EXERCICIOS RESOLVIDOS DE MECANICA DOS SO

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
DE MECÂNICA DOS SOLOS
RÔMULO CASTELLO H. RIBEIRO
ÍNDICE
	1- TENSÕES TOTAIS, PORO-PRESSÕES E TENSÕES EFETIVAS.............................
	3
	2- CAPILARIDADE................................................................................................................
	10
	3- TENSÕES NO SOLO DEVIDAS A CARREGAMENTOS EXTERNOS.....................
	15
	4- RECALQUES UNIDIMENSIONAIS...............................................................................
	19
	5- O ADENSAMENTO UNIDIMENSIONAL DE TERZAGHI.........................................
	24
	6- FLUXO EM MEIOS POROSOS.......................................................................................
	36
1- TENSÕES TOTAIS, PORO-PRESSÕES E TENSÕES EFETIVAS
1.1. Demonstre as seguintes equações: 
a) 
												
b) 
												
c) 
										
Solução:
a) Com base na figura 1.1, a tensão total (σ) existente no plano p pode ser obtida a partir do seguinte desenvolvimento:
Figura 1.1 – Prisma de solo estratificado aplicando tensão no plano P
b) Para o solo saturado descrito na figura 1.2, a força total (W) aplicada em uma área total (A) é: 
												(i) 
onde: N’i = Força normal entre grãos, u = poro-pressão e Aw = área de água.
Figura 1.2 – Detalhe do arcabouço sólido de um solo saturado
Dividindo-se os lados direito e esquerdo da equação (i), por A (área total = área de água + área dos contatos), tem-se:
										(ii)
Desprezando-se a área dos contatos, que segundo Craig (1974) varia de 1% a 3% da área total, tem-se que: A = Aw. Desta forma, a equação (ii) fica com o seguinte formato:
c) Para o solo parcialmente saturado descrito na figura 1.3, a força total W aplicada em uma área total (A) é a seguinte:
 
											(iii)
Figura 1.3 - Detalhe do arcabouço sólido de um solo não saturado
											
Dividindo-se os lados direito e esquerdo da equação (iii), por A (área total = área de água + área dos contatos + área de ar), tem-se:
										
Sabendo-se que, por definição, X = Aw/A e que A = Ac + Aw + Aa , tem-se:
										
Desprezando a área dos contatos (Ac), vem:
					(iv)
Rearranjando a equação (iv), tem-se:
 
										
1.2. Determine as tensões totais, as poro-pressões e as tensões efetivas atuantes às cotas -2m, -5m, -8m e -12m, mostradas na figura 1.4.
Obs.: Arbitre os dados faltantes.
Figura 1.4 – Perfil geotécnico
Solução:
1.2.1. Determinação do parâmetro faltante: para o cálculo de tensões totais em níveis abaixo da cota –2m faz-se necessário o conhecimento do peso específico saturado da areia grossa. Tal parâmetro pode ser determinado a partir de relações matemáticas entre índices físicos, tais como:
 ou 
onde:
Considerando S = 100% e arbitrando-se Gs = 2,65, tem-se: e = 2,65.0,2 = 0,53. 
Sabendo que (s = Gs.(w = 2,65.10 = 26,5kN/m³, tem-se: 
1.2.2. Determinação das tensões totais:
- Na cota –2m: 
- Na cota –5m: 
 
- Na cota –8m: 
 
- Na cota –12m: 
1.2.3. Determinação das poro-pressões:
- Na cota –2m: 
- Na cota –5m: 
 
- Na cota –8m: 
 
- Na cota –12m: 
 1.2.4. Determinação das tensões efetivas:
- Na cota –2m: 
- Na cota –5m: 
- Na cota –8m: 
 
