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Autora: Profa. Maria Ester Domingues de Oliveira Colaboradores: Prof. Flávio Celso Müller Martin Prof. Fábio Gomes da Silva Profa. Ana Carolina Bueno Borges Matemática Aplicada Professora conteudista: Maria Ester Domingues de Oliveira Graduada em Engenharia de Produção pela Universidade Paulista – UNIP (1995). Pós-graduada em Gestão de Pessoas pela Fundação Getulio Vargas (2008), também possui pós-graduação em Coaching Integrado, pelo Integrated Coaching Institute (2009), MBA em Recursos Humanos pela Fundação Getúlio Vargas (2011), e mestrado em Engenharia Civil pela Escola Politécnica da USP (2011). Tem experiência consolidada de mais de 17 anos nas áreas de recursos humanos, desenvolvimento de pessoas e treinamento em cargos de comando. Atua como professora universitária desde 2003. Foi Coordenadora do Programa de Iniciação a Práticas Administrativas – PIPA, em 2007, na UNIP. É autora de alguns livros para a UNIP Interativa nas disciplinas Processos Decisórios, Matemática Básica, Matemática Aplicada, Matemática Comercial e Estatística. Atualmente, ministra aulas na UNIP nas seguintes disciplinas: Processos Decisórios; Liderança e Gestão e Estatística. Também leciona Matemática nos cursos de Administração, Relações Internacionais e Contabilidade. © Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Universidade Paulista. Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) O48m Oliveira, Maria Ester Domingues de Matemática aplicada. / Maria Ester Domingues de Oliveira – São Paulo: Editora Sol, 2013. 60 p., il. Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XVII, n. 2-064/13, ISSN 1517-9230. 1. Matemática. 2. Receita. 3. Custo. I. Título. CDU 51 Prof. Dr. João Carlos Di Genio Reitor Prof. Fábio Romeu de Carvalho Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças Profa. Melânia Dalla Torre Vice-Reitora de Unidades Universitárias Prof. Dr. Yugo Okida Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez Vice-Reitora de Graduação Unip Interativa – EaD Profa. Elisabete Brihy Prof. Marcelo Souza Profa. Melissa Larrabure Material Didático – EaD Comissão editorial: Dra. Angélica L. Carlini (UNIP) Dr. Cid Santos Gesteira (UFBA) Dra. Divane Alves da Silva (UNIP) Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR) Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT) Dra. Valéria de Carvalho (UNIP) Apoio: Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos Projeto gráfico: Prof. Alexandre Ponzetto Revisão: Juliana Maria Mendes Amanda Casale Sumário Matemática Aplicada APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7 INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................7 Unidade I 1 DEMANDA DE MERCADO ................................................................................................................................9 1.1 Exercícios resolvidos passo a passo ............................................................................................... 14 2 OFERTA DE MERCADO ................................................................................................................................... 18 2.1 Exercícios resolvidos passo a passo ............................................................................................... 21 3 PREÇO E QUANTIDADE DE EQUILÍBRIO .................................................................................................. 24 3.1 Exercícios resolvidos passo a passo ............................................................................................... 26 Unidade II 4 RECEITA TOTAL .................................................................................................................................................. 32 4.1 Exercícios resolvidos passo a passo ............................................................................................... 