Algebra2_Aula_03_Volume_01

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Teorema do homomorfismo 3
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Metas da aula
Pré-requisitos
Apresentar o teorema do homomorfismo de anéis e 
sua demonstração. Realizar outra demonstração 
do teorema do resto chinês.
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
• Demonstrar o teorema do homomorfismo.
• Demonstrar que os anéis Zn e Z /nZ são isomorfos.
 Você vai precisar dos conhecimentos sobre 
anéis e ideais, desenvolvidos nas Aulas 21 a 23 de 
Álgebra I, e Aulas 1 e 2 deste curso. 
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 Todo homomorfismo gera um isomorfismo entre um anel quociente e o anel 
imagem do homomorfismo. Esse importante resultado será o tema desta aula. 
Como aplicação, vamos rever o teorema do resto chinês, visto no seu curso de 
Álgebra I, obtendo, agora, uma nova demonstração.
Vamos começar revendo a definição de isomorfismo de anéis, apresentada 
na aula anterior.
DEFINIÇÃO 1
Um homomorfismo ƒ : A → B é chamado de um isomorfismo se 
for, também, uma bijeção. Nesse caso, dizemos que A e B são isomorfos 
e denotamos A ≈ B.
O resultado principal desta aula, o teorema do homomorfismo, 
é similar a um resultado correspondente sobre os homomorfismos de 
grupos, apresentado no curso de Álgebra I.
Lembre, da aula anterior, que dado o homomorfismo de anéis 
ƒ : A → B, então o conjunto imagem de A, ƒ(A), é um subanel de B e o 
núcleo de ƒ, N(ƒ), é um ideal de A.
TEOREMA DO HOMOMORFISMO DE ANÉIS
 Dado um homomorfismo ƒ : A → B entre os anéis A e B, 
então existe um isomorfismo de anéis ϕ : A/N (ƒ) → ƒ(A) que satisfaz 
ƒ = ϕ ο π, onde π : A → A/N (ƒ) é o homomorfismo canônico.
 Representamos esse resultado pelo seguinte esquema.
 
É de suma importância que você acompanhe passo a passo todas 
as etapas desta demonstração. Ela é longa e será dividida em várias 
etapas para facilitar a sua compreensão. Para que você não se perca 
na argumentação, leia e releia com atenção cada uma de suas etapas. 
Certifique-se de que você entendeu cada passagem e faça suas próprias 
anotações, justificando as passagens que você considera mais difíceis. 
Vamos lá então!
INTRODUÇÃO 
 A/N (ƒ) ≈ ƒ(A)
ƒ
A ƒ(A) ⊂ B
π
 A/N (ƒ)
ϕ
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 Demonstração
Vamos dividir a demonstração em alguns passos.
1o Passo: Vamos definir uma função ϕ : A/N(ƒ) → ƒ(A), segundo 
o diagrama anterior. 
Para isso, definimos ϕ(a) = ƒ(a) para todo a = a + N(ƒ) ∈ A/N(ƒ). 
Então, precisamos provar que ϕ é, de fato, uma função bem definida, 
o que significa mostrar que se a = b, então ϕ(a) = ϕ(b), ou seja, se 
a = b, então ƒ(a) = ƒ(b). Suponhamos, então, que a = b. Da aula anterior, 
sabemos que N(ƒ) é um ideal de A, logo, a – b ∈ N(ƒ) e, portanto, 
ƒ(a – b) = 0B. Assim,
 ƒ(a) – ƒ(b) = ƒ(a – b) = 0B,
ou seja,
 ƒ(a) = ƒ(b),
ou, equivalentemente, pela definição de ϕ, que ϕ(a) = ϕ(b). Concluímos, 
assim, que ϕ é, de fato, uma função de A/N (ƒ) em ƒ(A).
2o Passo: Vamos mostrar que ϕ é um homomorfismo. Para isso, basta 
verificar que ϕ satisfaz os axiomas de homomorfismo vistos na Aula 2.
 Se a, b ∈ A/N (ƒ), temos:
H1. 
