ���� ��� � ���� ���� �� ���,��-� ��� �� ��� ����� ������������ � ��� � �������� � ���� ������������ �� E = −∇ϕ� "������ #�� ∇2ϕ = − ρ �0 , ���� ρ � � ��������� �� ������ .��� � ���$����� ���� �#�� )� �� /������� �� ρ = 0� � �#�� )� � ���$����� ���� �#�� )� �� 0� ����� �������� �� ���� �������� �� ���� � ��� �� � ������ ��� ������� �� ���� �� � ������� ��� �� ��� ���� � � ������� � ���� �� U = 1 2 �0E ·E + 12μ0B ·B . ������ �� �������� �� �� !���" ��� � ��� −∂U ∂t = J ·E +∇ · S , ���� S � � ���� �� #�$��� � � ���� �� S = 1 μ0 E×B . ���% &��� ��� �� �� ��� ���� � � ������� ������� ������ �� ��� ��' ���� z � �� �� ��� ������ �� �������� �� �� !���" ��� � ��� ∂By ∂z = −μ0�0 ∂Ex ∂t , ∂Ex ∂z = −∂By ∂t , ∂Bx ∂z = μ0�0 ∂Ey ∂t , ∂Ey ∂z = ∂Bx ∂t . ������ ����� ��������" ��� � ��� �� �� �������� ��� �� ��� ��' ���(��� � �����)� �� ���� ∂2f(z, t) ∂z2 = 1 c2 ∂2f(z, t) ∂t2 , ���� c = 1/ √ μ0�0 � � ���������� �� ��� �� �*���� �������� ����������� � � �� ���� ��� ����� ��� ��� ����� � �� ����� ����� ���� � ��� ��� � ������ �� ��� ����� � ��� ��� � �� ������� � �� ������ � ���� �� �� ���� ��� �� ���� �� � ����������� �� �� ������ �� � � ���� �� � ��� � ����� �� ����� �� � ��� � �� �� � ��� �� � �� ����� � �� �������� �� �� ��� ���� ����� � ��� �� ����� ���� �� �� ������ �� ���� �� � ��� � ����� ������� � (x, y, z) �� ������ �� ���� �� � ����������� ��� ������� �� � ���� ��� �� (q1, q2, q3)� �� �� �� � �� ���� �� ���� � � ����� ������� ��� �� ���� ���� x = x(q1, q2, q3) , y = y(q1, q2, q3) , z = z(q1, q2, q3) . !"�#$ % ��� ���� �� � ���� ���� �� � ��� � ����� � &� � �������� �� � ����� � � � ��' �� ����� � ��� �� � �� � ����' ��� �� � fi��� �� � ���) ��� ��������� �� �*�� q1� q2� q3� + &���� ���� ����� � �� � � �� �� ,����� � �� � � ������ �� ����� ��� ��� �� � dx = ∂x ∂q1 dq1 + ∂x ∂q2 dq2 + ∂x ∂q3 dq3 , dy = ∂y ∂q1 dq1 + ∂y ∂q2 dq2 + ∂y ∂q3 dq3 , dz = ∂z ∂q1 dq1 + ∂z ∂q2 dq2 + ∂z ∂q3 dq3 . !"