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Aula 15 - Logica

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Augusto Reis UFPI Introdução à lógica Matemática. 
 
Página 1 
 
 
 
#Aula 1 - Introdução a lógica. 
 
 Conjuntos 
 
- Conjunto é uma coleção de elementos, podendo ser essa coleção 
formada por apenas um elemento ou tanto quanto se possa ter. 
 Notação. 
- Usaremos Letras maiúsculas do alfabeto para denotar conjuntos 
e as letras minúsculas para denotar elementos. 
 Exemplo1: 
A = {b,c,d} 
- onde “A” é o conjunto e “a,b,c” são os elementos. 
 Definições. 
 
 Definição1 [Pertinência] 
- Diremos que “x” pertence a “A” se “x” é um elemento de “A”, ou 
seja, se “x” é um elemento que está “dentro” de “A”. A relação de 
“pertinência” ocorre quando um elemento esta dentro de um 
conjunto. Lembre que a relação de pertinência é feita sempre de 
elemento para conjunto, respectivamente. 
- Denotamos a relação na qual “x” pertence a “A” pelo símbolo 
“ ”. 
- Logo, no caso acima, temos que “x A”. Onde “x” é um elemento 
que está dentro de “A” que é um conjunto. Também podemos escrever 
a forma negativa, isto é, quando “x” não é um elemento de “A”, que 
é denotado por “x A” (lê-se: “x” não pertence a “A”) 
 Definição2 [Continência] 
- Se o conjunto “A” é formado por uma série de elementos e todos 
esses elementos são também pertencentes a outro conjunto “B”, isso 
significa que “A” está contido em “B”. 
Augusto Reis UFPI Introdução à lógica Matemática. 
 
Página 2 
 
 
- A relação de “continência” dá-se apenas de conjuntos para 
conjuntos. 
- Simbolicamente a relação “está contido” ou “contem” é 
denotada pelo símbolo “ ”. E possui também duas formas negativas, 
são elas, “ ”( Não está contido), “ ”(Não contem). 
- No caso acima, suponha que “A = {a,b,c}” e “B = {a,b,c,d}”. 
Perceba que pelas definições apresentadas, “A B” (lê-se “A” está 
contido em “B”) que ainda pode ser lido de outra forma (dependendo 
da posição do símbolo) equivalente “B A” (“B” contém “A”). Nesse 
exemplo ainda podemos afirmar que “B A” (“B” não está contido em 
“A”) ou ainda “A B” (“A” não contém “B”). 
- Também usamos a seguinte relação para demonstrar a 
continência de conjuntos no caso “está contido”. 
[Se “A B”, então “x A” “x B”]. 
Na relação acima,“x” representa a serie de elementos que 
estão contidos em “A”. 
 Definição3 [Igualdade] 
- Dizemos que dois conjuntos são iguais quando os elementos de 
um também são elementos do outro. 
- Outra forma de reafirmar nosso pensamento é dizer que, se “x 
A” e “x B”, então “A = B”. Sabendo que “x” representa os 
elementos do conjunto “A”. 
 Definição4 [Subconjunto] 
- dizemos que um conjunto é Subconjunto de outro, quando é 
satisfeita a relação de “continência”, no caso: “está contido”. 
Pontando, se “A” está contido em “B”(A B) então “A” é 
subconjunto de “B”. 
 Teoremas 
 
 Teorema1: “A A”. [Reflexividade] 
 
 Teorema2: “Se “A B” e “B C”, então “A C””. 
[Transitividade] 
 
 Teorema3: “Se a “A B” e “B A”, então “A B”” 
[Igualdade] 
Augusto Reis UFPI Introdução à lógica Matemática. 
 
Página 3 
 
 
 
 
 Demonstração Teorema1: “A A” 
- Seja “x” um elemento e “A” um conjunto, de forma que seja 
verdade que “x A”. 
- Pela definição de continência, temos que: “Se os elementos de 
um dado conjunto “X” também são os elementos de outro conjunto 
“Y”, então “X Y”. 
- Veja que os elementos de “A” estão “A” (o que é obvio!), 
portanto “A A”. 
- Afirmamos ainda. “Todo conjunto está contido nele mesmo”. 
 
