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Augusto Reis UFPI Introdução à lógica Matemática. Página 1 #Aula 1 - Introdução a lógica. Conjuntos - Conjunto é uma coleção de elementos, podendo ser essa coleção formada por apenas um elemento ou tanto quanto se possa ter. Notação. - Usaremos Letras maiúsculas do alfabeto para denotar conjuntos e as letras minúsculas para denotar elementos. Exemplo1: A = {b,c,d} - onde “A” é o conjunto e “a,b,c” são os elementos. Definições. Definição1 [Pertinência] - Diremos que “x” pertence a “A” se “x” é um elemento de “A”, ou seja, se “x” é um elemento que está “dentro” de “A”. A relação de “pertinência” ocorre quando um elemento esta dentro de um conjunto. Lembre que a relação de pertinência é feita sempre de elemento para conjunto, respectivamente. - Denotamos a relação na qual “x” pertence a “A” pelo símbolo “ ”. - Logo, no caso acima, temos que “x A”. Onde “x” é um elemento que está dentro de “A” que é um conjunto. Também podemos escrever a forma negativa, isto é, quando “x” não é um elemento de “A”, que é denotado por “x A” (lê-se: “x” não pertence a “A”) Definição2 [Continência] - Se o conjunto “A” é formado por uma série de elementos e todos esses elementos são também pertencentes a outro conjunto “B”, isso significa que “A” está contido em “B”. Augusto Reis UFPI Introdução à lógica Matemática. Página 2 - A relação de “continência” dá-se apenas de conjuntos para conjuntos. - Simbolicamente a relação “está contido” ou “contem” é denotada pelo símbolo “ ”. E possui também duas formas negativas, são elas, “ ”( Não está contido), “ ”(Não contem). - No caso acima, suponha que “A = {a,b,c}” e “B = {a,b,c,d}”. Perceba que pelas definições apresentadas, “A B” (lê-se “A” está contido em “B”) que ainda pode ser lido de outra forma (dependendo da posição do símbolo) equivalente “B A” (“B” contém “A”). Nesse exemplo ainda podemos afirmar que “B A” (“B” não está contido em “A”) ou ainda “A B” (“A” não contém “B”). - Também usamos a seguinte relação para demonstrar a continência de conjuntos no caso “está contido”. [Se “A B”, então “x A” “x B”]. Na relação acima,“x” representa a serie de elementos que estão contidos em “A”. Definição3 [Igualdade] - Dizemos que dois conjuntos são iguais quando os elementos de um também são elementos do outro. - Outra forma de reafirmar nosso pensamento é dizer que, se “x A” e “x B”, então “A = B”. Sabendo que “x” representa os elementos do conjunto “A”. Definição4 [Subconjunto] - dizemos que um conjunto é Subconjunto de outro, quando é satisfeita a relação de “continência”, no caso: “está contido”. Pontando, se “A” está contido em “B”(A B) então “A” é subconjunto de “B”. Teoremas Teorema1: “A A”. [Reflexividade] Teorema2: “Se “A B” e “B C”, então “A C””. [Transitividade] Teorema3: “Se a “A B” e “B A”, então “A B”” [Igualdade] Augusto Reis UFPI Introdução à lógica Matemática. Página 3 Demonstração Teorema1: “A A” - Seja “x” um elemento e “A” um conjunto, de forma que seja verdade que “x A”. - Pela definição de continência, temos que: “Se os elementos de um dado conjunto “X” também são os elementos de outro conjunto “Y”, então “X Y”. - Veja que os elementos de “A” estão “A” (o que é obvio!), portanto “A A”. - Afirmamos ainda. “Todo conjunto está contido nele mesmo”. Demonstração Teorema2: “Se “A B” e “B C”, então “A C””. [Transitividade] - Se “A B” então ocorre que “x A” “x B” e se, “B C”, estão “x B” “x C”. - Juntando essas duas considerações, obtemos em termos lógicos o seguinte: “(x A” “x B) (x B” “x C)”, e pelo “Silogismo Hipotético”, é válido que “x A” “x C”. Isso é equivalente a dizer que “A C”. O que comprova nossa tese e valida o teorema. Demonstração Teorema3: “Se a “A B” e “B A”, então “A B””. [Forma 1 - Fatores lógicos] - Se “A B”, então “x A” “x B”. E se “B A”, então “x b” “x a”. - juntando essas duas considerações em fatores lógicos, obtemos que: “(x A” “x B) (x B” “x A)” se isso ocorre, é valido que “x A” “x B” isso significa que “A = B”. Augusto Reis UFPI Introdução à lógica Matemática. Página 4 [Forma 2 - Deduções diretas] - Veja que se “x” é um elemento pertencente ao conjunto “A” e ainda, esse mesmo “x” é também elemento de outro conjunto “B”, então é claro que “A B” e “B A”, haja vista que ambos possuem os mesmos elementos, também é fácil perceber se dois conjuntos tem exatamente os mesmos elementos, eles são iguais. Portanto, de fato “A = B”. [Forma 3 - Gerando Absurdo]. - Suponha por Hipotese1 que “x” seja um elemento do conjunto “A” e que esse mesmo “x” também seja elemento de um conjunto “B”, e que “A B”. - Se “A” e “B” possuem os mesmos elementos, logo, por hipótese de construção “A = B”, porém, pela Hipotese1, “A B”. - Concluímos, então, por via das implicações acima que, de fato, A = B Quantificador Existencial. - Considere um conjunto “A” e uma propriedade “P(x)” sobre esse conjunto, sempre que “x A” implica que “P(x) não é falso”. “x” representa uma série de elementos que pertencem a “A”. Com isso, escrevemos: ( x A)(P(x)) ou (“ x A” ; “P(x)”) - Ambas são lidas: “Existe um “x” pertencente a “A” tal que a propriedade “P(x)” é satisfeita”. - Veja que “x A P(x) é verdadeira”. Se isso ocorre é válido as seguintes afirmações (Todas equivalentes entre si): Augusto Reis UFPI Introdução à lógica Matemática. Página 5 “ x A ; P(x) é válida”. Existe pelo menos um “x” pertencente a “A” que faz com que a propriedade “P(x)” seja verdadeira. Existe algum “x” pertencente a “A” de modo que “P(x)” é satisfeita. - Se por um acaso existir um elemento “x0” pertencente a “A” de modo que ocorra “x0 A P(x) é Falsa”. Então esse elemento x0 é chamado de “contra exemplo”. Quantificador Universal. - Considere certo conjunto “B” e uma propriedade “Q(y)” sobre esse conjunto, sempre que “y B” implica que “Q(y)” é verdadeira. “y” representa uma serie de elementos pertencentes ao conjunto “B”. Com isso, escrevemos: ( y B)(Q(y)) ou (“ y B” ; “Q(y)”) - Ambas são lidas: “Para todo “y” pertencente a “B” tal que a propriedade “Q(y)” é satisfeita”. - Veja que “y B Q(y) é verdadeira”. Se isso ocorre é válido as seguintes afirmações (Todas equivalentes entre si): “ y B ; Q(y) é válida”. Todo elemento “y” pertencente a “B” faz com que a propriedade “Q(y)” seja verdadeira. Todo “y” pertencente a “B” torna válida a propriedade Q(y). - Se por um acaso existir um elemento “y0” pertencente a “B” de modo que ocorra “y0 B Q(y) é Falsa”. Então esse elemento “y0” é chamado de “contra exemplo”. Augusto Reis UFPI Introdução à lógica Matemática. Página 6 Exemplificação sobre quantificadores. Exemplo1: “Se “n” pertence ao conjunto dos números naturais, então “n*0 = 0””. - Primeiramente vamos colocar essa afirmação na forma de sentença condicional, com isso obtemos: “n n*0 = 0” - E Sabemos que isso é verdade. Portanto, Podemos dizer que: “n n*0 = 0” - Associando esse exemplo com a forma genéricaapresentada ( y B)(Q(y)) ou (“ y B” ; “Q(y)”). Temos que o conjunto dos números naturais representa o conjunto “B”. “n” representa a serie de elementos “y”. E “n*0 = 0” representa a propriedade “Q(y)”. Logo, como sabemos que todo número natural multiplicado por zero é igual à zero, escrevemos a sentença inicialmente dada como: ( n )(n*0 = 0) ou (“ n ” ; “n*0 = 0”). Exemplo2: “Se “r” pertence ao conjunto dos números naturais, então “r*1 = 1””. - Primeiramente vamos colocar essa afirmação na forma de sentença condicional, com isso obtemos: “r r*1 = 1” Associando esse exemplo com a forma genérica apresentada “( x A)(P(x))” ou (“ x A” ; “P(x)”) Temos que o conjunto dos números naturais representa o conjunto “A”. “r” representa a serie de elementos “x”. “n*1 = 1” representa a propriedade “P(x)”. Augusto Reis UFPI Introdução à lógica Matemática. Página 7 Perceba que essa condição é satisfeita apenas para o caso onde “r = 1”, e não para todos os elementos do conjunto. Dito isso, perceba que existe pelo menos um elemento que torna essa afirmação inicial valida, ou seja, existe em elemento que faz com que: “r r*1 = 1”. Portanto, escrevemos a sentença inicialmente dada como: ( r )(r*1 = 1) ou (“ r ” ; “r*1 = 1”) Axiomas. A1 - [Extensão]: Dois conjuntos são iguais, se e somente se, tem o mesmo elemento. A2 - [Especificação]: Dado um conjunto “A”, toda propriedade “p(x)” sobre “A” compreende também um conjunto “B”, cujos elementos “x” pertencentes a “A” fazem valer P(x). A3 - [Reunião]: Para quaisquer coleção de conjuntos, existe um conjunto que contem todos os elementos que pertencem pelo menos a um dos conjuntos da coleção. A4 - [Conjunto das Partes]: Existe uma propriedade “P” sobre todo um conjunto “A”, de forma a se ter a propriedade “P(A)”, sobre esse conjunto, tal que, o conjunto “Y”(com “z” elementos) também satisfaz “P(A)” se, e somente se, “z Y”, então “z X”. A5 - [Regularidade]: Dado um conjunto “A” existe um subconjunto “B”(Sendo “B” um subconjunto de “A”), tal que, “A” e “B” são disjuntos. A6 - [Axioma do Par]: Dados dois conjuntos quaisquer, existe outro certo conjunto que os contem.
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