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ANÁLISE REAL

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5
Unidade I – Números Reais 
 
1. Situando a temática 
 
Desde a infância estamos acostumados a lidar com números. É 
seguro dizer que nos dias de hoje é impossível viver sem o conhecimento 
deles. Poderíamos passar um dia inteiro listando as situações cotidianas em 
que necessitamos de números. Muitas vezes, eles aparecem até para lisura de 
processos, por exemplo: ao corrigir provas do vestibular o professor tem 
apenas o conhecimento do número de inscrição dos candidatos. 
Se fizermos uma retrospectiva, observamos que primeiro fomos 
apresentados aos números naturais, aqueles que usamos para contar, depois 
aos inteiros, a seguir os racionais e por último os números reais. Ao que 
parece, a ordem com que somos apresentados aos diversos conjuntos 
numéricos tem a ver com as complexidades de sobrevivência, ou, tentando 
ser mais explícitos, nosso crescimento como indivíduos modernos requer 
habilidades com números cada vez mais complexas. 
Um curso de introdução à Análise Real se preocupa em propiciar ao 
estudante um mínimo de formalização dos conceitos apresentados nos cursos 
de cálculo, a exemplo dos conceitos de limites, continuidade e derivada. 
Como estes conceitos são definidos para funções reais de variável real nada 
mais natural que começar com uma apresentação formal, embora breve, dos 
números reais. 
A seguir vamos apresentar o conjunto dos números reais como um 
corpo ordenado completo e isto será feito através de axiomas que são 
objetos matemáticos que consideramos conhecidos pelos leitores deste texto. 
Destacaremos algumas propriedades como a propriedade do supremo 
porque desempenham papel fundamental no entendimento das unidades 
subsequentes. 
 
2. Problematizando a temática 
 
• Em um corpo pode haver mais de um “zero”? Idem para a unidade. 
• O conjunto dos racionais com as operações de soma e multiplicação 
usuais é um corpo? Em caso afirmativo este corpo é completo? 
• No conjunto dos números racionais há solução para a equação 
ݔ2 ൌ 2? 
 
3. Conhecento a temática 
 
3.1 O conjunto dos números racionais 
 
Admitiremos familiaridade do leitor com o conjunto dos números 
naturais, dos números inteiros e dos números racionais, que serão denotados 
aqui, respectivamente por Գ, Ժ, e Է. 
 6
O conjunto dos números racionais pode ser descrito como: 
Է ൌ ቄܾܽ ; ܽ, ܾ א Ժ, ܾ ് 0ቅ , 
o conjunto dos números inteiros por 
Ժ ൌ ሼ… , െ3, െ2, െ1, 0, 1, 2, 3, … ሽ e 
 conjunto dos números naturais 
Գ ൌ ሼ1, 2, 3, … ሽ. 
Observe que Գ ؿ Ժ ؿ Է. 
No conjunto dos números racionais estão definidas duas operações, 
chamadas de adição (isto é, a cada par de elementos x e y em Է corresponde 
um único elemento de Է , sua soma que se designa x+y) e de multiplicação 
(isto é, a cada par de elementos x e y em Է corresponde um único elemento 
de Է, seu produto designado por x.y) definidas da seguinte maneira: 
se 
௔
௕
, ௖
ௗ
 א Է e então 
௔
௕
൅ ௖
ௗ
ൌ ௔.ௗା௕.௖
௕.ௗ
 e 
௔
௕
ڄ ௖
ௗ
ൌ ௔.௖
௕.ௗ
 
 
As operações de soma e multiplicação definidas no conjunto dos racionais 
satisfazem as seguintes propriedades: 
1. Comutatividade:  para quaisquer ݔ, ݕ א Է  tem‐se   
ݔ ൅ ݕ ൌ ݕ ൅ ݔ e ݔݕ ൌ ݕݔ. 
2. Associatividade:  para quaisquer ݔ, ݕ, ݖ א Է  tem‐se 
ሺݔ ൅ ݕሻ ൅ ݖ ൌ ݔ ൅ ሺݔ ൅ ݖሻ e ሺݔ. ݕሻ. ݖ ൌ ݔ. ሺݕ. ݖሻ. 
 3. Elementos neutros: existem em Է dois elementos distintos, 1 א Է, 
0 א Է é o elemento neutro da adição e 1 é o elemento neutro da 
multiplicação tais que ݔ ൅ 0 ൌ ݔ e ݔ. 1 ൌ ݔ para todo ݔ א Է. 
4. Existência dos inversos: dado ݔ א Է existe – ݔ א Թ , o inverso 
aditivo ou o simétrico de x, tal que ݔ ൅ ሺെݔሻ ൌ 0 e dado ݔ א Է, 
ݔ ് 0 existe ݔିଵ א Է, o inverso multiplicativo de x tal que 
 ݔିଵ . ݔ ൌ 1. 
5. Distributividade: ሺݔ ൅ ݕሻ. ݖ ൌ ݔ. ݖ ൅ ݕ. ݖ. 
 A soma de x com – ݕ indicada por ݔ െ ݕ é chamada de diferença 
entre ݔ e ݕ. Se ݕ ് 0, o produto de ݔ. ݕିଵ que será indicado por 
௫
௬
 ou ݔ ݕൗ é 
chamado de quociente de ݔ por ݕ. Note que quociente de ݔ por ݕ só está 
definido para ݕ ് 0. Algumas vezes denotamos o produto ݔ. ݕ escrevendo 
simplemente ݔݕ . O número ݔ2 representa o produto ݔ. ݔ (se lê-se: “ x ao 
quadrado” ). 
Um conjunto ॶ contendo pelo menos dois elementos e onde estejam 
definidas duas operações indicadas por + e ڄ tais que a terna ሺॶ ,+, ڄሻ satisfaz 
os cinco propriedades acima é chamado de corpo. Assim, ሺԷ ,+, ڄሻ é um 
corpo. Convém observar que ሺԺ ,+, ڄሻ não é corpo. 
A partir das propriedades acima é possível mostrar todas as regras de 
manipulação com números racionais que estamos habituados a usar. 
A título de exemplo destacaremos algumas destas propriedades. 
 
 7
3.2 Exemplos 
 
Exemplo 1.1 
Para todo ݔ א Է tem-se ݔ. 0 ൌ 0. Com efeito, temos da distributividade 
que ݔ. 0 ൅ ݔ ൌ ݔ. 0 ൅ ݔ. 1 ൌ ݔ. ሺ0 ൅ 1ሻ ൌ ݔ. 1 ൌ ݔ. Resulta disto que 
ݔ. 0 ൅ ݔ ൌ ݔ e somando ሺെݔሻ a ambos desta desigualdade obtemos: 
ݔ. 0 ൌ 0. 
 
Exemplo 1.2 
Se ݔ, ݕ א Է satisfazem ݔ. ݕ ൌ 0 então ݔ ൌ 0 ou ݕ ൌ 0. De fato, se não 
temos que ݕ ൌ 0, ou seja, se ݕ ് 0 então multiplicando por ݕିଵ ambos os 
membros de ݔ. ݕ ൌ 0, obtemos ሺݔ. ݕሻ. ݕିଵ ൌ 0. ݕିଵ. Decorre do exemplo 
anterior que e da associatividade que ݔ. ሺݕ. ݕିଵሻ ൌ 0. ݕିଵ ൌ 0. Usando a 
propriedade dos inversos concluimos que ݔ ൌ 0. 
 
Exemplo 1.3 
Se ݔ א Է então ݔ ൌ െሺെݔሻ. Isto decorre ao somar ݔ a ambos os membros 
da igualdade – ሺെݔሻ ൅ ሺെݔሻ ൌ 0, válida para todo ݔ א Է. 
 
Exemplo 1.4 
Usando a distributividade podemos deduzir as conhecidas “regras dos 
sinais” : para todos ݔ, א Է temos ሺെݔሻ. ݕ ൌ ݔ. ሺെݕሻ ൌ െሺݔ. ݕሻ. Para ver 
isto multiplique por ݕ, ambos os membros da igualdade 0 ൌ ݔ ൅ ሺെݔሻ, 
obtendo 0. ݕ ൌ ݔ. ݕ ൅ ሺെݔሻ. ݕ. Devido o exemplo 1.1, podemos concluir 
0 ൌ ݔ. ݕ ൅ ሺെݔሻ. ݕ. Somando a ambos os membros desta última 
desigualdade o simétrico de ݔ. ݕ, e usando a associatividade decorre 
െሺݔ. ݕሻ ൌ ሺെݔሻ. ݕ. Para provar ݔ. ሺെݕሻ ൌ െሺݔ. ݕሻ começamos com a 
igualdade 0 ൌ ݕ ൅ ሺെݕሻ e depois multiplicamos ambos os membros da 
igualdade por x. Depois é só usar os mesmos passos do caso anterior. Um 
caso particular deste fato é ሺെݔሻ. ሺെݕሻ ൌ ݔ. ݕ. Pois, ሺെݔሻ. ሺെݕሻ ൌ
െ൫ݔ. ሺെݕሻ൯ ൌ െ൫െሺݔ. ݕሻ൯ ൌ ݔ. ݕ. Onde a última igualdade é decorrência 
do exemplo anterior. Em particular, ݔ2 ൌ ሺെݔሻሺെݔሻ. 
 
Exemplo 1.5 
Se ݔ, ݕ א Է são números reais satisfazendo ݔ2 ൌ ݕ2 então ݔ ൌ ݕ ou 
ݔ ൌ െݕ. Com efeito, neste caso, temos 0 ൌ ݔ2 െ ݕ2 ൌ ሺݔ ൅ ݕሻሺݔ െ ݕሻ. 
Logo, do exemplo 1.2, podemos concluir ݔ ൅ ݕ ൌ 0 ou ݔ െ ݕ ൌ 0, portanto 
ݔ ൌ െݕ ou ݔ ൌ ݕ. 
 
O conjunto dos números racionais possui um subconjunto denotado por Էା, 
chamado o conjunto dos números racionais positivos . O subconjunto Էା, é 
caracterizado pelas seguintes propriedades: 
P1) A soma de dois números positivos é um número positivo, bem como o 
produto de dois números positivos é positivo (por conta disto dizemos que 
 8
Էା é fechado com relação à soma e ao produto), isto é, dados ݔ, ݕ א Էା, 
então ݔ ൅ ݕ , ݔ. ݕ א Էା . 
P2) Dado ݔ א Է uma e apenas uma das alternativas ocorre: ݔ ൌ 0, ou 
ݔ א Էା, ou െݔ א Էା. 
 
Indicaremos por Էି, o conjunto dos números racionais x tais que െݔ א Էା. 
A propriedade P2, nos diz que Թ ൌ ሼ0ሽ ׫ Էା ׫ Էି e que os conjuntos 
ሼ0ሽ, Էା e Էି são dois a dois disjuntos. Os números racionais x tais que 
െݔ א Էା são chamados de números negativos. 
 
Exemplo 1.6 
Se ݔ א Է, ݔ ് 0, então ݔ2 א Էା. De fato, como ݔ ് 0, da propriedade 
P2, acima temos ݔ א Էା ou െݔ א Էା. Se ocorrer de ݔ א Էା, então da 
propriedade P1, segue-se ݔ2 א Էା. Caso contrário, െݔ א Էା e também 
neste caso temos que ݔ2 א Էା, pois do exemplo 1.4, ݔ2 ൌ ሺെݔሻሺെݔሻ, 
sendo que, por P1, ሺെݔሻሺെݔሻ א Էା. Em particular, 1 א Էା, pois 1 ൌ 12 . 
 
As propriedades P1 e P2 acima, permitem estabelecer uma relação de ordem 
no conjunto dos númerosracionais. 
 
 Uma relação de ordem no conjunto dos números racionais é estabelecida da 
seguinte maneira: dados ݔ, ݕ א Է dizemos que x é menor do que y, e 
denotamos por ݔ ൏ ݕ, quando ݕ െ ݔ א Էା. Nas mesmas condições, isto é, 
se ݕ െ ݔ א Էା, dizemos que x é maior do que y, o que é denotado por 
ݔ ൐ ݕ. Dados ݔ, ݕ א Է dizemos que x é menor do que ou igual a y, e 
denotamos por ݔ ൑ ݕ, quando ݔ ൏ ݕ ou ݔ ൌ ݕ. 
 
Ampliando seu Conhecimento 
 
Observação 1. Um corpo ሺॶ, +, ڄሻ onde está definida uma relação indicada por ൑ 
tais que a quadrupla ሺॶ, ൅,ڄ, ൑ሻ satisfaz as propiedades O1 a O5 é chamado de 
corpo ordenado. Assim, ሺԷ, ൅,ڄ, ൑ሻ é um corpo ordenado. 
 
Observação 2. Para qualquer ݔ א Է, ݔ ൐ 0 significa que ݔ א Էା enquanto 
ݔ ൏ 0 significa que െݔ א Էା. 
 
Observação 3. Para qualquer ݔ א Է, ݔ ൒ 0 significa que ݔ א Էା ou ݔ ൌ 0 , 
enquanto ݔ ൑ 0 significa que െݔ א Էା ou ݔ ൌ 0. 
 
A relação de ordem ݔ ൑ ݕ, dada na definição 1.1 satisfaz às seguintes 
propriedades: 
 
O1) Reflexividade: ݔ ൑ ݔ. 
O2) Simetria: se ݔ ൑ ݕ e ݕ ൑ ݔ então ݔ ൌ ݕ. Com efeito, se fosse ݔ ് ݕ 
teríamos ݔ ൏ ݕ e ݕ ൏ ݔ, o que significaria ݕ െ ݔ א Էା e ݔ െ ݕ א Էା 
consequentemente 0 ൌ ሺݕ െ ݔሻ ൅ ሺݔ െ ݕሻ א Էା, o que é absurdo. Logo, se 
ݔ ൑ ݕ e ݕ ൑ ݔ então devemos ter necessariamente que ݔ ൌ ݕ. 
 
 9
O3) Transitividade: se ݔ ൑ ݕ e ݕ ൑ ݖ então ݔ ൑ ݖ. De fato, suponhamos que 
ݔ ൑ ݕ e ݕ ൑ ݖ. Considerando a primeira expressão temos duas 
possibilidades: ݔ ൌ ݕ ou ݔ ൏ ݕ. De modo que vamos analisar os dois casos: 
ݔ ൌ ݕ e ݕ ൑ ݖ ou ݔ ൏ ݕ e ݕ ൑ ݖ. No primeiro caso temos imediatamente 
que ݔ ൑ ݖ. Na segunda possibilidade teremos ݔ ൏ ݕ , que deve ser 
combinada com as duas possibilidades em ݕ ൑ ݖ, que são ݕ ൌ ݖ ou ݕ ൏ ݖ . 
Se ݔ ൏ ݕ e ݕ ൌ ݖ significa ݔ ൏ ݕ ൌ ݖ , logo ݔ ൏ ݖ o que implica ݔ ൑ ݖ. O 
último caso a considerar é ݔ ൏ ݕ e ݕ ൏ ݖ . Isto significa ݕ െ ݔ e ݖ െ ݕ são 
ambos positivos, cuja soma é um número positivo devido a P2. Ora, o 
número ሺݖ െ ݕሻ ൅ ሺݕ െ ݔሻ ൌ ݖ െ ݔ é positivo, acarreta ݔ ൏ ݖ o que implica 
ݔ ൑ ݖ. 
 
O4) Compatibilidade de ordem com a adição : se ݔ ൑ ݕ , para qualquer 
ݖ א Է, temos que ݔ ൅ ݖ ൑ ݕ ൅ ݖ. Com efeito, se ݔ ൌ ݕ então claramente 
ݔ ൅ ݖ ൌ ݕ ൅ ݖ o que acarreta ݔ ൅ ݖ ൑ ݕ ൅ ݖ. Se ݔ ൏ ݕ, temos ݕ െ ݔ é 
positivo e, para qualquer ݖ א Է, ݕ െ ݔ ൌ ሺݕ ൅ ݖሻ െ ሺݖ ൅ ݔሻ. Segue-se que 
ሺݕ ൅ ݖሻ െ ሺݖ ൅ ݔሻ é positivo, ou seja, ݔ ൅ ݖ ൏ ݕ ൅ ݖ e portanto, 
ݔ ൅ ݖ ൑ ݕ ൅ ݖ. 
 
O5) Compatibilidade de ordem com a multiplicação: se ݔ ൑ ݕ e 0 ൑ ݖ então 
ݔ. ݖ ൑ ݕ. ݖ. Com efeito, claramente se ݔ ൌ ݕ, então ݔ. ݖ ൌ ݕ. ݖ acarreta 
ݔ. ݖ ൑ ݕ. ݖ, independente do z. Se ݔ ൏ ݕ e ݖ ൌ 0 temos 0. ݔ ൌ 0. ݕ ൌ 0 ou 
seja, quando ݖ ൌ 0, temos ݔ. ݖ ൌ ݕ. ݖ o que acarreta ݔ. ݖ ൑ ݕ. ݖ. 
Suponhamos agora ݔ ൏ ݕ e 0 ൏ ݖ. Temos ݕ െ ݔ e ݖ são ambos positivos, 
logo seu produto é um número positivo devido à propriedade 2. Mas 
ሺݕ െ ݔሻ. ݖ ൌ ݕ. ݖ െ ݔ. ݖ é positivo acarreta ݔݖ ൏ ݕݖ, que por sua vez acarreta 
ݔ. ݖ ൑ ݕ. ݖ. OO5 
 
Exemplo 1.7 
Se ݔ ൑ ݕ e ݔԢ ൑ ݕԢ então ݔ ൅ ݔԢ ൑ ݕ ൅ ݕԢ. De fato, os casos ݔ ൌ ݕ ou 
ݔᇱ ൌ ݕԢ decorrem diretamente da propriedade O4. Suponhamos então ݔ ൏ ݕ 
e ݔԢ ൏ ݕԢ o que significa ݕ െ ݔ e ݕԢ െ ݔԢ são ambos positivos. Decorre da 
propriedade 2 que ሺݕ െ ݔሻ ൅ ሺݕᇱ െ ݔᇱሻ é positivo. Usando a associatividade 
temos ሺݕ െ ݔሻ ൅ ሺݕᇱ െ ݔᇱሻ ൌ ሺݕ ൅ ݕᇱሻ െ ሺݔ ൅ ݔԢሻ é positivo. 
Logo ݔ ൅ ݔᇱ ൏ ݕ ൅ ݕ, de onde podemos concluir, ݔ ൅ ݔԢ ൑ ݕ ൅ ݕԢ. 
Um outro modo de justificar esta propriedade pode ser feito assim: 
considerando ݔ ൑ ݕ temos pela compatibilidade com a adição ݔ ൅ ݔᇱ ൑ ݕ ൅
ݔԢ, de modo análogo de ݔᇱ ൑ ݕᇱ, segue-se ݔᇱ ൅ ݕ ൑ ݕᇱ ൅ ݕ. Agora de 
ݔ ൅ ݔᇱ ൑ ݕ ൅ ݔᇱ e ݔᇱ ൅ ݕ ൑ ݕᇱ ൅ ݕ, da comutatividade e da transitividade 
segue-se ݔ ൅ ݔԢ ൑ ݕᇱ ൅ ݕ. 
 
