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5 Unidade I – Números Reais 1. Situando a temática Desde a infância estamos acostumados a lidar com números. É seguro dizer que nos dias de hoje é impossível viver sem o conhecimento deles. Poderíamos passar um dia inteiro listando as situações cotidianas em que necessitamos de números. Muitas vezes, eles aparecem até para lisura de processos, por exemplo: ao corrigir provas do vestibular o professor tem apenas o conhecimento do número de inscrição dos candidatos. Se fizermos uma retrospectiva, observamos que primeiro fomos apresentados aos números naturais, aqueles que usamos para contar, depois aos inteiros, a seguir os racionais e por último os números reais. Ao que parece, a ordem com que somos apresentados aos diversos conjuntos numéricos tem a ver com as complexidades de sobrevivência, ou, tentando ser mais explícitos, nosso crescimento como indivíduos modernos requer habilidades com números cada vez mais complexas. Um curso de introdução à Análise Real se preocupa em propiciar ao estudante um mínimo de formalização dos conceitos apresentados nos cursos de cálculo, a exemplo dos conceitos de limites, continuidade e derivada. Como estes conceitos são definidos para funções reais de variável real nada mais natural que começar com uma apresentação formal, embora breve, dos números reais. A seguir vamos apresentar o conjunto dos números reais como um corpo ordenado completo e isto será feito através de axiomas que são objetos matemáticos que consideramos conhecidos pelos leitores deste texto. Destacaremos algumas propriedades como a propriedade do supremo porque desempenham papel fundamental no entendimento das unidades subsequentes. 2. Problematizando a temática • Em um corpo pode haver mais de um “zero”? Idem para a unidade. • O conjunto dos racionais com as operações de soma e multiplicação usuais é um corpo? Em caso afirmativo este corpo é completo? • No conjunto dos números racionais há solução para a equação ݔ2 ൌ 2? 3. Conhecento a temática 3.1 O conjunto dos números racionais Admitiremos familiaridade do leitor com o conjunto dos números naturais, dos números inteiros e dos números racionais, que serão denotados aqui, respectivamente por Գ, Ժ, e Է. 6 O conjunto dos números racionais pode ser descrito como: Է ൌ ቄܾܽ ; ܽ, ܾ א Ժ, ܾ ് 0ቅ , o conjunto dos números inteiros por Ժ ൌ ሼ… , െ3, െ2, െ1, 0, 1, 2, 3, … ሽ e conjunto dos números naturais Գ ൌ ሼ1, 2, 3, … ሽ. Observe que Գ ؿ Ժ ؿ Է. No conjunto dos números racionais estão definidas duas operações, chamadas de adição (isto é, a cada par de elementos x e y em Է corresponde um único elemento de Է , sua soma que se designa x+y) e de multiplicação (isto é, a cada par de elementos x e y em Է corresponde um único elemento de Է, seu produto designado por x.y) definidas da seguinte maneira: se , ௗ א Է e então ௗ ൌ .ௗା. .ௗ e ڄ ௗ ൌ . .ௗ As operações de soma e multiplicação definidas no conjunto dos racionais satisfazem as seguintes propriedades: 1. Comutatividade: para quaisquer ݔ, ݕ א Է tem‐se ݔ ݕ ൌ ݕ ݔ e ݔݕ ൌ ݕݔ. 2. Associatividade: para quaisquer ݔ, ݕ, ݖ א Է tem‐se ሺݔ ݕሻ ݖ ൌ ݔ ሺݔ ݖሻ e ሺݔ. ݕሻ. ݖ ൌ ݔ. ሺݕ. ݖሻ. 3. Elementos neutros: existem em Է dois elementos distintos, 1 א Է, 0 א Է é o elemento neutro da adição e 1 é o elemento neutro da multiplicação tais que ݔ 0 ൌ ݔ e ݔ. 1 ൌ ݔ para todo ݔ א Է. 4. Existência dos inversos: dado ݔ א Է existe – ݔ א Թ , o inverso aditivo ou o simétrico de x, tal que ݔ ሺെݔሻ ൌ 0 e dado ݔ א Է, ݔ ് 0 existe ݔିଵ א Է, o inverso multiplicativo de x tal que ݔିଵ . ݔ ൌ 1. 5. Distributividade: ሺݔ ݕሻ. ݖ ൌ ݔ. ݖ ݕ. ݖ. A soma de x com – ݕ indicada por ݔ െ ݕ é chamada de diferença entre ݔ e ݕ. Se ݕ ് 0, o produto de ݔ. ݕିଵ que será indicado por ௫ ௬ ou ݔ ݕൗ é chamado de quociente de ݔ por ݕ. Note que quociente de ݔ por ݕ só está definido para ݕ ് 0. Algumas vezes denotamos o produto ݔ. ݕ escrevendo simplemente ݔݕ . O número ݔ2 representa o produto ݔ. ݔ (se lê-se: “ x ao quadrado” ). Um conjunto ॶ contendo pelo menos dois elementos e onde estejam definidas duas operações indicadas por + e ڄ tais que a terna ሺॶ ,+, ڄሻ satisfaz os cinco propriedades acima é chamado de corpo. Assim, ሺԷ ,+, ڄሻ é um corpo. Convém observar que ሺԺ ,+, ڄሻ não é corpo. A partir das propriedades acima é possível mostrar todas as regras de manipulação com números racionais que estamos habituados a usar. A título de exemplo destacaremos algumas destas propriedades. 7 3.2 Exemplos Exemplo 1.1 Para todo ݔ א Է tem-se ݔ. 0 ൌ 0. Com efeito, temos da distributividade que ݔ. 0 ݔ ൌ ݔ. 0 ݔ. 1 ൌ ݔ. ሺ0 1ሻ ൌ ݔ. 1 ൌ ݔ. Resulta disto que ݔ. 0 ݔ ൌ ݔ e somando ሺെݔሻ a ambos desta desigualdade obtemos: ݔ. 0 ൌ 0. Exemplo 1.2 Se ݔ, ݕ א Է satisfazem ݔ. ݕ ൌ 0 então ݔ ൌ 0 ou ݕ ൌ 0. De fato, se não temos que ݕ ൌ 0, ou seja, se ݕ ് 0 então multiplicando por ݕିଵ ambos os membros de ݔ. ݕ ൌ 0, obtemos ሺݔ. ݕሻ. ݕିଵ ൌ 0. ݕିଵ. Decorre do exemplo anterior que e da associatividade que ݔ. ሺݕ. ݕିଵሻ ൌ 0. ݕିଵ ൌ 0. Usando a propriedade dos inversos concluimos que ݔ ൌ 0. Exemplo 1.3 Se ݔ א Է então ݔ ൌ െሺെݔሻ. Isto decorre ao somar ݔ a ambos os membros da igualdade – ሺെݔሻ ሺെݔሻ ൌ 0, válida para todo ݔ א Է. Exemplo 1.4 Usando a distributividade podemos deduzir as conhecidas “regras dos sinais” : para todos ݔ, א Է temos ሺെݔሻ. ݕ ൌ ݔ. ሺെݕሻ ൌ െሺݔ. ݕሻ. Para ver isto multiplique por ݕ, ambos os membros da igualdade 0 ൌ ݔ ሺെݔሻ, obtendo 0. ݕ ൌ ݔ. ݕ ሺെݔሻ. ݕ. Devido o exemplo 1.1, podemos concluir 0 ൌ ݔ. ݕ ሺെݔሻ. ݕ. Somando a ambos os membros desta última desigualdade o simétrico de ݔ. ݕ, e usando a associatividade decorre െሺݔ. ݕሻ ൌ ሺെݔሻ. ݕ. Para provar ݔ. ሺെݕሻ ൌ െሺݔ. ݕሻ começamos com a igualdade 0 ൌ ݕ ሺെݕሻ e depois multiplicamos ambos os membros da igualdade por x. Depois é só usar os mesmos passos do caso anterior. Um caso particular deste fato é ሺെݔሻ. ሺെݕሻ ൌ ݔ. ݕ. Pois, ሺെݔሻ. ሺെݕሻ ൌ െ൫ݔ. ሺെݕሻ൯ ൌ െ൫െሺݔ. ݕሻ൯ ൌ ݔ. ݕ. Onde a última igualdade é decorrência do exemplo anterior. Em particular, ݔ2 ൌ ሺെݔሻሺെݔሻ. Exemplo 1.5 Se ݔ, ݕ א Է são números reais satisfazendo ݔ2 ൌ ݕ2 então ݔ ൌ ݕ ou ݔ ൌ െݕ. Com efeito, neste caso, temos 0 ൌ ݔ2 െ ݕ2 ൌ ሺݔ ݕሻሺݔ െ ݕሻ. Logo, do exemplo 1.2, podemos concluir ݔ ݕ ൌ 0 ou ݔ െ ݕ ൌ 0, portanto ݔ ൌ െݕ ou ݔ ൌ ݕ. O conjunto dos números racionais possui um subconjunto denotado por Էା, chamado o conjunto dos números racionais positivos . O subconjunto Էା, é caracterizado pelas seguintes propriedades: P1) A soma de dois números positivos é um número positivo, bem como o produto de dois números positivos é positivo (por conta disto dizemos que 8 Էା é fechado com relação à soma e ao produto), isto é, dados ݔ, ݕ א Էା, então ݔ ݕ , ݔ. ݕ א Էା . P2) Dado ݔ א Է uma e apenas uma das alternativas ocorre: ݔ ൌ 0, ou ݔ א Էା, ou െݔ א Էା. Indicaremos por Էି, o conjunto dos números racionais x tais que െݔ א Էା. A propriedade P2, nos diz que Թ ൌ ሼ0ሽ Էା Էି e que os conjuntos ሼ0ሽ, Էା e Էି são dois a dois disjuntos. Os números racionais x tais que െݔ א Էା são chamados de números negativos. Exemplo 1.6 Se ݔ א Է, ݔ ് 0, então ݔ2 א Էା. De fato, como ݔ ് 0, da propriedade P2, acima temos ݔ א Էା ou െݔ א Էା. Se ocorrer de ݔ א Էା, então da propriedade P1, segue-se ݔ2 א Էା. Caso contrário, െݔ א Էା e também neste caso temos que ݔ2 א Էା, pois do exemplo 1.4, ݔ2 ൌ ሺെݔሻሺെݔሻ, sendo que, por P1, ሺെݔሻሺെݔሻ א Էା. Em particular, 1 א Էା, pois 1 ൌ 12 . As propriedades P1 e P2 acima, permitem estabelecer uma relação de ordem no conjunto dos númerosracionais. Uma relação de ordem no conjunto dos números racionais é estabelecida da seguinte maneira: dados ݔ, ݕ א Է dizemos que x é menor do que y, e denotamos por ݔ ൏ ݕ, quando ݕ െ ݔ א Էା. Nas mesmas condições, isto é, se ݕ െ ݔ א Էା, dizemos que x é maior do que y, o que é denotado por ݔ ݕ. Dados ݔ, ݕ א Է dizemos que x é menor do que ou igual a y, e denotamos por ݔ ݕ, quando ݔ ൏ ݕ ou ݔ ൌ ݕ. Ampliando seu Conhecimento Observação 1. Um corpo ሺॶ, +, ڄሻ onde está definida uma relação indicada por tais que a quadrupla ሺॶ, ,ڄ, ሻ satisfaz as propiedades O1 a O5 é chamado de corpo ordenado. Assim, ሺԷ, ,ڄ, ሻ é um corpo ordenado. Observação 2. Para qualquer ݔ א Է, ݔ 0 significa que ݔ א Էା enquanto ݔ ൏ 0 significa que െݔ א Էା. Observação 3. Para qualquer ݔ א Է, ݔ 0 significa que ݔ א Էା ou ݔ ൌ 0 , enquanto ݔ 0 significa que െݔ א Էା ou ݔ ൌ 0. A relação de ordem ݔ ݕ, dada na definição 1.1 satisfaz às seguintes propriedades: O1) Reflexividade: ݔ ݔ. O2) Simetria: se ݔ ݕ e ݕ ݔ então ݔ ൌ ݕ. Com efeito, se fosse ݔ ് ݕ teríamos ݔ ൏ ݕ e ݕ ൏ ݔ, o que significaria ݕ െ ݔ א Էା e ݔ െ ݕ א Էା consequentemente 0 ൌ ሺݕ െ ݔሻ ሺݔ െ ݕሻ א Էା, o que é absurdo. Logo, se ݔ ݕ e ݕ ݔ então devemos ter necessariamente que ݔ ൌ ݕ. 9 O3) Transitividade: se ݔ ݕ e ݕ ݖ então ݔ ݖ. De fato, suponhamos