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Profª Drª Ana Paula Marins Chiaradia AULA DE ALCV • Uma seção cônica ou, simplesmente, cônica é uma curva obtida cortando-se qualquer cone de duas folhas por um plano que não passa pelo vértice, chamado de plano secante. • Se o plano secante for paralelo a uma geratriz do cone, a cônica é uma parábola. • Se o plano secante não for paralelo a uma geratriz do cone e corta só uma das duas folhas do cone, a cônica é uma elipse. degeneradas Geratriz • Se o plano secante não for paralelo a uma geratriz do cone e corta ambas as folhas do cone, a cônica é uma hipérbole. • Se o plano secante for paralelo a base do cone, a cônica é uma circunferência. degeneradas Geratriz • No caso de um plano que passa pelo vértice do cone obtém-se as cônicas degeneradas: – ponto; – uma reta; ou – par de retas concorrentes. degeneradas Geratriz • Parábola é o lugar geométrico dos pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo e de uma reta fixa, pertencentes a este mesmo plano. • Parábola é o conjunto de todos os pontos P do plano pi tais que: d (P,F) = d (P,P’) 'PPPF = ou • Elementos da parábola: – Foco (F) – Vértice (A) – Diretriz (d) – Parâmetro (p) diretriz foco V Vérticed(V,F) = d(V,A) = p/2 A eixo P’ diretriz: Vértice: V(0,0) p>0 e y>0 � côncava para cima p<0 e y<0 � côncava para baixo 2 py −= Equação reduzida da parábola de centro na origem x2 = 2py diretriz: Vértice:V(0,0) p>0 e x>0 � côncava para direita p<0 e x<0 � côncava para esquerda 2 p x −= Equação reduzida da parábola de centro na origem y2 = 2px diretriz: Vértice: V(h,k) 2 pky −= Translação: Foco: ) 2 ,( kphF + ( ) ( )kyphx −=− 22 diretriz: Vértice: V(h,k) 2 phx −= Foco: ), 2 ( kphF + Translação: ( ) ( )hxpky −=− 22 • Uma seção transversal de um refletor parabólico é mostrada na figura. A lâmpada é colocada em um foco, e a abertura no foco é de 10cm. • a) Encontre uma equação da parábola. b) Encontre o diâmetro da abertura , 11 cm a partir do vértice. xy 102 = 1102 • Uma criança joga uma bola a um ângulo de 45°, da beira de um platô acima de uma colina de coeficiente angular, conforme a figura. • a) Se a bola toca o solo a 50 metros da colina abaixo, ache a equação de sua trajetória parabólica (Ignore a altura da criança). • b) Qual a altura máxima da bola em relação ao solo? 5,3 m xxy +−= 2 160 7 • O arco de uma ponte é semi-elíptico, com eixo maior horizontal. A base do arco tem 10 metros e a parte mais alta está a 3 metros acima da rodovia, conforme a figura. Determine a altura do arco a 2 metros do centro da base. – 2,75m degeneradas Geratriz • A elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos deste plano é constante. • A circunferência é um caso particular da uma elipse, onde os dois pontos fixos são coincidentes. • A elipse é o conjunto de todos os pontos P do plano pi tais que: d(P,F1) +d(P,F2)=2a • Elementos da elipse: – Focos (F1 e F2) – Centro (C) – Vértices (A1 e A2) – Distância focal (2c) – Eixo maior (2a) – Eixo menor (2b) – Excentricidade 10 <=< a c e c < a e b < a Vale a relação: a2= b2 + c2 • Eixo maior está sobre o eixo dos x: Equação reduzida da elipse de centro na origem 12 2 2 2 =+ b y a x Se na equação da elipse o número a2 é denominador de x2, a elipse tem seu eixo maior sobre o eixo dos x. • Eixo maior está sobre o eixo dos y: Equação reduzida da elipse de centro na origem 12 2 2 2 =+ b x a y Se na equação da elipse o número a2 é denominador de y2, a elipse tem seu eixo maior sobre o eixo dos y. • Eixo maior é paralelo ao eixo dos x Equação da elipse de centro fora da origem do sistema ( ) ( ) 12 2 2 2 = − + − b ky a