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Álgebra Linear Exercícios sobre Transformações Lineares Álgebra Linear Exercícios sobre Transformações Lineares Prof. André Tiba akot@cin.ufpe.br Baia 65, ramais: 4765 ou 4338 1 Exercício 1 Qual a transformação linear T: R2→R4 tal que T(2,1) = (1,0,1,1) e T( 1, 2) = (0,0,1,1) ? Deseja-se encontrar a transformação T tal que: T(v1) = w1 e T(v2) = w2 v1= (2,1), v2=(–1,2), w1 =(1,0,1,-1) , w2 =(0,0,1,1) Solução 1: 2 Deseja-se encontrar a transformação T tal que: T(v1) = w1 e T(v2) = w2 v1= (2,1), v2=(–1,2), w1 =(1,0,1,-1) , w2 =(0,0,1,1) (2,1) = 2.(1, 0) + 1.(0, 1) T(2,1) = 2.T(1, 0) + 1.T(0,1) = (1, 0, 1, –1) (–1,2) = – 1.(1, 0) + 2.(0, 1) T(–1, 2) = –1.T(1, 0) + 2.T(0, 1) = (0, 0, 1, 1) Exercício 1 (continuação) onde Tij = T(i,j)T21 = 2T10 + T01T-12 = T10+ 2T01 12 21 01 10 21 12 T T T T 12 21 21 12 T T L1 = L1/2 3 L1 = L1 L2/2 12 21 21 2/2/11 T T L2 =(2/5) L2 1221 21 2/2/50 2/2/11 TT T 5/)2(10 2/2/11 1221 21 TT T 5/)2(10 10/)2(401 1221 1221 TT TT 5/)2( 10/)2(4 1321 1321 01 10 TT TT T T L2 = L2 + L1 mas T(2,1) = (1,0,1,1) e T(1, 3) = (0,0,1,1) Exercício 1 (continuação) 5/1,5/3,0,5/1 5/3,5/1,0,5/2 5/))1,1,0,0(2)1,1,0,1(( 10/))1,1,0,0(2)1,1,0,1((4 01 10 T T Seja um vetor (x,y) qualquer do R2: (x,y) = x.(1,0) + y.(0,1) T(x,y) = x.T(1,0) + y.T(0,1) T(x,y) = x.T10 + y.T01 T(x,y) = x.(2/5, 0, 1/5, 3/5) + y .(1/5, 0, 3/5, 1/5) T(x,y) = ((2x+ y)/5, 0, (x + 3y)/5, (3x+y)/5) 4 Seja um vetor (x,y) qualquer do R2: (x,y) = x.(1,0) + y.(0,1) T(x,y) = x.T(1,0) + y.T(0,1) T(x,y) = x.T10 + y.T01 T(x,y) = x.(2/5, 0, 1/5, 3/5) + y .(1/5, 0, 3/5, 1/5) T(x,y) = ((2x+ y)/5, 0, (x + 3y)/5, (3x+y)/5) T(2,1) = ((2.2+ 1)/5, 0, (2 + 3.1)/5, (3.2 + 1)/5) = (1, 0, 1, 1) T(1,2) = ((2.(1)+ 2)/5, 0, (1 + 3.2)/5, (3.(1) + 2)/5) = (0, 0, 1, 1) Exercício 2 Qual a transformação linear T: R3→R2 tal que T(1, 0, 1) = (2, 1) T(2, 1, 0) = (0, 1) e T(1, 0, 3) = (1, 1) ? Deseja-se encontrar a transformação T tal que: T(v1) = w1, T(v2) = w2 e T(v3) = w3 v1= (1,0,1),v2=(2,–1,0), v3=(1,3,0), w1 =(2,–1) , w2 =(0,1) e w3 = (1,1) Solução 1: 5 Deseja-se encontrar a transformação T tal que: T(v1) = w1, T(v2) = w2 e T(v3) = w3 v1= (1,0,1),v2=(2,–1,0), v3=(1,3,0), w1 =(2,–1) , w2 =(0,1) e w3 = (1,1) (1, 0, 1) = (1, 0, 0) + (0, 0, 1) T(1, 0, 1) = T(1, 0, 0) + T(0, 0, 1) = (2, –1) (2, –1, 0) = 2(1, 0, 0) – 1(0, 1, 0) T(2, –1, 0) = 2T(1, 0, 0) – T(0, 1, 0) = (0, 1) (1, 0, 3) = (1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) T(1, 0, 3) = T(1, 0, 0) + 3T(0, 0, 1) = (1, 1) Exercício 2 (continuação) onde Tijz = T(i,j,k) T101 = T100 + T001T2-10 = 2T100 T010T103 = T100 + 3T001 130 102 101 001 010 100 301 012 101 T T T T T T 130 102 101 301 012 101 T T T L2 = L2 – 2L1 L3 = L3 – L1 6 130 102 101 001 010 