�-$ �������� ����� ����� �������� �� �� ����� ���� ��� � ������ ��� � � � ������� ��� ������ �� ���� dxi = 3∑ j=1 ∂xi ∂qj dqj . ����� ���� ���� �� � ������ � ��� q2 q3 �������� �� ������ dr = (dxi + dyj + dzk)q2,q3 = ( ∂x ∂q1 i + ∂y ∂q1 j + ∂z ∂q1 k ) dq1 = ( ∂r ∂q1 ) q2,q3 dq1 . ����� � ��� ( ∂r ∂q1 ) q2,q3 � ���! ����" # ����� � ������ ��� r ��� q2 q3 ����$ ���� �� % ������� ��� aˆ1 � � ��� ����&��� �� ��� ��� �� �'� q1� ��� ��� ��� � � aˆ1 = 1 h1 ( ∂r ∂q1 ) q2,q3 = 1 h1 ( ∂x ∂q1 i + ∂y ∂q1 j + ∂z ∂q1 k ) , ���(� ��� h1 = ∣∣∣∣∣ ( ∂r ∂q1 ) q2,q3 ∣∣∣∣∣ = √( ∂x ∂q1 )2 + ( ∂y ∂q1 )2 + ( ∂z ∂q1 )2 , ����� � �� ��� � ���� ������� �� ��� � � ���� �� ������ ���� � ����� ����� ��� �� ���� �� ����� q2 � q3 � �� ������ ���� �� ������ ������� � ������� � ��������� aˆ2 = 1 h2 ( ∂r ∂q2 ) q1,q3 = 1 h2 ( ∂x ∂q2 i + ∂y ∂q2 j + ∂z ∂q2 k ) , ����� aˆ3 = 1 h3 ( ∂r ∂q3 ) q1,q2 = 1 h3 ( ∂x ∂q3 i + ∂y ∂q3 j + ∂z ∂q3 k ) , ����� h2 = ∣∣∣∣∣ ( ∂r ∂q2 ) q1,q3 ∣∣∣∣∣ = √( ∂x ∂q2 )2 + ( ∂y ∂q2 )2 + ( ∂z ∂q2 )2 , ����� h3 = ∣∣∣∣∣ ( ∂r ∂q3 ) q1,q2 ∣∣∣∣∣ = √( ∂x ∂q3 )2 + ( ∂y ∂q3 )2 + ( ∂z ∂q3 )2 . ������ �� ��������� �� ��� ������ � ���� ��� ������ ������ �������� �� ����� ��� ����� aˆi = 1 hi 3∑ j=1 ∂xj ∂qi xˆj , ������ h2i = 3∑ j=1 ( ∂xj ∂qi )2 , ������ ���� (xˆ1, xˆ3, xˆ3) = (i, j,k)� ���� ������� �������� �� �������� ������� �� � �� ����������� ��� ����� �� ������� ��� �� ������� �� ����������� ������ ����� !����� � ���� "�� xˆi · xˆj = δij � � � �"�� #� ������� ����� "�� aˆi · aˆj = ( 1 hi 3∑ k=1 ∂xk ∂qi xˆk ) · ( 1 hj 3∑ l=1 ∂xl ∂qj xˆl ) , = 1 hihj 3∑ k=1 3∑ l=1 ∂xk ∂qi ∂xl ∂qj xˆk · xˆl , = 1 hihj 3∑ k=1 3∑ l=1 ∂xk ∂qi ∂xl ∂qj δkl , = 1 hihj 3∑ k=1 ∂xk ∂qi ∂xk ∂qj . ����$� %� ���������� "�� �� ����� ������� ����&���� �#� ����'������ �� ��(�� aˆi·aˆj = δij � ���#� 1 hihj 3∑ k=1 ∂xk ∂qi ∂xk ∂qj = δij . ������ ����� Aij = (∂xi/∂qj)/hj � ��� �����) ����'����� ��� ������ � �� ������� � ����� � � � ���� * ��� ������� �� �� �������� �� ���� ds � ���� �� �������� ����� ����� �������� �� �� ds2 = dr · dr = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 = 3∑ i=1 dx2i . ������ �� � � ������� ������ ���� ��� ds2 = 3∑ i=1 3∑ j=1 ∂xi ∂qj dqj 3∑ k=1 ∂xi ∂qk dqk = 3∑ j=1 3∑ k=1 ( 3∑ i=1 ∂xi ∂qj ∂xi ∂qk ) dqjdqk = 3∑ j=1 3∑ k=1 hjhkδjkdqjdqk = 3∑ j=1 h2jdq 2 j , ������ �� �� �� �� ���� � ���� � ���� � �������� ����� � ��� � ������� � ���������� � � ������� � ������ �� ���� � ����� ��� �� � ���� � ���� ��� � ��� ��!