Alg_Aula04_Espaco_Vetorial

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Álgebra Linear
Espaço Vetorial
Álgebra Linear
Espaço Vetorial
Prof. André Tiba
akot@cin.ufpe.br
Baia 65, ramais: 4765 ou 4338
esta aula baseia-se nas notas de aula gentilmente cedidas pelo professor Carlos Mello1
Espaço Vetorial
1. Definição
2. Subespaços Vetoriais
3. Combinação Linear
4. Dependência e Independência Linear
5. Base
6. Mudança de Base
7. Inversa da Matriz Mudança de Base
8. Exercícios
1. Definição
2. Subespaços Vetoriais
3. Combinação Linear
4. Dependência e Independência Linear
5. Base
6. Mudança de Base
7. Inversa da Matriz Mudança de Base
8. Exercícios
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Espaço Vetorial: definição
• Definição: Um espaço vetorial real, é um conjunto V,
não vazio, com duas operações: soma, V x V  V, e
multiplicação por escalar, R x V  V, tais que, para
quaisquer u, v, w  V e a, b  R, as seguintes
propriedades sejam satisfeitas:
• Definição: Um espaço vetorial real, é um conjunto V,
não vazio, com duas operações: soma, V x V  V, e
multiplicação por escalar, R x V  V, tais que, para
quaisquer u, v, w  V e a, b  R, as seguintes
propriedades sejam satisfeitas:
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Espaço Vetorial: definição
• Propriedades:
 i. (u + v) + w = u + (v + w)
 ii. u + v = v + u
 iii. Existe 0  V tal que u + 0 = u
• 0 é o vetor nulo
 iv. Existe –u  V tal que u + (-u) = 0
 v. a(u + v) = au + av, a escalar
 vi. (a + b)v = av + bv, a, b escalares
 vii. (ab)v = a(bv)
 viii. 1.u = u
• Propriedades:
 i. (u + v) + w = u + (v + w)
 ii. u + v = v + u
 iii. Existe 0  V tal que u + 0 = u
• 0 é o vetor nulo
 iv. Existe –u  V tal que u + (-u) = 0
 v. a(u + v) = au + av, a escalar
 vi. (a + b)v = av + bv, a, b escalares
 vii. (ab)v = a(bv)
 viii. 1.u = u
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Espaço Vetorial: definição
• Designamos por vetor um elemento do espaço vetorial V.
• Espaço vetorial, é um termo genérico, que pode ser
designado para representar diferentes tipos de conjuntos,
tais como:
– Conjuntos de pontos: no R2, no R3 ou no Rn;
– Conjuntos de matrizes: 2x2, mxn, diagonais, triangulares, etc...
– Conjuntos de funções: polinômiais, trigonométricas, etc ...
• Designamos por vetor um elemento do espaço vetorial V.
• Espaço vetorial, é um termo genérico, que pode ser
designado para representar diferentes tipos de conjuntos,
tais como:
– Conjuntos de pontos: no R2, no R3 ou no Rn;
– Conjuntos de matrizes: 2x2, mxn, diagonais, triangulares, etc...
– Conjuntos de funções: polinômiais, trigonométricas, etc ...
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Espaço Vetorial: definição
• Exemplo 1: Seja V o espaço vetorial das matrizes reais
2x2, ou seja V = M(2,2).
– Para que V seja, de fato, um espaço vetorial, devemos provar
que as propriedades i)-viii) sejam satisfeitas.
– Assuma que a operação de soma seja a adição de matrizes e a
operação do produto como a multiplicação de matrizes por um
escalar.
– Dessa forma, sejam u, v e w  V, tal que:
– e a e b valores reais, então,
• Exemplo 1: Seja V o espaço vetorial das matrizes reais
2x2, ou seja V = M(2,2).
– Para que V seja, de fato, um espaço vetorial, devemos provar
que as propriedades i)-viii) sejam satisfeitas.
– Assuma que a operação de soma seja a adição de matrizes e a
operação do produto como a multiplicação de matrizes por um
escalar.
– Dessa forma, sejam u, v e w  V, tal que:
– e a e b valores reais, então,
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


2221
1211
uu
uuu 


2221
1211
vv
vvv 


2221
1211
ww
www
Espaço Vetorial: definição
• Exemplo 1(cont.):
– axioma 1: (u + v) + w = u + (v + w) (prova)
 
   
   
   
   
   
   
   
   
 wvu
wvu















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




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




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
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











2221
1211
2221
1211
2221
1211
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12121111
2221
1211
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121212111111
222222212121
121212111111
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1211
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12121111
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1211
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1211
2221
1211
ww
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vv
vv
uu
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wvwv
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uu
uu
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ww
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vv
vv
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uu
7
 
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 wvu
wvu













































2221
1211
2221
1211
2221
1211
22222121
12121111
2221
1211
222222212121
121212111111
222222212121
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22222121
12121111
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2221
1211
ww
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vv
vv
uu
uu
wvwv
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uu
uu
wvuwvu
wvuwvu
wvuwvu
wvuwvu
ww
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vuvu
vuvu
ww
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vv
vv
uu
uu
Espaço Vetorial: definição
• Exemplo 1(cont.):
– axioma 2: u + v = v + u (prova)
uv
vu












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




2221
1211
2221
1211
22212121
12121111
21222121
12121111
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2221
1211
uu
uu
vv
vv
uvuv
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vuvu
vuvu
vv
vv
uu
uu
8
uv
vu


















2221
1211
2221
1211
22212121
12121111
21222121
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2221
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uu
uu
vv
vv
uvuv
uvuv
vuvu
vuvu
vv
vv
uu
uu
– axioma 3: Existe um elemento 0 em V, chamado um vetor nulo
para V, tal que u + 0 = u para todo u em V. (prova)
u0uu
0










2221
1211
2221
1211
00
00,
Então,.00
00Seja
uu
uu
uu
uuV
Espaço Vetorial: definição
• Exemplo 1(cont.):
– axioma 4: Para todo u  V, existe um objeto –u  V, chamado
oposto, negativo ou simétrico de u, tal que u + (-u) = 0.
 
