Introdução a Integrais

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Introdução a Integrais 
Estudo das Integrais Indefinida. 
Introdução: Dada uma função , vamos estudar como 
encontrar uma função tal que a sua derivada seja igual a 
, isto é: 
 
Observação: De acordo com nossa definição, as primitivas de 
uma função estão sempre definidas sobre algum intervalo. 
Quando não explicitamos o intervalo e nos referimos a duas 
primitivas da mesma função , endendemos que essas funções 
são primitivas de no mesmo intervalo . 
Primitiva de uma Função 
Definição: Uma função é chamada uma primitiva da função 
 em um intervalo (ou simplesmente uma primitiva de ), 
se, para todo , temos: 
 
Exemplos: 
1. Determinar uma primitiva da função . 
Solução 
Verifica-se imediatamente, segundo a definição, que a 
primitiva é pois, 
 
 
 
 
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Mas, também é uma primitiva, assim como 
 . 
Podemos observar que , com é a forma 
ideal para expressar a primitiva de , pois 
. 
Proposição: Seja uma primitiva da função . Então, se 
é uma constante qualquer, a função também é 
primitiva de . 
Prova: Como é primitiva de , temos que . 
Assim: 
. O que prova que é uma 
primitiva de . 
Proposição: Se e são funções primitivas de no 
intervalo , então existe uma constante tal que , 
para todo . 
Prova: Seja . Com e são primitivas de 
no intervalo , temos , para todo . Assim: 
, para todo . 
Se se anula em todos os pontos de um intervalo , então é 
constante em . Assim existe uma constante , tal que , 
para todo . Logo, para todo , temos: 
. 
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Concluímos que, se é uma primitiva de , então toda 
primitiva de é da forma 
, 
onde é uma constante. Assim, o problema de determinar as 
primitivas de se resume em achar uma primitiva particular. 
Exemplo: 
2. Sabemos que . Assim, é uma 
primitiva da função e toda primitiva de 
 é da forma 
 
, 
 
Para alguma constante . 
 
Definição: Se é uma de primitiva de , a expressão 
 é chamada integral indefinida da função e é 
denotada por: 
 
 
De acordo com esta notação o símbolo ∫ é chamado sinal de 
integração, função integrando e integrando. O 
processo que permite achar a integral indefinida de uma função é 
chamado INTEGRAÇÃO. O símbolo que aparece no 
integrando serve para identificar a variável de integração. 
 Da definição da integral indefinida, decorre que: 
i) 
 
 
 
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ii) representa uma família de funções (a família de 
todas as primitivas da função integrando). 
Exemplo: 
Sejam a s funções , e . Suas 
diferenciais são: e respectivamente. 
Notamos que as funções dadas diferem no termos constante e 
têm a mesma diferenlcial . Então: 
 
Significado Geométrico da Constante de 
Integração. 
Exemplo: 
 Seja . Sabemos que: 
 Integrando 
temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 -1 x 
y 
0,8 
1,6 
2,4 
3,2 
4,0 
4,2 
-0,8 
-1,6 
-2,4 
 
 
 
 
 
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Propriedades da Integral Indefinida 
 Proposição: Sejam , e uma constante. Então: 
i) Uma integral não se altera quando o fator constante é 
considerado antes ou depois do sinal de integral. Assim: 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
ii) A integral de uma soma de diferenciais é igual a soma das 
integrais destes diferenciais. 
 
 
A integral da soma é igual à soma das integrais. 
 
Exemplo: 
 
 
 
Cálculos de algumas integrais indefinidas. 
 
 
 
 
 
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Método da Substituição ou Mudança de Variável 
para Integração. 
 