���� �������� � ����� " �� ���������!�� � � �� � h1dq1� h2dq2� � h3dq3� #�� ��$���������� � �������� � ����� �� ���� ��� � ��� ��!��� �� � �� � ����� ���� dV = h1h2h3dq1dq2dq3 . ����%� &�� fi�� � �������� � (��� � �������� ��� � )��� � ���������!�� � ��( � � ��� dσij = hihjdqidqj � ��� i �= j� ��� ����� � � �� �� � � ������� �� *�+� ϕ(x, y, z) ��� )����� � ����� ��� ��� � � ������� ����!��� � �� � � ����� � �� ���� ���� ��� �� ��������� �� ��� ������ � ���� ��� ∂ϕ ∂q1 = ∂ϕ ∂x ∂x ∂q1 + ∂ϕ ∂y ∂y ∂q1 + ∂ϕ ∂z ∂z ∂q1 = ( ∂ϕ ∂x i + ∂ϕ ∂y j + ∂ϕ ∂z k ) · ( ∂x ∂q1 i + ∂y ∂q1 j + ∂z ∂q1 k ) = (∇ϕ) · ( ∂r ∂q1 ) q2,q3 = (∇ϕ) · (h1aˆ1) . ������ �� ����� �������� ������ ������� ��� ∂ϕ ∂q2 = (∇ϕ) · (h2aˆ2) , ���� � ∂ϕ ∂q3 = (∇ϕ) · (h3aˆ3) . ���!"� � ��#� $������ ���� ��� �#� ���� ��� $����� � �%� ����� �� ∇ϕ = 1 h1 ∂ϕ ∂q1 aˆ1 + 1 h2 ∂ϕ ∂q2 aˆ2 + 1 h3 ∂ϕ ∂q3 aˆ3 . ���!�� fi� �� �'��� � �� ������� %� �� ��(������� �� ����������� ���(��)* ���� �������� � ����� ����������� ��� �� +� %� ,��-� .��������� �� �������� �� (����� �� ����������� ���(��)���� ���� ��������� �� /��� ���� 0 fl�2� �)����� �� �� ��� � (������� u ����(3� ��� ����� �� !� � , 3 ���� �� Δ(u1h2h3)Δq2Δq3 = Δ(u1h2h3) Δq1 Δq1Δq2Δq3 , Δ(u2h1h3)Δq1Δq3 = Δ(u2h1h3) Δq2 Δq1Δq2Δq3 , Δ(u3h1h2)Δq1Δq2 = Δ(u3h1h2) Δq3 Δq1Δq2Δq3 . ���!!� 4� ����� ����������� � fl�2� �)����� ����� ��� ��� ������� ���� [ ∂(u1h2h3) ∂q1 + ∂(u2h1h3) ∂q2 + ∂(u3h1h2) ∂q3 ] dq1dq2dq3 =∇ · udV . ���!,� 5�� ����� ����� ������ � �2 ����%� �� �������� �� (����� �� ����������� ���(��)���� ����-�� �'����� �������� ����� ����� �������� �� �� � � �� � � � � � � � � � � � � � � ������ �� ������� �� ������ �� ����������� ����������� ∇ · u = 1 h1h2h3 [ ∂(u1h2h3) ∂q1 + ∂(u2h1h3) ∂q2 + ∂(u3h1h2) ∂q3 ] . � � � � ������������ �� ���������� �� ����������� ����������� � �� ���� ���� ��� ��!� � � ���!������ �� ���� "���� #�� ∇× u = 1 h1h2h3 ∣∣∣∣∣∣ h1aˆ1 h2aˆ2 h3aˆ3 ∂ ∂q1 ∂ ∂q2 ∂ ∂q3 h1u1 h2u2 h3u3 ∣∣∣∣∣∣ . � ��� $� ��fi����� �� &� ������� �' �(�) � ��� �� ��������*�� �� ��������� � �� ���������� �� ����������� ����������� � ��� � � � �) ��� �����������) ����� #�� ∇2ϕ =∇ · (∇ϕ) = 1 h1h2h3 [ ∂ ∂q1 ( h2h3 h1 ∂ϕ ∂q1 ) + ∂ ∂q2 ( h1h3 h2 ∂ϕ ∂q2 ) + ∂ ∂q3 ( h1h2 h3 ∂ϕ ∂q3 )] . � ��� +�� �,!