que ݔ ݕ e ݕ ݖ. Considerando a primeira expressão temos duas possibilidades: ݔ ൌ ݕ ou ݔ ൏ ݕ. De modo que vamos analisar os dois casos: ݔ ൌ ݕ e ݕ ݖ ou ݔ ൏ ݕ e ݕ ݖ. No primeiro caso temos imediatamente que ݔ ݖ. Na segunda possibilidade teremos ݔ ൏ ݕ , que deve ser combinada com as duas possibilidades em ݕ ݖ, que são ݕ ൌ ݖ ou ݕ ൏ ݖ . Se ݔ ൏ ݕ e ݕ ൌ ݖ significa ݔ ൏ ݕ ൌ ݖ , logo ݔ ൏ ݖ o que implica ݔ ݖ. O último caso a considerar é ݔ ൏ ݕ e ݕ ൏ ݖ . Isto significa ݕ െ ݔ e ݖ െ ݕ são ambos positivos, cuja soma é um número positivo devido a P2. Ora, o número ሺݖ െ ݕሻ ሺݕ െ ݔሻ ൌ ݖ െ ݔ é positivo, acarreta ݔ ൏ ݖ o que implica ݔ ݖ. O4) Compatibilidade de ordem com a adição : se ݔ ݕ , para qualquer ݖ א Է, temos que ݔ ݖ ݕ ݖ. Com efeito, se ݔ ൌ ݕ então claramente ݔ ݖ ൌ ݕ ݖ o que acarreta ݔ ݖ ݕ ݖ. Se ݔ ൏ ݕ, temos ݕ െ ݔ é positivo e, para qualquer ݖ א Է, ݕ െ ݔ ൌ ሺݕ ݖሻ െ ሺݖ ݔሻ. Segue-se que ሺݕ ݖሻ െ ሺݖ ݔሻ é positivo, ou seja, ݔ ݖ ൏ ݕ ݖ e portanto, ݔ ݖ ݕ ݖ. O5) Compatibilidade de ordem com a multiplicação: se ݔ ݕ e 0 ݖ então ݔ. ݖ ݕ. ݖ. Com efeito, claramente se ݔ ൌ ݕ, então ݔ. ݖ ൌ ݕ. ݖ acarreta ݔ. ݖ ݕ. ݖ, independente do z. Se ݔ ൏ ݕ e ݖ ൌ 0 temos 0. ݔ ൌ 0. ݕ ൌ 0 ou seja, quando ݖ ൌ 0, temos ݔ. ݖ ൌ ݕ. ݖ o que acarreta ݔ. ݖ ݕ. ݖ. Suponhamos agora ݔ ൏ ݕ e 0 ൏ ݖ. Temos ݕ െ ݔ e ݖ são ambos positivos, logo seu produto é um número positivo devido à propriedade 2. Mas ሺݕ െ ݔሻ. ݖ ൌ ݕ. ݖ െ ݔ. ݖ é positivo acarreta ݔݖ ൏ ݕݖ, que por sua vez acarreta ݔ. ݖ ݕ. ݖ. OO5 Exemplo 1.7 Se ݔ ݕ e ݔԢ ݕԢ então ݔ ݔԢ ݕ ݕԢ. De fato, os casos ݔ ൌ ݕ ou ݔᇱ ൌ ݕԢ decorrem diretamente da propriedade O4. Suponhamos então ݔ ൏ ݕ e ݔԢ ൏ ݕԢ o que significa ݕ െ ݔ e ݕԢ െ ݔԢ são ambos positivos. Decorre da propriedade 2 que ሺݕ െ ݔሻ ሺݕᇱ െ ݔᇱሻ é positivo. Usando a associatividade temos ሺݕ െ ݔሻ ሺݕᇱ െ ݔᇱሻ ൌ ሺݕ ݕᇱሻ െ ሺݔ ݔԢሻ é positivo. Logo ݔ ݔᇱ ൏ ݕ ݕ, de onde podemos concluir, ݔ ݔԢ ݕ ݕԢ. Um outro modo de justificar esta propriedade pode ser feito assim: considerando ݔ ݕ temos pela compatibilidade com a adição ݔ ݔᇱ ݕ ݔԢ, de modo análogo de ݔᇱ ݕᇱ, segue-se ݔᇱ ݕ ݕᇱ ݕ. Agora de ݔ ݔᇱ ݕ ݔᇱ e ݔᇱ ݕ ݕᇱ ݕ, da comutatividade e da transitividade segue-se ݔ ݔԢ ݕᇱ ݕ. Exemplo 1.8 Se 0 ൏ ݔ ݕ então ݕିଵ ݔିଵ. De fato, o caso ݔ ൌ ݕ é imediato. Para o caso 0 ൏ ݔ ൏ ݕ, observamos inicialmente que ݔ 0 ՜ ݔିଵ 0 . Se assim não fosse, teríamos ݔିଵ 0. Multiplicando ambos os membros desta desigualdade por ݔ 0, teríamos, de O5, que ݔ. ݔିଵ 0. Mas, isto 10 acarretaria 1 0, o que é absurdo. Assim, na hipótese 0 ൏ ݔ ൏ ݕ, teremos que ݔିଵ 0, ݕିଵ 0 o que acarreta por P2 ݔିଵ. ݕିଵ 0 . Usando O5 ao multiplicar ambos os membros de ݔ ൏ ݕ por ݔିଵ. ݕିଵ 0 obtemos ݔ. ሺݔିଵ. ݕିଵሻ ൏ ݕ. ሺݔିଵ. ݕିଵሻ. Após usar a associatividade e a comutatividade nesta última desigualdade decorre ሺݔ. ݔିଵሻ. ݕିଵ ൏ ሺݕ. ݔିଵሻ. ݕିଵ ൌ ݔିଵሺݕ. ݕିଵሻ, de onde podemos concluir ݕିଵ ൏ ݔିଵ. Exemplo 1.9 Seja ܽ um inteiro. 1. Se ܽ é ímpar então ܽଶ é ímpar. 2. Se ܽଶ é par então ܽ é par. Prova de 1. Suponhamos ܽ é ímpar então ܽ ൌ 2݇ 1, ݇ א Գ, logo, ܽଶ ൌ ሺ2݇ 1ሻଶ ൌ 4݇ଶ 4݇ 1 ൌ 2ሺ2݇ଶ ݇ሻ 1. Como ݏ ൌ 2݇ଶ ݇ א Գ, temos ܽଶ ൌ 2ݏ 1 e ܽଶ é ímpar. Prova de 2. Considere ܽ um inteiro, tal que ܽଶ é par. Decorre de 1. que ܽ não pode ser ímpar pois senão ܽଶ seria ímpar, o que é absurdo. Exemplo 1.10 A equação ݔ2 ൌ 2 não possui solução em Է. Com efeito, suponhamos por absurdo que existe uma fração irredutível , isto é, ܽ e ܾ, não possuem fatores comuns, tal que ቀ ቁ ଶ ൌ 2 ֞ ܽ2 ൌ 2ܾ2. Assim ܽଶ é par, logo ܽ é par, isto significa que existe ݇ א Գ, tal que ܽ ൌ 2݇. Substituindo ܽ ൌ 2݇ em ܽଶ ൌ 2ܾଶ, temos que 2ܾଶ ൌ ሺ2݇ሻଶ ൌ 4݇ଶ, portanto ܾଶ ൌ 2݇ଶ, logo ܾଶ é par o que acarreta ܾ é par. Assim, ܽ e ܾ possuem o número 2 como fator comum e isto é uma contradição. Concluimos que ݔ2 ൌ 2 não possui solução em Է, o que segnifica que ݔ ൌ √2 não pertence ao conjunto dos racionais. 3.3 O conjunto dos números reais O O conjunto dos números reais será denotado por Թ. Թ contém Է, isto é, todo número racional é um número real. Os números reais que não são racionais são denominados irracionais. Admitiremos que a quadrúpla ሺԹ, ,ڄ, ሻ é um corpo ordenado e que as operações de soma, multiplicação e a relação de , quando restritas a Է, coincidem com as operações de soma, multiplicação e a relação , de Է. Definição 1. Seja ݔ um número real definimos o módulo ou valor absoluto de ݔ por |ݔ| ൌ ቄ ݔ, se ݔ 0െݔ, se ݔ ൏ 0. 11 Exemplo 1.11. Para qualquer número real temos |ݔ|ଶ ൌ ݔଶ. De fato, se ݔ 0, temos que |ݔ| ൌ ݔ, portanto |ݔ|ଶ ൌ ݔଶ.S See ݔ ൏ 0 então |ݔ| ൌ െݔ, logo l|ݔ|ଶ ൌ ሺെݔሻଶ ൌ ݔଶ. o Assim, Para qualquer número real temos |ݔ|ଶ ൌ ݔଶ. gAsso\\\\ Ampliando seu Conhecimento Observação 4 . Para qualquer ݔ א Թ, |ݔ| 0. Observação 5 . Notando que √ܽ denota a raiz quadrada de ܽ ሺܽ 0ሻ podemos escrever |ݔ| ൌ √ݔଶ. Exemplo 1.12. Para todo número real ݔ temos ݔ |ݔ| e െݔ |ݔ|. De fato, se ݔ 0, temos ݔ ൌ |ݔ|, logo ݔ |ݔ|. Se ݔ 0 então – ݔ ൏ 0 |ݔ|. Da transitividade concluimos – ݔ |ݔ|. No caso ݔ ൏ 0 temos que െݔ ൌ |ݔ| o que acarreta െݔ |ݔ|, e também como ݔ ൏ 0 |ݔ| , a transitividade acarreta ݔ |ݔ|. Portanto, para qualquer número real ݔ, temos ݔ |ݔ| e െݔ |ݔ|. Exemplo 1.13 (Desigualdade triangular) Para quaisquer números reais ݔ, ݕ temos |ݔ ݕ| |ݔ| |ݕ|. De fato, se ݔ ݕ 0, temos que |ݔ ݕ| ൌ ݔ ݕ |ݔ| |ݕ|. Se ݔ ݕ ൏ 0 então |ݔ ݕ| ൌ െሺݔ ݕሻ ൌ െݔ െ ݕ |ݔ| |ݕ|. Assim, quaisquer que sejam os números reais ݔ, ݕ temos |ݔ ݕ| |ݔ| |ݕ|. Definição 2. Sejam ܽ, ܾ א Թ, com ܽ ൏ ܾ. Um intervalo em Թ é um subconjunto de Թ, que tem uma das seguintes formas: 1.ሾܽ, ܾሿ ൌ ሼݔ א Թ; ܽ ݔ ܾሽ 2.ሿܽ, ܾሾ ൌ ሼݔ א Թ; ܽ ൏ ݔ ൏ ܾሽ 3.ሿܽ, ܾሿ ൌ ሼݔ א Թ; ܽ ൏ ݔ ܾሽ 4.ሾܽ, ܾሾ ൌ ሼݔ א Թ; ܽ ݔ ൏ ܾሽ 5.ሿെ∞, ܽሾ ൌ ሼݔ א Թ; ݔ ൏ ܽሽ 6. ሿെ∞, ܽሿ ൌ ሼݔ א Թ; ݔ ܽሽ 7.ሾܽ, ∞ሾ ൌ ሼݔ א Թ; ݔ ܽሽ 8.ሿܽ, ∞ሾ ൌ ሼݔ א Թ; ݔ ܽሽ 9.ሿെ∞, ∞ሾ ൌ Թ. Definição 3. Seja ܣ um conjunto de números reais. O maior elemento de ܣ, quando existe, é chamado de máximo de ܣ e o indicamos por ݉áݔ ܣ. O menor elemento de ܣ, quando existe, é chamado de mínimo de ܣ e o indicamos por ݉í݊ ܣ. Definição 4. Dizemos que um número ݉ é cota superiorpara o conjunto ܣ se ݉ for máximo de ܣ ou se ݉ for estritamente maior que todo número de ܣ. Dizemos que um número ݉ é cota inferior para o conjunto ܣ se ݉ for mínimo de ܣ ou se ݉ for estritamente menor que todo número de ܣ. 12 Exemplo 1.14 Seja ܣ ൌ ሼ1, 2, 3,4ሽ ؿ Թ. Temos que: a) 1 é o mínimo de ܣ, 1 ൌ ݉í݊ ܣ; b) 4 é o máximo de ܣ, 4 ൌ ݉áݔ ܣ. c) 4, 5, ଵଷ ଷ são cotas superiores para ܣ. d) 1, 0, ଵ ସ são cotas inferiores de ܣ. Exemplo 1.15 Seja ܣ ൌ ሾ1,4ሾ ൌ ሼݔ א Թ; 2 ݔ ൏ 4ሽ. Temos: 1. 2 ൌ ݉í݊ ܣ. 2. Para todo ݐ א ܣ temos que ௧ାସ ଶ א ܣ, e ݐ ൏ ௧ାସ ଶ . Assim, dado qualquer elemento ݐ א ܣ, existe outro elemento em ܣ que é maior que ݐ. Logo ܣ não admite máximo. 3. Todo ݉ 4 é cota superior para ܣ e todo ݉ 1 é cota inferior para ܣ. 4. A menor das cotas superiores de ܣ é 4 e a maior das cotas inferiores é 1. Definição 5. A menor das cotas superiores de um conjunto ܣ , quando existe, denomina-se supremo e é indicada por sup ܣ. A maior das cotas inferiores de um conjunto ܣ, quando existe, chama-se ínfimo de ܣ, e é indicada por inf ܣ. Ampliando seu Conhecimento Observação 6. Se um conjunto ܣ possui máximo ݉, ݉ também será o supremo de ܣ. Mas ܣ pode ter supremo e não ter máximo, como é o caso do conjunto no exemplo 1.15 acima. Definição 6 . Se ܣ admitir uma cota superior diremos que ܣ é limitado superiormente. Se ܣ admitir uma cota inferior diremos que ܣ é limitado inferiormente. Propriedade do supremo: Todo conjunto de números reais, não vazio e limitado superiormente, admite um supremo. Gozar da propriedade do supremo é o que diferencia Թ de Է. Em razão do conjunto dos números reais admitir a propriedade do supremo, diremos que Թ é um corpo ordenado completo. Ampliando seu Conhecimento Observação 7. O conjunto ܣ ൌ ሼݔ א Է; ݔଶ ൏ 2ሽ é limitado superiormente e não possui supremo em Է. Por isso, dizemos que Է não é completo. 