100 301 012 101 T T T T T T 130 102 101 301 012 101 T T T L3 = L3 – L1 101130 101102 101 2 200 210 101 TT TT T L1 = L1 – L3/2 L2 = L2 + L3 101130 101130102 101130 3 2/)3( 200 010 001 TT TTT TT L2 = – L2 L3 = L3/2 2/)( 3 2/)3( 101130 102101130 101130 001 010 100 TT TTT TT T T T Exercício 2 (continuação) mas T130 = (1,1), T101 = (2,1) eT2-10 = (0,1) 2/)( 3 2/)3( 101130 102101130 101130 001 010 100 TT TTT TT T T T 1,2/1 5,5 2,2/5 2/))1,2()1,1(( )1,0()1,2(3)1,1( 2/))1,2(3)1,1(( 001 010 100 T T T 7 Seja um vetor (x,y,z) qualquer do R3: (x,y,z) = x.(1,0,0) + y.(0,1,0) + z.(0,0,1) T(x,y,z) = x.T(1,0,0) + y.T(0,1,0) + z.T(0,0,1) T(x,y,z) = x.T100 + y.T010 + z. T001 T(x,y,z) = x.(5/2, 2) + y .(5, 5) + z.(1/2, 1) T(x,y,z) = (5x/2 + 5y z /2, 2x 5y + z) 1,2/1 5,5 2,2/5 2/))1,2()1,1(( )1,0()1,2(3)1,1( 2/))1,2(3)1,1(( 001 010 100 T T T Exercício 3 Ache a aplicação linear T, que representa uma contração de 2-1/2 seguida por uma rotação horária de 45º. v T(v)T 2,2,T2 1 yxyx 8 cos2sin2 sin2cos2 2/ 2/ yx yx y x rotação horária de 45º = -45º = - /4 2,22 2 22 2 2,2 2 22 2 2),( yxyxyxyxyxT Exercício 4 Sejam: ={(1,1),(0,2)} e ’ ={(1,0,1),(0,1,2), (1,2,0)}, bases de R2 e R3, e a matriz: Então: a) Ache T b) Se S(x,y) = (2y, x – y, x), ache c) ker T, Im T, ker S e Im S 1 1 0 0 1 1 T ' 9 Então: a) Ache T b) Se S(x,y) = (2y, x – y, x), ache c) ker T, Im T, ker S e Im S 'S Exercício 4 (continuação) Letra a) 1 1 0 0 1 1 T ' ={(1,1),(0,2)} e ’ ={(1,0,1),(0,1,2), (1,2,0)} T(1,–1) = 1.(1, 0, –1) + 1.(0, 1, 2) + 0.(1, 2, 0) = (1, 1, 1) T(0,2) = 0.(1, 0, –1) + 1.(0, 1, 2) – 1.(1, 2, 0) = (–1, –1, 2) 10 T(1,–1) = 1.(1, 0, –1) + 1.(0, 1, 2) + 0.(1, 2, 0) = (1, 1, 1) T(0,2) = 0.(1, 0, –1) + 1.(0, 1, 2) – 1.(1, 2, 0) = (–1, –1, 2) Seja (x,y) um vetor do R2, podemos escrevê-lo em termos da base como: (x,y) = a(1,–1) + b(0,2) = (a, –a + 2b) a = x e b = (y + x)/2 (x,y) = x.(1,–1) + (½).(y + x).(0,1) Exercício 4 (continuação) Aplicando T a equação, T(x,y) = x.T(1,–1) + (½).(y + x).T(0,2) T(x,y) = x.(1, 1, 1) + (½).(y + x).(–1, –1, 2) yxyxyxyxT 2,2,2),( 11 yxyxyxyxT 2,2,2),( Exercício 4 (continuação) Letra b) ={(1,1),(0,2)} e ’ ={(1,0,1),(0,1,2), (1,2,0)} S(x,y) = (2y, x – y, x) Precisamos achar o vetor de coordenadas [v]’ para um vetorqualquer v = (x,y,z) do R3. S(1, –1) = (–2, 2,1) S(0, 2) = (4, –2, 0) 12 Precisamos achar o vetor de coordenadas [v]’ para um vetorqualquer v = (x,y,z) do R3. z y x c b a 021- 210 101 z y x 021 210 101 L3 = L3 + L1 (x,y,z) = a(1,0,–1) + b(0,1,2) + c(1,2,0) Exercício 4 (continuação) zx y x 120 210 101 yzx y x 2300 210 101 L3 = L3/3 3/)2(100 210 101 zyx y x L1 = L1 L3 3/)2( 3/)22( 3/)24( 100 010 001 zyx zyx zyx L3 = L3 2L2 13 L2 = L2 2L3 3/)2(100 210 101 zyx y x 3/)2( 3/)22( 3/)24( 100 010 001 zyx zyx zyx 3/)2( 3/)22( 3/)24( ),,( ' zyx zyx zyx zyx v Exercício 4 (continuação) 3/)2( 3/)22( 3/)24( ),,( ' zyx zyx zyx zyx v 0 0 1 )1(1,0, ' 0 1 0 )0(1,2, ' Vamos testar para verificar se [v = (x,y,z)]’ foi encontradocorretamente. Para isso, basta jogar os vetores da base ’. 