���� ���� -��*�� ������ � ����� � .�����/��� ����� ��� ���� ����� �� ���fi��� �� ������ ��������� �� .����� �� ��������� �� ��� ������ � � ���� �� ��� ������� � ��� ����� ����� �� ���������������� x = ρ cosφ , y = ρ sinφ , z = z , ������ ���� ρ ≥ 0� 0 ≤ φ ≤ 2π� −∞ ≤ z ≤ ∞ ���� �!� ����� ρ k ρ0 y x z r z � φ φ0 �!��� ���� "���������� �� #�������� $���� �� ����%�� r = ρ cosφi + ρ sinφj + zk = ρρ0 + zk . ����&� '(������� h1 = 1 , h2 = ρ , h3 = 1 . ����)� � ������ �� �� ���� �������� ����� ����� �������� �� �� dV = ρdρdφdz . ������ �� ����� ∇ψ = ρ0 ∂ψ ∂ρ + φ0 1 ρ ∂ψ ∂φ + k ∂ψ ∂z . ������ � �� ������ ∇ · u = 1 ρ ∂ ∂ρ (ρuρ) + 1 ρ ∂uφ ∂φ + ∂uz ∂z . ������ ����� ����� ∇× u = 1 ρ ∣∣∣∣∣∣ ρ0 ρφ0 k ∂ ∂ρ ∂ ∂φ ∂ ∂z uρ ρuφ uz ∣∣∣∣∣∣ . ������ ������ ���� ∇2ψ = 1 ρ ∂ ∂ρ ( ρ ∂ψ ∂ρ ) + 1 ρ2 ∂2ψ ∂φ2 + ∂2ψ ∂z2 = ∂2ψ ∂ρ2 + 1 ρ ∂ψ ∂ρ + 1 ρ2 ∂2ψ ∂φ2 + ∂2ψ ∂z2 . ������ ��� ������ � � �� ���� � ���� !�" � ��"#� $�� ��"� x = r sin θ cosφ , y = r sin θ sinφ , z = r cos θ , ����%� ���� r ≥ 0& 0 ≤ θ ≤ π& 0 ≤ φ ≤ 2π ��� ' �� ����� (��� �� ��" )�� r = r sin θ cosφi + r sin θ sinφj + r cos θk = rr0 . ������ *+� ��"� h1 = 1 , h2 = r , h3 = r sin θ . ������ ���$���� �� ����$�� dV = r2 sin θdrdθdφ . ����,� �� ��������� �� ��� ������ � ���� ��� y x z φ θ φ o θo ro (x, y, 0) (x, y, z) r ������ ���� ����������� ���������� ���������� ∇ψ = r0 ∂ψ ∂r + θ0 1 r ∂ψ ∂θ + φ0 1 r sin θ ∂ψ ∂φ . ����� !�"�������� ∇ · u = 1 r2 sin θ [ sin θ ∂ ∂r (r2ur) + r ∂ ∂θ (sin θuθ) + r ∂uφ ∂φ ] . ����# $���������� ∇× u = 1 r2 sin θ ∣∣∣∣∣∣ r0 rθ0 r sin θφ0 ∂ ∂r ∂ ∂θ ∂ ∂φ ur ruθ r sin θuφ ∣∣∣∣∣∣ . ����% &� �������� ∇2ψ = 1 r2 ∂ ∂r ( r2 ∂ψ ∂r ) + 1 r2 sin θ ∂ ∂θ ( sin θ ∂ψ ∂θ ) + 1 r2 sin2 θ ∂2ψ ∂φ2 . ����' ��� ������ � �� �������� (� )�� ����� �*��+�, �����-�� ����-�� ��� ����� ��� �)�� ��� ������������ ������� �� �.