Exemplo 1.8 
Se 0 ൏ ݔ ൑ ݕ então ݕିଵ ൑ ݔିଵ. De fato, o caso ݔ ൌ ݕ é imediato. Para o 
caso 0 ൏ ݔ ൏ ݕ, observamos inicialmente que ݔ ൐ 0 ՜ ݔିଵ ൐ 0 . Se 
assim não fosse, teríamos ݔିଵ ൑ 0. Multiplicando ambos os membros desta 
desigualdade por ݔ ൐ 0, teríamos, de O5, que ݔ. ݔିଵ ൑ 0. Mas, isto 
 10
acarretaria 1 ൑ 0, o que é absurdo. Assim, na hipótese 0 ൏ ݔ ൏ ݕ, teremos 
que ݔିଵ ൐ 0, ݕିଵ ൐ 0 o que acarreta por P2 ݔିଵ. ݕିଵ ൐ 0 . Usando O5 ao 
multiplicar ambos os membros de ݔ ൏ ݕ por ݔିଵ. ݕିଵ ൐ 0 obtemos 
ݔ. ሺݔିଵ. ݕିଵሻ ൏ ݕ. ሺݔିଵ. ݕିଵሻ. Após usar a associatividade e a 
comutatividade nesta última desigualdade decorre 
ሺݔ. ݔିଵሻ. ݕିଵ ൏ ሺݕ. ݔିଵሻ. ݕିଵ ൌ ݔିଵሺݕ. ݕିଵሻ, 
de onde podemos concluir ݕିଵ ൏ ݔିଵ. 
 
Exemplo 1.9 
Seja ܽ um inteiro. 
1. Se ܽ é ímpar então ܽଶ é ímpar. 
2. Se ܽଶ é par então ܽ é par. 
Prova de 1. Suponhamos ܽ é ímpar então ܽ ൌ 2݇ ൅ 1, ݇ א Գ, logo, 
ܽଶ ൌ ሺ2݇ ൅ 1ሻଶ ൌ 4݇ଶ ൅ 4݇ ൅ 1 ൌ 2ሺ2݇ଶ ൅ ݇ሻ ൅ 1. 
Como ݏ ൌ 2݇ଶ ൅ ݇ א Գ, temos ܽଶ ൌ 2ݏ ൅ 1 e ܽଶ é ímpar. 
Prova de 2. Considere ܽ um inteiro, tal que ܽଶ é par. Decorre de 1. que ܽ 
não pode ser ímpar pois senão ܽଶ seria ímpar, o que é absurdo. 
 
Exemplo 1.10 
A equação ݔ2 ൌ 2 não possui solução em Է. Com efeito, suponhamos por 
absurdo que existe uma fração irredutível 
௔
௕
 , isto é, ܽ e ܾ, não possuem 
fatores comuns, tal que ቀ௔
௕
ቁ
ଶ
ൌ 2 ֞ ܽ2 ൌ 2ܾ2. Assim ܽଶ é par, logo ܽ é 
par, isto significa que existe ݇ א Գ, tal que ܽ ൌ 2݇. Substituindo ܽ ൌ 2݇ 
em ܽଶ ൌ 2ܾଶ, temos que 2ܾଶ ൌ ሺ2݇ሻଶ ൌ 4݇ଶ, portanto ܾଶ ൌ 2݇ଶ, logo ܾଶ é 
par o que acarreta ܾ é par. Assim, ܽ e ܾ possuem o número 2 como fator 
comum e isto é uma contradição. Concluimos que ݔ2 ൌ 2 não possui 
solução em Է, o que segnifica que ݔ ൌ √2 não pertence ao conjunto dos 
racionais. 
 
3.3 O conjunto dos números reais 
O 
 O conjunto dos números reais será denotado por Թ. Թ contém Է, isto 
é, todo número racional é um número real. Os números reais que não são 
racionais são denominados irracionais. 
Admitiremos que a quadrúpla ሺԹ, ൅,ڄ, ൑ሻ é um corpo ordenado e que as 
operações de soma, multiplicação e a relação de ൑, quando restritas a Է, 
coincidem com as operações de soma, multiplicação e a relação ൑, de Է. 
 
Definição 1. Seja ݔ um número real definimos o módulo ou valor absoluto 
de ݔ por |ݔ| ൌ ቄ ݔ, se ݔ ൒ 0െݔ, se ݔ ൏ 0. 
 
 
 
 
 11
Exemplo 1.11. 
Para qualquer número real temos |ݔ|ଶ ൌ ݔଶ. De fato, se ݔ ൒ 0, temos que 
|ݔ| ൌ ݔ, portanto |ݔ|ଶ ൌ ݔଶ.S See ݔ ൏ 0 então |ݔ| ൌ െݔ, logo l|ݔ|ଶ ൌ
ሺെݔሻଶ ൌ ݔଶ. o Assim, Para qualquer número real temos |ݔ|ଶ ൌ ݔଶ. 
gAsso\\\\ 
Ampliando seu Conhecimento 
 
Observação 4 . Para qualquer ݔ א Թ, |ݔ| ൒ 0. 
 
Observação 5 . Notando que √ܽ denota a raiz quadrada de ܽ ሺܽ ൒ 0ሻ podemos 
escrever |ݔ| ൌ √ݔଶ. 
 
 
Exemplo 1.12. 
Para todo número real ݔ temos ݔ ൑ |ݔ| e െݔ ൑ |ݔ|. De fato, se ݔ ൒ 0, temos 
ݔ ൌ |ݔ|, logo ݔ ൑ |ݔ|. Se ݔ ൒ 0 então – ݔ ൏ 0 ൑ |ݔ|. Da transitividade 
concluimos – ݔ ൑ |ݔ|. No caso ݔ ൏ 0 temos que െݔ ൌ |ݔ| o que acarreta 
െݔ ൑ |ݔ|, e também como ݔ ൏ 0 ൑ |ݔ| , a transitividade acarreta ݔ ൑ |ݔ|. 
Portanto, para qualquer número real ݔ, temos ݔ ൑ |ݔ| e െݔ ൑ |ݔ|. 
 
Exemplo 1.13 (Desigualdade triangular) 
Para quaisquer números reais ݔ, ݕ temos |ݔ ൅ ݕ| ൑ |ݔ| ൅ |ݕ|. De fato, se 
ݔ ൅ ݕ ൒ 0, temos que |ݔ ൅ ݕ| ൌ ݔ ൅ ݕ ൑ |ݔ| ൅ |ݕ|. Se ݔ ൅ ݕ ൏ 0 então 
|ݔ ൅ ݕ| ൌ െሺݔ ൅ ݕሻ ൌ െݔ െ ݕ ൑ |ݔ| ൅ |ݕ|. Assim, quaisquer que sejam os 
números reais ݔ, ݕ temos |ݔ ൅ ݕ| ൑ |ݔ| ൅ |ݕ|. 
 
Definição 2. Sejam ܽ, ܾ א Թ, com ܽ ൏ ܾ. Um intervalo em Թ é um 
subconjunto de Թ, que tem uma das seguintes formas: 
1.ሾܽ, ܾሿ ൌ ሼݔ א Թ; ܽ ൑ ݔ ൑ ܾሽ 
2.ሿܽ, ܾሾ ൌ ሼݔ א Թ; ܽ ൏ ݔ ൏ ܾሽ 
3.ሿܽ, ܾሿ ൌ ሼݔ א Թ; ܽ ൏ ݔ ൑ ܾሽ 
4.ሾܽ, ܾሾ ൌ ሼݔ א Թ; ܽ ൑ ݔ ൏ ܾሽ 
5.ሿെ∞, ܽሾ ൌ ሼݔ א Թ; ݔ ൏ ܽሽ 
6. ሿെ∞, ܽሿ ൌ ሼݔ א Թ; ݔ ൑ ܽሽ 
7.ሾܽ, ൅∞ሾ ൌ ሼݔ א Թ; ݔ ൒ ܽሽ 
8.ሿܽ, ൅∞ሾ ൌ ሼݔ א Թ; ݔ ൐ ܽሽ 
9.ሿെ∞, ൅∞ሾ ൌ Թ. 
 
Definição 3. Seja ܣ um conjunto de números reais. O maior elemento 
de ܣ, quando existe, é chamado de máximo de ܣ e o indicamos por 
݉áݔ ܣ. O menor elemento de ܣ, quando existe, é chamado de mínimo de 
ܣ e o indicamos por ݉í݊ ܣ. 
Definição 4. Dizemos que um número ݉ é cota superiorpara o 
conjunto ܣ se ݉ for máximo de ܣ ou se ݉ for estritamente maior que 
todo número de ܣ. Dizemos que um número ݉ é cota inferior para o 
conjunto ܣ se ݉ for mínimo de ܣ ou se ݉ for estritamente menor que 
todo número de ܣ. 
 
 12
Exemplo 1.14 
Seja ܣ ൌ ሼ1, 2, 3,4ሽ ؿ Թ. Temos que: 
a) 1 é o mínimo de ܣ, 1 ൌ ݉í݊ ܣ; 
b) 4 é o máximo de ܣ, 4 ൌ ݉áݔ ܣ. 
c) 4, 5, 
ଵଷ
ଷ
 são cotas superiores para ܣ. 
d) 1, 0, 
ଵ
ସ
 são cotas inferiores de ܣ. 
 
Exemplo 1.15 
Seja ܣ ൌ ሾ1,4ሾ ൌ ሼݔ א Թ; 2 ൑ ݔ ൏ 4ሽ. 
Temos: 
1. 2 ൌ ݉í݊ ܣ. 
2. Para todo ݐ א ܣ temos que 
௧ାସ
ଶ
 א ܣ, e ݐ ൏ 
௧ାସ
ଶ
 . Assim, dado 
qualquer elemento ݐ א ܣ, existe outro elemento em ܣ que é maior 
que ݐ. Logo ܣ não admite máximo. 
3. Todo ݉ ൒ 4 é cota superior para ܣ e todo ݉ ൑ 1 é cota inferior 
para ܣ. 
4. A menor das cotas superiores de ܣ é 4 e a maior das cotas inferiores 
é 1. 
 
Definição 5. A menor das cotas superiores de um conjunto ܣ , quando 
existe, denomina-se supremo e é indicada por sup ܣ. A maior das 
cotas inferiores de um conjunto ܣ, quando existe, chama-se ínfimo de 
ܣ, e é indicada por inf ܣ. 
 
Ampliando seu Conhecimento 
 
Observação 6. Se um conjunto ܣ possui máximo ݉, ݉ também será o supremo de 
ܣ. Mas ܣ pode ter supremo e não ter máximo, como é o caso do conjunto no 
exemplo 1.15 acima. 
 
 
Definição 6 . Se ܣ admitir uma cota superior diremos que ܣ é 
limitado superiormente. Se ܣ admitir uma cota inferior diremos que ܣ 
é limitado inferiormente. 
 
Propriedade do supremo: Todo conjunto de números reais, não vazio e 
limitado superiormente, admite um supremo. 
Gozar da propriedade do supremo é o que diferencia Թ de Է. Em razão do 
conjunto dos números reais admitir a propriedade do supremo, diremos que 
Թ é um corpo ordenado completo. 
 
Ampliando seu Conhecimento 
 
Observação 7. O conjunto ܣ ൌ ሼݔ א Է; ݔଶ ൏ 2ሽ é limitado superiormente e não 
possui supremo em Է. Por isso, dizemos que Է não é completo. 
 
 
 
 
 13
 Duas importantes consequências da propriedade do supremo são a 
propriedade de Arquimedes e a propriedade dos intervalos encaixantes. 
 
Teorema. 
(i) O conjunto Գ ؿ Թ dos números naturais não é limitado 
superiormente. 
(ii) O ínfimo do conjunto ܣ ൌ ቄ 1݊ ; ݊ א Գቅ é igual a zero. 
(iii). Se ݔ, ݕ ൐ 0 são dois reais quaisquer, então existe pelo menos 
um número natural ݊ tal que ݊ݔ ൐ ݕ. 
Demonstração. (i) Como Գ é não vazio, se Գ, fosse limitado 
superiormente existiria ݏ ൌ sup Գ. Assim, ݏ െ 1 não seria cota superior de 
Գ. Logo existiria ݊ א Գ, tal que ݏ െ 1 ൏ ݊. Então ݏ ൏ ݊ ൅ 1 o que 
acarreta ݏ não seria supremo de Գ o que é uma contradição. 
(ii) Claramente 0 é cota inferior para ܣ, devemos mostrar que nenhum 
ܿ ൐ 0 é cota inferior de ܣ. Seja ܿ ൐ 0, do item anterior temos que existe 
um número natural ݊ tal que ݊ ൐ 1ܿ logo 
ଵ
௡
൏ ܿ e portanto ܿ, não pode ser 
cota inferior de ܣ. Isto prova (ii). 
(iii) Do item (i) temos que existe ݊ tal que ݊ ൐ ݕݔ, e assim ݊ݔ ൐ ݕ. 
 
Ampliando seu Conhecimento 
 
Observação 8. A propriedade (iii) é conhecida como propriedade de Arquimedes. 
Por conta disso dizemos que Թ é um corpo arquimediano. 
 
 
 Uma outra consequência importante da propriedade do supremo é 
apresentada no teorema abaixo e será utilizada algumas vezes neste texto. 
 
Teorema (intervalos encaixantes): 
Seja ሾܽ଴, ܾ଴ሿ, ሾܽଵ, ܾଵሿ, ሾܽଶ, ܾଶሿ, … , ሾܽ௡, ܾ௡ሿ, … uma sequência de intervalos 
satisfazendo as condições: 
(i) ሾܽ଴, ܾ଴ሿ ـ ሾܽଵ, ܾଵሿ ـ ሾܽଶ, ܾଶሿ ـ ڮ ـ ሾܽ௡, ܾ௡ሿ ـ ڮ (isto é, cada 
intervalo contém o seguinte) 
(ii) para todo ݎ ൐ 0, existe um natural ݊ tal que ܾ௡ െ ܽ௡ ൏ ݎ(isto é, medida 
que ݊ cresce o comprimento do intervalo ሾܽ௡, ܾ௡ሿvai tendendo a zero). 
Nestas condições, existe um único número real ߙ na interseção de todos os 
intervalos da sequência, ou seja, ሼߙሽ ൌ ځ ሾܽ݅, ܾ݅ሿஶ௜ୀ଴ . 
 
 
Ampliando seu Conhecimento 
 
Observação 9. Se tivermos uma sequência de intervalos nas condições (i) e (ii) do 
teorema dos intervalos encaixantes e se, para todo ܽ௡ ൐ 0, ܾ௡ ൐ 0, então a 
sequência de intervalos ሾܽ଴ଶ, ܾ଴ଶሿ, ሾܽଵଶ, ܾଵଶሿ, ሾܽଶଶ, ܾଶଶሿ, … , ሾܽ௡ଶ, ܾ௡ଶሿ, … 
também satisfará aquelas mesmas condições. 
 
 
 
 14
Exemplo 1.16 
Já vimos que em Է não existe solução da equação ݔଶ ൌ 2. Usaremos o 
teorema dos intervalos encaixantes para construir a raiz quadrada positiva de 
2, isto é, construíremos o número irracional ݔ ൌ √2. Com efeito, 
consideremos um intervalo ሾܽ, ܾሿ, tal que ܽଶ ൑ 2 ൑ ܾଶ (por exemplo 
ܽ ൌ 1, ܾ ൌ 2ሻ. Note que 4ܽଶ ൑ ሺܽ ൅ ܾሻଶ ൑ 4ܾଶ. 
Logo ܽଶ ൑ ቀ௔ା௕
ଶ
ቁ
ଶ
 ൑ ܾଶ e portanto ocorre uma das duas possibilidades ou 
2 ൒ ቀ௔ା௕
ଶ
ቁ
ଶ
ou 2 ൑. ቀ௔ା௕
ଶ
ቁ
ଶ
. Portanto, dividindo o intervalo ao meio, um 
dos dois subintervalos, digamos ሾܽଵ, ܾଵሿ é tal que ܽଵଶ ൑ 2 ൑ ܾଵଶ. Repetindo o 
processo com ሾܽଵ, ܾଵሿ teremos ሾܽଶ, ܾଶሿ tal que ܽଶଶ ൑ 2 ൑ ܾଶଶ. Procedendo 
assim, de forma sucessiva, obteremos uma sequência de intervalos ሾܽ௜, ܾ௜ሿ, 
cada um contido no anterior, satisfazendo ܽ௜ଶ ൑ 2 ൑ ܾ௜ଶ, e além disso, 
ܾ௜ െ ܽ௜ ൌ 
௕ି௔
ଶ೔
 para ݅ ൌ 1,2,3 …. Pela propriedade dos intervalos encaixantes 
existe um único ߙ א ځ ሾܽ݅, ܾ݅ሿஶ௜ୀ଴ , onde ߙ ൌ lim௜՜ஶ ܽ௜ ൌ lim௜՜ஶ ܾ௜. Note 
que como ܽ௜ଶ ൑ 2 ൑ ܾ௜ଶ, fazen݅ ՜ ∞, teremos ߙଶ ൑ 2 ൑ ߙଶ, isto é, 
ߙଶ ൌ 2. Por outro lado, ߙ é o único número real com esta propriedade pois, 
se existisse outro número, digamos ߚ tal que ߚଶ ൌ ߙଶ ൌ 2 então teríamos 
ߚଶ ൌ ߙଶ, ou equivalentemente ሺߙ ൅ ߚሻሺߙ െ ߚሻ ൌ 0 de onde poderíamos 
concluir ߙ ൌ ߚ. 
 