36 5 CUSTO TOTAL ..................................................................................................................................................... 38 5.1 Exercícios resolvidos passo a passo ............................................................................................... 39 6 PONTO DE NIVELAMENTO E LUCRO TOTAL ............................................................................................ 42 6.1 Ponto de nivelamento ........................................................................................................................ 42 6.2 Lucro total ............................................................................................................................................... 44 6.3 Exercícios resolvidos passo a passo ............................................................................................... 46 7 APRESENTAÇÃO A Matemática é uma ciência de grande relevância na formação profissional do aluno nas mais diversas carreiras. Na disciplina Matemática Aplicada, procuramos focar os estudos em conteúdos que apresentem ligação com o escopo profissional do administrador de empresas. Dessa forma, objetivamos modelar matematicamente os problemas quantitativos característicos dessa profissão, possibilitando uma visão analítica e mais criteriosa dos contextos aplicados dessa ciência. Em contrapartida, visamos possibilitar o desenvolvimento de uma forma de expressão mais crítica e criativa na solução de problemas, quando da aplicação das funções matemáticas correlacionadas a esse campo profissional. O conhecimento matemático aqui demonstrado auxiliará o futuro profissional da área de Administração a enfrentar os desafios típicos do exercício da profissão, com as devidas confiança e competência. O material está dividido em duas partes. Primeiramente, estudaremos demanda, oferta de mercado e preço/quantidade de equilíbrio. Na segunda parte, abordaremos receita e custo total, ponto de nivelamento e lucro total. Os conteúdos estão apresentados de forma didática e por meio de exemplos. Sugerimos, como complemento de estudo, a utilização de outras bibliografias. Observação Durante as aulas, os questionários e as provas, utilize uma calculadora simples para facilitar os cálculos. INTRODUÇÃO Esta disciplina trata da aplicação dos conteúdos de Matemática em situações práticas que servem ao entendimento de fenômenos ligados aos problemas relacionados com a formação profissional na área de Administração. A contextualização e a aplicação dos conteúdos matemáticos (já estudados) contemplarão o objetivo geral da disciplina Matemática Aplicada: transformar – por meio de formulações e modelos matemáticos, do desenvolvimento do raciocínio lógico, do espírito de investigação e da habilidade em solucionar impasses – os problemas desse campo profissional, com base nas condições dadas, em métodos e modelos dedutíveis que sirvam para obter resultados válidos e, principalmente, para possibilitar que você se expresse de maneira crítica e criativa na solução das questões que se apresentem. Por meio dessa disciplina, você será capaz de: trabalhar as operações com fórmulas e modelos matemáticos; desenvolver habilidades de raciocínio lógico e espírito de investigação; desenvolver habilidades de solução de problemas, identificação de variáveis, condições de contorno, contextualização e trabalhar uma visão global do pensamentomatemático; aplicar os conhecimentos matemáticos em situações específicas envolvidas em problemas ligados ao escopo do administrador; transformar os 8 problemas do campo profissional, com base nas condições dadas, em métodos e modelos dedutíveis para a obtenção de resultados válidos; e expressar-se de maneira crítica e criativa na solução de problemas, quando da aplicação de conceitos matemáticos correlacionados à formação profissional do administrador. 