Buscar

Física Matemática teoria e aplicações Edson Sardella

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 3, do total de 214 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 6, do total de 214 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 9, do total de 214 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Prévia do material em texto

PRÓ REITORIA
DE GRADUAÇÃO
Programa de Apoio à Produção de Material Didático
 
 
Edson Sardella
FÍSICA-MATEMÁTICA:
TEORIA E APLICAÇÕES
 
 
 
 
São Paulo 
2008
©Pró-Reitoria de Graduação, Universidade Estadual Paulista, 2008.
 
 1ª reimpressão 2009
 Sardella, Edson
 S244f Física-Matemática : teoria e aplicações / Edson Sardella –
 São Paulo : Cultura Acadêmica : Universidade Estadual Pau-
 lista, Pró-Reitoria de Graduação, 2008.
 212 p.
 Inclui Bibliografia e Índice Remissivo
 
 ISBN 978-85-98605-31-9
 1. Física-Matemática. I. Título.
 CDD 530.15
Ficha catalográfica elaborada pela Coordenadoria Geral de Bibliotecas da Unesp
Universidade Estadual Paulista
Reitor
Marcos Macari
Vice-Reitor
Herman Jacobus Cornelis Voorwald
Chefe de Gabinete
Kléber Tomás Resende
Pró-Reitora de Graduação
Sheila Zambello de Pinho
Pró-Reitora de Pós-Graduação
Marilza Vieira Cunha Rudge
Pró-Reitor de Pesquisa
José Arana Varela
Pró-Reitoria de Extensão Universitária
Pró-Reitora
Maria Amélia Máximo de Araújo
Pró-Reitoria de Administração
Pró-Reitor
Julio Cezar Durigan
Secretaria Geral
Secretária Geral
Maria Dalva Silva Pagotto
Cultura Acadêmica Editora
Praça da Sé, 108 - Centro
CEP: 01001-900 - São Paulo-SP
Telefone: (11) 3242-7171
 APOIO:
FUNDAÇÃO EDITORA DA UNESP 
FUNDAÇÃO PARA O VESTIBULAR DA UNESP - VUNESP
CGB - COORDENADORIA GERAL DE BIBLIOTECAS
CONSELHO EDITORAL
�������	
���
��
Heraldo Luiz Giacheti
João Aristeu da Rosa
���������	����������
�������
������
Miguel Ruiz
�
���
��
	������
��
��������
�
��������������������
���������������������
��!�
COMISSÃO EXECUTIVA
"����#
����
�!
������
$$��
%��&�	�#
��������'�������
���
Klaus Schlünzen Junior
Leonor Maria Tanuri
APOIO TÉCNICO
�
$������*
$���
+���
��
��
�������
%��&��
�����������;���
��<�
���
PROJETO GRÁFICO
PROGRAMA DE APOIO 
À PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO
Considerando a importância da produção de material didático-
pedagógico dedicado ao ensino de graduação e de pós-graduação, 
a Reitoria da UNESP, por meio da Pró–Reitoria de Graduação 
(PROGRAD) e em parceria com a Fundação Editora UNESP (FEU), 
mantém o Programa de Apoio à Produção de Material Didático de 
Docentes da UNESP, que contempla textos de apoio às aulas, material 
audiovisual, homepages, softwares, material artístico e outras mídias, 
sob o selo CULTURA ACADÊMICA da Editora da UNESP, dis-
ponibilizando aos alunos material didático de qualidade com baixo 
custo e editado sob demanda.
Assim, é com satisfação que colocamos à disposição da comuni-
dade acadêmica esta obra, “Física-Matemática: teoria e aplicações”, 
de autoria do Prof. Dr. Edson Sardella, da Faculdade de Ciências do 
Campus de Bauru, esperando que ela traga contribuição não apenas 
para estudantes da UNESP, mas para todos aqueles interessados no 
assunto abordado.
�������
�������� 	
����
������ 	�
	 �������� � ������� ������� 	�
��� ������	
�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��
 �	�
��� ������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ����
��� �� �	��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ����
��� ����� �	�
��� ������� !������ � ������������ � � � � ��
��� "����������� #$����� �� �	�
�� lnx � � � � � � � � � � � � � � ��
��% �������� � &	��� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �%
��' ������ �� &���(�
�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �%
��) ����� �� *+�,����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �%
��- �������
�� ��� "����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �'
���. /���
�� �� 0������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �'
 ������ ��fi����� 	 
�� ������	
�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �)
�
 1!��� �� ��2��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �)
�� 1!��� �� 3����	��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 
.
�� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 
�
�� 1!��� �� ��2��� ��(������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 
�
�% 4���!��� �� 4��(���5���� �� �+6�� ���� � � � � � � � � � � � � 
�
�' "����� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 
'
� ������� !������� �"
��� 0������ � ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �.
��
 7������ ��� 0������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� 0������ 8���$���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� 1���� � �� 4���������� ������	����� � � � � � � � � � � � � � �
� �������
��� ����	
� ��
���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ����	
� ��
����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ��� ��� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ����	
�� �	���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� �������� �� 	� ��
�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�� ! "�
���� �� ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�� #������
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 
�� $ ��%��&��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�� � "�
�
����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�� � �'������ �� ������ ��
������ � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�� � ()��	��� *	� ��%��%�� ∇· � ∇× � � � � � � � � � � � � � � � ��
�� � +�
�&��� �� ���,� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�� � -������ �� ��%��&��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 
�� � -������ �� .
�/�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�� � �*	��0�� �� 1�'2��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�� �� ��� �� #�	�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�� ��$ ��� �� 3��4�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�� ��� ��� �� (�����5 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�� ��� 3	�6�
�� �� 1������� 1�&�7
�
� � � � � � � � � � � � ��
�� ��� ��� �� 3��4��81�'2��� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��$! ���9����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� ����������	 �
���
����	 ��
�� +�
���	��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �!
��$ ������
�� �� ���������
�: ;���: � ���	�� � � � � � � � � � � �$
��� #������
�: ��%��&��
�: � "�
�
����� � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ����������� ���<����
�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ����������� ��=7��
�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� .�������� �� ����>%��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ���9����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$
� ��
����	 �����������	 ���������	 ��
�� +�
���	��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��$ .��	��� #���� �� ��? � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� .�&	��� .��	��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� .��	��� #���� �� ��@? � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� 17
��� �� (��9���	� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 
��� �*	���� +���
��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ���fi
���
�� ����
��
�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� "�<B�� "���� � ���
��
�� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����$ "�<B�� "���� � +&	��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� "�<B�� ������'�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
������� �
��� ����	
�� 
�������� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� ��������	 
��
����	 ���
��� �������	�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
��� 
 ����� !��"��#�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
����� $"���	
�� ��� 
 ����� !��"��#�� � � � � � � � � � � ���
����� %�"�������	�� &�'fi�� �� �� 
 ���� !��"��#� � � � ��)
��) *��	
�� !��"��#�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
��+ !����	
�� �� !���,-.%������ � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
��� /������ ����0��� �� !���,- � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
��� *1����� ����0��� �� !���,- � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
��� ����� �� /�-��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��)
��� ������ ���0������ � �1��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
��� ����� �� 2������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� /������ ��� %��3���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� 4"����	��5 ����0���� /��0����������� � � � � � � � � � � � � � � ���
���� 4"����	��5 ����0���� ��"�1"���� � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
������ ����0���� ��"�1"���� �� *��	
�� %�������� � � � � � � � ��)
������ ����0���� ��"�1"���� �� *��	
�� %�������� � /��0���.
�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���) 4"����	��5 ����0���� ��"�1"���� ��� �1��� � � � � � � � � � � � ���
���+ 2��� �� 6����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
� �����	 �� ������� ���
��� �������	�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �))
��� *��	
�� ����1����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �))
��) *��	
�� $���0����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �)+
��+ ����� �� *������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �)�
��� ���������� �� ������7�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �)�
��� *��	
�� ����� � 8�"���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �)�
��� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+�
� ��������	 �� ������	 �� 
������� ���
��� 9:��	�� �� ;�<���� �� !���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+)
����� !����	
�� �� !������� =���0>���� � � � � � � � � � � �+)
����� !����	
�� �� !������� 
��.=���0>���� � � � � � � � �+�
��� 9:��	�� �� $��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+�
��) ��������� �� ;����,��� � �� 
������ � � � � � � � � � � � � � ���
��)�� 9:��	�� �� 2�"����5 !���������� %����0������ � � � ���
��)�� 9:��	�� �� 2�"����5 !���������� ������� � � � � � � � ���
�� �������
��� ���	
��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
� ������ �	
�� 
	 ����� ���
��� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
��� ���������
���� �
 ������ ��
�
 � � � � � � � � � � � � � � � � ���
��� ����� ��
��� �
 ������ ��
�
 � � � � � � � � � � � � � � � � � � �!�
��� ������ �� "�
# � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �!�
��� ������ ��
�
 �� ��
� � ��$� � ������� � � � � � � � � � � � � �!�
��! ��
��� �� ��%&
����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �!�
��� ���	
��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �!!
�� ����������
�� 
	 �����	� ���
���� '�����
 �� ���� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �!�
���� '�����
 �� (��#�
���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� ����� �
�� �� �
����#
 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� '�
��)���
�
 �
� ��� #
�
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� '�
��)���
�
 �� ���� �� (������ � *��� � � � � � � � � � � � � ���
���! ���	
��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
�� �	���� 
	 ������������
	� ���� 	� !���"����� ���
���� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� +,�
��� � )����% 
 -���.
�/���
 � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� ������� 0���1��
 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� ���	
��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
�# $�
��%���� 
	 &	����	 ��'
���� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� 0�% 
��� "
��2� %� * ��
�� 3�4�� %� � � � � � � � � � � � � � ���
���� ��
���� �� ��%���$�% 
 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� ������ 5��
���
 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� �6���
 �� ���� 1��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���! 0���1��
 �
�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� ���	
��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
�( $��)
	��� *
�������� ���
���� *7� �� ��fi� �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� -�9
 �� :���� 
 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� (������
�
� (��# 
;��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� +,�
���� � )����% 
 � 0�� �9� 
� � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� :
� 9#� � (���
�<
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���! *7� �� �� ���� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� +,�
���� � )����% 
 � �
�% 
 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
������� ��
���� ����	
 ��
�� �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� ��
��� �� ��������
���
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
������
�����
 �� !������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��"
���������fi� 
��
����� ��������� 
��
��������
���� ����	 
����
 �� �������
��� �	 �
�	� �� ��
������ � ��������
� �������
���������� ���� 	 �
��	 �� ����
����
�� �� ������ �	 ���������
�	 ��
������� ����
� �
����������	 �� ����� �� �
�
!
�"	 ����	� 	� ����	� ����	� �	#�� ���� ���
�	! $����� % ���&������
��
'
����	
���� � �	
&��("	 ����� ����	! �
�����
�	� 	� ����	� ����	� &��')�
���
��
�� �	
�%� 
�� �
	��� '
�
������ �� �
&	���(*��� 	 '
� �
���� ��+��
�
���#���+� � �#	���,�� �� �	�	� 	� �
#��-���	� �� 
� �������
��	 �-���	
������fi�	 
�� ��������
� �� ���� ��%���	� 
� ��������! �	� ���
�� �����
��fi�
����� '
� 	 �
�	� �����	
��� �	� � 
���������� �� ������	
�� 	� ���
�
������ �
#��-���	� �� ���� ���
�	 ������ ��
�	 �	�	 	#/����	 ���
�����
��	�	���	
�� �	� ��
	� �� &����� 	� �����
�	� ����
����� ���� &�������� 	
��	���
0���
�	 � �	�����
�"	 ���� �&����	� ��� ��������
�� ��	fi���	
��
��+�
��� �	 �
��	 �� ����
����
�� ���� �	�	 �����	��,
�����	� ����
�
��
�� ���%���� � ���1
��� 2
1
����!
�� 	
���� ��������� ���� ����	 &	� �	
��#��	 ���� ��� 
� ,
�� ������	
�� ���� �� �
��! �	���
�	� ���� �	������
��� 	 �	
��3�	 ��'
����	 
��
�
���� ���	��
����� &	�����
�� � �	
�
��� �� ����	� �������	� �� ��������
��
���� �	�	 ���������	
��	��� �� �
,�
� 
�4	�� � ��	
��	���� �
	
���
��� �
������	� �� 5�	�,� $�&4�
!
����	
��� ��
�	 '
�
�	 �	������� ���	
����(*�� �� ��	�����! $ �
&���
% ���� 
�� ������(*�� ������ ��
�	 ���� ���	� �� �
������� �
����
�� ����
�����	 �	�	 ���� �'
���� ���	� '
� �������� 
� �	�
("	 �� ��	#����� ��
&�����!
�	�	 �� ����� �� 
�� �������� ��
������ �� ����
�	���� 
� �	
/
�	 ��
�-���	� ���� � ��������
� �� ������������������ '
��'
�� �
,���"	 '
� ����
�
� ���0	��� � �����	����
�	 ���� #�� ��
�� ���	 �
�	�!
���	
 ��������
������ ��� ������ �
�
�
��� �
 ����!
��������	�
��� ������	 �
��
���
�� �	�	�����
���� ������	 �
��
���
�� ��	��	�	�����
Re(z) ��
�� 
��� �� �� ����
	 �	�����	 z
Im(z) ��
�� 
���
��
� �� �� ����
	 �	�����	 z
Arg(z) �
������	 �� ������
	 �	�����	 z
Res(f, zk) ��� ��	 �� f(z) �� z = zk
F{f(x)} !
����	
���� �� "	�
�
 �
���
F−1{f(x)} !
����	
���� �� "	�
�
 