- Na cota –12m: 
1.3. Calcule a tensão efetiva que atua à cota –13m do perfil mostrado na figura 1.5.
Figura 1.5 - Perfil geotécnico
Solução:
1.3.1. Tensão total na cota –13m: 
;
1.3.2. Poro-pressão na cota –13m: 
;
1.3.3 Tensão efetiva na cota –13m: 
.
1.4. No terreno mostrado na questão 1.3, vai ser executada uma escavação de grandes dimensões (em planta) e 5m de profundidade. Em função dessa escavação, verifique a provável ocorrência de ruptura hidráulica do solo situado acima da cota –13m. 
Solução:
Após a escavação, o perfil deve ficar com a seguinte configuração:
Figura 1.6 - Perfil geotécnico
Na cota –13m, a tensão total ( = 3.10+2.18+6.19 = 180 kPa, e de acordo com o artesianismo verificado na questão 2, a poro-pressão é igual a 180kPa. Portanto, como ( = u, é provável que ocorra ruptura hidráulica do solo situado acima da cota –13m.
1.5. De acordo com o perfil descrito na figura 1.7, calcule as tensões totais, poro-pressões e tensões efetivas existentes na superfície, a 6m, a 8m e a 11m de profundidade.
Figura 1.7 - Perfil geotécnico
Solução:
	Profundidade
	Tensões
	Poro-pressões
	Tensões
	(m)
	Totais (kPa)
	(kPa)
	Efetivas (kPa)
	0
	0
	0
	0
	6
	6.18=108
	6.10=60
	108-60=48
	8
	108+2.20=148
	0
	148-0=148
	11
	148+3.18,5=203,5
	0
	203,5-0=203,5
1.6. Calcular a tensão efetiva existente à cota –9m do perfil mostrado na figura 1.8. Refazer os cálculos com o nível d’água na cota +25m e, em seguida, na cota –1m. 
Obs.: Arbitrar dados faltantes.
Figura 1.8 - Perfil geotécnico
Solução:
1.6.1. Determinação dos parâmetros faltantes: (sat da areia fina e (sat da argila siltosa:
O índice de vazios (e) da areia fina pode ser determinado a partir de uma relação matemática com a porosidade: 
. 
Daí o peso específico saturado da areia fina é: 
Arbitrando-se Gs=2,65 e S=100% para a argila siltosa, tem-se: 
. Desta forma, o peso específico saturado da argila siltosa é: 
.
1.6.2. Cálculo da tensão efetiva na cota –9m com o NA na cota +1:
5.3. Cálculo da tensão efetiva na cota –9m com o NA na cota +25:
1.6.3. Cálculo da tensão efetiva na cota –9m com o NA na cota –1 (admitindo-se que acima da cota –1m o solo se encontra saturado por capilaridade):
1.7. Calcular as variações de tensões efetivas às cotas ( 7m e ( 11m, mostradas na figura 1.9, após a realização de um rebaixamento do NA para a cota ( 3m, concomitantemente com o lançamento de um aterro ((d = 16 kN/m3 e w = 18,2%) até a cota + 5m.
Figura 1.9 - Perfil geotécnico
Solução:
1.7.1. Obtenção dos parâmetros faltantes: (nat da argila orgânica e (sat da areia fofa:
O índice de vazios (e) da argila pode ser determinado da seguinte forma: 
. 
Portanto, o peso específico natural da argila é: 
Considerando que a areia fina está saturada e arbitrando-se Gs = 2,65, tem-se: 
1.7.2. Cálculo da tensão efetiva inicial na cota –7m:
1.7.3. Cálculo da tensão efetiva inicial na cota –11m:
1.7.4. Cálculo da tensão efetiva final na cota –7m (para um tempo infinito), considerando que o grau de saturação da argila orgânica permanece constante: 
O peso específico natural do aterro é o seguinte:
1.7.5. Cálculo da tensão efetiva final na cota –11m (para um tempo infinito), considerando que o grau de saturação da argila orgânica permanece constante: 
1.7.6. Resposta final:
A variação da tensão efetiva na cota –7m é : ((’ = 153,68-20,22 = 133,46 kPa;
A variação da tensão efetiva na cota –11m é : ((’ = 187-53,54 = 133,46 kPa.
A variação da tensão efetiva para todos os níveis abaixo da cota –3 é: 
Onde: h1 = espessura do aterro = 6m e h2 = variação do nível d’água abaixo da superfície da argila orgânica = 2m.
2- CAPILARIDADE
2.1. Demonstre as seguintes equações:
a) 
b) 
c) 
Solução:	
a) De acordo com a situação hidrostática apresentada na figura 2.1, tem-se o seguinte equilíbrio de forças:
Onde: Ts = tensão superficial, D = diâmetro capilar, α = ângulo entre a tensão superficial e o eixo vertical e hc = altura de ascensão capilar.
Figura 2.1 – Esquema de ascensão da água em um tubo capilar
Portanto, a altura de ascensão capilar pode ser calculada através da seguinte equação:
												(i)
b) Ampliando-se o menisco capilar mostrado na figura 2.1, verifica-se que a tensão capilar (sucção = ua - uw) está em equilíbrio com a tensão superficial atuante ao longo do perímetro molhado, da seguinte forma:
Figura 2.2 – Configuraçãode tensões na interface ar/água em tubo capilar
Portanto, a sucção pode ser obtida a partir da seguinte equação:
											(ii)
c) De acordo com as equações (i) e (ii), a poro-pressão de água existente na zona de ascensão capilar, pode ser determinada a partir da seguinte derivação:
Obs.: A pressão de ar, em termos absolutos, é igual a aproximadamente 100kPa (pressão atmosférica). Em termos relativos ua = 0.
2.2. Calcule a altura máxima de ascensão capilar para o solo descrito na figura 2.3. Admita que o diâmetro dos poros é aproximadamente igual ao diâmetro efetivo dos sólidos.
Figura 2.3 - Perfil geotécnico
Solução
onde: Ts = 0,075gf/cm; D = 0,0075cm; (w=1gf/cm³ e α = 0 (para uma altura máxima de ascensão capilar).
2.3. Com base no exercício 2.2, calcule a tensão efetiva existente a 60 cm de profundidade. Sabe-se que o peso específico total da areia fina é de 18 kN/m³.
Solução:
 