0
uuu
u

























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
00
00
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Então,.Seja
22222121
12121111
22222121
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1211
uuuu
uuuu
uuuu
uuuu
uu
uu
uu
uuV
uu
uu
• Exemplo 1(cont.):
– axioma 4: Para todo u  V, existe um objeto –u  V, chamado
oposto, negativo ou simétrico de u, tal que u + (-u) = 0.
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 
0
uuu
u













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
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1211
uuuu
uuuu
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uuuu
uu
uu
uu
uuV
uu
uu
Espaço Vetorial: definição
• Exemplo 1(cont.):
– axioma 5: k (u + v) = k u + k v , onde k  R
uv
vu
kkkuku
kuku
kvkv
kvkv
kukvkukv
kukvkukv
vuvu
vuvukvv
vv
uu
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








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




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
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



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1211
2221
1211
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12121111
2221
1211
2221
1211)(
10
uv
vu
kkkuku
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kvkv
kvkv
kukvkukv
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vuvu
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





















2221
1211
2221
1211
22212121
12121111
21222121
12121111
2221
1211
2221
1211)(
Espaço Vetorial: definição
• Exemplo 1(cont.):
– axioma 6: (k+l)u = k u + k u , onde k ,l  R
         
uu
u
lklulu
lulu
kuku
kuku
lukuluku
lukuluku
ulkulk
ulkulk
uu
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















2221
1211
2221
1211
22222121
12121111
2221
1211
2221
1211
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– axioma 7: k(lu) = (kl)u , onde k ,l  R
          
uu
u
lklulu
lulu
kuku
kuku
lukuluku
lukuluku
ulkulk
ulkulk
uu
uulklk













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2221
1211
2221
1211
22222121
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1211
2221
1211
 
u
u
)()()()(
)()(
2221
1211
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1211
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1211
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1211
kluu
uukluklukl
uklukl
kluklu
kluklu
lulu
luluklk










Espaço Vetorial: definição
• Exemplo 1(cont.):
– axioma 8: 1u = u
uu 






2221
1211
2221
1211
2221
1211
11
1111 uu
uu
uu
uu
uu
uu
12
• Como V = M(2,2) satisfaz as propriedades i)-viii), V é
um espaço vetorial.
Espaço Vetorial: definição
• Exemplo 2(contra-exemplo): um conjunto que não é um
espaço vetorial:
 Seja u = (u1, v1) e v = (v2, v2)
 Seja V = R2 tal que a adição e multiplicação são definidas como:
• u + v = (u1 + u2, v1 + v2)
• k.u = (ku1, 0)
 Nesse caso, o axioma 8 não vale, pois:
• 1u = 1(u1, u2) = (u1, 0)  u
 Logo V não é um espaço vetorial.
• Exemplo 2(contra-exemplo): um conjunto que não é um
espaço vetorial:
 Seja u = (u1, v1) e v = (v2, v2)
 Seja V = R2 tal que a adição e multiplicação são definidas como:
• u + v = (u1 + u2, v1 + v2)
• k.u = (ku1, 0)
 Nesse caso, o axioma 8 não vale, pois:
• 1u = 1(u1, u2) = (u1, 0)  u
 Logo V não é um espaço vetorial.
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Espaço Vetorial: subespaço vetorial
Definição: Seja V um espaço vetorial e W um subconjunto
de V não vazio. W será um subespaço vetorial de V se:
i) Para quaisquer u, v W, tivermos u + v  W.
ii) Para quaisquer a  R, u  W, tivermos au W.
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Definição: Seja V um espaço vetorial e W um subconjunto
de V não vazio. W será um subespaço vetorial de V se:
i) Para quaisquer u, v W, tivermos u + v  W.
ii) Para quaisquer a  R, u  W, tivermos au W.
Espaço Vetorial: subespaço vetorial
Observações decorrentes da definição do subespaço W:
1) Garante que ao realizar uma operação de soma ou
multiplicação por um escalar, o vetor resultante sempre estará
dentro de W.
 Isso é suficiente para afirmar que W é ele mesmo um espaço vetorial,
pois assim as operações ficam bem definidas.
 Assim, não é preciso verificar novamente as propriedades (i) a (viii) de
espaço vetorial porque como elas são válidas em V, também são válidas
paraW (que está contido em V).
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Observações decorrentes da definição do subespaço W:
1) Garante que ao realizar uma operação de soma ou
multiplicação por um escalar, o vetor resultante sempre estará
dentro de W.
 Isso é suficiente para afirmar que W é ele mesmo um espaço vetorial,
pois assim as operações ficam bem definidas.
 Assim, não é preciso verificar novamente as propriedades (i) a (viii) de
espaço vetorial porque como elas são válidas em V, também são válidas
paraW (que está contido em V).
Espaço Vetorial: subespaço vetorial
Observações decorrentes da definição do subespaço W:
2) Qualquer subespaço W de V, precisa necessariamente conter o
vetor nulo (por causa da condição (ii) da definição quando
a = 0).
3) Todo espaço vetorial admite, pelo menos, dois subespaços
(chamados de subespaços triviais):
 O conjunto formado apenas pelo vetor nulo;
 O próprio espaço vetorial.
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Observações decorrentes da definição do subespaço W:
2) Qualquer subespaço W de V, precisa necessariamente conter o
vetor nulo (por causa da condição (ii) da definição quando
a = 0).
3) Todo espaço vetorial admite, pelo menos, dois subespaços
(chamados de subespaços triviais):
 O conjunto formado apenas pelo vetor nulo;
 O próprio espaço vetorial.
Espaço Vetorial: subespaço vetorial
Exemplo 1: V = R3 e W  V, um plano passando pela origem
A origem (0,0,0) necessariamente está
contida em W. Se ela não tivesse, W
não seria subespaço de V.
Seja o espaço vetorial do R3, seus
possíveis subespaços W são:
17
W
Exemplo 1: V = R3 e W  V, um plano passando pela origem
A origem (0,0,0) necessariamente está
contida em W. Se ela não tivesse, W
não seria subespaço de V.
Seja o espaço vetorial do R3, seus
possíveis subespaços W são:
a) a origem (0,0,0);
b) qualquer reta que passe pela origem;
c) qualquer planos que contenha a
origem.
Espaço Vetorial: subespaço vetorial
• Exemplo 2: V = R5 e W = {(0,x2,x3,x4,x5); xiR}
 W é o conjunto de vetores de R5 com a primeira coordenada nula;
 Vamos verificar as condições (i) e (ii):
 (i) Sejam u = (0, x2, x3, x4, x5) e v = (0, y2, y3, y4, y5) W
Então u+v=(0, x2+y2, x3+y3, x4+y4, x5+y5) W.
 (ii) Seja k  R, então ku = (0, kx2, kx3, kx4, kx5)  W.
 Portanto,W é subespaço vetorial de R5.
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• Exemplo 2: V = R5 e W = {(0,x2,x3,x4,x5); xiR}
 W é o conjunto de vetores de R5 com a primeira coordenada nula;
 Vamos verificar as condições (i) e (ii):
 (i) Sejam u = (0, x2, x3, x4, x5) e v = (0, y2, y3, y4, y5) W
Então u+v=(0, x2+y2, x3+y3, x4+y4, x5+y5) W.
 (ii) Seja k  R, então ku = (0, kx2, kx3, kx4, kx5)  W.
 Portanto,W é subespaço vetorial de R5.
Espaço Vetorial: subespaço vetorial
• Exemplo 3 (contra-exemplo): V = R2 e W = {(x,x2) | xR}
 Se W um subespaço vetorial de V, as operações de adição e
multiplicação por escalar devem ser válidas. Vamos testar:
 (i) Sejam u = (1, 1)  W, e v = (2, 4)  W
Então u+v=(1+2,1+4) = (3,5) mas (3,5)  W.
 Como (i) não é satisfeito, W não é subespaço vetorial de V.
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• Exemplo 3 (contra-exemplo): V = R2 e W = {(x,x2) | xR}
 Se W um subespaço vetorial de V, as operações de adição e
multiplicação por escalar devem ser válidas. Vamos testar:
 (i) Sejam u = (1, 1)  W, e v = (2, 4)  W
Então u+v=(1+2,1+4) = (3,5) mas (3,5)  W.
 Como (i) não é satisfeito, W não é subespaço vetorial de V.
Espaço Vetorial: subespaço vetorial
• Exemplo 4 (contra-exemplo): V = M(2,2) e W são as
matrizes de V tal que a11  0.
• Sejam Wu 

