Alg_Aula05_transformacoes_lineares_exercicios

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Álgebra Linear
Exercícios sobre
Transformações Lineares
Álgebra Linear
Exercícios sobre
Transformações Lineares
Prof. André Tiba
akot@cin.ufpe.br
Baia 65, ramais: 4765 ou 4338
1
Exercício 1
Qual a transformação linear T: R2→R4 tal que T(2,1) = (1,0,1,1) e
T( 1, 2) = (0,0,1,1) ?
Deseja-se encontrar a transformação T tal que:
T(v1) = w1 e T(v2) = w2
v1= (2,1), v2=(–1,2), w1 =(1,0,1,-1) , w2 =(0,0,1,1)
Solução 1:
2
Deseja-se encontrar a transformação T tal que:
T(v1) = w1 e T(v2) = w2
v1= (2,1), v2=(–1,2), w1 =(1,0,1,-1) , w2 =(0,0,1,1)
(2,1) = 2.(1, 0) + 1.(0, 1)
T(2,1) = 2.T(1, 0) + 1.T(0,1) = (1, 0, 1, –1)
(–1,2) = – 1.(1, 0) + 2.(0, 1)
T(–1, 2) = –1.T(1, 0) + 2.T(0, 1) = (0, 0, 1, 1)
Exercício 1 (continuação)
onde Tij = T(i,j)T21 = 2T10 + T01T-12 =  T10+ 2T01







 12
21
01
10
21
12
T
T
T
T



 12
21
21
12
T
T L1 = L1/2
3
L1 = L1  L2/2



 12
21
21
2/2/11
T
T
L2 =(2/5) L2


 1221
21
2/2/50
2/2/11
TT
T



  5/)2(10
2/2/11
1221
21
TT
T







5/)2(10
10/)2(401
1221
1221
TT
TT









5/)2(
10/)2(4
1321
1321
01
10
TT
TT
T
T
L2 = L2 + L1
mas T(2,1) = (1,0,1,1) e
T(1, 3) = (0,0,1,1)
Exercício 1 (continuação)
 
  

 






5/1,5/3,0,5/1
5/3,5/1,0,5/2
5/))1,1,0,0(2)1,1,0,1((
10/))1,1,0,0(2)1,1,0,1((4
01
10
T
T
Seja um vetor (x,y) qualquer do R2:
(x,y) = x.(1,0) + y.(0,1)
T(x,y) = x.T(1,0) + y.T(0,1)
T(x,y) = x.T10 + y.T01
T(x,y) = x.(2/5, 0, 1/5, 3/5) + y .(1/5, 0, 3/5, 1/5)
T(x,y) = ((2x+ y)/5, 0, (x + 3y)/5, (3x+y)/5)
4
Seja um vetor (x,y) qualquer do R2:
(x,y) = x.(1,0) + y.(0,1)
T(x,y) = x.T(1,0) + y.T(0,1)
T(x,y) = x.T10 + y.T01
T(x,y) = x.(2/5, 0, 1/5, 3/5) + y .(1/5, 0, 3/5, 1/5)
T(x,y) = ((2x+ y)/5, 0, (x + 3y)/5, (3x+y)/5)
T(2,1) = ((2.2+ 1)/5, 0, (2 + 3.1)/5, (3.2 + 1)/5) = (1, 0, 1, 1)
T(1,2) = ((2.(1)+ 2)/5, 0, (1 + 3.2)/5, (3.(1) + 2)/5) = (0, 0, 1, 1)
Exercício 2
Qual a transformação linear T: R3→R2 tal que T(1, 0, 1) = (2, 1)
T(2, 1, 0) = (0, 1) e T(1, 0, 3) = (1, 1) ?
Deseja-se encontrar a transformação T tal que:
T(v1) = w1, T(v2) = w2 e T(v3) = w3
v1= (1,0,1),v2=(2,–1,0), v3=(1,3,0), w1 =(2,–1) , w2 =(0,1) e w3 = (1,1)
Solução 1:
5
Deseja-se encontrar a transformação T tal que:
T(v1) = w1, T(v2) = w2 e T(v3) = w3
v1= (1,0,1),v2=(2,–1,0), v3=(1,3,0), w1 =(2,–1) , w2 =(0,1) e w3 = (1,1)
(1, 0, 1) = (1, 0, 0) + (0, 0, 1)
T(1, 0, 1) = T(1, 0, 0) + T(0, 0, 1) = (2, –1)
(2, –1, 0) = 2(1, 0, 0) – 1(0, 1, 0)
T(2, –1, 0) = 2T(1, 0, 0) – T(0, 1, 0) = (0, 1)
(1, 0, 3) = (1, 0, 0) + 3(0, 1, 0)
T(1, 0, 3) = T(1, 0, 0) + 3T(0, 0, 1) = (1, 1)
Exercício 2 (continuação)
onde Tijz = T(i,j,k)
T101 = T100 + T001T2-10 = 2T100  T010T103 = T100 + 3T001

























