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Cônicas, Elipse, Parábola e Hipérbola

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Profª Drª Ana Paula Marins Chiaradia
AULA DE ALCV
• Uma seção cônica ou, simplesmente,
cônica é uma curva obtida cortando-se 
qualquer cone de duas folhas por um 
plano que não passa pelo vértice, 
chamado de plano secante.
• Se o plano secante for paralelo a uma 
geratriz do cone, a cônica é uma 
parábola.
• Se o plano secante não for paralelo a 
uma geratriz do cone e corta só uma 
das duas folhas do cone, a cônica é 
uma elipse.
degeneradas
Geratriz
• Se o plano secante não for paralelo a 
uma geratriz do cone e corta ambas as 
folhas do cone, a cônica é uma 
hipérbole.
• Se o plano secante for paralelo a base 
do cone, a cônica é uma 
circunferência.
degeneradas
Geratriz
• No caso de um plano que passa pelo 
vértice do cone obtém-se as cônicas 
degeneradas:
– ponto;
– uma reta; ou
– par de retas concorrentes. 
degeneradas
Geratriz
• Parábola é o lugar 
geométrico dos 
pontos de um plano 
eqüidistantes de um 
ponto fixo e de uma 
reta fixa, 
pertencentes a este 
mesmo plano.
• Parábola é o conjunto 
de todos os pontos P 
do plano pi tais que:
d (P,F) = d (P,P’)
'PPPF =
ou
• Elementos da 
parábola:
– Foco (F)
– Vértice (A)
– Diretriz (d)
– Parâmetro (p)
diretriz
foco
V
Vérticed(V,F) = d(V,A) = p/2
A
eixo
P’
diretriz:
Vértice: V(0,0)
p>0 e y>0 � côncava para cima p<0 e y<0 � côncava para baixo
2
py −=
Equação reduzida da parábola de centro na origem
x2 = 2py
diretriz:
Vértice:V(0,0)
p>0 e x>0 � côncava para direita p<0 e x<0 � côncava para esquerda
2
p
x −=
Equação reduzida da parábola de centro na origem
y2 = 2px
diretriz:
Vértice: V(h,k)
2
pky −=
Translação:
Foco: )
2
,( kphF +
( ) ( )kyphx −=− 22
diretriz:
Vértice: V(h,k)
2
phx −=
Foco: ),
2
( kphF +
Translação:
( ) ( )hxpky −=− 22
• Uma seção transversal 
de um refletor 
parabólico é mostrada 
na figura. A lâmpada é
colocada em um foco, e 
a abertura no foco é de 
10cm. 
• a) Encontre uma 
equação da parábola.
b) Encontre o diâmetro 
da abertura , 11 cm a 
partir do vértice. 
xy 102 =
1102
• Uma criança joga uma bola 
a um ângulo de 45°, da beira 
de um platô acima de uma 
colina de coeficiente 
angular, conforme a figura. 
• a) Se a bola toca o solo a 
50 metros da colina abaixo, 
ache a equação de sua 
trajetória parabólica (Ignore 
a altura da criança). 
• b) Qual a altura máxima 
da bola em relação ao solo?
5,3 m 
xxy +−= 2
160
7
• O arco de uma ponte é
semi-elíptico, com eixo 
maior horizontal. A 
base do arco tem 10 
metros e a parte mais 
alta está a 3 metros 
acima da rodovia, 
conforme a figura. 
Determine a altura do 
arco a 2 metros do 
centro da base. 
– 2,75m 
degeneradas
Geratriz
• A elipse é o lugar 
geométrico dos pontos 
de um plano cuja soma
das distâncias a dois 
pontos fixos deste 
plano é constante.
• A circunferência é um 
caso particular da uma 
elipse, onde os dois 
pontos fixos são 
coincidentes.
• A elipse é o 
conjunto de todos 
os pontos P do 
plano pi tais que:
d(P,F1) +d(P,F2)=2a
• Elementos da 
elipse:
– Focos (F1 e F2)
– Centro (C)
– Vértices (A1 e A2)
– Distância focal (2c)
– Eixo maior (2a)
– Eixo menor (2b)
– Excentricidade
10 <=<
a
c
e
c < a e b < a
Vale a relação: a2= b2 + c2
• Eixo maior está 
sobre o eixo dos x:
Equação reduzida da elipse de centro na origem
12
2
2
2
=+
b
y
a
x
Se na equação da elipse o número a2 é denominador de x2, a elipse
tem seu eixo maior sobre o eixo dos x.
• Eixo maior está 
sobre o eixo dos y:
Equação reduzida da elipse de centro na origem
12
2
2
2
=+
b
x
a
y
Se na equação da elipse o número a2 é denominador de y2, a elipse
tem seu eixo maior sobre o eixo dos y.