13 Duas importantes consequências da propriedade do supremo são a propriedade de Arquimedes e a propriedade dos intervalos encaixantes. Teorema. (i) O conjunto Գ ؿ Թ dos números naturais não é limitado superiormente. (ii) O ínfimo do conjunto ܣ ൌ ቄ 1݊ ; ݊ א Գቅ é igual a zero. (iii). Se ݔ, ݕ 0 são dois reais quaisquer, então existe pelo menos um número natural ݊ tal que ݊ݔ ݕ. Demonstração. (i) Como Գ é não vazio, se Գ, fosse limitado superiormente existiria ݏ ൌ sup Գ. Assim, ݏ െ 1 não seria cota superior de Գ. Logo existiria ݊ א Գ, tal que ݏ െ 1 ൏ ݊. Então ݏ ൏ ݊ 1 o que acarreta ݏ não seria supremo de Գ o que é uma contradição. (ii) Claramente 0 é cota inferior para ܣ, devemos mostrar que nenhum ܿ 0 é cota inferior de ܣ. Seja ܿ 0, do item anterior temos que existe um número natural ݊ tal que ݊ 1ܿ logo ଵ ൏ ܿ e portanto ܿ, não pode ser cota inferior de ܣ. Isto prova (ii). (iii) Do item (i) temos que existe ݊ tal que ݊ ݕݔ, e assim ݊ݔ ݕ. Ampliando seu Conhecimento Observação 8. A propriedade (iii) é conhecida como propriedade de Arquimedes. Por conta disso dizemos que Թ é um corpo arquimediano. Uma outra consequência importante da propriedade do supremo é apresentada no teorema abaixo e será utilizada algumas vezes neste texto. Teorema (intervalos encaixantes): Seja ሾܽ, ܾሿ, ሾܽଵ, ܾଵሿ, ሾܽଶ, ܾଶሿ, … , ሾܽ, ܾሿ, … uma sequência de intervalos satisfazendo as condições: (i) ሾܽ, ܾሿ ـ ሾܽଵ, ܾଵሿ ـ ሾܽଶ, ܾଶሿ ـ ڮ ـ ሾܽ, ܾሿ ـ ڮ (isto é, cada intervalo contém o seguinte) (ii) para todo ݎ 0, existe um natural ݊ tal que ܾ െ ܽ ൏ ݎ(isto é, medida que ݊ cresce o comprimento do intervalo ሾܽ, ܾሿvai tendendo a zero). Nestas condições, existe um único número real ߙ na interseção de todos os intervalos da sequência, ou seja, ሼߙሽ ൌ ځ ሾܽ݅, ܾ݅ሿஶୀ . Ampliando seu Conhecimento Observação 9. Se tivermos uma sequência de intervalos nas condições (i) e (ii) do teorema dos intervalos encaixantes e se, para todo ܽ 0, ܾ 0, então a sequência de intervalos ሾܽଶ, ܾଶሿ, ሾܽଵଶ, ܾଵଶሿ, ሾܽଶଶ, ܾଶଶሿ, … , ሾܽଶ, ܾଶሿ, … também satisfará aquelas mesmas condições. 14 Exemplo 1.16 Já vimos que em Է não existe solução da equação ݔଶ ൌ 2. Usaremos o teorema dos intervalos encaixantes para construir a raiz quadrada positiva de 2, isto é, construíremos o número irracional ݔ ൌ √2. Com efeito, consideremos um intervalo ሾܽ, ܾሿ, tal que ܽଶ 2 ܾଶ (por exemplo ܽ ൌ 1, ܾ ൌ 2ሻ. Note que 4ܽଶ ሺܽ ܾሻଶ 4ܾଶ. Logo ܽଶ ቀା ଶ ቁ ଶ ܾଶ e portanto ocorre uma das duas possibilidades ou 2 ቀା ଶ ቁ ଶ ou 2 . ቀା ଶ ቁ ଶ . Portanto, dividindo o intervalo ao meio, um dos dois subintervalos, digamos ሾܽଵ, ܾଵሿ é tal que ܽଵଶ 2 ܾଵଶ. Repetindo o processo com ሾܽଵ, ܾଵሿ teremos ሾܽଶ, ܾଶሿ tal que ܽଶଶ 2 ܾଶଶ. Procedendo assim, de forma sucessiva, obteremos uma sequência de intervalos ሾܽ, ܾሿ, cada um contido no anterior, satisfazendo ܽଶ 2 ܾଶ, e além disso, ܾ െ ܽ ൌ ି ଶ para ݅ ൌ 1,2,3 …. Pela propriedade dos intervalos encaixantes existe um único ߙ א ځ ሾܽ݅, ܾ݅ሿஶୀ , onde ߙ ൌ lim՜ஶ ܽ ൌ lim՜ஶ ܾ. Note que como ܽଶ 2 ܾଶ, fazen݅ ՜ ∞, teremos ߙଶ 2 ߙଶ, isto é, ߙଶ ൌ 2. Por outro lado, ߙ é o único número real com esta propriedade pois, se existisse outro número, digamos ߚ tal que ߚଶ ൌ ߙଶ ൌ 2 então teríamos ߚଶ ൌ ߙଶ, ou equivalentemente ሺߙ ߚሻሺߙ െ ߚሻ ൌ 0 de onde poderíamos concluir ߙ ൌ ߚ. Exemplo 1.17 Dados dois números reais ݔ e ݕ quaisquer com ݔ ൏ ݕ mostre que existe pelo menos um irracional ݐ entre ݔ e ݕ, isto é , satisfazendo ݔ ൏ ݐ ൏ ݕ. Solução: Como ݔ ൏ ݕ temos ݕ െ ݔ 0. Suponhamos incialmente que ݔ é irracional. Usando propriedade de Arquimedes com os números positivos 1 e ݕ െ ݔ, existe um número natural ݊ tal que ݊ሺݕ െ ݔሻ 1 ֞ 1݊ ൏ ݕ െ ݔ. Logo, vale (1) ଵ ݔ ൏ ݕ. Como 0 ൏ ଵ adicionando ݔ a ambos os membros desta última desigualdade temos (2) ݔ ൏ ݔ 1݊ . Chame de ݐ o número irracional ݐ ൌ 1݊ ݔ (ݐ é irracional porque é soma do racional ଵ com o irracional ݔ). De (1) e (2) segue ݔ ൏ ݎ ൏ ݕ. Suponhamos agora que ݔ é racional, usando a propriedade de Arquimedes para os números √2 e ݕ െ ݔ 0, temos ݊ሺݕ െ ݔሻ √2 ֞ ඥ2 ݊ ൏ ݕ െ ݔ. Logo, vale (3) √ଶ ݔ ൏ ݕ. Como 0 ൏ ඥ2 ݊ , adicionando ݔ a ambos os membros desta desigualdade obtemos (4) ݔ ൏ ݔ ඥ2 ݊ . Chamando de ݐ o número irracional ݐ ൌ ඥ2 ݊ ݔ (ݐ é irracional porque é soma do irrracional √ଶ com o racional ݔ. De (3) e (4) segue ݔ ൏ ݎ ൏ ݕ. Deste modo, podemos concluir que entre dois números reais quaisquer ݔ e ݕ , com ݔ ൏ ݕ haverá sempre pelo menos um número irracional entre eles. 15 4. Avaliando o que foi construído A maioria do que foi apresentado nesta unidade, com toda certeza já foi visto por você leitor. Provavelmente, o que há de novo é apenas a abordagem. É muito importante que você esteja familiarizado com as propriedades dos números reias, principalmente a sua completeza e o fato dele ser arquimediano, por isso não perca tempo, utilize todos os recursos que você dispõe e amadureça os seus conhecimentos resolvendo os exercícios propostos. No Moodle... 4.1 Exercícios propostos 1) Admitindo como conhecidas apenas as propriedades que tornam Թ um corpo prove: Se ݔ ߠ ൌ ݔ para algum ݔ א Թ então ߠ ൌ 0. Se ݔ · ݑ ൌ ݔ para todo ݔ א Թ então ݑ ൌ 1. Se ݔ ݕ ൌ 0 então ݕ ൌ െݔ. Se ݔ · ݕ ൌ 1 então ݕ ൌ ݔିଵ. 2) Se ܽ ് 0 e ܾ ് 0 em Թ, prove que ሺܾܽሻିଵ ൌ ܽିଵܾିଵ e conclua que ሺܾܽሻିଵ ൌ 3) Dados ݔ, ݕ, ݖ א Թ, prove que |ݔ െ ݖ| |ݔ െ ݕ| |ݕ െ ݖ|. 4) Prove que ห|ݔ| െ |ݕ|ห |ݔ െ ݕ|, para quaisquer ݔ, ݕ א Թ. 5) Prove que a soma de umracional com um irracional é irracional.. 6) Se ݔ, ݕ são dois números reais com ݔ 0 e ݕ 0 então ඥݔݕ ௫ା௬ ଶ Um dos objetivos desta disciplina é treiná-lo no que diz respeito a pensar de forma lógica. Como todo treino, sua habilidade será melhor, proporcionalmente à quantidade de horas que você dedica a ele. Mas não se engane: tudo começa com a leitura e a compreensão de um bom texto. É recomendável utilizar mais de uma referência bibliográfica. O passo seguinte é resolver os exercícios que estão propostos no Moodle. Que tal encarar mais esse desafio? 16 7) A afirmação : “para todo número real ݔ 0, ݔ √ݔ ” é falsa ou verdadeira? Justifique. 8) Prove que ൫ଵି௫శభ൯ ଵି௫ ൌ 1 ݔ ݔଶ ڮ ݔ para todo ݔ ് 1. 9) Prove que ܽଶ ܾܽ ܾଶ 0, quaisquer que sejam ܽ, ܾ א Թ. 17 Unidade II - Sequências e Séries Numéricas 1. Situando a temática Informalmente, uma sequência é uma lista ordenada de coisas. Nesta unidade vamos tratar das sequências cujos elementos na lista são números reais. A partir de uma sequência numérica definiremos uma série numérica que nada mais é senão uma soma infinita dos termos da sequência. Uma questão central é se a sequência tem ou não limite. Aspectos da ideia de limite são encontrados, de forma implícita, em trabalhos de sábios da Grécia antiga, como Eudoxo e Arquimedes. O primeiro matemático a falar explicitamente sobre os limites foi Isaac Newton que explica a ideia central dos limites que é “quantidades ficam mais próximas quanto menor for a diferença dada”. Nesta unidade, apresentamos o conceito de limite de uma sequência baseado na ideia formalizada por Newton, a qual é fundamentada nas propriedades dos números reais, característica da análise matemática. 2. Problematizando a temática Considerando-se uma sequência ሺݔሻ, • Pode haver mais de um limite para a sequência? • Qual relação há entre o limite da sequência e o limite das subsequências desta mesma sequência? • O que exigir de uma sequência monótona a fim de que ela convirja? • O que significa lim݊՜∞ ݔ ൌ 8? • O que significa lim݊՜∞ ݔ ൌ ∞? 3. Conhecendo a temática 3.1 Definições e exemplos Definição 1. Uma sequência (ou sucessão) de números reais é uma função x:Գ՜ Թ que associa, a cada natural ݊, um número real ݔ , chamado o n-ésimo termo da sequência. Escreve-se ሺݔଵ , ݔଶ , … … ݔ, … … ..ሻ ou ሺݔ ሻגԳ, ou simplesmente ሺݔ ሻ para indicar a sequência cujo n ‐ésimo termo é ݔ . Às restrições da sequência x a subconjuntos infinitos de Գ daremos o nome de subsequência de x. As subsequências da sequência x são respresentadas genericamente por ሺݔೕ ሻ, onde ݊ଵ ൏ ݊ଶ ൏ ݊ଷ ൏ ڮ. Exemplo 1.1 A função x:Գ՜ Թ que faz corresponder a cada número natural n o número real ݔሺ݊ሻ ൌ ݔ ൌ 1 ݊⁄ define uma sequência que também pode ser indicada por (1,1/2, 1/3 , … 1/݊, … … ..) . 18 Exemplo 1.2 A sequência constante ሺ1, 1, 1, . . . . . , 1, . . . . . ሻ é definida pela função x:Գ՜ Թ , tal que ݔሺ݊ሻ ൌ 1, ݊ א Գ. Exemplo 1.3 A sequência cujo termo geral é ݔሺ݊ሻ ൌ ሺെ1ሻ pode ser representada por ሺെ1, 1, െ1, 1, െ1, . . . , െ1, 1, . . . . ሻ Exemplo 1.4 A partir da sequência ሺ1, 1,2, 1, 3, 1, 4, 1, . . . , ݊, 1. . . ሻ , considerando-se apenas os termos pares obtemos a subsequência ሺ1,1,1, . . . . . ,1, . . . . . ሻ. De modo análogo, ሺ1, 2, 3, 4, … , ݊ … ሻ é uma subsequência da mesma sequência, obtida tomando-se apenas seus termos ímpares. Exemplo 1.5 A partir da função ݔሺ݊ሻ ൌ ݊ obtemos a sequência formada por todos os números naturais, isto é, ሺ1, 2, 3, 4, … , ݊ … ሻ. Exemplo 1.6 A sequência ሺ1, 3, 5, 7, . . . , 2݊ െ 1 , . . . ሻ . Ampliando seu Conhecimento Observação 1 . É de primordial importância não confundir a sequência ሺݔሻ com o conjunto ሼݔଵ , ݔଶ , … … ݔ, … … . ሽ dos seus termos. Assim, observamos que são distintas as sequências dos exemplos 1.4 e 1.5 apesar do conjunto dos seus termos serem iguais. 