9 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 -0 8- 20 12 MateMática aplicada Unidade I 1 DEMANDA DE MERcADO Preços reduzirão demanda por milho e soja para ração – Oil World Um aumento nos preços de soja e milho nas últimas quatro semanas, que se elevaram a altas históricas, diminuirá a demanda mundial por parte dos produtores agropecuários, à medida que reduzem o número de animais e aumentam a busca por alternativas mais baratas, disse a consultoria especializada em oleaginosas Oil World, nessa terça-feira (24). “A recente explosão dos preços dos alimentos levará inevitavelmente à diminuição da demanda no uso de milho e farelo de soja para alimentação animal nos próximos meses”, disse a Oil World (CENÁRIO MT, 2012). Esse artigo mostra que demanda (ou procura) é a quantidade de um bem tangível ou intangível que os clientes querem adquirir por um preço estipulado, durante determinado tempo, em um certo mercado. A demanda pode ser chamada de procura, mas nem sempre pode ser considerada consumo, já que é possível querermos comprar e não querermos consumir. A quantidade de um bem que os compradores desejam e podem comprar é chamada de quantidade demandada. Segundo Silva (2011), a função que a todo preço (P) associa a demanda ou a procura de mercado é denominada função demanda ou função procura de mercado da utilidade no período considerado. Ou seja, variações de preço correspondem, de alguma maneira, a variações de quantidade demandada. Observação As funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois elementos. Por exemplo, uma caneta esferográfica simples com um preço na casa de alguns poucos reais encontra mercado de milhões de unidades. Essa mesma caneta, se tiver o preço na casa de centenas de reais, terá procura bem menor. Segundo Bonora (2006), a demanda de um bem é função do preço: q = f (p), e essa função é linear (y = ax + b). 10 Unidade I Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 -0 8- 20 12 A representação gráfica dessa função constitui a curva de demanda ou de procura da utilidade. • Exemplo Para determinado produto foi calculada a função D = 10 – 2P, onde P é o preço por unidade do bem ou serviço e D é a demanda de mercado correspondente. Para que ocorra mercado, as condições básicas devem ser: — preço maior que zero (P > 0); — demanda ou procura pelo produto maior que zero (D > 0). • Observe Ao admitirmos D > 0, ocorre: 10 – 2P > 0 10 > 2P 10 > P 2 5 > P ou P < R$ 5,00 Portanto, o preço do produto, nessa situação, varia entre 0 e R$ 5,00. 0 < P < R$ 5,00 Ao admitirmos P > 0, ocorre: D = 10 – 2P D + 2P = 10 2P = 10 – D P = 10 – D 2 10 – D > 0 2 11 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 -0 8- 20 12 MateMática aplicada 10 – D > 0 · 2 10 – D > 0 10 > D ou D < 10 Portanto, a demanda (ou procura) pelo produto, nessa situação, varia entre 0 e 10 unidades. 0 < D < 10 unidades Para representar graficamente essa situação, podemos construir a seguinte tabela: P D 0 0 D = 10 – 2P = 10 – 2 · (0) = 10 – 0 = 10 unidades P D 0 10 0 D = 10 – 2P 0 = 10 – 2P 2P = 10 P = R$ 5,00. P D 0 10 5 0 12 Unidade I Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 -0 8- 20 12 Demanda (D): quantidade 10 0 5 Preço (P): R$ Figura 1 – Representação gráfica de D = 10 – 2P • Observe o gráfico anterior: — variação do preço: 0 < P < R$ 5,00; — variação da demanda: 0 < D < 10 unidades; — conforme o preço aumenta, a demanda ou procura pelo produto diminui, tornando tal função decrescente. Nesse caso, onde D = 10 – 2P, podemos dizer que, quando o preço do produto aumenta em uma unidade, a procura pelo produto diminui em duas unidades. • Exemplo Para P = R$ 1,00, temos: D = 10 – 2·(1) = 10 – 2 = 8 unidades. Para P = R$ 2,00, temos: D = 10 – 2·(2) = 10 – 4 = 6 unidades. Para P = R$ 3,00, temos: D = 10 – 2·(3) = 10 – 6 = 4 unidades. Ainda nesse caso, o preço do produto, quando D = 4 unidades, é de P = R$ 3,00. 