 13
12 Wv 

 40
21 3k
20
Wvui 





 53
33
4103
2112)(
Wkuii 





 13
12
13
12)3()(
 Como (ii) não é satisfeito, W não é subespaço vetorial de V.
Espaço Vetorial: subespaço vetorial
Teorema (Interseção de subespaços): Dados W1 e W2subespaços de um espaço vetorial V, a interseção W1  W2ainda é um subespaço de V.
Observe que W1  W2 nunca é vazio já que eles sempre contêm,pelo menos, o vetor nulo.
Prova (i): sejam x, y W1 e x, y W2
21
Prova (i): sejam x, y W1 e x, y W2
como x, y W1 , então x + y  W1
como x, y W2 , então x + y  W2
assim, x + y W1 W2
Prova (ii): sejam k  R e x  W1 , x W2
como x  W1 , então kx W1
como x  W2 , então kx W2
assim, kx W1 W2
Espaço Vetorial: subespaço vetorial
• Exemplo 5 : V = R3, W1 W2 é a reta r de interseção dos
planos W1 e W2 .
W1
W2
W1
W2
r: W1  W2
22
• Exemplo 6 : V = M(n,n)
• W1 = {matrizes triangulares superiores}
• W2 = {matrizes triangulares inferiores}
• W1 W2 = {matrizes diagonais}
Espaço Vetorial: subespaço vetorial
Embora a interseção de subespaços vetoriais gere um
subespaço vetorial, isso necessariamente não acontece com
a união de subespaços vetoriais.
Teorema (Soma de subespaços vetoriais): Sejam W1 e W2subespaços de um espaço vetorial V. Então o conjunto
W1 + W2 = {vV; v = w1 + w2, w1W1, w2W2}
é subespaço de V
23
Embora a interseção de subespaços vetoriais gere um
subespaço vetorial, isso necessariamente não acontececom
a união de subespaços vetoriais.
Teorema (Soma de subespaços vetoriais): Sejam W1 e W2subespaços de um espaço vetorial V. Então o conjunto
W1 + W2 = {vV; v = w1 + w2, w1W1, w2W2}
é subespaço de V
Espaço Vetorial: subespaço vetorial
• Exemplo 7: se W1 e W2 são duas retas, W = W1+W2 é o
plano que contém estas retas.






 001
baW• Exemplo 8:






 dcW
00
2 onde a, b, c, d  R
24






 001
baW






 dcW
00
2 onde a, b, c, d  R
Então, )2,2(21 Mdc
baWW 







Observação: Quando W1 ∩ W2 = {0}, então W1 + W2 é chamado
soma direta de W1 comW2, denotado por W1 W2.
Espaço Vetorial: combinação linear
• Definição: Sejam V um espaço vetorial real, e v1, v2, ..., vn  V.Sejam ainda a1, a2, ..., an números reais. Então o vetor v  V pode serescrito como:
v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn
onde v é uma combinação linear dos vetores v1, v2, ..., vn.
• Uma vez escolhidos os vetores v1, v2, ..., vn de V, o conjunto Wformado por todos os vetores de V que são combinações lineares dos n
vetores, é um subespaço vetorial de V.
• W é chamado de subespaço gerado por v1, v2, ..., vn
• W = [v1, v2, ..., vn] = {v  V; v = a1v1 +... +anvn, ai  R, 1 i  n}.
25
• Definição: Sejam V um espaço vetorial real, e v1, v2, ..., vn  V.Sejam ainda a1, a2, ..., an números reais. Então o vetor v  V pode serescrito como:
v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn
onde v é uma combinação linear dos vetores v1, v2, ..., vn.
• Uma vez escolhidos os vetores v1, v2, ..., vn de V, o conjunto Wformado por todos os vetores de V que são combinações lineares dos n
vetores, é um subespaço vetorial de V.
• W é chamado de subespaço gerado por v1, v2, ..., vn
• W = [v1, v2, ..., vn] = {v  V; v = a1v1 +... +anvn, ai  R, 1 i  n}.
Espaço Vetorial: combinação linear
• Exemplo 1: V = R2, v1 = (1, 0), v2 = (0, 1)
 Então, V = [v1, v2], pois dados v = (x, y)V, tem-se que:
v = (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1)
26
• Exemplo 2: 

 00
0
1
av 

 0
00
2 bv
Então,   


 

 bab
a ,:0
0
21 vv
Espaço Vetorial: dependência e independência
linear
• Definição: Sejam V um espaço vetorial e v1, v2, ..., vn V.Diz-se que o conjunto {v1,v2,...,vn} é linearmenteindependente (LI), ou que o vetores v1, v2, ..., vn são LI, sea equação:
v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0
implica que a1 = a2 = .... = an = 0
• Caso exista algum an  0, então diz-se que {v1, v2, ..., vn}é linearmente dependente (LD), ou que os vetores v1, v2, ...,vn são LD.
27
• Definição: Sejam V um espaço vetorial e v1, v2, ..., vn V.Diz-se que o conjunto {v1,v2,...,vn} é linearmenteindependente (LI), ou que o vetores v1, v2, ..., vn são LI, sea equação:
v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0
implica que a1 = a2 = .... = an = 0
• Caso exista algum an  0, então diz-se que {v1, v2, ..., vn}é linearmente dependente (LD), ou que os vetores v1, v2, ...,vn são LD.
Espaço Vetorial: dependência e independência
linear
• Exemplo 1: V = R2, e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)
 e1 e e2 são LI pois, sejam duas constantes a1 e a2, se:
a1e1 + a2e2 = 0  a1 (1, 0) + a2(0, 1) = (0,0) 
(a1, 0) + (0, a2) = (0,0)  (a1, a2) = (0,0)
ou seja, a1 = 0 e a2 = 0
• Exemplo 1: V = R2, e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)
 e1 e e2 são LI pois, sejam duas constantes a1 e a2, se:
a1e1 + a2e2 = 0  a1 (1, 0) + a2(0, 1) = (0,0) 
(a1, 0) + (0, a2) = (0,0)  (a1, a2) = (0,0)
ou seja, a1 = 0 e a2 = 0
28
• Exemplo 2: V = R3, e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0) e e3 = (0,0,1)
 e1, e2 e e3 são LI pelos mesmos argumentos do exemplo anterior
Espaço Vetorial: dependência e independência
linear
• Exemplo 3: V = R2, v1 = (1, -1), v2 = (0, 1) e v3 = (1, 1)
 {v1, v2, v3} são LD pois, sejam três constantes a1, a2 e a3, se:a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0 
a1(1,  1) + a2(0, 1) + a3(1, 1) = (0,0) 
(a1,  a1) + (0, a2) + (a3,  a3) = (0,0) 
(a1 + a3 ,  a1 + a2  a3 ) = (0,0)
ou seja, a1 =  a3 e a2 = a1 + a3
Como a1, a2 e a3 podem assumir valores não nulos, o conjuntoé LD.
• Exemplo 3: V = R2, v1 = (1, -1), v2 = (0, 1) e v3 = (1, 1)
 {v1, v2, v3} são LD pois, sejam três constantes a1, a2 e a3, se:a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0 
a1(1,  1) + a2(0, 1) + a3(1, 1) = (0,0) 
(a1,  a1) + (0, a2) + (a3,  a3) = (0,0) 
(a1 + a3 ,  a1 + a2  a3 ) = (0,0)
ou seja, a1 =  a3 e a2 = a1 + a3
Como a1, a2 e a3 podem assumir valores não nulos, o conjuntoé LD.
29
Espaço Vetorial: Base de um espaço vetorial
Definição: Seja um conjunto {v1,v2, ...,vn} de vetores de V.
Este conjunto será uma base de V se:
i) {v1,v2, ...,vn} for LI
ii) [v1,v2, ...,vn] = V
Todos os vetores de V, podem ser gerados a partir da combinação
linear deste conjunto de vetores .
30
Definição: Seja um conjunto {v1,v2, ...,vn} de vetores de V.
Este conjunto será uma base de V se:
i) {v1,v2, ...,vn} for LI
ii) [v1,v2, ...,vn] = V
Todos os vetores de V, podem ser gerados a partir da combinação
linear deste conjunto de vetores .
Espaço Vetorial: Base de um espaço vetorial
• Exemplo 1: V = R2, e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)
 {e1, e2} é base de V, conhecida como base canônica de R2.
• Exemplo 2: V = R2, v1 = (1,1), v2 = (0,1)
 {v1, v2} também é uma base de V = R2.
 Se (0,0) = a(1,1) + b(0,1) = (a, a + b), então a = b = 0
 Portanto, {v1, v2} é LI.
 Mais ainda, [v1, v2] = V pois dado um vetor qualquer u = (x,y) V, u pode ser escrito como uma combinação linear de v1 e v2 :
u = (x,y) = xv1 + (x-y)v2 = x(1,1) + (x-y)(0,1) = (x,y)
31
• Exemplo 2: V = R2, v1 = (1,1), v2 = (0,1)
 {v1, v2} também é uma base de V = R2.
 Se (0,0) = a(1,1) + b(0,1) = (a, a + b), então a = b = 0
 Portanto, {v1, v2} é LI.
 Mais ainda, [v1, v2] = V pois dado um vetor qualquer u = (x,y) V, u pode ser escrito como uma combinação linear de v1 e v2 :
u = (x,y) = xv1 + (x-y)v2 = x(1,1) + (x-y)(0,1) = (x,y)
Espaço Vetorial: Base de um espaço vetorial
• Exemplo 3: V = R2, v1 = (0,1), v2 = (0,1)
 {v1, v2} não é uma base de V = R2.
 Se (0,0) = a(0,1) + b(0,1) = (0, a  b) então a = b, que pode ou
não ser igual a 0 (zero).
 Portanto, {v1, v2} é LD.
32
• Exemplo 4: V = R3, e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0) e e3 = (0,0,1)
 {e1, e2, e3} é base canônica do R3.
i. {e1, e2, e3} é LI;
ii. u  R3, u = (x, y, z) = x.e1 + y.e2 + z.e3
Espaço Vetorial: Base de um espaço vetorial
• Exemplo 5: {(1,0,0), (0,1,0)} não é base de R3
 é LI
mas não gera todo R3, ou seja [(1,0,0), (0,1,0)]  R3.
• Exemplo 6: V = M(2,2)
 {e1, e2, e3, e4} é base canônica de V.
i. {e1, e2, e3, e4} é LI;
ii. = x.e1 + y.e2 + z.e3 + w.e4
33
• Exemplo 6: V = M(2,2)
 {e1, e2, e3, e4} é base canônica de V.
i. {e1, e2, e3, e4} é LI;
ii. = x.e1 + y.e2 + z.e3 + w.e4