3.2 Noção de Convergência Definição 2. Dizemos que a sequência ሺݔ ሻ converge para ܽ ሺou tem limite igual ܽሻ quando “toda vizinhança do ponto ܽ contém todos os termos da sequência, a partir de uma determinada ordem” , isto é , ߝ 0, ݊ א Գ tal que ݔ א ఌܸሺܽሻ , ݊ ݊ ou ݊ ݊ ՜ |ݔ െ ܽ| ൏ ߝ ou ݊ ݊ ՜ ݔ א ሺܽ െ ߝ, ܽ ߝሻ. Neste caso dizemos que a sequência é convergente, caso contrário a sequência é divergente. As notações mais usadas para indicar que a sequência ሺݔሻ converge para ܽ são ݈݅݉՜ ஶ ݔ ൌ ܽ ou lim ݔ ൌ ܽ ou ݔ ՜ ܽ. Definição 3. (limites infinitos). Consideremos uma sequência cujo termo geral é ݔ. Usaremos o símbolo lim՜ ஶ ݔ ൌ ∞ para indicar que para todo ߝ 0, ݊ א Գ tal que ݊ ݊ ՜ ݔ ߝ. De modo análogo,usaremos o símbolo lim՜ ஶ ݔ ൌ െ∞ para indicar que para todo ߝ 0, ݊ א Գ tal que ݊ ݊ ՜ ݔ ൏ െߝ. 19 Exemplo 1.7 A sequência do exemplo 1.1 converge para ܽ ൌ 0. De fato, dado ߝ 0, da propriedade arquimediana, segue ݊ א Գ tal que 1/݊ ൏ ߝ. Assim, ݊ ݊ acarreta 1/݊ 1/݊ ൏ ߝ. Logo : |1/݊ െ 0| ൏ ߝ , ݊ ݊ . Ampliando seu Conhecimento Observações sobre a convergência 1. O limite de uma sequência é único, ou seja, uma sequência convergente não pode ter dois limites distintos. De fato, se lim ݔ ൌ ܽ e lim ݔ ൌ ܾ, então dado ߝ 0 existem ݊ଵ, ݊ଶ א Գ tais que : ݊ ݊ଵ ՜ | ݔ െ ܽ| ൏ ߝ 2ൗ e ݊ ݊ଶ ֜ | ݔ െ ܾ| ൏ ߝ 2ൗ . Seja ݊ ൌ ݉ܽݔ ሼ݊ଵ, ݊ଶ ሽ, então : |ܽ െ ܾ| ൌ ห ܽ െ ݔబݔబ െ ܾห ห ܽ െ ݔబห ห ݔబ െ ܾห ൏ ߝ 2ൗ ߝ 2ൗ ൌ ߝ. Resumindo |ܽ െ ܾ| ൏ ߝ, ߝ 0, o que acarreta ܽ ൌ ܾ. 2. Se ሺݔሻ é convergente, então a partir de uma certa ordem tem-se: | ݔ െ ݔ| ൏ ߝ , ݉, ݊ ݊. Com efeito, seja lim ݔ ൌ ܽ e seja ߝ 0, dado. Seja ݊ א Գ tal que | ݔ െ ܽ| ൏ ߝ 2ൗ , ݇ ݊ . Se ݉, ݊ ݊, então: | ݔ െ ݔ| | ݔ െ ܽ ܽ െ ݔ| | ݔ െ ܽ| | ݔ െ ܽ| ൏ ߝ 2ൗ ߝ 2ൗ ൌ ߝ. 3. Uma sequência ሺݔሻ converge para ܽ, se e somente se, qualquer subsequência de ሺݔሻ converge para ܽ. Para ver isto, suponhamos que lim ݔ ൌ ܽ e seja ሺݔೕ ሻ uma subsequência de ሺݔሻ . Afirmamos que ݊ ݆, ݆ א Գ. Usaremos o princípio de indução. Incialmente temos que ݊ଵ 1 pois ݊ଵ א Գ. Suponhamos que ݊ ݆. Temos ݊ାଵ ݊ ݆ ֜ ݊ାଵ ݆. Logo ݊ାଵ ݆ 1. Portanto fica provada nossa afirmação. Considere agora ߝ 0 e seja ݊ א Գ tal que | ݔ െ ܽ| ൏ ߝ, ݊ ݊. Se ݆ ݊ então ݊ ݊ e portanto, ቚ ݔೕ െ ܽቚ ൏ ߝ, ݆ ݊. E reciprocamente, suponhamos que as subsequências ሺݔଶሻ e ሺݔଶିଵሻ ambas convergem para ܽ. Temos | ݔଶ െ ܽ| ൏ ߝ , ݊ ݊ଵ e | ݔଶିଵ െ ܽ| ൏ ߝ , para qualquer ݊ ݊ଶ. Seja ݊ ൌ ݉ܽݔ ሼ݊ଵ, ݊ଶ ሽ. Então, | ݔ െ ܽ| ൏ ߝ, ݊ ݊. Uma consequência disto é : se lim ݔ ൌ ܽ então lim ݔା ൌ ܽ pois, ሺݔାሻ é uma subsequência de ሺݔሻ . Exemplo 1.8 A sequência do exemplo 1.3 é divergente, pois a subsequência dos termos pares converge para 1, enquanto a sequência dos termos ímpares converge para -1, assim da observação 3 acima, concluimos que a sequência diverge. Exemplo 1.9 Para a sequência cujo termo geral é ݔ ൌ ݊ (veja exemplo 1.5) temos |ݔାଵ െ ݔ| ൌ 1, para todo ݊ א Գ, logo da observação 2 acima concluimos que aquela sequência diverge. Além disso, da propriedade arquimediana, 20 dado ߝ 0 existe ݊ א Գ tal que ݊ ߝ. Assim, dado ߝ 0 existe ݊ א Գ tal que ݊ ݊ ֜ ݊ ߝ. Portanto neste caso tem‐se: lim՜ ஶ ݔ ൌ ∞. 3.3 Propriedadesalgébricas dos limites Teorema 2.1. Considere sequências ሺݔሻ e ሺݕሻ tais que ݔ ՜ ܽ e ݕ ՜ ܾ. Então: ሺ݅ሻ Se ሺݔሻ permanece constante e igual a ܿ a partir de uma certa ordem ݊, então ܽ ൌ ܿ. ሺ݅݅ሻ ߪ ݔ ݕ ՜ ߪܽ ܾ , ߪ א Թ. ሺ݅݅݅ሻ ݔ ݕ ՜ ܾܽ ሺ݅ݒሻ ܵ݁ ݕ ് 0, ݊, ݁ ܾ ് 0 então ௫ ௬ ՜ . Demonstração. Prova de ሺ݅݅ሻ Considere ߪ ്0. Para ߝ 0 existe ݊ tal que | ݔ െ ܽ| ൏ ఌ ଶ|ఙ| , ݊ ݊ e também existe ݊ଵ tal que | ݕ െ ܽ| ൏ ߝ 2⁄ , ݊ ݊ଵ. Seja ݊ ൌ ݉ܽݔ ሼ݊ଵ, ݊ଶ ሽ. Então, |ሺߪݔ ݕሻ െ ሺߪܽ ܾሻ | ൌ |ߪሺ ݔ െ ܽሻ െ ሺ ݕ െ ܽሻ| |ߪ|| ݔ െ ܽ| | ݕ െ ܽ| ൏ |ߪ| ߝ 2|ߪ| ߝ 2 ൌ ߝ, ݊ ݊, isto é, ߪݔ ݕ ՜ ߪܽ ܾ. Prova de ሺ݅ݒሻ. Temos ฬ ݔ ݕ െ ܽ ܾ ฬ ൌ ฬ ݔܾ െ ܽݕ ܾݕ ฬ ൌ 1 |ݕܾ| |ݔܾ െ ݕܽ| ൌ ൌ 1 ቚݕܾ݊ቚ |ݔܾ െ ܾܽ ܾܽ െ ݕܽ| 1 ቚݕ݊ቚ |ݔ݊ െ ܽ| |ܽ| ቚݕܾ݊ቚ หݕ݊ െ ܾห. Assim, ݕ ՜ ܾ, ܾ ് 0, então |ݕ െ ܾ| ൏ || ଶ o que acarreta |ܾ| െ |ݕ| ൏ หܾห 2 ֜ หܾห 2 ൏ |ݕ|, ݊ ݊. Logo ଵ |௬| ൏ ଶ || , ݊ ݊0. Conclusão: ቚ ௫ ௬ െ ቚ ൏ 2 หܾห |ݔ െ ܽ| 2|ܽ| หܾห2 |ݕ െ ܾ| ൏ ൏ ቈ 2 |ܾ| 2|ܽ| |ܾ|ଶ ߝ, ݊ ݊. Disto decorre ௫ ௬ ՜ . 21 Exemplo 1.10 Para a sequência cujo termo geral é ݔ ൌ మାଷିଵ ଶమାହ não podemos aplicar diretamente as propriedades algébricas dos limites porque as sequências no numerador e denominador de ݔ são divergentes. No entanto, dividindo cada parcela no numerador e no denominador por ݊ଶ podemos escrever ݔ ൌ ଵାయ ି భ మ ଶା ఱ మ . Observando que lim ՜ ஶ 1 ݊ ൌ 0 (exemplo 1.7), usando as propriedades operatórias dos limites obtemos, lim ՜ ஶ 1 ݊2 ൌ ቀ lim ՜ ஶ 1 ݊ቁ · ቀ lim՜ ஶ 1 ݊ቁ ൌ 0. Da mesma forma temos que lim ՜ ஶ ቀ1 3݊ െ 1 ݊2 ቁ ൌ lim ՜ ஶ 1 3 lim ՜ ஶ 1 ݊ െ lim՜ ஶ 1 ݊2 ൌ 1 e lim ՜ ஶ 2 5 ݊2 ൌ 2. Portanto, segue das propriedades operatórias dos limites que lim՜ ஶ ݔ݊ ൌ lim՜ ஶ 13݊െ 1 ݊2 2 5 ݊2 ൌ 12. 3.4 Limitação e Monotonia Definição 4. Uma sequência ሺݔሻ é dita limitada superiormente quando existe um número real ܯ tal que ݔ ܯ, ݊ א Գ. Definição 5. Uma sequência ሺݔሻ é dita limitada inferiormente quando existe um número real ݉ tal que ݉ ݔ, ݊ א Գ. Definição 6. Uma sequência ሺݔሻ é dita limitada quando existe uma constante positiva ܥ tal que | ݔ| ܥ, ݊ א Գ. Definição 7. Uma sequência ሺݔሻ é dita monótona crescente ݔ ݔାଵ, ݊ א Գ. Definição 8. Uma sequência ሺݔሻ é dita monótona decrescente ݔାଵ ݔ, ݊ א Գ. Proposição 1.1. Se ݔ ՜ 0 e ݕ é limitada então ݔ ݕ ՜ 0. Demonstração. Como ݔ ՜ 0, então dado ߝ 0, ݊ tal que ݊ ݊ implica | ݔ െ 0| ൌ | ݔ| ൏ ߝ. Por outro lado, da definição de sequência limitada temos que existe uma constante positiva ܥ tal que | ݕ| ܥ, ݊ א Գ. De modo que , dado ߝ 0, ݊ tal que ݊ ݊ implica | ݔ ݕ െ 0| ൌ | ݔ|| ݕ| ܥ| ݔ| ൏ ܥߝ o que acarreta ݔ ݕ ՜ 0. Exemplo 1.11 A sequência cujo termo geral é ݔ ൌ 1 ݊ ݏ݁݊ ݊ converge para zero. De fato, neste caso podemos usar a proposição acima porque ଵ ՜ 0 e |ݏ݁݊ ݊| 1. 22 Teorema 2.2 (Convergência Monótona) Se ሺݔሻ é uma sequência monótona crescente e limitada superiormente, então ሺݔሻ é convergente . Demonstração. Seja ܽ ൌ sup ሼ ݔ, ݊ א Գሽ. Mostremos que lim ݔ ൌ ܽ . Dado ߝ 0, dado e seja ݊ א Գ tal que ܽ െ ߝ ൏ ݔబ ݔ ൏ ܽ ߝ, ݊ ݊. Então | ݔ െ ܽ| ൏ ߝ, ݊ ݊ , isto é , lim ݔ ൌ ܽ . Corolário 1.1 Seja ሺݔሻ uma sequência monótona. Então ሺݔሻ é convergente se, e somente se, ሺݔሻ é limitada. Demonstração. Se ሺݔሻ é convergente então dado ߝ ൌ 1 existe ݊ א Գ tal que | ݔ െ ܽ| ൏ 1, ݊ ݊. Logo | ݔ| ൏ 1 |ܽ|, ݊ ݊. Seja ܥ ൌ max ሼ1 |ܽ|, | ݔଵ|, | ݔଶ|, … , ห ݔబหሽ. Portanto, | ݔ| ܥ , ݊ ݊, isto é, ሺݔሻ é limitada. Reciprocamente, se ሺݔሻ é monótona e limitada, então ela é limitada superiormente e inferiormente. Se ela for crescente, então lim ݔ ൌ sup ሼ ݔሽ . Se ela for decrescente então lim ݔ ൌ inf ሼ ݔሽ. Ampliando seu Conhecimento Observações: 1. Uma sequência pode ser limitada e divergir. Veja o exemplo 1.3 acima onde ݔሺ݊ሻ ൌ ሺെ1ሻ. . Temos | ݔ| 1. 2. Uma sequência pode ser monótona crescente e divergir. Veja o exemplo 1.5 acima , onde ݔሺ݊ሻ ൌ ݊. Exemplo 1.12 A sequência cujo termo geral é ݔ ൌ 1 ݊ é decrescente e limitada inferiormente por zero. Já vimos que esta sequência converge para zero que é infሼ ݔሽ ൌ 0. Exemplo 1.13 A sequência ݏ ൌ ∑ ଵ మ ஶ ୀଵ é naturalmente crescente. Notando que ݏ ൌ 1 1 2ଶ 1 3ଶ ڮ 1 ݇ଶ podemos usar o significado da integral para concluir: ݏ ൌ 1 1 2ଶ 1 3ଶ ڮ 1 ݇ଶ 1 න 1 ݔଶ ଵ ݀ݔ Denotando por ݕ a sequência ݕ ൌ ଵ ௫మ ଵ dx, temos lim ՜ஶ ݕ ൌ lim՜ஶ െ 1 ݊ 1൨ ൌ 1. Segue-se que ݏ é crescente e limit da superiormente por 2, assim ݏ converge e sua soma é um número real ݏ 2. 23 Teorema 2.3 (Teste da razão para sequências) Seja ሺݔሻ uma sequência de termos estritamente positivos e suponhamos que ݈݅݉՜∞ ݔ݊1 ݔ݊ ൌ ܮ ൏ 1. Então ݈݅݉՜∞ ݔ ൌ 0. Demonstração. Seja ݎ א Թ tal que ܮ ൏ ݎ ൏ 1. Fixemos um número real ߝ ൌ ݎ െ ܮ 0. Da definição de limite existe ݊ א Գ tal que ቚ ݔ݊1 ݔ݊ െ ܮቚ ൏ ݎ െ ܮ, ݊ ݊ . Disto decorre, que para todo ݊ ݊ tem-se ௫శభ ௫ െ ܮ ൏ ݎ െ ܮ ֞ ௫శభ ௫ ൏ ݎ ֞ ݔାଵ ൏ ݎ ݔ ൏ ݔ , pois ݎ ൏ 1. Desta última desigualdade concluimos que a sequência é decrescente. Por ser limitada inferiormente e decrescente a partir da ordem ݊ conlui-se que a sequência converge. Seja ݈݅݉ ݔ ൌ ܽ. Se ܽ fosse positivo teríamos das propriedades operatórias dos limites que ݈݅݉՜∞ ݔ݊1 ݔ݊ ൌ ݈݅݉݊՜∞ ݔ݊1 ݈݅݉݊՜∞ ݔ݊ ൌ ܽܽ ൌ 1. Mas isto contradiz a hipótese ܮ ൏ 1. Portanto ܽ ൌ 0. Exemplo 1.14 Aplicando o teste da razão para a sequência definida por ݔ ൌ ݎ, com 0 ൏ ݎ ൏ 1 concluimos, ݈݅݉՜ஶ ݔ ൌ 0. ቂ ାଵ ቃ Exemplo 1.15 Podemos usar o teste da razão para mostrar que a sequência cujo termo geral é ݔ ൌ ݊! ݊݊ converge para zero. De fato, neste caso, temos ݈݅݉՜∞ ݔ݊1 ݔ݊ ൌ ݈݅݉՜ஶ ቂ ሺ݊1ሻ! ሺ݊1ሻ݊1ቃ ቂ ሺ݊ሻ݊ ݊! ቃ=݈݅݉՜ஶ ቂ ݊ ݊1ቃ ݊ ൌ 1݁ ൏ 1. Portanto, ݔ ൌ ݊! ݊݊ ՜ 0. Teorema 2.4 (Regra do Sanduíche para sequências) Se ݔ ՜ ܽ , ݕ ՜ ܽ e ݔ ݖ ݕ então ݖ ՜ ܽ. Demontração. Seja ߝ 0 dado. Como ݔ ՜ ܽ existe ݊ א Գ tal que | ݔ െ ܽ| ൏ ߝ, ݊ ݊ . De modo, de análogo de ݕ ՜ ܽ, existe ݊ଵ א Գ tal que | ݕ െ ܽ| ൏ ߝ, ݊ ݊ଵ. Seja ݊ଶ ൌ max ሼ ݊, ݊ଵሽ. Temos que െߝ ൏ ݔ െ ܽ ݖ െ ܽ ݕ െ ܽ ൏ ߝ, ݊ ݊ଶ. Portanto | ݖ െ ܽ| ൏ ߝ, ݊ ݊ଶ , isto é ݖ ՜ ܽ. Teorema 2.5. Toda sequência ሺݔሻ de números reais possui uma subsequência ሺݔೕሻ monótona. Demonstração. Há dois casos a considerar: primeiro suponhamos que exista uma inifinidade de pontos satisfazendo ݔ ݔ , ݊ ݇, digamos ݔభ, ݔమ, ݔయ, … com ݊ଵ ൏ ݊ଶ ൏ ݊ଷ ൏ ڮ Tais pontos são denominados de picos. Então ሺݔೕሻ é monótona decrescente. 