�#�
��
�������� 	
�������� 	 ��
��	� 
������
��� ������	
��
�� ����� ���	� �
��� 
������� ���
��� �
����� ������	���� � 
����	��	��
����
��� ��	���	
���� ������ � ��
��
� ����� � �� ������
���	� �� ��
	���
��� � ����	
�� �� �������� 
� �
��� �
	�����	
��� ��	�������� �� ��
��
��
�
�
����� ������	����� �
�� �����
������ �
������	�
�� ��� ���� ������ ��
���
����� � 
�	�������� ���	�� �
	����
��� 
	�
��� ������������
�� �
����� �
������
��� ��� ��fi�
��� ���!
sinhx =
1
2
(ex − e−x) ,
coshx =
1
2
(ex + e−x) ,
tanhx =
sinhx
coshx
,
cothx =
coshx
sinhx
. "#�#$
�������� 	
 ��
����� � ������� ������� ��
��� �����	�
 �� �
���
������	 �	
���
���� ���
���� ����� 
� ������� �������	�����
� � 
 ��
�����
��
�� ���
� ��� ��������
� ��	� ���
���� �� ������
�
��	��
cos θ =
1
2
(eiθ + e−iθ) ,
sin θ =
1
2i
(eiθ − e−iθ) , �����
���� i =
√−1 � 
 ����
�� �	
��� ��
�
��� �����	�
 ����� �
��	�
 ��������������
 �
�����������
sin(ix) = sinh(x) ,
cos(ix) = cosh(x) ,
tan(ix) = tanh(x) ,
cot(ix) = coth(x) . ���!�
��� �����������
 !
���
 �� �
��"� ln x
�	"��
 �� �������	���� �� ������# ���$�	 ����	"�
� 
���	
� 
��
����
���
�	
���
���� �
 ������ lnx� ���
� 
��
����
��� ��� 	���� ��
�
� �
 ������
	��
��� �
 ������
 ������� �� �%�
���� ���������
�� ����
��� �� ������
����	� ��	��
lnxa = a lnx ,
ln(xy) = lnx + ln y ,
ln
(
x
y
)
= lnx− ln y ,
eln x = x . ���&�
�
�������� 	
��� �
��� � 
���� �����
 �� ��������� �
���� ���� ��
 ��� ��� ��������
���� ���� � ����
�� �� 
�� ������������� �����!�����" #���� ����� ������� � $��%�
����� &�$�� ��� ��
�� �� 
�� ��������� ������
�
 �
�� �������� ���$������ �� ���'
���
�� �����!����"
�� ���������	
��	���
 ������ � 	
����
���
��� �����	�
 � �
�
� �����	�
� ����� ��������� � �
���������� �� �������� � ��
�� �������� �� 
��������
�� ������������������ �����
n! = n · (n− 1) · (n− 2) . . . 2 · 1 ,
(2n)!! = (2n) · (2n− 2) . . . 4 · 2 ,
(2n + 1)!! = (2n + 1) · (2n− 1) . . . 3 · 1 .
	 �� ���� !��������" ��� ����
��� ����� ��
������� � 
������ ������� ���
�#����� 
���� !��
����"� $��� ��� �� ��fi��
��� ����� �� ��� �� �� ������
��
��������
(n + 1)! = (n + 1)n! ,
(2n)!! = 2nn! ,
(2n)!! =
(2n)!
(2n− 1)!! ,
(2n + 1)!! =
(2n + 1)!
(2n)!!
. !��&"
��� ������ �� ���	�����
'���(��� �� 
������ � �� ��������� �� ���� ���
���)
d(fg)
dx
=
df
dx
g + f
dg
dx
,
d
dx
(
f
g
)
=
df
dxg − f dgdx
g2
. !���"
*� �� �� ������)
df [g(x)]
dx
=
df
dg
dg
dx
. !��+"
��� ����� �� �����	��
,�������� ���� ���
��� f(x) � g(x) ����������(��� �� a < x < b- ��.� x0 ��
���� ����� �����(��� ��� ��� f(x0) = g(x0) = 0� /��0�
�������� 	
 ��
����� � ������� ������� ��
lim
x→x0
f(x)
g(x)
= lim
x→x0
f ′(x)
g′(x)
, �����
��	
 � �
��� 
�	
�� � ��
�
�� 	
�
��	�� �
 � 
�	
�
��
����� �
��
��
�� �
�
�
����
� � ���
����� 	� �
��� ��
� 	
 ��� �
� ��� ��
 �
 � �
���
	�� !
�
��� 	
 "#$%�
��� ���&�� �
 ���
�� � 
�	
�
��
���'
� 	� �
�� ∞/∞�
��� �����	
��
 �
	 �
	���
�
 � u 
 v 	��� (���'
� �
�
� 	
 ��� ���
��
� x� )����∫
u dv = uv −
∫
v du . ���*�
���� �
�
��
 �� ���
	��
+��� fi���
���� � 
��������
 ������ � ��
���� 	� �
��� ���� � ������� 	
�
���
� ��
 ����
���� -
�����
��� �� �
��� ��� ��� �
��� 
� �
��
��
���� 
� �� 
 �
� �.	��� �
�� �
��� �
���� ����� 
� 
���
�� ���� 
� F �
�������� 	
������ ��fi��
��
��� �����	
���
��� ����� �	fi	��� � ��� �
�� �� �	fi	��
� ����
�� ������� �
�� ���
� ��
������ �� ������ 	�������� � �� ������ �� ��	����� ����� �������
 ���������
�
���	�� ���� ������� ����������	�� ���������
� � ����� �� ����
�� �
�������
 !����
� �� 	
!
 ���
 �� ����� �
	"����� �
�
 ����� �� #����	�� �
	
 �������
 $ � ����� �� %
������ & �����
 ��� ������ �� ��	���� � ���
���	��
�
�� �
���� !'���� ����������� ���� �
�
 	� �
���(
 �� �)������ ������	�����
��	����� �� ��*�	�� 
����� ��+�� ����� 
���	'���� 
� ���������
��� 
���� 	� ������
�
	�������
� ��� ��	�(
 f(x)� ,��
	"��
� )�� f(x) � ���� ����!����
�� �
��� �� 
���	� f ′(x)� f ′′(x)� . . .� f (j)(x) �(
 �
	��	��� 	
 �	���!��
b ≤ x ≤ c� -)�� ����
� � 	
���(
f (j)(x) =
djf(x)
dxj
, f (0)(x) = f(x) . ./�01
�
	�������
� � �	��*��� �� j2����� ����!��� �� f(x)�
∫ x
a
f (j)(x) dx =
∫ x
a
df (j−1)(x)
dx
dx
= f (j−1)(x)
∣∣∣x
a
= f (j−1)(x)− f (j−1)(a) . ./�/1
�������� 	
 ��
��� ��fi����� ��
������	�
� ���	
����� �������	
��
∫ x
a
(∫ x
a
f (j)(x) dx
)
dx =
∫ x
a
[
f (j−1)(x)− f (j−1)(a)
]
dx
= f (j−2)(x)− f (j−2)(a)− (x− a)f (j−1)(a) ,
�����
���	 �
 �
��
	� �
 ����	��
 �
�
 
 �	
���
 ����
 ��
��� ����� �	������
�
�	��	�
�������
���� ���	���
∫ x
a
[∫ x
a
(∫ x
a
f (j)(x) dx
)
dx
]
dx =
=
∫ x
a
[
f (j−2)(x)− f (j−2)(a)− (x− a)f (j−1)(a)
]
dx
= f (j−3)(x)− f (j−3)(a)− (x− a)f (j−2)(a)− (x− a)
2
2
f (j−1)(a) .
�����
�������
��� 	��	 ����	���� ���	��� �
�
 
 n�����
 ���	
�
�
∫ x
a
∫ x
a
· · ·
∫ x
a
f (j)(x) dx · · · dx dx︸ ︷︷ ︸
n−integrais
=
= f (j−n)(x)− f (j−n)(a)− (x− a)f (j−n+1)(a)
− (x− a)
2
2!
f (j−n+2)(a)− · · · − (x− a)
n−1
(n− 1)! f
(j−1)(a) . �����
���
�����	 j = n� 
 	��
 !� 
���
 ���
 
 "���
∫ x
a
∫ x
a
· · ·
∫ x
a
f (n)(x) dx · · · dx dx︸ ︷︷ ︸
n−integrais
=
= f(x)− f(a)− (x− a)f ′(a)− (x− a)
2
2!
f ′′(a)
− · · · − (x− a)
n−1
(n− 1)! f
(n−1)(a) . ���#�
$	����	��� �
�
 f(x)� fi�
��	��	 	������
���
�� ���������	
��	���
 ������ � 	
����
���
f(x) = f(a) + (x− a)f ′(a) + (x− a)
2
2!
f ′′(a)
+ · · ·+ (x− a)
n−1
(n− 1)! f
(n−1)(a) + Rn , �����
���� Rn � ��������� ���� � ����� �� ����� � � ��fi���� 
��
Rn =
∫ x
a
∫ x
a
· · ·
∫ x
a
f (n)(x) dx · · · dx dx︸ ︷︷ ︸
n−integrais
. �����
������ � ���
�� f(x) ��� ��� ��
lim
n→∞ Rn = 0 , ���!�
����� � ����� �����"�� ��� ���� ��fi���� �� ������� �����
f(x) = f(a) + (x− a)f ′(a) + (x− a)
2
2!
f ′′(a) + · · ·
=
∞∑
n=0
f (n)(a)
n!
(x− a)n . ���#��
$��� ����� � ��������� ���� ����� �� ��%����
�
��� ����� 	� 
��
�����
	 �&
����� �� ��� ���
�� �� ����� �� ��%��� �� ����� �� ���'�� � �����"
���� ���� ����� �� (��������� �������"�� a = 0 �� ���#��) �*�����
f(x) = f(0) + xf ′(0) +
x2
2!
f ′′(0) + · · ·
=
∞∑
n=0
f (n)(0)
n!
xn . ���##�
�
��������	 
��	 ��
���
��	 ������ ��		� ����	� ����� � ���� �� ����!
�������� 	
 ��
��� ��fi����� ��
��� �����
� ����� 	�
�� 
��� ��� ������� ���� ����� ���� 
������ ��������� � �������
�� ����� ����� �� ������� ��������
 �� g(x) ��� ��� ���� � ����!��� ��
��������� a ≤ x ≤ b" �#���� �� 
���� x = ξ ��� $��
∫ b
a
g(x) dx = (b− a)g(ξ) . 	�
���
%
������� ���� ������� 
��� � �������� ���� �������� �� 	�
��" �����
Rn =
∫ x
a
∫ x
a
· · ·
∫ x
a
f (n)(ξ)(x− a) dx · · · dx dx︸ ︷︷ ︸
(n−1)−integrais
= f (n)(ξ)
(x− a)n
n!
. 	�
�&�
��	 
��
� �� ������ ���
�
����
'���� ��� � ����������� ��� ����� ����� �� �(������ � ����� �� )�*���
��������� ��� ���� � f(x) ��� ��������� ����!���� �� ����� �� ������ ��
��������� ξ ≤ x ≤ h
 ��+� � �������� ��������
I =
∫ ξ+h
ξ
f ′(x) dx = f(ξ + h)− f(ξ) . 	�
�,�
-�� ���� �� ������� �� �������� x = ξ + h − t" 
������ ���������� �
�������� ����� ����
I =
∫ h
0
f ′(ξ + h−t) dt . 	�
�.�
���������� 
�� 
�����" �(�����
I = tf ′(ξ + h− t)|h0 +
∫ h
0
tf ′′(ξ + h− t) dt
= hf ′(ξ) +
∫ h
0
tf ′′(ξ + h− t) dt . 	�
�/�
0� ���� �������� � 
�� 
����� ��� ���� 1 �������� �#
���� � 
��� �
��������
�� ���������	
��	���
 ������ � �	
����
��
I = hf ′(ξ) +
h2
2!
f ′′(ξ) +
∫ h
0
t2
2!
f ′′′(ξ + h− t) dt . ������
��	������� ���� 	����������� ��	������ ����� � ������ � �������
������ � ����� � !"���
� ����
 �� ��#
��
f(ξ + h) = f(ξ) + hf ′(ξ) +
h2
2!
f ′′(ξ) +
h3
3!
f ′′′(ξ) + · · · . ����$�
%������ �������� � �&��� ���� !���� ���� !���
��� ������ ξ = 0 �
h = x'
f(x) = f(0) + xf ′(0) +
x2
2!
f ′′(0) +
x3
3!
f ′′′(0) + · · · , ����(�
��� & � �&��� �� )��
������
� ������� �	
 �*	����� � !����� �*	�������
 f(x) = ex �� ��� �&���
�� )��
������
����
��� %������������ ������� ��
��
�� �� ��������� �� !������ ��+
���' f (n)(x) = ex � ������,��������� f (n)(0) = 1� -� ��������� �� ������+
��� �� ������' � �����
ex = 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ · · ·
=
∞∑
n=0
xn
n!
. ����.�
/�� fi����� ���1��� ������ 2 �������3���� �� �&���� %��� ���� 	����+
����� ���
���� � ������ %�
� ������� ����4�' ����� ���
Rn = eξ
xn
n!
≤ exx
n
n!
, ������
	��� ξ ≤ x� 5�� ��� ��� x & fi����' 	������ ����
��� ���
lim
n→∞ Rn = limn→∞ e
xx
n
n!
= 0 . ������
%�������' � �&��� �������� �� �������
� −∞ < x <∞� �
� ������� �	� 6��������� � �*	����� �� �&��� �� )��
����� �� !�����
f(x) = ln(1 + x)�
�������� 	
 ��
��� ��fi����� ��
�������� ������	
�� 
 ����� ������� ��� f (n)(x) = (−1)n−1(n− 1)!(1+
x)−n� � f (n)(0) = (−1)n−1(n− 1)!� � ������������ 
�� 
�����
�� �� ������
���
� 
ln(1 + x) = x− x
2
2
+
x3
3
− · · ·
=
∞∑
n=1
(−1)n−1x
n
n
. ������
!��	
� ������� � ����� ��
� ��� ������� ����
Rn = (−1)n−1 (n− 1)!(1 + ξ)n
xn
n!
≤ x
n
n
, 0 ≤ ξ ≤ x , ����"�
���� Rn ≤ |Rn|� � � ��	��� 1/(1 + ξ)n 
 ��#��� ���	
� ξ = 0� $���
0 ≤ x ≤ 1� ��
���� %���	��� ���
lim
n→∞ Rn = limn→∞
xn
n
= 0 . ����&�
'�� ������� � �
��� ��	���%� 	� �	������� 0 ≤ x ≤ 1� �
� �	
���� 
�� ��������	 
��	���
� (#��	
�� � ��	��� f(x) = (1 +
x)m �� ��� �
��� 
� )�������	� �	
� m �����	�� �� ��	*�	�� 
�� 	+�����
������
�������� !��	
� ��%��� 
� 
��������� ��
���� �������	�� ������� ���
f (n)(x) = m(m − 1)(m − 2) · · · (m − n + 1)(1 + x)m−n� ,	���
� �	
� ��
�����
�� �� ������� �	��	������
f(x) = 1 + mx +
m(m− 1)
2!
x2 +
m(m− 1)(m− 2)
3!
x3 + · · · . ����-�
.���� ����� � ����� 
 