Exemplo 1.17 
Dados dois números reais ݔ e ݕ quaisquer com ݔ ൏ ݕ mostre que existe 
pelo menos um irracional ݐ entre ݔ e ݕ, isto é , satisfazendo ݔ ൏ ݐ ൏ ݕ. 
Solução: 
Como ݔ ൏ ݕ temos ݕ െ ݔ ൐ 0. Suponhamos incialmente que ݔ é irracional. 
Usando propriedade de Arquimedes com os números positivos 1 e ݕ െ ݔ, 
existe um número natural ݊ tal que ݊ሺݕ െ ݔሻ ൐ 1 ֞ 1݊ ൏ ݕ െ ݔ. Logo, vale 
(1) ଵ
௡
 ൅ݔ ൏ ݕ. Como 0 ൏ 
ଵ
௡
 adicionando ݔ a ambos os membros desta 
última desigualdade temos (2) ݔ ൏ ݔ ൅ 1݊ . Chame de ݐ o número irracional 
ݐ ൌ 1݊ ൅ ݔ (ݐ é irracional porque é soma do racional 
ଵ
௡
 com o irracional ݔ). 
De (1) e (2) segue ݔ ൏ ݎ ൏ ݕ. Suponhamos agora que ݔ é racional, usando 
a propriedade de Arquimedes para os números √2 e ݕ െ ݔ ൐ 0, temos 
݊ሺݕ െ ݔሻ ൐ √2 ֞
ඥ2
݊ ൏ ݕ െ ݔ. Logo, vale (3) 
√ଶ
௡
൅ ݔ ൏ ݕ. Como 
0 ൏
ඥ2
݊ , adicionando ݔ a ambos os membros desta desigualdade obtemos (4) 
ݔ ൏ ݔ ൅
ඥ2
݊ . Chamando de ݐ o número irracional ݐ ൌ
ඥ2
݊ ൅ ݔ (ݐ é irracional 
porque é soma do irrracional 
√ଶ
௡
 com o racional ݔ. De (3) e (4) segue 
ݔ ൏ ݎ ൏ ݕ. Deste modo, podemos concluir que entre dois números reais 
quaisquer ݔ e ݕ , com ݔ ൏ ݕ haverá sempre pelo menos um número 
irracional entre eles. 
 15
4. Avaliando o que foi construído 
 
A maioria do que foi apresentado nesta unidade, com toda certeza já 
foi visto por você leitor. Provavelmente, o que há de novo é apenas a 
abordagem. 
 É muito importante que você esteja familiarizado com as 
propriedades dos números reias, principalmente a sua completeza e o fato 
dele ser arquimediano, por isso não perca tempo, utilize todos os recursos 
que você dispõe e amadureça os seus conhecimentos resolvendo os 
exercícios propostos. 
 
No Moodle... 
 
 
 
 
4.1 Exercícios propostos 
 
1) Admitindo como conhecidas apenas as propriedades que tornam 
Թ um corpo prove: 
Se ݔ ൅ ߠ ൌ ݔ para algum ݔ א Թ então ߠ ൌ 0. 
Se ݔ · ݑ ൌ ݔ para todo ݔ א Թ então ݑ ൌ 1. 
Se ݔ ൅ ݕ ൌ 0 então ݕ ൌ െݔ. 
Se ݔ · ݕ ൌ 1 então ݕ ൌ ݔିଵ. 
 
2) Se ܽ ് 0 e ܾ ് 0 em Թ, prove que ሺܾܽሻିଵ ൌ ܽିଵܾିଵ e 
conclua que ሺܾܽሻିଵ ൌ 
௕
௔
 
 
3) Dados ݔ, ݕ, ݖ א Թ, prove que |ݔ െ ݖ| ൑ |ݔ െ ݕ| ൅ |ݕ െ ݖ|. 
 
4) Prove que ห|ݔ| െ |ݕ|ห ൑ |ݔ െ ݕ|, para quaisquer ݔ, ݕ א Թ. 
 
5) Prove que a soma de umracional com um irracional é 
irracional.. 
 
6) Se ݔ, ݕ são dois números reais com ݔ ൐ 0 e ݕ ൐ 0 então 
ඥݔݕ ൑ 
௫ା௬
ଶ
 
 
 
Um dos objetivos desta disciplina é treiná-lo no que diz respeito a pensar de forma 
lógica. Como todo treino, sua habilidade será melhor, proporcionalmente à 
quantidade de horas que você dedica a ele. Mas não se engane: tudo começa com a 
leitura e a compreensão de um bom texto. É recomendável utilizar mais de uma 
referência bibliográfica. O passo seguinte é resolver os exercícios que estão 
propostos no Moodle. Que tal encarar mais esse desafio? 
 
 16
7) A afirmação : “para todo número real ݔ ൒ 0, ݔ ൒ √ݔ ” é 
falsa ou verdadeira? Justifique. 
 
8) Prove que 
൫ଵି௫೙శభ൯
ଵି௫
 ൌ 1 ൅ ݔ ൅ ݔଶ ൅ ڮ ൅ ݔ௡ para todo 
ݔ ് 1. 
 
9) Prove que ܽଶ ൅ ܾܽ ൅ ܾଶ ൒ 0, quaisquer que sejam ܽ, ܾ א Թ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17
Unidade II - Sequências e Séries Numéricas 
 
1. Situando a temática 
 
 Informalmente, uma sequência é uma lista ordenada de coisas. Nesta 
unidade vamos tratar das sequências cujos elementos na lista são números 
reais. A partir de uma sequência numérica definiremos uma série numérica 
que nada mais é senão uma soma infinita dos termos da sequência. Uma 
questão central é se a sequência tem ou não limite. 
 Aspectos da ideia de limite são encontrados, de forma implícita, em 
trabalhos de sábios da Grécia antiga, como Eudoxo e Arquimedes. O 
primeiro matemático a falar explicitamente sobre os limites foi Isaac Newton 
que explica a ideia central dos limites que é “quantidades ficam mais 
próximas quanto menor for a diferença dada”. 
 Nesta unidade, apresentamos o conceito de limite de uma sequência 
baseado na ideia formalizada por Newton, a qual é fundamentada nas 
propriedades dos números reais, característica da análise matemática. 
 
2. Problematizando a temática 
 
Considerando-se uma sequência ሺݔ௡ሻ, 
 
• Pode haver mais de um limite para a sequência? 
• Qual relação há entre o limite da sequência e o limite das 
subsequências desta mesma sequência? 
• O que exigir de uma sequência monótona a fim de que ela convirja? 
• O que significa lim݊՜∞ ݔ௡ ൌ 8? 
• O que significa lim݊՜∞ ݔ௡ ൌ ∞? 
 
3. Conhecendo a temática 
 
3.1 Definições e exemplos 
 
Definição 1. Uma sequência (ou sucessão) de números reais é uma 
função x:Գ՜ Թ que associa, a cada natural ݊, um número real ݔ௡ , 
chamado o n-ésimo termo da sequência. 
Escreve-se ሺݔଵ , ݔଶ , … … ݔ௡, … … ..ሻ ou ሺݔ௡ ሻ௡גԳ, ou simplesmente 
ሺݔ௡ ሻ para indicar a sequência cujo n ‐ésimo termo é ݔ௡ . Às restrições da 
sequência x a subconjuntos infinitos de Գ daremos o nome de subsequência 
de x. As subsequências da sequência x são respresentadas genericamente 
por ሺݔ௡ೕ ሻ, onde ݊ଵ ൏ ݊ଶ ൏ ݊ଷ ൏ ڮ. 
 
Exemplo 1.1 
A função x:Գ՜ Թ que faz corresponder a cada número natural n o número 
real ݔሺ݊ሻ ൌ ݔ௡ ൌ 1 ݊⁄ define uma sequência que também pode ser indicada 
por (1,1/2, 1/3 , … 1/݊, … … ..) . 
 
 18
Exemplo 1.2 
A sequência constante ሺ1, 1, 1, . . . . . , 1, . . . . . ሻ é definida pela função x:Գ՜ Թ 
, tal que ݔሺ݊ሻ ൌ 1, ׊ ݊ א Գ. 
 
Exemplo 1.3 
A sequência cujo termo geral é ݔሺ݊ሻ ൌ ሺെ1ሻ௡ pode ser representada por 
ሺെ1, 1, െ1, 1, െ1, . . . , െ1, 1, . . . . ሻ 
 
Exemplo 1.4 
A partir da sequência ሺ1, 1,2, 1, 3, 1, 4, 1, . . . , ݊, 1. . . ሻ , considerando-se 
apenas os termos pares obtemos a subsequência ሺ1,1,1, . . . . . ,1, . . . . . ሻ. De 
modo análogo, ሺ1, 2, 3, 4, … , ݊ … ሻ é uma subsequência da mesma sequência, 
obtida tomando-se apenas seus termos ímpares. 
 
Exemplo 1.5 
A partir da função ݔሺ݊ሻ ൌ ݊ obtemos a sequência formada por todos os 
números naturais, isto é, ሺ1, 2, 3, 4, … , ݊ … ሻ. 
 
Exemplo 1.6 
A sequência ሺ1, 3, 5, 7, . . . , 2݊ െ 1 , . . . ሻ . 
 
Ampliando seu Conhecimento 
 
Observação 1 . É de primordial importância não confundir a sequência ሺݔ௡ሻ com 
o conjunto ሼݔଵ , ݔଶ , … … ݔ௡, … … . ሽ dos seus termos. Assim, observamos que são 
distintas as sequências dos exemplos 1.4 e 1.5 apesar do conjunto dos seus termos 
serem iguais. 
 
 
3.2 Noção de Convergência 
 
Definição 2. Dizemos que a sequência ሺݔ௡ ሻ converge para ܽ ሺou tem 
limite igual ܽሻ quando “toda vizinhança do ponto ܽ contém todos os 
termos da sequência, a partir de uma determinada ordem” , isto é , 
׊ ߝ ൐ 0, ׌ ݊଴ א Գ tal que ݔ௡ א ఌܸሺܽሻ , ׊ ݊ ൒ ݊଴ ou ݊ ൒ ݊଴ ՜ |ݔ௡ െ ܽ| ൏
ߝ ou ݊ ൒ ݊଴ ՜ ݔ௡ א ሺܽ െ ߝ, ܽ ൅ ߝሻ. Neste caso dizemos que a sequência 
é convergente, caso contrário a sequência é divergente. As notações 
mais usadas para indicar que a sequência ሺݔ௡ሻ converge para ܽ são 
݈݅݉௡՜ ஶ ݔ௡ ൌ ܽ ou lim ݔ௡ ൌ ܽ ou ݔ௡ ՜ ܽ. 
 
Definição 3. (limites infinitos). Consideremos uma sequência cujo termo 
geral é ݔ௡. Usaremos o símbolo lim௡՜ ஶ ݔ௡ ൌ ∞ para indicar que para 
todo ߝ ൐ 0, ׌ ݊଴ א Գ tal que ݊ ൐ ݊଴ ՜ ݔ௡ ൐ ߝ. De modo 
análogo,usaremos o símbolo lim௡՜ ஶ ݔ௡ ൌ െ∞ para indicar que para 
todo ߝ ൐ 0, ׌ ݊଴ א Գ tal que ݊ ൐ ݊଴ ՜ ݔ௡ ൏ െߝ. 
 
 
 
 
 19
Exemplo 1.7 
A sequência do exemplo 1.1 converge para ܽ ൌ 0. De fato, dado ߝ ൐ 0, da 
propriedade arquimediana, segue ׌ ݊଴ א Գ tal que 1/݊଴ ൏ ߝ. Assim, 
݊ ൒ ݊଴ acarreta 1/݊ ൑ 1/݊଴ ൏ ߝ. Logo : |1/݊ െ 0| ൏ ߝ , ׊ ݊ ൒ ݊଴ . 
 
Ampliando seu Conhecimento 
 
Observações sobre a convergência 
1. O limite de uma sequência é único, ou seja, uma sequência 
convergente não pode ter dois limites distintos. De fato, se lim ݔ௡ ൌ ܽ e 
lim ݔ௡ ൌ ܾ, então dado ߝ ൐ 0 existem ݊ଵ, ݊ଶ א Գ tais que : ݊ ൒ ݊ଵ ՜
 | ݔ௡ െ ܽ| ൏ ߝ 2ൗ e ݊ ൒ ݊ଶ ֜ | ݔ௡ െ ܾ| ൏
ߝ
2ൗ . 
Seja ݊଴ ൌ ݉ܽݔ ሼ݊ଵ, ݊ଶ ሽ, então : |ܽ െ ܾ| ൌ ห ܽ െ ݔ௡బ൅ݔ௡బ െ ܾห ൑
ห ܽ െ ݔ௡బห ൅ ห ݔ௡బ െ ܾห ൏
ߝ
2ൗ ൅
ߝ
2ൗ ൌ ߝ. Resumindo |ܽ െ ܾ| ൏ ߝ, ׊ ߝ ൐ 0, o 
que acarreta ܽ ൌ ܾ. 
 
2. Se ሺݔ௡ሻ é convergente, então a partir de uma certa ordem tem-se: 
| ݔ௡ െ ݔ௠| ൏ ߝ , ݉, ݊ ൒ ݊଴. Com efeito, seja lim ݔ௡ ൌ ܽ e seja 
ߝ ൐ 0, dado. 
Seja ݊଴ א Գ tal que | ݔ௞ െ ܽ| ൏ ߝ 2ൗ , ׊ ݇ ൒ ݊଴ . Se ݉, ݊ ൒ ݊଴, então: 
| ݔ௡ െ ݔ௠| ൑ | ݔ௡ െ ܽ ൅ ܽ െ ݔ௠| ൑ | ݔ௡ െ ܽ| ൅ | ݔ௠ െ ܽ| ൏ ߝ 2ൗ ൅
ߝ
2ൗ ൌ ߝ. 
3. Uma sequência ሺݔ௡ሻ converge para ܽ, se e somente se, qualquer 
subsequência de ሺݔ௡ሻ converge para ܽ. Para ver isto, suponhamos que 
lim ݔ௡ ൌ ܽ e seja ሺݔ௡ೕ ሻ uma subsequência de ሺݔ௡ሻ . Afirmamos que ௝݊ ൒
݆, ׊ ݆ א Գ. Usaremos o princípio de indução. Incialmente temos que ݊ଵ ൒ 1 
pois ݊ଵ א Գ. Suponhamos que ௝݊ ൒ ݆. Temos ௝݊ାଵ ൐ ௝݊ ൒ ݆ ֜ ௝݊ାଵ ൐ ݆. 
Logo ௝݊ାଵ ൒ ݆ ൅ 1. Portanto fica provada nossa afirmação. Considere agora 
ߝ ൐ 0 e seja ݊଴ א Գ tal que | ݔ௡ െ ܽ| ൏ ߝ, ׊ ݊ ൒ ݊଴. Se ݆ ൒ ݊଴ então ௝݊ ൒ ݊଴ e 
portanto, 
ቚ ݔ௡ೕ െ ܽቚ ൏ ߝ, ׊ ݆ ൒ ݊଴. E reciprocamente, suponhamos que as 
subsequências ሺݔଶ௡ሻ e ሺݔଶ௡ିଵሻ ambas convergem para ܽ. Temos | ݔଶ௡ െ
ܽ| ൏ ߝ , ׊ ݊ ൒ ݊ଵ e | ݔଶ௡ିଵ െ ܽ| ൏ ߝ , para qualquer ݊ ൒ ݊ଶ. Seja ݊଴ ൌ
݉ܽݔ ሼ݊ଵ, ݊ଶ ሽ. Então, | ݔ௡ െ ܽ| ൏ ߝ, ׊ ݊ ൒ ݊଴. 
Uma consequência disto é : se lim ݔ௡ ൌ ܽ então lim ݔ௡ା௣ ൌ ܽ pois, 
 ሺݔ௡ା௣ሻ é uma subsequência de ሺݔ௡ሻ . 
 
Exemplo 1.8 
A sequência do exemplo 1.3 é divergente, pois a subsequência dos termos 
pares converge para 1, enquanto a sequência dos termos ímpares converge 
para -1, assim da observação 3 acima, concluimos que a sequência diverge. 
 
Exemplo 1.9 
Para a sequência cujo termo geral é ݔ௡ ൌ ݊ (veja exemplo 1.5) temos 
|ݔ௡ାଵ െ ݔ௡| ൌ 1, para todo ݊ א Գ, logo da observação 2 acima concluimos 
que aquela sequência diverge. Além disso, da propriedade arquimediana, 
 
 20
dado ߝ ൐ 0 existe ݊଴ א Գ tal que ݊଴ ൐ ߝ. Assim, dado ߝ ൐ 0 existe 
 ݊଴ א Գ tal que ݊ ൐ ݊଴ ֜ ݊ ൐ ߝ. 
Portanto neste caso tem‐se: lim௡՜ ஶ ݔ௡ ൌ ∞. 
 