2.4. Traçar os diagramas de tensões totais, poro-pressões e tensões efetivas atuantes às cotas indicadas na figura 2.4. Sabe-se que o solo situado acima do NA encontra-se saturado por capilaridade.
Figura 2.4 - Perfil geotécnico
Solução:
2.4.1. Quadro de Cálculos:
	Cotas (m)
	 (kPa)
	u (kPa)
	' (kPa)
	0
	0
	-(3.10)=-30
	0-(-30)=30
	-3
	3.18=54
	0
	54-0=54
	-8
	54+5.18=144
	5.10=50
	144-50=94
	-13
	144+5.15=219
	10.10=100
	219-100=119
	-19
	219+6.20=339
	16.10=160
	339-160=179
2.4.2. Diagramas:
2.4.2.1. Tensões Totais:
2.4.2.2. Poro-pressões:
2.4.2.3. Tensões Efetivas:
2.5. Sabendo que o silte argiloso da questão 2.4 possui uma altura máxima de ascensão capilar de 10m, calcule o ângulo α existente à cota zero. 
Solução
De acordo com a altura máxima de ascensão capilar é possível determinar-se o diâmetro dos poros:
A sucção na cota zero é a seguinte:
Finalmente, o ângulo α pode ser calculado a partir do seguinte desenvolvimento:
3- TENSÕES NO SOLO DEVIDAS A CARREGAMENTOS EXTERNOS
3.1. Calcule o acréscimo de tensão vertical no ponto P da figura a seguir, causado pelas obras mostradas, a partir da teoria de Boussinesq.
Figura 3.1 – Detalhes das cargas incidentes e da posição do ponto P no solo
Solução:
3.1.1. Edificação A
O carregamento “q0A” será o carregamento dado menos a escavação:
3.1.1.1. Edificação A1
A edificação A1 é um quarto de círculo com centro sob o ponto P, então a partir da solução de Love para carregamentos distribuídos em áreas circulares, tem-se:
3.1.1.2 Edificações A2 (2)
As edificações A2 são dois triângulos (ou duas metades de retângulo) com canto sobre o ponto P, ou seja, somadas fazem retângulo (quadrado). A partir da solução de Newmark, tem-se:
 