• Eixo maior é paralelo 
ao eixo dos x
Equação da elipse de centro fora da origem do sistema
( ) ( ) 12
2
2
2
=
−
+
−
b
ky
a
hx
C(h,k)
F1(h-c,k)
F2(h+c,k)
A1(h-a,k)
A2(h+a,k)
Translação
• Eixo maior é paralelo 
ao eixo dos y
Equação da elipse de centro fora da origem do sistema
( ) ( ) 12
2
2
2
=
−
+
−
b
hx
a
ky
C(h,k)
F1(h,k-c)
F2(h,k+c)
A1(h,k-a)
A2(h,k+a)Translação
Um corpo ligado a outro gravitacionalmente
gira em torno dele numa órbita elíptica,
sendo que um deles ocupa o foco da elipse.
Primeira Lei de Kepler
(Lei das órbitas elípticas)
As órbitas 
dos 
planetas 
são 
elipses 
com o Sol 
como foco.
Em uma órbita lunar o ponto mais próximo da 
superfície da Lua é chamado de perilúnio, e o ponto 
mais distante da superfície da Lua é chamado de
apolúnio. A nave espacial Apollo 11 foi colocada em 
uma órbita lunar elíptica com altitude de perilúnio de 
110km e altitude de apolúnio de 314 km (acima da 
Lua). Encontre uma equação dessa elipse se o raio 
da Lua for 1728km e o centro da Lua estiver em um 
dos focos. 
1
37531963763600
22
=+
yx
degeneradas
Geratriz
• A hipérbole é o 
lugar geométrico 
dos pontos de um 
plano cuja diferença
das distâncias a 
dois pontos fixos 
deste plano é, em 
valor absoluto, 
constante.
• A hipérbole é o 
conjunto de todos 
os pontos P do 
plano pi tais que:
a)d(P,F) d(P,F 221 =−a)d(P,F) d(P,F 221 ±=−
Quando o ponto P estiver no ramo da direita, a diferença é +2a e, 
caso contrário, será –2a.
• Elementos da 
hipérbole:
– Focos (F1 e F2)
– Centro (C)
– Vértices (A1 e A2)
– Distância focal (2c)
– Eixo real (2a)
– Eixo imaginário (2b)
– Assíntota
– Excentricidade
1>=
a
c
e
c > a
Vale a relação: c2= a2 + b2
 θ é ângulo de abertura da hipérbole
Quanto maior e, maior será θ. Se a=b, então θ =90°
Eixo real
Eixo imaginário
Assíntota
Assíntota
• Eixo real está sobre 
o eixo dos x:
Equação reduzida da hipérbole de centro na origem
12
2
2
2
=−
b
y
a
x
Equação da assíntota: x
a
by ±=
• Eixo real está sobre 
o eixo dos y:
Equação reduzida da hipérbole de centro na origem
12
2
2
2
=−
b
x
a
y
Equação da assíntota: x
b
ay ±=
• Eixo real é paralelo ao 
eixo dos x
Equação da hipérbole de centro fora da origem do sistema
( ) ( ) 12
2
2
2
=
−
−
−
b
ky
a
hx
C(h,k)
F1(h-c,k)
F2(h+c,k)
A1(h-a,k)
A2(h+a,k)
Translação
( ) ( )hx
a
bky −±=−Equação da assíntota:
• Eixo real é paralelo 
ao eixo dos y
Equação da hipérbole de centro fora da origem do sistema
( ) ( ) 12
2
2
2
=
−
−
−
b
hx
a
ky
C(h,k)
F1(h,k-c)
F2(h,k+c)
A1(h,k-a)
A2(h,k+a)Equação da assíntota: ( ) ( )hx
b
aky −±=−
Translação
• No sistema de navegação 
LORAN (Long Range
Navigation), duas estações de 
rádio localizadas em A e B 
transmitem simultaneamente 
sinais para um barco ou um 
avião localizado em P. O 
computador de bordo converte 
a diferença de tempo na 
recepção desses sinais em 
diferença de distância , e isso, 
de acordo com a definição de 
uma hipérbole, localiza o navio 
ou avião em um ramo de 
hipérbole (veja s figura). 
Suponha que a estação B 
esteja localizada 400 milhas a 
leste da estação A na costa. 
Um navio recebe o sinal de B 
1200 microssegundos (µs) 
antes de receber o sinal de A. 
a) Assumindo que o sinal de 
rádio viaja a uma velocidade 
de 980 pés/µs, encontre 
uma equação da hipérbole 
na qual o navio esteja. 
b) Se o navio for esperado ao 
norte de B, a que distância 
da costa estará o navio? 
1
3339375
121
1500625
12122
=−
yx
milhas248≈
• Em 1911, o físico Ernest 
Rutherford (1871-1937) 
descobriu que quando 
partículas alfa são 
atiradas para o núcleo de 
um átomo, elas são 
eventualmente repelidas 
do núcleo segundo uma 
trajetória hiperbólica. A 
figura ilustra a trajetória 
de uma partícula que se 
encaminha para a origem 
ao longo da reta e chega 
a 3 unidades do núcleo. 
Determine a equação da 
trajetória.

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