24 No segundo caso, suponhamos que a sequência possui apenas uma quantidade finita de picos digamos ݔభ, ݔమ,ݔయ, … , ݔೖ, com ݊ଵ ൏ ݊ଶ ൏ ݊ଷ ൏ ڮ ݊ ൏ ڮ. Seja ݉ଵ ൌ 1 ݊ o primeiro índice que não é um pico. Seja ݉ଶ ݉ଵ tal que ݔమ ݔభ , tal índice existe pois ݔభ não é pico. Do mesmo modo, como ݔమ não é pico, existe ݉ଷ ݉ଶ tal que ݔయ ݔమ e procedendo de de forma sucessivacontruiremos uma subsequência ሺݔೕሻ monótona crescente. Teorema 2.5( Bolzano Weirstrass) Toda sequência limitada de números reais possui uma subsequência convergente. Demonstração. Considere ሺݔሻ limitada e seja ሺݔೕሻ que é monótona. Então ሺݔೕሻ é convergente por ser monótona e limitada. Teorema 2.7 (Critério de não Convergência) . São equivalentes: ሺAሻ ሺݔሻ não converge para ܽ. ሺBሻ ε 0 ; ݆ א Գ, existe ݊ ݆, com ቚ ݔೕ െ ܽቚ ε. ሺBሻ ε 0 e uma subsequência ሺݔೕሻ de ሺݔሻ tal que ቚ ݔೕ െ ܽ| ε, ݆. 3.5 Critério de Cauchy Definição 9. Uma sequência ሺݔሻ é dita de Cauchy quando ߝ 0, ݊ א Գ tal que | ݔ െ ݔ| ൏ ε, ݉, ݊ ݊. Consequências: 1. Toda sequência convergente é de Cauchy. 2. Toda sequência de Cauchy é limitada. 3. Se uma sequência de Cauchy possui uma subsequência convergente então esta sequência converge para o mesmo limite da subsequência. 4. Toda sequência de Cauchy é convergente. Teorema 2.8 ( Critério de Cauchy) . A sequência ሺݔሻ converge se e somente se, se ሺݔሻ é de Cauchy. Demonstração. Considere ሺݔሻ limitada e seja ሺݔೕሻ que é monótona. Então ሺݔೕሻ é convergente por ser monótona e limitada. 3.6 Séries Convergentes Definição 9. Uma série é uma somado tipo, ݏ ൌ ݔଵ ݔଶ ݔଷ ڮ ݔ ڮ 25 com um número infinito de parcelas, e esta também possui a representação ∑ ݔஶୀଵ ou simplesmente ∑ ݔ. Claramente, uma soma deste tipo só faz sentido se ݏ ൌ ݈݅݉՜ ஶሺ ݔଵ ݔଶ ݔଷ ڮ ݔሻ. Como limites podem existir ou não, classificaremos as séries em convergentes e divergentes, ou seja, quando a sequência ሺݏሻ é convergente diremos que a série ∑ ݔ é convergente e divergente caso contrário. Exemplo 1.16 A série ∑ ሺെ1ሻାଵஶୀଵ ቀ ଵ ቁ converge e sua soma é ݈݊2. De fato, inicialmente notamos que ଵ ௫ାଵ ଵ dx ൌ ݈݊2 e (1) 1 ܽ ܽଶ ڮ ܽ ൌ ଵିశభ ଵି . De (1) decorre, (2) ଵ ଵି ൌ 1 ܽ ܽଶ ڮ ܽ శభ ଵି . Fazendo ܽ ൌ െݔ, em (2), obtemos: (3) ଵ ଵା௫ ൌ 1 െ ݔ ݔଶ ڮ ሺെ1ሻݔ ሺെ1ሻାଵ ቄ௫ శభ ଵା௫ ቅ Integrando termo a termo em (3), obtemos: (4) ݈݊2 ൌ ଵ ௫ାଵ ଵ dx ൌ 1 − ଵ ଶ ଵ ଷ െ ڮ ሺെ1ሻ ݊ ݊1 ሺെ1ሻାଵ ௫శభ ଵା௫ ଵ dx. Logo, |݈݊2 െ ݏ| ൌ ሺെ1ሻାଵ ௫శభ ଵା௫ ଵ dx. Para concluir sobre a veracidade da nossa afirmação devemos mostrar que lim՜ାஶሺെ1ሻାଵ ݔ݊1 1ݔ 1 0 ݀ݔ ൌ 0. Ora, se ݔ א ሾ0,1ሿ temos, 0 1ݔ1 1 ฺ 0 ݔ݊1 ݔ1 ݔ ାଵ, ݔ א ሾ0,1ሿ, ݊ א Գ. Logo, 0 න ݔାଵ 1 ݔ ݀ݔ ଵ න ݔାଵ݀ݔ ଵ ൌ 1 ݊ 1 Usando o teorema do confronto concluimos lim՜ାஶሺെ1ሻାଵ ݔ݊1 1ݔ 1 0 ݀ݔ. ൌ 0 ฺ ∑ ሺെ1ሻ ାଵ ቀ1݊ቁ ஶ ୀଵ ൌ ݈݊2. É Amplia 26 Exemplo 1.17 A série harmônica ∑ 1݊ ஶ ୀଵ diverge. De fato, se ݉ ݊, então |ݏ െ ݏ| ൌ 1 ݊1 ڮ 1 ݉ 1 ݉ ڮ 1 ݉ ൌ ݉െ݊ ݉ ՜ 1, se ݉ ՜ ∞. Assim, ሺݏሻ não é de Cauchy e, portanto, a série ∑ 1݊ ஶ ୀଵ diverge. Exemplo 1.18 A série geométrica ∑ ܽݎିଵஶୀଵ com |ݎ| ൏ 1 é convergente. De fato, como ݏ ൌ ܽ ܽݎ ܽݎଶ ڮ ܽݎିଵ ൌ ܽ൫1െݎ݊൯ 1െݎ temos ሺݏሻ é crescente, limitada, pois ݏ< ଵି . Além disso, ݈݅݉՜ஶ ݎ ൌ 0 (veja o exemplo 1.14). Deste modo, usando a proposição 1.1 concluimos que ଵି ՜ 0, e portanto, a série geométrica ∑ ܽݎିଵஶୀଵ converge para ଵି , se |ݎ| ൏ 1. Se |ݎ| 1 a sequência ሺݎሻ diverge e o mesmo ocorre com ሺݏሻ . É Amplia Exemplo 1.19 A série de encaixe ∑ ሺܾ െ ܾାଵሻஶୀଵ converge, se e somente se, ܾ converge e neste caso ݈݅݉՜ஶ ݏ ൌ ܾଵ െ ݈݅݉՜ஶ ܾ. Este resultado pode ser aplicado para obter a soma da série ∑ 1 ݊݊2 ൌஶୀଵ ∑ 1 ݊ െ 1 ݊1 ൌ 1 ஶ ୀଵ . Teorema 2.9 A série ∑ ݔஶୀଵ converge se e somente se ∑ ݔஶୀ converge, א Գ. Teorema 2.10 Se a série ∑ ݔஶୀଵ converge então lim՜ஶ ݔ ൌ 0. Corolário 1.2. (critério de não convergência) Se lim՜ஶ ݔ ് 0 ou não existir então ∑ ݔஶୀଵ diverge. Teorema 2.11 (a) Se ߣ ് 0 , então ∑ ݔஶୀଵ converge, se e somente se, ∑ ߣݔஶୀଵ converge e vale ∑ ߣݔஶୀଵ ൌ ߣ ∑ ݔஶୀଵ . (b) Se ∑ ݔஶୀଵ e ∑ ݕஶୀଵ são ambas convergentes então ∑ ሺݔஶୀଵ ݕሻ converge e temos: ∑ ሺݔஶୀଵ ݕሻ ൌ ∑ ݔஶୀଵ ∑ ݕஶୀଵ . 3.7 Critérios de Convergência Teorema 2.12 (Critério de Cauchy para séries) Uma série ∑ ݔஶୀଵ é convergente, se e somente se, ߝ 0, ݊ א Գ tal que |ݔାଵ ݔାଶ ڮ ݔା| ൏ ߝ, ݇, ݊ ݊. Demonstração. Temos da definição de convergência que a série ∑ ݔஶୀଵ converge se a sequência das somas parciais converge. Por outro lado, note que |ݏ െ ݏା| ൌ |ݔାଵ ݔାଶ ڮ ݔା|. Para concluir é só aplicar o critério de Cauchy para sequências (teorema 2.8). 27 Teorema 2.13 (Critério da Comparação) Sejam ሺݔሻ e ሺݕሻ sequências de termos não negativos e suponhamos que existam ܿ 0 e ݊ tais que ݔ ܿݕ, ݊ ݊. Então a convergência de ∑ ݕஶୀଵ implica a de ∑ ݔஶୀଵ enquanto a divergência de ∑ ݔஶୀଵ implica a divergência de ∑ ݕஶୀଵ . Demonstração Suponhamos, sem perda de generalidade, que ݔ ܿݕ para todo ݊ א Գ. Então as reduzidas ݏ e ݐ de ∑ ݔ e ∑ ݕ respectivamente, formam sequências não decrescentes tais que 0 ݏ ܿݐ para todo ݊ א Գ. Como ܿ 0, ሺݐሻ limitada implica ሺݏሻ limitada e ሺݏሻ ilimitada implica ሺݐሻ ilimitada pois ݐ ݏ/ܿ . .É Amplia Exemplo 1.20 Se 1 então ଵ ଵ e como a série harmônica diverge, resulta do critério da comparação que ∑ 1݊ diverge. Exemplo 1.21 A série ∑ 2ଶ୬3ଵି୬ஶ୬ୀଵ converge ou diverge? Para decidir isto vamos reescrever o n-ésimo termo da série na forma ܽݎିଵ: 2ଶ3ଵି ൌ ஶ ୀଵ ሺ2ଶሻ3ିሺିଵሻ ൌ 4 3ିଵ ൌ 4 ൬ 4 3 ൰ ஶ ୀଵ ஶ ୀଵ ஶ ୀଵ Reconhecemos esta série como uma série geométrica com a ൌ 4 , r ൌ 43 1 portanto esta série diverge. Teorema 2.13 (Critério de Dirichlet) Suponhamos que ܽ ൌ ܽଵ ܽଶ ܽଷ ڮ ܽ seja uma sequência limitada e que ሺܾሻ é decrescente com limite zero. Então, ∑ ܾܽஶୀଵ é convergente. p Exemplo 1.22 Se a série ∑ ሺെ1ሻܾஶୀଵ , onde ሺܾሻ, é uma sequência decrescente com limite zero então ∑ ሺെ1ሻܾஶୀଵ é convergente. De fato, denotando por ܽ ൌ ሺെ1ሻ para todo natural ݊, temos , |∑ ܽୀଵ | 1. Juntando-se a isso a hipótese sobre a sequência ሺܾሻ, podemos aplicar o critério de Dirichlet e concluir que a série em questão converge. 3.8 Séries Alternadas Definição. (Série Alternada) Uma série alternada é aquela cujos termos são alternadamente positivos e negativos. Assim, uma série será alternada se ela for, necessariamente, de um dos tipos ∑ ሺെ1ሻஶୀଵ ܾ ou ∑ ሺെ1ሻିଵஶୀଵ ܾ onde ܾ 0, ݊ א Գ. 28 Teorema 2.14 (Teste da série Alternada) Se a série alternada ∑ ሺെ1ሻିଵஶୀଵ ܾ ൌ ܾଵ െ ܾଶ ܾଷ െ ܾସ ڮ satisfizer: ሺ݅ሻ ܾାଵ ܾ para todo ݊, ሺ݅݅ሻ lim՜ஶ ܾ ൌ 0. Então, a série ∑ ሺെ1ሻିଵஶୀଵ ܾ é convergente. Exemplo 1.23 A série harmônica alternada ∑ ሺെ1ሻ ݊െ1 ݊ ஶ ୀଵ satisfaz ሺ݅ሻܾାଵ ܾ porque 1 ݊1 ൏ 1 ݊ ሺ݅݅ሻ lim ݊՜∞ ܾ݊ ൌ lim݊՜∞ 1 ݊ ൌ 0 Logo a série converge harmônica alternada converge, pelo teste da série alternada. Exemplo 1.24 Para a série alternada ∑ ሺെ1ሻ ݊3݊ 4݊െ1 ஶ ୀଵ não podemos aplicar o teste para convergência de séries alternadas porque lim ՜ஶ ܾ ൌ lim՜ஶ 3݊ 4݊െ1 ൌ 3 4 . Mas se olharmos para o n-ésimo termo da série, ܽ ൌ ሺെ1ሻ݊3݊ 4݊െ1 temos que o limite lim ՜ஶ ሺെ1ሻ݊3݊ 4݊െ1 não existe e portanto, a série em questão diverge. 3.9 Sériesabsolutamente convergentes e os testes da razão e da raiz Definição 10. Uma série ∑ ݔஶୀଵ é dita absolutamente convergente se a série de valores absolutos ∑ |ݔ|ஶୀଵ for convergente. Exemplo 1.25 Vimos (exemplo 1.23) que a série harmônica alternada ∑ ሺെ1ሻ ݊െ1 ݊ ஶ ୀଵ é convergente. No entanto, a série de valores absolutos é a série harmônica ∑ 1݊ ஶ ୀଵ que sabemos (exemplo 1.17) ser divergente. Ampliando seu Conhecimento Observação. No caso em que todos os termos de uma série ∑ ݔஶୀଵ são positivos, temos |ݔ| ൌ ݔ. Logo neste caso, convergência e convergência absoluta coincidem. Mais geralmente, uma série convergente cujos termos não mudam de sinal é absolutamente convergente. Definição 11. Uma série ∑ ݔஶୀଵ é dita condicionalmente convergente se ela for convergente, mas não absolutamente convergente. 