3.1.2 Edificação B
O carregamento “q0B” será o carregamento dado menos a escavação:
O ponto P está sob o meio de uma borda de um retângulo. Então dividindo-se o retângulo em dois ficam-se com dois retângulos menores com cantos sobre o ponto P. A partir da solução de Newmark, tem-se:
 fB (m,n) = 0,2385
3.1.3. Torres C
As torres C têm posições e cargas idênticas em relação ao ponto P. A distância R do centro de cada torre ao ponto P é:
 e b = a = 5m
Legenda:
Onde, b = maior dimensão da área carregada.
Logo, R = 47,04m > 3b, e assim pode-se considerar a carga pontual e calcular-se o acréscimo de cada torre pela equação de Boussinesq:
Portanto o acréscimo gerado pelas duas torres é 2.((ZC = 0,0042 kPa. 
3.1.4. Escavação D
A escavação D tem uma largura de 15m e uma distância 
do ponto P. Logo R = 63,145m < 5 ( 15 = 75m e a escavação não pode ser considerada linear. O cálculo do decréscimo de tensão deve ser feito como faixa infinita e de acordo com a seguinte equação:
onde 
e os valores geométricos estão mostrados na figura 49:
	
	
3.1.5. Somatório:
Finalmente, o acréscimo de tensão, será:
Obs.: No exercício o lençol d’água está abaixo das fundações e não interfere nos cálculos. Mas mesmo se este não fosse o caso a NBR-6122-Projeto e Execução de Fundações, de 1996, no seu artigo 5.2.3 veda, em obras urbanas, qualquer redução de cargas em decorrência de efeitos de subpressões. No artigo 5.2.2 somente permite considerações favoráveis a estabilidade decorrentes de terra ou de água quando se puder garantir sua continuidade e permanência.
3.2. Calcule os acréscimos de tensão vertical nos pontos “A” e “B”, à cota (22m, causados pelo Radier mostrado na figura 3.2. Sabe-se que o Radier está apoiado à cota ( 2m e transmite ao terreno uma tensão de 180 kPa. O solo escavado é uma areia grossa de peso específico total de 16 kN/m3, e o N.A. situa-se à cota ( 5m.
Figura 3.2 – Radier com dimensões em metros
Solução:
Figura 3.3 – Radier
Com base nos retângulos delimitados pelos pontos mostrados na figura 3.3, tem-se, a partir da solução de Newmark, os seguintes acréscimos de tensão vertical:
3.2.1. Acréscimo de tensão em A:
onde:
3.2.2. Acréscimo de tensão em B:
Onde:
4- RECALQUES UNIDIMENSIONAIS
4.1. Demonstre as seguintes equações:
a) 
b)
c) 
Solução:
a) O prisma de solo da figura 4.1 sofre recalque unidimensional (edométrico), ou seja, sem deslocamentos horizontais. Com base nessa limitação vem o seguinte desenvolvimento:
												(i) Onde: ∆V = variação volumétrica, ρ = recalque e A = área.
			
Figura 4.1 – Recalque unidimensional de um prisma de solo 
						(ii)
Onde:
Vti = volume total inicial
Vtf = volume total final
Vvi = volume de vazios inicial
Vvf = volume de vazios final
Vs = volume de sólidos
ei = índice de vazios inicial
ef = índice de vazios final
∆e = variação de índice de vazios
Igualando (i) e (ii) vem:
Sabendo que: 
tem-se:
										(iii)
b) Para o gráfico mostrado na figura 4.2, o acréscimo de tensão gera a seguinte variação de índice de vazios:
	(iv)
Figura 4.2 – Curva e x logσ’
Substituindo (iv) em (iii) tem-se:
c) A partir da definição do coeficiente de variação volumétrica: 
, tem-se para o caso edométrico o seguinte desenvolvimento:
 