hx C(h,k) F1(h-c,k) F2(h+c,k) A1(h-a,k) A2(h+a,k) Translação • Eixo maior é paralelo ao eixo dos y Equação da elipse de centro fora da origem do sistema ( ) ( ) 12 2 2 2 = − + − b hx a ky C(h,k) F1(h,k-c) F2(h,k+c) A1(h,k-a) A2(h,k+a)Translação Um corpo ligado a outro gravitacionalmente gira em torno dele numa órbita elíptica, sendo que um deles ocupa o foco da elipse. Primeira Lei de Kepler (Lei das órbitas elípticas) As órbitas dos planetas são elipses com o Sol como foco. Em uma órbita lunar o ponto mais próximo da superfície da Lua é chamado de perilúnio, e o ponto mais distante da superfície da Lua é chamado de apolúnio. A nave espacial Apollo 11 foi colocada em uma órbita lunar elíptica com altitude de perilúnio de 110km e altitude de apolúnio de 314 km (acima da Lua). Encontre uma equação dessa elipse se o raio da Lua for 1728km e o centro da Lua estiver em um dos focos. 1 37531963763600 22 =+ yx degeneradas Geratriz • A hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença das distâncias a dois pontos fixos deste plano é, em valor absoluto, constante. • A hipérbole é o conjunto de todos os pontos P do plano pi tais que: a)d(P,F) d(P,F 221 =−a)d(P,F) d(P,F 221 ±=− Quando o ponto P estiver no ramo da direita, a diferença é +2a e, caso contrário, será –2a. • Elementos da hipérbole: – Focos (F1 e F2) – Centro (C) – Vértices (A1 e A2) – Distância focal (2c) – Eixo real (2a) – Eixo imaginário (2b) – Assíntota – Excentricidade 1>= a c e c > a Vale a relação: c2= a2 + b2 θ é ângulo de abertura da hipérbole Quanto maior e, maior será θ. Se a=b, então θ =90° Eixo real Eixo imaginário Assíntota Assíntota • Eixo real está sobre o eixo dos x: Equação reduzida da hipérbole de centro na origem 12 2 2 2 =− b y a x Equação da assíntota: x a by ±= • Eixo real está sobre o eixo dos y: Equação reduzida da hipérbole de centro na origem 12 2 2 2 =− b x a y Equação da assíntota: x b ay ±= • Eixo real é paralelo ao eixo dos x Equação da hipérbole de centro fora da origem do sistema ( ) ( ) 12 2 2 2 = − − − b ky a hx C(h,k) F1(h-c,k) F2(h+c,k) A1(h-a,k) A2(h+a,k) Translação ( ) ( )hx a bky −±=−Equação da assíntota: • Eixo real é paralelo ao eixo dos y Equação da hipérbole de centro fora da origem do sistema ( ) ( ) 12 2 2 2 = − − − b hx a ky C(h,k) F1(h,k-c) F2(h,k+c) A1(h,k-a) A2(h,k+a)Equação da assíntota: ( ) ( )hx b aky −±=− Translação • No sistema de navegação LORAN (Long Range Navigation), duas estações de rádio localizadas em A e B transmitem simultaneamente sinais para um barco ou um avião localizado em P. O computador de bordo converte a diferença de tempo na recepção desses sinais em diferença de distância , e isso, de acordo com a definição de uma hipérbole, localiza o navio ou avião em um ramo de hipérbole (veja s figura). Suponha que a estação B esteja localizada 400 milhas a leste da estação A na costa. Um navio recebe o sinal de B 1200 microssegundos (µs) antes de receber o sinal de A. a) Assumindo que o sinal de rádio viaja a uma velocidade de 980 pés/µs, encontre uma equação da hipérbole na qual o navio esteja. b) Se o navio for esperado ao norte de B, a que distância da costa estará o navio? 1 3339375 121 1500625 12122 =− yx milhas248≈ • Em 1911, o físico Ernest Rutherford (1871-1937) descobriu que quando partículas alfa são atiradas para o núcleo de um átomo, elas são eventualmente repelidas do núcleo segundo uma trajetória hiperbólica. A figura ilustra a trajetória de uma partícula que se encaminha para a origem ao longo da reta e chega a 3 unidades do núcleo. Determine a equação da trajetória.
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