�
� ���
Rn =
m(m− 1)(m− 2) · · · (m− n + 1)
(1 + ξ)n−m
xn
n!
≤ m(m− 1)(m− 2) · · · (m− n + 1)x
n
n!
, 0 ≤ ξ ≤ x , ����/�
���� 1/(1 + ξ)n−m 
 ��#��� ���	
� ξ = 0� 0���	
� 0 ≤ x ≤ 1�
�� ���������	
��	���
 ������ � 	
����
���
lim
n→∞ Rn = limn→∞ m(m− 1)(m− 2) · · · (m− n + 1)
xn
n!
= 0 . ������
����� � ����� �������� �� ��������� 0 ≤ x ≤ 1� �
� ������� �	
 	 ������� ������������� �� ��� 
�������� � ���� 
��
E = mc2
(
1− v
2
c2
)−1/2
. ������
 !��� � ������� �������� �� 
�������� �� ������ �� !��"� ����������� ���� ��
v/c� 1�
����
��� #��
������ � $����� �%��
&� ��� ����'�� �!����� x =
−v2/c2 � m = −1/2� �����
E = mc2
[
1 +
(
−1
2
)(
−v
2
c2
)
+
(− 12) (− 12 − 1)
2!
(
−v
2
c2
)2
+ · · ·
]
= mc2
[
1 +
1
2
v2
c2
+
3
8
v4
c4
+ · · ·
]
. ���()�
 ����� mc2 � � ������� �� ��
����� � � ������� �������� � ���� 
��
E −mc2� �����
Ecine´tica =
1
2
mv2
[
1 +
3
4
v2
c2
+ · · ·
]
. ���(*�
+� ������ �� v/c→ 0� ����������� � �"
����&� ��,����� Ecine´tica = 12mv2��
� ������� �	� ������� ���	
���� -� ��
��� �������� � ����������� ��
���� ������ 
������� �� ��������� q ���� ��������� �� .��� ��*� /������
%�� �� ������ �� a/r � 1� � 
�������� �������� �� 
���� P � ���� 
��
ϕ(r, θ) =
p cos θ
r2
=
p · r
r3
, ���(��
���� p = 2aq � � ������� �� ��
��� ���������
����
��� � ������� r1 � r2 ���&� ������������ ��� r ������� �� r1 =
r− ai � r2 = r + ai� -����� � ��� ��� �������� 
������ ��������
r1 =
[
r2 + a2 − 2ar cos θ]1/2 ,
r2 =
[
r2 + a2 + 2ar cos θ
]1/2
. ���((�
 
�������� �������� �� P � �� ������� #01 � ���� 
��
�������� 	
 ��
��� ��fi����� ��
−q
−a
+q
+a
P
r2
r r1
x
y
������ �	
� ��
��� ��������	
ϕ(r, θ) =
q
r1
− q
r2
=
q
r
⎧⎨
⎩ 1[1 + a2−2ar cos θr2 ]1/2 −
1[
1 + a2+2ar cos θr2
]1/2
⎫⎬
⎭ .��	���
������ � ��
����� �������� !�� "��
ϕ(r, θ) =
q
r
{
1 +
(
−1
2
)(
a2 − 2ar cos θ
r2
)
+ · · ·
−
[
1 +
(
−1
2
)(
a2 + 2ar cos θ
r2
)
+ · · ·
]}
=
q
r
[
2a cos θ
r
+ · · ·
]
. ��	���
���
��#���� ������ �� ����� ����� �� ��
����� � (a/r)2 ������� � �"��$��
��	���	 �
��� �������	 
� �	�
�������� 
� 
���������
%�������� ��� ����� ��fi���� �� ��� '���� �����
�� ���������	
��	���
 ������ � 	
����
���
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·
=
∞∑
n=0
anx
n . ������
� �������� �� ��	�������
�
���������� ���� �� � ������
lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = 1R , ������
��� fi!���� �!�"� � ����� ��!#��$� !� �!���#��� −R < x < R� � #���� �� R �
��!%����� ���� ���� �� ��!#��$&!���� � �������� !"� $���!�� ��!#��$&!���
!�� �'������ �� �!���#���� x = ±R�
� ������� �	
 (������ ��� � ����� ����)� ��!#��$� !� �!���#��� −∞ <
x <∞�
����
��� *��
���!�� ����)� ��� ������� ����� ��� an = 1/n!� �
an+1/an = 1/(n + 1)� 	�����
lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = limn→∞ 1n + 1 = 0 , ����+�
�� �!�� �� ����, ��� R = ∞� *�!���-�!����!��� � ����� ��!#��$� !�
�!���#��� −∞ < x <∞� �
� ������� �	� (������ ��� � ����� ������ ��!#��$� !� �!���#��� −1 <
x < 1�
����
��� *��
���!�� ������ ��� ������� ������� an = 1/n� �
an+1/an = n/(n + 1)� .��!�� � ��$�� �� /�01
����� ����� ���
lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = limn→∞ nn + 1 = limn→∞ 11 = 1 . ����2�
3�4� ������� R = 1� 3� ��!���� ��� � ����� ��!#��$� 
��� ���� |x| < 1�
5��� ����� ��!#��$� 
��� x = 1� ������ � �������� �� ��	������� !"� � ��
�,
�� �������� ��!#��$&!��� !���� 
�!��� �
� ������� �	� (������ ��� � ����� ������ ��!#��$� !� �!���#��� −1 <
x < 1�
�
���� �� �� �	
���
��� ����� � ����� �
�������� ������ ������� ��� ������� ��
������ �� ��� ���� ������� �� ����! ����� �� "�����#���! �� $����! %�� ������� ��� ��
&������ '����� (��� ����� ���'�
������ ��� ��� ��� ��� � ������� �� �����&���� )&�*�����
#�����'&�� � ��� �+� � ������'�,��'� ��'������ (����� �� -������ (�� �	
���
���!
������ �� ������ �� �����,��'� %�����! ���%���� ��� ��'��&�'��� '��� fi�&� �� ����
���� �����*���
�������� 	
 ��
��� ��fi����� ��
�������� �������	�� �� 
���� �	
���� ��� ����� �	��������� ����� ���
	���� ���� an = m(m − 1)(m − 2) · · · (m − n + 1)/n!� ���	�� �� ������ ��
������� ������ ������ ������� �������� an = m!/n!(m− n)!� ���� �����
���
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ m!(n + 1)!(m− n− 1)! n!(m− n)!m!
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣ m!(n + 1)n!(m− n− 1)! n!(m− n)(m− n− 1)!m!
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣m− nn + 1
∣∣∣∣ . ���!"�
#���	�� � �������
lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣m− nn + 1
∣∣∣∣ = 1 . ���!��
$	�%� � ����� ��	����� 	� �	������� −1 < x < 1� �
��� �����	
��
��� &������ ���
sinx =
∞∑
n=0
(−1)n x
2n+1
(2n + 1)!
,
cosx =
∞∑
n=0
(−1)n x
2n
(2n)!
.
'�����	�� � �������� �� �('�������� �������	�� �� ����� �� ��	����)	*
��� ���� ����� �� ������
��� ���	�� �� ���������� �� �������� ���� � �� ����� �� 
�	+%� �,��	�	*
����� ������� ���
eix = cosx + i sinx ,
�	�� i � � �	����� �����	
����
��- $,��	��� (1−2tz+t2)−1/2 �� ���)	���� �� �� .���� �� ���fi���	��� ��
t0� t1� � t2� . ��������� ��� ���) ����� �� �	��	���� �%� �� �0������
����	1���� �� ���	����P0(z)� P1(z)� P2(z)�
�� ���������	
��	���
 ������ � 	
����
���
��� ����� �� ��������� ����������������
(a) arcsinx = x +
∑∞
n=1
(2n−1)!!
(2n)!!
x2n+1
2n+1 , |x| ≤ 1 ,
(b) ecos x = e
(
1− x22! + 4x
4
4! − 31x
6
6! + · · ·
)
, |x| <∞ ,
(c) ln(x +
√
x2 + 1) = x +
∑∞
n=1 (−1)n (2n−1)!!(2n)!! x
2n+1
2n+1 , |x| ≤ 1 .
��� ��
����� �� ���
��� coshx � sinhx �� ����� �� �� ���� !�������� �
���� �� �������"���� 
��� ���� �����
��# $������ %��
x
ex − 1 =
∞∑
n=0
Bn
n!
xn ,
���� B0 = 1& B1 = −1/2& B2 = 1/6& B3 = 0& B4 = −1/30& ���� ��
���fi������� �� ����� Bn �(� ���)������ ���� �*����� �� +���������
��, 	 ���� �������-����� �� ���� ����������� u � v � ���� 
��
w =
u + v
1 + uv/c2
,
���� c � � ���������� �� ��. �� �/���� $����� %�� � ��
���(� �� w
�� 
��"����� �� uv/c2 � ���� 
��
w = (u + v)
[
1− uv
c2
+
(uv
c2
)2
− · · ·
]
.
0��� %�� �� ������ uv/c2 � 1 ������� � ��
����(� ��/����� �� 1������
w = u + v�
��� � ������������ �� ��� 
���-���� �� ����� �� ��
���� m0& ����������
�� ��� ��������� �� ���
� m0g �� ����� �� ���� y �
y =
c2
g
⎧⎨
⎩
[
1 +
(
gt
c
)2]1/2
− 1
⎫⎬
⎭ ,
� %��� ������ �� ������� �������-������� $������ %�� � ��
���(� �� y ��
��"����� �� gt/c � ���� 
��
y =
1
2
gt2
[
1− 1
4
(
gt
c
)2
+ · · ·
]
.
�������� 	
 ��
��� ��fi����� ��
���� ��� 	� 
����� gt/c� 1
 y = gt2/2
 ��� � � ��������� �
������ ��
��
�
���
��� � ������� �� �� ��	��
� ����
�� � ���� ��
� �����	�� �������
T = 4
√
l
g
∫ π/2
0
[
1− sin2
(
θM
2
)
sin2 ϕ
]−1/2
dϕ ,
�	�� θM � � ���
����� ������ �� ����
����� ��� ����� �� �����	���
�	������� ∫ π/2
0
sin2 ϕdϕ =
π
4
,
∫ π/2
0
sin4 ϕdϕ =
3π
16
.
 ������ ���
T = 2π
√
l
g
[
1 +
1
4
sin2
θM
2
+
9
64
sin4
θM
2
+ · · ·
]
.
��!" # ������ �� �������� �� ����� 	���� �� $
�	�% �	&�
&� � �����	��
�	�����
' ∫ ∞
0
x3
ex − 1 dx .
 ������ ��� ���� �	�����
 � ����
 � π4/15�
��������	 $���������	��
 ���� � ����	��� (�	����
 � ������� ���
(1− e−x)−1 =
∞∑
n=0
e−nx .
����	��
 ���� �� �����	��� ����
�����
∞∑
n=1
1
n4
=
π4
90
,
∫ ∞
0
y3e−y dy = 6 .
��!! � ��� �� ������ ��
���&������ �� )���� �����* � �����	�� +,���
� ��
�������������� ��-����
E = mc2
[
1 +
γ2
(s + n− |k|)2
]−1/2
,
�	�� s = (|k|2 − γ2)1/2� k = ±1,±2,±3, . . .� � γ2 = Ze2/�c� ���� Z �
� ����	� 
���
��� ���
��
	 E �� ������
� �� γ2 
�� �	��� γ4�
�������� 	
������� ��	
����
��� ������	 � 
	��
���	
������� �	
���
� �����
�� �
�� ���� �����	
��	
� �	������ ���	��
� ����
�	� ���	
�� ��� ��������
� �
 ������fi�
��� �� 
���
� ��
 ��������	 �
	