4.2. Um reservatório cilíndrico de água, com 5m de raio e 10m de altura, vai ser instalado no centro de uma escavação de 2m de profundidade, a ser executada no terreno mostrado na figura 4.3. Sabendo que a escavação vai ser quadrada, de 10m por 10m, em planta, calcule o recalque da camada de argila no eixo do reservatório.
Obs. 1: O peso próprio das paredes do reservatório é desprezível;
Obs. 2: Considere o reservatório completamente cheio de água. 
Figura 4.3 - Perfil geotécnico
Solução:
4.2.1. Cálculo dos parâmetros faltantes:
O índice de vazios (e) da argila pode ser determinado da seguinte forma: 
. Desta forma, o peso específico natural da argila é: 
.
4.2.2. Tensão efetiva no meio da camada de argila:
4.2.3. Tensão de pré-adensamento:
4.2.4. Acréscimo de tensão:
4.2.5. Alívio de tensão:
4.2.6. Cálculo do recalque:
Como 
, o recalque vai ser de recompressão:
4.3. Um edifício de 16 pavimentos vai ser construído na orla da cidade de Santos-SP, apoiado em Radier (figura 4.4), assentado à cota –2m do perfil geotécnico mostrado na figura 4.5. Amostras retiradas nas projeções dos pontos A e B, à cota –12m, apresentaram respectivamente, razões de sobre-adensamento de 1,17 e 1,3. Tais resultados foram obtidos a partir de ensaios edométricos.
Responda as seguintes perguntas:
a) Fotos antigas mostram que no local destinado ao edifício havia uma duna de areia. Com base nessa informação, explique a causa das diferentes razões de sobre-adensamento relatadas acima.
b) Calcule os recalques da camada de argila mole nas projeções dos pontos A e B. Sabe-se que a carga distribuída por pavimento é igual a 1 tf/m² (10 kPa).c) Calcule o número máximo de andares para um recalque diferencial admissível, entre os pontos A e B, de 10cm. Despreze os recalques da areia compacta e do silte argiloso rijo.
Figura 4.4 – Radier (dimensões em metros)
Figura 4.5 - Perfil geotécnico
Solução:
a) A altura variável da duna gerou diferentes tensões efetivas nas projeções dos pontos A e B no meio da camada de argila mole, causando diferentes tensões de sobre-adensamento. Tudo indica que acima do ponto B a duna possuía uma altura superior à altura situada acima do ponto A, haja vista que a razão de sobre-adensamento da zona B é superior a da zona A.
b) Cálculo dos recalques:
b.1) Acréscimos de tensão: 
Tensão aplicada na cota -2m: q = 16.10 – 2.19 = 122kPa
b.2) Tensão efetiva no meio da camada de argila:
b.3) Tensões de sobre-adensamento ou de pré-adensamento:
b.4) Cálculo dos recalques:
�� EMBED Equation.3 
Obs.: O recalque diferencial entre os pontos A e B é de 13,64cm.
c) Cálculo do número máximo (n) de andares para um recalque diferencial admissível de 10cm:
onde: q = 10.n – 2.19 = 10.n – 38
Portanto, para um recalque diferencial admissível de 10cm, o número máximo de pavimentos é igual a 13.
6- FLUXO EM MEIOS POROSOS
6.1. Deduza as seguintes equações, para o cálculo de coeficientes de permeabilidade equivalentes:
a) 
para fluxo paralelo a solo estratificado saturado
b) 
para fluxo perpendicular a solo estratificado saturado
Solução:
a) Com base na figura 6.1 tem-se:
Figura 6.1 – Fluxo paralelo a solo estratificado
b) Com base na figura 6.2 tem-se:
; 
; 
;
Como 
, tem-se:
Figura 6.2 – Fluxo perpendicular a solo estratificado
6.2. Demonstre a equação de Greem-Ampt (1911) para o cálculo do tempo necessário para uma frente de infiltração atingir uma determinada profundidade em um solo não saturado.
Figura 6.3 – Esquema de chuva incidindo em solo não saturado
Solução:
Sabendo que a umidade volumétrica é por definição 
, vem:
No elemento infinitesimal mostrado na figura 6.3 tem-se:
Segundo a lei de Darcy:
Onde, a diferença de carga total é: 
=carga de pressão em solos não saturados
 
