Matemática Aplicada - Slides de Aula – Unidade I

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Unidade I
MATEMÁTICA APLICADA
Profa. Ana Carolina Bueno
Demanda de mercado
 Quantidade de produto que os clientes 
querem adquirir por um preço 
estipulado, durante determinado tempo, 
em um certo mercado.
 Quantidade demandada: quantidade de 
um bem que os compradores desejam e 
podem comprar.
Função demanda de mercado
 Função demanda ou função procura: 
função que a todo preço (P) associa a 
demanda ou a procura de mercado. 
Variações de preço correspondem, de 
alguma maneira, a variações de 
quantidade demandadaquantidade demandada. 
 Demanda de um bem é função do preço: 
q = f (p): (y = ax + b). 
 Curva de demanda ou de procura da 
utilidade.
Exemplo – demanda por 
refrigerante
Fonte: Aulas do Prof. Germano
Determinantes da demanda
 Que fatores determinam a quantidade de 
refrigerantes que você quer comprar?
 Que fatores determinam a quantidade de 
refrigerantes que você pode comprar?
 preço;preço;
 renda;
 preço de produtos;
 gosto;
 expectativa;p ;
 número de consumidores;
 marca;
 atendimento etc
Aumento da demanda
Aumento da demanda resulta em:
 deslocamento da demanda para direita;
 aumento no Pe;
 aumento na Qe.
P
E0
S
P0
E1P1
Q/t
D0
P0
Q0 Q1
D1
Diminuição da demanda
Diminuição da demanda resulta em:
 deslocamento da demanda para esquerda;
 diminuição no Pe;
 diminuição na Qe.
P
E0
S
P0
Q/t
P0
Q0
E1
P1
Q1
D1
D0
Exemplo – demanda por caneta
 Uma caneta esferográfica com um preço 
na casa de alguns poucos reais encontra 
mercado de milhões de unidades. Essa 
mesma caneta, se tiver o preço na casa 
de centenas de reais, terá procura bem 
menormenor.
 Para esse produto foi calculada a 
função: 
D = 10 – 2P
 em que P é o preço por unidade do bemem que P é o preço por unidade do bem 
ou serviço e D é a demanda de mercado.
Exemplo – demanda por caneta
 A função é D = 10 – 2P, 
 em que P é o preço por unidade do bem 
ou serviço e D é a demanda de mercado.
Para que ocorra mercado, as condições 
básicas devem ser:básicas devem ser:
 D > 0
 P > 0
 Se D > 0, portanto, 0 < P < R$ 5,00., p , $ ,
 Se P > 0, então, 0 < D < 10 unidades.
Exemplo – cálculos 
Se D > 0:
10 – 2P > 0 
10 > 2P 
10/2 > P 
 Admitindo P > 0:
D = 10 – 2P 
D + 2P = 10 
2P = 10 – D 
5 > P ou P < R$ 5,00
 Portanto, 
0 < P < R$ 5,00
P = (10 – D)/2 
(10 – D)/2 > 0 
10 – D > 0 · 2 
10 – D > 0 
10 D D 1010 > D ou D < 10
 Portanto, 
0 < D < 10 unidades
Exemplo – representação gráfica 
 D = 10 – 2P
P D
0 10
5 0
Exemplo – análise 
D = 10 – 2P
 Para P = R$ 1,00; temos: D = 10 – 2·(1) = 
10 – 2 = 8 unidades.
 Para P = R$ 2,00; temos: D = 10 – 2·(2) = 
10 – 4 = 6 unidades.10 4 6 unidades.
 Para P = R$ 3,00; temos: D = 10 – 2·(3) = 
10 – 6 = 4 unidades.
 Quando D = 4 unidades, P = R$ 3,00.
 Quando D > 4 unidades, 10 – 2P > 4; 
10 > 4 + 2P; 10 – 4 > 2P; 6 > 2P; 3 > P ou 
P < R$ 3,00.
Interatividade
Observe o gráfico e as afirmações abaixo.
I. Quando o preço está em um nível elevado, a 
demanda pelo produto é menor.
II. Ao preço de R$ 10,00 teremos somente 8.000 
quilos vendidos. 
III Se o preço está em um nível mais baixo aIII. Se o preço está em um nível mais baixo, a 
demanda pelo produto será maior. 
IV. Ao preço de R$ 5,00 haverá 15.000 quilos 
vendidos.
Quais afirmações
são verdadeiras?
) I IIa) I e II
b) I, II e III
c) II e IV
d) II, III e IV
e) III e IV
Oferta de mercado
 É a quantidade de produtos que 
vendedores desejam e podem produzir 
para vender a diversos níveis de preço.
 Função oferta: relação entre o preço de 
mercado de um bem e a quantidade 
desse mesmo bem que os produtores 
estão dispostos a produzir e a vender.
 Variações de preço provocam, de alguma 
maneira, variações de quantidade 
ofertada (produzida).
 Curva de oferta da utilidade.