����	�����
�� ���
� ��
����
��� ��� ��
�
�
� �� �
���	��� 	�
���
	�� �����
��� ���	
� �	
���
� �
 �����
� �
�� ���� ������
������ �������
��� �
���
����	���� ����	� ���	
�� ��� 
��� �� ��
 �
�������� ��� �
	
���	�
�
� ��	
��
 ��
	��� � �� �	������ �
�� ��
����
��� ��� �������
�
� ��	 �
���	���
�	��
�����
 ��	�����
��� �� ����	 ��	 �� �������� �� 	��
 �	����
��
�AB ��	�����
�� ����� A �
	
 � ����� B� �����	�� �����	
�� �
 !��� "�#� $
	
 ���������	
�� ����	 �� �� ���
�
	� � �����
	���� ��	 ��
 ���	
 �� ���	��� �� ��	
��
 ���	
 ��� ��
 ���
 �� ���
� $	���	����
������� ��
	���� 
 ���	
 ��
���	���� %����� � ����	
�AB ��	& 	��	�����
�� ��	 A� � � ��� �'���� (��
�
�������) ��	 ��
 ���	
 �� ��&����� %����� A 	��	�����
 � �'���� �� A�
* ������ �� �� ����	 � 
 �����
 �� �
�
��� �� �������� �	����
���
�
�
�
�
�
�
�
�
!���	
 "�#+ ��	�����
��� �	&fi�
 �� �� ����	�
�������� 	
 ��
���� �������� ��
��� �����	
 ��
 ����	�
���� ��	�
�� ��� ��
��� �� � �����	� �� ����
�� � ����� ���
��� � �����
��
���� � � ����� ���	���� �� ���� ���� A = B� ������� �
� ���� ��	�
��
��� ��
������ �� 	���
�� � ����� ��
�����
� ������ �� 
� ��	�
 A � 
� ��	�
 �
� ����
� � ����� ���
��� �
����� ��
����� ��
�� ���	��� ����	� �� �� A� ����	���� ��	� ��
 −A
���
 ���� ��� �
�
�
�
�
�
���
� ���! ����	� �� 
� ��	�
" �
�	����#���� �� 
� ��	�
 ��
 
� ��#���
�
$ �
�	����#���� �� 
� ��#���
 λ ��
 
� ��	�
 A 
��
�	� �� 
� ��	�
�� ����� ��
���� �� A #��� ��
�	
� � ���� ���� � ���	��� �� λA ��
% �
����� �� A �� λ &�
 ����	���� � ����	� �� A �� λ &�
 ����	����
����� A � B� ��	�
������� � ���� ���	�� ���� ��	�
�� 
�����#�������
�� �� ���� �
� � �
���� �� 
� ����� #���#��� #�� � �'	
������� �� �
	
�
#��� ��
�	
� � ���� ���� � 
��
�	��� � 
� ��	�
 C = A + B� ��	� �
�
��	� 
��
� �� ���� �� ��	�
�� � ��
������	� ( 
��
� �� ��
������
��� ���
���� ��� �
�
�
���
�
�
���
���
� ���! )��� �� ��	�
���
$ �
*	
���� �� ���� ��	�
��� A − B� � ��
������	� � ����
 A #�� �
����	� �� B ���
 ���� ��+ �
$ 
��
� �� ��
������
��� ��
� ������ �� ��	�
�� ���� ��
 ����
�������
��
� ���� �� ���� ��	�
��� ,�	� 
��
� � #��-�#��� #��� 
��
� �� ���.����
���
 ���� ��/ �
0���� �� ���
��	�� �
��
�������!
�� ���������	
��	���
 ������ � 	
����
���
�
�
�
�
�
������ ���� ������
�� �� ��������
�
�
�
�����
������ ���� ���� �� ������� 
��� ����� �� 
��������
 � !��������� �� ���
���
A + B = B + A , "�� #
� $��� 
��� ��� ����fi���� &��������� ������ � ����� �� 
�������������
�� 	���������� �� ���
���
A + (B + C) = (A + B) + C , "���#
� $��� 
��� ��� ����fi���� &��������� ������ � ����� �� 
��������
��� ������� 	
�������
'���������� 
�� ����� ����(��� �$���� $�� 
����� �)���� �*�������� �����
� ��� �� A + �� ����� �� �)���� A, ����� a = A/A + �� ����� ����(���
�� ����� ����
�� � ������� �� A�
��
 ������� �� ������
���� ����
�������
!�������� ��-� ������� ����(���� i, j, � k� !��� �� ����� ��fi�� � �������
������� ��� ��*�� ����������� (x, y, z) "��� ���� ��.#�
/� ������� ����(���� ��� ���������� 
��
������������ 	����, ���� ���0
���� �� ����������� + ��������	� ���� ����� A 
��� ��� ������� ���� ���
�������
�� ������ ��� ������� ����(���� "��� ���� ��1#� �����
�������� 	
 ��
���� �������� ��
�
�
�
�
�
�
�
������ ��	
 ��
���� ���
����� �� �� ��
A = Axi + Ayj + Azk , �����
���� (Ax, Ay, Az) ��� �� ����������� �� ��
�� A� ������ � ���� �� ����
��
���� A � B ���� ���� ���� ���� �� ���� ��������
��� ��
� ��
���
��������� �� ����� ��
���� � ���
� ���� ���
��� �� �� � ��
��� ���fi���
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
������ ��"
 #��
��� �� ����������� ��
����������
$ �%���� �� �� ���� ��
�� u � ��fi���� ���
u = |u| =
√
u2x + u2y + u2z . ���&�
�� ���������	
��	���
 ������ � 	
����
���
�� ����� ����� ��
����� ��� �������� �� ����� ����� ����� � � ����� ��
���
�� r = xi + yj + zk� ���� ������ ���������� ���� r =
√
x2 + y2 + z2�
��� � � ��������� �� O �� 
���� �� ����������� (x, y, z) 
��� �����	� 
��
�
�
! 
������ ������� ����� ���� ������� u � v� �������� 
�� u · v� � ��fi����
��
u · v = uv cos θ , #� $%
���� θ � � ������ &������ ����� �� ���� ������� 
'�� �&����� �� ������� ����(���� �)� �� ��������� 
��
��������*
i · i = j · j = k · k = 1 ,
i · j = i · k = j · k = 0 . #� +%
,��� ��� � 
������ ������� ������� �� �� ������� � ��� �� �� ����� 
! 
������ ������� ��� �� ��������� 
��
��������*
- '���������*
u · v = v · u . #� .%
/ 0�����1�����*
u · (v + w) = u · v + u ·w . #� 2%
��������� #� +% � � 
��
������� ������1����� 
������ ���������� � 
���
���� ������� ����
u · v = uxvx + uyvy + uzvz . #� 3%
,��� ���1�� ��� #�% u·u = u24 #1% u·v = 0 �� u � v ��� 
��
�������������� �����	� ��	���
�
0�������� 
�� u×v � 
������ �������� ����� ���� ������� u � v� ���� ������
� ���� 
��
|u× v| = uv sin θ , 0 ≤ θ ≤ π , #� -5%
�������� 	
 ��
���� �������� ��
���� θ � � ����	 
���
� ��	���� ���	� �� ���� ����	�� u � v� ������ �� u
� v ��� ��	�
�
��� � �	����� ����	��
 ���	� �
�� � ������������� ��
��
� ����	 w = u × v � �� ����	 ���� ��	���� � ��	�������
�	 �� �
���
��	���� ��	 u � v� � ������� � ��
 ��� u� v� � w ��	��� �� �	���	� ��	����
� �	����� ����	��
 ����� �� ��������� �	��	��������
�� ���!"����������
u× v = −v × u . #����$
%� &���	�'������
u× (v + w) = u× v + u×w . #���%$
(�����!�� � ��fi����� �� �	����� ����	��
� ������� ����	�	 ��� �� ��!
��	�� ����*	��� �+� �� ��������� �	��	��������
i× i = j× j = k× k = 0 ,
i× j = k , i× k = −j , j× k = i . #����$
 ��	�� ������ ����� 	���
����� � � �	��	������ ����	�'����� �� �	�����
����	��
� ������� ����	�	 ���
u× v = (uxi + uyj + uzk)× (vxi + vyj + vzk)
= (uyvz − uzvy)i + (uzvx − uxvz)j + (uxvy − uyvx)k .
#���,$
���� ������� ���'�� ���� ��	 ���	��� ���� ���������������� �� ��	��
�� �� ����	�������
u× v =
∣∣∣∣∣∣
i j k
ux uy uz
vx vy vz
∣∣∣∣∣∣ . #����$
� �-��
� �� �	����� ����	��
 ���� ��	 ����
����� �'���� ������!�� �
��fi����� �� �	����� ����
�	� .����
(u× v) · (u× v) = (uyvz − uzvy)2 + (uxvz − uzvx)2 + (uxvy − uyvx)2
= u2yv
2
z + u
2
zv
2
y − 2uyuzvyvz
�� ���������	
��	���
 ������ � 	
����
���
+u2zv
2
x + u
2
xv
2
z − 2uxuzvxvz
+u2xv
2
y + u
2
yv
2
x − 2uxuyvxvy
+u2xv
2
x − u2xv2x
+u2yv
2
y − u2yv2y
+u2zv
2
z − u2zv2z , ������
���� ����� ������� � ���������� ���� ������ ��� ������� � ��������� fi����
�� ������ 
�������� 
���� ��� ��������� �� ����� (u2x +u
2
y +u
2
z)(v
2
x + v
2
y +
v2z) = u
2v2 � �� ��������� �� ����� (uxvx +uyvy +uzvz)2 = (u ·v)2� 	���� 
������!�� ���"� �������
(u× v) · (u× v) = u2v2 − (u · v)2
= u2v2 − (uv cos θ)2
= u2v2(1− cos2 θ)
= u2v2 sin2 θ . ����#�
$%������� � ���& '������� ������� � ��������� ����(��� ����)��
��� ��� ��	 
�		���	
*�(� w = u + v� �����
w2 = (u + v) · (u + v)
= u · u + u · v + v · u + v · v
= u2 + v2 + 2u · v
= u2 + v2 + 2uv cos θ , ����+�
���� �� ,����� ���-� ������ � ��fi��
.� �� 
������ �������� $%������� �
���& '������� �������
|u + v| =
√
u2 + v2 + 2uv cos θ . ����/�
��� 
������	 �����	
�� 
������� ������� � �������� 
���� �� ���������� �� �0���� �������� 
���� ����1
�������� 	
 ��
���� �������� ��
�� ����	
� ��
��
u · (v ×w) = (w × u) · v = (u× v) ·w =
∣∣∣∣∣∣
ux uy uz
vx vy vz
wx wy wz
∣∣∣∣∣∣ . ������
�� �	��� ����	
� ��
������
A× (B×C) = B(A ·C)−C(A ·B) , ������
��������� ���� ����� BAC − CAB ����
� ��� ����� �����
� � �	�� �� ����	
� ��
� ! ��	�� �� ���	�� �� 	� ���������"���� ����
#��� ��$�� % &��� �� ������������� '������ ����
 ��
���
 B � C ! ���� ���
|B×C|( �� ��
� )	� � ��
	�� h ! ���� ���� ���*�+,� �� ��
�� A �� �����
�� ��
�� 	��
&��� n� -���
 )	� � ���	�� ! ��	�� �
(A · n)(|B×C|) = A · (|B×C|n) = A · (B×C) . ������
.� �
 ��
���
 A( B � C �,� '����� 	� 
������ ����
�( ��
,� A · n < 0�
���� �����
�� )	� � ��
	�
��� ! ��
�
��� ���
���
 � � �	�� �� ����	
�
��
��
�
�
�
�
�
#��	�� ��$�
��� �����	
� �� �
 �����
/��
�������
 	� ��
�� u )	� '���� 	� 0��	�� θ ��� 	� 
��	��� ��
�� s
���� #��� ��1�� % ���*�+,� �� u 
�2�� s ! ��fi���� ���� 
���� � � �	�� ��
u ��4�
 � ��
��� �� 0��	�� θ ��
�� �
 ���
 ��
���
�
us = u cos θ . ������
�� ���������	
��	���
 ������ � 	
����
���
��������� ��� u = uxi + uyj + uzk� � ����
�� ����� 
��� ��� �����
�������������� 
��� ��������
us = ux cos(i, s) + uy cos(j, s) + uz cos(k, s) , ������
����� 
�� � ��
��� (i, s) ! � "�#��� $������ ����� (i � s)�
�
�
y
z
O
s
u
x
θ
%�#��� ��&'
���� ����	
� �� 
����������
(�������� ��� ����
�� �� ������� �� ����������� �����#������ (x, y) ��
�� "�#��� θ �� ����� �� �� � z ���� %�#� ��)*�� +�������� 
�� (x′, y′)
�� ����������� �� ������� ������������ , ����� ��-����� ! ����� ���� ��
���������� �� ���
������� �� �� ����� u ��� ���� �������� �� ������������
.����� ������� �� ����������� �� ����� u �� ������� �� �����������
(x′, y′) ����� ����� 
��
u′x = ux cos(i
′, i) + uy cos(i′, j)
= ux cos θ + uy cos(π/2− θ)
= ux cos θ + uy sin θ , ����/�
�
�������� 	
 ��
���� �������� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
������ �	
��
u′y = ux cos(j
′, i) + uy cos(j′, j)
= ux cos(π/2 + θ) + uy cos θ
= −ux sin θ + uy cos θ . 
�	���
��������� � ������������� ���� � ���� ���������������	 ����
u′x = ux cos(i
′, i) + uy cos(i′, j) + uz cos(i′,k) ,
u′y = ux cos(j
′, i) + uy cos(j′, j) + uz cos(j′,k) ,
u′z = ux cos(k
′, i) + uy cos(k′, j) + uz cos(k′,k) . 
�	�!�
" ���#������� �������� � ������� �� (ux, uy, uz) ���� (u1, u2, u3) �
��fi��� amn = cos(m,n)% ���� (m,n) = 1, 2, 3	 &����% �� �'���(�� �����
����� ��� ���������� ����
u′1 = a11u1 + a12u2 + a13u3 ,
u′2 = a21u1 + a22u2 + a23u3 ,
u′3 = a31u1 + a32u2 + a33u3 . 
�	�)�
*� ���fi������� amn = cos(m,n) ��� ���+������ ���� �������� ���������	
& �'����� �������� ���� ���,-� ��� ������� �� .���� ���������⎛
⎝ u′1u′2
u′3
⎞
⎠ =
⎛
⎝ a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
⎞
⎠
⎛
⎝ u1u2
u3
⎞
⎠ , 
�	���
�� ���������	
��	���
 ������ � 	
����
���
�� ����� �� ����� ��������� ������ ���������
u′m =
3∑
n=1
amnun . ������
���� ����� � ���� 
��������� u = (1, 0, 0) = i� ������������ �� ��� !�"
������� 
��� �� ����� ���
������� �� u
u′1 = a11 , u
′
2 = a21 , u
′
3 = a31 , ����#�
�� ��� ������� $��
i = a11i′ + a21j′ + a31k′ . ���� �
	�����������" ������������ u 
�� (0, 1, 0) �� (0, 0, 1) " �������
j = a12i′ + a22j′ + a32k′ , ������
�
k = a13i′ + a23j′ + a33k′ . ������
��
������ $�� � ���� ������� �� ����������� (x′, y′, z′) % ���������"
���� %" �� ������� ����&���� (i′, j′,k′) �������� �� ������ 
��
�������� $��
�� ���'� 
��� �� ������� (i, j,k)� �����
i · i = a211 + a221 + a231 = 1 ,
j · j = a212 + a222 + a232 = 1 ,
k · k = a213 + a223 + a233 = 1 ,
i · j = a11a12 + a21a22 + a31a32 = 0 ,
i · k = a11a13 + a21a23 + a31a33 = 0 ,
j · k = a12a13 + a22a23 + a32a33 = 0 . ����(�
)�������" � ���� ��� $�������� ��� ��������� ������ �� ��� ������
% ����� � ��" � � ���� ��� 
������� ��� ��������� �� ���������� �������
% ����� � *���� +����*�� $�� �������� ���� 
��
������� �,� �-������ ��
�������� 	��	
	�����
	� ���� �$��
��� ����(� 
���� ��� �������� �� ��� ����� ���
���� ����
�����
3∑
i=1
aijaik = δjk =
{
1 , j = k
0 , j �= k , ����'�
���� δij % ���-����� ���� ��
�� �� ��	�������
�������� 	
 ��
���� �������� ��
���� �����	
�	
��� ����	�
���
�
 ���	��� � ������� �	 (x, y, z) ���� (x1, x2, x3)� �	��
ϕ(x1, x2, x3) ��� ������ 	������ �� ���
���
 ��� 	�	����
 �	��	������
�	��
���	 �	 	�	��
�
 	��� � ����� �	 ϕ
 �	�	 
��	�	��	� �� �
��	�� �	
�����	�����
ϕ′(x′1, x
′
2, x
′
3) = ϕ(x1, x2, x3) . ���� !
"	�
����� ����
���	��	 ��� �	����� � x′i (i = 1, 2, 3)
 �	���
∂ϕ′(x′1, x
′
2, x
′
3)
∂x′i
=
∂ϕ(x1, x2, x3)
∂x′i
=
∂ϕ
∂x1
∂x1
∂x′i
+
∂ϕ
∂x2
∂x2
∂x′i
+
∂ϕ
∂x3
∂x3
∂x′i
=
3∑
j=1
∂ϕ
∂xj
∂xj
∂x′i
=
3∑
j=1
aij
∂ϕ
∂xj
, ����#!
���	 aij = ∂xj/∂x′i�
$� ����� ����
�
�� ���%&� ���	��� 	���	�	�⎛
⎜⎜⎝
∂ϕ′
∂x′1
∂ϕ′
∂x′2
∂ϕ′
∂x′3
⎞
⎟⎟⎠ =
⎛
⎝ a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
⎞
⎠
⎛
⎜⎝
∂ϕ
∂x1
∂ϕ
∂x2
∂ϕ
∂x3
⎞
⎟⎠ . ����'!
� �	��� ������ (�	 ����	�	 	� ��%�� �� ����� �� 	(����� ��
�� &
���)	�
�� ���� �	��� ��������� �� ������ ϕ
∇ϕ = i∂ϕ
∂x
+ j
∂ϕ
∂y
+ k
∂ϕ
∂z
, ����*!
���	 � ��	����� ��	
� & �	fi�
�� ���∇ = i ∂
∂x
+ j
∂
∂y
+ k
∂
∂z
. �����!
,��	 ��	����� �
�	�	��
�� �- �	� 	�	
�� (����� ���
���� ��%�	 ��� ������
	�������
.�� 
��	���	����� �	��&��
�� 
��	�	�����	 �� ����
	��	 & (�	 �	
ϕ(x, y, z) = C & � 	(����� �	 ��� ���	��/�
	