29 Exemplo 1.26 A série harmônica alternada (exemplo 1.23) é condicionalmente convergente. Disto podemos concluir que convergência condicional não implica convergência absoluta. A recíproca deste fato é verdadeira e está destacada no próximo teorema. Teorema. Se a série ∑ |ݔ|ஶୀଵ converge então a série ∑ ݔஶୀଵ também converge. Demonstração. Aplicando o critério de Cauchy à série ∑ |ݔ|ஶୀଵ , obtemos ߝ 0, ݊ א Գ tal que ห|ݔାଵ| |ݔାଶ| ڮ |ݔା|ห ൌ |ݔାଵ| |ݔାଶ| ڮ |ݔା| ൏ ߝ, ݇, ݊ ݊. Mas, |ݔାଵ ݔାଶ ڮ ݔା| |ݔାଵ| |ݔାଶ| ڮ |ݔା| portanto, ߝ 0, ݊ א Գ tal que |ݔାଵ ݔାଶ ڮ ݔା| ൏ ߝ, ݇, ݊ ݊, e usando novamente o crítério de Cauchy, agora para a série ∑ ݔஶୀଵ , concluimos ∑ ݔஶୀଵ também converge. Ampliando seu Conhecimento Observação. Note que o critério de Cauchy nos dá uma condição necessária e suficiente para convergência de uma série. Na demonstração do teorema acima foi o aplicado o critério de Cauchy, em situações distintas. Os teoremas a seguir fornecem testes que são úteis para testar a convergência absoluta de uma série. Teorema (teste da razão). ሺ݅ሻ Se lim ՜ஶ ቚ ݔ݊1 ݔ݊ ቚ ൌ ܮ ൏ 1, então a série ∑ ݔஶୀଵ é absolutamente convergente, e portanto convergente. ሺ݅݅ሻ Se lim ՜ஶ ቚ ݔ݊1 ݔ݊ ቚ ൌ ܮ 1, ou se lim ՜ஶ ቚ ݔ݊1 ݔ݊ ቚ ൌ ∞, então a série ∑ ݔஶୀଵ é divergente. ሺ݅݅݅ሻ Se lim ՜ஶ ቚ ݔ݊1 ݔ݊ ቚ ൌ ܮ ൌ 1, o teste da razão não é conclusivo, ou seja, neste caso a série pode ser convergente ou divergente. S Exemplo 1.27 Determine em que intervalo devemos tomar ݔ a fim de que a série ∑ ݔஶୀଵ represente um número real. Solução: Notamos que a série ∑ ݔஶୀଵ representará um número se ela for convergente. Claramente, se ݔ ൌ 0 a série é convergente. Se ݔ ് 0 faz sentido a igualdade ቚݔ݊1ݔ݊ ቚ ൌ |ݔ|. Usando o teste da razão para séries vemos que se |ݔ| ൏ 1, ݔ ് 0 temos que ∑ ݔஶୀଵ é convergente e divergente se |ݔ| 1, ݔ ് 0. Se ݔ ൌ 1 ou se ݔ ൌ െ1 teste não é conclusivo, mas usando 30 usando corolário 1.2 (critério de não convergência) temos que nestes casos a série diverge. Concluimos, portanto que a ∑ ݔஶୀଵ representa um número real se e somente, |ݔ| ൏ 1. Note que ∑ ݔஶୀଵ é uma série geométrica e sua soma é ଵ ௫ିଵ para |ݔ| ൏ 1. Exemplo 1.28 O teste da razão aplicado à série ∑ ሺെ1ሻ ൬݊ 3 3݊ ൰ஶୀଵ garante a convergência desta série. De fato, considerando ݔ ൌ ሺെ1ሻ ൬ ݊3 3݊ ൰ , temos ቚݔ݊1ݔ݊ ቚ ൌ ቮ ሺെ1ሻ݊1ቆሺ݊1ሻ 3 3݊1 ቇ ሺെ1ሻ݊ቆ݊ 3 3݊ ቇ ቮ ൌ ሺାଵሻయ ଷశభ · ଷ ሺሻయ ൌ ଵ ଷ ቀାଵ ቁ ଷ = ൌ 1 3 ൬1 1 ݊ ൰ ଷ ՜ 1 3 ൏ 1 Deste modo, pelo teste da razão concluimos que a série em questão é absolutamente convergente, logo convergente. Teorema (teste da raiz). ሺ݅ሻ Se lim ՜ஶ ඥ|ݔ| ൌ ܮ ൏ 1, então a série ∑ ݔஶୀଵ é absolutamente convergente, e portanto convergente. ሺ݅݅ሻ Se lim ՜ஶ ඥ|ݔ| ൌ ܮ 1, ou se lim ՜ஶ ቚ ݔ݊1 ݔ݊ ቚ ൌ ∞, então a série ∑ ݔஶୀଵ é divergente. ሺ݅݅݅ሻ Se lim ՜ஶ ඥ|ݔ| ൌ ܮ ൌ 1, o teste da razão não é conclusivo, ou seja, neste caso a série pode ser convergente ou divergente. S Ampliando seu Conhecimento Observação. Quando o teste da razão for inconclusivo não use o teste da razão, pois este também será inconclusivo, e vice-versa. Em se tratando de somas finitas, temos da comutatividade dos números reais, que uma mudança na ordem dos termos não altera o resultado final. No entanto, o mesmo não ocorre, em geral, com as somas infinitas. Veja o exemplo a seguir.P Exemplo 1.29 Para exemplificar o que dissemos acima, considere a série ∑ ሺെ1ሻାଵ ቀଵ ቁஶୀଵ . Vimos no exemplo (1.16) que a soma desta série é ݈݊2. Assim, podemos escrever: (1) ݈݊2 ൌ 1 െ 12 1 3 െ 1 4 1 5 െ 1 6 1 7 െ 1 8 ڮ 31 Logo, (2) 12 ݈݊2 ൌ 1 2 െ 1 4 1 6 െ 1 8 ڮ Ou ainda, acrescentando zeros entre os termos de (2), obtemos (3) ଵ ଶ ݈݊2 ൌ 0 12 0 െ 1 4 0 1 6 0 െ 1 8 ڮ Logo, somando as séries em (1) e (3) temos: (4) ଷ ଶ ݈݊2 ൌ 1 13 െ 1 2 1 5 1 7 െ 1 4 ڮ Note que, nesta última série ሺ4ሻ que todos os seus termos são termos da série ሺ1ሻ em outra ordem. Definição 12. Seja ݂: Գ ՜ Գ uma função bijetora. Sejam ∑ ݔஶୀଵ , ∑ ݕஶୀଵ duas séries tais que ݔ ൌ ݕሺሻ, para todo ݊ א Գ. Então ∑ ݕஶୀଵ é dita um rearranjo ( ou uma reordenação) da série ∑ ݔஶୀଵ . Ampliando seu Conhecimento Observações: Claramente, se uma série ∑ ݔஶୀଵ é absolutamente convergente com soma ݏ, então qualquer rearranjo de ∑ ݔஶୀଵ fornecerá mesma soma ݏ. Note que no exemplo (1.20) acima a série em (4) é um um rearranjo da série em (1). Os valores distintos obtidos para as duas somas no exemplo (1.20) não ocorre à toa e deve-se ao fato da série em (1) ser condicionalmente convergente. Um resultado surpreendente relacionado a rearranjos, foi obtido por Riemann e está enunciado no teorema abaixo Par Teorema. Sejam ∑ ݔஶୀଵ uma série condicionalmente convergente e ݎ um número real qualquer. Existe um rearranjo de ∑ ݔஶୀଵ cuja soma é ݎ. M 4. Avaliando o que foi construído O conceito de limite é o tema central desta unidade. Ele será retomado na próxima unidade de modo mais geral. Você deve ter notado que apresentamos diversas maneiras de testar a convergência de uma série e que também não há um método geral que sirva para uma série indistintamente, ou seja, testar séries é igual calcular integrais, não há um método certo. Mesmo assim, algum plano pode ser feito porque não é uma boa estratégia sair usando os testes de forma aleatória. Para ver um roteiro deste tipo, vá à página 118 do livro 4 da coleção intitulada Licenciatura em Matemática a distância. Lá tem uma estratégia para testar a convergência de uma série. 32 No Moodle... 4.1 Exercícios propostos 1) Calcule o termo geral da sequência, em cada caso abaixo: a) ቀଵ ଶ , ଶ ଷ , ଷ ସ , ସ ହ , ହ , , ଼ , … ቁ b) ൫1, √2, √3, 2, √5, √6, √7, √8, 3, … , ൯ c) ቀ32 , െ1, 5 8 , െ 6 16 , 7 32 , െ 1 8 , 9 128 , െ 10 256 , … ቁ 2) Calcule, caso exista, o limite da sequência. Caso o limite seja infinito, indique adequadamente este fato. a) ݔ ൌ 3݊ ݊ݏ݁݊2݊ b) ݔ ൌ 1 െ ሺ0,2ሻ c) ݔ ൌ 1 ሺെ1ሻାଵ d) ݔ ൌ ݊ 1√݊ 3) Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é convergente? a) ݔ ൌ ሺെ2ሻାଵ b) ݔ ൌ 1 2݊3 c) ݔ ൌ ݊ ݊21 d) ݔ ൌ ݊ 1 ݊ 4) Seja ݔ ൌ 2݊ 4݊3 a) Determne se ݔ é convergente.b) Determine se ∑ ݔஶୀଵ é convergente. 5) Explique a diferença entre: a) ∑ ݔஶୀଵ e ∑ ݔஶୀଵ b) ∑ ݔஶୀଵ e ∑ ݔஶୀଵ Todos devemos concordar que para ler e compreender bem textos de matemática devemos estar acompanhados de lápis e papel. Ou, quem sabe, um bom computador. Bom, o que queremos dizer é que devemos utilizar algum instrumento para reescrever alguma frase, detalhar alguma conta escondida. Utilize a seu favor todos os recursos disponíveis na plataforma com vistas a seu sucesso nesta disciplina. Estude! Resolva exercícios propostos no Moodle. . 33 6) Determine se a série converge ou diverge. a) ∑ ݊െ13݊1 ஶ ୀଵ b) ∑ ݊݁ିమஶୀଵ c) ∑ ሺെ1ሻ ൬ ݊ 3 ݊41 ൰ஶୀଵ d) ∑ ݊݁ିమஶୀଵ e) ∑ 2 ݊ ݊! ஶ ୀଵ 7) O que você pode dizer sobre a série ∑ ݔஶୀଵ em cada um dos seguintes casos? a) lim ՜ஶ ቚ ݔ݊1 ݔ݊ ቚ ൌ 5 b) lim ՜ஶ ቚ ݔ݊1 ݔ݊ ቚ ൌ 0,5 c) lim ՜ஶ ቚ ݔ݊1 ݔ݊ ቚ ൌ 1 8) Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. a) ∑ ሺെ10ሻ ݊ ݊! ஶ ୀଵ b) ∑ 2 ݊ ݊! ஶ ୀଵ c) ∑ ൫െ1൯ ݊ ln ݊ ஶ ୀଶ d) ∑ ቀ1 1݊ቁ మ ஶ ୀଵ 9) Para quais das seguintes séries o teste da razão não é conclusivo? a) ∑ ଵ య ஶ ୀଵ b) ∑ ଶ ஶ ୀଵ c) ∑ ሺିଷሻ షభ √ ஶ ୀଵ d) ∑ √ ଵାమ ஶ ୀଵ 10) Vimos que a série harmônica é uma série divergente cujos termos tendem a zero. Mostre que ∑ ݈݊ ቀ1 ଵ ቁஶୀଵ também tem essa propriedade. 34 Unidade III - Limites e Continuidade 1. Situando a temática Consideramos que o leitor deste texto está familiarizado com a noção de limites nos cursos de cálculo e a noção de limites de sequências apresentada na unidade anterior. Por exemplo, temos a ideia do limite de uma sequência, que explica o que simbolicamente escrevemos na forma ݈݅݉՜∞ ݔ ൌ ܮ, conhecemos o limite de uma função, mediante a notação ݈݅݉௫՜ ݂ሺݔሻ ൌ ܮ e até mesmo os limites bidimensionais ݈݅݉ሺ௫,௬ሻ՜ሺ,ሻ ݂ሺݔሻ ൌ ܮ. Cada um destes conceitos foi definido de forma particular e, associados a eles conhecemos um conjunto de teoremas. No entanto, a mesma ideia fundamental existe em todos estes limites e, se analisarmos cuidadosamente as diversas definições, podemos formular um conceito geral de limites que incluirá todos os casos precedentes como casos particulares. Com o intuito de estabelecer o conceito de limite da forma mais geral possível começaremos nosso estudo apresentando algumas noções topológicas. 2. Problematizando a temática Nesta unidade, as principais questões que se colocam são: 1. O que é uma vizinhança de um ponto? 2. O que é um conjunto aberto? O que é um conjunto fechado? 3. O que têm em comum as definições de limites de uma sequência e limites de uma função? 4. Quando se diz ݈݅݉௫՜ ݂ሺݔሻ ൌ ܮ, o que se pode dizer sobre o valor da função f no ponto ݔ ൌ ܽ ? 5. É possível falar em continuidade em um ponto que não pertence ao domínio da função ݂? 3. Conhecendo a temática 3.1 Algumas noções topológicas Dados ݔ א Թ e ߜ 0, chamamos de vizinhança de ݔ, e denotamos por ఋܸሺݔሻ o intervalo aberto de centro em ݔ e raio ߜ. Assim, ఋܸሺݔሻ ൌ ሼݔ א Թ ; ݔ െ ߜ ൏ ݔ ൏ ݔ ߜሽ ൌ ሺݔ െ ߜ; ݔ ߜሻ. Se X ك Թ e ݔ א Թ, apenas uma das condições abaixo se verifica: A. Existe ߜ 0 tal que ఋܸሺݔሻ ك X . Neste caso dizemos que ݔ é ponto interior de X. B. Existe ߜ 0 tal que ఋܸሺݔሻ ك Թ െ X . Neste caso dizemos que ݔ é ponto exterior de X. 35 C. Qualquer que seja ߜ 0, a vizinhança ఋܸሺݔሻ contém pontos de X e de Թ െ X. Neste caso dizemos que ݔ é ponto de fronteira de X. Denotaremos o interior, a fronteira de X e o exterior de X, respectivamente, por ݅݊ݐ X, e ߲X e ݁ݔݐ X. 3.2 Exemplos 1. ݅݊ݐ Ժ ൌ . 2. ߲Ժ ൌ Ժ. 3. ߲Է ൌ Թ. 4. ݅݊ݐ Է ൌ . 5. ݁ݔݐ ሺ Թ െ Էሻ ൌ . 