Séries Infinitas 2014.3_ 1ª parte

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�Faculdade de Tecnologia SENAI - CIMATEC
Engenharia: Civil, Elétrica e Mecânica	���
SÉRIES INFINITAS – 1ª parte
INTRODUÇÃO	
A soma de um número infinito de termos pode ser finita! Esta ideia, que à primeira vista talvez pareça paradoxal, desempenha um papel importante na Matemática e tem um grande número de aplicações práticas.
Uma sequência é uma lista infinita de números arranjados em ordem: . Isto é, uma sequência é uma sucessão. Uma série é uma soma infinita ordenada de números .
DEFINIÇÃO: Uma expressão da forma é chamada série infinita ou simplesmente série, onde os números são chamados termos e é chamado enésimo termo ou termo geral da série.
Essa série pode ser escrita compactamente usando a notação de somatório (sigma): 
Algumas vezes pode ser
conveniente começar o índice com , ou algum outro inteiro.
Exemplo:
ENTENDENDO SOMAS DE SÉRIES INFINITAS
Considere o decimal 
Como é impossível somar diretamente um número infinito de números, as somas de séries infinitas são definidas e calculadas por um processo indireto de limite. Vejamos:
Note que o decimal 
pode ser visto como a série infinita 
Considere, então, a seguinte sequência de somas infinitas:
A sequência de números pode ser vista como uma sucessão de aproximações da “soma” da série infinita, que queremos que seja . À medida que avançamos na sequência, cada vez mais termos da série infinita são usados e a aproximação fica cada vez melhor, sugerindo que a soma desejada de deva ser o limite desta sequência de aproximações.
Para ver que é isso o que ocorre, devemos calcular o limite do termo geral da sequência de aproximações, isto é, de
O problema de calcular é complicado pelo fato de que o último termo e o número de termos na soma varia com . É melhor reescrever tais limites em uma forma fechada na qual o número de termos não varie, se possível. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação (A) por para obter: 
Desta forma podemos definir:
 é a sequência das somas parciais, tais que:
É a partir dessa sequência que escrevemos a fórmula ou expressão das somas parciais para, daí então, calcular seu limite para definir sua convergência.
 
CONVERGÊNCIA OU DIVERGÊNCIA DE UMA SÉRIE INFINITA
Assim, para verificar se uma série infinita converge ou diverge, escrevemos uma expressão para a soma dos primeiros termos da série, como vimos no item anterior, e calculamos o seu limite quando .
Exemplos:
Investigue a convergência das séries a seguir:
(As operações algébricas que são válidas para somas finitas, não podem ser usadas nas séries infinitas).
Logo, 
Note que esse padrão continua indefinidamente: todas as somas parciais de ordem ímpar são iguais a 1 e todas as somas de ordem pares são nulas. Isso significa que o limite não existe e a série diverge:
Vamos determinar as primeiras somas parciais para chegar a uma expressão que represente a sequência dessas somas: 
Esse processo pode, muitas vezes, demandar tempo e certa dificuldade. Desta forma recorremos a outra maneira de cegar à expressão das somas parciais, como vimos no item anterior.
Note que cada termo da série é metade do termo anterior. Vamos multiplicar ambos os termos da soma parcial de ordem por .
Os fatores e são lineares e estão elevados a 1 (). Desta forma, cada fator contribui com um termo na decomposição em frações parciais pela Regra do Fator Linear (Ver Subsídio no final da apostila). Logo, a decomposição tem a forma:
Toda série da forma é denominada SÉRIE TELESCÓPICA e a sua enésima soma parcial é uma vez que todos os outros termos são eliminados. Essa série convergirá se, e somente se se aproximar de um número finito quando . Além disso, se a série convergir sua soma é .
PEOPRIEDADES DAS SÉRIES CONVERGENTES.
Interpretação: 
Quando multiplicamos uma série divergente por uma constante diferente de zero, obtemos uma série também divergente.
Se converge e diverge, então diverge.
EXERCÍCIOS
Aplicando as propriedades, determine a soma das séries abaixo
REINDEXAÇÃO
Podemos reindexar qualquer série sem alterar sua convergência.
Para aumentar (ou diminuir) o valor do índice em unidades, substituímos na fórmula por .