ϕ(a + b) = ϕ(a + b)
 = ƒ(a + b) pela definição de ϕ
 = ƒ(a) + ƒ(b) pois ƒ é homomorfismo
 = ϕ(a) + ϕ(b) pela definição ϕ. 
H2. 
ϕ(a . b) = ϕ(a . b)
 = ƒ(a . b) pela definição de ϕ
 = ƒ(a) . ƒ(b) pois ƒ é homomorfismo
 = ϕ(a) . ϕ(b) pela definição ϕ. 
H3. 
ϕ(1A) = ƒ(1A) pela definição de ϕ
 = 1A pois ƒ é homomorfismo.
Concluímos, assim, que a função ϕ é um homomorfismo entre 
os anéis A/N (ƒ) em ƒ(A).
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 3o Passo: Vamos provar, agora, que ϕ é uma função bijetora. 
Vamos começar provando que ela é injetora. Pela Proposição 2, item 2, 
da Aula 7, basta mostrar que N (ϕ) = {0A}. Seja a ∈ N(ϕ), então, pela 
definição de ϕ, ƒ(a) = ϕ(a) = 0B, ou seja, a ∈ N(ƒ). Portanto, a = a + 
N(ƒ) = 0A. Isso prova que N (ϕ) = {0A}.
Caso você ache essa argumentação muito abstrata, vamos 
apresentar a demonstração clássica de injetividade, que consiste em 
provar que se ϕ(a) = ϕ(b), então a = b. De fato, se ϕ(a) = ϕ(b) , temos 
que ƒ(a) = ƒ(b), pela definição de ϕ, logo ƒ(a) − ƒ(b) = 0. Daí,
 ƒ (a – b) = ƒ(a) − ƒ(b) = 0,
e isso significa que a – b ∈ N(ƒ), ou seja, a = b. Pois, lembre 
que a ∈ A/N(ƒ).
Finalmente, ϕ é uma função sobrejetora, pois dado y ∈ƒ(A) 
arbitrário, então existe a ∈ A tal que y = ƒ(a) e, como ϕ(a) = ƒ(a), 
segue que y = ϕ(a).
Concluímos, assim, que a função ϕ: A/N (ƒ) → ƒ(A), definida por 
ϕ(a) = ƒ(a), é um homomorfismo bijetor, ou seja, é um isomorfismo e, 
portanto, temos A/N (ƒ) ≈ ƒ(A).
Esperamos que você tenha apreciado a demonstração desse belo 
teorema. Uma conseqüência imediata do Teorema do Homomorfismo é:
Corolário 1
Se ƒ : A → B é um homomorfismo sobrejetor, então A/N (ƒ) e B 
são anéis isomorfos, isto é, A/N (ƒ) ≈ B.
Demonstração
Como ƒ é sobrejetora, temos ƒ(A) = B e, pelo teorema do 
homomorfismo, temos A/N (ƒ) ≈ ƒ(A). Portanto, concluímos que 
A/N (ƒ) ≈ B.
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ATIVIDADE
Corolário 2
Seja n ∈ Z, n > 0. Então os anéis Z/nZ e Zn são isomorfos, isto 
é, Z/nZ ≈ Zn .
A demonstração deste corolário você vai realizar, agora, como 
sua primeira atividade desta aula.
1. Nesta atividade, você vai demonstrar o Corolário 2. Para isso, seja ƒ : Z → Zn 
a função dada por ƒ(a) = a, onde a é a classe residual de a módulo n. Mostre 
que:
a) ƒ é um homomorfismo sobrejetor;
b) N(ƒ) = nZ;
c) Z/nZ ≈ Zn.
Agora, vamos utilizar o corolário anterior para provar o teorema 
do resto chinês.
TEOREMA DO RESTO CHINÊS
 Sejam m, n ∈ Z, m, n > 0, tais que mdc(m, n) = 1. Então os anéis 
Zmn e Zm X Zn são isomorfos.
Lembre que Zmn = {[a]mn a ∈ Z } e Zm X Zn = {([a]m , [a]n) 
[a]mn ∈ Zm e [a]n ∈ Zn }. Lembre, também, que dois inteiros m e n com 
mdc(m, n) = 1 são chamados de primos relativos (ou, primos entre si), o que 
significa que m e n não têm divisor primo comum.