3.3 Definições Definição 1. Um conjunto X é dito aberto quando ݅݊ݐ X ൌ X e um conjunto X é dito fechado quando ߲X ك X . O conjunto Xഥ ൌ ߲XڂX é denominado fecho de X. 3.4 Exemplos 6. Էഥ ൌ Էڂ߲Է ൌ Թ. 7. Ժڂ߲Ժ ൌ Ժ. Definição 2. Um conjunto X é dito denso em Թ quando Xഥ ൌ Թ. Teorema 1.1 As seguintes afirmações são equivalentes: (A) X é fechado (B) Թ െ X é aberto (C) Xഥ ൌ X Demonstração: A demonstração será feita mostrando que o ciclo se fecha, ou seja, (A) ֜(B) ֜ ሺC) ֜(A). Suponhamos X fechado, isto é, ߲X ك X . Se Թ െ X não fosse aberto existiria um elemento ܽ א Թ െ X tal que ܽ ב ݅݊ݐሺԹ െ Xሻ. Logo, ߜ 0, ఋܸሺܽሻ ת X ൌ e ܽ א ఋܸሺܽሻ ת Թ െ X . Portanto, ܽ א ߲X ك X, o que acarreta ܽ א X , contradizendo a hipótese ܽ א Թ െ X . Portanto, concluimos (A) ֜ (B). Suponhamos agora Թ െ X é aberto. Temos Xഥ ൌ ߲XڂX, logo X ك Xഥ. Portanto, Xഥ ك X. se e somente se ߲X ك X. Suponhamos que exista ܽ א ߲X e ܽ ב X. Da hipótese ܽ א ߲X, temos ߜ 0, ఋܸሺܽሻ ת X ് e ఋܸሺܽሻ ת ሺԹ െ Xሻ ് . Resumindo, ܽ ב X e ߜ 0 ఋܸሺܽሻ ת ሺԹ െ Xሻ ് . Isto contradiz o fato de Թ െ X ser um conjunto aberto, logo (B) ֜ (C). Para concluir, note como Xഥ ൌ ߲XڂX temos que Xഥ ൌ X , se e somente se, ߲X ك X, se e somente se, X é fechado. Assim, (C) ֜ (A). 36 3.5 Exemplos 8. ఋܸሺܽሻ é um conjunto aberto. Pois, para todo ݔ א ఋܸሺܽሻ existe ߜଵ ᇱ ൌ ߜ െ |ݔ െ ܽ| 0 tal que ఋܸభᇱሺݔሻ ؿ ఋܸሺܽሻ . De fato, seja ݕ א ఋܸభᇱሺݔሻ. Então |ݕ െ ܽ| ൌ |ݕ െ ݔ ݔ െ ܽ| |ݕ െ ݔ| |ݔ െ ܽ| ൏ ߜ െ |ݔ െ ܽ| |ݔ െ ܽ| ൌ ߜ. Logo ݕ א ఋܸሺܽሻe Vஔሺaሻ é um conjunto aberto. 9. O conjunto ܺ ൌ ሾܽ, ܾሿ ൌ ሼݔ א Թ ; ܽ ݔ ܾሽ é fechado porque ∂X ൌ ሼܽ, ܾሽ ك X. 10. O conjunto X ൌ ሺ0,1ሿ ൌ ሼݔ א Թ ; 0 ൏ ݔ 1ሽ não é aberto nem fechado pois 0 א ∂X e 0 ב X o que acarreta X não é fechado e 1 א X mas 1 ב ݅݊ݐሺ Xሻ logo X também não pode ser aberto. Ampliando seu Conhecimento Observação Uma outra maneira de caracterizar o fecho de X é a seguinte: ܽ א Xഥ ߜ 0, ఋܸሺܽሻ ת X ് , isto é, o fecho de X é constituído de todos os pontos a tais que qualquer vizinhança de a contém algum ponto de X. Com efeito, seja ܽ א Xഥ , então ܽ א X ou ܽ א ߲X. Se ܽ א X temos ఋܸሺܽሻ ת X ് e se ܽ א ߲X então ߜ 0, ఋܸሺܽሻ ת X ് . Reciprocamente, suponhamos que ߜ 0, ఋܸሺܽሻ ת X ് e mostremos que ܽ א Xഥ . Se tivéssemos ܽ ב Xഥ então ܽ ב X e ܽ ב ߲X o que acarretaria a existência de ߜ 0, tal que ఋܸሺܽሻ ת X ൌ o que é absurdo. Dialogando e Construindo Conhecimento Consequências: 1. Xഥ é fechado para qualquer X ؿ Թ. De fato, basta mostrar que Xന ൌ Xഥ , isto é, Xന ؿ Xഥ . Seja ܽ א Xന e seja ܾ א ఋܸሺܽሻ ת Xഥ . Como ܾ א ఋܸሺܽሻ ฺ ߜ 0; ఋܸబሺܾሻ ؿ ఋܸሺܽሻ. Por outro lado, ܾ א Xഥ ฺ ఋܸబሺܾሻ ת X ് . Logo, ఋܸሺܽሻ ת X ് , δ 0 ฺ ܽ א Xഥ . 2. Se X ؿ Թ é limitado e não vazio, então ݏݑX e ݂݅݊X estão em Xഥ . Prova. Seja ߙ ൌ ݏݑX e mostremos que ߙ א Xഥ . Da definição de supremo, dado ݊ א Գ existe ݔ א X tal que ߙ െ ଵ ൏ ݔ. Logo, ߙ െ ଵ ൏ ݔ ߙ ൏ ߙ ଵ ฺ ݔ א భܸ ሺߙሻ. Dado ߜ 0, seja ݊ א Գ tal que ଵ బ ൏ ߜ (tal ݊ existe devido a propriedade arquimediana!) e escolha ݔబ א ܸభ బ ሺߙሻ ת X. Como ܸ భ బ ሺߙሻ ؿ ఋܸሺܽሻ, então ఋܸሺܽሻ ת X ് . Como ߜ 0 foi arbitrário, temos ߙ ൌ ݏݑX א Xഥ . De modo análogo, prova- se que ݂݅݊X א Xഥ . Teorema. 1. Se ܣଵ, ܣଶ, ܣଷ, … ܣ são abertos então ܣ ൌ ځ ܣୀଵ é aberto. 2. Se ሼܣఒሽ é uma coleção qualquer de abertos, então ܣ ൌ ڂ ܣఒఒ é aberto. 37 3. Se ሼܨఒሽ é uma coleção de fechados, então ܨ ൌ ځ ܨఒఒ é fechado. 4. Se ܨଵ, ܨଶ, ܨଷ, … ܨ são fechados, então ܨ ൌ ڂ ܨୀଵ é fechado. 3.6 Exemplos Exemplo 1.1 Todo conjunto finito é fechado. De fato, se X ൌ ሼaሽ considereܾ א Թ െ X, então ܾ ് ܽ. Seja ߜ ൌ |ି| ଶ 0. Temos ఋܸሺܾሻ ؿ Թ െ X ฺ Թ െ X é aberto. Seja agora X ൌ ሼݔଵ, ݔଶ, ݔଷ, … , ݔ୬ሽ ൌ ڂ ሼݔ݇ሽ݊݇ൌ1 . Do item (4) do teorema temos X é fechado porque é união finita de fechados. Exemplo 1.2 Dado ݊ א Գ, sejam ܣ ൌ ቀെ ଵ , ଵ ቁ e ܨ ൌ ቂെ1 ଵ ; 1 െ ଵ ቃ. Então ځ ܣ∞ୀଵ ൌ ሼ0ሽ não é aberto e ڂ ܨ ൌ ሺെ1; 1ሻ∞ୀଵ não é fechado. Definição 3. Um ponto ܽ א Թ é m ponto de acumulação de um conjunto X ؿ Թ quando: ߜ 0, ఋܸሺܽሻ ת ሺܺ െ ሼܽሽሻ ് . Isto significa que qualquer vizinhança do ponto ܽ contém algum ponto de X diferente de ܽ. O conjunto dos pontos de acumulação de X será indicado com o símbolo X′. Um ponto ܽ א X que não é ponto de acumulação de X é dito um ponto isolado de X. Logo um ponto ܽ א X será ponto isolado de X se existe uma vizinhança ܸߝሺܽሻ do ponto ܽ tal que ܸߝሺܽሻ ת ሺܺ െ ሼܽሽሻ ൌ , ou seja, o único ponto de X na vizinhança ܸߝሺܽሻ é o próprio ponto ܽ. Um conjunto constituído somente de pontos isolados é dito um conjunto discreto. Exemplos: 1. Se X ൌ ሼݔଵ, ݔଶ, ݔଷ, … , ݔ୬ሽ ฺ X′ ൌ . 2. Se X ൌ Ժ ฺ X′ ൌ . 3. Է′ ൌ Թ. 4. ሺԹ\Էሻ′ ൌ Թ. 5. X ൌ ቄ1, ଵ ଶ , ଵ ଷ , ଵ ସ , ଵ ହ , … . ቅ então X′ ൌ ሼ0ሽ pois, para todo ߜ 0, existe ݊ א Գ tal que ଵ ൏ ߜ (tal ݊ existe devido a propriedade arquimediana!) e portanto, ଵ א ሺെߜ, ߜሻ ൌ ܸߜሺ0ሻ ฺ 0 א X′. Note que X é discreto. Teorema 1. São equivalentes: (A) ܽ א X′ (B) ܽ é limite de uma sequência de pontos X െ ሼܽሽ (C) Toda vizinhança do ponto ܽ contém uma infinidade de pontos de X. 38 Demonstração. Suponhamos que (A) seja verdadeiro, para todo ݊ א Գ podemos encontrar um ponto, que vamos denotar por ݔ ് ܽ na vizinhança భܸ ሺܽሻ ൌ ቀെ 1݊ ܽ, ܽ 1 ݊ቁ. Logo ݈݅݉ݔ ൌ ܽ, assim (A) ฺ ሺBሻ. Suponhamos ሺBሻ. Para todo ݊ א Գ o conjunto ሼݔ; ݊ ݊ሽ é infinito, pois caso contrário, existiria um termo digamos ݔభque se repetiria uma infinidade de vezes, com isto teríamos uma subseqüência constante com limite ܽ o que contradiz a construção dos ݔ. Para cada ߜ 0 considere ݊ א Գ tal que ଵ బ ൏ ߜ. Note que para ݔ pertencente ao conjunto ሼݔ; ݊ ݊ሽ, que sabemos, é infinito, temos |ݔ െ ܽ| ൏ ଵ ൏ ଵ బ ൏ ߜ , ݊ ݊, logo ఋܸሺܽሻ contém infinitos pontos de X. Portanto, ሺBሻ ฺ (C). A implicação ሺCሻ ฺ(A) é óbvia. Definição 4. Um conjunto ܭ ؿ Թ é dito compacto se é fechado e limitado. Exemplos: 1. Todo conjunto finito é compacto. De fato, seja X ൌ ሼݔଵ, ݔଶ, ݔଷ, … , ݔ୬ሽ tal conjunto. Do exemplo 1.1 temos que X é fechado. Tomando ܥ ൌ max ሼ|ݔ1|, |ݔ2|, … , |ݔn|ሽ vemos que X é limitado. 2. X ൌ ሾ0; 1ሿ é compacto. 3. X ൌ ሺ0; 1ሻ é limitado mas não é fechado, logo não é compacto. 4. O conjunto Ժ dos inteiros é fechado, (pois seu o complementar Թ െ Ժ é a união dos intervalos abertos ሺ݊; ݊ 1ሻ, ݊ א Գ, logo aberto) mas não é compacto porque é ilimitado. Proposição. Todo conjunto ܭ ؿ Թ compacto possui um elemento máximo e um elemento mínimo. Prova. Sejam ߙ ൌ ݂݅݊ܭ e ߚ ൌ ݏݑܭ. Como ܭ é limitado então ߙ e ߚ estão em ܭഥ (veja consequência 2 acima). Por outro lado ܭ também é fechado. Logo ܭഥ ൌ ܭ. Portanto, ߙ e ߚ estão em ܭ. Definição 5. Uma coleção ࣝ ൌ ሼܣఒሽ de conjuntos abertos ܣఒ é dita uma cobertura aberta de X quando X ؿ ڂ ܣఒ. Uma parte de ࣝ que ainda cobre X é chamada de subcobertura de X. Exemplo: A coleção ࣝ ൌ ቄቀ1݊ ; 1ቁ , ݊ א Գቅ é uma cobertura por meio de abertos para o intervalo ሺ0; 1ሻ. De fato, se ݔ א X ൌ ሺ0; 1ሻ, escolhemos ݊ א Գ ; 1݊ ൏ ݔ. Então, ݔ א ቀ ଵ ; 1ቁ ฺ X ؿ ڂ ቀ 1 ݊ ; 1ቁ ஶ ୬ୀଵ . Assim, ࣝ cobre X. Esta cobertura não possui subcobertura finita. De fato, como ݇ ݊ ฺ 1݊ ൏ 1 ݇ ฺ ቀ 1 ݊ ; 1ቁ ؿ ቀ 1 ݊ ; 1ቁ. Logo, se ܣ ൌ ቀ 1 ݊ ; 1ቁ então 39 ܣ ؿ ܣ, ݇ ݊. De modo que ܣభ ܣమ … ܣೖ ൌ ܣ௦ ൌ ቀ 1 ݏ ; 1ቁ onde ݏ ൌ max ሼ݊, ݅ ൌ 1,2,3 … , ݇ሽ que não cobre ሺ0; 1ሻ porque a parte ሺ0; 1ݏሿ fica descoberta. Teorema (Borel-Lebesgue). Se ܭ ؿ Թ é compacto então toda cobertura aberta de ܭ possui subcobertura finita. Demonstração. Para ver a demonstração consulte a página 116 da referência [4]. Dialogando e Construindo Conhecimento Émile Borel foi um matemático e político francês que viveu no século passado. Possui trabalhos publicados juntamente com Baire e foi orientador de Henri Lebesgue. Pioneiro em teoria de medida e suas aplicações à teoria das probabilidades. Para mais informações sobre a vida deste grande matemático acesse o site: http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%89mile_Borel Dialogando e Construindo Conhecimento Henri Léon Lebesgue (1875 – 1941), foi um matemático francês contemporâneo de Borel, tendo sido orientado por este. O grande feito de Lebesgue foi introduzir o conceito de medida, que leva o seu nome, e generalizar a noção de integral. Ele provou muitos resultados de análise matemática. Assim se você tiver oportunidade de aprofundar os seus conhecimentos nesta área, inevitavelmente terá que estudar, por exemplo, o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue. 3.7 Limites Definição 6. Sejam ݂: ܺ ك Թ ՜ Թ e ܽ א ܺᇱ, isto é, a é um ponto de acumulação de X. Dizemos que ݈݅݉௫՜ ݂ሺݔሻ ൌ ܮ, quando: ߝ 0, ߜ ൌ ߜሺߝ, ܽሻ 0 tal que ݔ א ܺ e ݂ሺ ఋܸሺܽሻ ת ሺܺ െ ሼܽሽሻ ؿ ఌܸሺܮሻ, ou equivalentemente , 0 ൏ |ݔ െ ܽ| ൏ ߜ ՜ |݂ሺݔሻ െ ܮ| ൏ ߝ. Teorema 1. São equivalentes: (A) ݈݅݉௫՜ ݂ሺݔሻ ൌ ܮ; (B) Se (ሺݔሻ ؿ ܺ െ ሼܽሽ ሻ, ݔ ՜ ܽ, então ݂ሺݔሻ ՜ ܮ. Demonstração. (A) ฺ (B). ݈݅݉௫՜ ݂ሺݔሻ ൌ ܮ acarreta |݂ሺݔሻ െ ܮ| ൏ ߝ, se ݔ א ܺ e 0 ൏ |ݔ െ ܽ| ൏ ߜ. Por outro lado ሺݔሻ ؿ ሺܺ െ ሼܽሽሻ ՜ 0 ൏ |ݔ െ ܽ| ൏ ߜ, ݊ ݊. Logo |݂ሺݔሻ െ ܮ| ൏ ߝ, ݊ ݊, e portanto, ݈݅݉௫՜ ݂ሺݔሻ ൌ ܮ. (B) ฺ (A). Se (A) não ocorresse, existiria ߝ tal que para cada ߜ ൌ 1 ݊ poderíamos escolher ݔ א ఋܸሺܽሻ ת ሺܺ െ ሼܽሽሻ satisfazendo |݂ሺݔሻ െ ܮ| ߝ. Logo ݔ א ܺ, ݔ ് ܽ e 0 ൏ |ݔ െ ܽ| ൏ 1 ݊ . Assim, teríamos ݔ ՜ ܽ e a sequência ݂ሺݔሻ não convergiria para ܮ o contradiz (B). Portanto, (B) ฺ (A) e a prova está encerrada. 