13 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 -0 8- 20 12 MateMática aplicada Veja: D = 4 10 – 2P = 4 10 = 4 + 2P 10 – 4 = 2P 6 = 2P 3 = P P = R$ 3,00. Ainda no mesmo caso, quando D > 4 unidades, os preços poderão variar: P < R$ 3,00. Veja: D > 4 10 – 2P > 4 10 > 4 + 2P 10 – 4 > 2P 6 > 2P 3 > P ou P < R$ 3,00. A aplicação prática da função demanda está diretamente relacionada à capacidade das organizações de levantar dados que permitam o estabelecimento da função. Saiba mais Leia em <http://monografias.brasilescola.com/administracao-financas/ demanda-oferta-procura.htm> um artigo sobre a lei da Demanda da Oferta e Procura. 14 Unidade I Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 -0 8- 20 12 1.1 Exercícios resolvidos passo a passo 1. Uma grande rede de supermercados analisou seus dados de vendas em função de preços diferentes nas diversas lojas. Figura 2 A análise revelou que o produto x tem uma demanda de mercado dada por: D = 250 – 10P. Qual o preço para uma quantidade demandada de 150 produtos? D = 250 – 10P P = (250 – D)/10 P = (250 – 150)/10 P = 10 Portanto, para uma demanda de 150 unidades, o preço deve ser de R$ 10,00. 2. Leia este trecho de artigo jornalístico. Souza Cruz reduz preços de quatro marcas de cigarro A Souza Cruz baixou, na terça-feira, o preço de algumas de suas marcas vendidas na cidade de São Paulo, única, até o momento, beneficiada pela redução. As marcas que tiveram corte no preço são a Dunhill, Free Box, Lucky Strike e Hollywood. Segundo informações da assessoria de imprensa da empresa, a nova tabela de preços deve vigorar também em outras cidades, mas os porcentuais de redução serão diferentes, variando de acordo com a carga tributária de cada região do País. 15 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 -0 8- 20 12 MateMática aplicada “A Souza Cruz tem monitorado os movimentos de preço de seus competidores desde o dia 6 de abril com o objetivo de garantir a competitividade de seu portfólio. Em resposta aos movimentos de preços de seu principal concorrente, a Souza Cruz decidiu reposicionar o preço de algumas de suas principais marcas em áreas específicas do país”, informa um comunicado divulgado pela Souza Cruz. Segundo a empresa, o preço do Dunhill recuou de R$ 6,00 para R$ 5,50; do Free Box, de R$ 5,50 para R$ 5,25; do Lucky Strike, de R$ 5,25 para R$ 5,00; do Free maço, de R$ 5,00 para R$ 4,40; e do Hollywood, de R$ 4,60 para R$ 4,30. Apenas a marca Derby manteve o preço, de R$ 4,25 (PETRY e SILVA, 2012). Imagine que, para o produto Derby, a função demanda seja D = 15 – 3P. Como o preço desse produto poderá variar? 15 – 3P > 0 15 > 3P 15 > P 3 5 > P ou P < R$ 5,00 Portanto, o preço de Derby, nessa situação, pode variar entre 0 e R$ 5,00. 0 < P < R$ 5,003. Uma operadora de turismo na cidade do Rio de Janeiro apresenta vários pacotes de um dia com passeios a pontos selecionados da cidade. Figura 3 16 Unidade I Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 -0 8- 20 12 Esses pacotes podem incluir, por exemplo, visitas guiadas ao Pão de Açúcar, Corcovado, Maracanã e outros. Uma análise matemática revelou que a demanda de mercado do passeio ao Forte de Copacabana é dada por D = 4.000 – 30P. Qual a demanda se o preço for de R$ 35,00? D = 4.000 – 30P D = 4.000 – 30 · (35) D = 4.000 – 1.050 D = 2.950 unidades Portanto, ao preço de R$ 35,00, existirá procura (demanda) de 2.950 unidades. 4. Uma importadora de vinhos conseguiu calcular a demanda de mercado de determinado vinho francês. Figura 4 A demanda é expressa por D = 5.000 – 30P. Uma vez que a vinícola francesa estabeleceu condições comerciais limitando a quantidade, qual o preço para a demanda ser de 2.000 unidades? D = 2.000 5.000 – 30P = 2.000 5.000 = 2.000 + 30P 5.000 – 2.000 = 30P 17 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 -0 8- 20 12 MateMática aplicada 3.000 = 30P 3.000 = P 30 R$ 100,00 = P Portanto, a procura de 2.000 unidades do produto corresponde ao preço de R$ 100,00 / unidade. 