 	���� ∇ϕ & ������ � 	��� 	�
�� ���������	
��	���
 ������ � 	
����
���
����� �� ���� 
������ ���� ��� ����� ��������� ���� 
����� P � Q �� ���
��
������� ���������� ���� ��� �!!"� #�$� dr � ������������ ����� �� ����
������ % ������������ �� P 
��� Q ����� ��� �����
� ��fi��������� ��
ϕ = C ���� 
��
dϕ =
∂ϕ
∂x
dx +
∂ϕ
∂y
dy +
∂ϕ
∂z
dz
=
(
i
∂ϕ
∂x
+ j
∂ϕ
∂y
+ k
∂ϕ
∂z
)
· (idx + jdy + kdz)
= ∇ϕ · dr . � ���"
�
�
�
� � �
�
�
�
�
��
������ �!!' (����
����
)� ����*����� �� ����������
��� ����� ���� dϕ = 0� ���� ∇ϕ * 
��
��������� + ��
�������� % �����
������ + ��
������� * ������ ���������,�� � ��������� 
��� ��� �-����� n =
∇ϕ/|∇ϕ|�
#�
�� ����� .�� P � Q ���)� ������/���� �� ��
�������� ����������� ϕ =
C1 � ϕ = C2 ���� ���� �!�"� 0����������� �� 
����� ��fi��������������
�-1����� �� ������������ �� �� 
���� �� ����� ����� ��� �����
�
���� 
��
�������� 	
 ��
���� �������� ��
dϕ = C2 − C1
= Δϕ
= ∇ϕ · dr . ������
y
z
x
ϕ = C1
ϕ = C2 > C1
P
Q
∇ϕ
dr
���	
� ���
� �	�
� ����
�
������ ������
��� �� �
��������
���� �	����� � ������ �	���� � ���
 ∇ϕ � ��
�!�!� � dr� "�
�����#
� �
������� ������ � ��
���� �� ����
 �
��������� �� $	���� ����!�
 ϕ�
� ������� �	
 %�� �	��
$&��� ��$�
��� �� 
��� r � ���� ��!� ��	����
ϕ(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2 = r� '���
����
 � ���
 ��
��! � �	�!�	�
����� �� ��$�
��
����
��� (���� �� ���	����� ��
� ����
�� ���������	
��	���
 ������ � �	
����
��
∂ϕ
∂x
=
x√
x2 + y2 + z2
=
x
r
,
∂ϕ
∂y
=
y√
x2 + y2 + z2
=
y
r
,
∂ϕ
∂z
=
y√
x2 + y2 + z2
=
z
r
. ������
������������ �� ������� �� ��������� ������� �����������
∇ϕ = xi + yj + zk
r
=
r
r
. ������
 !���� ����� " ����#��� � 	������� ��� $# ����������� �� ��!���%
� 	�
�
��� �&��
�� �
���� ����	
����
'(���� �
����� )����� �� �������� � �	������ ���
� ��� )���
�� ����
����
� !��������� *� ����� �������� !���� ��� ���� �	������ �	
����� � ���
)����� ����
�� ����
�� �� ���������� +������ ����"� �������� ∇ ���
��� )����� !������
 ����!"� �� �� 	������ ����
��� ��!������� �� ���
)����� !������
 " ��fi���� 	��
∇ · u = ∂ux
∂x
+
∂uy
∂y
+
∂uz
∂z
. ����-�
*��� ��� � ��!������� �� �� !���� " �� ����
���
.����� ∇ · u ��� !�
�� 	�����!� �� �� ����������� 	����� ��/����
��� � ���	� !������
 ��� ��� 0!�/��1 
2����� 	��� )��� �� !�/��$���� �����
	����� '��� " � ���� �� ���	� �
"����� 	����/��� 	�� ��� ����� 	�����
�
3�	������� �� ����
 �� ������ �� 
��$�� �� ���	� �� ���!����� 	���� ��
��!����� �� 	���� ���� �
� �� ��������� ��!���� ������ ��� � ���	�
����"����� 	��� ����� ���� �� 
��$�� �� ���	� �� )��$�� �� �� �������
���� "� � ���	� ��� ����������� ��� !������������ *���� 4
���� ����� ��� $#
!�/��5 ����� �� 
��$�� �� ���	� ��� �������� ��� ��������� ��	��)2���
)��$���� ���� ������� �� �
��� ����� 	���� �� ����� ��	��)2����
���� 
���������
����"� 	������ �������� � �	������ ���
� ��� �� !���� ����!"� �� ��
	������ !������
� ���������
 " ��fi���� 	��
�������� 	
 ��
���� �������� ��
∇× u =
∣∣∣∣∣∣
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
ux uy uz
∣∣∣∣∣∣ . ������
�	 
	��
�
�	 �	 ����
������ �� 	 
���	 ��� �	
��
������ ����	 	 
	��
��
	��� ����� 
���	 � ��	 ���	�
���� ����	
�� 
� ���	�� ���������
y
x
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
����
� ���� !���	 ���	
��� A = xi + yj�
"� �#����	 �$��
	 �� 
���	 ���	
��� 
	� ����
����� ��	 ���	 � 
	��
�	�
��� ������
������ ���	 � A = xi+yj� 
�%� 
��
������&�	 �
�fi
� ��
	��
����
�����
��� �� ���� �����
"� ������	 �#����	 	��� 	
	
� �#�������� 	 	�	��	 �	 �#����	 ���
��
�	
 � A = −yi + xj� 
�%	 �
�fi
	 � �	��
��	 �� ���� �����
(	�� 	
	