 3.3 Propriedadesalgébricas dos limites 
 
Teorema 2.1. Considere sequências ሺݔ௡ሻ e ሺݕ௡ሻ tais que ݔ௡ ՜ ܽ 
e ݕ௡ ՜ ܾ. Então: 
 
ሺ݅ሻ Se ሺݔ௡ሻ permanece constante e igual a ܿ a partir de uma certa 
ordem ݊଴, então ܽ ൌ ܿ. 
 
ሺ݅݅ሻ ߪ ݔ௡ ൅ ݕ௡ ՜ ߪܽ ൅ ܾ , ׊ ߪ א Թ. 
 
ሺ݅݅݅ሻ ݔ௡ ݕ௡ ՜ ܾܽ 
 
ሺ݅ݒሻ ܵ݁ ݕ௡ ് 0, ׊ ݊, ݁ ܾ ് 0 então 
 ௫೙
 ௬೙
՜ ௔
௕
. 
 
Demonstração. Prova de ሺ݅݅ሻ Considere ߪ ്0. Para ߝ ൐ 0 existe 
݊଴ tal que | ݔ௡ െ ܽ| ൏ 
ఌ
ଶ|ఙ|
 , ݊ ൒ ݊଴ e também existe ݊ଵ tal que 
 | ݕ௡ െ ܽ| ൏ ߝ 2⁄ , ݊ ൒ ݊ଵ. Seja ݊଴ ൌ ݉ܽݔ ሼ݊ଵ, ݊ଶ ሽ. Então, 
|ሺߪݔ௡ ൅ ݕ௡ሻ െ ሺߪܽ ൅ ܾሻ | ൌ |ߪሺ ݔ௡ െ ܽሻ െ ሺ ݕ௡ െ ܽሻ| ൑ 
൑ |ߪ|| ݔ௡ െ ܽ| ൅ | ݕ௡ െ ܽ| ൏ |ߪ|
ߝ
2|ߪ| ൅
ߝ
2 ൌ ߝ, ׊ ݊ ൒ ݊଴, isto 
é, ߪݔ௡ ൅ ݕ௡ ՜ ߪܽ ൅ ܾ. 
Prova de ሺ݅ݒሻ. Temos 
ฬ 
ݔ௡
ݕ௡
െ
ܽ
ܾ
ฬ ൌ ฬ
ݔ௡ܾ െ ܽݕ௡
ܾݕ௡
ฬ ൌ
1
|ݕ௡ܾ|
|ݔ௡ܾ െ ݕ௡ܽ| ൌ 
ൌ 1
ቚݕܾ݊ቚ
|ݔ௡ܾ െ ܾܽ ൅ ܾܽ െ ݕ௡ܽ| ൑
1
ቚݕ݊ቚ
|ݔ݊ െ ܽ| ൅
|ܽ|
ቚݕܾ݊ቚ
หݕ݊ െ ܾห. 
 
Assim, ݕ௡ ՜ ܾ, ܾ ് 0, então |ݕ௡ െ ܾ| ൏ 
|௕|
ଶ
 o que acarreta 
|ܾ| െ |ݕ௡| ൏
หܾห
2 ֜
หܾห
2 ൏ |ݕ௡|, ׊ ݊ ൒ ݊଴. 
 
Logo 
ଵ
|௬೙|
൏
ଶ
|௕|
, ׊ ݊ ൒ ݊0. 
 
Conclusão: 
ቚ ௫೙
௬೙
െ ௔
௕
ቚ ൏ 2
หܾห |ݔ௡ െ ܽ| ൅
2|ܽ|
หܾห2
|ݕ௡ െ ܾ| ൏ 
൏ ቈ
2
|ܾ|
൅
2|ܽ|
|ܾ|ଶ
቉ ߝ, ׊ ݊ ൒ ݊଴. 
Disto decorre 
 ௫೙
 ௬೙
՜ ௔
௕
. 
 
 
 21
Exemplo 1.10 
 
Para a sequência cujo termo geral é ݔ௡ ൌ 
௡మାଷ௡ିଵ
ଶ௡మାହ
 não podemos 
aplicar diretamente as propriedades algébricas dos limites porque as 
sequências no numerador e denominador de ݔ௡ são divergentes. No entanto, 
dividindo cada parcela no numerador e no denominador por ݊ଶ podemos 
escrever ݔ௡ ൌ 
ଵାయ
೙
ି భ
೙మ
ଶା ఱ
೙మ
 . Observando que lim
௡՜ ஶ
1
݊ ൌ 0 (exemplo 1.7), 
usando as propriedades operatórias dos limites obtemos, 
 lim
௡՜ ஶ
1
݊2
ൌ ቀ lim
௡՜ ஶ
1
݊ቁ · ቀ lim௡՜ ஶ
1
݊ቁ ൌ 0. 
 Da mesma forma temos que 
 lim
௡՜ ஶ
ቀ1 ൅ 3݊ െ
1
݊2
ቁ ൌ lim
௡՜ ஶ
1 ൅ 3 lim
௡՜ ஶ
1
݊ െ lim௡՜ ஶ
1
݊2
ൌ 1 e 
lim
௡՜ ஶ
2 ൅ 5
݊2
ൌ 2. 
Portanto, segue das propriedades operatórias dos limites que 
lim௡՜ ஶ ݔ݊ ൌ lim௡՜ ஶ
1൅3݊െ
1
݊2
2൅ 5
݊2
ൌ 12. 
 
3.4 Limitação e Monotonia 
 
Definição 4. Uma sequência ሺݔ௡ሻ é dita limitada superiormente 
quando existe um número real ܯ tal que ݔ௡ ൑ ܯ, ׊ ݊ א Գ. 
 
Definição 5. Uma sequência ሺݔ௡ሻ é dita limitada inferiormente 
quando existe um número real ݉ tal que ݉ ൑ ݔ௡, ׊ ݊ א Գ. 
 
Definição 6. Uma sequência ሺݔ௡ሻ é dita limitada quando existe uma 
constante positiva ܥ tal que | ݔ௡| ൑ ܥ, ׊ ݊ א Գ. 
 
Definição 7. Uma sequência ሺݔ௡ሻ é dita monótona crescente 
 ݔ௡ ൑ ݔ௡ାଵ, ׊ ݊ א Գ. 
 
Definição 8. Uma sequência ሺݔ௡ሻ é dita monótona decrescente 
 ݔ௡ାଵ ൑ ݔ௡, ׊ ݊ א Գ. 
 
Proposição 1.1. Se ݔ௡ ՜ 0 e ݕ௡ é limitada então ݔ௡ ݕ௡ ՜ 0. 
 
Demonstração. Como ݔ௡ ՜ 0, então dado ߝ ൐ 0, ׌ ݊଴ tal que 
݊ ൐ ݊଴ implica | ݔ௡ െ 0| ൌ | ݔ௡| ൏ ߝ. Por outro lado, da definição de 
sequência limitada temos que existe uma constante positiva ܥ tal que 
| ݕ௡| ൑ ܥ, ׊ ݊ א Գ. De modo que , dado ߝ ൐ 0, ׌ ݊଴ tal que ݊ ൐ ݊଴ 
implica | ݔ௡ ݕ௡ െ 0| ൌ | ݔ௡|| ݕ௡| ൑ ܥ| ݔ௡| ൏ ܥߝ o que acarreta ݔ௡ ݕ௡ ՜ 0. 
 
Exemplo 1.11 
A sequência cujo termo geral é ݔ௡ ൌ
1
݊ ݏ݁݊ ݊ converge para zero. De fato, 
neste caso podemos usar a proposição acima porque 
ଵ
௡
՜ 0 e |ݏ݁݊ ݊| ൑ 1. 
 22
Teorema 2.2 (Convergência Monótona) Se ሺݔ௡ሻ é uma sequência 
monótona crescente e limitada superiormente, então ሺݔ௡ሻ é convergente . 
Demonstração. Seja ܽ ൌ sup ሼ ݔ௡, ݊ א Գሽ. Mostremos que 
lim ݔ௡ ൌ ܽ . Dado ߝ ൐ 0, dado e seja ݊଴ א Գ tal que 
ܽ െ ߝ ൏ ݔ௡బ ൑ ݔ௡ ൏ ܽ ൅ ߝ, ݊ ൒ ݊଴. 
Então | ݔ௡ െ ܽ| ൏ ߝ, ׊ ݊ ൒ ݊଴ , isto é , lim ݔ௡ ൌ ܽ . 
 
Corolário 1.1 Seja ሺݔ௡ሻ uma sequência monótona. Então ሺݔ௡ሻ é 
convergente se, e somente se, ሺݔ௡ሻ é limitada. 
 
Demonstração. Se ሺݔ௡ሻ é convergente então dado ߝ ൌ 1 existe 
݊଴ א Գ tal que | ݔ௡ െ ܽ| ൏ 1, ݊ ൒ ݊଴. Logo | ݔ௡| ൏ 1 ൅ |ܽ|, ݊ ൒ ݊଴. Seja 
ܥ ൌ max ሼ1 ൅ |ܽ|, | ݔଵ|, | ݔଶ|, … , ห ݔ௡బหሽ. Portanto, | ݔ௡| ൑ ܥ , ׊ ݊ ൒ ݊଴, isto 
é, ሺݔ௡ሻ é limitada. Reciprocamente, se ሺݔ௡ሻ é monótona e limitada, 
então ela é limitada superiormente e inferiormente. Se ela for crescente, 
então lim ݔ௡ ൌ sup ሼ ݔ௡ሽ . Se ela for decrescente então lim ݔ௡ ൌ inf ሼ ݔ௡ሽ. 
 
Ampliando seu Conhecimento 
 
Observações: 
1. Uma sequência pode ser limitada e divergir. Veja o exemplo 1.3 acima onde 
ݔሺ݊ሻ ൌ ሺെ1ሻ௡. . Temos | ݔ௡| ൑ 1. 
2. Uma sequência pode ser monótona crescente e divergir. Veja o exemplo 1.5 
acima , onde ݔሺ݊ሻ ൌ ݊. 
 
 
Exemplo 1.12 
 
A sequência cujo termo geral é ݔ௡ ൌ
1
݊ é decrescente e limitada 
inferiormente por zero. Já vimos que esta sequência converge para zero que 
é infሼ ݔ௡ሽ ൌ 0. 
 
Exemplo 1.13 
 
A sequência ݏ௡ ൌ ∑
ଵ
௞మ
ஶ
௞ୀଵ é naturalmente crescente. Notando que 
 ݏ௡ ൌ 1 ൅
1
2ଶ
൅
1
3ଶ
൅ ڮ
1
݇ଶ
 
podemos usar o significado da integral para concluir: 
 ݏ௡ ൌ 1 ൅
1
2ଶ
൅
1
3ଶ
൅ ڮ
1
݇ଶ
൑ 1 ൅ න
1
ݔଶ
௡
ଵ
݀ݔ 
 
Denotando por ݕ௡ a sequência ݕ௡ ൌ ׬
ଵ
௫మ
௡
ଵ dx, temos 
lim
௡՜ஶ
ݕ௡ ൌ lim௡՜ஶ ൤െ
1
݊ ൅ 1൨ ൌ 1. Segue-se que ݏ௡ é crescente e limit da 
superiormente por 2, assim ݏ௡ converge e sua soma é um número real ݏ ൑ 2. 
 
 
 23
Teorema 2.3 (Teste da razão para sequências) Seja ሺݔ௡ሻ uma 
sequência de termos estritamente positivos e suponhamos que 
݈݅݉௡՜∞
 ݔ݊൅1
 ݔ݊
ൌ ܮ ൏ 1. Então ݈݅݉௡՜∞ ݔ௡ ൌ 0. 
 
Demonstração. Seja ݎ א Թ tal que ܮ ൏ ݎ ൏ 1. Fixemos um número 
real ߝ ൌ ݎ െ ܮ ൐ 0. Da definição de limite existe ݊଴ א Գ tal que 
 ቚ
 ݔ݊൅1
 ݔ݊
െ ܮቚ ൏ ݎ െ ܮ, ׊ ݊ ൒ ݊଴ . 
Disto decorre, que para todo ݊ ൒ ݊଴ tem-se 
 
 ௫೙శభ
 ௫೙
െ ܮ ൏ ݎ െ ܮ ֞ 
 ௫೙శభ
 ௫೙
൏ ݎ ֞ ݔ௡ାଵ ൏ ݎ ݔ௡ ൏ ݔ௡ , pois 
ݎ ൏ 1. Desta última desigualdade concluimos que a sequência é 
decrescente. Por ser limitada inferiormente e decrescente a partir da ordem 
݊଴ conlui-se que a sequência converge. Seja ݈݅݉ ݔ௡ ൌ ܽ. Se ܽ fosse 
positivo teríamos das propriedades operatórias dos limites que 
݈݅݉௡՜∞
 ݔ݊൅1
 ݔ݊
ൌ
݈݅݉݊՜∞ ݔ݊൅1
݈݅݉݊՜∞ ݔ݊
ൌ ܽܽ ൌ 1. Mas isto contradiz a hipótese ܮ ൏ 1. 
Portanto ܽ ൌ 0. 
 
Exemplo 1.14 
Aplicando o teste da razão para a sequência definida por ݔ௡ ൌ ݎ௡, com 
0 ൏ ݎ ൏ 1 concluimos, ݈݅݉௡՜ஶ ݔ௡ ൌ 0. ቂ
௡
௡ାଵ
ቃ
௡
 
 
Exemplo 1.15 
Podemos usar o teste da razão para mostrar que a sequência cujo termo geral 
é ݔ௡ ൌ
݊!
݊݊ converge para zero. De fato, neste caso, temos 
 ݈݅݉௡՜∞
 ݔ݊൅1
 ݔ݊
ൌ ݈݅݉௡՜ஶ ቂ
ሺ݊൅1ሻ!
ሺ݊൅1ሻ݊൅1ቃ ቂ
ሺ݊ሻ݊
݊! ቃ=݈݅݉௡՜ஶ ቂ
݊
݊൅1ቃ
݊
ൌ 1݁ ൏ 1. 
Portanto, ݔ௡ ൌ
݊!
݊݊ ՜ 0. 
Teorema 2.4 (Regra do Sanduíche para sequências) Se ݔ௡ ՜ ܽ , 
 ݕ௡ ՜ ܽ e ݔ௡ ൑ ݖ௡ ൑ ݕ௡ então ݖ௡ ՜ ܽ. 
Demontração. Seja ߝ ൐ 0 dado. Como ݔ௡ ՜ ܽ existe ݊଴ א Գ tal 
que | ݔ௡ െ ܽ| ൏ ߝ, ݊ ൒ ݊଴ . De modo, de análogo de ݕ௡ ՜ ܽ, existe ݊ଵ א 
Գ tal que | ݕ௡ െ ܽ| ൏ ߝ, ݊ ൒ ݊ଵ. Seja ݊ଶ ൌ max ሼ ݊଴, ݊ଵሽ. Temos que 
െߝ ൏ ݔ௡ െ ܽ ൑ ݖ௡ െ ܽ ൑ ݕ௡ െ ܽ ൏ ߝ, ݊ ൒ ݊ଶ. Portanto | ݖ௡ െ ܽ| ൏ ߝ, 
׊ ݊ ൒ ݊ଶ , isto é ݖ௡ ՜ ܽ. 
 
Teorema 2.5. Toda sequência ሺݔ௡ሻ de números reais possui uma 
subsequência ሺݔ௡ೕሻ monótona. 
Demonstração. Há dois casos a considerar: primeiro suponhamos 
que exista uma inifinidade de pontos satisfazendo ݔ௞ ൒ ݔ௡ , ׊ ݊ ൒
݇, digamos ݔ௡భ, ݔ௡మ, ݔ௡య, … com ݊ଵ ൏ ݊ଶ ൏ ݊ଷ ൏ ڮ Tais pontos são 
denominados de picos. Então ሺݔ௡ೕሻ é monótona decrescente. 
 
 24
 No segundo caso, suponhamos que a sequência possui apenas uma 
quantidade finita de picos digamos ݔ௡భ, ݔ௡మ,ݔ௡య, … , ݔ௡ೖ, com ݊ଵ ൏ ݊ଶ ൏
݊ଷ ൏ ڮ ݊௞ ൏ ڮ. Seja ݉ଵ ൌ 1 ൅ ݊௞ o primeiro índice que não é um pico. 
Seja ݉ଶ ൐ ݉ଵ tal que ݔ௠మ ൐ ݔ௠భ , tal índice existe pois ݔ௠భ não é pico. Do 
mesmo modo, como ݔ௠మ não é pico, existe ݉ଷ ൐ ݉ଶ tal que ݔ௠య ൐ ݔ௠మ e 
procedendo de de forma sucessivacontruiremos uma subsequência 
 ሺݔ௡ೕሻ monótona crescente. 
 
Teorema 2.5( Bolzano Weirstrass) Toda sequência limitada de 
números reais possui uma subsequência convergente. 
 
Demonstração. Considere ሺݔ௡ሻ limitada e seja ሺݔ௡ೕሻ que é 
monótona. Então ሺݔ௡ೕሻ é convergente por ser monótona e limitada. 
 
Teorema 2.7 (Critério de não Convergência) . São equivalentes: 
ሺAሻ ሺݔ௡ሻ não converge para ܽ. 
ሺBሻ ׌ ε଴ ൐ 0 ; ׊ ݆ א Գ, existe ௝݊ ൐ ݆, com ቚ ݔ௡ೕ െ ܽቚ ൒ ε଴. 
ሺBሻ ׌ ε଴ ൐ 0 e uma subsequência ሺݔ௡ೕሻ de ሺݔ௡ሻ tal que ቚ ݔ௡ೕ െ
ܽ| ൒ ε଴, ׊ ݆. 
 
3.5 Critério de Cauchy 
 
Definição 9. Uma sequência ሺݔ௡ሻ é dita de Cauchy quando 
׊ ߝ ൐ 0, ׌ ݊଴ א Գ tal que | ݔ௠ െ ݔ௡| ൏ ε, ׊ ݉, ݊ ൒ ݊଴. 
 