5. Uma loja de roupas femininas calculou a demanda de mercado de determinado conjunto como D = 4300 – 16P. Figura 5 Uma vez que há dúvidas sobre o volume da demanda, é necessário estipular os preços com a demanda entre 500 e 800 unidades. Quais são esses preços? D > 500 4.300 – 16P > 500 – 16P > 500 – 4.300 – 16P > – 3.800 – 16 – 16 P < R$ 237,50. D < 800 18 Unidade I Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 -0 8- 20 12 4.300 – 16P < 800 – 16P < 800 – 4.300 – 16P < – 3.500 – 16 – 16 P > R$ 218,75. Os preços oscilam entre R$ 218,75 e R$ 237,50, conforme ocorre a variação da demanda entre 500 e 800 unidades, ou seja, nesse caso, R$ 218,75 < P < R$ 237,50. Exemplo de aplicação Imagine um banco de dados com preços de gasolina associados com o volume de vendas em cada posto. Há diversas interseções preço x volume, o que permitiria a análise matemática dessas relações para estabelecer uma função. 2 OFERTA DE MERcADO Preço do suíno vivo aumenta em SP Os suinocultores em São Paulo estão registrando aumento de preço nas vendas do quilo do suíno. Alguns criadores chegaram a comercializar, nesta quinta-feira (26/7), por R$ 50,00 a arroba, que representa R$ 2,67 o quilo do suíno vivo. Na semana passada, segundo a Associação Paulista de Criadores de Suínos (APCS), a arroba chegou a ser negociada a R$ 42,00, preço que foi subindo ao longo da semana em virtude da redução de oferta do suíno vivo no mercado. No início desta semana, a entidade recomendou aos suinocultores que não vendessem os animais por valores abaixo de R$ 47,00 por arroba (equivalente a R$ 4,2 o quilo da carcaça) (GLOBO RURAL, 2012). O artigo mostra que os suinocultores só aceitarão vender a produção se um patamar de preços for respeitado. Trata-se da função oferta, que representa a relação entre o preço de mercado de um bem e a quantidade desse mesmo bem que os produtores estão dispostos a produzir e a vender. Segundo Silva (2011), a função que a todo preço (P) associa a oferta de mercado é denominada função oferta de mercado da utilidade no período considerado. Ou seja, variações de preço provocam, de alguma maneira, variações de quantidade ofertada (produzida). Por exemplo, a alta dos preços de carne suína em determinado período pode incentivar suinocultores a aumentar a produção, ou até mesmo levar novos produtores a passarem a oferecer no mercado. Em 19 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 -0 8- 20 12 MateMática aplicada contrapartida, se o preço da carne suína estiver em baixa, os produtores poderão mudar para outro tipo de produção. A representação gráfica dessa função constitui a curva de oferta da utilidade. Saiba mais Leia em <http://www.artigos.com/artigos/sociais/administracao/ demanda-e--oferta!-2109/artigo/> mais explicações sobre curva de oferta. • Exemplo Para determinado produto, foi calculada a função S = – 8 + 2P, onde P é o preço por unidade do bem ou serviço e S é a correspondente oferta de mercado. Sabemos que P < R$ 10,00. Para que ocorra mercado, o produto deve ser oferecido para venda, portanto: (S > 0). • Observe Ao admitirmos S > 0, ocorre: – 8 + 2P > 0 2P > 8 P > R$ 4,00 Portanto, o preço do produto, nessa situação, deverá ser maior que R$ 4,00. Ou seja, o fabricante somente oferecerá o produto ao cliente se os preços forem maiores do que R$ 4,00. • Exemplo Para P = R$ 4,00, -S = – 8 + 2·(4) = – 8 + 8 = 0 unidade oferecida para venda. Para P = R$ 5,00, S = – 8 + 2·(5) = – 8 + 10 = 2 unidades oferecidas para venda. Para P = R$ 6,00, S = – 8 + 2·(6) = – 8 + 12 = 4 unidades oferecidas para venda. Para representar graficamente essa situação, podemos construir a seguinte tabela: P S 0 10 20 Unidade I Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 -0 8- 20 12 Atenção: adotamos P = 10, pois o problema, nesse caso, diz que P < R$ 10,00. Para S = 0 – 8 + 2P = 0 2P = 8 P = 4 P = R$ 4,00 P S 4 0 10 Para P = 10 S = – 8 + 2P = – 8 + 2·(10) = – 8 + 20 = 12 unidades P S 4 0 10 12 Oferta (S): quantidade 12 0 4 10 Preço (P): R$ Figura 6 – Representação gráfica de S = – 8 + 2P • Observe o gráfico anterior: — o oferecimento do produto existirá para preços acima de R$ 4,00; — conforme o preço aumenta, o oferecimento (S) do produto aumenta também, tornando a função crescente. 