 
130
102
101
001
010
100
301
012
101
T
T
T
T
T
T








 
130
102
101
301
012
101
T
T
T
L2 = L2 – 2L1
L3 = L3 – L1
6

























 
130
102
101
001
010
100
301
012
101
T
T
T
T
T
T








 
130
102
101
301
012
101
T
T
T
L3 = L3 – L1









 
101130
101102
101
2
200
210
101
TT
TT
T L1 = L1 – L3/2
L2 = L2 + L3











 
101130
101130102
101130
3
2/)3(
200
010
001
TT
TTT
TT
L2 = – L2
L3 = L3/2 




















2/)(
3
2/)3(
101130
102101130
101130
001
010
100
TT
TTT
TT
T
T
T
Exercício 2 (continuação)
mas T130 = (1,1), T101 = (2,1) eT2-10 = (0,1)




















2/)(
3
2/)3(
101130
102101130
101130
001
010
100
TT
TTT
TT
T
T
T
 
 
 































1,2/1
5,5
2,2/5
2/))1,2()1,1((
)1,0()1,2(3)1,1(
2/))1,2(3)1,1((
001
010
100
T
T
T
7
Seja um vetor (x,y,z) qualquer do R3:
(x,y,z) = x.(1,0,0) + y.(0,1,0) + z.(0,0,1)
T(x,y,z) = x.T(1,0,0) + y.T(0,1,0) + z.T(0,0,1)
T(x,y,z) = x.T100 + y.T010 + z. T001
T(x,y,z) = x.(5/2, 2) + y .(5, 5) + z.(1/2, 1)
T(x,y,z) = (5x/2 + 5y  z /2, 2x  5y + z)
 
 
 































1,2/1
5,5
2,2/5
2/))1,2()1,1((
)1,0()1,2(3)1,1(
2/))1,2(3)1,1((
001
010
100
T
T
T
Exercício 3
Ache a aplicação linear T, que representa uma contração de 2-1/2
seguida por uma rotação horária de 45º.
v T(v)T   

 2,2,T2
1 yxyx
8
cos2sin2
sin2cos2
2/
2/















yx
yx
y
x rotação horária de 45º
  = -45º = - /4


 


  2,22
2
22
2
2,2
2
22
2
2),(
yxyxyxyxyxT
Exercício 4
Sejam:  ={(1,1),(0,2)} e ’ ={(1,0,1),(0,1,2), (1,2,0)}, bases de
R2 e R3, e a matriz:
Então:
a) Ache T
b) Se S(x,y) = (2y, x – y, x), ache
c) ker T, Im T, ker S e Im S
 










1
1
0
0
1
1
T '
9
Então:
a) Ache T
b) Se S(x,y) = (2y, x – y, x), ache
c) ker T, Im T, ker S e Im S
  'S
Exercício 4 (continuação)
Letra a)
 










1
1
0
0
1
1
T ' ={(1,1),(0,2)} e ’ ={(1,0,1),(0,1,2), (1,2,0)}
T(1,–1) = 1.(1, 0, –1) + 1.(0, 1, 2) + 0.(1, 2, 0) = (1, 1, 1)
T(0,2) = 0.(1, 0, –1) + 1.(0, 1, 2) – 1.(1, 2, 0) = (–1, –1, 2)
10
T(1,–1) = 1.(1, 0, –1) + 1.(0, 1, 2) + 0.(1, 2, 0) = (1, 1, 1)
T(0,2) = 0.(1, 0, –1) + 1.(0, 1, 2) – 1.(1, 2, 0) = (–1, –1, 2)
Seja (x,y) um vetor do R2, podemos escrevê-lo em termos da
base  como:
(x,y) = a(1,–1) + b(0,2) = (a, –a + 2b) a = x e b = (y + x)/2
(x,y) = x.(1,–1) + (½).(y + x).(0,1)
Exercício 4 (continuação)
Aplicando T a equação,
T(x,y) = x.T(1,–1) + (½).(y + x).T(0,2)
T(x,y) = x.(1, 1, 1) + (½).(y + x).(–1, –1, 2)


  yxyxyxyxT 2,2,2),(
11


  yxyxyxyxT 2,2,2),(
Exercício 4 (continuação)
Letra b)
 ={(1,1),(0,2)} e ’ ={(1,0,1),(0,1,2), (1,2,0)}
S(x,y) = (2y, x – y, x)
Precisamos achar o vetor de coordenadas [v]’ para um vetorqualquer v = (x,y,z) do R3.
S(1, –1) = (–2, 2,1) S(0, 2) = (4, –2, 0)
12
Precisamos achar o vetor de coordenadas [v]’ para um vetorqualquer v = (x,y,z) do R3.

























z
y
x
c
b
a
021-
210
101








 z
y
x
021
210
101
L3 = L3 + L1
(x,y,z) = a(1,0,–1) + b(0,1,2) + c(1,2,0)
Exercício 4 (continuação)








 zx
y
x
120
210
101








 yzx
y
x
2300
210
101
L3 =  L3/3








 3/)2(100
210
101
zyx
y
x L1 = L1  L3











3/)2(
3/)22(
3/)24(
100
010
001
zyx
zyx
zyx
L3 = L3  2L2
13
L2 = L2  2L3








 3/)2(100
210
101
zyx
y
x










3/)2(
3/)22(
3/)24(
100
010
001
zyx
zyx
zyx
 












3/)2(
3/)22(
3/)24(
),,( '
zyx
zyx
zyx
zyx v
Exercício 4 (continuação)
 












3/)2(
3/)22(
3/)24(
),,( '
zyx
zyx
zyx
zyx v
 









0
0
1
)1(1,0, '  









0
1
0
)0(1,2, '
Vamos testar para verificar se
[v = (x,y,z)]’ foi encontradocorretamente. Para isso, basta
jogar os vetores da base ’.
 