�
 �� 	 
���	 ���	
��� ��	 �	����
 ��������������� �	
�
��
����� � ����
�)�
��� !	�	 �� 
��	 �$��
	� ���	� 	 
���	 ���	
���
A = yi + xj ���
 ��� ������
�� ���������	
��	���
 ������ � 	
����
���
y
x
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
������ ��	
� ��
�� �������� A = −yi + xj�
���� ����	
�� 
	� ����
��� ∇· � ∇×
������� ��� �� ��������� �������� �� f � g� u� � v ������
� ����� ��� �������
�� ��������� �����������
∇(f + g) =∇f +∇g , ���
� 
∇(fg) = f∇g + g∇f , ���
! 
∇ · (fu) = f∇ · u + u ·∇f , ���"# 
∇× (fu) = f(∇× u) + (∇f)× u , ���"	 
∇× (∇f) = 0 , ���"$ 
∇ · (∇× u) = 0 , ���"� 
�������� 	
 ��
���� �������� ��
x
y
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
������ 	
��
 ����� �������� A = yi + xj
∇(u · v) = (v ·∇)u + (u ·∇)v + v × (∇× u) + u× (∇× v) , �	
���
∇ · (u× v) = v · (∇× u)− u · (∇× v) , �	
���
∇× (u× v) = u(∇ · v)− v(∇ · u) + (v ·∇)u− (u ·∇)v , �	
���
∇ · (∇f) = ∇2f = ∂
2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
+
∂2f
∂z2
. �	
���
���� ������ � ������� � ���� � ���������� � f 
 !��"�� �����
∇× (∇× u) =∇(∇ · u)−∇2u , �	
�#�
∇2(fg) = f∇2g + g∇2f + 2(∇f) · (∇g) . �	
�$�
� ������� �	
 %� &��'�� �������� �� �� ��� �������� ���� F = f(r)r
�������� ∇× (f(r)r)
�� ���������	
��	���
 ������ � 	
����
���
�������� ������ � ���������� ������� ����� ���
∇× (f(r)r) = f∇× r +∇f × r . ������
������ � ��fi��
!� �� ���������� ����"� # $%��� ������� ��� ∇ × r = 0�
&�� �$���� ∇ × (f(r)r) = ∇f × r� ��� '�( ��� f ��
���� �
���� ��
�)���� �� r� �����
∇f = i∂f
∂x
+ j
∂f
∂y
+ k
∂f
∂z
= i
df
dr
∂r
∂x
+ j
df
dr
∂r
∂y
+ k
df
dr
∂r
∂z
. ������
*����������� �� �	
���� 
��� �+����� ∇f = (r/r)df/dr� ,��������
∇× (f(r)r) =
(
r
r
df
dr
)
× r = 0 . ����-�
./��
��� �� $��
� ������� �!� � �� $��
� 0��'��������� � �� $��
� ��
&�����+� �� ��� f(r) = C/r3� ���� C = −Gm1m2 
��� � 
������� ���� �
C = q1q2/4π�0 
��� � ��0���� ����� �
� �	
���� 
�
 &������� ∇ · r�
�������� ,��� ��fi��
!� ������� ����� ���
∇ · r = ∂x
∂x
+
∂y
∂y
+
∂z
∂z
= 1 + 1 + 1 = 3 . ������
�
� �	
���� 
�� &������� ∇2g(r)� ���� g # ��� $��
!� ��� ��
����
������� �� �)���� �� r�
�������� 1� �	
���� 
��� '�� ���
∇ · (∇g(r)) =∇ ·
(
r
r
dg
dr
)
. ������
	0���� ������ � ���������� ������ � � ��������� �� �	
���� 
�
� �+2
�����
∇ · (∇g(r)) = 1
r
dg
dr
∇ · r + r ·∇
(
1
r
dg
dr
)
=
3
r
dg
dr
+ r ·
[
r
r
d
dr
(
1
r
dg
dr
)]
=
2
r
dg
dr
+
d2g
dr2
. ������
�������� 	
 ��
���� �������� ��
�� g(r) = rn� ����	
∇ · (∇g(r)) = n(n + 1)rn−2 . 
��
�
���� ������	 ���� ���� �	����� �� n = 0 	� n = −1� �� ����� 	 �	�������
�� �	��	� g(r) = 1/r �����!�" � ������	 �� #������ ∇2g = 0� �
���� ����	
�� 
� �����
�	��������	� ϕ(x, y, z) ��� !����	 ������� � u(x, y, z) ��� !����	 $��	�����
%����������� �&����� ��'� !	���� �� ����(��� �� ���)�� ��	 �����
∫
C
ϕdr ,∫
C
u · dr ,∫
C
u× dr ,
��
*�
	��� dr + �� �������	 �� �	��������	 �� �� �	��	��	 
� ���	 	� !��)��	�
C �� ����(����	�
� �+�	�	 �� ���	����	 �� ��� ����(��� �� ���)� �	������ �� ����"�,�� �
����(���� 	��������� �� ����� �	���	� ���	�$�� ���	� �+�	�	� �������
-����	� ��(��� �&����	��
� ������� �	
 .���(��� � !����	 ϕ(x, y) = xy ����� � 	��(�� ��+ 	
�	��	 (1, 1)� ��(����	 	� �����)	� C1 � C2 �������	� �� /�(� ��0
�
����
��� 1���$+� �	 �����)	 C1� ���	� ���
∫
C
ϕdr = i
∫ 10,y=0
ϕdx + j
∫ 1
0,x=1
ϕdy
= i
∫ 1
0
0 dx + j
∫ 1
0
y dy
= j
1
2
. 
��
2�
1���$+� �� C2 ���	�
∫
C
ϕdr = i
∫ 1
0,y=x
ϕdx + j
∫ 1
0,y=x
ϕdy
�� ���������	
��	���
 ������ � 	
����
���
C1
C2
(1, 1)
(1, 0)
x
y
������ ����� � ������� C1� y = 0 ����� (0, 0) � (1, 0)� � x = 1 ����� (1, 0)
� (0, 1)� � ������� C2� y = x ����� �� 
����� (0, 0) � (1, 1)�
= i
∫ 1
0
x2 dx + j
∫ 1
0
x2 dx
= i
1
3
+ j
1
3
. ���� !
�
� ������� �	
 "������� � #��
$� F(x, y) = (x− y)i+ (x+ y)j ����%&�
'� 
��()��� *�� ��� �� 
����� (0, 0) � (1, 1) ���� �������'� �� ���� ���+�
C
(1, 1)
x
y
������ ���+� � ������� C & '�'� 
�� y = x2�
����
��� 	� ����� '� ������� C� y = x2� �����
�������� 	
 ��
���� �������� ��
∫
C
F · dr =
∫ 1
0,y=x2
(x− y) dx +
∫ 1
0,y=x2
(x + y) dy
=
∫ 1
0
(x− x2) dx +
∫ 1
0
2x(x + x2) dx
=
[
x2
2
+
x3
3
+
x4
2
]∣∣∣∣1
0
=
11
6
. ������
�
���� �����	
 �� �
��������
	
�� V 
� ���
�
 �������� ��� 
�� �
�
�����
 �
����� S� 	
�������� �
�� ������
��
� �
 
� �
��� u �
���� �
������� �������� ������
�� 
� S 
�� �
 ���
����� ����� ∮
S
u · n dS =
∫
V
∇ · u dV , ������
���
 n 
� �
��� ������ ! �
�
�����
 
� �
���
� ����� �
 S� "� ����
��
��� �� 
�
�#�� ����� �
��� 
�� ���
$��� �
 �
�
�����
 
 �� ���� ���
���
�� ���
$��� �
 ���
�
�
%��� �
�������� 
��
 �
��
��& ������
�
��� ����
��� 
� 
�
�
��� �
���
�
 ΔV � '�����
�
��� �
�� ���
� �
��
 ���
�
 ���� ��
������ ��
(�$� ���)� * fl
,� �
 u ����� � ��� ���
� � 
 - ��� ����� ���
(valor de ux na face 1)ΔyΔz ,
(valor de ux na face 2)ΔyΔz . ����-�
* fl
,� ���
��� 
���� ���� ���
[(valor de ux na face 2)− (valor de ux na face 1)]ΔyΔz = ΔuxΔyΔz .
������
.
�
�����/�
 � �
��� ���������� ���� �� �
���� ���
� �0�
��� � fl
,�
����� ����� � �
 ����� �� ���
�
�� ���������	
��	���
 ������ � 	
����
���
�
�
�
�
�
������ ����� 	 ���� � ������
���� �� 
���� x = 0 � � ���� � 
������� � ����
�����
ΔuxΔyΔz + ΔuyΔxΔz + ΔuzΔxΔy = (
Δux
Δx
+
Δuy
Δy
+
Δuz
Δz
)ΔxΔyΔz .
������
 � ���!� ����������� ���� �"��
#� 
��� ��� ��������� ��!�(
∂ux
∂x
+
∂uy
∂y
+
∂uz
∂z
)
dxdydz =∇ · udV . ������
$��� ��fi��
#� �� fl�'�(∑
u · nΔS =∇ · uΔV , ����)�
���� � ��!� ������*�� � ����� �� ����� �� +���!� ΔV �
,!�����!�� ����� "�� � +���!� V 
���� ��� ��-��+����� �! 
�"�����
�������� ��fi������!��� �� +���!� ΔVi� .����� � /���!� �"��
#� ���!�(
��!��
∫
V
∇ · u dV =
∑
i
∇ · uΔVi
=
∑
i
∑
u · nΔSi
�������� 	
 ��
���� �������� ��
=
∮
S
u · n dS . ������
���� �����	
 �� �
����
��	
 S ��
 
��������� ���
���
� �����
�
 ��� ��
 ����
 ����
�
 C� � ����
���
 �� �����
 �
�
������ ���∫
S
∇× u · n dS =
∮
C
u · dr . ������
 ��!
����
 �� �
�� 
 ����"
��
#$� ��
�� ������
�
���� ���
���� �� �
�����
������ ��� �� 	
���
%
�
 ��� 
fi��
 ��� � �
��� ��'����� E �����(��� ��� ��
 ����
 ��
������#$�
�� �
�)
 ���� 
�� �������"
�� ���
 ���
#$�∮
S
E · n dS = q
�0
, ����*�
�"�� q ' 
 �
�)
 ���
� "� �"������ �� S�� +��� ������
 �� �����)�"�� ����,�-
����
 ∮
S
E · n dS =
∫
V
∇ ·E dV . ����.�
+�� ����� �
��- 
 �
�)
 ���
� ���� 
�� �!���
 �� �����
 �
 ��"
��
�� ��
�
�)
 ρ 
��
�'
 ��
q =
∫
V
ρ dV . ����,�
���
�����"�� 
 ��
 /����
 ���
#0�
 �� ����*�- ������
∫
V
(
∇ ·E− ρ
�0
)
dV = 0 . ����1�
2�
 ��( ��� V ' �������
��"�� 
�����3���- 
4 ������
 )
�
"��� ��� 
�"��)�
� 
���
 