 00
01
1e 

 00
10
2e 

 01
00
3e 

 10
00
4e


 wz
yxu
Espaço Vetorial: Base de um espaço vetorial
Teorema: Sejam v1,v2, ...,vn vetores não nulos que geramum espaço vetorial V. Então dentre esses vetores, podemos
extrair uma base de V.
 Isso independe de v1,v2, ...,vn serem LD ou LI.
Teorema: Seja um espaço vetorial V gerado por um
conjunto finito de vetores v1,v2,...,vn. Então, qualquerconjunto com mais de n vetores é necessariamente LD (e,
portanto, qualquer conjunto LI tem no máximo n vetores).
34
Teorema: Sejam v1,v2, ...,vn vetores não nulos que geramum espaço vetorial V. Então dentre esses vetores, podemos
extrair uma base de V.
 Isso independe de v1,v2, ...,vn serem LD ou LI.
Teorema: Seja um espaço vetorial V gerado por um
conjunto finito de vetores v1,v2,...,vn. Então, qualquerconjunto com mais de n vetores é necessariamente LD (e,
portanto, qualquer conjunto LI tem no máximo n vetores).
Espaço Vetorial: Base de um espaçovetorial
Corolário: Qualquer base de um espaço vetorial tem
sempre o mesmo número de elementos. Este número é
chamado dimensão de V, e denotado por dim V.
• Exemplo 7: V = R2, dim V = 2
 {(1,0), (0,1)} assim como {(1,1), (0,1)} , são bases de V = R2.
35
• Exemplo 7: V = R2, dim V = 2
 {(1,0), (0,1)} assim como {(1,1), (0,1)} , são bases de V = R2.
• Exemplo 8: V = R3, dim V = 3
• Exemplo 9: V = M(2,2), dim V = 4
 Exemplo 6 mostra a base canônica para M(2,2).
Espaço Vetorial: Base de um espaço vetorial
Teorema: Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço
vetorial V de dimensão finita, pode ser completado de modo
a formar uma base de V.
Corolário: Se dim V = n, qualquer conjunto de n vetores LI
formará uma base de V.
Teorema: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial
V que tem dimensão finita, então dim U  dim V e dim W 
dim V. Além disso:
dim(U + W) = dim U + dim W – dim(U W)
36
Teorema: Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço
vetorial V de dimensão finita, pode ser completado de modo
a formar uma base de V.
Corolário: Se dim V = n, qualquer conjunto de n vetores LI
formará uma base de V.
Teorema: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial
V que tem dimensão finita, então dim U  dim V e dim W 
dim V. Além disso:
dim(U + W) = dim U + dim W – dim(U W)
Espaço Vetorial: Base de um espaço vetorial
Teorema: Dada uma base  = {v1,v2, ...,vn} de V, cadavetor de V é escrito de maneira única como combinação
linear de v1, v2, ...,vn.
Definição: Sejam  = {v1,v2, ...,vn} base de V, e v  V ondev = a1v1 +...+ anvn. Chamamos esses números ai decoordenadas de v em relação à base  e denotamos por:
37
Teorema: Dada uma base  = {v1,v2, ...,vn} de V, cadavetor de V é escrito de maneira única como combinação
linear de v1, v2, ...,vn.
Definição: Sejam  = {v1,v2, ...,vn} base de V, e v  V ondev = a1v1 +...+ anvn. Chamamos esses números ai decoordenadas de v em relação à base  e denotamos por:
[v] =
a1...
an
Espaço Vetorial: Base de um espaço vetorial
• Exemplo 10: V = R2.
Seja a base canônica  = {(1,0), (0,1)}
Seja o vetor u = (5,2) , u  R2.
Então, u = (5, 2) = a1(1,0) + a2(0,1) a1 = 5 e a2 = 2
Logo, 52
38
• Exemplo 10: V = R2.
Seja a base canônica  = {(1,0), (0,1)}
Seja o vetor u = (5,2) , u  R2.
Então, u = (5, 2) = a1(1,0) + a2(0,1) a1 = 5 e a2 = 2
Logo, [u]  = 52
Para outra base ’ = {(1,1), (0,1)}
u = (5, 2) = a1(1,1) + a2(0,1)  a1 = 5 e a2 = 7
Logo, [u] ’ = 57
Espaço Vetorial: Base de um espaço vetorial
• Exemplo 11:
Observe que a ordem dos elementos de uma base influi na matriz
das coordenadas de um vetor em relação à esta base.
Seja u = (5,2) , u  R2.
= {(1,0), (0,1)} e ’ = {(0,1), (1,0)}
Então,
39
• Exemplo 11:
Observe que a ordem dos elementos de uma base influi na matriz
das coordenadas de um vetor em relação à esta base.
Seja u = (5,2) , u  R2.
= {(1,0), (0,1)} e ’ = {(0,1), (1,0)}
Então,
[u]  = 52
[u] ’ = 25
Por esse motivo, fica subentendido que uma base ’ = {v1, ..., vn},
possui seus vetores ordenados, na ordem em que aparecem.
Espaço Vetorial: Base de um espaço vetorial
• Exemplo 12: Considere V = {(x, y, z); x + y – z = 0} e
W = {(x, y, z); x = y} . Determine V+W.
V: x + y – z = 0 z = x + y
(x, y, x + y) = x.(1, 0, 1) + y.(0, 1, 1)
[(1, 0 , 1), (0, 1, 1)] = V  não é uma base do R3.
W: x = y
(y, y, z) = y.(1, 1, 0) + z.(0, 0, 1)
[(1, 1, 0), (0, 0, 1)] = W não é uma base do R3.
 V + W = [(1, 0 , 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1) ]
40
• Exemplo 12: Considere V = {(x, y, z); x + y – z = 0} e
W = {(x, y, z); x = y} . Determine V+W.
V: x + y – z = 0 z = x + y
(x, y, x + y) = x.(1, 0, 1) + y.(0, 1, 1)
[(1, 0 , 1), (0, 1, 1)] = V  não é uma base do R3.
W: x = y
(y, y, z) = y.(1, 1, 0) + z.(0, 0, 1)
[(1, 1, 0), (0, 0, 1)] = W não é uma base do R3.
 V + W = [(1, 0 , 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1) ]
Espaço Vetorial: Base de um espaço vetorial
• Exemplo 12 (continuação):
V + W = [(1, 0 , 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1) ]
 Porém como V + W possui 4 vetores, mas os vetores são do R3,
um dos vetores de V + W deve ser combinação linear dos outros
três.
Vamos escalonar o sistema V + W
41
• Exemplo 12 (continuação):
V + W = [(1, 0 , 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1) ]
 Porém como V + W possui 4 vetores, mas os vetores são do R3,
um dos vetores de V + W deve ser combinação linear dos outros
três.
Vamos escalonar o sistema V + W