����� �������� ����� ����� �������� �� �� ������ � �� ����� ∇2ψ = 0 . ������ ������ � � ��� �� ∇2ψ = − ρ �0 . ������ ������ � ����� �� � �� ���� ��� � ∇2ψ ± k2ψ = 0 . ������ ������ � ����� � �� ���� ��� � ∇2ψ = 1 a2 ∂ψ ∂t . ������ ������ � ��� ! ��"� � − � 2 2m ∇2ψ + V ψ = Eψ . ����#� $ ���%"���� ��� �����&�� ����� ' ψ� $ �� �(� � � �� �����&�� �����) ������ � ��� � �� � � ����� � � � ���� �� �����&�� ��� ������� � * ����� � � � � ���� � �����&�� ��� ������� ��+ ��� ���� ��� ���� ���� ,-���( � �� ������� ) ���� *�� �'� � ��������� � ���� ���� �� � ����� � � � ���� �'� ����� ��) � ��� � �� � � ������ � ���* �� �� � �� ���� ��� � � ����� ����� $ � '�� ' �� � � � ������ �� � .� �����&�� ��� ������� ��+ ��� � �� � �� ����� �� � ���� �� ��� /���� (� �+(��� ��� �(�� � ψ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z) . ����0� ��,������� ���� ������ �� ������) ,��� � Y Z d2X dx2 + XZ d2Y dy2 + XY d2Z dz2 + k2XY Z = 0 , ������ � ��� � 1 X d2X dx2 = −k2 − 1 Y d2Y dy2 − 1 Z d2Z dz2 . ����1� �� ��������� �� ��� ������ � ���� ��� ��� ��� ��� �� ����������� (x, y, z) ��� ���� ��������� ����� �� ����� �� ���� �� ����� ����� ��� ������ � ��� ���������� ����� 1 X d2X dx2 = −l2 ��� !" −k2 − 1 Y d2Y dy2 − 1 Z d2Z dz2 = −l2 . ��� #" $������%���� � &����� ��� ���� ���� ���� ����'� ������ �������� 1 Y d2Y dy2 = −k2 + l2 − 1 Z d2Z dz2 . ��� (" )��������� �� ���� ��������� ����� �� ������� �� ���� �� ����� ��� ������ �� ����� *���� ����������� ����� 1 Y d2Y dy2 = −m2 , 1 Z d2Z dz2 = −n2 , ��� �" ���� k2 = l2 + m2 + n2� +��� ���� ������ �� ������� (l,m, n) ������� ��� ���� �� ψlmn� ,��� � ���� �� ���� " ' ������ ���� ,� -���� " �� ψ� ��� ������� �� ������ �� ���� ��� ����'� ���. ��� ���� �� �� ���� �� ��*��������� ψ(x, y, z) = ∑ lmn almnψlmn(x, y, z) . ��� " � ���������� (l,m, n)� � almn ��� ������������ �� ������ ��� �� ���� ���� � �������� �� ����� ����� � *�� �� ψ(x, y, z)�� +��� � �������� � ��� ' �� ������� ������ ' ��� �����*������� � ������� �� �������� ��� ���� �� ��*�������� ������ �� ���� �� �� ��/� ���� ��� ��*��������� �����.����� 0��� &����� �1�� �� � ����2�� � �������� ��� �������� ����������� 3�2 �� ����� ��� � �������� ��%� ��*'����� 4���� ����� ������ � 5� ������� �� ����������� ��*'����� ����#"� ���� �� �� ��*���� ���� ������� �� ��� � ��� ��� ������� ���� 1 r2 ∂ ∂r ( r2 ∂ψ ∂r ) + 1 r2 sin θ ∂ ∂θ ( sin θ ∂ψ ∂θ ) + 1 r2 sin2 θ ∂2ψ ∂φ2 + k2ψ = 0 . ��� 6" � �� ������ � � �������� �
Compartilhar