											(i)
Fazendo uma mudança de variável: 
; 
Desenvolvendo o lado esquerdo da equação (i) vem:
Portanto a equação (i) fica com o seguinte formato:
6.3. Demonstre que no fluxo unidimensional ascendente, apresentado na figura 6.4, ocorre uma redução de tensão efetiva em relação à situação hidrostática. Em seguida, desenvolva uma equação para o cálculo do gradiente crítico, que provoca o fenômeno de areia movediça ou a ruptura hidráulica de solos coesivos. Finalmente, com base na figura 6.5, demonstre que ocorre um aumento de tensão efetiva com o fluxo descendente.
Figura 6.4 – Permeâmetro de carga constante com fluxo ascendente no solo
Figura 6.5 - Permeâmetro de carga constante com fluxo descendente no solo
Solução:
6.3.1. Para o caso de fluxo ascendente, tem-se no plano p a seguinte tensão efetiva:
Desprezando a perda de carga existente entre os pontos A e B, a carga total em A é igual a carga total em B. Desta forma, passando um referencial no nível do plano P tem-se:
Portanto, a tensão efetiva no plano p é:
Para o caso hidrostático teríamos 
e 
A diferença de carga total existente no fluxo ascendente provoca uma redução de tensão efetiva. A parcela 
é subtraída da tensão efetiva correspondente à situação hidrostática. 
6.3.2. A percolação ascendente aplica nas partículas um atrito viscoso que tenta afasta-las, provocando uma redução de tensão efetiva. Eventualmente, tal tensão efetiva pode se anular causando o fenômeno de areia movediça ou a ruptura hidráulica de solos coesivos. O gradiente hidráulico que anula a tensão efetiva é denominado gradiente crítico e pode ser obtido de acordo com a seguinte dedução:
6.3.3. Para o fluxo descendente a percolação gera um efeito contrário ao observado no fluxo ascendente. De acordo com o permeâmetro da figura 6.5, a tensão efetiva no plano p pode ser obtida a partir do seguinte desenvolvimento:
Desprezando a perda de carga existente entre os pontos C e D, a carga total em C é igual a carga total em D. Desta forma, passando um referencial no nível do plano P tem-se:
A diferença de carga total existente no fluxo descendente provoca um aumento de tensão efetiva. A parcela 
é somada à tensão efetiva correspondente à situação hidrostática. 
A percolação aplica nas partículas um atrito viscoso que tenta aproximá-las, provocando um aumento de tensão efetiva.
6.4. Demonstre a equação de Taylor (1948): 
Solução: Com base no fluxo através de um cilindro capilar, mostrado na figura 6.6, verifica-se que ocorre uma distorção da massa de fluido. Tal distorção é gerada por forças cisalhantes mobilizadas no contato do fluido, em movimento, com o cilindro. E quanto maior a derivada da velocidade em relação ao raio (
), maior é a tensão cisalhante. Essa relação entre 
 e a tensão cisalhante é dada por:
onde μ é o coeficiente de viscosidade do fluido
A força cisalhante (T) que resulta da tensão ( atuante numa distância radial r é:
Figura 6.6 – Variação da velocidade com a distância radial
A força T reage a uma força de percolação Fp, que é:
Para fluxo laminar ocorre um equilíbrio entre as forças T e Fp, resultando em:
 