Consequências: 
1. Toda sequência convergente é de Cauchy. 
2. Toda sequência de Cauchy é limitada. 
3. Se uma sequência de Cauchy possui uma subsequência 
convergente então esta sequência converge para o mesmo limite da 
subsequência. 
4. Toda sequência de Cauchy é convergente. 
 
Teorema 2.8 ( Critério de Cauchy) . A sequência ሺݔ௡ሻ converge 
se e somente se, se ሺݔ௡ሻ é de Cauchy. 
 
Demonstração. Considere ሺݔ௡ሻ limitada e seja ሺݔ௡ೕሻ que é 
monótona. Então ሺݔ௡ೕሻ é convergente por ser monótona e limitada. 
 
3.6 Séries Convergentes 
 
Definição 9. Uma série é uma somado tipo, 
ݏ ൌ ݔଵ ൅ ݔଶ ൅ ݔଷ ൅ ڮ ൅ ݔ௡ ൅ ڮ 
 25
com um número infinito de parcelas, e esta também possui a representação 
∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ ou simplesmente ∑ ݔ௡. 
Claramente, uma soma deste tipo só faz sentido se 
ݏ ൌ ݈݅݉௡՜ ஶሺ ݔଵ ൅ ݔଶ ൅ ݔଷ ൅ ڮ ൅ݔ௡ሻ. Como limites podem existir ou não, 
classificaremos as séries em convergentes e divergentes, ou seja, quando a 
sequência ሺݏ௡ሻ é convergente diremos que a série ∑ ݔ௡ é convergente e 
divergente caso contrário. 
 
Exemplo 1.16 
 
A série ∑ ሺെ1ሻ௡ାଵஶ௡ୀଵ ቀ
ଵ
௡
ቁ converge e sua soma é ݈݊2. De fato, 
inicialmente notamos que ׬
ଵ
௫ାଵ
ଵ
଴ dx ൌ ݈݊2 e 
(1) 1 ൅ ܽ ൅ ܽଶ ൅ ڮ ܽ௡ ൌ 
ଵି௔೙శభ
ଵି௔
. 
De (1) decorre, 
(2) 
ଵ
ଵି௔
 ൌ 1 ൅ ܽ ൅ ܽଶ ൅ ڮ ൅ ܽ௡ ൅ 
௔೙శభ
ଵି௔
. 
Fazendo ܽ ൌ െݔ, em (2), obtemos: 
(3) 
ଵ
ଵା௫
 ൌ 1 െ ݔ ൅ ݔଶ ൅ ڮ ൅ሺെ1ሻ௡ݔ௡ ൅ ሺെ1ሻ௡ାଵ ቄ௫
೙శభ
ଵା௫
ቅ 
Integrando termo a termo em (3), obtemos: 
(4) ݈݊2 ൌ ׬
ଵ
௫ାଵ
ଵ
଴ dx ൌ 1 − 
ଵ
ଶ
 ൅ 
ଵ
ଷ
 െ ڮ ൅ ሺെ1ሻ
݊
݊൅1 ൅ 
൅ሺെ1ሻ௡ାଵ ׬
௫೙శభ
ଵା௫
ଵ
଴ dx. 
Logo, 
|݈݊2 െ ݏ௡| ൌ ሺെ1ሻ௡ାଵ ׬
௫೙శభ
ଵା௫
ଵ
଴ dx. 
Para concluir sobre a veracidade da nossa afirmação devemos mostrar 
que lim௡՜ାஶሺെ1ሻ௡ାଵ ׬
ݔ݊൅1
1൅ݔ
1
0 ݀ݔ ൌ 0. 
Ora, se ݔ א ሾ0,1ሿ temos, 
0 ൑ 1ݔ൅1 ൑ 1 ฺ 0 ൑
ݔ݊൅1
ݔ൅1 ൑ ݔ
௡ାଵ, ׊ ݔ א ሾ0,1ሿ, ׊ ݊ א Գ. 
Logo, 
0 ൑ න
ݔ௡ାଵ
1 ൅ ݔ
݀ݔ
ଵ
଴
൑ න ݔ௡ାଵ݀ݔ
ଵ
଴
ൌ
1
݊ ൅ 1
 
Usando o teorema do confronto concluimos 
 lim௡՜ାஶሺെ1ሻ௡ାଵ ׬
ݔ݊൅1
1൅ݔ
1
0 ݀ݔ. ൌ 0 ฺ ∑ ሺെ1ሻ
௡ାଵ ቀ1݊ቁ
ஶ
௡ୀଵ ൌ ݈݊2. 
É Amplia 
 
 26
Exemplo 1.17 
A série harmônica ∑ 1݊
ஶ
௡ୀଵ diverge. De fato, se ݉ ൐ ݊, então |ݏ௠ െ ݏ௡| ൌ
1
݊൅1 ൅ ڮ ൅
1
݉ ൒
1
݉ ൅ ڮ ൅
1
݉ ൌ 
݉െ݊
݉ ՜ 1, se ݉ ՜ ∞. Assim, ሺݏ௡ሻ 
não é de Cauchy e, portanto, a série ∑ 1݊
ஶ
௡ୀଵ diverge. 
 
Exemplo 1.18 
A série geométrica ∑ ܽݎ௡ିଵஶ௡ୀଵ com |ݎ| ൏ 1 é convergente. De fato, como 
ݏ௡ ൌ ܽ ൅ ܽݎ ൅ ܽݎଶ ൅ ڮ ൅ ܽݎ௡ିଵ ൌ
ܽ൫1െݎ݊൯
1െݎ temos ሺݏ௡ሻ é crescente, 
limitada, pois ݏ௡<
௔
ଵି௥ 
 . Além disso, ݈݅݉௡՜ஶ ݎ௡ ൌ 0 (veja o exemplo 
1.14). Deste modo, usando a proposição 1.1 concluimos que ௔௥
೙
ଵି௥
՜ 0, e 
portanto, a série geométrica ∑ ܽݎ௡ିଵஶ௡ୀଵ converge para 
௔
ଵି௥
, se |ݎ| ൏ 1. 
Se |ݎ| ൒ 1 a sequência ሺݎ௡ሻ diverge e o mesmo ocorre com ሺݏ௡ሻ . 
É Amplia 
Exemplo 1.19 
A série de encaixe ∑ ሺܾ௡ െ ܾ௡ାଵሻஶ௡ୀଵ converge, se e somente se, ܾ௡ 
converge e neste caso ݈݅݉௡՜ஶ ݏ௡ ൌ ܾଵ െ ݈݅݉௡՜ஶ ܾ௡. Este resultado pode 
ser aplicado para obter a soma da série ∑ 1
݊൅݊2
ൌஶ௡ୀଵ ∑
1
݊ െ
1
݊൅1 ൌ 1
ஶ
௡ୀଵ . 
 
Teorema 2.9 A série ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ converge se e somente se 
∑ ݔ௡ஶ௡ୀ௣ converge, ݌ א Գ. 
 
Teorema 2.10 Se a série ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ converge então lim௡՜ஶ ݔ௡ ൌ 0. 
 
Corolário 1.2. (critério de não convergência) Se lim௡՜ஶ ݔ௡ ് 0 
ou não existir então ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ diverge. 
 
Teorema 2.11 
(a) Se ߣ ് 0 , então ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ converge, se e somente se, 
∑ ߣݔ௡ஶ௡ୀଵ converge e vale ∑ ߣݔ௡ஶ௡ୀଵ ൌ ߣ ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ . 
 
(b) Se ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ e ∑ ݕ௡ஶ௡ୀଵ são ambas convergentes então 
∑ ሺݔ௡ஶ௡ୀଵ ൅ ݕ௡ሻ converge e temos: 
 ∑ ሺݔ௡ஶ௡ୀଵ ൅ ݕ௡ሻ ൌ ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ ൅ ∑ ݕ௡ஶ௡ୀଵ . 
 
 
3.7 Critérios de Convergência 
 
Teorema 2.12 (Critério de Cauchy para séries) Uma série 
∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ é convergente, se e somente se, ׊ ߝ ൐ 0, ׌ ݊଴ א Գ tal que 
|ݔ௡ାଵ ൅ ݔ௡ାଶ ൅ ڮ ൅ ݔ௡ା௞| ൏ ߝ, ׊ ݇, ׊ ݊ ൒ ݊଴. 
Demonstração. Temos da definição de convergência que a série 
∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ converge se a sequência das somas parciais converge. Por outro 
lado, note que |ݏ௡ െ ݏ௡ା௞| ൌ |ݔ௡ାଵ ൅ ݔ௡ାଶ ൅ ڮ ൅ ݔ௡ା௞|. Para concluir é 
só aplicar o critério de Cauchy para sequências (teorema 2.8). 
 27
Teorema 2.13 (Critério da Comparação) Sejam ሺݔ௡ሻ e ሺݕ௡ሻ 
sequências de termos não negativos e suponhamos que existam ܿ ൐ 0 e ݊଴ 
tais que ݔ௡ ൑ ܿݕ௡, ׊ ݊ ൒ ݊଴. Então a convergência de ∑ ݕ௡ஶ௡ୀଵ implica a 
de ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ enquanto a divergência de ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ implica a divergência de 
∑ ݕ௡ஶ௡ୀଵ . 
 
Demonstração Suponhamos, sem perda de generalidade, que 
ݔ௡ ൑ ܿݕ௡ para todo ݊ א Գ. Então as reduzidas ݏ௡ e ݐ௡ de ∑ ݔ௡ e ∑ ݕ௡ 
respectivamente, formam sequências não decrescentes tais que 0 ൑ ݏ௡ ൑
ܿݐ௡ para todo ݊ א Գ. Como ܿ ൐ 0, ሺݐ௡ሻ limitada implica ሺݏ௡ሻ limitada e 
ሺݏ௡ሻ ilimitada implica ሺݐ௡ሻ ilimitada pois ݐ௡ ൒ ݏ௡/ܿ . 
.É Amplia 
Exemplo 1.20 
Se ݌ ൑ 1 então 
ଵ
௡
൑
ଵ
௡೛
 e como a série harmônica diverge, resulta do 
critério da comparação que ∑ 1݊݌ diverge. 
 
Exemplo 1.21 
A série ∑ 2ଶ୬3ଵି୬ஶ୬ୀଵ converge ou diverge? Para decidir isto vamos 
reescrever o n-ésimo termo da série na forma ܽݎ௡ିଵ: 
 
෍ 2ଶ௡3ଵି௡ ൌ
ஶ
௡ୀଵ 
෍ ሺ2ଶሻ௡3ିሺ௡ିଵሻ ൌ ෍
4௡
3௡ିଵ
ൌ ෍ 4 ൬
4
3
൰
௡ஶ
௡ୀଵ 
ஶ
௡ୀଵ 
ஶ
௡ୀଵ 
 
Reconhecemos esta série como uma série geométrica com a ൌ
4 , r ൌ 43 ൐ 1 portanto esta série diverge. 
 
Teorema 2.13 (Critério de Dirichlet) Suponhamos que ܽ௡ ൌ ܽଵ ൅
ܽଶ ൅ ܽଷ ൅ ڮ ൅ ܽ௡ seja uma sequência limitada e que ሺܾ௡ሻ é decrescente 
com limite zero. Então, ∑ ܽ௡ܾ௡ஶ௡ୀଵ é convergente. 
p 
Exemplo 1.22 
Se a série ∑ ሺെ1ሻ௡ܾ௡ஶ௡ୀଵ , onde ሺܾ௡ሻ, é uma sequência decrescente com 
limite zero então ∑ ሺെ1ሻ௡ܾ௡ஶ௡ୀଵ é convergente. De fato, denotando por 
ܽ௡ ൌ ሺെ1ሻ௡ para todo natural ݊, temos , |∑ ܽ௡௡௜ୀଵ | ൑ 1. Juntando-se a isso 
a hipótese sobre a sequência ሺܾ௡ሻ, podemos aplicar o critério de Dirichlet e 
concluir que a série em questão converge. 
 
3.8 Séries Alternadas 
 
Definição. (Série Alternada) Uma série alternada é aquela cujos 
termos são alternadamente positivos e negativos. Assim, uma série será 
alternada se ela for, necessariamente, de um dos tipos ∑ ሺെ1ሻ௡ஶ௡ୀଵ ܾ௡ ou 
∑ ሺെ1ሻ௡ିଵஶ௡ୀଵ ܾ௡ onde ܾ௡ ൐ 0, ׊ ݊ א Գ. 
 
 
 
 28
Teorema 2.14 (Teste da série Alternada) Se a série alternada 
∑ ሺെ1ሻ௡ିଵஶ௡ୀଵ ܾ௡ ൌ ܾଵ െ ܾଶ ൅ ܾଷ െ ܾସ ൅ ڮ satisfizer: 
ሺ݅ሻ ܾ௡ାଵ ൑ ܾ௡ para todo ݊, 
ሺ݅݅ሻ lim௡՜ஶ ܾ௡ ൌ 0. 
Então, a série ∑ ሺെ1ሻ௡ିଵஶ௡ୀଵ ܾ௡ é convergente. 
 
Exemplo 1.23 
A série harmônica alternada ∑ ሺെ1ሻ
݊െ1
݊
ஶ
௡ୀଵ satisfaz 
ሺ݅ሻܾ௡ାଵ ൑ ܾ௡ porque 
1
݊൅1 ൏
1
݊ 
ሺ݅݅ሻ lim
݊՜∞
ܾ݊ ൌ lim݊՜∞
1
݊
ൌ 0 
 
Logo a série converge harmônica alternada converge, pelo 
teste da série alternada. 
 
Exemplo 1.24 
Para a série alternada ∑ ሺെ1ሻ
݊3݊
4݊െ1
ஶ
௡ୀଵ não podemos aplicar o teste para 
convergência de séries alternadas porque lim
௡՜ஶ
ܾ௡ ൌ lim௡՜ஶ
3݊
4݊െ1
ൌ
3
4
. Mas se 
olharmos para o n-ésimo termo da série, ܽ௡ ൌ
ሺെ1ሻ݊3݊
4݊െ1 temos que o limite 
lim
௡՜ஶ
ሺെ1ሻ݊3݊
4݊െ1
 não existe e portanto, a série em questão diverge. 
 
3.9 Sériesabsolutamente convergentes e os testes da razão e da raiz 
 
Definição 10. Uma série ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ é dita absolutamente 
convergente se a série de valores absolutos ∑ |ݔ௡|ஶ௡ୀଵ for convergente. 
 
Exemplo 1.25 
Vimos (exemplo 1.23) que a série harmônica alternada ∑ ሺെ1ሻ
݊െ1
݊
ஶ
௡ୀଵ é 
convergente. No entanto, a série de valores absolutos é a série harmônica 
∑ 1݊
ஶ
௡ୀଵ que sabemos (exemplo 1.17) ser divergente. 
 
Ampliando seu Conhecimento 
 
Observação. No caso em que todos os termos de uma série ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ são positivos, 
temos |ݔ௡| ൌ ݔ௡. Logo neste caso, convergência e convergência absoluta 
coincidem. Mais geralmente, uma série convergente cujos termos não mudam de 
sinal é absolutamente convergente. 
 
 
Definição 11. Uma série ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ é dita condicionalmente 
convergente se ela for convergente, mas não absolutamente convergente. 
 
 
 29
Exemplo 1.26 
A série harmônica alternada (exemplo 1.23) é condicionalmente 
convergente. Disto podemos concluir que convergência condicional não 
implica convergência absoluta. A recíproca deste fato é verdadeira e está 
destacada no próximo teorema. 
 
Teorema. Se a série ∑ |ݔ௡|ஶ௡ୀଵ converge então a série ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ 
também converge. 
Demonstração. Aplicando o critério de Cauchy à série ∑ |ݔ௡|ஶ௡ୀଵ , 
obtemos ׊ ߝ ൐ 0, ׌ ݊଴ א Գ tal que ห|ݔ௡ାଵ| ൅ |ݔ௡ାଶ| ൅ ڮ |ݔ௡ା௞|ห ൌ
|ݔ௡ାଵ| ൅ |ݔ௡ାଶ| ൅ ڮ |ݔ௡ା௞| ൏ ߝ, ׊ ݇, ׊ ݊ ൒ ݊଴. Mas, |ݔ௡ାଵ ൅ ݔ௡ାଶ ൅ ڮ ൅
ݔ௡ା௞| ൑ |ݔ௡ାଵ| ൅ |ݔ௡ାଶ| ൅ ڮ |ݔ௡ା௞| portanto, ׊ ߝ ൐ 0, ׌ ݊଴ א Գ tal que 
|ݔ௡ାଵ ൅ ݔ௡ାଶ ൅ ڮ ൅ ݔ௡ା௞| ൏ ߝ, ׊ ݇, ׊ ݊ ൒ ݊଴, e usando novamente o 
crítério de Cauchy, agora para a série ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ , concluimos ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ 
também converge. 
 
Ampliando seu Conhecimento 
 
Observação. Note que o critério de Cauchy nos dá uma condição necessária e 
suficiente para convergência de uma série. Na demonstração do teorema acima foi 
o aplicado o critério de Cauchy, em situações distintas. 
 
 
Os teoremas a seguir fornecem testes que são úteis para testar a 
convergência absoluta de uma série. 
 
Teorema (teste da razão). 
ሺ݅ሻ Se lim
௡՜ஶ
ቚ
ݔ݊൅1
ݔ݊
ቚ ൌ ܮ ൏ 1, então a série ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ é absolutamente 
convergente, e portanto convergente. 
 ሺ݅݅ሻ Se lim
௡՜ஶ
ቚ
ݔ݊൅1
ݔ݊
ቚ ൌ ܮ ൐ 1, ou se lim
௡՜ஶ
ቚ
ݔ݊൅1
ݔ݊
ቚ ൌ ൅∞, então a série 
∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ é divergente. 
 ሺ݅݅݅ሻ Se lim
௡՜ஶ
ቚ
ݔ݊൅1
ݔ݊
ቚ ൌ ܮ ൌ 1, o teste da razão não é conclusivo, ou 
seja, neste caso a série pode ser convergente ou divergente. 
 