1
0
0
(0,1,2) '
14
 









0
0
1
)1(1,0, '  









0
1
0
)0(1,2, '
Teste ok ! Agora substitui os vetores: (–2, 2,1) e (4, –2, 0).
 









1
0
0
(0,1,2) '
 











3/5
3/1
3/11
)1,2,2( '
 










3/8
3/10
3/20
)02,(4, '
 












3/8
3/10
3/20
3/5
3/1
3/11
'

s
Exercício 4 (continuação)
Letra c)
Encontrar ker T, Im T, ker S e Im S
Seja T:V → W
 Im(T) = {wW ; T(v) = w para algum vV}
 ker T = {vV ; T(v) = 0}
15


  yxyxyxyxT 2,2,2),(
Seja T:V → W
 Im(T) = {wW ; T(v) = w para algum vV}
 ker T = {vV ; T(v) = 0}



 

  yxyxyxyxRT ,;2,2,2:Im
3 ww







 



 1,2
1,2
1,2,2
1,2
1,;1,2
1,2
12,2
1,2
1Im yxyxT
dim (Im T) = 2
Exercício 4 (continuação)



 

  yxyxyxyxyxTRT ,);0,0,0(2,2,2),(:ker
2v
  )0,0()0,0(:),(ker  yxT dim (ker T) = 0
Observe o teorema: dim (ker T) + dim (Im T) = dim V
2 + 0 = 2
16
Observe o teorema: dim (ker T) + dim (Im T) = dim V
2 + 0 = 2
S(x,y) = (2y, x – y, x)
   yxxyxyRS ,;,,2:Im 3 ww
        0,1,2,1,1,0,;0,1,21,1,0Im  yxyxS
dim (Im T) = 2
Exercício 4 (continuação)
   yxxyxyyxTRS ,);0,0,0(2,,2),(:ker 2v
  )0,0()0,0(:),(ker  yxT dim (ker S) = 0
Observe o teorema: dim (ker S) + dim (Im S) = dim V
2 + 0 = 2
17
Observe o teorema: dim (ker S) + dim (Im S) = dim V
2 + 0 = 2
Exercício 5
Seja a transformação linear T: R3→R3 tal que
T(x,y,z) = (z, x  y, z)
Determine:
a) Uma base do núcleo de T
b) A dimensão da Imagem de T
c) T é sobrejetora ?
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Determine:
a) Uma base do núcleo de T
b) A dimensão da Imagem de T
c) T é sobrejetora ?
Exercício 5
Letra a):
Seja T:V → W
 Im(T) = {wW ; T(v) = w para algum vV}
 ker T = {vV ; T(v) = 0}
T(x,y,z) = (z, x  y, z)  V = W = R3
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Seja T:V → W
 Im(T) = {wW ; T(v) = w para algum vV}
 ker T = {vV ; T(v) = 0}
T(x,y,z) = (z, x  y, z)  V = W = R3
   zyxzyxzzyxTRTker ,,);0,0,0(,,),,(:3v
  )0,1,1()0,0,0(),,(:)0,1,1(  zyxzTker
dim (ker T) = 1
Exercício 5
Letra b):
Seja T:V → W
 Im(T) = {wW ; T(v) = w para algum vV}
 ker T = {vV ; T(v) = 0}
T(x,y,z) = (z, x  y, z)  V = W = R3
20
Seja T:V → W
 Im(T) = {wW ; T(v) = w para algum vV}
 ker T = {vV ; T(v) = 0}
T(x,y,z) = (z, x  y, z)  V = W = R3
   zyxzyxzzyxTRTIm ,,;,,),,(:3v
  )1,0,1(),0,1,0()1,0,1()0,1,0()0,1,0(:),,(  zyxzyxmTI
dim (Im T) = 2
Exercício 5
Letra c):
Seja T:V → W
 Im(T) = {wW ; T(v) = w para algum vV}
 ker T = {vV ; T(v) = 0}
T(x,y,z) = (z, x  y, z)  V = W = R3
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dim W = 3
Seja T:V → W
 Im(T) = {wW ; T(v) = w para algum vV}
 ker T = {vV ; T(v) = 0}
dim (Im T) = 2
Uma transformação T:V→W, dizemos que T é sobrejetora se a
imagem de T coincidir com W, ou seja T(V) = W.
T(x,y,z) = (z, x  y, z)  V = W = R3
Não é sobrejetora pois
dim (Im T)  dim W