1 0 0 (0,1,2) ' 14 0 0 1 )1(1,0, ' 0 1 0 )0(1,2, ' Teste ok ! Agora substitui os vetores: (–2, 2,1) e (4, –2, 0). 1 0 0 (0,1,2) ' 3/5 3/1 3/11 )1,2,2( ' 3/8 3/10 3/20 )02,(4, ' 3/8 3/10 3/20 3/5 3/1 3/11 ' s Exercício 4 (continuação) Letra c) Encontrar ker T, Im T, ker S e Im S Seja T:V → W Im(T) = {wW ; T(v) = w para algum vV} ker T = {vV ; T(v) = 0} 15 yxyxyxyxT 2,2,2),( Seja T:V → W Im(T) = {wW ; T(v) = w para algum vV} ker T = {vV ; T(v) = 0} yxyxyxyxRT ,;2,2,2:Im 3 ww 1,2 1,2 1,2,2 1,2 1,;1,2 1,2 12,2 1,2 1Im yxyxT dim (Im T) = 2 Exercício 4 (continuação) yxyxyxyxyxTRT ,);0,0,0(2,2,2),(:ker 2v )0,0()0,0(:),(ker yxT dim (ker T) = 0 Observe o teorema: dim (ker T) + dim (Im T) = dim V 2 + 0 = 2 16 Observe o teorema: dim (ker T) + dim (Im T) = dim V 2 + 0 = 2 S(x,y) = (2y, x – y, x) yxxyxyRS ,;,,2:Im 3 ww 0,1,2,1,1,0,;0,1,21,1,0Im yxyxS dim (Im T) = 2 Exercício 4 (continuação) yxxyxyyxTRS ,);0,0,0(2,,2),(:ker 2v )0,0()0,0(:),(ker yxT dim (ker S) = 0 Observe o teorema: dim (ker S) + dim (Im S) = dim V 2 + 0 = 2 17 Observe o teorema: dim (ker S) + dim (Im S) = dim V 2 + 0 = 2 Exercício 5 Seja a transformação linear T: R3→R3 tal que T(x,y,z) = (z, x y, z) Determine: a) Uma base do núcleo de T b) A dimensão da Imagem de T c) T é sobrejetora ? 18 Determine: a) Uma base do núcleo de T b) A dimensão da Imagem de T c) T é sobrejetora ? Exercício 5 Letra a): Seja T:V → W Im(T) = {wW ; T(v) = w para algum vV} ker T = {vV ; T(v) = 0} T(x,y,z) = (z, x y, z) V = W = R3 19 Seja T:V → W Im(T) = {wW ; T(v) = w para algum vV} ker T = {vV ; T(v) = 0} T(x,y,z) = (z, x y, z) V = W = R3 zyxzyxzzyxTRTker ,,);0,0,0(,,),,(:3v )0,1,1()0,0,0(),,(:)0,1,1( zyxzTker dim (ker T) = 1 Exercício 5 Letra b): Seja T:V → W Im(T) = {wW ; T(v) = w para algum vV} ker T = {vV ; T(v) = 0} T(x,y,z) = (z, x y, z) V = W = R3 20 Seja T:V → W Im(T) = {wW ; T(v) = w para algum vV} ker T = {vV ; T(v) = 0} T(x,y,z) = (z, x y, z) V = W = R3 zyxzyxzzyxTRTIm ,,;,,),,(:3v )1,0,1(),0,1,0()1,0,1()0,1,0()0,1,0(:),,( zyxzyxmTI dim (Im T) = 2 Exercício 5 Letra c): Seja T:V → W Im(T) = {wW ; T(v) = w para algum vV} ker T = {vV ; T(v) = 0} T(x,y,z) = (z, x y, z) V = W = R3 21 dim W = 3 Seja T:V → W Im(T) = {wW ; T(v) = w para algum vV} ker T = {vV ; T(v) = 0} dim (Im T) = 2 Uma transformação T:V→W, dizemos que T é sobrejetora se a imagem de T coincidir com W, ou seja T(V) = W. T(x,y,z) = (z, x y, z) V = W = R3 Não é sobrejetora pois dim (Im T) dim W
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