S 
Exemplo 1.27 
Determine em que intervalo devemos tomar ݔ a fim de que a série ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ 
represente um número real. 
Solução: 
Notamos que a série ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ representará um número se ela for 
convergente. Claramente, se ݔ ൌ 0 a série é convergente. Se ݔ ് 0 faz 
sentido a igualdade ቚݔ݊൅1ݔ݊
ቚ ൌ |ݔ|. Usando o teste da razão para séries vemos 
que se |ݔ| ൏ 1, ݔ ് 0 temos que ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ é convergente e divergente se 
|ݔ| ൐ 1, ݔ ് 0. Se ݔ ൌ 1 ou se ݔ ൌ െ1 teste não é conclusivo, mas usando 
 
 30
usando corolário 1.2 (critério de não convergência) temos que nestes casos a 
série diverge. 
Concluimos, portanto que a ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ representa um número real se e 
somente, |ݔ| ൏ 1. 
Note que ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ é uma série geométrica e sua soma é 
ଵ
௫ିଵ
 para |ݔ| ൏ 1. 
 
Exemplo 1.28 
O teste da razão aplicado à série ∑ ሺെ1ሻ௡ ൬݊
3
3݊
൰ஶ௡ୀଵ garante a convergência 
desta série. De fato, considerando ݔ௡ ൌ ሺെ1ሻ௡ ൬
݊3
3݊
൰ , temos 
 ቚݔ݊൅1ݔ݊
ቚ ൌ ቮ
ሺെ1ሻ݊൅1ቆሺ݊൅1ሻ
3
3݊൅1
ቇ
ሺെ1ሻ݊ቆ݊
3
3݊
ቇ
ቮ ൌ 
ሺ௡ାଵሻయ
ଷ೙శభ
· ଷ
೙
ሺ௡ሻయ
ൌ ଵ
ଷ
ቀ௡ାଵ
௡
ቁ
ଷ
= 
ൌ
1
3
൬1 ൅
1
݊
൰
ଷ
՜
1
3
൏ 1 
Deste modo, pelo teste da razão concluimos que a série em questão é 
absolutamente convergente, logo convergente. 
 
Teorema (teste da raiz). 
ሺ݅ሻ Se lim
௡՜ஶ
ඥ|ݔ௡|
೙ ൌ ܮ ൏ 1, então a série ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ é absolutamente 
convergente, e portanto convergente. 
 ሺ݅݅ሻ Se lim
௡՜ஶ
ඥ|ݔ௡|
೙ ൌ ܮ ൐ 1, ou se lim
௡՜ஶ
ቚ
ݔ݊൅1
ݔ݊
ቚ ൌ ൅∞, então a série 
∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ é divergente. 
 ሺ݅݅݅ሻ Se lim
௡՜ஶ
ඥ|ݔ௡|
೙ ൌ ܮ ൌ 1, o teste da razão não é conclusivo, ou 
seja, neste caso a série pode ser convergente ou divergente. 
 
S 
Ampliando seu Conhecimento 
 
Observação. Quando o teste da razão for inconclusivo não use o teste da razão, 
pois este também será inconclusivo, e vice-versa. 
 
 
 Em se tratando de somas finitas, temos da comutatividade dos 
números reais, que uma mudança na ordem dos termos não altera o resultado 
final. No entanto, o mesmo não ocorre, em geral, com as somas infinitas. 
Veja o exemplo a seguir.P 
 
Exemplo 1.29 
Para exemplificar o que dissemos acima, considere a série 
∑ ሺെ1ሻ௡ାଵ ቀଵ
௡
ቁஶ௡ୀଵ . Vimos no exemplo (1.16) que a soma desta série é ݈݊2. 
Assim, podemos escrever: 
 
(1) ݈݊2 ൌ 1 െ 12 ൅
1
3 െ
1
4 ൅
1
5 െ
1
6 ൅
1
7 െ
1
8 ൅ ڮ 
 
 
 31
Logo, 
(2) 12 ݈݊2 ൌ
1
2 െ
1
4 ൅
1
6 െ
1
8 ൅ ڮ 
 
Ou ainda, acrescentando zeros entre os termos de (2), obtemos 
 
(3) ଵ
ଶ
 ݈݊2 ൌ 0 ൅ 12 ൅ 0 െ
1
4 ൅ 0 ൅
1
6 ൅ 0 െ
1
8 ൅ ڮ 
 
Logo, somando as séries em (1) e (3) temos: 
 
(4) ଷ
ଶ
݈݊2 ൌ 1 ൅ 13 െ
1
2 ൅
1
5 ൅
1
7 െ
1
4 ൅ ڮ 
 
Note que, nesta última série ሺ4ሻ que todos os seus termos são termos da série 
ሺ1ሻ em outra ordem. 
 
Definição 12. Seja ݂: Գ ՜ Գ uma função bijetora. Sejam ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ , 
∑ ݕ௡ஶ௡ୀଵ duas séries tais que ݔ௡ ൌ ݕ௙ሺ௡ሻ, para todo ݊ א Գ. Então ∑ ݕ௡ஶ௡ୀଵ 
é dita um rearranjo ( ou uma reordenação) da série ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ . 
 
 
Ampliando seu Conhecimento 
 
Observações: 
Claramente, se uma série ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ é absolutamente convergente com soma 
ݏ, então qualquer rearranjo de ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ fornecerá mesma soma ݏ. 
Note que no exemplo (1.20) acima a série em (4) é um um rearranjo da 
série em (1). Os valores distintos obtidos para as duas somas no exemplo (1.20) 
não ocorre à toa e deve-se ao fato da série em (1) ser condicionalmente 
convergente. Um resultado surpreendente relacionado a rearranjos, foi obtido por 
Riemann e está enunciado no teorema abaixo 
 
Par 
Teorema. Sejam ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ uma série condicionalmente convergente e ݎ um 
número real qualquer. Existe um rearranjo de ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ cuja soma é ݎ. 
M 
4. Avaliando o que foi construído 
 
O conceito de limite é o tema central desta unidade. Ele será 
retomado na próxima unidade de modo mais geral. 
Você deve ter notado que apresentamos diversas maneiras de testar a 
convergência de uma série e que também não há um método geral que sirva 
para uma série indistintamente, ou seja, testar séries é igual calcular 
integrais, não há um método certo. Mesmo assim, algum plano pode ser feito 
porque não é uma boa estratégia sair usando os testes de forma aleatória. 
Para ver um roteiro deste tipo, vá à página 118 do livro 4 da coleção 
intitulada Licenciatura em Matemática a distância. Lá tem uma estratégia 
para testar a convergência de uma série. 
 
 
 32
No Moodle... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.1 Exercícios propostos 
 
1) Calcule o termo geral da sequência, em cada caso abaixo: 
 
a) ቀଵ
ଶ
, ଶ
ଷ
, ଷ
ସ
, ସ
ହ
, ହ
଺
, ଺
଻
, ଻
଼
, … ቁ 
b) ൫1, √2, √3, 2, √5, √6, √7, √8, 3, … , ൯ 
c) ቀ32 , െ1, 
5
8 , െ
6
16 ,
7
32 , െ
1
8 ,
9
128 , െ
10
256 , … ቁ 
 
2) Calcule, caso exista, o limite da sequência. Caso o limite seja infinito, 
indique adequadamente este fato. 
 
a) ݔ௡ ൌ
3݊
݊൅ݏ݁݊2݊
 
b) ݔ௡ ൌ 1 െ ሺ0,2ሻ௡ 
c) ݔ௡ ൌ 1 ൅ ሺെ1ሻ௡ାଵ 
d) ݔ௡ ൌ
݊
1൅√݊
 
 
3) Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. 
A sequência é convergente? 
 
a) ݔ௡ ൌ ሺെ2ሻ௡ାଵ 
b) ݔ௡ ൌ
1
2݊൅3 
c) ݔ௡ ൌ
݊
݊2൅1
 
d) ݔ௡ ൌ ݊ ൅
1
݊ 
 
4) Seja ݔ௡ ൌ 
2݊
4݊൅3 
 
a) Determne se ݔ௡ é convergente.b) Determine se ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ é convergente. 
5) Explique a diferença entre: 
 
a) ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ e ∑ ݔ௝ஶ௝ୀଵ 
b) ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ e ∑ ݔ௝ஶ௜ୀଵ 
 
Todos devemos concordar que para ler e compreender bem textos de matemática 
devemos estar acompanhados de lápis e papel. Ou, quem sabe, um bom 
computador. Bom, o que queremos dizer é que devemos utilizar algum instrumento 
para reescrever alguma frase, detalhar alguma conta escondida. Utilize a seu favor 
todos os recursos disponíveis na plataforma com vistas a seu sucesso nesta 
disciplina. Estude! Resolva exercícios propostos no Moodle. 
. 
 
 33
6) Determine se a série converge ou diverge. 
 
a) ∑ ݊െ13݊൅1
ஶ
௡ୀଵ 
b) ∑ ݊݁ି௡మஶ௡ୀଵ 
c) ∑ ሺെ1ሻ௡ ൬ ݊
3
݊4൅1
൰ஶ௡ୀଵ 
d) ∑ ݊݁ି௡మஶ௡ୀଵ 
e) ∑ 2
݊
݊!
ஶ
௡ୀଵ 
 
7) O que você pode dizer sobre a série ∑ ݔ௡ஶ௡ୀଵ em cada um dos 
seguintes casos? 
 
a) lim
௡՜ஶ
ቚ
ݔ݊൅1
ݔ݊
ቚ ൌ 5 
b) lim
௡՜ஶ
ቚ
ݔ݊൅1
ݔ݊
ቚ ൌ 0,5 
c) lim
௡՜ஶ
ቚ
ݔ݊൅1
ݔ݊
ቚ ൌ 1 
 
8) Determine se a série é absolutamente convergente, 
condicionalmente convergente ou divergente. 
 
a) ∑ ሺെ10ሻ
݊
݊!
ஶ
௡ୀଵ 
b) ∑ 2
݊
݊!
ஶ
௡ୀଵ 
c) ∑ ൫െ1൯
݊
ln ݊
ஶ
௡ୀଶ 
d) ∑ ቀ1 ൅ 1݊ቁ
௡మ
ஶ
௡ୀଵ 
 
9) Para quais das seguintes séries o teste da razão não é 
conclusivo? 
 
a) ∑ ଵ
௡య
ஶ
௡ୀଵ 
b) ∑ ௡
ଶ೙
ஶ
௡ୀଵ 
c) ∑ ሺିଷሻ
೙షభ
√௡
ஶ
௡ୀଵ 
d) ∑ √௡
ଵା௡మ
ஶ
௡ୀଵ 
 
10) Vimos que a série harmônica é uma série divergente cujos 
termos tendem a zero. Mostre que ∑ ݈݊ ቀ1 ൅ ଵ
௡
ቁஶ௡ୀଵ também tem 
essa propriedade. 
 
 34
Unidade III - Limites e Continuidade 
 
1. Situando a temática 
 
Consideramos que o leitor deste texto está familiarizado com a 
noção de limites nos cursos de cálculo e a noção de limites de sequências 
apresentada na unidade anterior. Por exemplo, temos a ideia do limite de 
uma sequência, que explica o que simbolicamente escrevemos na forma 
݈݅݉௡՜∞ ݔ௡ ൌ ܮ, conhecemos o limite de uma função, mediante a notação 
 ݈݅݉௫՜௔ ݂ሺݔሻ ൌ ܮ e até mesmo os limites bidimensionais 
 ݈݅݉ሺ௫,௬ሻ՜ሺ௔,௕ሻ ݂ሺݔሻ ൌ ܮ. Cada um destes conceitos foi definido de forma 
particular e, associados a eles conhecemos um conjunto de teoremas. No 
entanto, a mesma ideia fundamental existe em todos estes limites e, se 
analisarmos cuidadosamente as diversas definições, podemos formular um 
conceito geral de limites que incluirá todos os casos precedentes como casos 
particulares. Com o intuito de estabelecer o conceito de limite da forma mais 
geral possível começaremos nosso estudo apresentando algumas noções 
topológicas. 
 
2. Problematizando a temática 
 
Nesta unidade, as principais questões que se colocam são: 
 
1. O que é uma vizinhança de um ponto? 
2. O que é um conjunto aberto? O que é um conjunto fechado? 
3. O que têm em comum as definições de limites de uma sequência e 
limites de uma função? 
4. Quando se diz ݈݅݉௫՜௔ ݂ሺݔሻ ൌ ܮ, o que se pode dizer sobre o valor 
da função f no ponto ݔ ൌ ܽ ? 
5. É possível falar em continuidade em um ponto que não pertence ao 
domínio da função ݂? 
 
3. Conhecendo a temática 
 
3.1 Algumas noções topológicas 
 
Dados ݔ଴ א Թ e ߜ ൐ 0, chamamos de vizinhança de ݔ଴, e denotamos 
por ఋܸሺݔ଴ሻ o intervalo aberto de centro em ݔ଴ e raio ߜ. 
Assim, 
ఋܸሺݔ଴ሻ ൌ ሼݔ଴ א Թ ; ݔ଴ െ ߜ ൏ ݔ ൏ ݔ଴ ൅ ߜሽ ൌ ሺݔ଴ െ ߜ; ݔ଴ ൅ ߜሻ. 
 
Se X ك Թ e ݔ଴ א Թ, apenas uma das condições abaixo se verifica: 
A. Existe ߜ ൐ 0 tal que ఋܸሺݔ଴ሻ ك X . Neste caso dizemos que ݔ଴ é 
ponto interior de X. 
B. Existe ߜ ൐ 0 tal que ఋܸሺݔ଴ሻ ك Թ െ X . Neste caso dizemos que ݔ଴ 
é ponto exterior de X. 
 35
C. Qualquer que seja ߜ ൐ 0, a vizinhança ఋܸሺݔ଴ሻ contém pontos de X e 
de Թ െ X. Neste caso dizemos que ݔ଴ é ponto de fronteira de X. 
Denotaremos o interior, a fronteira de X e o exterior de X, 
respectivamente, por ݅݊ݐ X, e ߲X e ݁ݔݐ X. 
 
3.2 Exemplos 
 
1. ݅݊ݐ Ժ ൌ ׎ . 
2. ߲Ժ ൌ Ժ. 
3. ߲Է ൌ Թ. 
4. ݅݊ݐ Է ൌ ׎. 
5. ݁ݔݐ ሺ Թ െ Էሻ ൌ ׎. 
 
3.3 Definições 
 
Definição 1. Um conjunto X é dito aberto quando ݅݊ݐ X ൌ X e um 
conjunto X é dito fechado quando ߲X ك X . O conjunto Xഥ ൌ ߲XڂX é 
denominado fecho de X. 
 
3.4 Exemplos 
 
6. Էഥ ൌ Էڂ߲Է ൌ Թ. 
7. Ժڂ߲Ժ ൌ Ժ. 
 
Definição 2. Um conjunto X é dito denso em Թ quando Xഥ ൌ Թ. 
 
Teorema 1.1 As seguintes afirmações são equivalentes: 
(A) X é fechado 
(B) Թ െ X é aberto 
(C) Xഥ ൌ X 
 
Demonstração: A demonstração será feita mostrando que o ciclo 
se fecha, ou seja, (A) ֜(B) ֜ ሺC) ֜(A). Suponhamos X fechado, isto é, 
߲X ك X . Se Թ െ X não fosse aberto existiria um elemento ܽ א Թ െ X tal 
que ܽ ב ݅݊ݐሺԹ െ Xሻ. Logo, ׊ ߜ ൐ 0, ఋܸሺܽሻ ת X ൌ ׎ e ܽ א ఋܸሺܽሻ ת Թ െ X . 
Portanto, ܽ א ߲X ك X, o que acarreta ܽ א X , contradizendo a hipótese 
ܽ א Թ െ X . Portanto, concluimos (A) ֜ (B). Suponhamos agora Թ െ X 
é aberto. Temos Xഥ ൌ ߲XڂX, logo X ك Xഥ. Portanto, Xഥ ك X. se e somente se 
߲X ك X. Suponhamos que exista ܽ א ߲X e ܽ ב X. Da hipótese ܽ א ߲X, 
temos ׊ ߜ ൐ 0, ఋܸሺܽሻ ת X ് ׎ e ఋܸሺܽሻ ת ሺԹ െ Xሻ ് ׎. Resumindo, 
 ܽ ב X e ׊ ߜ ൐ 0 ఋܸሺܽሻ ת ሺԹ െ Xሻ ് ׎. Isto contradiz o fato de Թ െ X ser 
um conjunto aberto, logo (B) ֜ (C). Para concluir, note como Xഥ ൌ ߲XڂX 
temos que Xഥ ൌ X , se e somente se, ߲X ك X, se e somente se, X é fechado. 
Assim, (C) ֜ (A). 
 
 
 
 36
3.5 Exemplos 
 
8. ఋܸሺܽሻ é um conjunto aberto. Pois, para todo ݔ א ఋܸሺܽሻ existe ߜଵ
ᇱ ൌ
ߜ െ |ݔ െ ܽ| ൐ 0 tal que ఋܸభᇱሺݔሻ ؿ ఋܸሺܽሻ . De fato, seja ݕ א ఋܸభᇱሺݔሻ. 
Então |ݕ െ ܽ| ൌ |ݕ െ ݔ ൅ ݔ െ ܽ| ൑ |ݕ െ ݔ| ൅ |ݔ െ ܽ| ൏ ߜ െ
|ݔ െ ܽ| ൅ |ݔ െ ܽ| ൌ ߜ. Logo ݕ א ఋܸሺܽሻe Vஔሺaሻ é um conjunto aberto. 
 