21 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 -0 8- 20 12 MateMática aplicada Para o vendedor, quanto maior o preço do produto, mais produtos oferecerá para venda. Entretanto, será que a procura (demanda) pelo produto será satisfatória? O próximo tópico cruzará demanda e oferta por meio de preço e quantidade de equilíbrio. Lembrete Logicamente, o produtor / vendedor quer oferecer o bem pelo maior preço possível, enquanto o cliente quer comprar pelo menor preço possível. É importante entender as funções demanda e oferta exatamente em virtude dessa dinâmica de mercado. 2.1 Exercícios resolvidos passo a passo 1. Uma loja calculou que a oferta de mercado de determinado produto é dada por: S = P – 10, com P < 200. Figura 7 Qual o preço para a oferta ser de 80 unidades? S = 80 P = ? S = P – 10 P = S + 10 P = 80 + 10 = 90 Portanto, o preço é de R$ 90,00. 22 Unidade I Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 -0 8- 20 12 2. Uma grande metalúrgica analisou os dados de preços e produção de determinado produto e concluiu que a função oferta é S = – 10 + 0,5P, com P < R$ 60,00. Figura 8 Quais os preços que impedem o oferecimento do produto? Sabemos que haverá oferta do produto quando S > 0. – 10 + 0,5P > 0 0,5P > 10 P > 10 0,5 P > R$ 20,00. Haverá oferta do produto para preços maiores que R$ 20,00 e não haverá oferta do produto para preços compreendidos entre 0 e R$ 20,00 (inclusive R$ 20,00, pois, para P = 20, S = 0). Portanto, podemos dizer que não haverá oferta do produto para a seguinte variação de preço: 0 < P < R$ 20,00. 2. Uma cozinheira produz bolos para venda na escola em que trabalha. 23Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 -0 8- 20 12 MateMática aplicada Figura 9 Um dos alunos ajudou a calcular a função oferta dada por S = – 12 + 3P, com P < R$ 20,00. Com um preço de R$ 20,00, podemos afirmar que serão oferecidas quantas unidades para venda? S = – 12 + 3·(20) S = – 12 + 60 S = 48 unidades. Ao preço de R$ 20,00 / unidade, a quantidade oferecida para venda é de 48 unidades. 3. Considere a função oferta S = – 12 + 3P, com P = < R$ 20,00. Quais os preços em que a oferta do produto existirá e será menor do que 12 unidades? S > 0 – 12 + 3P > 0 3P > 12 P > 12 3 P > R$ 4,00 (o oferecimento do produto existirá para preços maiores que R$ 4,00). S < 12 24 Unidade I Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 -0 8- 20 12 – 12 + 3P < 12 3P < 12 + 12 3P < 24 P < 24 3 P < R$ 8,00 Portanto, para preços que variam entre R$ 4,00 e R$ 8,00, o oferecimento do produto existirá e será menor que 12 unidades. Ou seja, nesse caso, R$ 4,00 < P < R$ 8,00. 3 PREÇO E QUANTIDADE DE EQUILÍBRIO Quando as quantidades oferecidas de um bem tangível ou intangível são iguais às quantidades demandadas, ocorre o equilíbrio de mercado. O preço para o qual as quantidades oferecidas são iguais às quantidades demandadas é chamado de preço de equilíbrio. A quantidade de equilíbrio é a quantidade em que tanto a procura como a oferta são iguais. Quando a oferta é maior que a demanda, ou seja, há mais produtos à venda do que clientes dispostos a comprar, parte das empresas tenta reduzir seus estoques diminuindo os preços. Quando a demanda é maior que a oferta, ou seja, há mais interessados no produto do que produtos disponíveis, as empresas aumentam a quantidade ofertada e os preços dos produtos, fazendo que a demanda diminua. Nos dois casos, o objetivo é levar o mercado para o preço e a quantidade de equilíbrio. Conforme Silva (2011), o preço de mercado (PE) para dada utilidade é o preço para o qual a demanda e a oferta de mercado dessa utilidade coincidem. A quantidade correspondente ao preço de equilíbrio é denominada quantidade de equilíbrio de mercado da utilidade (QE). Saiba mais Leia em <http://www.infoescola.com/economia/lei-da-oferta-e-da-procura -demanda-e-oferta/> um artigo sobre a Lei de Oferta e Demanda. • Exemplo Considere estes casos: Demanda: D = 40 – 2P Oferta: S = – 15 + 3P, com P < R$ 20,00. 