1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
L3 = L3L1 








1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
L3 = L3L2
(V+W)1
(V+W)2
(V+W)3
(V+W)4
Espaço Vetorial: Base de um espaço vetorial
• Exemplo 12 (continuação):
 Logo V + W = [(1,0,1), (0,1,1), (0,0,1)]
Assim, V + W = R3
 dim R3 = dim V + dim W – dim(VW)
• dim(VW) = 2 + 2  3 = 1
Mas quem é o conjunto VW ?








1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
L4 = L4L1 








0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1









1
2
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
L3 = L3/(2)
 (V+W)1
 (V+W)2
 (V+W)4
 (V+W)3 é LD
42
• Exemplo 12 (continuação):
 Logo V + W = [(1,0,1), (0,1,1), (0,0,1)]
Assim, V + W = R3
 dim R3 = dim V + dim W – dim(VW)
• dim(VW) = 2 + 2  3 = 1
Mas quem é o conjunto VW ?








1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
L4 = L4L1 








0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1









1
2
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
 (V+W)3 é LD
Espaço Vetorial: Base de um espaço vetorial
• Exemplo 12 (continuação):
 Mas quem é o conjunto VW ?
 VW = {(x, y, z); x + y – z = 0 e x = y}  (x, x, 2x)
 VW = [(1, 1, 2)] dim (VW ) = 1
 dim R3 = dim V + dim W – dim VW = 2 + 2 – 1 = 3
como esperado !
43
• Exemplo 12 (continuação):
 Mas quem é o conjunto VW ?
 VW = {(x, y, z); x + y – z = 0 e x = y}  (x, x, 2x)
 VW = [(1, 1, 2)] dim (VW ) = 1
 dim R3 = dim V + dim W – dim VW = 2 + 2 – 1 = 3
como esperado !
Espaço Vetorial: mudança de base
Sejam ={u1,...,un} e ’= {w1,...,wn} duas bases ordenadas
de um mesmo espaço vetorial V. Dado o vetor v V,
podemos escrevê-lo como:
44
v = x1u1 + ... + xnun
v = y1w1 + ... + ynwn
Eq (01)
Espaço Vetorial: mudança de base
Deve haver uma maneira de relacionar as coordenadas de v
em relação à base 
com as coordenadas do mesmo vetor v em relação à base ’
[v] =
x1…
xn
45
Deve haver uma maneira de relacionar as coordenadas de v
em relação à base 
com as coordenadas do mesmo vetor v em relação à base ’
x1…
xn
[v]’ =
y1…
yn
Espaço Vetorial: mudança de base
Como {u1,...,un} é base de V, qualquer vetor de V pode serescrito como uma combinação dos vetores ui, i = 1, ... n,inclusive os vetores v, w1, w2, ..., e wn. Assim:
w1 = a11u1 + a21u2 + ...+ an1un
w2 = a12u1 + a22u2 + ...+ an2un
......
wn = a1nu1 + a2nu2 + ...+ annun
46
w1 = a11u1 + a21u2 + ...+ an1un
w2 = a12u1 + a22u2 + ...+ an2un
......
wn = a1nu1 + a2nu2 + ...+ annun
Eq.(02)
Espaço Vetorial: mudança de base
w1 = a11u1 + a21u2 + ...+ an1un
w2 = a12u1 + a22u2 + ...+ an2un
......
wn = a1nu1 + a2nu2 + ...+ annun
Eq.(02)
47
Substituindo Eq.(02) em Eq.(01):
v = y1w1+y2w2+...+ynwn
= y1(a11u1+...+an1un)+y2(a12u1+...+an2un)+...+yn(a1nu1+...+annun)
= u1(a11y1+a12y2+...+an1yn)+...+un(a1ny1+a2ny2+...+annyn)
Espaço Vetorial: mudança de base
Mas v = x1u1 + ... + xnun, e como as coordenadas em relação a umabase são únicas tem-se que:
x1= a11y1+ a12y2+ ... + an1ynx2= a12y1+ a22y2+ ... + an2yn
...xn= a1ny1+ an2y2+ ... + annyn
Ou na forma matricial:v = u1(a11y1+a12y2+...+an1yn)+...+un(a1ny1+a2ny2+...+annyn)
Observe que as
linhas viraram
colunas!
48
Mas v = x1u1 + ... + xnun, e como as coordenadas em relação a umabase são únicas tem-se que:
x1= a11y1+ a12y2+ ... + an1ynx2= a12y1+ a22y2+ ... + an2yn
...xn= a1ny1+ an2y2+ ... + annyn
Ou na forma matricial:

