Exemplos:
SÉRIE GEOMÉTRICA
DEFINIÇÃO: Séries geométricas são séries da forma
Onde cada termo após o primeiro é obtido pela multiplicação por uma constante , denominada razão da série. Os números reais a e r são fixos e . A razão r pode ser positiva ou negativa (neste caso produz alternância de sinais algébricos).
Outros exemplos: 
+.... (Série geométrica de razão )
CONVERGÊNCIA OU DIVERGÊNCIA DE SÉRIES GEOMÉTRICAS
Demonstração:
(1º caso) 
O que prova a DIVERGÊNCIA
(2º caso) 
r
Subtraindo (B) de (A) (A – B)
Se , ou seja ou 
, oscila entre valores positivos e negativos. No caso diverge.
Assim, podemos definir o intervalo como sendo o intervalo de convergência de’ SÉRIES GEOMÉTRICAS.
Veremos mais adiante um caso especial quando .
Exemplos: 
Estudar a convergência das séries e calcular a soma, se possível
Note que cada termo, a partir do segundo é a metade do seu antecessor. Logo temos uma série geométrica de razão 
As séries a seguir são divergentes, já que 
As séries geométricas estão presentes em vários ramos da matemática e em muitas aplicações práticas do cálculo. Algumas dessa veremos a seguir: 
Expresse a dízima 0,080808... na forma de fração usando séries.
Um paciente recebe uma injeção de 20 unidades de um medicamento a cada 24h. O medicamento é eliminado exponencialmente de tal forma que a fração que permanece no corpo do paciente após t dias após a administração é Se o tratamento é mantido indefinidamente, quantas unidades do medicamento restam no corpo do paciente, a longo prazo, pouco antes de uma injeção?
Quantidade no corpo após t horas:
EXERCÍCIOS
Encontre o termo inicial e a razão de cada série geométrica, determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma (Munem e Foulis – Vol.2, pág. 624)
Verificar se converge ou diverge e calcular sua soma. 
Respostas
APLICAÇÃO
(Simmons-622) A probabilidade de fazer o ponto “8” no jogo de dados, ou seja, a probabilidade de conseguir um 8 duas jogadas antes de conseguir um 7, é dada por
(Simmons-623) Uma bomba de ar comum está evacuando um recipiente de volume . O cilindro da bomba, com o pistão em cima, tem volume e a massa total de ar no recipiente no princípio é . Na n-ésima bombeada, a massa de ar removida do recipiente é
Supondo que a bomba opere “para sempre”, qual é a massa total de ar removida do recipiente?
Encontre a geratriz de cada dízima periódica abaixo:
5,232323... b) 3,7222222... c) 0,777... d) 0,151515... e) 2,3070707... f) 
Suponha que, em média, 90% do que as pessoas recebem é consumido e 10% é poupado. Qual é o consumo gerado se o governo decide abrir mão de 40 bilhões de reais em impostos?
Um paciente recebe uma injeção de 10 unidades de um medicamento a cada 24h. O medicamento é eliminado exponencialmente de tal forma que a fração que permanece no corpo do paciente após t dias é Se o tratamento continua indefinidamente, quantas unidades do medicamento estão presentes, aproximadamente, no corpo do paciente, pouco antes de uma injeção? 
BIBLIOGRAFIAS CONSULTADAS
HOFFMANN, Laurence D; BRADLEY, Gerald L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações: tópicos avançados. 10. ed. – Rio de Janeiro: LTC, 2010. Pág. 63 a 103.
HOWARD, Anton; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. Vol. 2. 8 ed. – Porto Alegre: Bookman, 2007.
LARSON, Ron; HOSTETLER, Robert P.; EDWARDS, Bruce H. Cálculo. Vol. 2, 1. ed. – São Paulo: McGraw – Hill, 2006.LEITHOLD, L.; PATARRA, C. C.; FERREIRA, W. C.; PREGNOLATTO, S. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 2. 3. Ed. São Paulo: Harbra, 1994.
MUNEM & FOULIS. Cálculo. Vol.2 – pág. 621 a 631
SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. Vol. 2. São Paulo: Pearson Makron Books, 1988. Pág. 6 – 66.
STEWART, James. Cálculo. Vol. 1. 3 ed. – São Paulo: Thomson Pioneira, 2002.
THOMAS, George B. Cálculo. Vol.2 – pág. 26 a 35.
Cálculo C – ANO: 2014 – FTSC / Professor Paulo Henrique Farias Xavier	Página � PAGE \* MERGEFORMAT �1