25 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 -0 8- 20 12 MateMática aplicada Para construir a representação gráfica destes casos: Demanda (a tabela se constrói como no exemplo anterior): P D P D 0 0 40 0 20 0 Oferta (a tabela se constrói como no exemplo anterior): P S P S 0 5 0 20 20 45 (QE) 18 45 40 5 11 20 D = 40 - 2P S = -15 + 3P (PE) Demanda (D), oferta (S): qualidade Preço (P): R$0 Figura 10 – Representação gráfica de demanda: D = 40 – 2P e S = – 15 + 3P Como encontrar PE e QE? • Observando o gráfico: — na função demanda, quanto maior o preço, menor a procura pelo produto (gráfico decrescente); — na função oferta, quando maior o preço, maior é o oferecimento do produto (gráfico crescente). 26 Unidade I Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 -0 8- 20 12 Sabemos que preços elevados de um produto possibilitam a obtenção de maior lucro e, por isso, para o vendedor, quanto mais alto o preço do produto oferecido, maior será seu lucro. No entanto, não podemos esquecer que a procura pelo produto está vinculada, também, ao seu preço de venda, ocorrendo de maneira inversa ao seu oferecimento: quanto maior o preço, maior será o oferecimento do produto, porém menor será sua procura. Daí a importância de um preço (PE) em que a oferta e a demanda sejam comuns (QE) – preço e quantidade de equilíbrio. Encontrando PE e QE da situação anterior (por meio de cálculos): Dadas as funções D = 40 – 2P e S = – 15 + 3P, com P < R$ 20,00, encontre preço de equilíbrio (PE) e quantidade de equilíbrio (QE): D = S (ou seja, demanda igual à oferta) 40 – 2P = – 15 + 3P 40 + 15 = 3P + 2P 55 = 5P 55 = P 5 11 = P P = R$ 11,00 (PE). Escolher uma das funções para encontrar QE, por exemplo, D = 40 – 2P: D = 40 – 2·(11) = 40 – 22 = 18 unidades (QE). Como D = S, podemos escolher qualquer uma das funções para encontrar QE (dará o mesmo resultado). 3.1 Exercícios resolvidos passo a passo 1. Uma sorveteria tem demanda dada por D = 20 – P e oferta dada por S = -10 + 2P, sendo o preço máximo R$ 20,00. 27 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 -0 8- 20 12 MateMática aplicada Figura 11 Determinar o preço de equilíbrio (PE) e a quantidade de equilíbrio (QE). Lembrete Preço de equilíbrio e quantidade de equilíbrio são estabelecidos quando demanda (D) é igual a oferta (S), portanto iniciamos com D = S. D = S 20 – P = – 10 + 2P 20 – P + 10 = 2P 30 = 2P + P 30 = 3P 30 = P 3 R$ 10,00 = P Preço de equilíbrio (PE) = R$ 10,00 Escolhemos uma das funções e substituímos o valor encontrado (PE) na variável P: D = 20 – P D = 20 – 10 = 10 unidades 28 Unidade I Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 -0 8- 20 12 Quantidade de equilíbrio (QE) = 10 unidades Portanto, ao preço de R$ 10,00 / unidade, temos quantidades iguais de procura e oferecimento do produto. Resumo Para que ocorra mercado, as condições básicas devem ser: preço maior que zero, demanda ou procura pelo produto maior que zero e oferta maior que zero. Demanda (ou procura) é a quantidade de produtos que os clientes querem adquirir, mediante um preço estipulado durante certo tempo em um determinado local. O cálculo da demanda pode ser realizado por meio da função demanda, que explica a relação entre demanda e preço em cada caso apresentado. Oferta é a quantidade de mercadorias que os produtores estão dispostos a produzir e vender, mediante um preço estipulado durante certo tempo em um determinado local. O cálculo da oferta pode ser realizado por meio da função oferta, que explica a relação entre oferta e preço em cada caso apresentado. Quando a oferta é igual à demanda, ocorre o equilíbrio de mercado, ou seja, é uma situação denominada ótima, na qual tudo o que foi produzido