Algumas vezes, é possível determinar a integral de uma dada 
função aplicando uma das fórmulas básicas depois de ser feita 
uma mudança de variável. Esse processo é análogo à regra da 
cadeia para derivação e pode ser justificado como segue: 
Sejam e duas funções tais que Suponhamos 
que seja outra função derivável tal que a imagem de esteja 
contida no domínio de Podemos considerar a função composta 
 
Pela regra da cadeia, temos: 
, isto é é uma 
primitiva de . 
 Temos, então: 
 
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Fazendo e substituindo na expressão 
anterior, temos: 
 
 
 
Na prática, devemos então definir uma função 
conveniente, de tal forma que a integral obtida seja mais simples. 
Exemplos: 
 
Fazemos Então, . Temos: 
 
 
 
Se fizermos , então . Assim: 
 
 
 
Neste caso, fazemos a substituição . Então, ou 
, ou ainda, 
Substituindo na integral, vem: 
 
Efetuando a divisão dos polinômios, temos: 
 
 
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Escrevemos: 
. 
Fazendo , temos e então . Assim: 
 
 
Método de Integração por Partes 
Sejam e funções deriváveis no intervalo . Temos: 
 
Ou, 
. 
Integrando ambos os lados dessa equação, obtemos: 
 
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Ou ainda, 
 
Observamos que na última expressão deixamos de escrever a 
constante de integração, já que no decorrer do desenvolvimento 
aparecerão outras. Todas podem ser representadas por uma 
única constante , que introduziremos no final do processo. 
Na prática, costumamos fazer 
 
e 
 
Substituindo em: 
 
 
que é a fórmula de intgração por partes. 
Exemplos: 
 
 
 
Aplicando, então, a fórmula 
 
 
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E obtemos: 
 
Calculando a última integral, vem: 
 
Uma Estratégia para Integrar por Partes 
Poderíamos dizer que o propósito da integração por partes é 
transferir o cálculo de uma integral para o cálculo de uma 
integral (a qual espera-se que saibamos calcular), pela 
fórmula de integração por partes, . 
Ao integrar por partes, uma integral da forma , 
devemos sempre escolher, dentre as funções da expressão 
, uma delas como sendo o fator e a outra como a 
parte de uma diferencial . 
Em outras palavras, podemos fazer e , ou 
 e (ou ainda e Mas esta 
escolha não pode ser feira de modo aleatório. Temos que ser 
espertos em nossa escolha para que, ao passarmos da integral 
 para a integral , passemos a uma integral 
tecnicamente mais simples de ser calculada. 
Uma sugestão que funciona bem na grande maioria das vezes é 
escolher as funções e segundo o critério que descrevemos 
abaixo. Ele foi publicado como uma pequena nota em uma edição 
antiga da revista American Mathematical Monthly. 
 
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Considere o seguinte esquema de funções elementares: 
L I A T E 
Logarítmica Inversa da 
trigonométrica 
Algébrica Trigonométrica Exponencial 
 
O esquema acima, as letras do anagrama LIATE são iniciais de 
diferentes tipos de funções. 
Uma estratégia que funciona bem é: ao realizar uma integração 
por partes, escolher dentre as duas funções sobre o sinal da 
integral, 
• como função : a função cuja letra inicial de caracterização 
posiciona-se mais à esquerda no anagrama; 
• como formando a diferencial ; a função cuja letra inicial de 
caracterização posiciona-se mais à direita no anagrama. 
Sumarizando, deve caracterizar-se pela letra mais próxima de 
L, e pela letra mais próxima de E. 
Exemplos: 
• Na integral 
 (Algébrica) e (Trigonométrica). 
No anagrama LIATE, A precede T. 
• Na integral 
 (Logarítmica) e (Algébrica). 
• Na integral 
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 (Inversa de trigonométrica) e (Algébrica). 
Exemplo: 
1. Calcular 
Solução. Tomamos 
Teremos 
Temos então: 
 
 
 
2. Calcular 
 
Solução. Tomamos , e 
E então . 
Temos então: 
 
 
Para calcular a Integral 
 
Fazemos , temos , então . Daí, 
 
Portanto,