Oferta de mercado
 A alta dos preços de carne suína em 
determinado período pode incentivar 
suinocultores a aumentar a produção, ou 
até mesmo levar novos produtores a 
passarem a oferecer no mercado. Em 
contrapartida se o preço da carne suínacontrapartida, se o preço da carne suína 
estiver em baixa, os produtores poderão 
mudar para outro tipo de produção.
Curva da oferta
Fonte: Aulas do Prof. Germano
Aumento da oferta
 Número de produtores e/ou vendedores 
aumenta.
 A tecnologia melhora.
 Custos diminuem.
 Impostos diminuem Impostos diminuem.
 Subsídios aumentam.
 O preço de produtos alternativos 
diminui.
Aumento da oferta
Aumento da oferta resulta em:
 deslocamento da oferta para direita;
 diminuição no Pe;
 aumento na Qe.
PP
E0
P
S1
S0
Q/t
D
P0
Q0
E1
P1
Q1
Diminuição da oferta
 Número de produtores e/ou vendedores 
diminui.
 A tecnologia se deteriora.
 Custos aumentam.
 Impostos aumentam Impostos aumentam.
 Subsídios diminuem.
 O preço de produtos alternativos 
aumentam.
Diminuição da oferta
Diminuição da oferta resulta em:
 deslocamento da oferta para esquerda;
 aumento no Pe;
 diminuição na Qe.
PP
E0
S0
P
E1
P1
S1
Q/t
D
P0
Q0Q1
Exemplo
 Para o produto caneta esferográfica, foi 
calculada a função: 
S = – 8 + 2P
 em que P é o preço por unidade do bem 
ou serviço e S é a correspondente ofertaou serviço e S é a correspondente oferta 
de mercado. Sabemos que P < R$ 10,00. 
Para que ocorra mercado, o produto 
deve ser oferecido para venda, portanto: 
(S > 0).
Exemplo – cálculos 
S = – 8 + 2P 
Ao admitirmos S > 0, ocorre:
– 8 + 2P > 0
2P > 8
P > R$ 4,00
 Portanto, o preço do produto deverá ser 
maior que R$ 4,00.
 Para P = R$ 4,00, S = – 8 + 2·(4) = – 8 + 8 
= 0 unidade oferecida para venda.p
 Para P = R$ 5,00, S = – 8 + 2·(5) = – 8 + 10 
= 2 unidades oferecidas para venda.
 Para P = R$ 6,00, S = – 8 + 2·(6) = – 8 + 12 
= 4 unidades oferecidas para venda.
Exemplo – representação gráfica
 S = – 8 + 2P P S
4 0
10 12
Interatividade
Considere a função oferta S = – 15 + 2P, 
com P ≤ R$ 30,00. Para que preços haverá 
oferecimento do produto?
a) R$ 5,00
b) R$ 7,50b) R$ 7,50
c) R$ 10,00
d) R$ 18,50
e) R$ 22,50
Preço e quantidade de equilíbrio
 Equilíbrio de mercado: quantidades 
oferecidas de um bem tangível ou 
intangível são iguais às quantidades 
demandadas. 
 Preço de Equilíbrio (PE): quantidades 
oferecidas são iguais às quantidades 
demandadas.
 Quantidade de Equilíbrio (QE): 
quantidade em que tanto a procura como 
a oferta são iguais. 
Preço e quantidade de equilíbrio
Fonte: Aulas do Prof. Germano
Equilíbrio de mercado
Fonte: Aulas do Prof. Germano
Excesso de oferta
Fonte: Aulas do Prof. Germano
Excesso de demanda
Fonte: Aulas do Prof. Germano
Exemplo
 Uma empresa de plástico fabrica cestos 
de lixo e determinou as seguintes 
equações de demanda e oferta:
 Demanda: D = 40 – 2P
 Oferta: S = – 15 + 3P, com P  R$ 20,00.Oferta: S 15 3P, com P  R$ 20,00.
 A empresa deseja determinar o preço de 
equilíbrio e a quantidade de equilíbrio.
Exemplo – cálculo para determinar 
PE e QE
 Demanda: D = 40 – 2P
 Oferta: S = – 15 + 3P, com P  R$ 20,00
 D = S (ou seja, demanda igual à oferta)
40 – 2P = – 15 + 3P
40 + 15 = 3P + 2P
55 = 5P
55 / 5 = P
11 P
Determinando QE, 
D = 40 – 2P:
D = 40 – 2·(11) = 
40 22 =11 = P
P = R$ 11,00 (PE)
40 – 22 = 
18 unidades (QE)
Exemplo – análise dos cálculos
P D = 40 – 2P D
0 40 - 20 40
5 40 - 25 30
10 40 - 210 20
P S = 15 +3P S
15 40 - 215 10
20 40 - 220 0
P S = –15 +3P S
0 –15 +30 -15 
5 –15 +35 0
10 –15 +310 15
15 153 15 3015 –15 +315 30
20 –15 +320 45
Exemplo – representação gráfica
P D
0 40
20 0
SP S
5 0
20 45
Interatividade
Observe o gráfico e assinale a alternativa incorreta.
a 
e 
eq
ui
líb
rio
 d
e 
m
er
ca
do
;
02
, 2
01
0B
rá
ul
io
 W
ilk
er
 S
ilv
a
a) O preço de equilíbrio satisfaz tanto ao consumidor 
quanto ao produtor (quantidade demandada é igual 
à quantidade ofertada)
D
em
an
da
, o
fe
rt
a
sá
ba
do
, j
an
ei
ro
 0
à quantidade ofertada).
b) O preço de equilíbrio é R$ 70,00.
c) A quantidade de equilíbrio é de 30 unidades.
d) Quando a oferta é R$100, a demanda é igual a R$ 40.
e) Quando a oferta é R$20, a demanda é igual a R$ 120.