Demonstração
Consideremos a função ƒ : Z → Zm X Zn definida por ƒ(a) = 
([a]m , [a]n), onde [a]m e [a]n denotam as classes residuais de a ∈ Z, 
módulo m e módulo n, respectivamente.
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ATIVIDADE
1o Passo: provar que f é um homomorfismo de anéis.
A demonstração desse fato é mais uma atividade proposta 
para você. 
2o Passo: vamos mostrar que N(ƒ) = mnZ, onde N(ƒ) é o núcleo 
de ƒ.
Vamos começar pela primeira inclusão: N(ƒ) ⊃ mnZ. Se 
a ∈ mnZ, então a é múltiplo de mn, isto é, mn a (lembre que 
esse símbolo significa mn divide a). Como m mn e n mn, temos 
que m a e n a , ou seja, [a]m = [0]m e [a]n = [0]n. Assim, ƒ(a) = 
([a]m , [a]n) = ([0]m , [0]n) = 0Zm x Zn . Isso significa que a ∈ N(ƒ).
Vamos provar, agora, a segunda inclusão: N(ƒ) ≠ mnZ. 
Seja a ∈ N(ƒ), então ƒ(a) = ([a]m , [a]n) = 0Zm x Zn = ([0]m , [0]n). Daí, 
segue que [a]m = [0]m e [a]n = [0]n. Logo, m a e n a . Como m a, 
n a e mdc(m,n) = 1 então, por propriedade conhecida do seu curso 
de Álgebra I, segue que m a, ou seja, a é múltiplo de mn. Portanto, a 
∈ mnZ. 
Concluímos assim, que N(ƒ) = mnZ.
3o Passo: vamos provar que Zmn ≈ ƒ(Z).
Nos passos anteriores mostramos que ƒ : Z → Zm X Zn é 
um homomorfismo com núcleo N(ƒ) = mnZ. Pelo Teorema do 
Homomorfismo, segue que Z/mnZ ≈ ƒ(Z). Agora, pelo Corolário 2,segue que Zmn ≈ Z/mnZ. Logo, pela Proposição 3 da Aula 7, segue que 
Zmn ≈ ƒ(Z).
2. Prove que função ƒ : Z → Zm X Zn, definida por ƒ(a) = ([a]m , [a]n), é 
um homomorfismo de anéis.
Veja que propriedades você deve provar e tente adaptar as provas parecidas 
que já fizemos.
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 4o Passo: para finalizar, vamos mostrar que ƒ (Z) → Zm X Zn.
Como Z
mn
 e f(Z) são isomorfos, então Zmn e ƒ (Z) têm o mesmo 
número de elementos. Sabemos que Zmn tem m . n elemento, portanto, 
ƒ (Z) também tem m.n elementos. Mas, ƒ (Z) ⊂ Zm X Zn. Como 
Zm X Zn também tem m.n elementos, concluímos que ƒ (Z) = Zm X Zn.
Dos passos anteriores, concluímos que Zmn = Zm X Zn sempre 
que mdc(m,n) = 1.
ATIVIDADE FINAL
Sejam n, K ∈ Z, n, K > 0. Seja ƒ : ZKn → Zn definida por ƒ ([a]Kn ) = [a]n, onde [a]Kn 
e [a]n são as classes residuais de a, módulo kn e módulo n, respectivamente.
a) Mostre que ƒ é um homomorfismo de anéis.
b) Mostre que N(ƒ) = nZKm = {n . [x]Kn [x]Kn ∈ ZKn }.
c) Mostre que ƒ é sobrejetora e conclua que os anéis ZKn / nZKn e Zn são isomorfos, 
isto é, ZKn /nZKm ≈ Zn.
R E S U M O
Nesta aula, você viu o importante teorema do homomorfismo, muitas vezes 
também chamado de teorema do isomorfismo. Esse teorema afirma que dado um 
homomorfismo de anéis ƒ : A → B, então os anéis A/N (ƒ) e ƒ(A) são isomorfos. 