 
 Demonstração Teorema2: “Se “A B” e “B C”, então “A C””. 
[Transitividade] 
- Se “A B” então ocorre que “x A” “x B” e se, “B C”, 
estão “x B” “x C”. 
- Juntando essas duas considerações, obtemos em termos 
lógicos o seguinte: “(x A” “x B) (x B” “x C)”, e 
pelo “Silogismo Hipotético”, é válido que “x A” “x C”. Isso 
é equivalente a dizer que “A C”. O que comprova nossa tese e 
valida o teorema. 
 
 
 Demonstração Teorema3: “Se a “A B” e “B A”, então “A 
B””. 
[Forma 1 - Fatores lógicos] 
- Se “A B”, então “x A” “x B”. E se “B A”, então “x 
 b” “x a”. 
- juntando essas duas considerações em fatores lógicos, obtemos 
que: “(x A” “x B) (x B” “x A)” se isso ocorre, é 
valido que “x A” “x B” isso significa que “A = B”. 
Augusto Reis UFPI Introdução à lógica Matemática. 
 
Página 4 
 
 
 
 
 
 
[Forma 2 - Deduções diretas] 
- Veja que se “x” é um elemento pertencente ao conjunto “A” e 
ainda, esse mesmo “x” é também elemento de outro conjunto “B”, 
então é claro que “A B” e “B A”, haja vista que ambos possuem 
os mesmos elementos, também é fácil perceber se dois conjuntos tem 
exatamente os mesmos elementos, eles são iguais. Portanto, de fato 
“A = B”. 
 
[Forma 3 - Gerando Absurdo]. 
- Suponha por Hipotese1 que “x” seja um elemento do conjunto “A” 
e que esse mesmo “x” também seja elemento de um conjunto “B”, e 
que “A B”. 
- Se “A” e “B” possuem os mesmos elementos, logo, por hipótese 
de construção “A = B”, porém, pela Hipotese1, “A B”. 
- Concluímos, então, por via das implicações acima que, de fato, 
A = B 
 
 Quantificador Existencial. 
 
- Considere um conjunto “A” e uma propriedade “P(x)” sobre esse 
conjunto, sempre que “x A” implica que “P(x) não é falso”. “x” 
representa uma série de elementos que pertencem a “A”. Com isso, 
escrevemos: 
( x A)(P(x)) ou (“ x A” ; “P(x)”) 
- Ambas são lidas: “Existe um “x” pertencente a “A” tal que a 
propriedade “P(x)” é satisfeita”. 
- Veja que “x A P(x) é verdadeira”. Se isso ocorre é 
válido as seguintes afirmações (Todas equivalentes entre si): 
Augusto Reis UFPI Introdução à lógica Matemática. 
 
Página 5 
 
 
 
 
 “ x A ; P(x) é válida”. 
 
 Existe pelo menos um “x” pertencente a “A” que faz com que 
a propriedade “P(x)” seja verdadeira. 
 
 Existe algum “x” pertencente a “A” de modo que “P(x)” é 
satisfeita. 
- Se por um acaso existir um elemento “x0” pertencente a “A” 
de modo que ocorra “x0 A P(x) é Falsa”. Então esse elemento x0 
é chamado de “contra exemplo”. 
 Quantificador Universal. 
 
- Considere certo conjunto “B” e uma propriedade “Q(y)” sobre 
esse conjunto, sempre que “y B” implica que “Q(y)” é verdadeira. 
“y” representa uma serie de elementos pertencentes ao conjunto 
“B”. Com isso, escrevemos: 
( y B)(Q(y)) ou (“ y B” ; “Q(y)”) 
- Ambas são lidas: “Para todo “y” pertencente a “B” tal que a 
propriedade “Q(y)” é satisfeita”. 
- Veja que “y B Q(y) é verdadeira”. Se isso ocorre é 
válido as seguintes afirmações (Todas equivalentes entre si): 
 “ y B ; Q(y) é válida”. 
 