 
De acordo com a figura 6.6, a velocidade para r = R é zero. Desta forma a constante C é:
A equação da velocidade em função da distância radial r é, portanto, a seguinte:
A vazão existente no elemento infinitesimal é a seguinte:
Desta forma, a vazão existente no cilindro é:
Sabendo que o raio hidráulico é definido como: 
Em função do raio hidráulico, a equação da vazão fica : 
Como a equação de Darcy é 
, o coeficiente de permeabilidade para fluxo em cilindro capilar é: 
.
Verifica-se que k depende da geometria do meio, em virtude da parcela 
, e sofre influência de características intrínsecas ao fluido, referentes à parcela 
.
Para o caso de fluxo em meios porosos (solos e rochas sedimentares) verifica-se que a seção transversal do cilindro é irregular, de acordo com a figura 6.7.
Figura 6.7 – Seção transversal de um meio poroso 
Desta forma, para contemplar-se a irregularidade da seção transversal do meio poroso, a parcela geométrica que exerce influência em k será multiplicada por uma constante denominada de coeficiente de tortuosidade (C). Desta forma, a equação para o cálculo do coeficiente de permeabilidade fica: 
.
A partir da figura 6.8, tem-se:
Desta forma, a equação da vazão fica: 
Figura 6.8 – Cilindro contendo o meio poroso 
Lembrando que o raio hidráulico é: 
, para fluxo em um cilindro. Verifica-se então que, para o caso de fluxo através dos poros, tem-se: 
. Sabendo que o índice de vazios é: 
, vem: 
.
Considerando os sólidos como esferas de diâmetro Ds, tem-se:
A equação da vazão fica então: 
Sabendo que 
, finalmente a equação da vazão fica: 
. Desta forma, sabendo que a equação de Darcy é: 
, o coeficiente de permeabilidade fica com o formato final: 
6.5. Para uma situação de fluxo radial em direção a um poço de bombeamento, com retirada de água, demonstre as seguintes equações para o cálculo de vazão:
a) 
 para fluxo não confinado ilustrado na figura 6.9
b) 
 para fluxo confinado ilustrado na figura 6.10
Figura 6.9 – Fluxo radial não confinado
Figura 6.10 - Fluxo radial confinado
Solução
a) O poço da figura 6.9 está instalado em um aqüífero livre. De acordo com a lei de Darcy, tem-se:
b) O poço da figura 6.10 está instalado em um aqüífero confinado. De acordo com a lei de Darcy, tem-se:
6.6. Considerando-se o permeâmetro mostrado na figura 6.11, pede-sedeterminar:
a) O coeficiente de permeabilidade do solo 2 sabendo-se que no ponto B a poro-pressão é de 9 kN/m²;
b) A velocidade média de percolação no solo 3;
c) As poro-pressões nos pontos D e F.
Figura 6.11 - Dimensões em cm
	Solo
	Área (cm²)
	e
	sub (kN/m³)
	Gs
	w (%)
	k (cm/s)
	1
	100
	0,7
	-
	2,72
	-
	10-4
	2
	100
	-
	8
	2,65
	-
	-
	3
	50
	-
	6
	2,60
	-
	6.10-4
	4
	50
	-
	-
	2,75
	24
	2.10-4
Solução:
a) Para determinar-se o coeficiente de permeabilidade do solo 2 é necessário o conhecimento das cargas totais em B e em C:
a1) A carga total em B é a seguinte:
Com o referencial passando pela base do permeâmetro, tem-se:
a2) A carga total em C é igual à carga total em E, que pode ser obtida da diferença entre a carga total em G e a perda de carga existente entre G e E. Tal perda de carga pode ser determinada a partir do princípio da continuidade:
Portanto a diferença de carga total entre B e C é a seguinte:
A partir da equação de continuidade do fluxo permanente, tem-se:
b) 
onde:
c) Poro-pressão em D:
Poro-pressão em F:
Onde:
 