�	
 "��
 
� � 
���"�� 
�
�
���� ��� �	� 
���������
�� 
�	
	��� 
	� ���� ��������� ����� ����� � ������ 
�����	
� ������ �� ���
������ ����
��! "��#���	� �� ��$���	� ���
	� �� �����%���� � ��
�&���� ��
��� ���� � ��	��� �	� 
'���	�� (�	������ ������
����� ��(
�����	� ����	
	��� �
)����!
�� ���������	
��	���
 ������ � 	
����
���
∇ ·E = ρ
�0
. ������
���� � � ��� �� ����� �� ����� ������������
������ ��� 	� 
��
��
� ���
� ��������� B �� �������� � ��� �!��"��
�� �� ��� ������#��
$� ��
�������� 
��� ��� ��������� 
��� ��� �� 	�
���% � &��� ����#����� &��∮
C
B · dr = μ0I , ������
���� I � � �������� ����� �� �������� �� C��
'� ������� �� (��)�� ���*��% ����� &��∮
C
B · dr =
∫
S
∇×B · n dS . ������
	����% � �������� ����� �� �������� �� C �� ������ �� ��������� ��
�������� J � ���� 
��
I =
∫
S
J · n dS . ����+�
,��#������ �� ���� �&��
��� ����� ��� � ��� �� 	�
-�� ������% �����
&�� ∫
S
(∇×B− μ0J) · n dS = 0 . ����*�
(���� S ��� ��
���.��� ������������ ��#���/���% �����������
∇×B = μ0J . ������
���� �&��
$� � � ��� �� 	�
��� �� ����� ������������ 0������ ���� �������
&�� ���� ��� ���/ �����
����� 1 ������/��� ��������� �� ����� � ���� ��
���� ������� �� �&��
$� ����� �� ��� ����� � �����2�� ����������� ��� � ���
�� ������ �
$� �� ������
�
���� ��� �	� 
���������
�� �
�
����� 
	� �
��� ����� ��
��� ����� � ������ 
�����	
�� �	������ �!���	
���"#�� ��� $������ 
�% ��� � !&	
� '��
(�) *�+��	 , -��
��
�	
���.��(/	 �� ��
��� , �����	��
0����� �� 1��� 	 �
����	� �� 2	 3�1�	
 �� ���������
����)4
�������� 	
 ��
���� �������� ��
������ ��� �� 	
�
�
�
� ����� �	
��
�� ���� ��� ������ ��� �� ����� ����
�
�� ��� ���
� ��
������ � 	�
 �� �������
�
������	��� ���
∮
C
E · dr = − d
dt
∫
S
B · n dS . ������
������ � ������� �� ��!�� �� 	��� �������� �� 	�
 �� �������" �����������
∫
S
(
∇×E + ∂B
∂t
)
· n dS = 0 . ����#�
$�� �%�
��
∇×E = −∂B
∂t
, ����&�
��� 
 � 	�
 �� ������� ����
�� �� %���� �
%�����
�	�
�����
 �������
 �� �������� �
�������
�����
��� ��� �� 	
�'�� �� ����� ����
�
�� ��� ��� ����
�
����" � fl�)�
�� ����� ����
�
�� �����
� �� ���	���� �����%*�
� %��'��� ���	�+��"
∮
S
B · n dS = 0 . ����,�
-�	� ������� �� �
�������� ���.&�" ����� ���
∮
S
B · n dS =
∫
V
∇ ·B dV = 0 . ������
$�����/���������
∇ ·B = 0. ����0�
1��� ����23� �
��
fi�� ��� �� ������5� �3� '6 ������	� ����
�
���
�
������� ��	�
�� �
��
 � 
���� ������ �� ��������� ������ ��		��� �� ��
	���
!������		�" #����
�	�
� $�	 ������ ���� � ����	 %&���� �'$�	������� 
� ����(	�� 
�
��)����" *� �	���� $�+	� �� ��� $�� �	�+����,� ���� %�		��	��� ���� ��
� %�� �	�+����	 ��
��� ��,	�	�� ���� �	���$�	��
�	 � ����
�	��
�	" ��� ��	�� ,���� 
�
���,���� - �����	�"
.�	 ����� / �����
�	�
� $�	 ������ ���� �� ����
�
���"
�� ���������	
��	���
 ������ � 	
����
���
������ ��� 	� 
��
����������
�� ����������� ������������� ��� � ��� �� 	�
��� ��� �������� ����������
�������� � ��������
�� �� ������ �� ���� 
�� ���� !� ����
�� "#�$$%& �
������ � ���������� "#��#%& ����� ���
∇ · (∇×B) = μ0∇ · J = 0 . "#�'�%
(��� ��������� ���� �� ��������� ��� � ����
�� �� ������������ ��� �)�
����� � ��������
�� �� �����&
∇ · J + ∂ρ
∂t
= 0 . "#�'�%
	����& ������ � ��� �� *���� "#�$#%& ����� ���
∇ · J + �0 ∂∇ ·E
∂t
=∇ ·
(
J + �0
∂E
∂t
)
= 0 . "#�'+%
����� ����� ��� ���� ����
�� � "#�'�% ��� �������������� (��� �
��
����� 
�����)� 
��� ��� ��������� �������������� �� ����� � ���� �� ���
�� 	�
��� �� ������� ��� � ����
�� �� ������������ �� � ����������&
∇×B = μ0J + μ0Jd . "#�'$%
	 ��������� �� �������� �� ������������ Jd 
��� ��� ����������� �,����
�������� ���
∇ · (∇×B) = μ0∇ · (J + Jd) = 0 . "#�''%
-��
������ ���� ����
�� ��� "#�'+%& �,�����
Jd = �0
∂E
∂t
. "#�.//%
	����& �� ������ ����
��� ������������ �� 0�)1���
�
�� ������������
����� 
���� ��� �������� ����
∇ ·E = ρ�0
,
∇ ·B = 0 ,
∇×E = −∂B
∂t
,
∇×B = μ0J + μ0�0 ∂E
∂t
. "#�./.%
�
����� ����	 
������ 
���� � ����� ������ �� ���������� ������� ��!�� �� ����
�� ��"# � ��"$ !�����%�� �� &���� �������� �� '������� ���� �������� � !����� �� ����
!�������!���� ���!�!�(��� ��� )��!�� �*������ �)��+,�� )�� ��-�� � ��� ���� 
�������� 	
 ��
���� �������� ��
���� ����	
��
��� ���	 
 �
�
�	 �
 �����	�	���	�
 �	 ��	���� A = 3i − j� B = j + 2k�
C = i + 5j + 4k�
��� �	�	����	 a �	 �
�
 �
	 2i− 3j+ 5k 	 3i+ aj− 2k �	��� �	��	����
�
���	��
��� �	 A = i+ j� B = 2i− 3j+k� C = 4j− 3k� ����
�	 
 ��
�
�
 �	�
����
�����
 A × (B × C) ��� 
����
 � �	fi�� !
 �	 ��
�
�
 �	�
����� ���
����
 � �	�� !
 ��������
��" �!
 ���
� 
� �	�
�	�
a′ =
b× c
a · (b× c) ,
b′ =
c× a
a · (b× c) ,
c′ =
a× b
a · (b× c) .
�
�
� a · (b× c) �= 0� #
����� �
	
x′ · y = δxy ,
��	 (x,y = a,b, c)� $��	 �	�
����
 % ���
�����	 �
 	��
�
 �	 �	�	�
����������� 	� &����� �
 $����
 �'���
�
��� (�
�	 �
	 � )�	� �	 
� �����	�
*���
 �	 ���
� � 	 � % ���
 �
�
|A×B|�
��+ �	 A = (3x− 6yz)i+ (2y +3xz)j+ (1− 4xyz)k� ����
��� ∫
C
A · dr �	
,-�-�-. � ,�����. �
 �
�*
 �
� �	*
���	� �	��
��
� C/ ��� x = t� y = t2�
z = t30 ��� �	*�	��
� �	 �	�� �	 ,-�-�-. � ,-�-��.� �	��	 � ,-����.� 	
�	��	 � ,�����.�
��� �	 F = (x2 − y2)i + 2xyj� ����
��� ∫
C
A · dr �
 �
�*
 �� �
��� C �
����
 xy� ���� �
� y = x2 − x �
 �
��
 ,��-. � ,���.�
�� ���������	
��	���
 ������ � 	
����
���
��� ������ �� �������� �� ���������� � �� ������� ���� ������������ ����
���� �� ��������� ����������
(a)
∮
u ·n dS� ���� u = x3i+ y3j+ z3k � S � � ������ �� ���� R ���
������ �� �������
(b)
∮
u · n dS� ���� u = x5i + y5j + z5k � S � ������ �� ��� (a)�
(c)
∮
C
u · dr� ���� u = −3yi + 3xj + k� � C � � � ����� x2 + y2 = 1
������� �� 
���� z = 2�
��! "������ #��
1
3
∫
S
r · n dA = V ,
���� V � � ������ �������� 
��� ��
��� ��� ���$��� S�
��%& �� B =∇×A� ������� #��∫
S
B · n dS = 0 ,
��� ��� ��
��� ��� #���#��� ���$��� S�
��%% ����� t = −iy + jx� ������� #��
1
2
∮
C
t · dr = A ,
���� A � � '��� �������� 
��� �����$� ���$��� C�
��%( 	� ���
�� ������������� 
���� ���
�� ��� �������� ���� ����� � ����
������ �� ��� ���
)� �������
F = −∇ϕ .
"������ #�� � ���*��$� �����+��� 
�� ���� ���
� ����
���� �� ���,��-�
��� �� 
��� �����
	������������ � ���
� �������� � ���� ������������ �� E = −∇ϕ�
"������ #��
∇2ϕ = − ρ
�0
,
���� ρ � � ��������� �� ������ .��� � ���$����� ���� �#��
)� ��
/������� �� ρ = 0� � �#��
)� � ���$����� ���� �#��
)� �� 0�
�����
�������� 	
 ��
���� �������� ��
���� � ���	
�� 
�
������ ���	 ������� �� ����
�� �	
������� ��� ��
���
����	�
�
������� � ���� ��	
U =
1
2
�0E ·E + 12μ0B ·B .
������ �� �������� �� �� !���" 
���	�	 ���
−∂U
∂t
= J ·E +∇ · S ,
���� S � � ����	 �� #�$���
 � � ���� ��	
S =
1
μ0
E×B .
���% &���	 ��� �� ��
��� ����	�
�
������� �������
 ������ �� ���	��'
���� z � �� ��
��� ������ �� �������� �� �� !���" 
���	�	 ���
∂By
∂z
= −μ0�0 ∂Ex
∂t
,
∂Ex
∂z
= −∂By
∂t
,
∂Bx
∂z
= μ0�0
∂Ey
∂t
,
∂Ey
∂z
=
∂Bx
∂t
.
������ ����� ��������" 
���	�	 ��� �� ��
�������� ��� ��
��� ��'
���(���
 � �����)� �� ����
∂2f(z, t)
∂z2
=
1
c2
∂2f(z, t)
∂t2
,
���� c = 1/
√
μ0�0 � � ���������� �� ��� �� �*����
�������� 	
����������� �	�
��
����
��� �����	
���
��� ����� �	
��
����� 
�����	���� �	���
��� 
� ������ ��
 ��� �����
�
��� ���
�	�� 	
�������	� ��	������ � ����
��
��
 ����	��� �� ����
��
�
 ����������� ��	��
������ ��	� � ����
�� �
 ���	�
����� ��		
�����
��
� ���
�	�� �� �	���
�� 
� ��
����� �
��
 �������� ��	
��
	
��� ����
�����	�	 ��� ��		
�����
���� 
��	
 �� ������ �� ����
�� �
 ���	�
�����
	
�������	
� (x, y, z) 
 �� ������ �� ����
�� �
 ����������� ���
������� ��
�
����	
��� ��	 (q1, q2, q3)�
�� ��	�� �
��	���� �� 
���� 
� �	�����	������� ��� 
��	���� ����
x = x(q1, q2, q3) ,
y = y(q1, q2, q3) ,
z = z(q1, q2, q3) . !"�#$
%	
��� ����	 ��
 � ���� ����
�� �
 ���	�
����� �
&� �	�������� ��	�
����� � �
�
��'	�� 
�����	�	��� �� �
��	
� ����'	��� ��
 �
fi��� �� �
���)
��� ��������� �� 
�*�� q1� q2� 
 q3� +
&���� ���� 
�����	�	 
��
� �
��	
��
,����� 	
�	�� �
 �
	������ ��	����� ���
��� 
��	
�
	
dx =
∂x
∂q1
dq1 +
∂x
∂q2
dq2 +
∂x
∂q3
dq3 ,
dy =
∂y
∂q1
dq1 +
∂y
∂q2
dq2 +
∂y
∂q3
dq3 ,
dz =
∂z
∂q1
dq1 +
∂z
∂q2
dq2 +
∂z
∂q3
dq3 . !"�-$
�������� 	
 �����
����� ��������
�� ��
����� ���� 	
���
	� ������ ���	� �	� 	������� ���	������	��	 ����
dxi =
3∑
j=1
∂xi
∂qj
dqj . �����
����	����	��	� ������	�	��� q2 	 q3 ��������	�� ������
dr = (dxi + dyj + dzk)q2,q3
=
(
∂x
∂q1
i +
∂y
∂q1
j +
∂z
∂q1
k
)
dq1
=
(
∂r
∂q1
)
q2,q3
dq1 . �����
 �	���
(
∂r
∂q1
)
q2,q3
� ���!	����" # ����� �	������ ��� r ��� q2 	 q3 ����$
����	�� %	������� ��� aˆ1 � �	��� ����&��� �� ���	��� �� 	�'� q1� ���	���
	���	�	�
aˆ1 =
1
h1
(
∂r
∂q1
)
q2,q3
=
1
h1
(
∂x
∂q1
i +
∂y
∂q1
j +
∂z
∂q1
k
)
, ���(�
���	
h1 =
∣∣∣∣∣
(
∂r
∂q1
)
q2,q3
∣∣∣∣∣ =
√(
∂x
∂q1
)2
+
(
∂y
∂q1
)2
+
(
∂z
∂q1
)2
, �����
� ��	
���
� ���� ������� �� ���	� 
� ����
��
������	
���� � ����� �����
���	�� ���� �� ����� q2 � q3 �	��	������
���� �� ������ ������� �	������� � ���������
aˆ2 =
1
h2
(
∂r
∂q2
)
q1,q3
=
1
h2
(
∂x
∂q2
i +
∂y
∂q2
j +
∂z
∂q2
k
)
, �����
aˆ3 =
1
h3
(
∂r
∂q3
)
q1,q2
=
1
h3
(
∂x
∂q3
i +
∂y
∂q3
j +
∂z
∂q3
k
)
, �����
h2 =
∣∣∣∣∣
(
∂r
∂q2
)
q1,q3
∣∣∣∣∣ =
√(
∂x
∂q2
)2
+
(
∂y
∂q2
)2
+
(
∂z
∂q2
)2
, �����
h3 =
∣∣∣∣∣
(
∂r
∂q3
)
q1,q2
∣∣∣∣∣ =
√(
∂x
∂q3
)2
+
(
∂y
∂q3
)2
+
(
∂z
∂q3
)2
. ������
�� ���������	
��	���
 ������ � 	
����
���
������ 
������ �������� �� ����� ���
�����
aˆi =
1
hi
3∑
j=1
∂xj
∂qi
xˆj , ������
h2i =
3∑
j=1
(
∂xj
∂qi
)2
, ������
���� (xˆ1, xˆ3, xˆ3) = (i, j,k)�
���� ������� �������� �� �������� ������� �� 
�
�� ����������� ���
����� ��
�������
��� �� ������� �� ����������� ������ �����
!����� � ���� "�� xˆi · xˆj = δij � � � �"��
#� ������� ����� "��
aˆi · aˆj =
(
1
hi
3∑
k=1
∂xk
∂qi
xˆk
)
·
(
1
hj
3∑
l=1
∂xl
∂qj
xˆl
)
,
=
1
hihj
3∑
k=1
3∑
l=1
∂xk
∂qi
∂xl
∂qj
xˆk · xˆl ,
=
1
hihj
3∑
k=1
3∑
l=1
∂xk
∂qi
∂xl
∂qj
δkl ,
=
1
hihj
3∑
k=1
∂xk
∂qi
∂xk
∂qj
. ����$�
%� ���������� "�� �� ����� ������� ����&���� �#� ����'������ �� ��(�� aˆi·aˆj =
δij � ���#�
1
hihj
3∑
k=1
∂xk
∂qi
∂xk
∂qj
= δij . ������
	����� Aij = (∂xi/∂qj)/hj � ��� �����) ����'�����
��� ������	
� �� 
�������	
� ����� � �
�
����
* ���
������� �� �� �������� �� ���� ds � ���� 
��
�������� 	
 �����
����� ��������
�� ��
ds2 = dr · dr
= (dx)2 + (dy)2 + (dz)2
=
3∑
i=1
dx2i .
������
	