 Todo elemento “y” pertencente a “B” faz com que a 
propriedade “Q(y)” seja verdadeira. 
 
 Todo “y” pertencente a “B” torna válida a propriedade 
Q(y). 
- Se por um acaso existir um elemento “y0” pertencente a “B” 
de modo que ocorra “y0 B Q(y) é Falsa”. Então esse elemento 
“y0” é chamado de “contra exemplo”. 
 
 
Augusto Reis UFPI Introdução à lógica Matemática. 
 
Página 6 
 
 
 
 
 Exemplificação sobre quantificadores. 
 
 Exemplo1: “Se “n” pertence ao conjunto dos números naturais, 
então “n*0 = 0””. 
- Primeiramente vamos colocar essa afirmação na forma de 
sentença condicional, com isso obtemos: 
“n n*0 = 0” 
- E Sabemos que isso é verdade. Portanto, Podemos dizer que: 
“n n*0 = 0” 
- Associando esse exemplo com a forma genéricaapresentada 
( y B)(Q(y)) ou (“ y B” ; “Q(y)”). 
Temos que o conjunto dos números naturais representa o conjunto 
“B”. “n” representa a serie de elementos “y”. E “n*0 = 0” 
representa a propriedade “Q(y)”. 
Logo, como sabemos que todo número natural multiplicado por 
zero é igual à zero, escrevemos a sentença inicialmente dada como: 
( n )(n*0 = 0) ou (“ n ” ; “n*0 = 0”). 
 
 
 Exemplo2: “Se “r” pertence ao conjunto dos números naturais, 
então “r*1 = 1””. 
 - Primeiramente vamos colocar essa afirmação na forma de 
sentença condicional, com isso obtemos: 
“r r*1 = 1” 
Associando esse exemplo com a forma genérica apresentada 
“( x A)(P(x))” ou (“ x A” ; “P(x)”) 
Temos que o conjunto dos números naturais representa o conjunto 
“A”. “r” representa a serie de elementos “x”. “n*1 = 1” representa 
a propriedade “P(x)”. 
Augusto Reis UFPI Introdução à lógica Matemática. 
 
Página 7 
 
 
Perceba que essa condição é satisfeita apenas para o caso onde 
“r = 1”, e não para todos os elementos do conjunto. Dito isso, 
perceba que existe pelo menos um elemento que torna essa afirmação 
inicial valida, ou seja, existe em elemento que faz com que: 
“r r*1 = 1”. 
Portanto, escrevemos a sentença inicialmente dada como: 
( r )(r*1 = 1) ou (“ r ” ; “r*1 = 1”) 
 
 Axiomas. 
 
 A1 - [Extensão]: Dois conjuntos são iguais, se e somente se, 
tem o mesmo elemento. 
 
 A2 - [Especificação]: Dado um conjunto “A”, toda propriedade 
“p(x)” sobre “A” compreende também um conjunto “B”, cujos 
elementos “x” pertencentes a “A” fazem valer P(x). 
 
 A3 - [Reunião]: Para quaisquer coleção de conjuntos, existe 
um conjunto que contem todos os elementos que pertencem pelo 
menos a um dos conjuntos da coleção. 
 
 A4 - [Conjunto das Partes]: Existe uma propriedade “P” sobre 
todo um conjunto “A”, de forma a se ter a propriedade “P(A)”, 
sobre esse conjunto, tal que, o conjunto “Y”(com “z” 
elementos) também satisfaz “P(A)” se, e somente se, “z Y”, 
então “z X”. 
 
 A5 - [Regularidade]: Dado um conjunto “A” existe um 
subconjunto “B”(Sendo “B” um subconjunto de “A”), tal que, 
“A” e “B” são disjuntos. 
 
 A6 - [Axioma do Par]: Dados dois conjuntos quaisquer, existe 
outro certo conjunto que os contem.

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