nnnn
n
n y
y
aa
aa
x
x





1
1
1111
Observe que as
linhas viraram
colunas!
Espaço Vetorial: mudança de base
Onde,
 









nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
I




21
22221
11211
'

49
 









nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
I




21
22221
11211
'

Amatriz
’ para a base .
  'I é chamada de matriz de mudança da base
Um vetor v descrito na base ’ será descrito na base 
como: [v]= [ I ] [v]’’
Espaço Vetorial: mudança de base
Observa-se que, ao se encontrar , pode-se encontrar
as coordenadas de qualquer vetor v em relação à base ,
multiplicando a matriz pelas coordenadas de v na base ’.
[ I ]’
50
Espaço Vetorial: Base de um espaço vetorial
• Exemplo 1: sejam  = {u1,u2} = {(2,1), (3,4)} e
’ = {w1,w2} = {(1,0),(0,1)} bases de R2, calcule   'I
w1 = (1,0) = a11(2, 1) + a21(3,4) = (2a11 + 3a21,  a11 + 4a21)
1 = 2a11 + 3a21 1 = 8a21 + 3a21 a21 = 1/11
51
1 = 2a11 + 3a21
0 =  a11 + 4a21
1 = 8a21 + 3a21
a11 = 4a21
a21 = 1/11
a11 = 4/11
w2 = (0,1) = a12(2, 1) + a22(3,4) = (2a12 + 3a22,  a12 + 4a22)
0 = 2a12 + 3a22
1 =  a12 + 4a22
a12 = 3/2a22
1 = 3/2a22 + 4a22
a21 =  3/11
a22 = 2/11
Espaço Vetorial: Base de um espaço vetorial
• Exemplo 1 (continuação):
w1 = a11u1+ a21u2 = (4/11) u1 + (1/11) u2
w2 = a12u1+ a22u2 = ( 3/11) u1 + (2/11) u2
52
  

  11/211/1
11/311/4'
I
Linhas tornam-se
colunas!!!
Espaço Vetorial: Base de um espaço vetorial
• Exemplo 1 (continuação): Seja o vetor v = (2,5). Sabemos que ele é
escrito na base ’ = {w1,w2} = {(1,0),(0,1)} como v = 2w1 + 5w2
= 2(1,0) + 5(0,1) = (2,5). Mas como ele é escrito na base  =
{u1,u2} = {(2,1), (3,4)} ?
     '' ][5,2][  vv I
53
• Exemplo 1 (continuação): Seja o vetor v = (2,5). Sabemos que ele é
escrito na base ’ = {w1,w2} = {(1,0),(0,1)} como v = 2w1 + 5w2
= 2(1,0) + 5(0,1) = (2,5). Mas como ele é escrito na base  =
{u1,u2} = {(2,1), (3,4)} ?
v = 7/11u1+ 12/11u2 = ( 7/11) (2, 1) + (12/11) (3, 4)
     '' ][5,2][  vv I
   





  11/12
11/7
5
2
11/211/1
11/311/45,2][ v
= ( 14/11 + 36/11, 7/11 + 48/11) = (22/11, 55/11) = (2,5)
Espaço Vetorial:
inversa da matriz mudança de base
Observe que a matriz de mudança de bases foi obtida
ao se escrever os vetores wi (i = 1, ... n) da base ’, como
combinações lineares dos vetores uj, (j = 1, ..., n) da base .
[ I ]’
54
Observe que a matriz de mudança de bases foi obtida
ao se escrever os vetores wi (i = 1, ... n) da base ’, como
combinações lineares dos vetores uj, (j = 1, ..., n) da base .
De forma análoga, poderíamos obter a matriz de mudança
de bases ao escrever os vetores uj, (j = 1, ..., n) como
combinações lineares dos vetores wi (i = 1, ... n).
[ I ]’
Espaço Vetorial:
inversa da matriz mudança de base
As matrizes e são inversíveis e:[ I ]’[ I ]’
     '1' II 
55
     '1' II 
Espaço Vetorial:
inversa da matriz mudança de base
u1 = (2,-1) = a11(0, 1) + a21(0,1) = (a11,a21) a11 = 2
• Exemplo 2: sejam  = {u1,u2} = {(2,1), (3,4)} e
’ = {w1,w2} = {(1,0),(0,1)} bases de R2, calcule e
verifique que
  'I     '1' II 
56
u1 = (2,-1) = a11(0, 1) + a21(0,1) = (a11,a21) a11 = 2a21 = 1
u2 = (3,4) = a12(1, 0) + a22(0,1) = (a12, a22) a12 = 3a22 = 4
  