6.7. Calcule aproximadamente a vazão em litros por hora, por metro, sob a barragem da figura 6.12. Estime valores faltantes.
Figura 6.12
Solução:
De acordo com a fórmula empírica de Hazem, o coeficiente de permeabilidade da areia fina é:
A relação entre as permeabilidades da areia fina e da argila é:
Portanto seriam necessários 4m.1,44.105 = 576km de areia fina para provocar a perda de carga que ocorre nos 4m de argila. Daí pode-se desprezar a perda de carga na areia fina. Pelo mesmo motivo e até com mais razão, pode-se também desprezar as perdas de carga na areia grossa. Como a vazão tem que passar pela cortina de interceptação (cut-off) de argila, tem-se:
6.8. Para o ensaio mostrado na figura 6.13 existe fluxo de água sob carga constante através dos solos A e B, de permeabilidades diferentes. Pede-se:
a) Qual a altura de carga total e a altura piezométrica no ponto X?
b) Se 35% da diferença de carga é dissipada no fluxo através do solo A, quais seriam as alturas de carga total e piezométrica no ponto Y?
c) Se a permeabilidade do solo A é 0,04cm/s, qual a vazão por unidade de área neste solo?
d) Qual o coeficiente de permeabilidade do solo B?
Figura 6.13
a)Passando um plano referencial em X e desprezando a perda de carga total entre os pontos A e X, tem-se:
b) A perda de carga total no solo A é:
Portanto, a carga total em Y é:
A carga piezométrica em Y é:
c) 
por cm2 de solo
d) Aplicando o princípio da continuidade do fluxo, tem-se que:
6.9. Um poço produtor de óleo, cujo fator volume-formação é de 1,5 m³/m³ std e cuja viscosidade é de 20 cp, foi perfurado com broca de 20 cm de diâmetro em um campo onde a distância media entre os poços é de 500 m. Os perfis de sondagem indicaram que o horizonte produtor é um arenito homogêneo e situa-se entre camadas de argilito, com o topo e a base a 1200 m e 1250 m, respectivamente. Um teste de formação mostrou que a permeabilidade efetiva original do arenito era de 100 md e correlações deram evidência de filtrado de lama até uma distância igual a 3 m. Em um teste de produção obteve-se uma vazão de 6 m³std/dia sob um diferencial de pressão de 35 kgf/cm². Admitindo que os fluidos do reservatório possam ser considerados incompressíveis, pede-se que sejam determinadas:
a) A permeabilidade efetiva equivalente da formação;
b) A permeabilidade efetiva da zona alterada ao redor do poço;
c) A produção esperada ao se colocar no fundo do poço uma resistência elétrica que aquece o óleo até 100 ºC, reduzindo a sua viscosidade a 1 cp em um raio de 3 m, quando se operar o poço com um diferencial de pressão de 35 kgf/cm².
Solução:
a) Para o caso de fluxo radial em reservatório confinado, a equação para o cálculo de vazão, desenvolvida na letra b do exercício 6.5, é válida:
Para fluxo radial horizontal, a diferença de carga total é igual à diferença de carga de pressão. Desta forma, a equação da vazão fica:
 
Na engenharia de petróleo utiliza-se, tradicionalmente, o coeficiente de permeabilidade intrínseco ao meio poroso, denominado de coeficiente de permeabilidade efetiva ou absoluta (k’), cuja unidade é o Darcy. Tendo em vista que a permeabilidade depende da geometria do meio poroso e de características inerentes ao fluido (
), tem-se:
Desta forma, vem:
Finalmente, a permeabilidade efetiva pode ser obtida então por:
Onde: 
Q = vazão = Qstd.B = 6 m³std/dia.1,5 m³/m³std = 9 m³/dia
Qstd = vazão para uma condição padrão de temperatura e pressão
B = fator volume-formação
r1 = distância radial de influência do poço = 250m, haja vista que o espaçamento entre poços é de 500m.
r2 = raio do poço = 0,1m
μ = viscosidade do fluido = 20 cp
L = espessura do arenito = 50m = 5000cm
∆u = diferença de pressão = 35kgf/cm² = 33,87atm
b) Para o caso de fluxo radial em série, tem-se o esquema da figura 6.14.
Figura 6.14
Pelo princípio da continuidade, tem-se:
; 
A vazão no meio poroso é:
Desta forma, a permeabilidade efetiva equivalente é:
c) Com viscosidades diferentes, a equação da vazão fica:
Portanto, a viscosidade equivalente é:
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N.A. empoleirado
Areia
(nat = 18 kN/m3
6m
Argila
(nat = 20 kN/m3
2m
Areia
(nat = 18,5 kN/m3
N.A. verdadeiro
3m