9. O conjunto ܺ ൌ ሾܽ, ܾሿ ൌ ሼݔ א Թ ; ܽ ൑ ݔ ൑ ܾሽ é fechado porque 
∂X ൌ ሼܽ, ܾሽ ك X. 
 
10. O conjunto X ൌ ሺ0,1ሿ ൌ ሼݔ א Թ ; 0 ൏ ݔ ൑ 1ሽ não é aberto nem 
fechado pois 0 א ∂X e 0 ב X o que acarreta X não é fechado e 1 א X 
mas 1 ב ݅݊ݐሺ Xሻ logo X também não pode ser aberto. 
 
Ampliando seu Conhecimento 
 
 Observação Uma outra maneira de caracterizar o fecho de X é a seguinte: 
ܽ א Xഥ ฻ ׊ ߜ ൐ 0, ఋܸሺܽሻ ת X ് ׎ , isto é, o fecho de X é constituído de todos os 
pontos a tais que qualquer vizinhança de a contém algum ponto de X. Com efeito, 
seja ܽ א Xഥ , então ܽ א X ou ܽ א ߲X. Se ܽ א X temos ఋܸሺܽሻ ת X ് ׎ e se ܽ א ߲X 
então ׊ ߜ ൐ 0, ఋܸሺܽሻ ת X ് ׎. Reciprocamente, suponhamos que ׊ ߜ ൐ 0, ఋܸሺܽሻ ת
X ് ׎ e mostremos que ܽ א Xഥ . Se tivéssemos ܽ ב Xഥ então ܽ ב X e ܽ ב ߲X o que 
acarretaria a existência de ߜ ൐ 0, tal que ఋܸሺܽሻ ת X ൌ ׎ o que é absurdo. 
 
 
Dialogando e Construindo Conhecimento 
 
Consequências: 
 
1. Xഥ é fechado para qualquer X ؿ Թ. De fato, basta mostrar que Xന ൌ Xഥ , isto é, 
Xന ؿ Xഥ . Seja ܽ א Xന e seja ܾ א ఋܸሺܽሻ ת Xഥ . Como ܾ א ఋܸሺܽሻ ฺ ׌ߜ଴ ൐
0; ఋܸబሺܾሻ ؿ ఋܸሺܽሻ. Por outro lado, ܾ א Xഥ ฺ ఋܸబሺܾሻ ת X ് ׎. Logo, ఋܸሺܽሻ ת X ്
׎, ׊ δ ൐ 0 ฺ ܽ א Xഥ . 
 
2. Se X ؿ Թ é limitado e não vazio, então ݏݑ݌X e ݂݅݊X estão em Xഥ . 
Prova. Seja ߙ ൌ ݏݑ݌X e mostremos que ߙ א Xഥ . Da definição de supremo, dado 
݊ א Գ existe ݔ௡ א X tal que ߙ െ
ଵ
௡
൏ ݔ௡. Logo, ߙ െ
ଵ
௡
൏ ݔ௡ ൑ ߙ ൏ ߙ ൅
ଵ
௡
ฺ ݔ௡ א
భܸ
೙
ሺߙሻ. Dado ߜ ൐ 0, seja ݊଴ א Գ tal que 
ଵ
௡బ
൏ ߜ (tal ݊଴ existe devido a propriedade 
arquimediana!) e escolha ݔ௡బ א ܸభ
೙బ
ሺߙሻ ת X. Como ܸ భ
೙బ
ሺߙሻ ؿ ఋܸሺܽሻ, então ఋܸሺܽሻ ת
X ് ׎. Como ߜ ൐ 0 foi arbitrário, temos ߙ ൌ ݏݑ݌X א Xഥ . De modo análogo, prova-
se que ݂݅݊X א Xഥ . 
 
 
Teorema. 
1. Se ܣଵ, ܣଶ, ܣଷ, … ܣ௡ são abertos então ܣ ൌ ځ ܣ௞௡௞ୀଵ é aberto. 
2. Se ሼܣఒሽ é uma coleção qualquer de abertos, então ܣ ൌ ڂ ܣఒఒ é 
aberto. 
 
 
 37
3. Se ሼܨఒሽ é uma coleção de fechados, então ܨ ൌ ځ ܨఒఒ é fechado. 
4. Se ܨଵ, ܨଶ, ܨଷ, … ܨ௡ são fechados, então ܨ ൌ ڂ ܨ௞௡௞ୀଵ é fechado. 
 
 
3.6 Exemplos 
 
Exemplo 1.1 
Todo conjunto finito é fechado. De fato, se X ൌ ሼaሽ considereܾ א Թ െ
X, então ܾ ് ܽ. Seja ߜ ൌ |௕ି௔|
ଶ
൐ 0. Temos ఋܸሺܾሻ ؿ Թ െ X ฺ Թ െ X é 
aberto. Seja agora X ൌ ሼݔଵ, ݔଶ, ݔଷ, … , ݔ୬ሽ ൌ ڂ ሼݔ݇ሽ݊݇ൌ1 . Do item (4) do 
teorema temos X é fechado porque é união finita de fechados. 
 
Exemplo 1.2 
Dado ݊ א Գ, sejam ܣ௡ ൌ ቀെ
ଵ
௡
, ଵ
௡
ቁ e ܨ௡ ൌ ቂെ1 ൅
ଵ
௡
; 1 െ ଵ
௡
ቃ. Então 
ځ ܣ௞∞௞ୀଵ ൌ ሼ0ሽ não é aberto e ڂ ܨ௞ ൌ ሺെ1; 1ሻ∞௞ୀଵ não é fechado. 
 
Definição 3. Um ponto ܽ א Թ é m ponto de acumulação de 
um conjunto X ؿ Թ quando: ׊ ߜ ൐ 0, ఋܸሺܽሻ ת ሺܺ െ ሼܽሽሻ ് ׎. Isto 
significa que qualquer vizinhança do ponto ܽ contém algum ponto 
de X diferente de ܽ. O conjunto dos pontos de acumulação de X será 
indicado com o símbolo X′. Um ponto ܽ א X que não é ponto de 
acumulação de X é dito um ponto isolado de X. Logo um ponto ܽ א X será 
ponto isolado de X se existe uma vizinhança ܸߝሺܽሻ do ponto ܽ tal que 
ܸߝሺܽሻ ת ሺܺ െ ሼܽሽሻ ൌ ׎, ou seja, o único ponto de X na vizinhança ܸߝሺܽሻ é 
o próprio ponto ܽ. Um conjunto constituído somente de pontos isolados é 
dito um conjunto discreto. 
 
Exemplos: 
 
1. Se X ൌ ሼݔଵ, ݔଶ, ݔଷ, … , ݔ୬ሽ ฺ X′ ൌ ׎. 
2. Se X ൌ Ժ ฺ X′ ൌ ׎. 
3. Է′ ൌ Թ. 
4. ሺԹ\Էሻ′ ൌ Թ. 
5. X ൌ ቄ1, ଵ
ଶ
, ଵ
ଷ
, ଵ
ସ
, ଵ
ହ
, … . ቅ então X′ ൌ ሼ0ሽ pois, para todo ߜ ൐ 0, existe ݊ א Գ 
tal que ଵ
௡
൏ ߜ (tal ݊ existe devido a propriedade arquimediana!) e portanto, 
ଵ
௡
א ሺെߜ, ߜሻ ൌ ܸߜሺ0ሻ ฺ 0 א X′. Note que X é discreto. 
 
Teorema 1. São equivalentes: 
(A) ܽ א X′ 
(B) ܽ é limite de uma sequência de pontos X െ ሼܽሽ 
(C) Toda vizinhança do ponto ܽ contém uma infinidade de 
pontos de X. 
 
 38
Demonstração. Suponhamos que (A) seja verdadeiro, para 
todo ݊ א Գ podemos encontrar um ponto, que vamos denotar por 
ݔ௡ ് ܽ na vizinhança భܸ
೙
ሺܽሻ ൌ ቀെ 1݊ ൅ ܽ, ܽ ൅
1
݊ቁ. Logo ݈݅݉ݔ௡ ൌ ܽ, 
assim (A) ฺ ሺBሻ. 
 
Suponhamos ሺBሻ. Para todo ݊଴ א Գ o conjunto ሼݔ௡; ݊ ൐ ݊଴ሽ é infinito, 
pois caso contrário, existiria um termo digamos ݔ௡భque se repetiria 
uma infinidade de vezes, com isto teríamos uma subseqüência 
constante com limite ܽ o que contradiz a construção dos ݔ௡. Para 
cada ߜ ൐ 0 considere ݊଴ א Գ tal que 
ଵ
௡బ
൏ ߜ. Note que para ݔ௡ 
pertencente ao conjunto ሼݔ௡; ݊ ൐ ݊଴ሽ, que sabemos, é infinito, temos 
|ݔ௡ െ ܽ| ൏
ଵ
௡
൏ ଵ
௡బ
൏ ߜ , ׊ ݊ ൐ ݊଴, logo ఋܸሺܽሻ contém infinitos pontos 
de X. Portanto, ሺBሻ ฺ (C). A implicação ሺCሻ ฺ(A) é óbvia. 
 
Definição 4. Um conjunto ܭ ؿ Թ é dito compacto se é fechado 
e limitado. 
 
Exemplos: 
1. Todo conjunto finito é compacto. De fato, seja X ൌ ሼݔଵ, ݔଶ, ݔଷ, … , ݔ୬ሽ 
tal conjunto. Do exemplo 1.1 temos que X é fechado. Tomando ܥ ൌ
max ሼ|ݔ1|, |ݔ2|, … , |ݔn|ሽ vemos que X é limitado. 
2. X ൌ ሾ0; 1ሿ é compacto. 
3. X ൌ ሺ0; 1ሻ é limitado mas não é fechado, logo não é compacto. 
4. O conjunto Ժ dos inteiros é fechado, (pois seu o complementar Թ െ Ժ é a 
união dos intervalos abertos ሺ݊; ݊ ൅ 1ሻ, ݊ א Գ, logo aberto) mas não é 
compacto porque é ilimitado. 
 
Proposição. Todo conjunto ܭ ؿ Թ compacto possui um 
elemento máximo e um elemento mínimo. 
 
Prova. Sejam ߙ ൌ ݂݅݊ܭ e ߚ ൌ ݏݑ݌ܭ. Como ܭ é limitado 
então ߙ e ߚ estão em ܭഥ (veja consequência 2 acima). Por outro lado 
ܭ também é fechado. Logo ܭഥ ൌ ܭ. Portanto, ߙ e ߚ estão em ܭ. 
 
Definição 5. Uma coleção ࣝ ൌ ሼܣఒሽ de conjuntos abertos ܣఒ é 
dita uma cobertura aberta de X quando X ؿ ڂ ܣఒ. Uma parte de ࣝ 
que ainda cobre X é chamada de subcobertura de X. 
 
Exemplo: 
A coleção ࣝ ൌ ቄቀ1݊ ; 1ቁ , ݊ א Գቅ é uma cobertura por meio de abertos 
para o intervalo ሺ0; 1ሻ. De fato, se ݔ א X ൌ ሺ0; 1ሻ, escolhemos 
݊ א Գ ; 1݊ ൏ ݔ. Então, ݔ א ቀ
ଵ
௡
; 1ቁ ฺ X ؿ ڂ ቀ
1
݊ ; 1ቁ
ஶ
୬ୀଵ . Assim, ࣝ cobre 
X. Esta cobertura não possui subcobertura finita. De fato, como 
݇ ൐ ݊ ฺ 1݊ ൏
1
݇ ฺ ቀ
1
݊ ; 1ቁ ؿ ቀ
1
݊ ; 1ቁ. Logo, se ܣ௡ ൌ ቀ
1
݊ ; 1ቁ então 
 39
ܣ௡ ؿ ܣ௞, ݇ ൐ ݊. De modo que ܣ௡భ ׫ ܣ௡మ ׫ … ׫ ܣ௡ೖ ൌ ܣ௦ ൌ ቀ
1
ݏ ; 1ቁ 
onde ݏ ൌ max ሼ݊௜, ݅ ൌ 1,2,3 … , ݇ሽ que não cobre ሺ0; 1ሻ porque a parte 
ሺ0; 1ݏሿ fica descoberta. 
Teorema (Borel-Lebesgue). Se ܭ ؿ Թ é compacto então toda 
cobertura aberta de ܭ possui subcobertura finita. 
 
Demonstração. Para ver a demonstração consulte a página 
116 da referência [4]. 
 
Dialogando e Construindo Conhecimento 
 
Émile Borel foi um matemático e político francês que viveu no século 
passado. Possui trabalhos publicados juntamente com Baire e foi orientador de 
Henri Lebesgue. Pioneiro em teoria de medida e suas aplicações à teoria das 
probabilidades. 
Para mais informações sobre a vida deste grande matemático acesse o site: 
 
http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%89mile_Borel 
 
Dialogando e Construindo Conhecimento 
 
Henri Léon Lebesgue (1875 – 1941), foi um matemático francês 
contemporâneo de Borel, tendo sido orientado por este. O grande feito de Lebesgue 
foi introduzir o conceito de medida, que leva o seu nome, e generalizar a noção de 
integral. 
Ele provou muitos resultados de análise matemática. Assim se você tiver 
oportunidade de aprofundar os seus conhecimentos nesta área, inevitavelmente terá 
que estudar, por exemplo, o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue. 
 
 
3.7 Limites 
 
Definição 6. Sejam ݂: ܺ ك Թ ՜ Թ e ܽ א ܺᇱ, isto é, a é um ponto 
de acumulação de X. Dizemos que ݈݅݉௫՜௔ ݂ሺݔሻ ൌ ܮ, quando: 
 ׊ ߝ ൐ 0, ׌ ߜ ൌ ߜሺߝ, ܽሻ ൐ 0 tal que ݔ א ܺ e ݂ሺ ఋܸሺܽሻ ת ሺܺ െ ሼܽሽሻ ؿ
ఌܸሺܮሻ, ou equivalentemente , 0 ൏ |ݔ െ ܽ| ൏ ߜ ՜ |݂ሺݔሻ െ ܮ| ൏ ߝ. 
 
Teorema 1. São equivalentes: 
(A) ݈݅݉௫՜௔ ݂ሺݔሻ ൌ ܮ; 
(B) Se (ሺݔ௡ሻ ؿ ܺ െ ሼܽሽ ሻ, ݔ௡ ՜ ܽ, então ݂ሺݔ௡ሻ ՜ ܮ. 
Demonstração. (A) ฺ (B). ݈݅݉௫՜௔ ݂ሺݔሻ ൌ ܮ acarreta 
|݂ሺݔሻ െ ܮ| ൏ ߝ, se ݔ א ܺ e 0 ൏ |ݔ െ ܽ| ൏ ߜ. Por outro lado ሺݔ௡ሻ ؿ
ሺܺ െ ሼܽሽሻ ՜ 0 ൏ |ݔ௡ െ ܽ| ൏ ߜ, ׊ ݊ ൒ ݊଴. Logo |݂ሺݔ௡ሻ െ ܮ| ൏
ߝ, ׊ ݊ ൒ ݊଴, e portanto, ݈݅݉௫՜௔ ݂ሺݔ௡ሻ ൌ ܮ. (B) ฺ (A). Se (A) não 
ocorresse, existiria ߝ଴ tal que para cada ߜ ൌ
1
݊ poderíamos escolher 
ݔ௡ א ఋܸሺܽሻ ת ሺܺ െ ሼܽሽሻ satisfazendo |݂ሺݔ௡ሻ െ ܮ| ൒ ߝ଴. Logo ݔ௡ א ܺ,
ݔ௡ ് ܽ e 0 ൏ |ݔ௡ െ ܽ| ൏
1
݊ . Assim, teríamos ݔ௡ ՜ ܽ e a sequência 
݂ሺݔ௡ሻ não convergiria para ܮ o contradiz (B). Portanto, (B) ฺ (A) e 
a prova está encerrada. 
 
 40
Corolário 1. (Unicidade do limite) Sejam ݂: X ك Թ ՜ Թ e 
ܽ א Xᇱ. Se ݈݅݉௫՜௔ ݂ሺݔሻ ൌ ܮ e ݈݅݉௫՜௔ ݂ሺݔሻ ൌ ܯ então ܮ ൌ ܯ. 
 
Prova. Como ܽ א Xᇱ existe uma sequência ሺݔ௡ሻ em 
 X െ ሼܽሽ, com ݔ௡ ՜ ܽ.Usando o teorema acima temos 
݈݅݉௫՜௔ ݂ሺݔ௡ሻ ൌ ܮ e ݈݅݉௫՜௔ ݂ሺݔ௡ሻ ൌ ܯ. Por ser único o limite da 
sequência ൫݂ሺݔ௡ሻ൯ concluimos ܮ ൌ ܯ. 
 
Corolário 2. (Propriedades Algébricas dos limites) Sejam 
݂: X ك Թ ՜ Թ e ܽ א ܺᇱ. Se ݈݅݉௫՜௔ ݂ሺݔሻ ൌ ܮ e ݈݅݉௫՜௔ ݂ሺݔሻ ൌ
ܯ então: 
 
݈݅݉
௫՜௔
ሾ ݂ሺݔሻ േ ݃ሺݔሻሿ ൌ ܮ േ ܯ 
 
 ݈݅݉
௫՜௔
݂ሺݔሻ · ݃ሺݔሻ ൌ ܮ · ܯ 
݈݅݉௫՜௔
௙ሺ௫ሻ
௚ሺ௫ሻ
ൌ ௅
ெ
 se ܯ ് 0. 
 
Prova. A prova se faz de modo análogo à prova do corolário 1. 
Considera-se uma sequência ሺݔ௡ሻ em X െ ሼܽሽ, com ݔ௡ ՜ ܽ. Usando 
o teorema acima e as propriedades algébricas dos limites de 
sequências, decorre o corolário. 
 