40 Corolário 1. (Unicidade do limite) Sejam ݂: X ك Թ ՜ Թ e ܽ א Xᇱ. Se ݈݅݉௫՜ ݂ሺݔሻ ൌ ܮ e ݈݅݉௫՜ ݂ሺݔሻ ൌ ܯ então ܮ ൌ ܯ. Prova. Como ܽ א Xᇱ existe uma sequência ሺݔሻ em X െ ሼܽሽ, com ݔ ՜ ܽ.Usando o teorema acima temos ݈݅݉௫՜ ݂ሺݔሻ ൌ ܮ e ݈݅݉௫՜ ݂ሺݔሻ ൌ ܯ. Por ser único o limite da sequência ൫݂ሺݔሻ൯ concluimos ܮ ൌ ܯ. Corolário 2. (Propriedades Algébricas dos limites) Sejam ݂: X ك Թ ՜ Թ e ܽ א ܺᇱ. Se ݈݅݉௫՜ ݂ሺݔሻ ൌ ܮ e ݈݅݉௫՜ ݂ሺݔሻ ൌ ܯ então: ݈݅݉ ௫՜ ሾ ݂ሺݔሻ േ ݃ሺݔሻሿ ൌ ܮ േ ܯ ݈݅݉ ௫՜ ݂ሺݔሻ · ݃ሺݔሻ ൌ ܮ · ܯ ݈݅݉௫՜ ሺ௫ሻ ሺ௫ሻ ൌ ெ se ܯ ് 0. Prova. A prova se faz de modo análogo à prova do corolário 1. Considera-se uma sequência ሺݔሻ em X െ ሼܽሽ, com ݔ ՜ ܽ. Usando o teorema acima e as propriedades algébricas dos limites de sequências, decorre o corolário. Ampliando seu Conhecimento Observações: Na definição de limite, a restrição 0 ൏ |ݔ െ ܽ| significa ݔ ് ܽ e não tem a menor importância o valor que a função f assume em ݔ ൌ ܽ. O que importa é o comportamento de ݂ሺݔሻ quando x se aproxima de a, mas sempre com ݔ ് ܽ. Note também que para investigarmos o comportamento de uma função para valores próximos de a, mas ݔ ് ܽ é essencial que ܽ seja um ponto de acumulação de ܺ , sendo de total irrelevância o valor que f assume quando ݔ ൌ ܽ , sendo permitido inclusive que a função f não esteja definida em ݔ ൌ ܽ . Exemplos onde isto ocorre estão nos próximos dois exemplos abaixo. 3.8 Exemplos Exemplo 1.1 Considere ݄: Թ ՜ Թ , ݄ሺݔሻ ൌ ݔ 1. Neste caso, temos ܺ ൌ Թ e ݔ ൌ 1 א XԢ. Mostraremos que ݈݅݉௫՜ଵሺ ݔ 1ሻ ൌ 2. De fato, para cada ߝ 0, tome ߜ ൌ ߝ. Se 0 ൏ |ݔ െ 1| ൏ ߜ temos |݂ሺݔሻ െ 2| ൌ |ሺݔ 1ሻ െ 2|ൌ |ݔ െ 1| ൏ ߜ ൌ ߝ. Portanto, ݈݅݉௫՜ଵሺ ݔ 1ሻ ൌ 2. 41 Exemplo 1.2 Considere ݂: Թ െ ሼ1ሽ ؿ Թ ՜ Թ, ݂ሺݔሻ ൌ ݔ 2െ1 ݔെ1 . Aqui ܺ ൌ Թ െ ሼ1ሽ e ݔ ൌ 1 א XԢ.Logo, ݈݅݉ ௫՜ଵ ݂ሺݔሻ ൌ ݈݅݉ ௫՜ଵ ݔଶ െ 1 ݔ െ 1 ൌ ݈݅݉ ௫՜ଵ ݔ 1 ൌ 2. Pois, para ݔ próximo de ݔ ൌ 1 temos que ݂ coincide com a função ݄ሺݔሻ ൌ ݔ 1. Note também que neste exemplo a função f não está definida para ݔ ൌ 1. Exemplo 1.3 Seja ݂ሺݔሻ ൌ ቊݏ݁݊ ቀ ଵ ௫ ቁ , ݏ݁ ݔ ് 0, ߙ , ݏ݁ ݔ ൌ 0. . Considere ݔ ൌ 1 ݊ߨߨ2 , temos ݔ ՜ 0 e como já sabemos, a sequência ݂ሺݔሻ ൌ ݏ݁݊ ቀ ଵ ௫ ቁ ൌ ሺെ1ሻ é divergente, podemos concluir que não existe ݈݅݉௫՜ ݂ሺݔሻ. Exemplo 1.4 Seja ݃ሺݔሻ ൌ ቊݔݏ݁݊ ቀ ଵ ௫ ቁ , ݏ݁ ݔ ് 0 0 , ݏ݁ ݔ ൌ 0. . Se ݔ ՜ 0, ݔ ് 0, ݊, então ݔݏ݁݊ ቀ ଵ ௫ ቁ ՜ 0 pois, assim ocorre quando se tem o produto de duas sequências onde uma delas converge para zero e a outra é limitada (veja proposição 1.1 na unidade anterior). Teorema. (Regra do Sanduiche) Sejam ݂, ݃, ݄: ܺ ك Թ ՜ Թ, ܽ א ܺԢ e ݈݅݉௫՜ ݂ሺݔሻ ൌ ݈݅݉௫՜ ݃ሺݔሻ ൌ ܮ. Se ݂ሺݔሻ ൏ ݄ሺݔሻ ൏ ݃ሺݔሻ para todo ponto ݔ א ሺܺ െ ሼܽሽ ሻ então ݈݅݉௫՜ ݄ሺݔሻ ൌ ܮ. Demonstração. Dado arbitrariamente ߝ 0, existem ߜଵ, ߜଶ tais que ݔ א ܺ, 0 ൏ |ݔ െ ܽ| ൏ ߜଵ ՜ L െ ߝ ൏ ݂ሺݔሻ ൏ ܮ ߝ e ݔ א ܺ, 0 ൏ |ݔ െ ܽ| ൏ ߜଶ ՜ L െ ߝ ൏ ݃ሺݔሻ ൏ ܮ ߝ. Seja ߜ ൌ min ሼ ߜଵ, ߜଶሽ. Então, ݔ א ܺ, 0 ൏ |ݔ െ ܽ| ൏ ߜ ՜ L െ ߝ ൏ ݂ሺݔሻ ൏ ݄ሺݔሻ ൏ ݃ሺݔሻ ൏ ܮ ߝ. Logo, ݈݅݉௫՜ ݄ሺݔሻ ൌ ܮ. Ampliando seu Conhecimento Observação 3. O resultado acima é também conhecido como teorema do confronto. Uma prova alternativa pode ser feita usando a regra do sanduíche para sequências e o teorema 1 acima. 42 Teorema. Sejam ݂, ݃, ܺ ك Թ ՜ Թ, ܽ א ܺԢ e ݈݅݉௫՜ ݂ሺݔሻ ൌ 0 . Se |݃ሺݔሻ| ܯ, para todo ݔ א ܺ, onde M é um número real fixo, então ݈݅݉௫՜ ݂ሺݔሻ݄ሺݔሻ ൌ 0. Demonstração. |݂ሺݔሻ݃ሺݔሻ| ൌ |݂ሺݔሻ||݃ሺݔሻ| ܯ|݂ሺݔሻ| , ݔ א ܺ. Logo, para todo ݔ א X, temos െܯ|݂ሺݔሻ| ݂ሺݔሻ݃ሺݔሻ ܯ|݂ሺݔሻ|. Como, ݈݅݉௫՜ ݂ሺݔሻ ൌ 0, temos, ݈݅݉ ௫՜ ܯ|݂ሺݔሻ| ൌ ݈݅݉ ௫՜ െܯ|݂ሺݔሻ| ൌ 0. Usando a regra do sanduiche concluímos ݈݅݉௫՜ ݂ሺݔሻ݄ሺݔሻ ൌ 0. Ampliando seu Conhecimento Observação 4. Este resultado é uma versão da proposição 1.1 para funções. 3.9 Extensões do conceito de limite Definição 7. Seja X ؿ Թ. Um ponto ܽ é dito ponto de acumulação à direita de X, se toda vizinhança de ܽ contém pontos de ݔ א X com ݔ ܽ. O conjunto dos pontos de acumulação à direita do conjunto X é denotado por Xାᇱ . De modo análogo, define-se ponto de acumulação à esquerda e denota-se por Xିᇱ o conjunto dos pontos de acumulação à esquerda. Naturalmente, Xାᇱ Xିᇱ ൌ XԢ. Exemplo 1.5 Se X ൌ ቄ1, 12 , 1 3 , … , 1 ݊ , … ቅ temos Xା ᇱ ൌ ሼ0ሽ e Xିᇱ ൌ . Exemplo 1.6 Se X ൌ ሺa; bሿ temos ܽ א X Ԣ e ܾ א Xିᇱ . A definição de ponto de acumulação lateral motiva a definição de limites laterais. Definição 8 . Sejam ݂: ܺ ك Թ ՜ Թ e ܽ א Xାᇱ , isto é, a é um ponto de acumulação à direita de X. Dizemos que o número real L é o limite à direita de ݂ሺݔሻ e denotamos por ݈݅݉௫՜శ ݂ሺݔሻ ൌ ܮ, quando: ߝ 0, ߜ ൌ ߜሺߝ, ܽሻ 0 tal que ݔ א X com 0 ൏ ݔ െ ܽ ൏ ߜ ฺ |݂ሺݔሻ െ ܮ| ൏ ߝ. De modo análogo, definimos o limite lateral à esquerda que denotamos por ݈݅݉௫՜ష ݂ሺݔሻ ൌ ܮ. Vê-se facilmente que se ܽ א X Ԣ ת Xെ Ԣ a existência do limite ݈݅݉௫՜ ݂ሺݔሻ está condicionada à existência e igualdade de ambos os limites laterais, isto é, existem e são iguais os limites ݈݅݉௫՜ష ݂ሺݔሻ ൌ ݈݅݉௫՜శ ݂ሺݔሻ. 43 Exemplo 1.7 A função ݂: Թ െ ሼ0ሽ ՜ Թ, definida por ݂ሺݔሻ ൌ |ݔ|ݔ ൌ ቄ 1, ݏ݁ ݔ 0 െ1, ݏ݁ ݔ ൏ 0 não possui limite quando ݔ se aproxima de zero pois, ݈݅݉௫՜ష ݂ሺݔሻ ൌ െ 1 ് 1 ൌ ݈݅݉௫՜శ ݂ሺݔሻ. Exemplo 1.8 Considere a função ݃: Թ ՜ Թ, conhecida como função escada e definida pela seguinte regra: a cada ݔ א Թ associamos o maior inteiro que é menor do que ou igual a ݔ, ݃ሺݔሻ ൌ ۤݔۥ. Note que, esta função está bem definida porque para cada número real ݔ existe um único inteiro ݊ tal que ݊ ݔ ݊ 1, logo ݃ሺݔሻ ൌ ۤݔۥ ൌ ݊. Temos ݈݅݉௫՜శ ݃ሺݔሻ ൌ ݊ enquanto ݈݅݉௫՜ష ݃ሺݔሻ ൌ ݊ െ 1. 3.10 Continuidade Definição 9. Considere ݂: X ك Թ ՜ Թ uma função e A , B subconjuntos tais que ܣ ك X, ܤ ك Թ , definimos os conjuntos ݂ሺܣሻ ൌ ሼ݂ሺݔሻ; ݔ א ܣሽ e ݂ିଵሺܤሻ ൌ ሼݔ א X; ݂ሺݔሻ א ܤሽ . Estes conjuntos são denominados de imagem direta do conjunto ܣ pela função f e imagem inversa do conjunto B pela função f, respectivamente. Definição 10. Uma função ݂: X ك Թ ՜ Թ é contínua no ponto ܽ א X quando ߝ 0, ߜ ൌ ߜሺߝ, ܽሻ 0 tal que ݔ א X e ݂ሺ ఋܸሺܽሻ ת Xሻ ؿ ఌܸሺ݂ሺܽሻሻ. Observamos que a condição, ݂ሺ ఋܸሺܽሻ ת Xሻ ؿ ఌܸሺ݂ሺܽሻሻ, é equivalentemente a: ݔ א X, ݁ |ݔ െ ܽ| ൏ ߜ ฺ |݂ሺݔሻ െ ܮ| ൏ ߝ. Uma função que não é contínua no ponto a é dita descontínua no ponto a, e uma função contínua em todos os pontos ܽ א Y é dita contínua no conjunto Y. Ampliando seu Conhecimento Observação 5. Se X é um conjunto discreto, isto é, se todos os pontos de X são isolados então qualquer função ߮: X ك Թ ՜ Թ é contínua em todo ponto ܽ א X. De fato, dado ߝ 0, considere ߜ 0 tal que ఋܸሺܽሻ ת X ൌ ሼܽሽ. Logo, ݂ሺ ఋܸሺܽሻ ת Xሻ ൌ ሼ݂ሺܽሻሽ ؿ ఌܸ൫݂ሺܽሻ൯. Observação 6. Se ܽ א X ת XԢ então f é contínua em a, se e somente se, ݈݅݉௫՜ ݂ሺݔሻ ൌ ݂ሺܽሻ. 44 Ampliando seu Conhecimento Observação 7. Ao investigar a continuidade de uma função num ponto ou num conjunto, devemos sempre levar em conta o domínio de f. A afirmação “ f é contínua em cada ponto ܽ א ܻ então ݂|ܻ é uma função contínua” é sempre verdadeira mas, a recíproca, em geral, é falsa. Basta considerar Y um conjunto finito, ou mais geralmente, Y um conjunto discreto. Exemplo 1.9 Seja ߮: ሾ0,1ሿ ՜ Թ dada por ߮ሺݔሻ ൌ ൜ 1, ݏ݁ ݔ א Է ת ሾ0,1ሿ 0 , ݏ݁ ݔ ב Է ת ሾ0,1ሿ . A função ߮ é descontínua em todos os pontos de ሾ0,1ሿ. Exemplo 1.10 Considere a função ݃ሺݔሻ ൌ ቊݔݏ݁݊ ቀ 1 ݔቁ , ݏ݁ ݔ ് 0 0 , ݏ݁ ݔ ൌ 0. . Temos que ܺ ൌ Թ, ܽ ൌ 0 é ponto de acumulação de ܺ e ݈݅݉௫՜ ݔݏ݁݊ ቀ 1 ݔቁ ൌ 0 ൌ ݃ሺ0ሻ. Logo, ݃ é contínua em ܽ ൌ 0. Exemplo 1.11 Combinação e composição de funções contínuas 1. Se ݂, ݃: ܦ ՜ Թ são funções contínuas no ponto ݔ ൌ ܽ, então as combinações ݂ ߣ݃, ݂ · ݃, |݂| ݁ ݂݃ ሺ ݏ݁ ݃ሺݔሻ ് 0, ݔ א ܦሻ são contínuas no ponto ݔ ൌ ܽ. 2. Se ݂: ܦ ՜ Թ é contínua no ponto ݔ ൌ ܽ, ݂ሺܦሻ ؿ ܧ e ݃: ܧ ՜ Թ é contínua em ܾ ൌ ݂ሺܽሻ, então ݃ ל ݂; ܦ ՜ Թ é contínua em ݔ ൌ ܽ. Teorema. Uma função ݂: Թ ՜ Թ é contínua, se e somente se, ݂ିଵሺܣሻ é aberto para qualquer ܣ ك Թ aberto. Demonstração: Suponhamos f contínua e seja ܣ ك Թ aberto. Se ܽ א ݂ିଵሺܣሻ ฺ ݂ሺܽሻ א ܣ ฺ ߝ 0; ఌܸ൫݂ሺܽሻ൯ ؿ ܣ. Como f é contínua em ܽ, isto implica que, existe ߜ 0 tal que: ݂ሺ ఋܸሺܽሻሻ ؿ ఌܸ൫݂ሺܽሻ൯ ؿ ܣ ฺ ఋܸሺܽሻ ؿ ݂ିଵሺܣሻ. Logo ܣ é aberto. Reciprocamente, suponhamos por absurdo que f não é contínua em ݔ ൌ ܽ, então existe ߝ 0, tal que para qualquer ߜ 0, existe ݔ א ఋܸሺܽሻ ݁ ݂ሺݔሻ ב ఌܸ൫݂ሺܽሻ൯. Mas, ܣ ൌ ఌܸ൫݂ሺܽሻ൯ é aberto e ݂ିଵ ቀ ఌܸ൫݂ሺܽሻ൯ቁ ൌ ܤ não é aberto, porque ݂ሺܽሻ א ܤ mas não é ponto interior de ܤ. 45 Teorema. Se ܭ é um compacto e ݂: Թ ՜ Թ é contínua então ܮ ൌ ݂ሺܭሻ é compacto. Demonstração: Seja ሼܤఒሽ uma cobertura aberta de ܮ, isto é, cada ܤఒ é um aberto e ܮ ؿ ڂሼܤఒሽ. Seja ܣఒ ൌ ݂ିଵሼܤఒሽ. Temos que ሼܣఒሽ é uma cobertura aberta do compacto ܭ, portanto, admite uma subcobertura finita: ܭ ؿ ܣఒభڂܣఒమڂ … ڂܣఒ Logo ܮ ൌ ݂ሺܭሻ ؿ ܤఒభڂܤఒమڂ … ڂܤఒ Corolário. Toda função contínua ݂: ܭ ՜ Թ, ܭ compacto, é limitada e atinge seus extremos. Demonstração: Como ܮ ൌ ݂ሺܭሻ é compacto, temos ݂ሺܭሻ é fechado e limitado. Logo f é limitada. Assim, se denotarmos por ݏ ൌ ݂݅݊ ݂, ܵ ൌ ݏݑ ݂ temos que ݏ, ܵ pertencem ao conjunto ݂ሺܭሻതതതതതതത ൌ ݂ሺܭሻ
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