Ele é um mecanismo de criação de isomorfismos e, assim, uma importantíssima 
ferramenta de comparação de anéis. Fizemos uma bela aplicação desse teorema 
quando provamos o teorema do resto chinês, que afirma que os anéis Zmn e Zm 
X Zn são isomorfos sempre que mdc(m,n) = 1.
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Atividade 1
a) Para mostrar que ƒ é homomorfismo, sejam a, b ∈ Z, então
H1. ƒ (a + b) = a + b = a + b = ƒ(a) + ƒ(b);
H2. ƒ (a . b) = a . b = a . b = ƒ(a) . ƒ(b);
H3. ƒ(1) = 1 = 1Zn , 
ou seja, ƒ é um homomorfismo. Mais ainda, é um homomorfismo sobrejetor, pois, 
dado a ∈ Zn , temos ƒ(a) = a com a ∈ Z.
b) Para provar que os dois conjuntos são iguais, seja
a ∈ N(ƒ) ⇔ ƒ(a) = 0 
 ⇔ a = 0
 ⇔ a ≡ 0 (mod n)
 ⇔ n a
 ⇔ a ∈ nZ.
Assim, concluímos que N(ƒ) = nZ.
c) Sabendo que ƒ : Z → Zn é um homomorfismo sobrejetor, segue, agora, 
diretamente do corolário 1, que Z /N(ƒ) ≈ Zn. E, como N(ƒ) = nZ, então, concluímos 
que Z /nZ ≈ Zn.
Atividade 2
Precisamos verificar que ƒ : Z → Zm x Zn, definida por ƒ(a) = ([a]m , [a]n), satisfaz 
os três axiomas de homomorfismo.
H1. 
ƒ(a + b) = ([a + b]m , [a + b]n), para todo a, b ∈ Z 
 = ([a]m + [b]m , [a]n + [b]n)
 = ([a]m + [a]n ) + [b]m + [b]n)
 = ƒ(a) + ƒ(b);
RESPOSTAS
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 H2. 
ƒ(a . b) = ([a . b]m , [a . b]n), para todo a, b ∈ Z 
 = ([a]m . [b]m , [a]n . [b]n)
 = ([a]m , [a]n ) + ([b]m , [b]n)
 = ƒ(a) . ƒ(b);
H3. ƒ(1) = ([1]m , [1]n) = 1Zm X Zm .
Assim, concluímos que ƒ é um homomorfismo de anéis.
Atividade Final
a) Vamos verificar que f satisfaz os axiomas de homomorfismo. Sejam a, b ∈ Z, então
H1. 
ƒ([a]Kn . [b]Kn) = ƒ([a + b]m ), para todo a, b ∈ Z
 = [a + b]n , pela definição de ƒ
 = [a]n + [b]n
 = ƒ(a) + ƒ(b);
H2.
ƒ([a]Kn . [b]Kn) = ƒ([a . b]Kn ) para todo a, b ∈ Z
 = [a . b]n , pela definição de ƒ
 = [a]n . [b]n
 = ƒ(a) . ƒ(b);
H3. 
ƒ(1ZKn) = ƒ([1]Kn )
 = [1]n , pela definição de ƒ
 = 1Zn .
Assim, concluímos que ƒ é um homomorfismo de anéis.
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b) Vamos calcular o núcleo de ƒ. Sabemos que N(ƒ) = {[a]Kn ∈ ZKn ƒ ([a]Kn ) = 0Zn 
= [0]n }. Temos
ƒ ([a]Kn ) = [0]n ⇔ [a]n = [0]n
 ⇔ a = nt, t ∈ Z
 ⇔ [a]Kn = n. [t]Kn
 ⇔ [a]Kn ∈ nZKn.
Portanto, concluímos que N(ƒ) = nZKn = {n . [x]Kn [x]Kn ∈ ZKn }.
c) Para mostrar que ƒ : ZKn → Zn é sobrejetora, basta observar que dado [a]n ∈ 
Zn, então ƒ ([a]n ) = [a]n . Agora, pelo Teorema do Homomorfismo, concluímos que 
ZKn/ N(ƒ) ≈ Zn e, como N(ƒ) = nZKn , temos ZKn / nZKn ≈ Zn.