��
� � ������� ������ ����
 ���
ds2 =
3∑
i=1
3∑
j=1
∂xi
∂qj
dqj
3∑
k=1
∂xi
∂qk
dqk
=
3∑
j=1
3∑
k=1
(
3∑
i=1
∂xi
∂qj
∂xi
∂qk
)
dqjdqk
=
3∑
j=1
3∑
k=1
hjhkδjkdqjdqk
=
3∑
j=1
h2jdq
2
j , ������
��
�� �� ��
���� 
� 
����
� ���� � �������� ����� �
���
 � ������� 
�
����������
�
� �������
� ������ ��
����
� 
����� ��� �� �
���� 
� ����
���
�
 ��� ��!����
�������� 
� ����� " �� ���������!��
� 
� ��
�
 h1dq1� h2dq2� � h3dq3�
#��
��$���������� � �������� 
� ����� �� ����
���
�
 ��� ��!���
 ��
�
�� �
����� ����
dV = h1h2h3dq1dq2dq3 . ����%�
&�� fi�� � �������� 
� (��� 
� �������� ��� 
�
 )���
 
� ���������!��
�
��( 
�
� ��� dσij = hihjdqidqj � ��� i �= j�
��� �����	
�	� 
��	��	
�	� 	 �������
��
*�+� ϕ(x, y, z) ��� )����� �
����� ��� 
��� �
�
 �������
 ����!���
� 	
��
�
� ����� 
� ��
���� ����
 ���
�� ���������	
��	���
 ������ � 	
����
���
∂ϕ
∂q1
=
∂ϕ
∂x
∂x
∂q1
+
∂ϕ
∂y
∂y
∂q1
+
∂ϕ
∂z
∂z
∂q1
=
(
∂ϕ
∂x
i +
∂ϕ
∂y
j +
∂ϕ
∂z
k
)
·
(
∂x
∂q1
i +
∂y
∂q1
j +
∂z
∂q1
k
)
= (∇ϕ) ·
(
∂r
∂q1
)
q2,q3
= (∇ϕ) · (h1aˆ1) . ������
�� ����� �������� 
������ ������� ���
∂ϕ
∂q2
= (∇ϕ) · (h2aˆ2) , ���� �
∂ϕ
∂q3
= (∇ϕ) · (h3aˆ3) . ���!"�
	� ��#� $������ ����
��� �#� ����
��� $����� � �%� ����� 
��
∇ϕ = 1
h1
∂ϕ
∂q1
aˆ1 +
1
h2
∂ϕ
∂q2
aˆ2 +
1
h3
∂ϕ
∂q3
aˆ3 . ���!��
	 fi� �� �'��� � ��
�������
%� �� ��(������� �� ����������� ���(��)*
���� �������� � ����� 
����������� ��� �� +�
%� ,��-� .��������� ��
�������� �� (����� �� ����������� ���(��)���� ���� ��������� �� /��� ����
0 fl�2� �)����� �� �� ���
� (������� u ����(3� ��� ����� �� !� � , 3 ����
��
Δ(u1h2h3)Δq2Δq3 =
Δ(u1h2h3)
Δq1
Δq1Δq2Δq3 ,
Δ(u2h1h3)Δq1Δq3 =
Δ(u2h1h3)
Δq2
Δq1Δq2Δq3 ,
Δ(u3h1h2)Δq1Δq2 =
Δ(u3h1h2)
Δq3
Δq1Δq2Δq3 . ���!!�
4� ����� ����������� � fl�2� �)����� ����� 
��� ��� ������� ����
[
∂(u1h2h3)
∂q1
+
∂(u2h1h3)
∂q2
+
∂(u3h1h2)
∂q3
]
dq1dq2dq3 =∇ · udV . ���!,�
5�� ����� ����� ������ � �2
����%� �� �������� �� (����� �� �����������
���(��)���� ����-�� �'�����
�������� 	
 �����
����� ��������
�� ��
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
������ 	
�� 
������� �� ������ �� ����������� �����������
∇ · u = 1
h1h2h3
[
∂(u1h2h3)
∂q1
+
∂(u2h1h3)
∂q2
+
∂(u3h1h2)
∂q3
]
. �	
�	�
� ������������ �� ���������� �� ����������� ����������� � �� ����
���� ��� ��!� � � ���!������ �� ����
 "���� #��
∇× u = 1
h1h2h3
∣∣∣∣∣∣
h1aˆ1 h2aˆ2 h3aˆ3
∂
∂q1
∂
∂q2
∂
∂q3
h1u1 h2u2 h3u3
∣∣∣∣∣∣ . �	
���
$� ��fi����� �� &� ������� �'
�(�) � ��� �� ��������*�� �� ��������� �
�� ���������� �� ����������� ����������� �	
��� � �	
�	�) ��� �����������)
����� #��
∇2ϕ =∇ · (∇ϕ) = 1
h1h2h3
[
∂
∂q1
(
h2h3
h1
∂ϕ
∂q1
)
+
∂
∂q2
(
h1h3
h2
∂ϕ
∂q2
)
+
∂
∂q3
(
h1h2
h3
∂ϕ
∂q3
)]
. �	
���
+�� �,!���� ���� -��*�� ������ � ����� � .�����/��� ����� ��� ����
����� �� ���fi��� �� ������ ��������� �� .�����
�� ���������	
��	���
 ������ � �	
����
��
��� �������	�	
 ���
�����	
�����
�� ����������������
x = ρ cosφ , y = ρ sinφ , z = z , ������
���� ρ ≥ 0� 0 ≤ φ ≤ 2π� −∞ ≤ z ≤ ∞ ���� �!� �����
ρ
k
ρ0
y
x
z
r
z
�
φ
φ0
 �!��� ���� "���������� ��
#��������
$���� �� 	����%��
r = ρ cosφi + ρ sinφj + zk
= ρρ0 + zk . ����&�
'(�������
h1 = 1 , h2 = ρ , h3 = 1 . ����)�
�
������ �� ��
����
�������� 	
 �����
����� ��������
�� ��
dV = ρdρdφdz . ������
	
��
�����
∇ψ = ρ0
∂ψ
∂ρ
+ φ0
1
ρ
∂ψ
∂φ
+ k
∂ψ
∂z
. ������
�
��
������
∇ · u = 1
ρ
∂
∂ρ
(ρuρ) +
1
ρ
∂uφ
∂φ
+
∂uz
∂z
. ������
�����
�����
∇× u = 1
ρ
∣∣∣∣∣∣
ρ0 ρφ0 k
∂
∂ρ
∂
∂φ
∂
∂z
uρ ρuφ uz
∣∣∣∣∣∣ . ������
������
����
∇2ψ = 1
ρ
∂
∂ρ
(
ρ
∂ψ
∂ρ
)
+
1
ρ2
∂2ψ
∂φ2
+
∂2ψ
∂z2
=
∂2ψ
∂ρ2
+
1
ρ
∂ψ
∂ρ
+
1
ρ2
∂2ψ
∂φ2
+
∂2ψ
∂z2
. ������
��� ������	
�
� ��
����
�
���� !�" �
��"#�
$��
��"�
x = r sin θ cosφ , y = r sin θ sinφ , z = r cos θ , ����%�
���� r ≥ 0& 0 ≤ θ ≤ π& 0 ≤ φ ≤ 2π ���
 '
�� �����
(���
 �� ��"
 )��
r = r sin θ cosφi + r sin θ sinφj + r cos θk
= rr0 . ������
*+�
��"�
h1 = 1 , h2 = r , h3 = r sin θ . ������
���$���� �� ����$��
dV = r2 sin θdrdθdφ . ����,�
�� ���������	
��	���
 ������ � 	
����
���
y
x
z
φ
θ
φ
o
θo
ro
(x, y, 0)
(x, y, z)
r
������ ���� ����������� ����������
����������
∇ψ = r0 ∂ψ
∂r
+ θ0
1
r
∂ψ
∂θ
+ φ0
1
r sin θ
∂ψ
∂φ
. ����� 
!�"��������
∇ · u = 1
r2 sin θ
[
sin θ
∂
∂r
(r2ur) + r
∂
∂θ
(sin θuθ) + r
∂uφ
∂φ
]
. ����# 
$����������
∇× u = 1
r2 sin θ
∣∣∣∣∣∣
r0 rθ0 r sin θφ0
∂
∂r
∂
∂θ
∂
∂φ
ur ruθ r sin θuφ
∣∣∣∣∣∣ . ����% 
&�
��������
∇2ψ = 1
r2
∂
∂r
(
r2
∂ψ
∂r
)
+
1
r2 sin θ
∂
∂θ
(
sin θ
∂ψ
∂θ
)
+
1
r2 sin2 θ
∂2ψ
∂φ2
. ����' 
��� ������	
� �� 
��������
(� )�� ����� �*��+�, �����-�� ����-�� ��� 
�����
��� �)��
��� ������������
������� �� �.�����
�������� 	
 �����
����� ��������
�� ��
������	 
� ��
�����
∇2ψ = 0 . ������
������	 
� �	���	��
∇2ψ = − ρ
�0
. ������
������	 
� 
�����	 ��
�
��
���� 
	 ���
	�
∇2ψ ± k2ψ = 0 . ������
������	 
� 
�����	 
�
��
���� 
	 ���
	�
∇2ψ = 1
a2
∂ψ
∂t
. ������
������	 
� ��� !
��"� �
− �
2
2m
∇2ψ + V ψ = Eψ . ����#�
$ ���%"���� ��� �����&�� ����� ' ψ� $	 ��	�(� �	� �� �����&�� �����)
������	� ��� �	 �� 
� � ����� � � �	����	 
�� �����&�� 
��� ������� 
� *
����� 
� � � �	����	 
� �����&�� 
��� ������� 	 
��+ ��� ���� ���
���� ����
	,-���(	 
	
� �� �������
	) ����
	*�� 	 �'�	
	 
� ��������� 	� 
����
����
�� � ����� � �	�	 ���� �'�	
	 �����	��) �	���
� ��	� � ������	 
� 
���*
��	 ��
�
��
���� 
	 ���
	 �	� 	 ����� ����� $ �
'�� ' ��
� � � ������	
�� � .� �����&�� 
��� ������� 	 
��+ ��� � ��
�
��
����� ��
� ���� �� ���
/���� (� �+(��� ��� �(��	�
ψ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z) . ����0�
��,�������
	 ���� ������	 �� ������) 	,���	�
Y Z
d2X
dx2
+ XZ
d2Y
dy2
+ XY
d2Z
dz2
+ k2XY Z = 0 , ������
	� ���
�
1
X
d2X
dx2
= −k2 − 1
Y
d2Y
dy2
− 1
Z
d2Z
dz2
. ����1�
�� ���������	
��	���
 ������ � 	
����
���
��� ��� ��� �� ����������� (x, y, z) ��� ����
��������� ����� �� �����
�� ����
�� ����� ����� ��� ������ � ��� ���������� �����
1
X
d2X
dx2
= −l2 ��� !"
−k2 − 1
Y
d2Y
dy2
− 1
Z
d2Z
dz2
= −l2 . ��� #"
$������%���� � &����� ��� ���� ����
���� ����'� 
������ ��������
1
Y
d2Y
dy2
= −k2 + l2 − 1
Z
d2Z
dz2
. ��� ("
)��������� �� ���� ��������� ����� �� ������� �� ����
�� ����� ���
������ �� ����� *���� ����������� �����
1
Y
d2Y
dy2
= −m2 , 1
Z
d2Z
dz2
= −n2 , ��� �"
���� k2 = l2 + m2 + n2�
+��� ���� ������ �� ������� (l,m, n) ������� ��� ����
�� ψlmn� ,���
� ����
�� ���� " ' ������ ���� ,�
-���� " �� ψ� ��� �������
�� ������ ��
����
��� ����'� ���. ��� ����
�� �� ����
�� ��*���������
ψ(x, y, z) =
∑
lmn
almnψlmn(x, y, z) . ��� "
	� ���������� (l,m, n)� � almn ��� ������������ �� ������ ��� �� ����
����	
 �	 �������� ��
����� ����� � *��
�� ψ(x, y, z)�� +��� � ��������
� ��� ' ��
������� ������ ' ��� �����*������� � 
������� �� ��������
��� ����
�� ��*�������� 
������ �� ����
�� �� ��/� ����
��� ��*���������
�����.�����
0��� &����� �1��
�� �
����2�� � 
�������� ��� �������� ����������� 3�2
�� ����� ��� � �������� ��%� ��*'����� 4���� ����� ������ � 5�
������� ��
����������� ��*'����� ����#"� 	 ����
�� �� ��*���� ����
������� �� ���
�
��� ��� ������� ����
1
r2
∂
∂r
(
r2
∂ψ
∂r
)
+
1
r2 sin θ
∂
∂θ
(
sin θ
∂ψ
∂θ
)
+
1
r2 sin2 θ
∂2ψ
∂φ2
+ k2ψ = 0 . ��� 6"
�
�� ������	
� �
 �������� �

Outros materiais