Ampliando seu Conhecimento 
 
 Observações: 
 
 Na definição de limite, a restrição 0 ൏ |ݔ െ ܽ| significa ݔ ് ܽ e não tem a 
menor importância o valor que a função f assume em ݔ ൌ ܽ. O que importa é o 
comportamento de ݂ሺݔሻ quando x se aproxima de a, mas sempre com ݔ ് ܽ. 
 
Note também que para investigarmos o comportamento de uma função 
para valores próximos de a, mas ݔ ് ܽ é essencial que ܽ seja um ponto de 
acumulação de ܺ , sendo de total irrelevância o valor que f assume quando ݔ ൌ ܽ , 
sendo permitido inclusive que a função f não esteja definida em ݔ ൌ ܽ . Exemplos 
onde isto ocorre estão nos próximos dois exemplos abaixo. 
 
3.8 Exemplos 
 
Exemplo 1.1 
Considere ݄: Թ ՜ Թ , ݄ሺݔሻ ൌ ݔ ൅ 1. Neste caso, temos ܺ ൌ Թ e 
ݔ ൌ 1 א XԢ. Mostraremos que ݈݅݉௫՜ଵሺ ݔ ൅ 1ሻ ൌ 2. De fato, para cada 
ߝ ൐ 0, tome ߜ ൌ ߝ. Se 0 ൏ |ݔ െ 1| ൏ ߜ temos |݂ሺݔሻ െ 2| ൌ
|ሺݔ ൅ 1ሻ െ 2|ൌ |ݔ െ 1| ൏ ߜ ൌ ߝ. Portanto, ݈݅݉௫՜ଵሺ ݔ ൅ 1ሻ ൌ 2. 
 
 
 
 
 41
Exemplo 1.2 
Considere ݂: Թ െ ሼ1ሽ ؿ Թ ՜ Թ, ݂ሺݔሻ ൌ ݔ
2െ1
ݔെ1
. Aqui ܺ ൌ Թ െ ሼ1ሽ e 
ݔ ൌ 1 א XԢ.Logo, 
݈݅݉
௫՜ଵ
݂ሺݔሻ ൌ ݈݅݉
௫՜ଵ
ݔଶ െ 1
ݔ െ 1
ൌ ݈݅݉
௫՜ଵ
ݔ ൅ 1 ൌ 2. 
 Pois, para ݔ próximo de ݔ ൌ 1 temos que ݂ coincide com a função 
݄ሺݔሻ ൌ ݔ ൅ 1. Note também que neste exemplo a função f não está 
definida para ݔ ൌ 1. 
 
Exemplo 1.3 
Seja ݂ሺݔሻ ൌ ቊݏ݁݊ ቀ
ଵ
௫
ቁ , ݏ݁ ݔ ് 0,
ߙ , ݏ݁ ݔ ൌ 0.
 . 
 
Considere ݔ௡ ൌ
1
݊ߨ൅ߨ2
, temos ݔ௡ ՜ 0 e como já sabemos, a sequência 
݂ሺݔ௡ሻ ൌ ݏ݁݊ ቀ
ଵ
௫೙
ቁ ൌ ሺെ1ሻ௡ é divergente, podemos concluir que não 
existe ݈݅݉௫՜଴ ݂ሺݔሻ. 
 
 
Exemplo 1.4 
Seja ݃ሺݔሻ ൌ ቊݔݏ݁݊ ቀ
ଵ
௫
ቁ , ݏ݁ ݔ ് 0
0 , ݏ݁ ݔ ൌ 0.
 . 
Se ݔ௡ ՜ 0, ݔ௡ ് 0, ׊ ݊, então ݔ௡ݏ݁݊ ቀ
ଵ
௫೙
ቁ ՜ 0 pois, assim ocorre 
quando se tem o produto de duas sequências onde uma delas converge para 
zero e a outra é limitada (veja proposição 1.1 na unidade anterior). 
 
Teorema. (Regra do Sanduiche) 
Sejam ݂, ݃, ݄: ܺ ك Թ ՜ Թ, ܽ א ܺԢ e ݈݅݉௫՜௔ ݂ሺݔሻ ൌ ݈݅݉௫՜௔ ݃ሺݔሻ ൌ
ܮ. Se ݂ሺݔሻ ൏ ݄ሺݔሻ ൏ ݃ሺݔሻ para todo ponto ݔ א ሺܺ െ ሼܽሽ ሻ então 
݈݅݉௫՜௔ ݄ሺݔሻ ൌ ܮ. 
 
Demonstração. Dado arbitrariamente ߝ ൐ 0, existem ߜଵ, ߜଶ 
tais que ݔ א ܺ, 0 ൏ |ݔ െ ܽ| ൏ ߜଵ ՜ L െ ߝ ൏ ݂ሺݔሻ ൏ ܮ ൅ ߝ e ݔ א ܺ, 
0 ൏ |ݔ െ ܽ| ൏ ߜଶ ՜ L െ ߝ ൏ ݃ሺݔሻ ൏ ܮ ൅ ߝ. Seja ߜ ൌ min ሼ ߜଵ, ߜଶሽ. 
Então, 
ݔ א ܺ, 0 ൏ |ݔ െ ܽ| ൏ ߜ ՜ L െ ߝ ൏ ݂ሺݔሻ ൏ ݄ሺݔሻ ൏ ݃ሺݔሻ ൏ ܮ ൅ ߝ. 
Logo, ݈݅݉௫՜௔ ݄ሺݔሻ ൌ ܮ. 
 
 
Ampliando seu Conhecimento 
 
 Observação 3. O resultado acima é também conhecido como teorema do 
confronto. Uma prova alternativa pode ser feita usando a regra do sanduíche para 
sequências e o teorema 1 acima. 
 
 
 42
Teorema. Sejam ݂, ݃, ׷ ܺ ك Թ ՜ Թ, ܽ א ܺԢ e ݈݅݉௫՜௔ ݂ሺݔሻ ൌ
0 . Se |݃ሺݔሻ| ൑ ܯ, para todo ݔ א ܺ, onde M é um número real fixo, então 
݈݅݉௫՜௔ ݂ሺݔሻ݄ሺݔሻ ൌ 0. 
 
Demonstração. |݂ሺݔሻ݃ሺݔሻ| ൌ |݂ሺݔሻ||݃ሺݔሻ| ൑ ܯ|݂ሺݔሻ| , 
׊ ݔ א ܺ. Logo, para todo ݔ א X, temos 
െܯ|݂ሺݔሻ| ൑ ݂ሺݔሻ݃ሺݔሻ ൑ ܯ|݂ሺݔሻ|. 
 Como, 
 ݈݅݉௫՜௔ ݂ሺݔሻ ൌ 0, temos, 
݈݅݉
௫՜௔
ܯ|݂ሺݔሻ| ൌ ݈݅݉
௫՜௔
െܯ|݂ሺݔሻ| ൌ 0. 
Usando a regra do sanduiche concluímos ݈݅݉௫՜௔ ݂ሺݔሻ݄ሺݔሻ ൌ 0. 
 
Ampliando seu Conhecimento 
 
 Observação 4. Este resultado é uma versão da proposição 1.1 para 
funções. 
 
 
3.9 Extensões do conceito de limite 
 
Definição 7. Seja X ؿ Թ. Um ponto ܽ é dito ponto de 
acumulação à direita de X, se toda vizinhança de ܽ contém pontos de 
ݔ א X com ݔ ൐ ܽ. O conjunto dos pontos de acumulação à direita 
do conjunto X é denotado por Xାᇱ . De modo análogo, define-se ponto 
de acumulação à esquerda e denota-se por Xିᇱ o conjunto dos pontos 
de acumulação à esquerda. Naturalmente, Xାᇱ ׫ Xିᇱ ൌ XԢ. 
 
Exemplo 1.5 
 
Se X ൌ ቄ1, 12 ,
1
3 , … ,
1
݊ , … ቅ temos Xା
ᇱ ൌ ሼ0ሽ e Xିᇱ ൌ ׎. 
 
Exemplo 1.6 
Se X ൌ ሺa; bሿ temos ܽ א X൅
Ԣ e ܾ א Xିᇱ . 
 
A definição de ponto de acumulação lateral motiva a definição de 
limites laterais. 
 
Definição 8 . Sejam ݂: ܺ ك Թ ՜ Թ e ܽ א Xାᇱ , isto é, a é um 
ponto de acumulação à direita de X. Dizemos que o número real L é o 
limite à direita de ݂ሺݔሻ e denotamos por ݈݅݉௫՜௔శ ݂ሺݔሻ ൌ ܮ, quando: 
׊ ߝ ൐ 0, ׌ ߜ ൌ ߜሺߝ, ܽሻ ൐ 0 tal que ݔ א X com 0 ൏ ݔ െ ܽ ൏ ߜ ฺ
|݂ሺݔሻ െ ܮ| ൏ ߝ. De modo análogo, definimos o limite lateral à 
esquerda que denotamos por ݈݅݉௫՜௔ష ݂ሺݔሻ ൌ ܮ. 
 
Vê-se facilmente que se ܽ א X൅
Ԣ ת Xെ
Ԣ a existência do limite ݈݅݉௫՜௔ ݂ሺݔሻ 
está condicionada à existência e igualdade de ambos os limites 
laterais, isto é, existem e são iguais os limites 
݈݅݉௫՜௔ష ݂ሺݔሻ ൌ ݈݅݉௫՜௔శ ݂ሺݔሻ. 
 
 43
Exemplo 1.7 
A função ݂: Թ െ ሼ0ሽ ՜ Թ, definida por ݂ሺݔሻ ൌ |ݔ|ݔ ൌ ቄ
1, ݏ݁ ݔ ൐ 0
െ1, ݏ݁ ݔ ൏ 0 
não possui limite quando ݔ se aproxima de zero pois, 
݈݅݉௫՜଴ష ݂ሺݔሻ ൌ െ 1 ് 1 ൌ ݈݅݉௫՜଴శ ݂ሺݔሻ. 
 
Exemplo 1.8 
Considere a função ݃: Թ ՜ Թ, conhecida como função escada e definida 
pela seguinte regra: a cada ݔ א Թ associamos o maior inteiro que é 
menor do que ou igual a ݔ, ݃ሺݔሻ ൌ ۤݔۥ. Note que, esta função está 
bem definida porque para cada número real ݔ existe um único inteiro ݊ 
tal que ݊ ൑ ݔ ൑ ݊ ൅ 1, logo ݃ሺݔሻ ൌ ۤݔۥ ൌ ݊. 
Temos ݈݅݉௫՜௡శ ݃ሺݔሻ ൌ ݊ enquanto ݈݅݉௫՜௡ష ݃ሺݔሻ ൌ ݊ െ 1. 
3.10 Continuidade 
 
Definição 9. Considere ݂: X ك Թ ՜ Թ uma função e A , B 
subconjuntos tais que ܣ ك X, ܤ ك Թ , definimos os conjuntos ݂ሺܣሻ ൌ
ሼ݂ሺݔሻ; ݔ א ܣሽ e ݂ିଵሺܤሻ ൌ ሼݔ א X; ݂ሺݔሻ א ܤሽ . Estes conjuntos são 
denominados de imagem direta do conjunto ܣ pela função f e imagem 
inversa do conjunto B pela função f, respectivamente. 
 
Definição 10. Uma função ݂: X ك Թ ՜ Թ é contínua no ponto 
ܽ א X quando ׊ ߝ ൐ 0, ׌ ߜ ൌ ߜሺߝ, ܽሻ ൐ 0 tal que ݔ א X e ݂ሺ ఋܸሺܽሻ ת
Xሻ ؿ ఌܸሺ݂ሺܽሻሻ. Observamos que a condição, 
݂ሺ ఋܸሺܽሻ ת Xሻ ؿ ఌܸሺ݂ሺܽሻሻ, 
 é equivalentemente a: 
ݔ א X, ݁ |ݔ െ ܽ| ൏ ߜ ฺ |݂ሺݔሻ െ ܮ| ൏ ߝ. 
Uma função que não é contínua no ponto a é dita descontínua no ponto a, e 
uma função contínua em todos os pontos ܽ א Y é dita contínua no 
conjunto Y. 
 
Ampliando seu Conhecimento 
 
 Observação 5. Se X é um conjunto discreto, isto é, se todos os pontos de X 
são isolados então qualquer função ߮: X ك Թ ՜ Թ é contínua em todo ponto ܽ א X. 
De fato, dado ߝ ൐ 0, considere ߜ ൐ 0 tal que ఋܸሺܽሻ ת X ൌ ሼܽሽ. Logo, ݂ሺ ఋܸሺܽሻ ת
Xሻ ൌ ሼ݂ሺܽሻሽ ؿ ఌܸ൫݂ሺܽሻ൯. 
Observação 6. Se ܽ א X ת XԢ então f é contínua em a, se e somente se, 
݈݅݉௫՜௔ ݂ሺݔሻ ൌ ݂ሺܽሻ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 44
Ampliando seu Conhecimento 
 
Observação 7. Ao investigar a continuidade de uma função num ponto ou 
num conjunto, devemos sempre levar em conta o domínio de f. A afirmação “ f é 
contínua em cada ponto ܽ א ܻ então ݂|ܻ é uma função contínua” é sempre 
verdadeira mas, a recíproca, em geral, é falsa. Basta considerar Y um conjunto 
finito, ou mais geralmente, Y um conjunto discreto. 
 
 
Exemplo 1.9 
 
Seja ߮: ሾ0,1ሿ ՜ Թ dada por ߮ሺݔሻ ൌ ൜
1, ݏ݁ ݔ א Է ת ሾ0,1ሿ
0 , ݏ݁ ݔ ב Է ת ሾ0,1ሿ . 
 
A função ߮ é descontínua em todos os pontos de ሾ0,1ሿ. 
 
Exemplo 1.10 
 
 Considere a função 
݃ሺݔሻ ൌ ቊݔݏ݁݊ ቀ
1
ݔቁ , ݏ݁ ݔ ് 0
0 , ݏ݁ ݔ ൌ 0.
 . 
Temos que ܺ ൌ Թ, ܽ ൌ 0 é ponto de acumulação de ܺ e 
݈݅݉௫՜଴ ݔݏ݁݊ ቀ
1
ݔቁ ൌ 0 ൌ ݃ሺ0ሻ. Logo, ݃ é contínua em ܽ ൌ 0. 
 
Exemplo 1.11 
 
Combinação e composição de funções contínuas 
 
1. Se ݂, ݃: ܦ ՜ Թ são funções contínuas no ponto ݔ ൌ ܽ, então as 
combinações ݂ ൅ ߣ݃, ݂ · ݃, |݂| ݁ ݂݃ ሺ ݏ݁ ݃ሺݔሻ ് 0, ׊ ݔ א ܦሻ são 
contínuas no ponto ݔ ൌ ܽ. 
2. Se ݂: ܦ ՜ Թ é contínua no ponto ݔ ൌ ܽ, ݂ሺܦሻ ؿ ܧ e ݃: ܧ ՜ Թ é 
contínua em ܾ ൌ ݂ሺܽሻ, então ݃ ל ݂; ܦ ՜ Թ é contínua em ݔ ൌ ܽ. 
 
Teorema. Uma função ݂: Թ ՜ Թ é contínua, se e somente se, 
݂ିଵሺܣሻ é aberto para qualquer ܣ ك Թ aberto. 
 
Demonstração: Suponhamos f contínua e seja ܣ ك Թ aberto. Se 
ܽ א ݂ିଵሺܣሻ ฺ ݂ሺܽሻ א ܣ ฺ ׌ ߝ ൐ 0; ఌܸ൫݂ሺܽሻ൯ ؿ ܣ. Como f é 
contínua em ܽ, isto implica que, existe ߜ ൐ 0 tal que: 
݂ሺ ఋܸሺܽሻሻ ؿ ఌܸ൫݂ሺܽሻ൯ ؿ ܣ ฺ ఋܸሺܽሻ ؿ ݂ିଵሺܣሻ. 
Logo ܣ é aberto. 
Reciprocamente, suponhamos por absurdo que f não é contínua em 
ݔ ൌ ܽ, então existe ߝ ൐ 0, tal que para qualquer ߜ ൐ 0, existe 
 ݔ א ఋܸሺܽሻ ݁ ݂ሺݔሻ ב ఌܸ൫݂ሺܽሻ൯. Mas, ܣ ൌ ఌܸ൫݂ሺܽሻ൯ é aberto e 
݂ିଵ ቀ ఌܸ൫݂ሺܽሻ൯ቁ ൌ ܤ não é aberto, porque ݂ሺܽሻ א ܤ mas não é ponto 
interior de ܤ. 
 
 
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Teorema. Se ܭ é um compacto e ݂: Թ ՜ Թ é contínua então 
ܮ ൌ ݂ሺܭሻ é compacto. 
Demonstração: Seja ሼܤఒሽ uma cobertura aberta de ܮ, isto é, cada 
ܤఒ é um aberto e ܮ ؿ ڂሼܤఒሽ. Seja ܣఒ ൌ ݂ିଵሼܤఒሽ. Temos que ሼܣఒሽ é uma 
cobertura aberta do compacto ܭ, portanto, admite uma subcobertura 
finita: 
ܭ ؿ ܣఒభڂܣఒమڂ … ڂܣఒ೛ Logo ܮ ൌ ݂ሺܭሻ ؿ ܤఒభڂܤఒమڂ … ڂܤఒ೛ 
 
Corolário. Toda função contínua ݂: ܭ ՜ Թ, ܭ compacto, é 
limitada e atinge seus extremos. 
Demonstração: Como ܮ ൌ ݂ሺܭሻ é compacto, temos ݂ሺܭሻ é 
fechado e limitado. Logo f é limitada. Assim, se denotarmos por 
ݏ ൌ ݂݅݊ ݂, ܵ ൌ ݏݑ݌ ݂ temos que ݏ, ܵ pertencem ao conjunto 
݂ሺܭሻതതതതതതത ൌ ݂ሺܭሻ

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