 41
32'
I      '11' 11/211/1 11/3/11441 32 II  

Espaço Vetorial: exercícios
• Problema 18: considere o subespaço de R4, gerado pelos vetores
v1= (1,-1,0,0), v2= (0,0,1,1), v3= (-2,2,1,1), e v4= (1,0,0,0).
a) O vetor u = (2, -3, 2, 2)  [v1, v2, v3, v4]?b) Exiba uma base para [v1, v2, v3, v4]? Qual sua dimensão?c) [v1, v2, v3, v4] = R4?
57
• Problema 18: considere o subespaço de R4, gerado pelos vetores
v1= (1,-1,0,0), v2= (0,0,1,1), v3= (-2,2,1,1), e v4= (1,0,0,0).
a) O vetor u = (2, -3, 2, 2)  [v1, v2, v3, v4]?b) Exiba uma base para [v1, v2, v3, v4]? Qual sua dimensão?c) [v1, v2, v3, v4] = R4?
a) Existem constantes a, b, c, d tal que u = av1+ bv2+ cv3+ dv4 ?
(2, -3, 2, 2) = a (1,-1,0,0) + b (0,0,1,1) + c (-2,2,1,1) + d (1,0,0,0)
2 = a – 2c + d 2 = b + c
– 3 = –a + 2c 2 = b + c
Espaço Vetorial: exercícios
• Problema 18 (continuação):
a + 0b – 2c + d = 2
–a + 0b + 2c + 0d = – 3
0a + b + c + 0d = 2
0a + b + c + 0d = 2 










0
2
3
2
0000
0110
0201
1201
L2 = L2 + L1
58
a + 0b – 2c + d = 2
–a + 0b + 2c + 0d = – 3
0a + b + c + 0d = 2
0a + b + c + 0d = 2 










0
2
3
2
0000
0110
0201
1201










0
2
1
2
0000
0110
1000
1201
L2  L3










0
1
2
2
0000
1000
0110
1201 L1 = L1  L3
Espaço Vetorial: exercícios
• Problema 18 (continuação):










0
1
2
3
0000
1000
0110
0201 a – 2c = 3  a = 3 + 2c
b + c = 2  b = 2 – c
d = – 1
assuma c = 1 a = 5 e b = 1
59










0
1
2
3
0000
1000
0110
0201 a – 2c = 3  a = 3 + 2c
b + c = 2  b = 2 – c
d = – 1
assuma c = 1 a = 5 e b = 1
Como,
u = (2, -3, 2, 2) = 5(1,-1,0,0) + 1(0,0,1,1) + 1(-2,2,1,1) – 1(1,0,0,0)
Então u  [v1, v2, v3, v4].
Espaço Vetorial: exercícios
• Problema 18 (continuação):
b) Exiba uma base para [v1, v2, v3, v4]? Qual sua dimensão?
Se [v1, v2, v3, v4] formam uma base, em eles devem ser LI, ou seja:
a1v1 + a2v2 + a3v3,+ a4v4 = 0 se e somente se a1 = a2 = a3 = a4 = 0
60
a1v1 + a2v2 + a3v3,+ a4v4 = 0 se e somente se a1 = a2 = a3 = a4 = 0
a1(1,-1,0,0) + a2(0,0,1,1) + a3(-2,2,1,1) + a4(1,0,0,0) = (0,0,0,0)
a1  2a3 + a4 = 0
 a1 + 2a3 = 0
a2 + a3 = 0
a2 + a3 = 0
a4 = 0
a1 =  2a3
a2 =  a3
[v1, v2, v3, v4] é LD
Espaço Vetorial: exercícios
• Problema 18 (continuação):
Forma direta de se observar o vetor que é combinação linear dos
demais: escalonar a matriz formada pelo vetores [v1, v2, v3, v4].










0001
1122
1100
0011v1
v2







 
0010
1100
1100
0011
61










0001
1122
1100
0011
L3 = L3  2L1
v2
v3
v4 L4 = L4  L1 







 
0010
1100
1100
0011







 
1100
1100
0010
0011v1
v4
v2
v3
v2 é combinação linear de [v1 v3 v4]
v3 é combinação linear de [v1 v2 v4]
ou
Espaço Vetorial: exercícios
• Problema 18 (continuação):
Existem duas bases possíveis para representar [v1, v2, v3, v4]:
1 = [v1 v2 v4] ou 2 = [v1 v3 v4].dim  = dim ’ = [v1 v2 v3 v4] = 3  dim R4 = 4
62
Observe que tanto [v1 v2 v4] quanto [v1 v2 v4](verifique) são LI:
a1v1 + a2v2 + a4v4 = 0 se e somente se a1= a2= a4= 0
a1(1,-1,0,0) + a2(0,0,1,1) + a4(1,0,0,0) = (0,0,0,0)
a1+ a4 = 0
- a1= 0
a2 = 0
Espaço Vetorial: exercícios
Problema 19: Considere o subespaço de R3 gerado pelos vetores
v1=(1,1,0), v2= (0,-1,1) e v3=(1,1,1). Então [v1,v2,v3]=R3?
Solução 1: dado um vetor qualquer do R3, u= (x,y,z), existem
constantes a, b e c tal que u = av1 + bv2 + cv3 ?
63
Problema 19: Considere o subespaço de R3 gerado pelos vetores
v1=(1,1,0), v2= (0,-1,1) e v3=(1,1,1). Então [v1,v2,v3]=R3?
(x, y, z) = a(1,1,0) + b(0,1,1) + c(1,1,1)
x = a + c
y = a – b + c
z = b + c
a = 2x – y – z
b = x – y
c = – x + y + z
Portanto, [v1, v2,v3]podem representar
qualquer vetor do R3,
ou seja [v1, v2,v3] = R3
Espaço Vetorial: exercícios
Problema 19 (continuação):
Solução 2: vamos tentar escalonar a matriz formada pelos vetores
[v1 v2 v3]









111
110
011









100
110
011 L1 = L1 + L2









100
110
101 L1 = L1  L3
64
Como o escalonamento resultou na
base canônica do R3, o conjunto
[v1,v2,v3] pode representar qualquervetor do R3, ou seja [v1,v2,v3] = R3.









111
110
011
L3 = L3 – L1 








100
110
011
L2 = L2









100
110
101
L2 = L2 + L3








100
010
001
O que isso
significa?
Espaço Vetorial
• Problemas Sugeridos: 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 15, 25 e 29
65