Demanda, oferta e preço de 
equilíbrio
 Situação 1: Quando o preço de uma 
camiseta é R$ 35,00; 25 unidades são 
oferecidas e, quando o preço é R$ 45,00, 
40 unidades são oferecidas. Achar a 
equação de oferta, supondo a linear para 
x unidades do bem a um preço px unidades do bem a um preço p.
 Solução.
 Equação do tipo p = a x + b  a x + b = p
 Temos (25, 35) → 25 a + b = 35
(40 45) → 40 a + b = 45(40, 45) → 40 a + b = 45
 Resolver o sistema.
Demanda, oferta e preço de 
equilíbrio
 Resolver o sistema:
(25, 35) → 25 a + b = 35 (I)
(40, 45) → 40 a + b = 45 (II)
Isolando b em (I):
25 a + b = 35  b = 35 – 25a
Substituindo b em (II):
40 a + (35 – 25a) = 45
40 25 45 35
Escolher a 
equação (I) ou (II) 
para determinar b:
40a – 25a = 45 – 35
15a = 10
a = 10/15
a = 0,67
p
b = 35 – 25a
b = 35 – 25  0,67
b = 18,25
Equação de oferta
 Se a = 0,67 e b = 18,25, então:
 P = ax + b
 P = 0,67 x + 18,25 
Demanda, oferta e preço de 
equilíbrio
 Situação 2: Quando o preço é de 
R$ 60,00; 10 canetas são vendidas. 
Quando o preço é de R$ 50,00; são 
vendidas 16 canetas. Achar a equação de 
demanda linear para a quantidade x de 
canetas a um preço pcanetas a um preço p.
 Solução.
 A equação é do tipo p = ax + b  ax + b = 
p.
 Temos (10, 60) → 10 a + b = 60Temos (10, 60) 10 a b 60
(16, 50) → 16 a + b = 50
Demanda, oferta e preço de 
equilíbrio
 Resolver o sistema:
(10, 60) → 10 a + b = 60 (I)
(16, 50) → 16 a + b = 50 (II)
Isolando b em I:
10a + b = 60  b = 60 – 10a
Substituindo b em (II):
16a + b = 50
16 (60 10 ) 50
Escolher a equação 
(I) ou (II) para 
determinar b:
16a + (60 – 10a) = 50
16a – 10a = 50 – 60
6a = – 10
a = – 1,67
b = 60 – 10a
b = 60 – 10  (– 1,67)
b = 76,7
Equação de demanda
 Se a = -1,67 e b = 76,7, então:
 P = ax + b
 P = -1,67 x + 76,7 
Demanda, oferta e preço de 
equilíbrio 
 Situação 3: Com base nas equações de 
oferta e demanda das situações 1 e 2, 
calcule o preço de equilíbrio, mostrando-
o graficamente.
 Solução.
 O preço de equilíbrio é obtido pela 
solução do sistema formado pelas 
equações de oferta e demanda, ou seja, 
as equações:
 P = 0,67 x + 18,25 (S)P 0,67 x 18,25 (S)
 P = -1,67 x + 76,7 (D)
Demanda, oferta e preço de 
equilíbrio
 Para determinar o preço de equilíbrio, é 
necessário igualar as duas equações:
 0,67 x + 18,25 (S) = -1,67 x + 76,7 (D)
 0,67x + 1,67x = 76,7 – 18,25
 2 34x = 58 45 2,34x = 58,45
 x = 24,98 ~25
 Então, substituindo x na equação para 
determinar o preço de equilíbrio:
 P = 0,67 x + 18,25 
 P = 0,67  25 + 18,25
 P = 16,75 + 18,25
 P = R$ 35,00
Demanda, oferta e preço de 
equilíbrio
Oferta Demanda
S = 0,67x + 18,25 D = ‐1,67x + 76,7
x = 0 18 77
x = 5 22 68
x = 10 25 60
x = 15 28 52
x = 20 32 43
x = 25 35 35
x = 30 38 27
x = 35 42 18
Demanda, oferta e preço de 
equilíbrio
Interatividade
Em um mercado, as curvas de demanda e 
oferta estão definidas pelas funções 
D = 100 – 0,1P e S = 60 + 0,15P. Qual é o 
preço de equilíbrio?
a) 500
b) 160
c) 130
d) 50
e) 13
ATÉ A PRÓXIMA!