é vendido, e não há nenhum comprador sem acesso ao bem ofertado. Sendo possível calcular tanto demanda quanto oferta, é possível calcular também as condições para ocorrer equilíbrio de mercado. Exercícios Questão 1. Podemos enunciar a lei da oferta em relação ao preço de um produto da seguinte forma: “A predisposição para a oferta ou demanda de um produto pelos fornecedores no mercado, geralmente aumenta quando o preço aumenta, e diminui quando o preço diminui” (MUROLO; BONETTO, 2006). As funções demanda e oferta para uma marca de calculadora são: D P e S P= − + = − 3 4 30 5 4 10 . 29 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 -0 8- 20 12 MateMática aplicada Assinale a alternativa incorreta: A) O preço de equilíbrio da calculadora é R$ 20,00. B) O preço que impede o oferecimento do produto é de P > R$ 9,00. C) O preço de equilíbrio é atingido quando15 calculadoras são vendidas. D) O preço da calculadora deve ser menor que R$ 40,00 para que haja demanda de mercado. E) Na função oferta podemos perceber que, quanto maior o preço, maior é o oferecimento doproduto. Resposta incorreta: alternativa B. Análise das alternativas A) Alternativa correta. Justificativa: o preço de equilíbrio é atingido quando o preço da quantidade de calculadoras oferecida é igual ao da quantidade demandada. Assim, D = S: D S P P P P P P P = → − + = = − − → − − = −( ) → − = − → = − − → = 3 4 30 5 4 10 30 3 5 4 40 8 160 160 8 . 220 Portanto, o preço de equilíbrio é de R$ 20,00. B) Alternativa incorreta. Justificativa: sabemos que haverá oferta do produto quando S > 0. Então, 5 4 10 0 5 4 10 5 10 4 40 5 9 00P P P P P R− > → > → > → > → >. $ , . Haverá oferta do produto para preços maiores que R$ 9,00. Portanto, não haverá oferta do produto quando a variação de preço for 0 < P < R$ 9,00. C) Alternativa correta. Justificativa: o preço de equilíbrio é de R$ 20,00. Então, usando a função demanda ou a função oferta, podemos determinar a quantidade de calculadoras. Usamos a função oferta: S P= − = − = − = 5 4 10 5 4 20 10 25 10 15 . Assim, determinamos que a quantidade de calculadoras vendidas para atingir o preço de equilíbrio é 15. 30 Unidade I Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 -0 8- 20 12 D) Alternativa correta. Justificativa: para determinar o preço da calculadora e para que haja demanda de mercado, D > 0. Então, − + > → − > − → < → < → < 3 4 30 0 3 4 30 3 4 30 30 4 3 40P P P P P . . O preço deve ser menor que R$ 40,00. E) Alternativa correta. Justificativa: para verificar se a oferta aumenta quando o preço aumenta, devemos substituir valores do preço na função S P= − 5 4 10 para determinar a oferta. A tabela mostra que, quanto maior o preço, maior será a oferta de calculadoras. Preço (P) Oferta (S) 0 -10 8 0 16 10 20 15 Questão 2. Uma indústria de margarina produz, atualmente, 50.000 unidades de um único produto. Nesse processo, a demanda e a oferta são dadas pelo gráfico a seguir: y p 200 100 150 50 -50 -10 10 30 5020 Preço (R$) De m an da (D ); Of er ta (s ) 40 60 O problema foi que o gráfico não identificou qual reta corresponde à demanda e qual reta corresponde à oferta do produto, mas sabe-se que o preço de equilíbrio é de R$ 40,00. Analise os itens seguintes: I – A oferta é dada por S = 2p –40 produtos, enquanto a demanda local é de D = –4p + 200. II – A quantidade de produtos que foram vendidos para obter-se um preço de equilíbrio foi entre 0 e 40 unidades (0 < q < 40). 31 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 -0 8- 20 12 MateMática aplicada III – A função oferta no gráfico está representada pela reta decrescente porque, quanto maior o preço, menor é o oferecimento do produto. IV – O preço da demanda de mercado pelo produto varia entre 0 e R$ 40. Quais dessas afirmativas estão corretas? A) I, apenas. B) II, apenas. C) III, apenas. D) III e IV. E) II e IV. Resolução desta questão na plataforma.
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